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Caderno RQ7

Funções

Prof. Milton Araujo

2016 INSTITUTO INTEGRAL | www.institutointegral.com.br

1

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Sumário

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 4

2 O QUE É FUNÇÃO? ........................................................................................................................... 5

2.1 CONCEITO .................................................................................................................................. 5

2.2 DEFINIÇÃO FORMAL ...................................................................................................................... 5

3 TIPOS DE FUNÇÕES .......................................................................................................................... 7

3.1 FUNÇÃO SOBREJETORA .................................................................................................................. 7

3.2 FUNÇÃO INJETORA ........................................................................................................................ 7

3.3 FUNÇÃO BIJETORA ........................................................................................................................ 8

4 DOMÍNIO ......................................................................................................................................... 9

4.1 EXERCÍCIOS ............................................................................................................................... 10

5 IMAGEM ........................................................................................................................................ 11

5.1 NOTAÇÃO ................................................................................................................................. 11

5.2 DEFINIÇÃO ................................................................................................................................ 11

6 CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES ...................................................................................................... 13

6.1 FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU ........................................................................................................ 13

6.1.1 Definição ........................................................................................................................... 13

6.1.2 Domínio ............................................................................................................................. 13

6.1.3 Imagem ............................................................................................................................. 13

6.1.4 Gráfico .............................................................................................................................. 14

6.1.5 Zero da Função .................................................................................................................. 14

6.1.6 Valor da Função em um Ponto e Par Ordenado ................................................................. 15

6.2 FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU ........................................................................................................ 16

6.2.1 Definição ........................................................................................................................... 16

6.2.2 Domínio ............................................................................................................................. 16

6.2.3 Imagem ............................................................................................................................. 16

6.2.4 Gráfico .............................................................................................................................. 17

6.2.5 Zeros da Função ................................................................................................................ 17

6.2.6 Vértice ............................................................................................................................... 20

6.2.7 Função do Segundo Grau Fatorada.................................................................................... 21

6.3 FUNÇÃO MODULAR .................................................................................................................... 23

6.3.1 Definição ........................................................................................................................... 23

6.3.2 Domínio ............................................................................................................................. 23

6.3.3 Imagem ............................................................................................................................. 23

6.3.4 Gráfico .............................................................................................................................. 23

6.4 FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................................................ 24

6.4.1 Definição ........................................................................................................................... 24

6.4.2 Domínio ............................................................................................................................. 24

6.4.3 Imagem ............................................................................................................................. 24

6.4.4 Gráfico .............................................................................................................................. 24

6.5 FUNÇÃO LOGARÍTMICA ................................................................................................................ 25

2




6.5.1 Definição ........................................................................................................................... 25

6.5.2 Domínio ............................................................................................................................. 25

6.5.3 Imagem ............................................................................................................................. 25

6.5.4 Gráfico .............................................................................................................................. 25

6.6 FUNÇÃO POLINOMIAL ................................................................................................................. 26

6.6.1 Definição ........................................................................................................................... 26

6.6.2 Domínio ............................................................................................................................. 26

6.6.3 Imagem ............................................................................................................................. 26

6.6.4 Gráficos ............................................................................................................................. 26

6.7 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................................................ 27

6.7.1 Círculo Trigonométrico ...................................................................................................... 27

6.7.2 Função Seno ...................................................................................................................... 27

6.7.3 Função Cosseno ................................................................................................................. 28

6.7.4 Função Tangente ............................................................................................................... 30

6.7.5 Função Secante ................................................................................................................. 31

6.7.6 Função Cossecante ............................................................................................................ 32

6.7.7 Função Cotangente ........................................................................................................... 32

6.7.8 Aplicações da Trigonometria ............................................................................................. 33

6.8 FUNÇÕES DEMANDA E OFERTA ...................................................................................................... 34

6.8.1 Definição ........................................................................................................................... 34

6.8.2 Gráfico .............................................................................................................................. 34

6.9 FUNÇÕES CUSTO, RECEITA E LUCRO ................................................................................................ 36

6.9.1 Função Custo ..................................................................................................................... 36

6.9.2 Função Receita (ou Faturamento) ...................................................................................... 36

6.9.3 Função Lucro ..................................................................................................................... 37

7 FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO IMPAR .................................................................................................... 39

7.1 FUNÇÃO PAR ............................................................................................................................. 39

7.2 FUNÇÃO IMPAR ......................................................................................................................... 40

8 FUNÇÃO INVERSA .......................................................................................................................... 41

9 FUNÇÃO DE FUNÇÃO (OU FUNÇÃO COMPOSTA) .......................................................................... 42

10 EXERCÍCIOS .................................................................................................................................... 44

11 INSTITUTO INTEGRAL EDITORA - CATÁLOGO ................................................................................ 77

12 CURRÍCULO INFORMAL ................................................................................................................. 84

3




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4




1 Introdução

"Se as situações da vida fazem você se sentir

pequeno, é porque chegou a hora de crescer."

[Autor desconhecido]

Este é um dos capítulos mais importantes da Matemática.

Uma forma pedestre de se entender função seria através de uma relação entre

duas ou mais variáveis. Por simplicidade, não falaremos aqui em funções de

várias variáveis, mas apenas de funções monovariadas nas quais há uma variável

livre (ou independente) e outra variável dependente, que obedece uma lei,

também chamada de equação de função.

Em linguagem matemática, escreve-se:

Lê-se: “A função é definida como uma aplicação de um conjunto

(domínio) em um conjunto (contradomínio), determinada pela seguinte lei ou

sentença:

Em outras palavras, para cada valor há um elemento , também denotado por

.

Existem inúmeras classes de funções matemáticas, entre as principais temos:

função do primeiro grau, função modular, função quadrática, função polinomial,

função exponencial, função logarítmica, função trigonométrica, etc. Cada função

é definida por leis generalizadas e propriedades específicas.

Este livro, como todos os demais já publicados, está voltado a fornecer dicas aos

leitores, para que consigam responder, do modo mais rápido possível, questões

de concursos públicos ou do Teste ANPAD. Dessa forma, o enfoque é nos

tópicos mais cobrados nesses certames.

Bons Estudos!

5




2 O que é Função?

2.1 Conceito

Uma função é definida através de uma relação entre variáveis.

Devido à sua generalidade, as funções estão presentes, além da matemática, em

várias áreas de estudos, tais como a física, a química, a astronomia, etc., pela

característica que permite sua representação através de gráficos.

O conceito de função é uma generalização da noção comum de fórmula

matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois

elementos.

Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento

(às vezes denominado variável independente) um único valor da função

(também conhecido como variável dependente). Isto pode ser feito através de

uma equação, um relacionamento gráfico, diagramas representando os dois

conjuntos, uma regra de associação, uma tabela de correspondência. Cada par de

elementos relacionados pela função determina um ponto nesta representação, a

restrição de unicidade da imagem implica um único ponto da função em cada

linha de chamada do valor independente .

Uma função liga um domínio (conjunto de valores de partida) com um segundo

conjunto, o contradomínio (conjunto de valores de chegada) de tal forma que a

cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do

contradomínio.

O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela função

(ou ) a algum elemento do domínio , é o conjunto imagem.

2.2 Definição Formal

Consideremos os conjuntos com elementos e o conjunto com elementos ,

ou seja:

https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula

https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula

https://pt.wikipedia.org/wiki/Rela%C3%A7%C3%A3o_(matem%C3%A1tica)

https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o

https://pt.wikipedia.org/wiki/Contradom%C3%ADnio

https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_imagem

6




diz-se que a função de em que relaciona cada elemento em , um único

elemento em .

Exemplo:

Lê-se: “a função é definida como uma aplicação do conjunto dos números

reais no conjunto dos números reais , determinada pela sentença:

”.

7




3 Tipos de Funções

3.1 Função Sobrejetora

Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do

domínio.

O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio.

Exemplo:

3.2 Função Injetora

Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio.

Pode haver elementos do contradomínio que não pertençam à imagem da função.

Exemplo:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Surjection.svg

https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Funcao_venn.svg

8




3.3 Função Bijetora

É ao mesmo tempo uma função sobrejetora e injetora, isto é, cada elemento do

domínio está associado a um único elemento do contradomínio e vice-versa.

O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio.

Exemplo:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Bijection.svg

9




4 Domínio

O domínio de uma função é o conjunto que reúne todos os possíveis valores da

variável independente .

Para algumas operações matemáticas existem restrições, tais como:

Não existe divisão por zero;

Não existe raiz com índice par de número negativo;

Não existe logaritmo de número negativo ou de zero;

Não existe base de logaritmo negativa, zero ou 1;

etc.

Exemplos:

1)

2)

3)

10




4.1 Exercícios

Informe o conjunto domínio para as seguintes funções:

1)

2)

3)

4)

11




5 Imagem

O conjunto imagem de uma função também é conhecido como campo de valores

da função .

O conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio e contém os valores que

a função pode assumir a partir dos valores contidos em seu domínio.

5.1 Notação

5.2 Definição

Em uma função sobrejetora, os conjuntos imagem e contradomínio são o

mesmo conjunto.

Exemplos:

1)

A imagem do conjunto é o conjunto , que é um subconjunto do

contradomínio .

12




2)

A função acima é sobrejetora, pois a imagem do conjunto é o próprio conjunto

(contradomínio), em que todos os seus elementos estão associados a algum

elemento do domínio .

13




6 Classificação das Funções

6.1 Função do Primeiro Grau

6.1.1 Definição



”.

onde:

é o coeficiente angular, também conhecido como declividade ou inclinação;

é o coeficiente linear (valor no qual a função intersecta o eixo .

6.1.2 Domínio

6.1.3 Imagem

14




6.1.4 Gráfico

é o eixo das ordenadas

é o eixo das abscissas

onde:

é o ângulo formado entre o eixo e a função.

Quando .

Quando .

6.1.5 Zero da Função

O zero de uma função do primeiro grau ocorre para o valor de que torne

.

15




Exemplo:

Calcule o zero da função

Solução:

Resposta: é o valor que torna

6.1.6 Valor da Função em um Ponto e Par Ordenado

Exemplo:

Dada a função , calcule:

a)

b)

c)

Informe os respectivos pares ordenados.

Solução:

a)

Par ordenado:

b)

Par ordenado:

c)

Par ordenado:

16




6.2 Função do Segundo Grau

Também conhecida como função quadrática.

6.2.1 Definição



, com ”.

onde:

é a concavidade;

é o coeficiente angular;

coeficiente linear (valor no qual a função intersecta o eixo .

6.2.2 Domínio

6.2.3 Imagem

Para :

Para :

Onde: é a ordenada do vértice

17




6.2.4 Gráfico

6.2.5 Zeros da Função

Os zeros de uma função do segundo grau ocorrem para os valores de que

tornam

Os zeros da função do segundo grau ã aízes da

equação

Há duas formas de se determinar as raízes da equação acima. São elas:

6.2.5.1 Soma das Raízes e Produto das Raízes

A soma das raízes da equação é dada por:

O produto das raízes da equação é dada por:

18




Exemplo:

Determine os zeros da função

Solução:

Observe que, na equação da função acima,

(o gráfico da função apresenta concavidade voltada para baixo)

(o gráfico passa pelo eixo com inclinação positiva, ou subindo)

(ponto de passagem pelo eixo )

Os zeros da função são obtidos quando , ou

Soma das raízes:

O resultado obtido acima significa que estamos procurando dois números cuja

soma seja igual a 8

Produto das raízes:

O resultado acima significa que buscamos dois números cujo produto seja igual a

15.

Procuramos, então, um par de valores cuja soma seja igual a 8 e o produto seja

igual a 15.

Observe que e

19




Então, os zeros da função são e

6.2.5.2 Fórmula de Bháskara

A fórmula de Bháskara é uma velha conhecida para o cálculo das raízes de uma

equação do segundo grau da forma:

Fórmula:

Determine os zeros da função

Solução:

Dividindo-se ambos os membros por , teremos:

e

Dica: em questões de concursos ou do Teste ANPAD, a maioria das equações

do segundo grau para as quais se requer o cálculo das raízes têm .

Assim, o leitor está livre de usar a fórmula de Bháskara e poderá encontrar

rapidamente as raízes (que serão números inteiros) através da soma

e do produto das raízes.

20




6.2.6 Vértice

O vértice de uma função do segundo grau (parábola) tem sua abscissa no ponto

médio entre os zeros da função, ou seja:

onde:

e são os zeros da função do segundo grau.

Para encontrar a ordenada do vértice, basta substituir o valor da abscissa ( ) na

função:

Exemplo:

Calcule as coordenadas do vértice da função:

Solução:

Os zeros da função já foram calculados (ver página anterior) e valem

e

Coordenadas do vértice:

Observe que é o valor máximo da função dada.

Assim o ponto também pode ser visto como as coordenadas do ponto de

máximo da função dada.

21




6.2.7 Função do Segundo Grau Fatorada

A função do segundo grau fatorada é definida como segue:

onde:

, são os zeros da função, e

é uma constante.

Com a função do segundo grau fatorada, fica extremamente fácil e rápido

determinar seus zeros, bastando igualar cada um dos parênteses a zero e calcular

o valor de .

Exemplo:

Zeros da função:

Abscissa do vértice:

Ordenada do vértice:

Note que:

22




e

Exemplo:

A empresa Vax fabrica um determinado produto. Se o lucro da produção de

unidades é dado por , quantas unidades a fábrica

deveria produzir e vender para obter lucro máximo?

a) 213.

b) 85.

c) 35.

d) 32.

e) 18.

Solução:

Zeros:


Como a questão pede a abscissa do vértice, ou a quantidade a ser produzida para

maximizar o lucro, a resposta já foi encontrada.

Gabarito: Alternativa D.

Caso a questão solicitasse o lucro máximo, bastaria calcular:

Ordenada do vértice:

23




6.3 Função Modular

6.3.1 Definição

ou

6.3.2 Domínio

6.3.3 Imagem

ou

6.3.4 Gráfico

24




6.4 Função Exponencial

6.4.1 Definição

6.4.2 Domínio

6.4.3 Imagem

ou

6.4.4 Gráfico

25




6.5 Função Logarítmica

6.5.1 Definição

6.5.2 Domínio

ou

6.5.3 Imagem

6.5.4 Gráfico

26




6.6 Função Polinomial

6.6.1 Definição

6.6.2 Domínio

6.6.3 Imagem

6.6.4 Gráficos

Dependendo do grau do polinômio, haverá um gráfico próprio para cada função

polinomial.

Exemplos:

1) Função do primeiro grau:

2) Função do segundo grau: ,

3) Função do terceiro grau: ,

4) etc.

27




6.7 Funções Trigonométricas

6.7.1 Círculo Trigonométrico

6.7.2 Função Seno

6.7.2.1 Definição

6.7.2.2 Domínio

6.7.2.3 Imagem

28




6.7.2.4 Gráfico

6.7.2.5 Sinal da Função Seno

6.7.3 Função Cosseno

6.7.3.1 Definição

29




6.7.3.2 Domínio

6.7.3.3 Imagem

6.7.3.4 Gráfico

6.7.3.5 Sinal da Função Cosseno

30




6.7.4 Função Tangente

6.7.4.1 Definição

6.7.4.2 Domínio

6.7.4.3 Imagem

6.7.4.4 Gráfico

31




6.7.4.5 Sinal da Função Tangente

6.7.5 Função Secante

6.7.5.1 Definição

6.7.5.2 Domínio

6.7.5.3 Imagem

6.7.5.4 Sinal da Função Secante

Como a função secante é dada pelo inverso da função cosseno, os sinais de

ambas as funções (secante e cosseno) são os mesmos.

32




6.7.6 Função Cossecante

6.7.6.1 Definição

6.7.6.2 Domínio

6.7.6.3 Imagem

6.7.6.4 Sinal da Função Cossecante

Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais de ambas

(cossecante e seno) são os mesmos.

6.7.7 Função Cotangente

6.7.7.1 Definição

6.7.7.2 Domínio

33




6.7.7.3 Imagem

6.7.7.4 Sinal da Função Cotangente

Como a função cotangente é a inversa da função tangente, então os sinais de

ambas (cotangente e tangente) são os mesmos.

6.7.8 Aplicações da Trigonometria

A trigonometria tem aplicações em diversos campos de estudos, especialmente

na determinação de distâncias que não podem ser medidas diretamente. Serve à

navegação, à agrimensura e à astronomia. Ao lidar com a determinação de pontos

e distâncias em três dimensões, a trigonometria esférica amplia sua aplicação à

física, à química e a quase todos os ramos da engenharia, em especial no estudo

de fenômenos periódicos, como a vibração do som e o fluxo de corrente

alternada.

34




6.8 Funções Demanda e Oferta

6.8.1 Definição

As funções demanda e oferta geralmente1 são definidas como:

onde:

representa o preço, e

representa a quantidade.

A função oferta é sempre crescente.

A função demanda é sempre decrescente.

6.8.2 Gráfico

Para encontrar o ponto de equilíbrio basta igualar as equações das funções

demanda e oferta.

1 As funções demanda e oferta podem ser outros tipos de função.

35




Exemplo:

As funções de oferta e de demanda de um produto são dadas pelas expressões

em que é a quantidade e é o preço do produto. Então, a quantidade que

equilibra a demanda e a oferta é igual a

a) 30.

b) 35.

c) 42.

d) 50.

e) 56.

Solução:

Gabarito: Alternativa A.

36




6.9 Funções Custo, Receita e Lucro

6.9.1 Função Custo

Em geral, a função custo é definida como uma função do primeiro grau, em que o

coeficiente angular representa o custo variável (ou custo por unidade produzida,

que é representada por insumos e matéria-prima), e o coeficiente linear

representa o custo fixo (que pode ser representado por maquinário, salários,

manutenção, etc).

onde:

representa o custo total,

representa o custo variável (ou custo para produzir cada unidade)

representa o custo fixo, que não depende da quantidade produzida

representa a quantidade produzida.

6.9.2 Função Receita (ou Faturamento)

A função receita (ou faturamento) é definida pelo produto do preço de venda pela

quantidade vendida.

onde:

representa a receita (ou faturamento),

representa o preço de venda do produto,

representa a quantidade vendida.

37




6.9.3 Função Lucro

A função lucro pode ser determinada de duas formas:

6.9.3.1 Lucro é igual a receita menos custo

6.9.3.2 Lucro é igual a lucro unitário vezes quantidade

6.9.3.3 Lucro unitário é igual a preço de venda menos preço de custo

onde:

representa o preço de custo,

representa o preço de venda,

representa a função da quantidade.

Dica: sempre que possível, procure determinar a função lucro sob a forma

representada no item 6.9.3.3, pois a função já estará na forma fatorada. Isto

facilitará os cálculos.

Exemplo:

Uma fábrica produz certo tipo de cadeira ao custo de R$ 30,00 cada. Se a fábrica

vender cadeiras por mês, onde é o preço em reais de cada cadeira,

o valor de para que a fábrica tenha lucro máximo é

a) R$ 15,25.

b) R$ 18,00.

c) R$ 33,25.

d) R$ 40,50.

38




e) R$ 45,25.

Solução:

Preço de custo:

Preço de venda:

Função quantidade:

Função Lucro Unitário:

Função Lucro Total:

Zeros da função Lucro Total:


Gabarito: Alternativa E.

39




7 Função Par e Função Impar

7.1 Função Par

Uma função é uma função par, se para todo do domínio de :

Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical .

Exemplos:

1) A função real definida por é par. O leitor poderá comprovar

facilmente!

2) A função cosseno é par, pois para todo real, tem-se que:

3) A função secante é par, pois para todo onde a secante está definida, tem-se

que:

40




7.2 Função Impar

Uma função é uma função ímpar, se para todo do domínio de :

Funções ímpares são simétricas em relação à origem (0,0) do sistema de eixos

cartesiano.

Exemplos:

1) A função real definida por é ímpar. O leitor poderá comprovar

facilmente!

2) A função seno é ímpar, pois para todo real, tem-se que:

3) A função tangente é ímpar, pois para todo real onde a tangente está definida,

tem-se que:

4) A função cossecante é ímpar, pois para todo onde a cossecante está definida,

tem-se que:

5) A função cotangente é ímpar, pois para todo real, tem-se que:

41




8 Função Inversa

Função inversa de uma função é, se existir, a função , tal

que e , onde é a função identidade.

Em outras palavras, houve uma inversão (troca) entre as variáveis e , com a

consequente inversão dos conjuntos domínio e imagem: o conjunto vira

imagem na função inversa, e o conjunto imagem na função original ( ) será o

domínio da função inversa.

A condição única para que uma função admita inversa (ou seja, seja inversível) é

que ela seja bijetora.

Exemplo:

Determinar a inversa da função .

Solução (passo a passo):

1) substitua por :

2) troque as variáveis e (uma pela outra):

3) isole a variável novamente:

Conclusão:

Tarefa: faça o gráfico das funções e e observe...

42




9 Função de Função (ou Função Composta)

Sejam:

e

duas funções quaisquer. Se o domínio de contiver o contradomínio de ,

podemos definir a função composta como segue:

Exemplo:

Exemplo:

Dadas as funções f e g a seguir

Calcule:

a)

43




b)

c)

d)

Solução:

a)

b)

c)

d)

44




10 Exercícios

1) ANPAD 2006 – O economista italiano Vilfrido Pareto, grande estudioso sobre

distribuição de renda, propôs um modelo matemático para distribuição de renda

conhecido como Lei de Pareto. O modelo simplificado é dado pela seguinte

função:

onde é o número de pessoas cujas rendas são superiores ou iguais a ; é a

renda de um indivíduo da população considerada; é uma constante que

depende da população em questão; e é o parâmetro que caracteriza a

distribuição de renda. Se numa certa população a distribuição de renda é dada por

onde a renda é dada em reais, é CORRETO concluir que 10.000 pessoas

ganham rendas superiores ou iguais a

a) R$ 80.000,00.

b) R$ 60.000,00.

c) R$ 20.000,00.

d) R$ 8.000,00.

e) R$ 2.000,00.

2) ANPAD 2007 – O custo fixo mensal para produzir até 1.000 unidades de um

determinado produto é de R$ 300,00, e o custo variável para produzir cada

unidade do mesmo produto é de R$ 2,00. O custo fixo mensal existirá

independentemente da quantidade produzida no mês, desde que não ultrapasse o

limite de 1.000 unidades. O custo variável unitário, por sua vez, existirá apenas

para cada unidade produzida, desde que o limite de 1.000 unidades também não

seja ultrapassado.

Sabendo-se que cada unidade do referido produto é vendida por R$ 3,00, o

número mínimo de unidades que devem ser produzidas e vendidas para que todos

os custos sejam pagos é de

a) 700 peças.

b) 600 peças.

c) 500 peças.

d) 400 peças.

e) 300 peças.

45




3) ANPAD 2007 – Os pontos nos quais a função toca o

eixo e o vértice dessa parábola formam um triângulo. A área do triângulo

formado, em unidades de área (u. a.) é

a) 128 u. a.

b) 64 u. a.

c) 32 u. a.

d) 16 u. a.

e) 8 u. a.

4) ANPAD 2006 – A empresa ABC adquiriu uma máquina por R$ 15.000,00

que, seis anos após a data da compra, tinha um valor estimado de R$ 12.000,00.

Admitindo que a depreciação seja linear, é CORRETO afirmar que

a) o valor estimado da máquina será nulo em 30 anos após a data da compra.

b) a depreciação total estimada, 10 anos após a data da compra é de R$ 4.500,00.

c) uma equação que representa essa depreciação é , onde representa

o valor da depreciação total estimada em anos após a data da compra.

d) uma equação que representa o valor estimado da máquina, anos após a

data da compra, é .

e) uma equação que representa o valor estimado da máquina, anos após a

data da compra, é .

5) ANPAD 2006 – Sobre os gráficos das funções , definida por

e , definida por , é CORRETO afirmar

que se interceptam em

a) um único ponto de abscissa positiva.

b) um único ponto de abscissa negativa.

c) dois pontos distintos com abscissa de sinais contrários.

d) dois pontos distintos com abscissas de mesmo sinal.

e) mais de dois pontos.

6) ANPAD 2006 – Uma empresa, para produzir determinado produto, pode

utilizar dois processos distintos. Para o processo A tem-se um custo fixo de R$

100,00 mais R$ 5,00 por unidade produzida. Já para o processo B tem-se um

custo fixo de R$ 60,00 mais R$ 6,00 por unidade produzida. Com base nessas

informações, é CORRETO afirmar que

a) os custos são menores utilizando-se o processo A.

b) os custos são menores utilizando-se o processo B.

c) para produzir 40 unidades do produto, o custo é menor pelo processo A.

d) para produzir até 40 unidades do produto, o custo é menor pelo processo A.

46




e) para produzir até 40 unidades do produto, o custo é menor pelo processo B.

7) ANPAD 2006 – O lucro na venda de unidades mensais de certo produto é

descrito por uma função de 2º grau representada pela figura a seguir

O lucro máximo, em reais, é

a) R$ 63.000,00.

b) R$ 62.500,00.

c) R$ 62.000,00.

d) R$ 62,50.

e) R$ 62,00.

8) ANPAD 2006 – Sejam e uma função de A em A definida por

, e . O conjunto-solução de é

a) –2.

b) –1.

c) 0.

d) 2.

e) 4.

9) ANPAD 2006 – Uma fábrica produz certo tipo de cadeira ao custo de R$

30,00 cada. Se a fábrica vender cadeiras por mês, onde é o preço

em reais de cada cadeira, o valor de para que a fábrica tenha lucro máximo é

a) R$ 15,25.

b) R$ 18,00.

c) R$ 33,25.

d) R$ 40,50.

e) R$ 45,25.

10) ANPAD 2006 – As fábricas Alfa e Beta produzem videocassetes. Os lucros

dessas empresas são dados, respectivamente, por

47




e , onde representa a quantidade vendida

mensalmente e . O lucro de Alfa supera o de Beta quando a

quantidade vendida no mês

a) é superior a 15.

b) é inferior a 40.

c) é superior a 10 e inferior a 50.

d) é superior a 15 e inferior a 40.

e) é inferior a 10 e superior a 50.

11) ANPAD 2005 – Num certo país, o imposto de renda é cobrado da seguinte

forma: os que têm rendimento até 1500 u. m. (unidades monetárias) são isentos;

aos que possuem renda entre 1500 u. m. e 6000 u. m., cobra-se um imposto de

10%; acima de 6000 u. m., o imposto é de 20%. Qual dos seguintes gráficos

melhor representa a situação acima descrita?

48




12) ANPAD 2005 – No gráfico abaixo, tem-se a oferta de fundos de

investimentos e a procura de fundos de investimentos, para as quais é a taxa

pura de juros e é o montante de capital.

Sobre esse gráfico, é correto afirmar que

a) corresponde ao retorno máximo esperado de um investimento.

b) corresponde ao retorno mínimo esperado de um investimento.

c) a taxa é uma taxa de juros pura porque inclui o fator de risco, o qual está

associado às operações de mercado.

d) admitindo-se a hipótese de mercado perfeito, qualquer valor pode ser obtido

ou aplicado a uma taxa maior que .

e) a taxa corresponde à situação de equilíbrio, segundo a qual o montante de

capital procurado é .

13) ANPAD 2005 – A empresa Vax fabrica um determinado produto. Se o lucro

da produção de unidades é dado por , quantas

unidades a fábrica deveria produzir e vender para obter lucro máximo?

a) 213.

b) 85.

c) 35.

d) 32.

e) 18.

14) ANPAD 2005 – Uma firma produz, mensalmente, uma quantidade do

produto Belex e pode vender toda a produção mensal a um preço de R$ 20,00 a

unidade. Se unidades de Belex são produzidas mensalmente, o custo total, em

reais é dado pela função

49




Para que a empresa tenha um lucro mensal de R$ 1000,00, a quantidade de

unidades do produto Belex que deve ser produzida e vendida mensalmente é,

aproximadamente,

a) 46.

b) 56.

c) 62.

d) 75.

e) 80.

15) ANPAD 2005 – Considerando-se que uma tonelada de areia custa 15 u.

m. e que uma tonelada de brita custa 150 u. m., qual dos gráficos abaixo melhor

representa as quantidades de areia e de brita que podem ser compradas com 900

u. m.?

50




16) ANPAD 2005 – Sendo a função real definida por , o valor de

é

a) 100.

b) 64.

c) 25.

d) 16.

e) 9.

17) ANPAD 2005 – O lucro de uma empresa é dado pela expressão

em que é a quantidade de produtos vendidos. Diante disso, pode-se afirmar que

a) O lucro é máximo para igual a 24.

b) o lucro é positivo para maior que 12.

c) o lucro é negativo para menor que 14.

d) o lucro é positivo para entre 4 e 20.

e) o lucro é positivo para qualquer valor de .

18) ANPAD 2005 – As funções de oferta e de demanda de um produto são dadas

pelas expressões

em que é a quantidade e é o preço do produto. Então, a quantidade que

equilibra a demanda e a oferta é igual a

a) 30.

b) 35.

c) 42.

d) 50.

e) 56.

19) ANPAD 2004 – Sejam a quantidade e o preço, em reais, de um produto.

Se a equação de demanda for e a equação de oferta for

, então o preço de equilíbrio é

a) R$ 5,00.

b) R$ 8, 00.

c) R$ 10,00.

51




d) R$ 13,33.

e) R$ 40,00.

20) ANPAD 2004 – Seja a função definida por . Então, é igual a

a) 1.

b) 2.

c) .

d) .

e) .

21) ANPAD 2003 – O custo total, em reais, de uma empresa é expresso pela

função , . O nível atual de produção é de duas

unidades, ou seja, . Se essa empresa aumentar a produção em uma unidade,

então o custo médio aproximado de cada unidade

a) aumentará em R$ 8,00.

b) aumentará em R$ 5,15.

c) aumentará em R$ 4,00.

d) diminuirá em R$ 2,23.

e) diminuirá em R4 3,17.

22) ANPAD 2003 – Uma loja compra camisetas a R$ 8,00 a unidade,

revendendo-as por R$ 20,00 e, a esse preço, vende 100 camisetas por mês. Para

estimular a venda, a loja planeja reduzir o preço de venda. Estima-se que, para

cada redução de R$ 1,00 no preço a loja venderá 25 camisetas a mais por mês. A

função que expressa o lucro em função do número de reduções no preço é

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

23) ANPAD 2003 – Uma empresa produz um determinado produto com um

custo fixo de R$ 2400,00 e com um custo variável médio de R$ 40,00 por

unidade. O produto é vendido por R$ 70,00 a unidade. A função que expressa o

lucro em função da quantidade produzida para é

a) .

b) .

c) .

52




d) .

e) .

24) ANPAD 2003 – Suponha que o custo total de produção de um determinado

produto é dado por , , em que representa a quantidade

produzida. Sabendo que o produto é vendido por R$ 32,00 a unidade, o menor

valor de tal que o lucro seja positivo é maior que

a) 2.

b) 6.

c) 8.

d) 12.

e) 16.

25) ANPAD 2003 – Numa fábrica de vassouras, o lucro diário é dado pela

fórmula , sendo o lucro e a quantidade de vassouras vendidas.

A menor quantidade de vassouras vendidas por dia que garante lucro para a

fábrica é

a) 113.

b) 120.

c) 131.

d) 149.

e) 151.

26) ANPAD 2008 – O preço de custo de um doce é R$ 0,40 por unidade. O

fabricante calcula que, se vender cada doce por reais, os consumidores

comprarão doces por dia. O preço unitário de venda que maximiza o

lucro e o lucro máximo são, respectivamente,

a) R$ 3,20 e R$ 7,84.

b) R$ 3,60 e R$ 10,24.

c) R$ 4,00 e R$ 12,96.

d) R$ 4,20 e R$ 14,44.

e) R$ 4,40 e R$ 16,00.

27) ANPAD 2008 – Uma fábrica de calçados quer fixar o preço de uma sandália

para o próximo verão. Por experiência, o gerente financeiro da empresa sabe que

o número de sandálias vendidas está relacionado com seu preço , dado em

reais pela função . Para obter a receita máxima, o gerente

financeiro deverá fixar o preço da sandália em

a) R$ 27,00.

b) R$ 28,00.

53




c) R$ 30,00.

d) R$ 32,00.

e) R$ 33,00.

28) ANPAD 2008 – Ana foi a um atacadista que, para calcular o preço unitário,

em reais, de um produto, usa a fórmula

, na qual é o número de

unidades adquiridas. O preço unitário na compra de 14 unidades desse produto e

o número máximo de unidades que poderá adquirir com R$ 780,00 são,

respectivamente,

a) R$ 16,00 e 59.

b) R$ 16,00 e 69.

c) R$ 16,00 e 70.

d) R$ 17,00 e 69.

e) R$ 17,00 e 70.

29) ANPAD 2008 – A função

, é equivalente a

a) , .

b) , .

c) , .

d)

e)

30) ANPAD 2008 – Considere os gráficos abaixo

54




Podemos afirmar que

a) os gráficos I e II são representações aproximadas de funções logarítmicas.

b) os gráficos I e III são representações aproximadas de funções trigonométricas.

c) os gráficos II e III são representações aproximadas de funções polinomiais.

d) os gráficos II e IV são representações aproximadas de funções lineares.

e) os gráficos III e IV são representações aproximadas de funções exponenciais.

31) ANPAD 2008 – O número de bactérias, em um meio de cultura, cresce

aproximadamente, segundo a função , sendo o número de

dias após o início do experimento. Considerando-se que , o tempo

em que o número de bactérias irá duplicar será, aproximadamente, de

a) 6h.

b) 10h.

c) 16h.

d) 27h.

e) 43h.

32) ANPAD 2007 – Um aglomerado possui 10.000 habitantes, dos quais

atualmente 50 estão com a doença X (não controlada). Admita que a função

forneça o número aproximado de pessoas atingidas pela epidemia

desta doença X, onde é o número de meses decorridos a partir do momento em

que pessoas são acometidas por tal doença. Supondo que não houve aumento

nem redução populacional e que nada foi feito para debelar o mal, é provável,

então, que toda a população esteja com a doença X a partir de

a) 4 meses.

b) 5 meses.

c) 6 meses.

d) 7 meses.

e) 8 meses.

33) ANPAD 2009 – O índice de crescimento r da população em certo período n

(em anos) pode ser estimado por

, em que e são,

respectivamente, a população final e inicial. Se o índice de crescimento em certo

período n for 1,56, considerando e

, o período n é,

aproximadamente, igual a

a) 2 anos.

b) 3 anos.

55




c) 4 anos.

d) 5 anos.

e) 6 anos.

34) ANPAD 2009 – A função que melhor representa o gráfico da função f a

seguir é

a)

b)

c)

d)

e)

35) ANPAD 2009 – Uma padaria produz diariamente x pães e consegue vender

90% deles a um preço de R$ 0,30 a unidade. O restante é cortado, torrado e

embalado em 25 saquinhos que são vendidos por R$ 2,00 cada. O custo para

produzir x pães é de R$ 0,05 a unidade mais um custo diário fixo de R$ 100,00.

A função que representa o lucro diário obtido é

a) 50 – 0,25x.

b) –50 + 0,22x.

c) –50 + 0,25x.

d) –100 + 0,25x.

e) –100 + 0,22x.

36) ANPAD 2009 – Em uma indústria, na venda de q unidades mensais do

produto A, o lucro é dado, em reais, por uma função do 2º grau representada por

L. Sabendo-se que L(20) = L(40) = 1500 e L(35) = 1875, então o lucro máximo é

obtido quando são vendidas

56




a) 38 unidades.

b) 35 unidades.

c) 30 unidades.

d) 28 unidades.

e) 25 unidades.

37) ANPAD 2009 – No gráfico abaixo, elaborado para uma loja de chocolate

quente, tem-se o valor dos lucros, em reais, para cada um dos doze meses do ano

2000.

A partir desse gráfico, conclui-se corretamente que

a) os lucros decresceram durante o primeiro semestre.

b) os lucros decresceram durante o segundo semestre.

c) o maior lucro foi obtido no mês de julho.

d) o lucro variou entre R$ 6.500,00 e R$ 24.000,00.

e) o lucro total durante o ano foi, aproximadamente, de R$ 300.000,00.

38) ANPAD 2009 – Se

, então é igual a

a) 0.

b) 2.

c) 8.

d)

.

e)

.

57




39) ANPAD 2009 – Joaquim produziu feijão na sua fazenda, no período de 1998

a 2001, e anotou a área plantada, a produção, a produtividade e o preço. Ele

obteve os seguintes gráficos:

Então, pode-se concluir que, na fazenda de Joaquim,

a) a área plantada sempre aumentou no período de 1998 a 2001.

b) a produção aumentou no período de 1999 a 2001, apesar da redução da área

plantada.

c) a produtividade aumentou no período de 1999 a 2001, devido ao aumento da

área plantada.

d) a receita aumentou no período de 2000 a 2001, apesar de o preço ter

diminuído.

e) o preço do feijão sempre aumentou nesse período.

40) ANPAD 2009 – Uma fábrica de pizzas tem um custo mensal de , em que x é o número de pizzas vendidas por mês. O lucro que o

fabricante obteve neste mês, vendendo cada produto por R$ 7,00, foi de R$

46.000,00. Para o mês seguinte, ele quer dobrar o seu lucro sem aumentar o

preço. Para isso, ele deverá

a) dobrar a sua venda.

b) vender 24.000 unidades no total.

c) vender 75% a mais que este mês.

d) vender 12.500 unidades a mais que este mês.

58




e) vender 11.500 unidades a mais que este mês.

41) ANPAD 2010 – Um objeto desloca-se no plano cartesiano em função do

tempo t, e suas coordenadas variam de acordo com as equações e

, em que t ≥ 0, t é medido em segundos e x e y são dados em

metros. A distância percorrida por esse objeto quando t varia de 0 a 6s equivale a

a) aproximadamente 6m.

b) aproximadamente 8m.

c) 9m.

d) 10m.

e) 12m.

42) ANPAD 2010 – Com respeito a uma função , afirma-se:

I. O seu domínio é o conjunto dos números reais.

II. A sua imagem é o conjunto dos números reais.

III. Se a é zero de f, então .

IV. f será estritamente crescente se para todo .

V. Se e , então .

Das assertivas acima,

a) apenas III e V são falsas.

b) apenas I e III estão corretas.

c) apenas I, III e IV estão corretas.

d) apenas I, III e V estão corretas.

e) apenas I, II, III e IV estão corretas.

43) ANPAD 2010 – Certa companhia que oferece serviços de TV por assinatura

estima que, com q milhares de assinaturas, a receita e o custo (em milhares de

reais) são dados, respectivamente, por e

. Sabendo-se que o lucro consiste na diferença entre a receita e o custo, então o

lucro máximo e o número de assinaturas que gera esse lucro são,

respectivamente,

a) R$ 146.000,25 e 27.500.

b) R$ 150.000,00 e 35.000.

59




c) R$ 151.000,25 e 32.000.

d) R$ 151.250,00 e 32.500.

e) R$ 151.250,00 e 60.000.

44) ANPAD 2010 – Uma pessoa deposita uma quantia C em dinheiro na

caderneta de poupança. Sabendo-se que o montante na conta, após t meses, é

dado por , o tempo mínimo para triplicar a quantia depositada

corresponde, aproximadamente, a

a) 6 anos e 8 meses.

b) 7 anos e 6 meses.

c) 8 anos e 4 meses

d) 9 anos e 3 meses.

e) 10 anos e 2 meses.

45) ANPAD 2010 – O preço médio (por unidade) de certo produto varia com o

tempo de acordo com a função

, em que t é um

número natural que representa os meses de um dado ano e corresponde ao

preço médio, em reais, de venda no mês t. Considerando que t = 1 é o mês de

janeiro, é CORRETO afirmar, com base no exposto, que o preço médio de

venda por unidade, no mês de abril, será igual a

a) R$ 83,00.

b) R$ 81,50.

c) R$ 80,00.

d) R$ 78,50.

e) R$ 77,00.

46) ANPAD 2010 – A figura abaixo é um esboço do gráfico de uma função

exponencial da forma

, em que a e b são constantes e x R. O

valor de é igual a

60




a) 3.

b) 4.

c) 5.

d) 6.

e) 7.

47) ANPAD 2010 – Devido ao desgaste, o valor y de um determinado bem é

depreciado linearmente com o tempo. A partir da função de depreciação, estima-

se que certa máquina, hoje avaliada em R$ 1.000,00, valerá, daqui a cinco anos,

R$ 250,00. A expressão dessa função que relacional o valor y da máquina com o

tempo de uso t é

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

48) ANPAD 2010 – O lucro L (em centenas de reais) relativo a certo produto em

função da quantidade q vendida está representado na figura ao lado, cujo gráfico

é uma parábola

I. A função que descreve a relação entre o lucro L e a quantidade vendida q é

.

II. O lucro máximo é obtido quando são vendidas entre 8 e 10 unidades do

produto.

III. O lucro máximo é igual a R$ 4.900,00.

61




IV. Não haverá lucro positivo se forem vendidas apenas duas unidades do

produto.

Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, estão CORRETAS

a) apenas as proposições II e III.

b) apenas as proposições I, II e III.

c) apenas as proposições I, II e IV.

d) apenas as proposições II, III e IV.

e) as proposições I, II III e IV.

49) ANPAD 2011 – A função f é par se , para todo x no domínio

de f. Então, o gráfico de uma função par

a) não apresenta simetria.

b) é simétrico com relação à origem.

c) é simétrico com relação à reta y = x.

d) é simétrico com relação ao eixo das abscissas.

e) é simétrico com relação ao eixo das ordenadas.

50) ANPAD 2011 – Em uma experiência no laboratório, observou-se que o

tempo que certo rato leva para percorrer determinado labirinto na enésima

tentativa é dado pela função minutos, em que n varia até 10.

Com relação a essa experiência, pode-se afirmar que esse rato

62




a) percorre esse labirinto em três minutos na décima tentativa.

b) consegue percorrer esse labirinto em menos de dois minutos.

c) leva três minutos e vinte segundos para percorre esse labirinto na quinta

tentativa.

d) percorre esse labirinto em uma das tentativas, em dois minutos e quarenta

segundos.

e) leva três minutos e cinquenta segundos para percorrer esse labirinto na quarta

tentativa.

51) ANPAD 2011 – O gráfico da função 3 1, 0

3, 0

x xf x

x x

intercepta o eixo

das abscissas nos pontos P(p,0)

Q(n,0), sendo que p é um número positivo e n é um número negativo. Logo

2p n é igual a

a) 10.

b) 4.

c) 2.

d) – 8.

e) – 10

52) ANPAD 2011 – Identifique o intervalo cujos valores de k tornam a função

exponencial , 5 1x

f x k decrescente.

a) 1/5 < k < 2/5.

b) 0 < k < 1/5.

c) k < 2/5.

d) k > 1/5.

e) k < 1.

53) ANPAD 2012 – O lucro (em reais) semanal de uma empresa é dado por

, em que p é o preço (em reais) por unidade do

produto vendido. Para que o lucro seja superior a R$ 12.000,00 por semana, o

valor do preço p deve

a) estar entre R$ 3,00 e R$ 7,00.

b) estar entre R$ 7,00 e R$ 10,00.

c) estar entre R$ 1,00 e R$ 3,00.

63




d) ser menor que R$ 1,00.

e) ser maior que R$ 10,00.

54) ANPAD 2012 – As funções de oferta e de demanda de um produto são x – 3p

+ 6 = 0 e p2 + p + x – 39 = 0, respectivamente, em que p centenas de reais

correspondem ao preço por unidade do produto e x milhares de unidades se

referem à quantidade do produto. Na situação de equilíbrio de mercado, a

quantidade e o preço do produto oferecido e demandado serão, respectivamente,

a) 5.400 unidades e R$ 500,00.

b) 7.500 unidades e R$ 450,00.

c) 7.500 unidades e R$ 500,00.

d) 9.000 unidades e R$ 450,00.

e) 9.000 unidades e R$ 500,00.

55) ANPAD 2012 – Seja C o custo total definido por ,

em que x é a quantidade produzida.

Então, o custo mínimo é

a) 15/4.

b) 11/3.

c) 17/5.

d) 4.

e) 5.

56) ANPAD 2012 – O número de bactérias em uma cultura é dado pela fórmula

, sendo t medido em dias. Após 16 dias, a população dessa

cultura teve um crescimento de

a) 3.750 bactérias.

b) 4.000 bactérias.

c) 6.500 bactérias

d) 20.000 bactérias.

e) 20.250 bactérias.

57) ANPAD 2012 – A escala decibel para medir a intensidade sonora é definida

como

, sendo D o nível do som em decibéis (dB), I a intensidade

do som (medida em watts por metro quadrado – w/m2) e I0 a intensidade do

64




menor som audível (x/m2). Se a intensidade de um som (em w/m

2) é 1.000 vezes

a intensidade de outro som, a diferença em decibéis (dB) entre os dois sons é de

a) 10.

b) 20.

c) 30.

d) 40.

e) 50.

58) ANPAD 2013 – Um fazendeiro pretende construir dois cercados de formato

quadrado, sendo que, para isso, ele dispõe de 50m de cerca. Qual dos gráficos a

seguir melhor representa a soma das áreas dos dois cercados em função do lado

de um dos quadrados?

59) ANPAD 2013 – Seja , tal que e .

65




Então,o valor de é

a) 1/2.

b) 1/3.

c) 1/3.

d) 0.

e) 1/2.

60) ANPAD 2014 – Sejam x o valor, em reais, que uma empresa gasta

anualmente em mão de obra e y o valor que investe anualmente em tecnologia. A

produção anual dessa empresa é dada por , em que e são

constantes reais positivas satisfazendo . Sabendo que a empresa

dobrou a produção ao reduzir os gastos com mão de obra pela metade e

quadruplicou o investimento em tecnologia, determine o valor da constante .

a) 1/4.

b) 1/3.

c) 1/2.

d) 2/3.

e) 3/4.

61) ANPAD 2014 – Considere a função f definida por:

Sabendo que o domínio dessa função são os números reais, determine qual é o

conjunto imagem de f.

a) ( , 4].

b) ,

.

c)

, ).

d) [4, ).

e) .

62) ANPAD 2014 – Seja uma função com as seguintes

propriedades:

I. .

II. .

66




III.

.

Sendo , o valor de M é

a) 246.

b) 513.

c) 1001.

d) 2047.

e) 4096.

63) ANPAD 2014 – Seja uma constante real. Para que a parábola de equação

intersecte a reta de em apenas um ponto, é

necessário que

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

64) ANPAD 2015 – Representado num sistema cartesiano, o gráfico de uma

função polinomial de segundo grau corresponde a uma parábola que

passa pelo ponto e que intersecta o eixo das ordenadas em .

Se a abscissa do vértice dessa parábola é 4, então o produto das raízes é igual a:

a) 8.

b) 4.

c) .

d) .

e) .

65) FUNDATEC 2011 – Sabe-se que o valor máximo atingido por uma função

do segundo grau, cuja concavidade está voltada para baixo, é a ordenada do seu

vértice. Então, dada a função , que representa, em

milhares de reais, o lucro de produção de unidades ( em centenas) de certo

produto, qual será o lucro máximo (em milhares de reais) de produção desse

produto?

a) 1.800.

b) 2.000.

67




c) 2.500.

d) 3.200.

e) 4.000.

[Fonte: banco de questões do autor]

66) ANPAD 2014 – Um objeto é lançado obliquamente de uma altura de 8 m do

solo horizontal. A figura a seguir ilustra a trajetória parabólica desse objeto

associada a um par de eixos cartesianos.

Esse objeto atinge a altura máxima de sua trajetória quando sua projeção

ortogonal sobre o solo está a 3 m do eixo das ordenadas (eixo dos y) e cai sobre

esse mesmo solo a 8 m desse eixo.

Seja a função polinomial do 2º grau que associa a altura, em

metros, do objeto (dada por y) com a distância, em metros, de sua projeção

ortogonal ao eixo das ordenadas (dada por x). Então, a soma é igual a

a) 3,5.

b) 4.

c) 4,5.

d) 10.

68




e) 10,5.

67) FUNDATEC 2011 – Dada a função , calcule

a) 4.

b) 5.

c) 3a.

d) 4a.

e) 7a. [Fonte: banco de questões do autor]

68) FUNDATEC 2011 – A função que melhor representa o gráfico da figura a

seguir

é

a) .

b) .

c) .

d) .

e) . [Fonte: banco de questões do autor]

69) FUNDATEC 2011 – Na fábrica Ômega, a função lucro para a produção de

unidades de determinado produto é dada por .

Quantas unidades a fábrica deverá produzir para obter o lucro máximo?

a) 133.

b) 85.

c) 55.

d) 32.

e) 16. [Fonte: banco de questões do autor]

69




70) FUNDATEC 2011 – Certa companhia de TV por assinatura estima que, com

milhares de assinaturas, a receita e o custo (em milhares de reais) são dados,

respectivamente, por e . Nessas

condições, o lucro máximo e o número de assinaturas que gera esse lucro são,

respectivamente,

a) R$ 145.200,25 e 27.000.

b) R$ 150.700,00 e 34.600.

c) R$ 151.000,25 e 33.000.

d) R$ 151.250,00 e 32.500.

e) R$ 151.750,00 e 65.000. [Fonte: banco de questões do autor]

71) PMPA 2000 – ____________ de uma função é o ________ representado pela

projeção de seu gráfico sobre o eixo das ____________.

As lacunas da frase acima são completadas corretamente por:

a) A imagem - intervalo - abscissas.

b) A imagem - ponto - abscissas.

c) O domínio - ponto - ordenadas.

d) O domínio - intervalo - ordenadas.

e) O domínio - intervalo - abscissas.

Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o

download estão no seguinte link: http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-

concursos-500-questoes.html

72) PMPA 2000 – Considere a função Y X 8 3.

A sua função inversa é:

a) YX

3

2

b) YX

3

8

c) Y X 2 3.

d) Y X1

8

3.

e) Y X 3 8.

http://profmilton.blogspot.com.br/2008/10/matematica-para-concursos-500-questoes.html


70







73) FAURGS 2001 – Sendo a função definida por kxk

xxf 2

2

, com

um número real positivo, o único dos gráficos abaixo que pode representar é o

da alternativa

a) d)

b) e)

c)








71




74) FAURGS 2001 – Na figura abaixo, o ponto C é o ponto médio do segmento

OB e a curva representa o gráfico de .

A soma das coordenadas do ponto A é

a) log 5.

b) 2.log 5.

c) 5 + log 5.

d) 20.

e) 25.




75) FAURGS 2001 – O Imposto de Renda (I.R.) a ser pago, em função do

rendimento-base, durante o ano 2000, está representado pelo gráfico abaixo.

Considere, com base no gráfico, as proposições abaixo.



72




I. A pessoa com rendimento-base menor que R$ 10800,00 está isenta do

pagamento do I. R.

II.Sendo o rendimento-base e o imposto e se , então

, considerando e em reais.

III. O imposto a pagar é sempre o produto do rendimento-base por uma

constante.

Quais são verdadeiras, levando-se em conta somente as informações do gráfico e

as afirmativas subsequentes?

a) Apenas I.

b) Apenas II.

c) Apenas III.

d) Apenas I e II.

e) Apenas I e III. Esta questão está resolvida no livro "500 questões resolvidas". As instruções para fazer o



76) FAURGS 2001 – A tabela a seguir apresenta os valores de y em função dos

valores de x apresentados.

0 100

10 50

20 25

Se e são constantes reais tais que

, então é

a) 60.

b) 75.

c) 80.

d) 85.

e) 90.




77) FAURGS 2001 – Sendo um número real e a função definida por

, o único dos gráficos a seguir que pode representar é o

da alternativa





73




a) b)

c) d)

e)






74




78) PMPA 2001 – A função real da variável real está representada pelo gráfico

a seguir.

Pode-se afirmar que

a) é decrescente no intervalo (0; 1).

b) .

c) , para .

d) .

e) é crescente, quando .




79) ANPAD 2010 – Certa companhia que oferece serviços de Internet estima

que, com q milhares de assinaturas, o faturamento e o custo (em milhares de

reais) são dados, respectivamente, por: e

. Um valor de q (em milhares) que torna o faturamento igual ao dobro do

custo é

a) 25.

b) 36.

c) 57.

d) 68.

e) 87.

3) Com respeito a uma função , afirma-se:

I. O seu domínio é o conjunto dos números reais.

II. A sua imagem é o conjunto dos números reais.



75




III. Se a é zero de f, então .

IV. f será estritamente crescente se para todo .

V. Se e , então .

Das assertivas acima,

a) apenas III e V são falsas.

b) apenas I e III estão corretas.

c) apenas I, III e IV estão corretas.

d) apenas I, III e V estão corretas.

e) apenas I, II, III e IV estão corretas.

76




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Gabarito

1-C 2-E 3-B 4-A 5-C 6-D 7-B 8-B 9-E 10-E

11-D 12-A 13-E 14-C 15-A 16-D 17-D 18-A 19-B 20-D

21-E 22-A 23-E 24-B 25-C 26-D 27-A 28-B 29-E 30-E

31-A 32-A 33-B 34-A 35-B 36-C 37-B 38-B 39-B 40-E

41-D 42-C 43-D 44-C 45-D 46-B 47-B 48-D 49-E 50-D

51-D 52-A 53-A 54-E 55-B 56-D 57-C 58-A 59-A 60-B

61-C 62-D 63-E 64-E 65-C 66-E 67-A 68-B 69-D 70-D

71-E 72-A 73-C 74-E 75-D 76-E 77-E 78-A 79-E 80-C

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2. Raciocínio Lógico Informal


478483703306/ 3. Caderno RQ1 - Teoria dos Conjuntos


452690272552/

4. Caderno RQ2 – Proporcionalidade


512393299915/

5. Caderno RQ3 - Matemática Financeira


923325725487/

6. Caderno de Testes ANPAD - Vol. I


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78




7. Caderno de Testes ANPAD - Vol. II

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8. 500 questões resolvidas


787848505703/ 9. Caderno RQ4 - Análise Combinatória


897222294764/

10. Caderno RQ5 – Probabilidade

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11. Caderno RQ6 - Estatística


12. Caderno RQ7 – Funções











79




13. Caderno RQ8 - Sequências e Progressões


14. Caderno RQ9 - Matrizes e Determinantes


15. Caderno RQ10 - Geometria Plana,

Geometria Espacial, Geometria Analítica


16. Caderno RQ11 – Matemática

Básica


17. Caderno RQ12 – Problemas do Primeiro

Grau – 1 ou 2 incógnitas







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13. Caderno RQ8 - Sequências e Progressões

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15. Caderno RQ10 - Geometrias Plana, Espacial e Analítica

16. Caderno RQ11 - Matemática Básica + Dicas, Macetes, Atalhos e Truques

17. Caderno RQ12 – Problemas do 1º Grau – com 1 ou 2 incógnitas

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- O que é Teste ANPAD?

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83




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Aprenda Raciocínio Lógico Formal com Flash Cards

Alguns tópicos abordados neste livro:

- O que é um flash card?

- Como confeccionar um flash card?

- Como memorizar o conteúdo de um flash card?

- Uso de flash cards nas operações lógicas

- Aplicações dos flash cards nas operações

lógicas

- - Aplicações dos flash cards no argumento

lógico dedutivo

- Uso dos flash cards nas equivalências lógicas

notáveis

- Uso de flash cards em Tautologias,

Contradições e Contingências

- Uso dos flash cards nas negações:

Leis de De Morgan

Negação da Condição

Negação da bicondição

Negação das proposições categóricas:

todo, nenhum, algum, algum não é

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84




12 Currículo Informal

Sempre tive facilidade em aprender Matemática. Fui fortemente influenciado por

minha mãe, que fazia cálculos de cabeça e com uma velocidade impressionante.

Em 1972, aos 12 anos, fui convidado por uma professora a auxiliar os colegas em

dificuldades com a matéria. Éramos um grupo de 4 e todos passaram por média.

Ali nasceu o gosto por ensinar...

Aos 14 anos, comecei a reunir grupos em casa para estudar Matemática. Minha

mãe dizia que eu estava dando aulas particulares. Eu dizia que os colegas iam lá

para saborear os quitutes que ela fazia. Como descendente de italianos e

espanhóis, minha mãe era especialista em massas, pães, bolos e outros quitutes

deliciosos e irresistíveis.

Quando terminei o (antigo) segundo grau, virei professor particular de

Matemática, Estatística e Matemática Financeira.

Entrei na faculdade de Engenharia Elétrica da UFJF em 1979. Ainda em Juiz de

Fora-MG, ministrei aulas de Matemática no curso VIP (pré-vestibular) de um

professor amigo, durante o ano de 1980.

Em 1981 fui morar em Brasília-DF, e comecei a estudar Raciocínio Lógico

Formal por conta própria, mas tive muita dificuldade em entender as sutilezas

conceituais do assunto. Em 1983 comecei a faculdade de Matemática na Católica

de Brasília-DF. Foi aí que as portas da Lógica Formal se abriram para mim, pois

conheci o Padre Chico.

Antes de prosseguir, preciso contar brevemente a história e a influência que o

Padre Chico teve sobre o meu aprendizado de Lógica Formal.

O Padre Chico

Padre Chico era alemão. “Chico” era só um apelido que ele recebeu por ter um

nome impronunciável em português.

85




Na faculdade, ele lecionava Cultura Religiosa I, mas logo no primeiro dia de

aula, descobri que ele, além de Teólogo, também era Filósofo e mais meia dúzia

de outras formações. Falava 8 idiomas fluentemente. Um gênio!

Na Segunda Guerra, Padre Chico estudava Teologia em um seminário em Berlim

(Alemanha).

Certo dia, ele vinha pela rua com um colega de seminário, quando seu colega foi

jogar um papel dentro da lata de lixo, e, ao levantar a tampa, uma granada

explodiu, matando o seu colega instantaneamente e ferindo o Padre Chico

gravemente. Por consequência, ele mancava de uma perna.

Primeira Lição

Terminada a primeira aula de Cultura Religiosa I, fui conversar com o Padre

Chico a respeito da Lógica Formal.

– “Então o senhor se interessa por Lógica Formal?” perguntou Padre Chico, com

sua peculiar cordialidade.

– “Sim!”, respondi, “mas estou tendo dificuldades para captar as sutilezas

conceituais. Os conceitos parecem extremamente simples, mas, no momento de

aplicá-los, tudo fica muito confuso!”, completei.

– “Pois bem!”, retrucou Padre Chico, “o problema reside no fato de estares

raciocinando como matemático e Lógica Formal não é matemática! É puramente

filosófica... Filosofia é a ciência de todas as ciências. Cuidado com a arrogância

na qual incorrem muitos matemáticos, ao tentarem igualar a Matemática com a

Filosofia. Pior ainda é quando se tenta colocar a Matemática acima da Filosofia.

Acima da Filosofia, só há Deus...”, completou.

“Como bom padre que é, ele está puxando a brasa para o seu churrasco.”,

pensei.

– “Matematizar a Lógica Formal é arrogância!”, continuou Padre Chico,

“Aristóteles, o ‘Pai da Lógica Formal’, era um filósofo grego, discípulo de

Platão, que viveu entre 384 e 322 a.C. Em nenhum momento, ele pensou

86




matematicamente para propor os conceitos e regras da Lógica Formal. Essa

confusão faz com que muitos continuem sem entender Lógica Formal, ou

interpretando erroneamente seus conceitos.”

...

Preciso interromper aqui, senão transformarei essa breve história em livro... Um

dia, pretendo contar essa e outras histórias em um livro.

Em 1984, mudei-me de Brasília-DF para Porto Alegre-RS. Abandonei a

faculdade de Matemática e me concentrei em concluir a Engenharia

Elétrica/Eletrônica na UFRGS. Por motivos de saúde, este curso foi

interrompido, e só foi concluído em 1998.

Entre 2003 e 2005 cursei Mestrado na UFRGS.

De 1985 até 2001, ministrei aulas de Matemática, Raciocínio Lógico,

Matemática Financeira e Estatística em diversos cursos preparatórios para

concursos públicos.

Em 2000 iniciei as atividades do Instituto Integral, com o propósito de preparar

candidatos ao Teste ANPAD (prova de proficiência para quem vai cursar

Mestrado ou Doutorado em Administração de Empresas).

De 2007 a 2012 fui professor universitário na UFRGS, na Decision-FGV, na

Esade e na Unifin.

Fui examinador de concursos públicos de 2007 a 2014 nas Organizadoras

FAURGS, FDRH e FUNDATEC, tendo elaborado mais de 1.000 questões de

Matemática, Raciocínio Lógico, Matemática Financeira e Estatística para

diversos concursos no RS, tais como: Banrisul 2010, SEFAZ-RS (Auditor e

Técnico) 2014, SUSEPE 2014, IGP 2011, SEPLAG 2011, etc.

Também sou ex-funcionário concursado da Petrobrás, do Banrisul e da Caixa

Federal.

Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/4955422465156693

http://lattes.cnpq.br/4955422465156693

87




Instituto Integral Editora - 4 anos

Blog da Editora: http://institutointegraleditora.com.br/blog/

Instituto Integral EaD - 4 anos

Plataforma EaD: http://www.institutointegralead.com.br/

Instituto Integral - 16 anos

Site do curso presencial: http://www.institutointegral.com.br

Agradecemos a preferência pelo nosso material didático!

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