CALCULANDO LIMITES ALGEBRICAMENTE
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CALCULANDO LIMITES
Nesta aula discutiremos técnicas algébricas para calcular limites de muitas funções. Esses resultados serão baseados no desenvolvimento informal do conceito de limites discutido na seção precedente. Alguns limites básicos. Nossa estratégia para encontrar algebricamente os limites tem duas partes: Primeiro, estabelecemos os limites de algumas funções simples. Então, desenvolvemos um repertório de teoremas que nos capacitarão a usar esses limites como “blocos de construção” para encontrar limites de funções mais complicadas. Propriedades dos Limites 1ª) O limite da soma é a soma dos limites. [ ] 1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x af x g x f x g x L L
→ → →+ = + = +
O limite da diferença é a diferença dos limites. [ ] 1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x af x g x f x g x L L
→ → →− = − = −
Exemplo: a) [ ]
1 1 1lim ² 3 lim ² lim3 1 3 4x x x
x x x x→ → →
+ = + = + =
b) [ ]1 1 1
lim ² 3 lim ² lim3 1 3 2x x x
x x x x→ → →
− = − = − = −
2ª) O limite do produto é o produto dos limites. [ ] 1 2lim ( ) . ( ) lim ( ) . lim ( ) .
x a x a x af x g x f x g x L L
→ → →= =
Exemplo: a) [ ]lim 3 ³ . cos lim 3 ³ . lim cos 3 ³ . cos 3 ³ . ( 1 ) 3 ³
x x xx x x x
π π ππ π π π
→ → →= = = − = −
3ª) O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.
1
2
lim ( )( )lim
( ) lim ( )x a
x ax a
f x Lf x
g x g x L→
→→
= =
Exemplo:
a) 0
00
limcoscos cos 0 1lim 1
² 1 lim ² 1 0² 1 1x
xx
xx
x x→
→→
= = = =+ + +
4ª) O limite de uma função exponencial.
( )lim ( ) lim ( ) , *n
n
x a x af x f x n
→ →= ∈ℕ
Exemplo:
a) ( ) ( )2 22
1 1lim ( ² 3) lim ( ² 1) 1 3 16x x
x x→ →
+ = + = + =
2
5ª) O limite da raiz enésima é a raiz enésima do limite. lim ( ) lim ( ) , * ( ) 0. ( ( ) 0, )n n
x a x af x f x n e f x Se f x n é ímpar
→ →= ∈ > ≤ℕ
Exemplo: a)
2 2lim ³ ² 1 lim ³ ² 1 2³ 2² 1 11x x
x x x x→ →
+ − = + − = + − =
6ª) O limite da função seno.
( ) ( )lim ( ) lim ( )x a x a
sen f x sen f x→ →
=
Exemplo:
( ) ( )1 1
lim ² 3 lim ² 3 4x x
sen x x sen x x→ →
+ = + =
Algumas fórmulas de fatoração: ( ))(()22 bababa −+=−
222 )(2 bababa −=+−
222 )(2 bababa +=++
))((2 21
22 xxxxababax −−=++ ; 1x e 2x são raízes da equação ax² + bx + c = 0 ( 3 3 2 2) ( )( )a b a b a ab b+ = + − +
3 3 2 2( ) ( )( )a b a b a ab b− = − + +
3
EXERCÍCIOS 1) Calcule os limites:
1) )²(lim21
xxx
+→
2)
+→ x
xxx
²lim
0 3)
+−
−→ 5
25²lim
5 x
xx
4)
−→ x
xxx 2
4²lim
0 5)
−−
→ 7
49²lim
7 x
xx
6)
−+−
→ 2
107²lim
2 x
xxx
7)
−+−
→ 1
12²lim
1 x
xxx
8)
++−
→ ²2²
²²lim
0 aaxx
axx
9)
++
−→ 5
5²lim
5 x
xxx
10)
−−+
→ 2
145²lim
2 x
xxx
11)
2
7
49lim
7x
x
x→
− =+
12) 25
5lim
25x
x
x→
− =−
13)
2
5
10 25lim
5x
x x
x→
− + =−
14)
2
0
8limx
x x
x→
+ = 15)
2
20lim
3x
x x
x x→
+ =−
16)
3
5
125lim
5x
x
x→
− =−
17)
3
3
27lim
3x
x
x→
− =−
18) 21
1lim
3 2x
x
x x→
− =− +
19)
2
3
4 3lim
3x
x x
x→
− + =−
20)
2
2
4lim
2x
x
x→
− =−
21)
2
3
9lim
3x
x
x→
− =−