)ESENVOLVIMENTO i TECNOLOGIA

CÁLCULO DE HIPERESTÁTICOS EM VIGA CONT~NUA

Por Cap QEM Luiz Dutra de Souza

Um problema presente no dia-a-dia do engenheiro civil empenhado em cálculo estrutural é a solução de vigas contínuas sujeitas a um carregamento externo.

Os métodos tradicionais aplicados na solução do problema (método das forças e método das deformações) recaem na in- versão da matriz de flexibilidade ou de ri- gidez da estrutura que, normalmente, exige um considerável trabalho de cálculo ou de computação.

A aplicação de processos numéricos, como por exemplo o de Cross, tem o mes- mo inconveniente, pois normalmente são

I 2 n - i n , <

A0 A I A2 '. A n - 2 An-1 An

Supondo conhecidos os momentos nos nós, teremos as estruturas isostáticas correspondentes, representadas na figura 2.

FIG. 2

iterativos. Neste trabalho é apresentado um pro- ... .. .

cedimento de cálculo. que, tirando provei- t o do fato da matriz gerada pelos processos citados ser uma "matriz de banda", evita o trabalho de inversão através de um artificio algébrico simples. Para um dado vão, digamos i, define-se

Para evidenciar essa vantagem ssoapre- as seguintes grandezas: sentadas uma rotina para aplicação detal ar- tiffcio e uma listagem do programa para a

a) Fator de forma de l a espécie (a) I 2. FORMULAÇAO DO PROBLEMA Como sendo a rotação produzida por

uma carga momento unitário, aplicada em Seja uma viga contínua, como a da fi- uma extremidade da viga, no sentido dessa

gura 1, sujeita a um carregamento externo. carga.

'.iilitar d e CiBncia e Tecnoloqia, Rio de Janeiro. 2 111: 83-88, janlrnar 1985 83

)ESENVOLVIMENTO : TECNOLOGIA

CÁLCULO DE HIPERESTÁTICOS EM VIGA CONTíNUA

1. INTRODUçAO

Um problema presente no dia-a-dia do engenheiro civil empenhado em cálculo estrutural é a solução de vigas contínuas sujeitas a um carregamento externo.

Os métodos tradicionais aplicados na solução do problema (método das forças e método das deformações) recaem na in­versão da matriz de flexibilidade ou de ri­gidez da estrutura que, normalmente, exige um considerável trabalho de cálculo ou de computação.

A apl icação de processos numéricos, como por exemplo o de Cross, tem o mes­mo inconveniente, pois normalmente são iterativos .

Neste trabalho é apresentado um pro­cedimento de cálculo, que, tirando provei­to do fato da matriz gerada pelos processos citados ser uma "matriz de banda", evita o trabalho de inversão através de um artifício algébrico simples.

Para evidenciar essa vantagem são apre­sentadas uma rotina para aplicação de tal ar­tif(cio e uma I istagem do programa para a HP41.

2. FORMULAÇAO DO PROBLEMA

Seja uma viga cont(nua, como a da fi­gura 1, sujeita a um carregamento externo.

Por Cap QEM Luiz Dutra de Souza

FIG.1

2 n- I n ~A----~A -, --~-A~S~I~A~~--~A~-A~ U o L.l Lll Un-2 0n-l Lln

I L j' Llo J , 1 L"J,

Supondo conhecidos os momentos nos nós, teremos as estruturas isostáticas correspondentes, representadas na figura 2.

FIG . 2

X. XI x, XII. I x"., ~rt) -----+--(" , ~.rl-) ---f-,(,,; n -:Li 1. (" ., A)

x.

Co.

Para um dado vão, digamos i, define-se as seguintes grandezas:

a) Fator de forma de I'! espécie (o,)

Como sendo a rotação produzida por uma carga momento unitário, aplicada em uma extremidade da viga, no sentido dessa carga.

".hl itar de Cienci<J e Teclloloqia, Rio de Janeiro, 2 (1): 83-88, jan/mar 1985 83

)ESENVOLVIMENTO : TECNOLOGIA

CÁLCULO DE HIPERESTÁTICOS EM VIGA CONTíNUA

1. INTRODUçAO

Um problema presente no dia-a-dia do engenheiro civil empenhado em cálculo estrutural é a solução de vigas contínuas sujeitas a um carregamento externo.

Os métodos tradicionais aplicados na solução do problema (método das forças e método das deformações) recaem na in­versão da matriz de flexibilidade ou de ri­gidez da estrutura que, normalmente, exige um considerável trabalho de cálculo ou de computação.

A apl icação de processos numéricos, como por exemplo o de Cross, tem o mes­mo inconveniente, pois normalmente são iterativos .

Neste trabalho é apresentado um pro­cedimento de cálculo, que, tirando provei­to do fato da matriz gerada pelos processos citados ser uma "matriz de banda", evita o trabalho de inversão através de um artifício algébrico simples.

Para evidenciar essa vantagem são apre­sentadas uma rotina para aplicação de tal ar­tif(cio e uma I istagem do programa para a HP41.

2. FORMULAÇAO DO PROBLEMA

Seja uma viga cont(nua, como a da fi­gura 1, sujeita a um carregamento externo.

Por Cap QEM Luiz Dutra de Souza

FIG.1

2 n- I n ~A----~A -, --~-A~S~I~A~~--~A~-A~ U o L.l Lll Un-2 0n-l Lln

I L j' Llo J , 1 L"J,

Supondo conhecidos os momentos nos nós, teremos as estruturas isostáticas correspondentes, representadas na figura 2.

FIG . 2

X. XI x, XII. I x"., ~rt) -----+--(" , ~.rl-) ---f-,(,,; n -:Li 1. (" ., A)

x.

Co.

Para um dado vão, digamos i, define-se as seguintes grandezas:

a) Fator de forma de I'! espécie (o,)

Como sendo a rotação produzida por uma carga momento unitário, aplicada em uma extremidade da viga, no sentido dessa carga.

".hl itar de Cienci<J e Teclloloqia, Rio de Janeiro, 2 (1): 83-88, jan/mar 1985 83

DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA

FIG. 3

Para Ji constante, então: ai,, i = - Li - "i = -

3EJi

b) Fator de forma de 2a espécie (0)

Como sendo a rotação produzida em umaextremidadedaviga, em face da aplica- ção de uma carga momento unitário, na ou- tra extremidade da viga:

FIG. 4

Para Ji constante, então: = = p. = "i

I - *

C) Fatores de carga

Como sendo as rotações produzidas nas extremidades da barra, em face do carre- gamento externo:

FIG. 5

I Para os casos comuns, teremos:

84

FIG. 6

Para o cálculo dos fatores de carga, no caso de várias cargas aplicadas, evidente- mente vale o princípio da superposição de efeitos.

Assim, aplicando o método hiperestá- tico, podemos escrever:

FIG. 7

Portanto:

p i . Xi_, +(ai + x i+P i+1 . Xi+, que é conhecida como "Equação dos três momentos", que relaciona os momentos ocorrentes em três nós consecutivos de uma viga.

Aplicando essa equacão em todos os nós internos da viga teremos um sistema de equações lineares, com (n + 1) incógnitase (n-1 ) equações da forma:

A indeterminação é desfeita mediante as condições de contorno, que para o caso

DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA

84

FIG.3

15. - ­I

M ' I Ji, Li ~

Para Ji constante, então: 0<,,; 0<,,; 0<; = -..1L .

3EJi

b) Fator de forma de 2'! espécie (/3)

Como sendo a rotação produzida em uma extremidade da viga, em face da aplica­ção de uma carga momento unitário, na ou ­tra extremidade da viga:

FIG . 4

o J' L' M .. 1 t'1 .1 " I Sp

- ---16~ 2

Para Ji constante, então: ", . = /32 : P ,I ,I

/3i 0<;

2

c) Fatores de carga

Como sendo as rotações produzidas nas extremidades da barra, em face do carre­gamento externo:

FIG.5

P, p.

I I Q

! ! J I I I I I I

'~ ~' $I,, ! ---- - - ------ -- - ~1. 1

Para os casos comuns, teremos:

FIG.6

~p 6 1-~,; ,7j; -----?62

>'1 .1 ~ --éx,,''cP -- (Li·XI (2U·X)

6LiEJi

P' ,I ~ -c'x""-cP -- !Li ·Xl ILi ~ Xl

6LiEJ,

Para o cálcu lo dos fatores de carga, no caso de várias cargas apl icadas, evidente­mente vale o principio da superposição de efeitos.

Assim, aplicando o método hiperestá­tico, podemos escrever:

FIG.7

Xi. ) Xi

ItA~, .~~+ 1~xb,. 2 "" , I . 1

'I"'i = - 'I"'i+' . .. . .... .. ..... (1)

Portanto:

/3i . X i_, +(O<j + O<i +,)' Xi +/3i+, . X i+,

que é conhecida como "Equação dos três momentos", que relaciona os momentos ocorrentes em três nós consecutivos de uma viga.

Aplicando essa equação em todos os nós internos da viga teremos um sistema de equações lineares, com (n + 1) incógnitas e (n-l) equações da forma:

A, .Xo+B , .X, +C, ,X2 o, A, . X I + B2 . X 2 + C2 . X 3 O2

A n-,·Xn-2+Bn-,· Xn- ,+ Cn-,·Xn=Dn- ,

A indeterminação é desfeita mediante as condições de contorno, que para o caso

DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA

84

FIG.3

15. - ­I

M ' I Ji, Li ~

Para Ji constante, então: 0<,,; 0<,,; 0<; = -..1L .

3EJi

b) Fator de forma de 2'! espécie (/3)

Como sendo a rotação produzida em uma extremidade da viga, em face da aplica­ção de uma carga momento unitário, na ou ­tra extremidade da viga:

FIG . 4

o J' L' M .. 1 t'1 .1 " I Sp

- ---16~ 2

Para Ji constante, então: ", . = /32 : P ,I ,I

/3i 0<;

2

c) Fatores de carga

Como sendo as rotações produzidas nas extremidades da barra, em face do carre­gamento externo:

FIG.5

P, p.

I I Q

! ! J I I I I I I

'~ ~' $I,, ! ---- - - ------ -- - ~1. 1

Para os casos comuns, teremos:

FIG.6

~p 6 1-~,; ,7j; -----?62

>'1 .1 ~ --éx,,''cP -- (Li·XI (2U·X)

6LiEJi

P' ,I ~ -c'x""-cP -- !Li ·Xl ILi ~ Xl

6LiEJ,

Para o cálcu lo dos fatores de carga, no caso de várias cargas apl icadas, evidente­mente vale o principio da superposição de efeitos.

Assim, aplicando o método hiperestá­tico, podemos escrever:

FIG.7

Xi. ) Xi

ItA~, .~~+ 1~xb,. 2 "" , I . 1

'I"'i = - 'I"'i+' . .. . .... .. ..... (1)

Portanto:

/3i . X i_, +(O<j + O<i +,)' Xi +/3i+, . X i+,

que é conhecida como "Equação dos três momentos", que relaciona os momentos ocorrentes em três nós consecutivos de uma viga.

Aplicando essa equação em todos os nós internos da viga teremos um sistema de equações lineares, com (n + 1) incógnitas e (n-l) equações da forma:

A, .Xo+B , .X, +C, ,X2 o, A, . X I + B2 . X 2 + C2 . X 3 O2

A n-,·Xn-2+Bn-,· Xn- ,+ Cn-,·Xn=Dn- ,

A indeterminação é desfeita mediante as condições de contorno, que para o caso

)ESENVOLVIMENTO ( TECNOLOGIA

de apoio do 2? gênero, são:

X,, = o

Xn = o .

Xo = O - - - - - - - - - - B 1 X 1 + C 1 X 2 = D1

DeA,X! + B,X, +C2X3 = D2, substituindo, vem:

A2K,-TlX2A~+B2X2+C2X3 = D2

A2 Kl + (B2-TIA2) X2+ C2X3 = D2

Para o caso de engaste na extremidade pode-se fazer:

FIG. 8 I

L , = O 1 ; 2 3 A A A n f

Portanto: V2,1 = O e pela fórmula ( I ) então

V,,,= 0, que é condição de engaste perfeito desejado.

3. EXEMPLO NUMERICO

Seja a estrutura representada na figura 9

FIG. 9

ou

x2 = K ~ - T ; x ~

ou seja, da forma geral:

com

10KN ZOKN Irn 2m

(11) As grandezas definidas anteriormente,

calculadas pelas fórmulas apresentadas, são as seguintes:

tomando-se Ko = O e To = o.

Para Xn = O então de (I I ) vem:

- -Xn.l , - K,., , e os demais hiperestáti- cos sao facilmente determinados pela fórmu- la ( 1 1 ) .

)ESENVOLVIMENTO : TECNOLOGIA

de apoio do 20 gênero, são:

Xo = o

Xn = o

Xo O----- - ----B1Xl+C1X2 Dl

, _ D, C, "X, - - -- ,X 2 0uX,= K,-T,X2

B, B,

De A2X, + B2X2 + C2X3 = D" substituindo, vem:

A2K,-T,X2A,+B2X,+C2X3 = D,

A2K,+(B2 - T,A2)X2+C2X3 = D2

:, X2 = D2 -A 2 K,

B2 - A 2 T,

ou

X2 K2 - T;X 3

ou seja, da forma geral:

com

D, -A K'_l K, = ) ) ) ) e

B, -A T, 1 ) ) J-

C2

B2 -A2 T,

(li)

C. T,= )

) B, -A T'l ) ) J-

tomando-se Ko = O e To = o,

Para Xn = O então de (11) vem: ,

Xn _l = Kn_l' e os demais hiperestáti­cos são facilmente determinados pela fórmu­la (11).

Para o caso de engaste na ex trem idade pode-se fazer:

FIG,8

t [o,

LI =0 1 ; 2 6 2S IS

L, = O => «, = O e {3, = O;

Portanto:

2S

3 IS

<(>2" = O e pela fórmula (I) então <{>" 2 = O, que é condição de engaste perfeito desejado,

3, EXEMPLO NUMERICO

Seja a ,estrutura representada na figura 9

FIG,9

I 10 KN/m 20 KN/m 10 KNlm

As grandezas definidas anteriormente, calculadas pelas fórmulas apresentadas, são as seguintes:

VÃO 1 2 3

ai 2,222 2,222 2,667

{3i 1 ,111 1,111 1,333

I' 1, i - 617,21 213,33

1'2, i 416,67 630,55 -

65

)ESENVOLVIMENTO : TECNOLOGIA

de apoio do 20 gênero, são:

Xo = o

Xn = o

Xo O----- - ----B1Xl+C1X2 Dl

, _ D, C, "X, - - -- ,X 2 0uX,= K,-T,X2

B, B,

De A2X, + B2X2 + C2X3 = D" substituindo, vem:

A2K,-T,X2A,+B2X,+C2X3 = D,

A2K,+(B2 - T,A2)X2+C2X3 = D2

:, X2 = D2 -A 2 K,

B2 - A 2 T,

ou

X2 K2 - T;X 3

ou seja, da forma geral:

com

D, -A K'_l K, = ) ) ) ) e

B, -A T, 1 ) ) J-

C2

B2 -A2 T,

(li)

C. T,= )

) B, -A T'l ) ) J-

tomando-se Ko = O e To = o,

Para Xn = O então de (11) vem: ,

Xn _l = Kn_l' e os demais hiperestáti­cos são facilmente determinados pela fórmu­la (11).

Para o caso de engaste na ex trem idade pode-se fazer:

FIG,8

t [o,

LI =0 1 ; 2 6 2S IS

L, = O => «, = O e {3, = O;

Portanto:

2S

3 IS

<(>2" = O e pela fórmula (I) então <{>" 2 = O, que é condição de engaste perfeito desejado,

3, EXEMPLO NUMERICO

Seja a ,estrutura representada na figura 9

FIG,9

I 10 KN/m 20 KN/m 10 KNlm

As grandezas definidas anteriormente, calculadas pelas fórmulas apresentadas, são as seguintes:

VÃO 1 2 3

ai 2,222 2,222 2,667

{3i 1 ,111 1,111 1,333

I' 1, i - 617,21 213,33

1'2, i 416,67 630,55 -

65

DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA

As equações são:

Então:

4. FLUXO PARA PROGRAMAÇAO Convenções adotadas:

O fluxo aoresentado no Anexo 1 foi efetuado com o objetivo de programar cal- Cargas - - - - - - - - - - 4 4 4 positivo culadoras pequenas, com o uso mínimo de memória; para computadores maiores esse Momentos no Balanço - - - - fh positivo fluxo merece algumas modificações. Hiperestático fn'f Negativo (FLETOR)

\ ,

O - - - - - - - - - - n ã o tem balanço

5. LISTAGEM PARA A HP41 (Anexo 2 ) 1 - - - - - - - - - - tem balanço

A calculadora deve ter pelo menos 3 0 registros na área de memória (SIZE 030).

O número de vãos máximo permitido pelo programa é 7. Para cada engaste na extremidade deve-se acrescer um vão com II = O, e portanto cada engaste diminui essa capacidade de um vão.

DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA

86

As equações são :

1,111 Xo+ 4,444 Xl + 1,111 Xl = - 1033,88

1,111 Xl + 4,889 X2 + 1,333 X3 = - 843,88

Dl 1033,88 - 232,63 Kl - - =

Bl 4,444

Cl 1 ,111 = 0,250 Tl =--

Bl 4,444

K2 D2 - A2 Kl

B2-A2Tl

C2 T2 = ---­

B2 -A2 Tl

Então:

- 843,88 - 1,111 (- 232,63)

4,889 - 1,111 .0,250

= ___ 1'--,3_33 ____ = 0,289 4,889 - 1.111 .0,250

X2 = K2 - T2.X3=>X2 = -126,96KNxm

- 126,96

X l = Kl - T1X2 = -232,63-0,250. (- ·126,96) -200,89KNxm

4. F LUXO PARA PROGRAMAÇAO

O fluxo apresentado no Anexo 1 foi efetuado com o objetivo de programar ca l­culadoras pequenas, com o uso m (nimo de memória; para computadores maiores esse fluxo merece algumas modificações.

5. LISTAGEM PARA A HP41 (Anexo 2)

A ca lculadora deve ter pelo menos 30 registros na área de memória (SIZE 030).

O número de vãos máximo permitido pelo programa é 7. Para cada engaste na extremidade deve-se acrescer um vão com Q = 0, e portanto cada engaste diminui essa capacidade de um vão.

Convenções adotadas:

Cargas - - - - - - - - - - t t t positivo

Momentos no Balanço - - - - ----fzs:- positivo

Hiperestático M Negativo (FLETOR) ° ----------não tem balanço

1 - - - - - - - - - - tem balanço

DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA

86

As equações são :

1,111 Xo+ 4,444 Xl + 1,111 Xl = - 1033,88

1,111 Xl + 4,889 X2 + 1,333 X3 = - 843,88

Dl 1033,88 - 232,63 Kl - - =

Bl 4,444

Cl 1 ,111 = 0,250 Tl =--

Bl 4,444

K2 D2 - A2 Kl

B2-A2Tl

C2 T2 = ---­

B2 -A2 Tl

Então:

- 843,88 - 1,111 (- 232,63)

4,889 - 1,111 .0,250

= ___ 1'--,3_33 ____ = 0,289 4,889 - 1.111 .0,250

X2 = K2 - T2.X3=>X2 = -126,96KNxm

- 126,96

X l = Kl - T1X2 = -232,63-0,250. (- ·126,96) -200,89KNxm

4. F LUXO PARA PROGRAMAÇAO

O fluxo apresentado no Anexo 1 foi efetuado com o objetivo de programar ca l­culadoras pequenas, com o uso m (nimo de memória; para computadores maiores esse fluxo merece algumas modificações.

5. LISTAGEM PARA A HP41 (Anexo 2)

A ca lculadora deve ter pelo menos 30 registros na área de memória (SIZE 030).

O número de vãos máximo permitido pelo programa é 7. Para cada engaste na extremidade deve-se acrescer um vão com Q = 0, e portanto cada engaste diminui essa capacidade de um vão.

Convenções adotadas:

Cargas - - - - - - - - - - t t t positivo

Momentos no Balanço - - - - ----fzs:- positivo

Hiperestático M Negativo (FLETOR) ° ----------não tem balanço

1 - - - - - - - - - - tem balanço

DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA

6. EXEMPLO DE UTILIZAÇAO - DO PROGRAMA

Será resolvida a viga do exemplo apre- sentado anteriormente.

TECLA VISOR ENTRADA

XEQ "VIGA" R /S R /S R iS R /S RIS R /S R /S R /S RIS R /S R /S R /S R /S R /S RIS R /S R /S R /S R /S RIS RIS

N? 3 BALANÇO? 1 ,'vAo 1'' L = ? 1 o

Jc = ? 1.5 a = ? 20 P = ? o

M B A L 1 = ? 125 ,,vAo 2" L = ? 10

Jc = ? 1.5 Q = ? 20 P = ? 1 o X = ? 1 P = ? 20 X = ? 8 P = ? o

"VÃO 3" L = 7 8 Jc = ? 1 Q = ? 1 o P = ? o

MBAL 2 = 7 O X1 = - 200,886 X2 = - 126,958

BIBLIOGRAFIA

. BELLUZZI, O.: "Ciencia de Ia construccion" - Editora Aguilar - Madri - Vol 1 . 1970.

DARKOV A,, ZUZNETSON, V.: "Estrutural Mechanic". Editora Mir - Moscou.

. FREITAS NETO J. A,: "Processo da equação dos tr& momentos". Universidade Federal do Paraná. 1976.

I f bbl.*iãhinedi XL --.*,o X, * l"di"$,liO X., - U1.6%,,bD 6 A T I - "ti SAT* - P2.i X X 2 = *i ""2 - 08 X X I - a i , r s i - 8 ' - ' UBIL, - L < ~ n ~ ~ ~ ~ * n . . . l a *

r n h d ~ < . W l * UWLI . Ill".-l..i~m~- xr,,, - Kirxi mil, - r i

CURRICULUM VITAE

- Cap QEM Luiz Dutra de Souza

' rxr Oficial da Avma de Engenharia da AMAN, turma de 1973. Engenheiro de .. , , Fortificacão e Constru~ãa do Instituto

Militar de Engenharia em 1980. Atual- mente 6 Professor no Instituto Militar de Engenharia, r s cadeira de Concreto Ar- mado, e aluno do curso de rnertrado em estruturas na Pantificia universidade Ca- tólica do Rio de Janeiro.

DESE NVOLVIMENTO E TECNOLOGIA

6. EXEMPLO DE UTI LlZAÇAO DO PROGRAMA

Será resolvida a v iga do exemplo apre· sentado anteriormente.

TECLA VISOR ENTRADA

XEQ "V IGA " N? 3 RIS BALANÇOI 1 RIS "VÃO 1" L I 10 RIS Jc ? 1,5 RIS Q I 20 RIS P ? O RIS MBAL 1 ? 125 RIS " VÃO 2" L I 10 RIS Jc ? 1,5 RIS Q ? 20 RIS P ? 10 RIS X ? 1 RIS P ? 20 RIS X I 8 RIS P I O RIS "VÃO 3" L ? 8 RIS Jc I 1 RIS Q ? 10 RIS P I O RIS MBAL 2 I O RIS Xl = - 200,886 RIS X2 = - 126,958

BIBLIOGRAFIA

SE LLUZZI, 0 ,: "Ciencia de la construccion" -Editora Aguilar - Madri - Voll . 1970.

DARKOV A. , ZUZNETSON, V.: "Estrutural Mechanic". Editora Mir - Moscou.

FREITAS NETO J. A.: "Processo da equação dos três momentos", Universidade Federal do Paraná. 1976 .

ANEX:-:=:O==' =:-l PIlOOIIAv.A VIGA

~AT7 • fATJ. UBAl . '1''1'1

I -1;'.do • • cJ.>.50dor,nt>do Xl -. C_p.do . lo XI -,f>#" ..... '.h XO - Co,~ d. ••• t.. fd.! rAT I • 1'\1 FATl • ,,1. 1 XXl • "I YYl • ~I ),,(1 • QII VV I • IH .'

}--_"oc',,-o(, _ ,

l.!aAl1 • ....... .... lO wic;_ •.••• ~ ..... ""'" dobol><'ço t .. ,.. .. 41

1,19 ... .. 1 • 'OO"' .... ""'.,. ••• I.~ XKIII • K •• )t, XHII • n

'-_-''''00°,< ' - ,

CURRICULUM VITAE

Cap QEM Luiz Dutra de Souza

Oficial da Arma de Engenharia da AMAN. turma de 1973, Engenhei ro de Fortificação e Construção do Instituto Militar de Engenharia em 1980. Atua l­mente é Professor no Instituto Militar de Engenharia, na cadeira de Concreto Ar­mado, e aluno do curso de mestrado em estruturas na Pontifícia Universidade Ca· tólica do Rio de Janeiro .

87

DESE NVOLVIMENTO E TECNOLOGIA

6. EXEMPLO DE UTI LlZAÇAO DO PROGRAMA

Será resolvida a v iga do exemplo apre· sentado anteriormente.

TECLA VISOR ENTRADA

XEQ "V IGA " N? 3 RIS BALANÇOI 1 RIS "VÃO 1" L I 10 RIS Jc ? 1,5 RIS Q I 20 RIS P ? O RIS MBAL 1 ? 125 RIS " VÃO 2" L I 10 RIS Jc ? 1,5 RIS Q ? 20 RIS P ? 10 RIS X ? 1 RIS P ? 20 RIS X I 8 RIS P I O RIS "VÃO 3" L ? 8 RIS Jc I 1 RIS Q ? 10 RIS P I O RIS MBAL 2 I O RIS Xl = - 200,886 RIS X2 = - 126,958

BIBLIOGRAFIA

SE LLUZZI, 0 ,: "Ciencia de la construccion" -Editora Aguilar - Madri - Voll . 1970.

DARKOV A. , ZUZNETSON, V.: "Estrutural Mechanic". Editora Mir - Moscou.

FREITAS NETO J. A.: "Processo da equação dos três momentos", Universidade Federal do Paraná. 1976 .

ANEX:-:=:O==' =:-l PIlOOIIAv.A VIGA

~AT7 • fATJ. UBAl . '1''1'1

I -1;'.do • • cJ.>.50dor,nt>do Xl -. C_p.do . lo XI -,f>#" ..... '.h XO - Co,~ d. ••• t.. fd.! rAT I • 1'\1 FATl • ,,1. 1 XXl • "I YYl • ~I ),,(1 • QII VV I • IH .'

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1,19 ... .. 1 • 'OO"' .... ""'.,. ••• I.~ XKIII • K •• )t, XHII • n

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CURRICULUM VITAE

Cap QEM Luiz Dutra de Souza

Oficial da Arma de Engenharia da AMAN. turma de 1973, Engenhei ro de Fortificação e Construção do Instituto Militar de Engenharia em 1980. Atua l­mente é Professor no Instituto Militar de Engenharia, na cadeira de Concreto Ar­mado, e aluno do curso de mestrado em estruturas na Pontifícia Universidade Ca· tólica do Rio de Janeiro .

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DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA

ANEXO 2

1 'LBL VIGA" 46 PROMPT 6 2 CLRG 47 ISG 459 @ 3 S F @ 1 48 GTO@3 6 4 "N = ?" 49 ' L B L A $ 5 PROMPT 6 6 S T 0 2 6

5 @ STO 4 9 51 G T O 6 3

4 7 ,IIALANÇO?,, 52 * L B L ' @ ~ 4 8 PROMPT 53 F I X @ ($9 X = @ ? 54 "VAO" 1 s F @ @ 55 ARCL 21 11 ~ f h ? 56 AVIEW 12 C F @ & 57 STO 23 13 .9 58 @ 14 ST0 6 9 59 STO 24 15 M.9 6@ STO25

17 * L B L @ @ 18 ISG 21 19 BEEP 2 4 XEQ@4 21 FS?@l 22 GTO $4 23 ISG 69 24 + ~ s i @ i 25 RCL I N D 4 9 26 RCLIND 19 27 28 1

3 i X<>Y 32 ST - INO $9 33 RCL@9 34 1 3 5 X < = Y ? 36 G T O @ l 37 .3 38 ST + 4 9 39 'LBLh3 4@ F I X ~ ' 41 "X" 42 ARCL@9 43 "k = "

44 F I X 3 45 ARCL IND@9

61 " L = ? " 62 PROMPT 63 STO 22 64 X = 67

69 PROMPT 76 STO 23 7 i I 72 24 73 I 74 =

75 PROMPT 76 77 STO 24 78 STO 25 79 * L B L @ 6 86 "P = ?" s i PROMPT 82 X = @ ? 83 GTO h 7 - -

84 "X = ?" 85 PROMPT 86 STO 26 87 " 88 RCL22 89 I 9 @ 6

91 1 92 RCL23 93 1 94 RCL22 95 RCL 26 96 - 97 * 98 STO 27 99 2 i@@ RCL22 161 1@2 RCL 26 143 - 1@4 1 5 5 S T + 24 146 RCL22 107 RCL26 148 + 149 RCL 27 li@ * 111 ST+ 25 112 G T 0 @ 6 113 * L B L @ 7 114 RCL 22 115 3 116 1 117 RCL 23 118 I 119 STO26 126 2 121 I 122 STO 27 123 1 124 RCL21 125 X # Y ?

138 GTO 1 4 139 C F @ 1 14@ FS? $4 @ 141 GTO 1 @ 142 "MBAL 2 = ?" 143 PROMPT 144 RCL 27 145 * 146 ST- 24 147 'LBL 1@ 148 RCL 29 149 RCL 26 15@ + 151 RCL28 152 RCL INO 19 153 154 - 155 STO 23 156 ISG 19 157 RCL 18 158 RCL24 159 + 16@ CHS 161 RCL 28 162 RCL I N 0 4 9 163 * 164 - 165 I 166 11X 167 ISG @9 168 STO IND@9 169 RCL 27 176 RCL23 i 7 i 1 172 STO lI\10~19

128 G T O ' ~ ~ 173 'LBL $9 129 "MBALI = ?" 174 RCL 27 1 P R ~ M P T 175 STO 28 . - . . . . . . . . 131 RCL 27 129

176 RCL 26 177 STO 29 . --

133 S T - 2 5 178 RCL 25 134 GTO $9 179 ST0 18 135 * L B L @ 8 186 END

DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA

AN EXO 2

q,1 ' LBL VIGA" q,2 CLRG q,3 SF q, 1 </14 "N = ?" </15 PROMPT </16 STO 2 </I </17 "BA LA NÇQ7" </18 PROMPT </19 X ~ q,?

1 </1 SF q,q, 11 X* q,> 12 CF q,q, 13 .9 14 STO q, 9 15 1</1.9 16 STO 19 17 'LBLq,q, 18 ISG 21 19 BEEP 2</1 XEQ </14 21 FS? </1 1 22 GTO </Iq, 23 ISG </19 24 'LBL </1 1 25 RCL IND </19 26 RCL IND 19 27

, 28 1 29 ST - q,9 3q, ST - 19 31 X<>V 32 ST - IND </19 33 RCL q,9 34 1 35 X < ~ VI 36 GTO </11 37 .3 38 ST + q,9 39 • LBL </13 4q, FIX q, 4 1 "X" 42 ARCL </19 43 "~ = "

44 FIX 3 45 ARCL IND </19

88

46 PROMPT 47 ISG q,9 48 GTO q,3 49 'LBL A 5</1 STO </19 51 GTO</l3 52 ' LBL </14 53 FIX </I 54 "VAO" 55 ARCL 21 56 AV IEW 57 STO 23 58 </I 59 STO 24 6</1 STO 25 6 1 "L ~ ?" 62 PROMPT 63 STO 22 64 X ~ </I? 65 GTO </17 66 3 67 vtx 68 "Jc = 7" 69 PROMPT 7</1 STO 23 7 1 / 72 24 73 / 74 "Q ~ ?" 75 PROMPT 76 77 STO 24 78 STO 25 79 'LB L </16 8q, "P ~ ?" 8 1 PROMPT 82 X ~ q,? 83 GTO</l7 84 "X = 7" 85 PROMPT 86 STO 26 87

, 88 RCL 22 89 / 9</1 6

91 / 136 RCL 2q, 92 RCL 23 137 X* V? 93 / 138 GTO 1 </I 94 RCL 22 139 CF q, 1 95 RCL 26 14</1 FS? </1</1 96 - 141 GTO 1 </I 97 142 "MBAL 2 ~ ?" 98 STO 27 143 PROMPT 99 2 144 RCL 27

1</1'" RCL22 145 ,

1 </I 1 • 146 ST - 24 1</12 RCL26 147 ' LBL l q, 1</13 - 148 RCL 29 1 </14

, 149 RCL 26 1 $ 5 ST + 24 15</1 + 1 q,6 RCL 22 151 RCL 28

1 </17 RCL 26 152 RCL IN D 19 1 </18 + 153

,

1 q,9 RCL 27 154 -11 </I 155 STO 23 111 ST + 25 156 ISG 19 112 GTO q,6 157 RCL 18 113 'LBL</I7 158 RCL 24 114 RCL 22 159 + 11 5 3 16 </1 CHS 116 / 16 1 RCL 28 11 7 RCL 23 162 ~CL IND </19 11 8 / 163 119 STO 26 164 -12</1 2 165 / 121 / 166 l / X 122 STO 27 167 ISG </19 123 1 168 STO IND </19 124 RCL 21 169 RCL 27 125 X * V? 17 </I RCL 23 126 GTO </18 171 / 127 FSI </1</1 172 STO I"JD·19 128 GTO </19 173 ' L BLq,9 129 "MBAL 1 = ?" 174 RCL 27

13</1 PROMPT 175 STO 28

131 RCL 27 176 RCL 26

132 • 177 STO 29

133 ST - 25 178 RCL 25

134 GTO </19 179 STO 18

135 ' LBL </IB 18</1 END

DESENVOLVIMENTO E TECNOLOGIA

AN EXO 2

q,1 ' LBL VIGA" q,2 CLRG q,3 SF q, 1 </14 "N = ?" </15 PROMPT </16 STO 2 </I </17 "BA LA NÇQ7" </18 PROMPT </19 X ~ q,?

1 </1 SF q,q, 11 X* q,> 12 CF q,q, 13 .9 14 STO q, 9 15 1</1.9 16 STO 19 17 'LBLq,q, 18 ISG 21 19 BEEP 2</1 XEQ </14 21 FS? </1 1 22 GTO </Iq, 23 ISG </19 24 'LBL </1 1 25 RCL IND </19 26 RCL IND 19 27

, 28 1 29 ST - q,9 3q, ST - 19 31 X<>V 32 ST - IND </19 33 RCL q,9 34 1 35 X < ~ VI 36 GTO </11 37 .3 38 ST + q,9 39 • LBL </13 4q, FIX q, 4 1 "X" 42 ARCL </19 43 "~ = "

44 FIX 3 45 ARCL IND </19

88

46 PROMPT 47 ISG q,9 48 GTO q,3 49 'LBL A 5</1 STO </19 51 GTO</l3 52 ' LBL </14 53 FIX </I 54 "VAO" 55 ARCL 21 56 AV IEW 57 STO 23 58 </I 59 STO 24 6</1 STO 25 6 1 "L ~ ?" 62 PROMPT 63 STO 22 64 X ~ </I? 65 GTO </17 66 3 67 vtx 68 "Jc = 7" 69 PROMPT 7</1 STO 23 7 1 / 72 24 73 / 74 "Q ~ ?" 75 PROMPT 76 77 STO 24 78 STO 25 79 'LB L </16 8q, "P ~ ?" 8 1 PROMPT 82 X ~ q,? 83 GTO</l7 84 "X = 7" 85 PROMPT 86 STO 26 87

, 88 RCL 22 89 / 9</1 6

91 / 136 RCL 2q, 92 RCL 23 137 X* V? 93 / 138 GTO 1 </I 94 RCL 22 139 CF q, 1 95 RCL 26 14</1 FS? </1</1 96 - 141 GTO 1 </I 97 142 "MBAL 2 ~ ?" 98 STO 27 143 PROMPT 99 2 144 RCL 27

1</1'" RCL22 145 ,

1 </I 1 • 146 ST - 24 1</12 RCL26 147 ' LBL l q, 1</13 - 148 RCL 29 1 </14

, 149 RCL 26 1 $ 5 ST + 24 15</1 + 1 q,6 RCL 22 151 RCL 28

1 </17 RCL 26 152 RCL IN D 19 1 </18 + 153

,

1 q,9 RCL 27 154 -11 </I 155 STO 23 111 ST + 25 156 ISG 19 112 GTO q,6 157 RCL 18 113 'LBL</I7 158 RCL 24 114 RCL 22 159 + 11 5 3 16 </1 CHS 116 / 16 1 RCL 28 11 7 RCL 23 162 ~CL IND </19 11 8 / 163 119 STO 26 164 -12</1 2 165 / 121 / 166 l / X 122 STO 27 167 ISG </19 123 1 168 STO IND </19 124 RCL 21 169 RCL 27 125 X * V? 17 </I RCL 23 126 GTO </18 171 / 127 FSI </1</1 172 STO I"JD·19 128 GTO </19 173 ' L BLq,9 129 "MBAL 1 = ?" 174 RCL 27

13</1 PROMPT 175 STO 28

131 RCL 27 176 RCL 26

132 • 177 STO 29

133 ST - 25 178 RCL 25

134 GTO </19 179 STO 18

135 ' LBL </IB 18</1 END