1º Propriedade, Soma: O limite da soma de funções é equivalente a soma dos limites.

Lim [ f(x) + g(x) ] = X C

Lim f(x) + Lim g(x)X C X C

Exemplo: Lim ( X + X) X 2

Equivale:Lim X + Lim X * X e X são polinômios, o domínio é Real, vale qualquer valor real.X 2 X 2 * Então, substitui o tendendo a 2 na função.

Então:= 2 + 2 = 6

2º Propriedade, Subtração: equivalente a soma dos limites.

Lim [ f(x) – g(x) ]X C

Lim f(x) - Lim g(x)X C X C

Exemplo: Lim ( X - X) X (-1)

Equivale:Lim X - Lim X * X e X são polinômios, o domínio é Real, vale qualquer valor real.X (-1) X (-1) * Então, -1 é real, pode substituir!

(-1) - (-1) =1 + 1 = 2

3º Propriedade, Produto (Multiplicação): O limite do produto, é o produto dos limites.

Lim [ f(x) . g(x) ]X C

[ Lim f(x) ] . [ Lim g(x) ] X C X C

Exemplo: Lim [ (X + X) . (X - X) ] X 2

Aplicando propriedade Soma: Aplicando propriedade Subtração:

Lim (X + X) Lim (X - X)X 2 X 2

Lim X + Lim X Lim X - Lim X

1/5

X 2 X 2 X 2 X 2

(2 + 2) . (2 -2) =6 . 2 = 12

4º Propriedade:.

Lim [ K . f(x) ]X C

[ Lim K ] . [ Lim f(x) ] = K. Lim f(x) X C X C X C

Exemplo: Lim [ 9. (X + 1) ] X 2

[Lim 9] . [Lim X + Lim 1]X 2 X 2

9. (4+1) = 45

5º Propriedade, Constante: O limite da constante é a própria constante, ou seja, o limite de um número é sempre ele mesmo.

Lim K = CX C

Representação da função constante K

Y K

C X

Exemplo:Lim 100 = 100X 3

6º Propriedade, Limite do Quociente: O limite do quociente é o quociente dos limites.

Lim [ ] g(c) 0

X C * Restrição para denominador não ser Zero, pois se for, causará uma indeterminação.

Lim f(x)X C Lim g(x)X C

2/5

Exemplo: Lim (2x - 4)3 – 2x

X 3

Resolvendo a parte superior e inferior da equação.

Lim 2x - 4 = (2 . lim X ) – Lim 4X 3 X 3 X 3 =

Lim 3 - 2 . lim X X 3 X 3

= (2 . 3 ) – 4 = 18 – 4 = 14 = -14 * O menos do denominador troca com o numerador; 3 – (2 . 3) 3 – 6 -3 4

7º Propriedade, Potências: O limite da potência é igual a potência dos limites.

Lim [ f(x) ] Onde, L e N são constantes (números).

X C Lê-se, função elevada ao expoente na forma de raiz, quando X tendendo a C.

Lim =

X C

=

X C

=

[ Lim f(x) ]

X C

Ponto de Revisão: Conversão de expoente fracionário em radical:

X = X = X =

X = X =

Lembre-se disso: “Saindo da raiz para expoente fracionário: Quem está por dentro, está por cima”.

3/5

Limite da constante é a própria constante.

Exemplo: Lim (2x - 1)

X 3

[ Lim (2x - 1)] =

X 3

[ 2 . Lim X - Lim 1 ] =

X 3 X 3

= [2 . 3 - 1] =

= [18 – 1] =

= 17

Exercícios:

a) Lim (x - 4x - 3)X C

= C - 4C - 3

b) Lim

X C

=

c) Lim X -2

= =

= =

=

d) Lim

X 1

4/5

É um polinômio completo. Pode-se aplicar o ponto direto pois admite qualquer valor Real.C é um valor real ? Sim, então pode substituir!

Pode-se aplicar o ponto direto?Sim, porque para qualquer valor de C, nunca o denominador será zero. Mesmo se aplicarmos a potência em um número negativo, pois o resultado será positivo.

Polinômio dentro de raiz tem restrição?Sim, pois o valor resultado do polinômio deve ser sempre positivo.

Pode-se aplicar o ponto direto?Sim, pois um é real e os polinômios suportam.

=

= = (Indeterminação)

Observações: O problema é que se aplicar o ponto 1 direto o denominador vai dar zero.Então, como não posso aplicar o ponto 1, tenho que retirar o ponto problemático.

Observe que as potências dos polinômios são iguais, se fossem diferentes seria necessário utilizar outra técnica para solução. Como resolver então? Fatoração!

Formato Fatorado: A (x – x1) . (x – x2) Onde X1 e X2 são as raízes.

Veja a simplificação do polinômio numerador X + X -2.X + X - 2 = 0 Fatorado: A . (x – x1) . (x – x2) =

1 . (x – 1) . (x + 2) =∆ = -b + 4ac = (x – 1) . (x + 2 ) ∆ = -1 + 4(1 . -2) = ∆ = -1 - 8 = 9

X =

X1 = -1 + 3 = -1 + 3 = 12 2

X2 = -1 - 3 = -1 - 3 = -22 2

Veja a simplificação do polinômio denominador X - X

X - X = 0X . (X – 1) = 0 (iguala)

X1 = 0 e X2 = 1A . (x – x) . (x – x2) = 1 (X – 0) . (X – 1) =X . (X – 1)

Calculando os limites:

Lim (x – 1) . (x + 2 ) = x . (x – 1)X 1

Lim X + 2 = XX 1

1 + 2 = 3 = 3 1 1

5/5

Polinômio incompleto, substitui direto!

Parou de dar Zero! Acabou o problema!Obs: Quando tendemos o ponto, a palavra Lim (limite) desaparece.