- Noes Gerais e Aplicaes---NoNoes Gerais e Aplicaes Gerais e Aplicaeses--CLCULODIFERENCIALEINTEGRAL II- GuiadeAulas-- Engenharia de Computao -ElaboradopeloProf .ArnaldoStochiero 2011- Engenharia de Computao -- Ol, moada !... Meunome Diego,tenho sete anos, e esta a minha irmzinha Alexade dois.Quando tivermos a sua idade, tam-bm vamos estudar neste livro do vov .Prof. Arnaldo StochieroOs primeiros indcios rudimentares do Clculo Diferencial e Integral tm suas origens na Antiguidade, porm, somente a partir de Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), esse monumental cap-tulo da Matemtica conseguiu deflagrar seu processo evolutivo. A genialidade desses dois baluartes da cincia moderna trouxe baila to maravilhosa obra que por si mesma j seria suficiente para consagrar indelevelmente a capacidade cria-dora do gnero humano. Nos ltimos trezentos anos,muitos matemticos trabalharam e vm trabalhando no aprimoramento da estruturao terica do Clculo,perseguindo sempre os atalhos inteligentes da sistematizao.As brilhantes contribui-es de Leonhard Euler (1707-1783), Jean le Rond dAlembert (1717-1783), Joseph Louis Lagrange (1736-1813), Pierre Simon Laplace (1749-1827), Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Nikolai IvanovitchLobatchevski (1793-1856) ,Bernhard Riemann (1826-1866) , Richard Dedekind (1831-1916),Oliver Heaviside (1850-1925), bem como as de vrios outros luminares,vm promovendo esse ordenamento sistmico to importante para o de-senvolvimento desse campo cientfico e suas ressonncias em todas as ramificaes da atividade tecnolgica e social .Os objetivos que nos levam a realizar este trabalho visam to somente a torn-lo um compndio utilit-rio, contemplando nossos alunos com um acessrio matemtico funcional que,acoplado bibliografia recomendada, se-guramente ir robustecer os pr-requisitos indispensveis s disciplinas deClculo, Fsica, Estatstica, Eletricidade, Me-cnica e demais outras das reas profissionalizantes.Para format-lo, empenhamo-nos na utilizao de uma linguagem clara, sucinta e elucidativa, capaz de levar o aluno a consolidar um aproveitamento desejvel . Considerando que a prpria gnese das engenharias nosreco-menda navegar numa rbita pragmatista do conhecimento, o desenvolvimento terico destas lies de clculo desprende-se de rigorismos e formalismos muitas vezes incmodos e fastidiosos para o iniciante. Em contrapartida,j nas primei-ras pginas das explanaes, o leitor perceber nossa insistente recorrncia aos apelos geomtricos como legtimos teste-munhos visuais de cada afirmativa apresentada, configurando-se a a indisfarvel inteno de buscar no harmonioso aca-salamento da lgebra com a geometria a argamassa ideal para a fixao duradoura desse almejante aprendizado .Diante da profuso de grficos e figuras, ainda que sejamos censurados pelo uso abusivo dessesrecur-sos geomtricos, sentimo-nos bem mais prximos da legtima finalidade de esclarecer e dirimir as dvidas mais frequen-tes dos alunos, confiando aos detalhes visuais aqueles lancessigilosamenteescondidosnas entrelinhasdamaioria dos textos didticos.Para garantir uma nitidez mais apurada nessas ilustraes,bem como as posies mais adequadas das figuras, utilizamos com providencial frequncia os sistemas algbricos computacionaisMaple 12 e Matlab R12 (ou ver-ses anteriores) , aprimorando significativamente a assimilao dos espaos bi e tridimensionais. Tal estratgia conjuga-se harmonicamente com os preceitos bsicos de uma aprendizagem segura e consistente,desde que regidapela sincroni-zao das aes de construir as resolues e discutir os resultados obtidos .Queira o leitor nos desculpar pela ousadia desta iniciativa e pelo no velado atrevimento de algumas in-sinuaes sutilmente zombeteiras, porm, em qualquer tribuna acadmica, os nossos oito lustros de docncia narea tec-nolgica havero de ser suficientemente persuasivos para nos outorgar o dever mais do que o direito de expressar a convico de ser essa a trilha mais confivel para levar o aluno a consolidar os vnculos entreos conceitosmatemticos estudados e aqueles encontrados nas disciplinas especficas ;refletir sobre o cotejamento entre asleis matemticase os fenmenos fsicos ;desfazer-se do habitual procedimento puramente mnemnico e desenvolver habilidades para enfren-tar eresolversituaes problemticas novas.Se as teorias matemticas em geral tmsidorotineiramenteconfinadasnumrido arcabouoe ajustadasnuma linha de adestramento a exigir inflexibilidade metodolgica,nos captulos aqui apresentados o aluno ir deparar-se com recursos motivadores capazes de acender-lhe o interesse pelosassuntos aborda-dos,ora por consider-los em estreita sintonia com as situaes reais encontradas nas disciplinas profissionalizantes, ora pelo incontido fascnio dos prazerosos espasmos da ao de aprender .Longe de ns apretenso de fazer destas lies uma infalvel panaceia metodolgica das mais intrincadas situaes problemticas encontradas no processo de aprendiza-gem do clculo.Tampouco, nenhuma inteno de consider-las um Abra-te, Ssamo ! para decifrar quaisquer procedi-mentos matemticos exigidos pela disciplina .Noobstante,asseguramos que um ganho aprecivel poder ser auferido por aqueles estudantes mais atentos que se propuserem a estud-las com diligente apego, tornando-as, esperamos, um ins-trumental autoinstrutivo. Como recomendao final, sugerimos ter sempre presente a magistral observao formuladaporCarl Friedrich Gauss :Em verdade, o que proporciona o mximo prazer queles que estudam seriamente esta cincia no o conhecimento e sim a aprendizagem; no a posse, mas a aquisio; no a meta alcanada, mas o ato de atingi-la.O autor .P R E M B U L OP R E M B U L O Em tempo : Para fins de reforo ou recapitulao, iniciaremos este curso com um adendo de algumasnoesconcei-tuais e operacionais dediferenciao e antiderivao,pr-requisitos imprescindveis para um proveitosoacompanhamento do curso de Clculo I I .Unidade 1- INTEGRAISDEFINIDAS 1.1.rea plana :partio e somas de Riemann ...............................111.2.Conceito de integral definida :ilustraes ................................ 221.3.Teorema fundamental do Clculo.............................................. 24Prof. Arnaldo StochieroUnidade 5- SRIESNUMRICASESRIESDEPOTNCIAS 5.1.Sequncias reais.Convergncia.................................................1015.2.Sries numricas.Convergncia e divergncia........................... 1045.3.Srie geomtrica.........................................................................1065.4.Sries de termos positivos.Teste da integral.............................1105.5.Srie harmnica generalizada.Teste da comparao................1125.6.Testes da razo e da raiz............................................................1145.7.Sries alternadas.Teste de Leibniz............................................1185.8.Sries de termos com sinais quaisquer.Convergncias absolutae condicional...............................................................................1205.9.Srie de funes. Srie de potncias. Intervalo de convergncia ...1225.10.Desenvolvimento em sries :Taylor e Maclaurin .........................127S u m r i oUnidade 4- INTEGRAISIMPRPRIAS 4.1.Formas indeterminadas.............................................................. 87 4.2.Regra de LHpital para outras formas indeterminadas.............874.3.Integrais imprprias................................................................... 95Referncias Bibliogrficas........................................................................143RECAPITULAODOSPR-REQUISITOSINDISPENSVEIS 1. Tpico- Diferencial de uma funo real.................................... 1 2. Tpico- Integral indefinida de uma funo real........................ 6 Unidade 2- TCNICASUSUAISDEINTEGRAO 2.1.Integrais imediatas :tabela..................................................... 312.2.Integrao por partes................................................................382.3.Integrao por substituies trigonomtricas............................412.4.Integrao de funes racionais por fraes parciais................46 Unidade 3- APLICAESDAINTEGRALDEFINIDA 3.1.rea entre curvas planas...........................................................533.2.Volume de slidos mediante sees transversais........................58 3.3.Comprimento de uma curva plana..............................................653.4.Trabalho mecnico realizado por uma fora varivel.................683.5.Presso hidrulica...................................................................... 713.6.rea lateral de um slido de revoluo....................................... 733.7.Centro de massa, centride ou baricentro de um corpo............... 743.8.Valor mdio e valor eficaz........................................................... 82 Prof. Arnaldo StochieroC C LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II- - Recapitula Recapitula o dos pr o dos pr - -requisitos indispens requisitos indispens veis veis- -- - Cursos de Engenharia Cursos de Engenharia- -1 1Diferencial de uma funo real . Desde a segunda metade do sculoXVII,ocasio em que Newton e Leibniz conceberam tais entidades matemticas, o conceito de diferencial de uma dada funo constitui uma ex-tenso do conceito de suaderivada, pois, ambos guardam uma estreita relao com a reta tangente curvaconfigurativada tal funo, num dado ponto .Seja uma funo genrica real e suponhamo-la derivvel num dado intervalovale dizer,f contnua em todo o intervaloquaisquer que sejam os valores atribudos varivel independente x . De acordo com o estudo feito noClculo I ,afuno derivadadessa funofser expressa por1. Tpico - DIFERENCIAL DE UMA FUNO REAL( )y f x =, a x b [ ], , a b( ) ( )x 0y d ylim f ' x ou f ' x .x d x= =Definio . Chama-se diferencialda funo f ,num ponto consideradox = a ,o nmero real obtidopormeio da expressovale dizer, o produto da derivada pelo acrscimo da varivel independente .( ) ( )d y f ' x . x d y f ' a . x , = =Exemplo : Consideremos a funo trinmio do 2. grau (funo quadrtica)e calculemos sua fun-o diferencial :Se quisermos calcular adiferencialda funo dada, no ponto( 1,5 ) , para um acrscimo 2y 3x 4x 7 = +( ) ( )2y 3x 4x 7 dy f ' x . x dy 6 x 4 . x = + = = x 0,002: =( ) ( )dy f ' 1 . x dy 6 .1 4 .0,002 dy 0,004 . = = =Aplicando a definio acima nafuno identidade,y = x ,poderemos escrevere concluir que a diferencialda varivel independente x o seu prprio acrscimo.Consequentemente, adiferencialde uma funo genricay = f (x) fica bem caracterizada quando escrevemosdy 1. x =( )dy f ' x . dx =Interpretao geomtrica da diferencial de uma funo num dado ponto x = a :Consideremos uma funoy = f (x) , configurada pela curva C , contnua num dado intervalo que contenha o ponto x = a .Analisemos, geometricamente, o valor dadiferencialdef ,no pontox = a , quando a varivel independentex experimenta um acrscimo x . Sendo retngulo, o tringuloPQTnos d :( )( ) ( )QT tg . PQTendo em vista que tg f ' x e PQ x , resulta :QT f ' x . x QT f ' x . dxQT dy == == = =Portanto,adiferencialdy deumafunofrepresenta, numericamente, o acrscimo da ordenada da reta tangente curva configurativa da funo, quando a abscissa x = a experimenta um acrscimo x .Concluses : A diferencialdy ser positiva se o pontoTsituar-se acima do pontoQ .Caso contrrio,dy ser nega-tiva, sendo a funofdecrescente no intervalo considerado. Analogamente, a diferencialdxser positiva se o ponto Qcolocar-se direita de Pe , negativa,se a posio for oposta . Ato contnuo, o acrscimo yno deve ser, necessaria-mente, maior do que a diferencialdy , pois,se no intervalo considerado,a curva apresentar a concavidade voltada para baixo, sendofcrescente ou decrescente, resultar y < dy .Obviamente, para a funo linear teremos sempre y = dy . a x a +x O XYC P R Q T y = f (x)y d yP(6, 36)Aps o arremate dessas concluses, guisa de exemplo ilustrativo, estudemos a funoy = f (x)= x 2,no pontox = 6 ,analisando os valores y e d y numa situao em que avarivelindependentex experimenta osacrscimossucessivosx = 1 ; x = 0,1 ; x = 0,01 ; x = 0,001 ; . . .Ora, sendo y = x 2,seu acrscimo total y obtidopelas operaes j vistase a diferenciald y ,por definio,ser : d y = f (x) . xoud y = 2 x . x .A tabela abaixo apresenta os dados numricos fornecidos e a sequncia de valores y e d y : 22 22y y ( x x )y y x 2 x . x ( x )y 2 x . x ( x ) + = ++ = + + = +x x=d x y = 2 x . x + ( x) 2d y = 2 x . x6 113 12 6 0,11,211,26 0,010,1201 0,126 0,0010,0120010,012. . . .Observemos que a diferena entre os valores y e dy torna-se cada vez menor, quando xse aproxima indefinidamente de zero. Por via de consequncia,para valores suficientemente pequenos de x , vlido considerar a relaoA figura abaixo sintetiza, inequivocamente, todo o raciocnio algbrico desenvolvido na situao em tela :y dy . O XY6 7 dyy R(7, 49)2x ) x ( f =Os valoresvo-setornando cada vez mais prximos,namedida em que se aproxima de zero .y e dy x x 2 2Na literatura que aborda as funes de uma nica varivel independente, comum encontrarmos aderi-vao eadiferenciao sendo tratadas como operaes equivalentes. Muitos autores chegam a formalizaraderivada como oquociente de duas diferenciais,tal como sugere a notao de Leibniz :Tal comportamento habitual apia-se no fato de o prprioLeibnizhaver utilizado a expressopara representar um valor aproximado da derivada, desde quePara valores suficientemente pequenos de, o ilustre matemtico representava pordxedy , respectivamente, denominando-osinfinitamente pequenosouinfinitsimos .Da, a nomenclatura alternativa, Clculo Infinitesimal,para designar o Clculo Diferencial e Integral .dydxyxx 0 . x x e y QUADRO DAS DERIVADAS E DIFERENCIAIS DE ALGUMAS FUNES USUAIS Com base nas definies, nos comentrios e ilustraes feitos nas pginas anteriores,torna-se bastantefcil concluir que todas as frmulas de derivao estudadas aplicam-se s diferenciais .A seguir, faremos a deduo daquelas que aparecem com maior frequncia nas aplicaes habituais de um curso de Clculo,esperando que o leitor reserve para si a incumbncia de acrescentar algumasoutrasfunespara completar a listagem,pois,seguramente esta lhe ser de grande valia durante todo o desenrolar desta disciplina e de ou-tras que viro .FUNODERIVADA DIFERENCIALConstante k y =0dxdy=0 dy =Identidade x y = 1dxdy=dx dy =Linear b x a y + =adxdy=dx . a dy =Soma v u y + =dxdvdxdudxdy+ = dv du dy + =QuocienteProduto v . u y =dxduvdxdvudxdy+ =du . v dv . u dy + =vuy =2dxdvdxduvu vdxdy=2vdv . u du . vdy=Potnciannu y =dxdu. u . ndxdy1 n =n 1dy n .u . du=Raizn-simanu y =n 1 ndxduu ndxdy=n 1 nu ndudy=Exponencialve y =dxdvedxdyv = dv . e dyv=Logartmicav n y / =v dxdydxdv=vdvdy =Seno v sen y =dxdvv cosdxdy =dv . v cos dy =Co-seno v cos y =dxdvv sendxdy = dv . v sen dy =Arco tangentev tg arc y =2dxdvv 1dxdy+=2v 1dvdy+=3 3Exerccios ilustrativos. m 10 V 100 V resulta ,PkV que Desde100Pkk 001 , 0Pk1 , 0 dPPkdV: N/m k 0,001 dPe ) decrscimo ou negativo (acrscimo m 0,1 dV considerar vamos Portanto, so.pres de aumento num pensar deveremos volume, de diminuio numa os interessad estamos Como. dPPkdVou .dP P k dV teremos , P k V funo na l diferencia de definio a Aplicandomente. respectiva , dP e dV por dos representa sero presso da e volume do medidas nas erros Osf(P) P k V k PV : Resoluo. lo cont de capaz recipiente menor do volume o determinar , N/m k 0,001 presso da medida napossvel erro o e m 0,1 gs um de volume do medida na erro de ade possibilid a Se . constante k e volumeseu o V gs, o sobre exercida presso a P onde , k PV por dada gases os para Mariotte Boyle de lei A ) 3y dy6 , 0 dy61 , 0 y1 , 0 3 2 dx . x 2 dx . ) x ( ' f dy3 1 , 3 ) 1 3 ( ) 1 l , 3 ( ) 3 ( f ) 1 , 3 ( f ) x ( f ) x x ( f y: Resoluo. 0,1 x para dy, e y valores os determinar 3, x ponto No . 1 x y funo a Seja ) 2dxx3dyx3x . ) 1 ( . 3 ) x ( ' f x 3 y : soluo Rex3y ) bdx . ) x 2 x 15 ( dy dx . ) x ( ' f dy : Resoluo1 x x 5 y ) a: funes seguintes das is diferencia as Determinar ) 13 2222 22322 11232 2 2 222 22 122 3= = == = == = = = == = == == = = = = + + = = + == = + = = = = == = =+ = Observao : De fato, se esboarmos o grficoVolume x Presso, veremos que um acrscimo de presso( dP = 0,001 k > 0 ) acarretar um decrscimo de volume( dV = - 0,1 < 0 ) : OPVV < 0P > 0kV ( hiprbole equiltera )P=) ( )( ) ( )( )1 1 112 2 24 Calcular a diferencial da funo f x x , para x 4 e x 0,5 .1 1Resoluo : f x x x f ' x x x2 21f ' x2 x1 1 1 1Ento, dy 0,5 dy 0,125 .4 2 8 2 4 = = == = = = = = = = =4 4> plot (sqrt(x),x = 0..6, y = 0..3, numpoints = 3000) ;4,5y x =dy y >Exerccios de fixao23 2 22221. Determinar as diferenciais das seguintes funes :a) y x 3x 1 Resp. : dy (2x 3) . dxb) y 3x 5x x 5 dy (9x 10x 1) . dxc) s t 1 ds 2t . dt1 dvd) f(u) duvv3 dxe) z 3x 5 ( Sugesto : fazer 3x 5 v) dz2 3x 52. Seja a funo y x 1= + = = + = += == = = = == + . No ponto x 3, determinar os valores y e dy, paraa) x 0,01 Resp. : y 0,0601 ; dy 0,06b) x 0,001 y 0,006001 ; dy 0,0063. Em cada item abaixo, calcular os valores de y e dy , conforme os dados fornecidos :a) y 3x 1 , para x 2 e x 0,1 Resp== = == = == + = =23. : y dy 0, 3b) y 2x , para x 4 e x 0, 3 y 4, 98 ; dy 4, 8c) y x , para x 1 e x 0, 2 y 0,728 ; dy 0,64. Determinar a quantidade de lato necessria para se construir um tubo cilndrico de raio interno 1 me altura 3 m .Sabe se que a espessura d= == = = = == = = = =3o lato mede 0, 5 cm . Resp. : dV 0,094 m5. Sendo a diferena de potencial constante V 100 volts e uma resistncia R 100 ohms, calcular avar iao aproximada da corrente i quando R experimenta um acrscimo dR 2 ohms .Resp. : A corrente dimin= ==ui de 0,02 ampre .S6. A capacidade C de um capacitor dada por C , onde S a sup erfcie constante de uma4 edas placas e e significa a distncia var ivel entre as duas placas .Fazer a anlise quantitativa da var iao de C .Resp. : C varia na raz=o inversa do quadrado de e5 5Resoluo :2 2S k SdC de de , onde k 0 .44 e eEnto, C varia na razo inversa do quadrado de e :e diminui C aumentae aumenta C diminui= = = plot ( [x^3+5, x^3+3, x^3+3/2, x^3, x^3-1, x^3-3, x^3-5], x = -2..2,color = [blue, green, brown, violet, red, black, pink] ); Soluo particularP ( 1, - 2 ) Maple :> plot (x^3-3, x = -2..2,color = black); y=x - 39 94.Escrever a equao do feixe de curvas onde, em cada pontoP ,a declividade dada pelo inverso da abscissa .Resoluo :( )( )Sej a P x , y o po nt o genr i co da curva genr i ca d o f ei xe .1 dy 1 1 d xf ' x dy d xx d x x x xdxdyxy n x C : s ol u o geral= = = == = + /y n x 2 = + /> plot ([ ln(x)+2, ln(x)+1, ln(x), ln(x)-2, ln(x)-Pi ], x = 0..12,y = -4..5,color = [ black,blue,red,violet,brown ] ) ;y n x 1 = + /y n x = /y n x 2 = /y n x = /- Se quisermos determinar a curva do feixe que passa pelo ponto P ( e,3 ) ,teremos :x e3 n e C C 2y 3A soluo particular sera curva y n x 2 .= = + === +//( ) P e , 323222 2 33 2 4 3 23 221. Utilizando as integrais imediatas e as propriedades, calcular :a ) 3.dx Resp. : 3x Cb ) ( 2x 5 ).dx x 5x C1 x 1c ) ( x ).dx Cx 3 xd ) ( 3 2t 3t ).dt 3t t t Ce ) ( 4u 3u 6u 1).du u u 3u u Cx 1 x 1f ) dx Cx 2 xxg ) dx++ + + + + + + + + + ++ +32 220 02x x C3vh ) dv 2 v Cvi ) 3.(sen cos ).d 3 C1j ) ( gt v ).dt gt v t C2 + ++ ++ + +Exerccios de fixao2.Escrever a equao da curva que passa pelo pontoP ( 3 ,2 ) e, neste ponto, seu coeficiente angular o dobro da abs-cissa do ponto P .Resp.: y = x2 73.Determinar a equao do feixe de curvas onde o coeficiente angular da reta tangente, em cada pontoP , (2 x 3) .Resp.: y = x2 3x+ C4.Escrever a equao da curva que contm o ponto ( 9 ,4 ) e o coeficiente angular dado pela expressoResp.:5.A velocidade de um corpo, emm/s,submetido a um movimento retilneo uniformemente acelerado, dada pela equa-o v = 2 t + 1 . Calcular o tempo necessrio para percorrer240metros se,em5 segundos, opercurso registradofoide30 metros . Resp.: 15 segundos. x 350 x 2 y3 =10 10Unidade 1 - INTEGRAIS DEFINIDASProf. Arnaldo StochieroC C LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II- - RoteiroSin RoteiroSin ptico ptico- -- - Cursos de Engenharia Cursos de Engenharia- -11 11Euclides de Alexandria( 360 295 a.C. )EuclidesdeAlexandria ( 360a.C. 295 a.C.) foi umprofessor, matemticoplatnico e escritor de origem desconhe-cida, criador da famosageometria:o espao euclidiano, imutvel, simtrico e geomtrico,metfora do saber naanti-guidade clssica,que semanteve inc-lume no pensamentomatemticomedi-eval e renascentista, pois,somentenos tempos modernosforam construdos modelos de geometrias no euclidianas. 1.1. rea sob uma curva plana- fcil determinar a reaAde um retngulo ?A=b . hbhIlustraes :- Ocupao de uma sala retangular comcarteiras(densidade de ocupao de uma regio plana)- Nmero de poltronas da sala retangular de um teatro- rea de uma parede retangular azulejada- E a reaAde um tringulo retngulo ?- Basta notar que se trata da metade (meia poro) do retngulo .bh1A b h2=- Uma ilustrao geomtrica interessante :O desenvolvimento do Clculo Integral originou-se, em parte, da incessante busca de artifciose mtodos capazes de permitir o clculo das reas planas daquelas figurasqueapresentassem formas geomtricas diversificadas . A geometria euclidiana mostra com clareza que a rea de uma figura poligonal fechada facilmente obtida pela soma das reas de seus tringulos com-ponentes :T1,T2 ,T3 , . . . ,T9representam as reas dos tringulos componentes .A rea total da regio plana ser91 2 3 9 ii 1A T T T T A T== + + + + =

Sendoletrasigmamaiscula, do alfabeto grego . Em nosso alfabeto, corresponde letraS ,de soma . Nas operaes matemticas, tal smbolo recebe a denomi-nao especfica desomatrio .:i : ndice da soma,representando a ordem que o elemento ocupa na sucesso de termos . Assume valores inteiros positivos, negativos ou zero . 1 :limite inferior da soma dada .9:limite superior da soma dada .Alguns outros exemplos serviro de suporte para a familiarizao com os detalhes da notaosigma :) ( )) ( )) ( )ni 15i 1n22 2 2 2 2j 1a i 1 2 3 n 1 nb i 2 3 4 5 6 7c j 1 2 3 n 1 n==== + + + + ++ = + + + += + + + + +

1T2T3T4T5T6T7T8T9T( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )8k 31i 3ni 1n termosni mni i 1 1 2 2 3i 11 1 1 1 1 1 1d )k 1 4 5 6 7 8 9e ) 2i 1 7 5 3 1 1f ) f i f 1 f 2 f 3 f n 1 f nn n 1 1 :g ) f i f m f m 1 f m 2 f m 3 f n 1 f n , sendo m n .h ) f x . x f x . x f x . x f x .== ==== + + + + ++ = + + + += + + + + += = + + + + + + + + + = + +

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( )3 n nx f x . x . + + nmero de ordem do ltimo termomenos o nmero de ordem do antecessor do primeiroPortanto, tal sucesso tem n (m 1)ou (n m + 1) termosNas importantes contribuies que o famoso matemtico alemoBernhard Riemann legou ao Clculo Integral,o somatrioaparece com bastante frequncia na bibliogra-fia especfica, motivo por que tal smbolo costumeiramente tratado por soma de Riemann .A rigor, tal operao no se aplica isoladamente no clculo de reas das figuras planaslimita-das por segmentos curvilneos, porquanto, nesses casos, somos levados a associ-la noo delimite de uma funo , utilizando oretngulocomo elemento geomtrico bsico,atendendo inequvoca insinuao que o produto oferece como rea desse polgono . ( )ni ii 1f x . x=GeorgFriedrichBernhardRiemann (1826-1866)Como ilustrao genrica, consideremos o problema onde se requer a determinao da reaAlimitada pela curva representativa da funo contnuay = f(x) , pelo eixoXXe pelas retas verticaisx = aex = b :Como primeiro passo, dividimos o intervalo [ a,b ]emnsubintervalos,no importando se suas me-didas so iguais ou diferentes. Osn+1pontos de diviso foram anotados pore as medidas dosnsubintervalos por A cada subintervalo, associamos um retngulo inscrito e as reas desses retngulos sero dadas pore a soma das reas dosnretngulos inscritos expressa por (soma de Riemann).1 2 3 i i 1 n n 1x , x , x , , x , x , , x , x+ + i i 1 ix x x .+ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3 i i i n n nA f x . x , A f x . x , A f x . x , , A f x . x , , A f x . x = = = = = ( )ni ii 1f x . x=( )i if x . x 12 12Obviamente, se fizermosestaremos aumentando ilimitadamente o nmero de retngulos inscritos. Comoconsequncia,aqueles resduos de rea compreendidos entre acurvaecadaretngulo tornar-se-o desprezveis,garantindo-nos uma refinada preciso na medida da rea totalA da regio plana considerada :( )ini ini 1oux 0A lim f x . x .= = in ou x 0 , luz do raciocnio exposto, o fato de osnsubintervalos serem iguais ou diferentes torna-se intei-ramente irrelevante, sem nenhuma interferncia quantitativa no resultado procurado.Todavia, visando unicamente afa-cilitar os clculos, sempre conveniente utilizarmos a expressoestabelecendo assim a uniformizao da largura para os retngulos inscritos componentes .ix ( )ni 1 2 3ni 1oux 0A lim f x . x , considerando x x x x ,= = = = = =

x Portanto, raciocinandono varejocom a unidade bsica retangular, conseguimos instituirporatacado a expresso da rea de uma regio plana qualquer. oportuno salientar a espantosa simplificao que o conceito de limi-te promoveu na conduo do problema,esgotando todos os pontos da regio varrida,exaurindo-lhe todos os minsculosfragmentos de rea.Da o motivo pelo qual alguns autores denominam tal manobra matemtica demtodo de exausto .Advertncia :Antes de iniciarmos a apresentao de algumas ilustraes prticas,convm mostrar asproprieda-des operacionais do somatrio,bem como algumas igualdades teis que nos serviro comosuportede clculo.Estudaremos quatro propriedades simples, mas de fundamental importncia no Clculo .Primeira Propriedade . sendok uma constante real dada . Verificao :ni 1k k n ,==ni 1k k k k k k n== + + + + =

_n termosSegunda Propriedade .(a constantek pode ser transposta para fora do somatrio) Verificao :( ) ( )n ni 1 i 1k . f i k . f i= == ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ni 1k . f i k . f 1 k . f 2 k . f 3 k . f n== + + + +

( ) ( ) ( ) ( )( )ni 1k . f 1 f 2 f 3 f nk . f i== + + + + =

Terceira Propriedade .Verificao :( ) ( ) ( ) ( )n n ni 1 i 1 i 1f i g i f i g i= = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ni 1f i g i f 1 g 1 f 2 g 2 f n g n= = + + +

Aplicando as propriedades comutativa e associativa da adio, podemos escrever( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f 1 f 2 f n g 1 g 2 g n = + + + + + + ( ) ( )n ni 1 i 1f i g i= == - Tal propriedade generaliza-se facilmente para um nmero qualquer de parcelas-Quarta Propriedade .Verificao :Utilizando uma disposio vertical para os termos da sucesso e adicionando-os, vem : ( ) ( ) ( ) ( )ni 1f i f i 1 f n f 0= = 13 13( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )f 1 f 0f 2 f 1f 3 f 2f n 1 f n 2f n f n 1________________f n f 0 .Essa ltima propriedade pode parecer extremamente complicada .No entanto, fcil mostrar quea dificuldade apenas aparente, pois, o significado que a igualdade encerra reduz-se afirmativa bvia de quea soma das partes de um todo resulta nesse mesmo todo . A ilustrao geomtrica que segue confirma a simplicidade de seucon-tedo :Considerando cada termo [ f (i) f (i 1)]como sendo a medida de cada segmento com-nente deAB , ento, a expresso representar a medida total do segmento AB : f (n)- f (0). ( ) ( )ni 1f i f i 1= (n + 1) pontosn segmentosProblemas resolvidosAplicando os elementos estudados at agora, calcular os valores das somas indicadas a seguir :( )5i 1a ) 2i 3=+Resoluo .( )( )5 5 5i 1 i 1 i 12i 3 2 i 32. 1 2 3 4 5 3.5 2.15 15 45 .= = =+ = += + + + + + = + = 3ii 2b ) 2= Resoluo .3i 2 1 0 1 2 3i 21 1 632 2 2 2 2 2 2 1 2 4 84 2 4 = = + + + + + = + + + + + = 5k 3k 3 4 5 3 4 5 49k 1 3 1 4 1 5 1 2 3 4 12== + + = + + = Resoluo .5k 3kc )k 1=( )4t t 1i 1d ) 3 3=Resoluo . Confrontando tal expresso com o primeiro membro da 4. propriedade : ( )( )tt 1f i 3f i 1 3 , = =resulta que o segundo membro pode ser escrito( ) ( )4 0f 4 f 0 3 3 81 1 80 = = = =( )4t t 1i 13 3=14 14> Sum (2*i+3, i=1..5) = sum (2*i+3, i=1..5) ; = =i 15( ) +2 i 3 45> Sum (2^i, i=-2..3) = sum (2^i, i=-2..3) ; = =i -232iMaple :Maple :634> Sum (k/(k-1), k=3..5) = sum (k/(k-1), k=3..5) ; = =k 35Maple :k k 14912> Sum (3^i -3^(i -1), i=1..4) = sum (3^i 3^(i -1), i=1..4) ; = =i 14( ) 3i3( ) i 180Maple :Sum :exibe o somatriosum :fornece o resultado Arrematando a instrumentao bsica mostrada nessas primeiras pginas, deduziremos agora trs igual-dades notveis com grande ressonncia nas diversas aplicaes prticas programadas para este curso :( )ni 1n n 11 .) i2=+=Deduo : J vimos queSe aplicarmos a propriedade comutativa da adio e invertermos a ordemdos termos, teremos :Adicionando, membro a membro, as igualdades (1)e(2),resulta : ( ) ( )ni 1i 1 2 3 n 1 n 1 .== + + + + +

( ) ( ) ( )ni 1i n n 1 n 2 2 1 2 .== + + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )ni 1n parcelas iguais a n 12 . i n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 .=+= + + + + + + + + + +

_Ento,( )( )n ni 1 i 1n n 12 . i n n 1 i2= =+= + = ( ) ( )n2i 1n n 1 2n 12 .) i6=+ +=Deduo : Como artifcio de clculo, consideremos a identidade algbricaAplicando a 4. propriedade e levando em conta que ( )33 2i i 1 3i 3i 1 . = +( )3f i i : =( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )n n33 2i 1 i 1n n n2 3 3i 1 i 1 i 1n n n2 3i 1 i 1 i 1n2 3i 13n2i 13 2n2i 1i i 1 3i 3i 1 f n f 03i 3i 1 n 03 . i 3 . i 1 nn n 13. i 3 n n23n n 1n n2i32 n 3 n n6n n 1 2n 1i6= == = == = ==== = + = + = + =+ + =++ =+ +=+ + = Observao . Um artifcio anlogo poderia ser usado na deduo da primeira igualdade, bastando utilizar a identidade guisa de exerccio, sugerimos ao prezado leitor desenvolv-la por esse caminho . ( )22i i 1 2i 1 . = ( )2n3i 1n n 13 .) i2=+ = Deduo : Mutatis mutandis, basta considerar como base a expresso ( )44i i 1 : ( )( )n44 3 2 3 2 4 4 4i 1n n n n3 4 2i 1 i 1 i 1 i 1i i 1 4i 6i 4i 1 4i 6i 4i 1 n 0 n4 . i n 6 . i 4 . i 1== = = = = + + = == + + Ento,e as articulaes algbricas j estudadas nos conduziro ao resultado . 15 15Como ensaio de informatizao, mostraremos as mesmas trs igualdades notveis da pgina anterior tratadas luz do aplicativoMaple :( )ni 1n n 11 .) i2=+=( ) ( )n2i 1n n 1 2n 12 .) i6=+ +=( )2n3i 1n n 13 .) i2=+ = 16 16> Sum ( i ,i = 1..n ) ;> value (%) ;> factor (%) ;ou> sum ( i,i = 1..n ) ; =i 1ni ( ) +n 122n212n ( ) +n 12 ( ) +n 122n212n ( ) +n 12> factor (%) ;Verificao :ou ainda> Sum ( i, i = 1..n ) = sum( i, i = 1..n ) ; = =i 1ni ( ) +n 122n212> factor (%) ; = =i 1nin ( ) +n 12> Sum ( i^2 ,i = 1..n ) ;> value (%) ;> factor (%) ;ou> sum ( i^2,i = 1..n) ; =i 1ni2 + + ( ) +n 133( ) +n 122n616n ( ) +n 1 ( ) +2 n 16n ( ) +n 1 ( ) +2 n 16Verificao : + + ( ) +n 133( ) +n 122n616> factor (%) ;ou ainda> Sum ( i^2, i = 1..n ) = sum ( i^2, i = 1..n ) ;> factor (%) ; = =i 1ni2 + + ( ) +n 133( ) +n 122n616 = =i 1ni2n ( ) +n 1 ( ) +2 n 16> Sum ( i^3 ,i = 1..n ) ;> value (%) ;> factor (%) ;ou> sum ( i^3,i = 1..n) ;> factor (%) ;Verificao : =i 1ni3 + ( ) +n 144( ) +n 132( ) +n 124n2( ) +n 124 + ( ) +n 144( ) +n 132( ) +n 124n2( ) +n 124ou ainda> Sum ( i^3, i = 1..n ) = sum ( i^3, i = 1..n ) ;> factor (%) ; = =i 1ni3 + ( ) +n 144( ) +n 132( ) +n 124 = =i 1ni3n2( ) +n 124Problemas resolvidos1.Calcular a soma dos 100 primeiros nmeros naturais .Resoluo :( )100i 1100 100 1i 50 . 101 5050 .2=+= = =2.Calcular as somas indicadas :( )( ) ( ) ( )30 30 302 2i 1 i 1 i 1a ) i 2 i i 2 . i30 30 1 2 .30 1 30 30 126 25 .31.61 30 .3110 385= = =+ = ++ + += + = += ( )( )( ) ( ) ( )50 502i 1 i 150 502i 1 i 1b ) 4 i i 1 4 i 4 i4 i 4 i50 50 1 2 .50 1 50 50 14 46 2171700 5100166 600= == = = = + + += = = 3.Calcular o limiteResoluo :n n n2 2n ni 1 i 1 i 16 4 i 6 4 ilim limn nn n = = = = n2ni 16 4 ilimnn= Para o somatrio, a varivel nrepresenta um nmero dado e, portanto, atuacomo uma constante . Ento, podemos escrever( )n n2ni 1 i 12n n6 4lim 1 innn n 16 4 2lim n lim 6 2 4n 2 nn= = = + = = = 4.Determinar a rea da regio plana limitada pelas retasy = x 1 ,x = 5e o eixoXX .Resoluo : Dividindo o intervalo[ 1,5 ]emnsubintervalos iguais e utilizando retngulos inscritos, poderemos estabelecer a expresso da reaAmediante o limite ( )( )ni iini 1ouxf x x 1A lim f x . x , considerando5 1 4xn n= = = = =Analisando a partio do intervalo [ 1,5 ]em segmentos iguais , fcil construir a sucesso de valores( )12345ii 1n 1x 1x 1 xx 1 2 . xx 1 3. xx 1 4 . xx 1 i 1 . xx 1 i . xx 1 n . x 5++== + = + = + = + = + = + = + =..17 17> Sum (i, i=1..100) = sum(i, i=1..100) ;= =i 1100i 5050> Sum (i^2+2*i, i=1..30) = sum(i^2+2*i, i=1..30) ;= =i 130( ) +i22 i 10385> Sum (4*i*(i -1), i=1..50) = sum(4*i*(i -1), i=1..50) ; = =i 150( ) 4 i ( ) i 1 166600> Limit (Sum(6/n-4*i/n^2, i=1..n), n=infinity) = limit (sum(6/n-4*i/n^2, i=1..n), n=infinity) ; =lim n =i 1n 6n4 in24Limit :exibe o limitelimit :fornece o resultado ( ) ( )( )( )n nin ni 1 i 1ouxn2ni 1n n2ni 1 i 122 2n n n4 4A lim f x . x lim i 1n n16lim i 1n16lim i 1nn n 116 16 n n 8lim n lim lim 82 2 nn nA 8 = = == = = = = = + = = = = Ora, e a expresso da rea A ser( ) ( ) ( ) ( )i i i4 4x 1 i 1 . x 1 i 1 f x x 1 i 1n n= + = + = = unidades de rea .5.Determinar a rea da regio plana limitada pela parbolay = x ,a retax = 2 e o eixoXX .Resoluo : Analogamente ao que fizemos na questo anterior : ( )( )2ni iini 1f x xA lim f x . x , sendo2 0 2xn n=== = =( )12345ii 1n 1x 0x 0 xx 0 2 . xx 0 3. xx 0 4 . xx 0 i 1 . xx 0 i . xx 0 n . x 2++== + = + = + = + = + = + = + =..Sucesso de valores da partio :Tal como no problema anterior, a expresso da rea do retngulo genrico ser desenvolvida como seguee o clculo da rea total da regio solicitada ser encaminhado pela via do limitecujas manipulaes algbricas nos conduzem expresso mais simples( ) ( ) ( ) ( )22 2i i i32 2 2 8f x . x x 0 i 1 f x . x i 2i 1n n nn = = + = + ( )( ) ( ) ( )n23 3n ni 1n n 1 2n 1 n n 18 8A lim i 2i 1 lim 2 n6 2n n =+ + + = + = + 2n3 8 4 1A lim 2 A3 n 3n = + = unidades de rea .6.Resolver o problema anterior, utilizando retngulos circunscritos .Resoluo : Todo o raciocnio desenvolvido nomtodo de exausto ,com a utilizao dos retngulos inscritos,tambm vlido para os retngulos circunscritos e semi-inscritos .Ao considerarmos onmeronde retngulos circunscritos suficientemente grande,os fragmentos de rea em excesso que extrapolam a regio da-datambm sero desprezveis e o resultado encontrado ser o mesmo obtido por meio do recurso anterior . ( )( )( )2ni 1 i 1i 1ni 12i 1 i 12f x xA lim f x . x , sendo2xn2 4x 0 i . x i f x inn+ ++=+ +== == + = =2y x =x 2 =ixx O 2Maple> plot ( x^2,x =-1.. 2.5 );2y x =x 2 =x ixO 2i 1x+18 18> Limit (16/n^2*Sum(i -1, i=1..n), n=infinity) = limit (16/n^2*sum(i -1, i=1..n), n=infinity) ; =lim n 16 =i 1n( ) i 1n28(O, 5) 18X( ) ( )n n2 22 3n ni 1 i 1n23ni 13n3 23n2n2 8 4A lim i lim inn n8lim inn n 1 2n 18lim6n2n 3n n 4lim3n3 1 8 4lim 2 A3 n 3n = === == + += + += = + + = unidades de rea .7.Resolver o mesmo problema,considerando retngulos semi-inscritos .Resoluo :Intuitivamente, fcil estabelecer a expresso da reado retngulo semi-inscrito genrico de alturae larguraApenas com o fito de facilitar a tarefa, consideremoso ponto mdio da base desse retngulo,sendo vlido de-duzir( )2i if m m =i 1 i2x x xn+ = = im( ) ( ) ( )i i i 11 1 2 2 1m x x i 1 i 2i 1 .2 2 n n n+ = + = + = Ento, a expresso da rea do retngulo hachurado e a rea totalAda regio proposta ser calculada pelo limite( ) ( )( )22 2i i i32 1 2 2A f m . x m 2i 1 4 i 4 i 1n n nn = = = = + ( )( ) ( ) ( )n n2 23 3n ni 1 i 13n33n2 8 1A lim 4 i 4 i 1 lim i i4n nn n 1 2n 1 n n 18 nlim6 2 4n8 4n n 8lim A12 3n = = = + = + + + + = + = = unidades de rea .Resoluo : Utilizando retngulos circunscritos, teremos8 .Problema 16,pgina 377- James Stewart : Determinar a expresso da rea sob o grfico da funo, no intervalo [ 1,8 ] .3x 5 x f + = ) (Yf 1 i ix x+x n3i 1 i 1i 1 8 1 7ni 1 n n7 ii 1nn7 i 73n nni 1n7 7 i3n nni 1f ( x ) 5 xA lim f ( x ) . x , ondexOra, x 1 i . x 1Ento, A lim 5 1lim 5 1+ ++ =+ = == +== == + = + = + + = + + Em tempo : Optamos porpara desbastar um pouco o imbrglio algbrico decorrente . ) (1 ix f+2y x =x 2 =iximi 1x+O2>> x = linspace (0,9,100) ;>> y = 5+ x.^(1/3) ;>> plot (x, y)Matlab19 1920 209.Problema 20, pgina 377- James Stewart :a) Determinar a expresso da rea sob o grfico da funoy = x ,no intervalo[ 0,1] .Resoluo . No retngulo circunscrito, temosixi 1x+x ( ) ( )3i 1 i 1f x x+ +=( )2f x x =( )3i 1 i 11 0 i iComo x 0 i . x i , resulta f xn n n+ + = + = = = 3n n34n ni 1 i 1i 1 1Ento, A lim lim in n n = = = = b)Calcular a rea .Resoluo .( )22n34 4n ni 12nn n 11 1A lim i limn n 41 2 1 1lim 1 A4 n n 4 = += = = + + = 10.Problema 24, pgina 378- James Stewart :a) SejaAna rea de um polgono regular denlados,inscrito num crculo de raior . Dividindo o polgono em ntringulos issceles congruentesOAB, com ngulo central mostrar que2,n2n1 2A nr sen2 n= Demonstrao .SendoOABo tringulo issceles genricocomponente do polgono, sua rea ser21 1 1 2AB OM 2r sen r cos r sen2 2 n n 2 n = = Ento, a rea do polgono regular escreve-se n2nA n.rea OABou1 2A nr sen2 n== 2nnlim A r . = b)Mostrar queDemonstrao .22 2 nn2n n nn2n220nn2nnsen 1 2lim A lim n r sen lim r2 nsen 2Ora, n 0 e lim 1 .nLogo, lim A r . = = ==- Observemos que tal proposio nos sugere encarar a rea do crculo como o limite da soma dasreas dosn tringulos issceles de vrtice comumO ,quando n .> Limit (Sum(i^3/n^4, i=1..n), n=infinity) = limit (sum(i^3/n^4, i=1..n), n=infinity) ; =lim n =i 1ni3n414OBAM rrnnProblemas propostos1.Calcular os somatrios,verificando as igualdades :( )( ) ( )5 5 5 10022 i 1 i i i 1 100i 1 i 1 i 1 i 1a ) i 55 b ) i 1 90 c ) 2 2 62 d ) 2 2 2 1+ = = = == + = = = 2.Utilizando somatrios,expressar as sucesses seguintes :( ) ( ) ( ) ( ) ( )202 2 2 2 2i 588i 130i 3a ) 5 6 7 20 Respostas : i1 1 1 1 4b ) 4 .3 4 5 90 i 21 1 1 1 1c )3 3 2 4 4 2 5 5 2 30 30 2 i i 2===+ + + + + + + + + + + + +

3.Mostrar que a soma dos quadrados dos100 primeiros nmeros naturais 338 350 . 4.Calcular as somas indicadas,verificando os valores encontrados :( ) ( )20 25i 1 i 1a ) 3i 1 610 b ) 2i i 1 11700= = = + = 5.Verificar as igualdades :( )n n223 3n ni 1 i 18 i 8 27a ) lim b ) lim i 1 93n n = == = 6.Determinar a rea da regio plana limitada pelas retas y = 2x , x = 1 , x = 4 e o eixoXX ,utilizandoretngu-los inscritos na varredura .Resposta :15 unidades de rea7.Considerando retngulos circunscritos,resolver o problema anterior .8.Resolv-lo tambm por meio de retngulos semi-inscritos .9.Calcular a rea plana da regio limitada pelas curvas y = x ,y = 0ex = 3 .Resposta :910. Calcular a rea do trapzio limitado pelas retasy = 2x + 1 , x = 2 , x = 4e y = 0 , trabalhando com retngu-los semi-inscritos .Resposta :1421 211.2. Conceito de integral definidaDesde a poca do eminente matemticoArquimedes (287-212 AC) at o incio do sculo XIX, todas as iniciativas relacionadas com os fundamentos do Clculo atribuam integral o mero significado de uma rea plana .A par-tir de 1820, com o matemtico francsCauchy, surgiram os primeiros ensaios visando ampliao desse importantecon-ceito . Nos anos subsequentes, graas aos desafiantes problemas de conduo de calor e propagao ondulatria,intensi-ficou-se o desenvolvimento da Anlise Matemtica, culminando com um brilhante trabalho de Bernhard Riemann que, em 1854, aprofundou o estudo da integral, conferindo-lhe uma conceituao mais precisa .No obstante, a incontestvel argumentao didtica inserida na imagem geomtrica de umareaplana constitui at hoje a base das lies iniciais de quase todos os livros e tratados de Clculo Integral .A Integral Definida . Consideremos uma funo real y = f (x) ,contnua num intervalo[ a , b ] .Definio . Integral definida def ,deaat b , anotada por , o limite da soma de Riemann quando o nmerondesubintervalos cresce infinitamente, vale dizer,se tal limite existir . ( )baf x . dxix 0 : ( ) ( )ibni ini 1a oux 0f x . dx lim f x . x ,= = Augustin LouisCauchy (1789-1857)( )baf x . dx ,x , ( ) ( )bnini 1a oux 0f x . dx lim f x . x .= = Gottfried WilhelmLeibniz (1646-1716)Observaes :1.)Nos tratados de Clculo, frequente encontrarmos a definio acima estampada na formasendo pontos quaisquer dosnsubintervalos componentes do intervalo[ a ,b ] : ( ) ( )bni ini 1af x . dx lim f . x , == 1 2 3 n, , , , Na definio acima, adotamos a particularidade1 1 2 2 3 3 n nx , x , x , , x . = = = = 2.)Embora no nos ocupemos das mincias, por no ser este o objetivo do curso, importantefixar como princpio que toda funo contnua num intervalo integrvel nesse intervalo. Portanto, a continuidade condio suficiente de ser integrvel .Por outro lado, existemfunes integrveis em intervalos onde so descontnuas, resultando da que a continuidade no condio necessriapara que uma funo seja integrvel .22 22Arquimedes deSiracusaNa notao destacamos : f (x) :funo integrandoa :limite inferior de integraob :limite superior de integrao:smbolo da integral, criado porLeibniz ,significandouma degenerao da letra maisculaSindicativa de uma soma de termos . Tal smbolo o mesmo utilizado para representar aoperaointegrao ,pois, como veremos adiante, existe um teorema que estabelece umarelao direta entre a integral definida de uma funo fesuaantiderivada .Supondo osnsubintervalos de mesmo comprimento a igualdade acima se escreveIlustraes Prticas1.) Problema20 ,pgina389 - James Stewart :Utilizar a definio de integral definida para calcular a integral( )5212 3x x . dx . + Resoluo .( )( ) ( )( )222 35ni 1 2 25 1 4i 1 i 1nn ni 11n24 4 i 4 in n nni 1n4 4 i 16 in nnni 1n n n2 16 16 64nn nni 1 i 1 i 1x 1 i . x( 2 3 x x ) . dx lim 2 3x x . x , ondexlim 2 3 1 1lim 4lim 1 i i83++ + = = = = = == + + = + = = = + + + = + = + = .2.) Problema32 ,mesma pgina do livro-texto :Calcular a integral ,interpretando-aem termos da rea de uma regio plana . Resoluo . A integral corresponde rea limitada pela curva eoeixoXX ,no intervalo[ -2 ,2 ] , vale dizer,rea de um semicrculo de centro na origem e raio2 .222dx x 4 .2x 4 x f = ) (22 22rea plana do semicrculo:14 x . dx 2 22 = =23 23> Limit (4/n*Sum(4+4*i/n -16*i^2/n^2, i=1..n), n=infinity) == limit (4/n*sum(4+4*i/n -16*i^2/n^2, i=1..n), n=infinity) ; =lim n 4 =i 1n+ 44 in16 i2n2n83> plot (2+3*x-x^2,x = 0..6) ;- No aplicativoMAPLE ,o clculo da integral definida pode ser feito nos moldes j assimilados antes : > Int (sqrt (4-x^2),x = -2..2) = int (sqrt (4-x^2),x = -2..2) ;=d-22 4 x2x 2 > rea = Int (sqrt (4-x^2),x = -2..2) ;=rea d-22 4 x2x> value (%) ; =rea 2 > evalf (%, 5) ;ouInt :exibe a integralint :fornece o resultado =rea 6.28321.3. Teorema fundamental do ClculoEstudemos agora a base fundamental do Clculo Diferencial e Integral constituda pelo tradicionalmente chamadoTeorema Fundamental do Clculo . Tal teorema prope uma ligao direta entre as operaes de integrao e derivao, estabelecendo a definitiva simplificao de um problema que, se tratado de outra forma, apresentaria uma peno-sa e cansativa resoluo . Dadas as sutilezas tericas que o envolvem, omitiremos sua demonstrao, ainda porque,para realiz-la, seria necessria a apresentao de outros teoremas de sustentao,alm de elementos tericos mais avanados do que aqueles que o nosso curso comporta . Todavia, em lugar de uma demonstrao formal, nada nos impede de ensaiar uma interpretao geomtrica pertinente, inteiramente afinada com as questes tratadas nas pginas anteriores .Os ingleses conferem a paternidade desse teorema aIsaac Newtone os alemes garantem que a sua for-mulao se deve aLeibniz . Na tentativa de nos colocar numa posio pacifista, apaziguadora, optamos por denomin-lo Teorema de Newton-Leibniz :Teorema .Sef uma funo contnua em[ a ,b ]eF a funo primitivaou antiderivada def ,ento( ) ( ) ( )baf x . dx F b F a . = ( )- Geralmente, o segundo membro dessa igualdade escreve-se( )b ba aF x ou F x . Exemplos :( )22 23 3 32 20 0 01 1 1x x 1 0 x0 0 02 2 200 02 22x 2 0 8a ) x . dx x . dx3 3 3 3b ) e . dx e e e e . dx e 1c ) cos w. dw sen w sen sen0 1 0 cos w. dw 12d ) sent . d t cos t cos 2 cos 1 1 sent . d t 2 = = == = = = = = == = = = (Ver exerccios resolvidos 5, 6 e 7 , naspginas 18 e 19 deste compndio) - Observemos que o fato de no considerarmos a constanteC , utilizada na integral indefinida, no afeta o resultado encontrado :( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )bbaaf x . dx F x CF b C F a CF b C F a CF b F a .= + = + + = + = Como j dissemos acima, vlido ensaiar uma interpretao grfica do teorema em tela,seja com a inteno de fixar seuenunciado, seja para visualizar seu contedo.Desculpem-nos a insistncia, porm mais uma vez invocare-mos o espectro de uma rea plana, associado ao conceito da integral definida :trata-se, entretanto, de umprocedimento didticoplenamenterecomendvel na medida em que bus-ca levar o leitor a assimilar e memorizar oproeminente sig-nificado da integral . Consideremos uma funo f , contnua em [a , b] , e simboli-zemos uma rea genricaAe seu respectivo acrscimoA : rea da regio plana A : rea da regio planaA : ( )ia M N x( )i i 1x N P x+IsaacNewton(1643-1727)24 24 Por construo, sabemos que o acrscimo de rea maior que a rea do retngulo inscrito e, ao mesmo tempo, menor que a rea do retngulo circunscrito , ou seja,A ( )i i 1x NRx+A ( )i i 1x QPx+( ) ( )i i i 1 if x . x A f x . x .+ < < Dividindo todos os membros dessas desigualdades porvem ix , ( ) ( ) ( ) ( )i i 1 i i ii iA Af x f x f x f x x .x x+ < < < < + Introduzindo a noo de limite, fazendoe lembrando que(definio de derivada :razo de variao da rea planaA em relao varivel independente) , podemos escreverComo representa um valor genrico dex , usaremos simplesmente a notao usualxe teremos ix 0 , ( ) ( )i i ii i ix 0 x 0 x 0iAlim f x lim lim f x xx < < + ix 0i iA dAlimx dx =ix( ) ( )i iidAf x f x .dx< < > >, ondex sempre positivo,pois,est orientado no sentidoO X .Ento,( )( ) ( ) ( )2020A sen x .dx sen x .dxcos x cos xcos cos 0 cos 2 cos1 1 1 11 1 1 1A 4 = + = += + = + = + + + = unidades de rea .> plot ( sin(x),x = 0..2*Pi ) ;Maple1A25 252AEsse exemplo torna inquestionvel o conceito da integral definida :limite da soma de um nmero sufi-cientemente grande de termos . Devido simetria existente entre os termos da regio aditiva e os termos da regio subtrativa,o valor numrico resultante da integral somente poder ser zero, embora a rea no seja nula .Mais uma vez insistimos na argumentao de que o apelo ao aspecto geomtrico de uma rea plana tem sido utilizado apenas como recurso didtico e no como base de sustentao terica do conceito .Tal como qualquer mquina de calcular, a integral somente funciona subordinada a um comando . Por-tanto, se pretendemos utiliz-la como eficiente prestadora de servios,deveremos comear porassimilare dominar seus dispositivos de funcionamento, representados por suas propriedades operacionais .Na Unidade 3faremos a mostra de algumas aplicaes geomtricas, fsicas e tcnicas dessa engenhosa instrumentao matemtica .1A2APrimeira Propriedade . Se os limites de integrao so iguais, a integral nula :Verificao : Decorre imediatamente do teorema fundamental : ( )aaf x .dx 0 . =Segunda Propriedade . Se invertermos a ordem dos limites de integrao, a integral troca de sinal :Verificao :Terceira Propriedade . o fator constantekpode ser transposto parafora do smbo-lo daintegral .Verificao : De acordo com a definio, podemos escrever Sendo a integralQuarta Propriedade . A integral de uma soma algbrica de funes igual soma algbrica das integrais das funes parcelas :Verificao :Utilizando uma disposio vertical para os termos da sucesso e adicionando-os, vem : Propriedades Fundamentais( ) ( ) ( )aaf x .dx F a F a 0 . = =- Geometricamente, essa propriedade se sustenta pela varredura da rea nula .( ) ( )b aa bf x .dx f x .dx . = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b aa bf x .dx F b F a F a F b f x .dx . = = = - Geometricamente, a sustentao consiste nos sentidos contrrios das varreduras .( )bak . f x .dx ,( ) ( ) ( )( )( )b n ni i i in ni 1 i 1ani in ni 1bak . f x .dx lim k . f x . x lim k . f x . xlim k . lim f x . xk . f x .dx . = = == = = = ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x . dx f x . dx g x . dx . = ( ) ( ) ( ) ( )bnf x g x . dx lim f x g x . x = ( ) ( )( ) ( )i i ini 1an ni i i in ni 1 i 1b ba alim f x . x lim g x . xf x .dx g x .dx .= = = = = 26 26Quinta Propriedade . A integral definida pode ser decomposta na soma algbrica de duas ou mais integrais parcelas .Verificao :O teorema fundamental nos proporciona escrever ( ) ( ) ( )b c ba a cf x . dx f x . dx f x . dx . = + c( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )abcf x . dx F c F a 1f x . dx F b F c 2= = Adicionando as igualdades(1) e (2),resulta :( ) ( ) ( ) ( )( )c ba cbaf x . dx f x . dx F b F af x . dx .+ = = Observao . No caso de o pontox = cser exterior ao intervalo [ a ,b ] , direita ou esquerda, a segundapropriedade assegura a validade desta ltima . Fineza verificar .Problemas Resolvidos1.Calcular as integrais seguintes, mostrando o clculo da primitiva com a utilizao doMAPLE :( )( )( )23 23 321 11x 2a ) x 5 . dx 5x 5 . 2 5 . 13 3 38 110 53 38 110 53 312 = = = + = + = 201b ) dt3t 1 =+Fazendo 3t 1 v dv 3 dt . + = = Se o intervalo de variao det [ 0 ,2 ] ,ointer-valo correspondente da nova varivelvser obtido como segue :{[ ]t 0 v 3.0 1 11, 7t 2 v 3. 2 1 7= = + == = + =7 7711 1dv1 dv 1 13nv n7 .v 3 v 3 3= = = = / /110 20dxc ) arc tg x1 xarc tg 1 arc tg 0044=+= = = 41d ) x 2 dx ={x 2 , se x 2 0 x 2Sabemos que x 2x 2 , se x 2 0 x 2 = + < Int (x^2-5, x) ;d x25 x> value (%)+C ; + 13( ) ln+3 t 1 C + 13x35 x C> Int (1/(3*t+1), t) ; d1 +3 t 1t> value (%)+C ;> Int (1/(1+x^2), x) ; d1 +1 x2x> value (%)+C ; +( ) arctan x C> Int (abs(x-2), x) ;dx 2 x27 27> Int (x^2-5, x=-1..2) = int (x^2-5, x=-1..2) ; =d-12 x25 x -12> Int (1/(3*t+1), t=0..2) = int (1/(3*t+1), t=0..2) ; =d021 +3 t 1t13( ) ln 7> Int (1/(1+x^2), x=0..1) = int (1/(1+x^2), x=0..1) ; =d011 +1 x2x441x 2 dx ( ) ( )Portanto,2 41 22 42 21 2x 2 .dx x 2 .dxx x2x 2x2 24 1 16 44 2 8 42 2 2 212 4 2 8 8 2 421 522 2= + + = + + = + + + = + + + += + = - Observemos que, numericamente,esse resultado encontrado representa a soma das reas do par de tringulos retngulos sugeridos pelo grfico da funo dada .2.Sejaa velocidade de um automvel num dado instante Estando o carro submetido a ummovimentoretilneo uniformemente acelerado, no instantetsua velocidade ser ondearepresenta sua acelera-o . Exprimir a equao de posio do automvel durante o percurso .0v0t 0 . =0v a t v , = +Resoluo . Em cada instante a velocidade instantnea serit ,( )i iv f t . =Considerando uma variao infinitesimal de tempoo produtorepresentar umdeslocamento ins-tantneo do automvel .Portanto,ao cabo do intervalo de tempo[ 0 ,t ] ,sua posioSser dada porit , i iv . t iS( )t tni i 0ni 10 0t20020S lim v . t S v . dt a t v . d t1a t v t21S a t v t :2== = = + = + = + equao de posio- A interpretao geomtrica nos assegura que, numericamente,a rea do trapzio limitado pela fun-o lineareo eixoTT ,no intervalo[ 0 ,t ] ,corresponde distncia percorrida pelo automvel no dado espao de tempo .0v a t v = +3.Problemas do livro-texto,James Stewart,pginas 399 e 400 :Aplicando o teorema fundamental, calcular as integrais [ ]14 412 243 324 ) dt Resoluo: A funo f ( t ) apresenta uma descontinuidade no ponto t 0,t tno intervalo 1, 1 . Na Unidade 4 veremos como tratar o problema .32 ) sec .d Resoluo : A funo f ( ) sec descontnua no ponto .234 ) 8 e = == =( )( )( )( )22n 6n 6x x n 6 n 3n 3n 3ee2ee.dx 8 e 8 e e 8 6 3 24 .336 ) dx 3 n x 3 n e n e 3 1 2 3x= = = = = = = = /// //// / /MAPLE :> plot ( abs(x-2),x = 0..5,color = red, title = `funo modulary = | x-2 |` ) ;y = -x + 2 y = x -228 28> Int (abs(x-2), x=1..4) = int (abs(x-2), x=1..4) ; =d14 x 2 x52{( ) ( )120,512 020002 2 200dx38 ) arc sen x arc sen arc sen0 06 61 xx , se x 040 ) f ( x ).dx , onde f ( x )sen x , se 0 xxResoluo : x .dx sen x .dx cos x 1 1 22 2 258 ) Calcular o limite, identificando primeiro a soma = = = = =< + = + = + + = [ ]( )( )1 1 2 3 nn n n n nni 1 i 11 0 1n nii 1 i 1ndada como uma soma de Riemann, para umafuno definida no intervalo 0, 1 : limf x xResoluo: A identificao da soma de Riemann feita como seguexix 0 i . x , resulta f xnEnt + ++ + + + + + == == + = =

( )( )( )32n1 1 i3 n 1 2n n n n n n nn ni 1ni 1ni 1113200b ax x b a b a0 0ao, lim limlim f x . xx 2x . dx364 ) B 3A e .dx 3 e .dx e 1 3e 3 e 3e 2b n 3e 2 =+ =+ + + + === = == = = = =

/O 1( )( )24 4 4 220 0 0 11 e 1v0 1 0 02 2 22 2 3 40 0 0 04026 dx dx 1a ) x 1 . dx 12 b ) 2x 1 . dx c ) 2 d )3 152x 1 2x 12 d te ) 1 x . dx f ) 2 g ) e . dv e 1 h ) sen . d 23 ti ) sen . d j ) cos . d l ) tg x . dx n 2 m) sec t . dt 14 41n ) cos 2 . d o ) sen2 + = + = = =+ + = = = == = = == /( )12220 022 e 321 1 11 2 321 0 01 1 dxw.cos w. dw p ) : Fazer x tg3 8 41 xx 1q ) dx 2 : Fazer x 1 v , v 0 r ) n x . dx 1 s ) x . dx 5x 25 11t ) 2x 1 . dx u ) cos x . dx 4 v ) x 3 x 2 . dx2 6= = + =+ = = = =+ = = + = /1 i ix x+x x x f = ) (Problemas Propostos1.Calcular as integrais seguintes e confirmar os valores encontrados :dx = sec2 . d2.A velocidade de um corpo,em m/s,submetido a ummovimentoretilneouniformementeacelerado, dadapela equao Calcular a distncia total percorrida pelo corpo ao cabo de5 segundos eo tempo necessrio para um percurso de 240 metros . Resposta : 30 metros ,15 segundosv 2t 1 . = +3.Deixa-se cair uma pedra do alto de uma torre com80 metrosde altura .Determinar a distncia da pedraao solo, 3 segundosaps o lanamento . A acelerao da gravidade local g = 10 m/s e despreza-se a resistncia do ar .Resposta : 35 metros4.No problema anterior, determinar o tempo de durao da queda, desde o alto da torre at o solo .Resposta : 4 segundosplot (sqrt(x),x = 0..1.2) ;Maple29 291.Comentrios adicionais oportuno salientar que, na utilizao do aplicativoMAPLE , outras filigranas podem ser ensaiadas na reso-luo das integrais . Como ilustrao, usaremos alguns exerccios propostos na pgina anterior :4026b ) 2x 1 .dx3+ => with (student) :# Comando sinttico do procedimento abaixo > A1:= Int (sqrt (2*x+1),x) ; :=A1 d +2 x 1 x> A2:= value (A1) ; :=A213( ) +2 x 132> subs (x=4, A2) subs (x=0, A2) ; 3 913263=40dxc ) 22x 1=+> with(student) :> B1:= Int (1/sqrt(2*x+1),x) ;:=B1 d1 +2 x 1x> B2:= value (B1) ; :=B2+2 x 1> subs (x=4, B2) subs (x=0, B2) ; 9 1 2 =220i ) sen .d4 => with (student) :> C1:= Int (sin(w)^2, w) ;:=C1 d( ) sin w2w> C2:= value (C1) ;:=C2 + 12( ) cos w ( ) sin w12w> subs (w=Pi/2, C2) subs (w=0, C2) ;+ + 12cos12sin121412( ) cos 0 ( ) sin 04=2201o ) sen w.cos w.dw3=> with (student) :> D1:= Int (sin(w)*cos(w)^2, w) ; :=D1 d( ) sin w ( ) cos w2w> D2:= value (D1) ;:=D2 13( ) cos w3> subs (w=Pi/2,D2) subs (w=0,D2) ;+ 13cos123 13( ) cos 0313=Alternativa : Poderamos ter usado o recurso davarivel auxiliar :cos x = u> with (student) :> changevar (u=cos(w),Int(sin(w)*cos(w)^2, w), u) ;du2u> value (%) ;13u3> subs (u=cos(w), %) ;13( ) cos w3> subs (w=Pi/2, %) subs (w=0, %) ;+ 13cos123 13( ) cos 03 13=e1r ) n x .dx 1 =/> with (student) :> R1:= Int (ln(x), x) ;:=R1 d ( ) ln x x> R2:= value (R1) ; :=R2x ( ) ln x x> subs (x=e,R2) subs (x=1,R2) ; +e ( ) ln e e ( ) ln 1 1 1 =30 30Todavia, para aqueles alunos mais avessos a tais alegorias algbricas, recomendamos o procedimento simples :2201o ) sen w.cos w.dw3=> Int (sin(w)*cos(w)^2,w = 0..Pi/2 ) = int (sin(w)*cos(w)^2,w = 0..Pi/2 ) ;=d02( ) sin w ( ) cos w2w13Prof. Arnaldo StochieroUnidade 2 - TCNICAS USUAIS DE INTEGRAOC C LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II- - RoteiroSin RoteiroSin ptico ptico- -- - Cursos de Engenharia Cursos de Engenharia- -31 31Ao contrrio do que vimos no estudo das derivadas e das diferenciais, no existe um processo geral(ou uma tcnica genrica)para se determinar a integral(ou antiderivada) de uma funo. A integrao uma operao que exige, em muitas ocasies, variados ensaios e artifcios algbricos e geomtricos, no raramente levando-nos a desenvol-ver raciocnios engenhosos, cobrando-nos aguar a percepo das admirveis sutilezas que uma dada situao problem-tica pode oferecer .Se o leitor nos permite uma analogia, diremos que a derivao e a integrao guardam uma relao semelhante quela existente entre as quase burocrticas iniciativas exigidas pelo jogo de damase a apuradssima sofisti-cao necessria aos lances que decidem umapartida de xadrez . Em nosso curso, estudaremos algumas tcnicas e ensaios compatveis com um nvel de dificuldades su-portvel para um iniciante . 2.1. Integrais imediatas :tabelaEm muitas situaes tericas e prticas, a funo primitiva obtida mediante uma ligeira anlise da fun-o integrando . Nesses casos, tal funo primitiva comumente denominadaprimitiva imediata . Os exemplos clssi-cos que figuram no cardpio bibliogrfico do Clculo mostram que muitas dessas integrais so facilmente deduzidas : )) ( ))( )) ( )) ( ))( )3 32 243 4 3v v v vx xa x . dx C , pois , d C x . dx3 3b cos x . dx sen x C , pois , d sen x C cos x . dxd v t Cc 4 v t . dt v t C , pois , 4 v tdtd e . dv e C , desde que , d e C e . dvdt 1e n t C , desde que , d n t C dtt td w cf dw w C , porquanto ,dw = + + = = + + =+= + == + + == + + = += + =/ /1Podemos selecionar inmeras outras integrais com o mesmo nvel de facilidades nos clculos e,como veremos no decorrer do curso,muitas delas prestam-se frequentemente como preciosalinguagemmatemticapara ex-pressar importantes fenmenos e leis naturais . Mostremos mais alguns casos de integrao, considerados simples,por-quanto constituem aplicaes diretas das frmulas de derivao e diferenciao j estudadas :))n 1n1x xxx22x1. x . dx C , sendo n 1 .n 1Particularidades : a n 0 dx x Cdxb n 1 x . dx n x Cxdx2. n x Cx3. e . dx e Ca4. a . dxn a5. sen x . dx cos x C6. cos x . dx sen x C7. sec x . dx tg x C8. csc x . dx cot x C+= + += = += = = += += +== += += += + ///222 22 22 29. tg x . dx n cos x C ou n sec x C10. cot x . dx n sen x C ou n csc x Cdx11. arc tg x C1 xdx12. arc sen x C1 x1 x dx13. arc tg Ca aa xx dx14. arc sen Caa xa x dx 115. n C2a a xa x16. senh x . dx cosh x CBasta lembr= + += + += ++= += ++= ++= += +/ // //x xx xe esenh x2ar quee ecosh x217. cosh x . dx senh x C=+== +As primeiras dez integrais so deveras imediatas, porm, a partir do item 11, a construo das respectivas funes primitivas j no se afigura de forma to simples, sendo conveniente, portanto, mostrar suas justificativas :222 211. Justificativa : arc tg x u x tg u e dx sec u . dusec u . du dxdu u C arc tg x C1 x sec u= = == = = + = ++ 212. Justificativa: arc sen x v x senv e dx cos v .dvdx cos v .dvdv v C arc sen x Ccos v1 x= = == = = + = + ( )x x 2a a21 1 1 xa a a a 2 2 2 213. Justificativa: arctg tg x atg e dx a sec .ddx a sec .dd C arctg Ca x a 1 tg = = = == = = + = ++ + xaxa2 2 214. Justificativa: arc sen v x a senv e dx a cos v .dvdx a cos v .dvdv v C arc sen Ca x a 1 sen v= = == = = + = + ( ) ( )( )2 21A B1a x a x 2 2 a x2 adecomposio emfraes parciais1 1dx dx2a a x a x 2a1 a x2a a x15. Justificativa :A B 0dx dxA Ba x a xa xn a x n a x Cn C+ + + = = = + = =+ = + = + + = + _/ //( ) ( ) ( )( )1 1 1 x x x x x x2 2 21 x x216 / 17. Justificativas : senh x . dx e e . dx e e C e e C cosh x Ccosh x . dx e e . dx senh x C = = + = + + = + = + = = +

32 32> Int (1/(1+x^2), x) = int (1/(1+x^2), x)+C ; =d1 +1 x2x+( ) arctan x C> Int (1/sqrt(1- x^2), x) = int (1/sqrt(1- x^2), x)+C ; =d1 1 x2x+( ) arcsin x C> Int (1/(a^2+x^2), x) = int (1/(a^2+x^2), x)+C ; =d1 +a2x2x+ arctanxaaC> Int (1/sqrt(a^2 - x^2), x) = int (1/sqrt(a^2 - x^2), x)+C ; =d1 a2x2x+ arctanx a2x2C> Int (1/(a^2-x^2), x) = int (1/(a^2-x^2), x)+C ; =d1 a2x2x + + 12( ) lnx aa12( ) ln+x aaC> Int (sinh(x), x) = int (sinh(x), x)+C ; =d ( ) sinh x x+( ) cosh x Cxarc sen Ca= +Reservemos um espao para explorar algumas ilustraes grficas, utilizando Matlab-R12 e MAPLE 10, sugerindo ao leitor a incumbncia de analisar a variao dos coeficientes angulares das curvas representativas das funes primitivas, buscando melhor entender a construo dos grficos das funes integrandos :funo primitivafuno integrando( )xg x e =( )xg' x e =( ) f x n x = /( )1f ' xx=>> x=linspace(-3,3,100) ;>> y=x.^(-1) ;>> plot (x,y)>> x=linspace(-2,2,100) ;>> y=exp(x) ;>> plot (x,y)>> x=linspace(-2,2,100) ;>> y=exp(x) ;>> plot (x,y)MatlabMatlab( ) h' x cos x =2322>> x=linspace(0,2*pi,100);>> y=sin(x) ;>> plot (x,y)( ) h x sen x =MatlabMatlab2 322>> x=linspace(0,2*pi,100);>> y=cos(x) ;>> plot (x,y)Matlabderivadaantiderivadaderivadaantiderivadaderivadaantiderivada( ) x arc tg x => plot (arctan(x), x = - 4..4,y= -Pi/2..Pi/2,discont=true, color=red, title=`y= arctan(x)`) ;Maple> plot ( [1/(x^2+1)] , x = -4..4) ;Maplederivadaantiderivada( ) x arc sen x =( )21' x1 x => plot (arcsin(x), x = -2..2, y = -Pi/2..Pi/2, discont = true,color=red, title=`y= arcsin(x)`) ;Maplederivadaantiderivada( )21' xx 1 =+>> x=linspace(-3,3,100) ;>> y=log(abs(x)) ;>> plot (x,y)( ) 1, 0 ( ) 1, 0MatlabMatlab :>> x=linspace(-1,1,100);>> y =(sqrt(1-x.^2)).^(-1) ;>> plot (x,y)33 33Observao .Para facilitar as costumeiras consultas de afogadilho, entendemos como providenciala recapitulao de trs propriedades fundamentais da integral indefinida, propiciando-nos operar com mais desenvoltura os casos de integrao contidos nesta unidade :Primeira Propriedade . A diferencial de uma integral o prprio elemento de integrao .Verificao :Diferenciando ambos os membros da igualdaderesulta : ( ) ( ) f x .dx F x C , = +- Bastante trivial, essa propriedade vem confirmar o fato de que os smbolosde se neutralizam,pois, conforme j vimos, a diferenciao e a integrao constituem operaes inversas .( ) ( )( )( ) ( ) ( )d f x .dx d F x Cd F x d CSegunda Propriedade . Dada a integralo fator constantekpode ser transposto para fora do sinal da integral, ou seja, Verificao : Diferenciando as duas expresses acima, vem :Terceira Propriedade . A integral de uma soma algbrica de funes igual soma algbrica das integrais das funes parcelas :Verificao : Sendo as funesf (x)eg (x) ,calculemos as diferenciais correspondentes :f x .dx 0 d f x .dx f x .dx .= + = += + =( ) k . f x . dx ,( ) ( ) k . f x . dx k . f x . dx . = ( ) ( ) ( ) =( ) ( ) ( ) ( )d k . f x . dx k . f x . dx 1ed k . f x . dx k . d f x . dx k . f x . dx 2 . = = Comparando as igualdade(1) e (2), resulta a tese .( ) ( ) ( ) ( ) f x g x . dx f x . dx g x . dx . = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d f x g x . dx f x g x . dxf x . dx g x . dx 3ed f x . dx g x . dx d f x . dx d g x . dxf x . dx g x . dx 4 . = = = = Comparando as igualdade(3) e (4), resulta a tese .Problemas ResolvidosUtilizando as integrais imediatas e as propriedades assinaladas, calcular as integrais seguintes :( )( )( ) ( )( )( )2 21 2313 322 2 321 2xxa ) 3 . dx 3 dx 3 x C 3x Kb ) 2x 5 . dx 2x . dx 5 . dx x C 5x C x 5x Cx x x 2c ) x x . dx x . dx x . dx C C x C33 3 321 1 1d ) sen 2x . dx 2 sen 2x . dx sen 2x . d 2x cos 2x C2 2 2ee ) dxe 3= = + = ++ = + = + + + = + + = = + + = + = = = + =+ /( )x2n e 3 Cx 1 1 dxf ) dx 1 . dx dx x n x Cx x xsen x 1 1 1g ) dx sen x . cos x . dx 2 sen x .cos x . dx sen 2x . dx cos 2x Ctg x 2 2 4+ ++ = + = + = + + = = = = + /34 34Problemas PropostosCalcular as integrais,confirmando as funes primitivas encontradas :( )( )( )( )( )32 223 4 x x3 2231 x 1a ) 2x 3 . dx x 3x C b ) x . dx C3 xx1c ) 4x sen x . dx x cos x C d ) e cos x . dx e n x sen x Cxsen7x dxe ) n x 5 C f ) cos7x . dx Cx 5 7cos 2x 6x 1 x 1g ) sen 2x 6 . dx C h ) dx C2 2 xx2 xi ) dx x3x + = + + = + + + = + + + = + + + = + + = +++ = + = + = //( )222 22 223 2 33xC j ) dx 2 x Cx5 7) . dx 5 arc tg x 7 arc sen x Cx 11 x1m) sec x csc x . dx tg x cot x C n ) dx tg x cot x Csen x .cos xx sen 2x xo ) cos x . dx C p ) dx n x 1 C2 4x 1+ = + = + + + = + = += + + = + //Em tempo : Tambm entendemos como extremamente necessria a recapitulao da tcnica de integrao pelavia dasubstituio de varivel . Em muitas situaes prticas, a integrao torna-se bem mais fcil quando utili-zamos uma varivel auxiliar, pois, tal artifcio algbrico consiste num trabalho artesanal de clculo capaz de promover o enxugamento daquelas expresses mais trabalhosas,facilitando sobremaneira aexecuo da tarefa .Faremos tal reviso por meio de alguns ensaios e exerccios elucidativos, mostrando a eficcia desse procedimento :Problemas ResolvidosUtilizando as tcnicas de substituio de varivel,calculemos as integrais ilustrativas abaixo :23 23x . dxa ) Fazendo se x 5 u , resulta du 3x . dxx 5du1 du 13n u Cu 3 u 3= + = =+= = = + /Reintroduzindo a varivel anteriorx ,teremos( )233x . dx 1n x 5 C .3x 5= + ++/22b ) sen x .cos x . dx Faz se sen x v dv cos x . dxvv . dv C2sen xsen x .cos x . dx C .2= = == = + = +c ) cos 2t . dt faamos 2t d 2 dtd 1 1 1cos . d cos . d sen C cos 2t . dt sen 2t C .2 2 2 2 = = = = = = + = + ( )1 3112 2323d ) 3x 5 . dx faamos 3x 5 w dw 3 dxdw 1 1 w 1 w 2w w . dw C C w C1 3 3 3 3 3 912 223x 5 . dx 3x 5 C .9+ = = == = = + = + = ++ = + - Rever problema resolvidog)da pgina anterior e mostrar que2sen x cos 2x2 4 35 353xt t t3x 3 xe ) e . dx Fazendo se 3x t , resulta dt 3 . dxdt 1 1e . e . dt e C3 3 31e . dx e C .3 = = = = = = + = + ( )2 23122322f ) x x 4 . dx seja x 4 p dp 2x . dxdp 1 1 1 pp p . dp p . dp C32 2 2 22x 4x x 4 . dx C .3 = = == = = = + = + Adendo : Para melhor apreciao analtica dessa majestosa dicotomia derivao integrao ,tornam-seinadiveisalgumas reflexes geomtricas como suporte da consistncia dos resultados encontrados nessas operaes . Mostremos alguns grficos ilustrativos de integraes, apelando para as funes integrandos e primitivas,seguidas pelas respectivas sintaxes na utilizao aleatria dos sistemas computacionais aplicativosMaple eMatlab :23x . dxa )x 5=+( )31n x 5 C3+ + /Maple :> plot ( [x^2/(x^3+5), (1/3)*log(x^3+5)], x = -1..1,color = [red, blue] ) ;( )( )31F x n x 53= + /( )23xf xx 5=+ fcil perceber que a sequncia dos valores dos coeficientes angulares da curvaF(x)delineou a curvaf (x) .Os valores arbitrrios da constante Cindicaro apenas atranslaoverti-cal da curva :d [F(x)] = f(x) . dx.2sen xb ) sen x .cos x . dx C2= +Maple :> plot ([sin(x)*cos(x), sin(x)^2/2], x = - Pi/2..Pi/2, color = [red, blue] ) ;( )21F x sen x2=( ) f x sen x .cos x =21d sen x sen x .cos x . dx2 = 1c ) cos 2t . dt sen 2t C2= +1d sen 2t cos 2t . dt2 = Matlab :>> t = linspace (0,pi,100) ;>> y = cos (2*t) ;>> plot (t,y)>> hold on ;>> y = (1/2)*sin(2*t) ;>> plot (t,y)( ) f t cos 2t =( )1F t sen 2t2=36 36> Int (exp(-3*x), x) = int (exp(-3*x), x)+C ; =de( ) 3 xx + 13e( ) 3 xC> Int (x*sqrt(x^2-4), x) == int (x*sqrt(x^2-4), x)+C ; =dxx24 x+ ( ) x24323C( )32d 3x 5 3x 5 . dx9 = 3x 3x1d e e . dx3 = ( )32d ) 3x 5 . dx 3x 5 C9 = +Matlab :>> x=linspace(5/3,3,100) ;>> y=(3*x-5).^(1/2) ;>> plot(x,y)>> hold on ;>> y=(2/9)*(3*x-5).^(3/2) ;>> plot (x,y)( ) f x 3x 5 = ( ) ( )32F x 3x 59= 3x 3 x1e ) e . dx e C3 = +Maple :> plot ( [exp(-3*x), -1/3*exp(-3*x)], x = -1..1,color = [ red, blue] ) ;( )3xf x e=( )3xF x e=( )322x 4f ) x x 4 . dx C3 = +( )( )321F t x 43= ( )2f x x x 4 = Maple :> plot ( [x*sqrt(x^2-4), 1/3*sqrt(x^2-4)^3], x = 0..6,color = [ red, blue ] ) ;( )32 21d x 4 x x 4 . dx3 = Problemas PropostosCalcular as integrais,conferindo as funes primitivas encontradas com as assinaladas abaixo, e construir os grficos das duas funes envolvidas :( )( )( )( )( ) ( )32232243 43 x 3 x32x 3x .dxa ) n x 1 C b ) 2x 3 . dx C3x 12 2.dx 2c ) 2 x . dx 2 x C d ) C3 x 1x 1dx x .dx 1e ) n x 5 C f ) arc tg x Cx 5 21 xn x n xg ) e . dx e C h ) dx Cx 42 cos 4xi ) sen x . cos x . dx sen x C j ) sen4x .dx C3 4 += + + + = ++ = + = += + = ++= + = += + = + /// // ( ) ( ) ( ) ( )sen sen 21) cos 2w t . dw sen 2w t C m) sen 1 t .dt cos 1 t C2n ) tg x .dx n sec x C o ) cot x .dx n sen x Cp ) e . cos . d e C q ) tg . d tg C = + = += + = += + = + / /37 372.2. Integrao por partes uma tcnica frequentemente utilizada quando se trata de integrar uma funo que pode ser expressa na forma de um produto de dois fatoresu . dv ,ou seja, uma funou = f(x)multiplicada pela diferencial de outrav =g(x) .Deduziremos a relao matemtica que nos indicar a marcha das operaes a serem efetuadas nareferi-da integrao . Sendou = f(x)ev = g(x) ,a diferencial do produto dessas funes, conforme j estudamos em Clculo I, dada por d (u . v) = u . dv + v . du .Integrando os dois membros dessa igualdade, teremosAs propriedades da integral indefinida nos levam a escrever ouOs exemplos que apresentaremos em seguida certamente iro sedimentar uma melhor apreciao daefi-ccia dessa tcnica . Paralelamente, devero deixar claro para o leitor que a integrao que aparece como desdobramento da resoluo deve apresentar um nvel de dificuldades menor ou ,no mximo,igual quele da integralproposta .u.dv u.v v.du . = ( ) ( ) d u .v u . dv v . du . = + u .v u . dv v . du = + Problemas ResolvidosUtilizando a tcnica de integrao por partes,calculemos as integrais abaixo :{ {( )xx xx xx x x xa ) x .e . dx Confrontando essa integral com u .dv , podemos escrever :u x du dxdv e .dx v ee a integral dada se desenvolve como segue:x .e e . dxx .e e C x .e . dx e x 1 C .== == == = + = + 22 222 2dxduu n xxb ) x . n x .dxxdv x .dxv2e a integral dada se desdobra em :x x dxn x dx2 2 xx 1n x x .dx2 2x xx . n x .dx n x C .2 4== = = == = = +///// /{ {( )u x du dxc ) x . cos x . dxdv cos x . dx v sen xe a integral se desdobra em :x . sen x sen x . dxx . sen x cos x Cx . cos x . dx x . sen x cos x C .= == = == = + = + +Maple :> plot ([x*exp(x), (x-1)*exp(x)], x=-1..1, color=[red, blue]) ;Maple :> plot ( [x*log(x), (x^2)/2*(log(x)-1/2) ], x = 0..2, color = [ red, blue ] ) ;Maple :> plot ( [x*cos(x), x*sin(x)+cos(x) ], x = -Pi..Pi, color = [red, blue] ) ;( )xf x x .e =( ) ( )xF x e x 1 = ( ) f x x . n x = /( )2x 1F x n x2 2 = /( ) f x x .cos x =( ) F x x . sen x cos x = +38 38> Int (x*exp(x), x) = int (x*exp(x), x) + C ;=dx exx+( ) +1 x exC> Int (x*ln(x), x) = int (x*ln(x), x) + C ; =dx ( ) ln x x + 12x2( ) ln xx24C> Int (x*cos(x), x) = int (x*cos(x), x) + C ; =dx ( ) cos x x+ +( ) cos x x ( ) sin x C( )2222dxu arc tg xdud ) arc tg x . dx1 xdv dxv xe o desenvolvimento da integral proposta toma a forma:x . dxx . arc tg x1 x1 2x . dxx . arc tg x21 x1arc tg x . dx x . arc tg x n 1 x C .2= = = += == += + = + +/( )2222222u cos x du sen x . dxe ) cos x . dx cos x .cos x . dxdv cos x . dx v sen xsen x .cos x sen x . dxsen x .cos x sen x . dxsen x .cos x 1 cos x . dxsen x .cos x dx cos . dxTranspondo cos x . dx para o primeiro membro:2 cos= = = = = = = += + = + ( )2x . dx sen x .cos x x C1cos x . dx sen x .cos x x K .2= + + = + +Em tempo : oportuno salientar que muitas vezes uma dada integral pode ser calculada por dois oumais caminhos di-ferentes.A integral anterior, por exemplo, pode ser resolvida por meio de uma substituio trigonomtrica:( )( )( )2 22 22 221 cos x sen xAdicionando, membro a membro, as duas igualdades , teremoscos 2x cos x sen x11 cos 2x 2 cos x cos x 1 cos 2x21e a integral dada pode ser escrita cos x . dx 1 cos 2x . dx21dx cos 2x . dx21 sen 2xx2 2= += + = = += += + = + + ( )2C1cos x . dx x sen x .cos x C .2 = + +- Mutatis mutandis, a identidade trigonomtricanos oferece um atalho para calcular a integral anloga( )2 211 cos 2x 2 sen x sen x 1 cos 2x2 ( )( )( )221sen x . dx 1 cos 2x . dx21dx cos 2x . dx21 sen 2xx C2 21sen x . dx x sen x .cos x C ,2= = = + = + e chegamos expresso conjugada da funo primitiva anterior .Maple :> plot ( [arctan(x), x*arctan(x)-1/2*log(1+x^2) ], x=-2..2, color = [red, blue] ) ;Maple :> plot ( [cos(x)^2 , 1/2*(sin(x)*cos(x)+x) ], x = -Pi..Pi, color = [red, blue] ) ;( )2f x cos x =( ) ( )1F x x sen x . cos x2= +Maple :> plot ( [sin(x)^2 , 1/2*(x-sin(x)*cos(x)) ], x = -Pi..Pi, color = [red, blue] ) ;( )2f x sen x =( ) ( )1F x x sen x .cos x2= ( ) f x arc tg x =( )( )21F x x . arc tg x n 1 x2= + /39 39> Int (arctan(x), x) = int (arctan(x), x) + C ;=d ( ) arctan x x +x ( ) arctan x12( ) ln+1 x2C> Int (arctan(x), x) = int (arctan(x), x) + C ;=d( ) cos x2x+ + 12( ) cos x ( ) sin xx2Cf ) Problema 38 ,pgina 474 ,do livro-texto de James Stewart : + =. dx . x cos calcular para ) 1 item o Use ) 2. dx . x cos x sen . x cos dx . x cosreduo de frmula a Prove ) 122 nn1 n 1 nn1 nC4x 2 sen2xC2xx sen . x cos 2dx x sen . x cos dx . x cos 2 n ) 2. dx . x cos x sen . x cos dx . x cosdx . x cos ) 1 n ( x sen . x cos dx . x cos nteremos , s necessria es transposi as Fazendodx . x cos ) 1 n ( dx . x cos ) 1 n ( x sen . x cosdx . ) x cos 1 ( . x cos ) 1 n ( x sen . x cosdx . x sen . x cos ) 1 n ( x sen . x cos dx . x cos, Entox sen vdx . x sen . x cos ) 1 n ( dudx . x cos dvx cos u) 1412121 22 nn1 n 1 nn1 n2 n 1 n nn 2 n 1 n2 2 n 1 n2 2 n 1 n n2 n 1 n+ + =+ + =+ = =+ = + = + = + = == === Resolues :Problemas PropostosCalcular as integrais,cotejando as funes primitivas encontradas com as assinaladas abaixo .A abordagem geom-trica desses exerccios, sem nenhum carter impositivo, j deve ser desenvolvida como atividade ldica .( )( )( )2 x 2 x2 x x 232 3222 21 1a ) x . e . dx e x C2 2b ) x . e . dx e x 2x 2 Cc ) n x . dx x n x 1 Cxd ) x . n x . dx n x 1 C9e ) x . sen x . dx sen x x . cos x Cf ) arc sen x . dx x . arc sen x 1 x C1 sen 2xg ) sen x . dx x C2 2h ) x . cos x . dx x . sen = + = + += += += += + + = + =/ // /( )2x 2 sen x x . cos x C1i ) sen x . cos x . dx sen x C2 += +(Proposta de uma 3. resoluo para este exerccio : integrao por partes)40 402 2x a 2.3. Integrao por substituies trigonomtricasNo Clculo Integral, frequentemente, surgem situaes envolvendo expresses irracionais nas formas sendoauma constante dada . Tais questes, aparentemente complicadas, so facilmente resolvidas- at mesmo com re-quintes de refinada elegncia - quando acionamos uma substituio trigonomtrica adequada .Como a exiguidade do tempo no nos permite incurses mais profundas e sofisticadas,limitar-nos-emos a uma simples abordagem das formas mencionadas, seguida de exerccios ilustrativos . Como estratgia, buscaremos ima-gens trigonomtricas capazes de produzir uma varivel angular que nos auxilie a simplificar a integrao proposta .Apoiados na fertilidade dos tringulos retngulos,prdigos na produo de identidades trigonomtricas, sentimo-nos vontade para elaborar as montagens geomtricas que seguem : 2 2 2 2 2 2a x , a x e x a , + Analogamente,resultamoutras duas construes e respectivas concluses :xaaxa : hipotenusa constantex : cateto varivel: cateto varivelx2 2a x 2 2a x Considerando como varivel auxiliar o ngulo agudo ,oposto ao catetox ,podemos escrever .x a . sen =x a. tg =2 2a x +a : catetoconstantex : cateto varivel: hipotenusa varivel2 2a x +x a . sec =a : catetoconstantex : hipotenusa varivel: cateto varivel2 2a x O quadro abaixo sintetiza as trs construes trigonomtricas analisadas :Expresses Substituies Identidades2 2x a 2 2a x 2 2a x +x a . sen , =x a .tg , =x a . sec , =2 2 2 2 < >x = linspace(-2,2,100) ;>>y = (4-x.^2).^(-1/2) ;>>plot (x, y)Maple :> plot (1/2*(arcsin(x)+x*sqrt(1-x^2)),x = -1..1,color = blue) ; ( )21f x4 x=( )xF x arcsen2=Matlab :>> x=linspace(-1,1,100);>> y=(1-x.^2).^(1/2);>> plot(x,y)( )2f x 1 x = ( )( )21F x arcsen x x 1 x2= + Maple :> plot ( [x*sqrt(25+x^2), 1/3*(sqrt(25+x^2))^3], x = -10..10, color = [red, blue] ) ;( ) F x( ) f x42 42- Rever justificativa 14, pgina 32 deste compndio .> Int(sqrt(1-x^2), x) = int(sqrt(1-x^2), x) + C ; =d 1 x2x+ + x1 x2212( ) arcsin x C( ) ( )( )2 23 32 223224 senh t xdx 2 cosh t . dtx 4 4 senh t 1senh tcosh t . dtcosh ttgh t . dt1 sec h t . dtt tgh t Cn cosh t senh t tgh t C = + + = == = += + + /( )231232 22125 x v dv 2x . dx e x . dx dv21 1 v 1Ento , x 25 x . dx v . dv C 25 x C .3 2 2 32+ = = =+ = = + = + + d) ,1 .pela substituio trigonomtrica x = 2 tg 2 .pela substituio hiperblica x = 2 senh t Resoluo : Fazendox = 2 tg ,resulta :( )232xdxx 4+( )( )2 2 223322224 tg tg xdx 2 sec . d dsec8 secx 4sec 1d sec cos . dsecn sec tg sen CRe inserindo a varivel original x , teremosx 4 x xn C .2 2x 4 = = += = == + ++= + ++ //2 . Fazendox = 2 senh t, teoricamente, a resoluo ficar mais simples : 22x 4 x xn C ,2 2x 4+= + ++/Em tempo : Este ltimo exemplo refere-se ao problema 32, pgina 489,onde arbitramos a = 2 .Lembretes :( )u '2u222sec sec tgsec tgsec tg . secsec tgdux2x 4224 xx 4x 4sec . d ddn sec tg Ctgx 2tg sec 1 tgsen 1 +++++++= = = + +== = + == = _/22t t t t2 22 2x2x 4 x 22 2senhtxcosh tx 4e e e e t2 2cosh t senh t 11 tgh t sec h tt arc senhsenht cosht 1 senh ttghtcosht senht et n cosht senh t +++ = === = + == =+ = + = = + /- Observemos ainda que a integral dada poderia ter sido resolvida por meio de uma simples varivel auxiliar : 1 .em acordo com o formulrio contido nasp-ginas 246/249 do livro-textoJ S , bem comoos intervalos de existncia das funes .Lembretes :43 43> Int (x*sqrt(25+x^2), x) = int (x*sqrt(25+x^2), x) + C ;> Int (x^2/sqrt(x^2+4)^3, x) = int (x^2/sqrt(x^2+4)^3, x) + C ;- Para arrematar a resoluo, basta frisar a equivalncia de duas expresses encontradas :2x 4 x xarc senh t n cosht senh t n2 2 2+ = = + = + / / =dx2( ) +x2432x + + x +x24arcsinhx2C =dx+25 x2x+ ( ) +25 x2323C3434 4 49 9 29 2 216492492Fazendo 4x 3 sec dx sec .tg . d , virsec .tg . dsec .tg . dcos . dsec .tgsec 9s ec 9sen C16x 9C4x16 x 9C9x = == = = = += += + 44 44e ) Problema 16,pgina 489- James Stewart :Calcular a integral2 2d x.x 16x 9 Resoluo :2 2d xx 16x 9 4 x3216x 9 Maple :> plot ( [1/(x^2*sqrt(16*x^2-9)), sqrt(16*x^2-9)/(9*x)], x = -5..5,color = [ red, blue ] ) ;( ) F x( ) f x> Int (1/(x^2*sqrt(16*x^2- 9)), x) = int (1/(x^2*sqrt(16*x^2- 9)), x) + C ; =d1x2 16 x29x+ 16 x299 xC( )( )3 33 2 222 2322 20 02030A 2 x 4 . dx 3 x 4 . dxfazendo x 2 sec dx 2 sec .tg . d , teremosx : 2 3: 0 arc sec3 4 sec 4 . 2 sec .tg . d 12 sec .tg . d12 sec . sec 1 . dVer pgina 481 do J S e12 sec sec . dexerccio r = = = = == = == = {esolvido d ) :Resoluof ) Problema 34,pgina 489- James Stewart :Calcular a rea da regio plana limitada pela hiprbole 9x - 4y = 36 eareta x = 3 .:A rea da regio hachurada ser dada porO 2 3 2 22x y 31 y x 44 9 2 = = ( )032 226112 sec .tg n sec tg2x 4 x 4 x x6 n2 2 2 25 5 3 36 n2 2 2 29 5 3 5n .2 2 = + = + = + + = ////45 45g )Problema 38, pgina 489- James Stewart :Uma barra carregada, de comprimentoL = 8,produzum campo eltrico no pontoP(a, b) = P(4, 3)dado poronde a densidade de carga por unidade de comprimento da barrae apermissividade do vcuo . Calcular a integral para determinarumvalorparaocampo eltricoE ( P ) .Resoluo : :( )( )L a32 2 a20bE P d x ,4 x b = +02 2x b +bx0yxL( ) P a, b( )( )( )( )( )( )2121212121L a2330 22 2 a2023000042040 0b 3 1E P dx 3 sec . d49 tg 94 x b3 13 sec . d43 sec1d12 seccos d12sen12x12x 94 4 2E P12 5 5 15 = = ++= = = = = + = + = Problemas PropostosCalcular as integrais,conferindo as funes primitivas encontradas, e esboar os grficos das funes :222222 222222 2x 9 x dx 9 xa ) arc sen x C b ) 9 x . dx arc sen C2 3 91 xx 4 x xc ) 4 x . dx 2arc sen C2 2x 9 x x 9 xd ) dx arc sen C2 3 99 x2x 3 4x 3 2xe ) 3 4x . dx arc sen4 33dx dx 1f ) n x x 9 C g ) n2x 9 9 4x = + = + + = + + = + = + = + + + =+ + / /( )22 222 22 234 22x 9 4x C1 v t 9 dv 3h ) C i ) d t t 9 3arc cos Cv t tv 1 v3 2x x 3dxj ) C27xx x 3+ + ++ = + = +++ = + 2.4. Integrao de funes racionais por meio de fraes parciaisSeja uma funo racional integrando da forma ondeN(x) um polinmio numerador eD(x)um polinmio denominador .Mostremos algumas tcnicas para integr-la,mediante sua decomposio em fraes par-ciais mais simples e recaindo numa soma algbrica de integrais imediatas ou de resoluo j conhecida .Utilizemos alguns exemplos simples para ilustrar os casos clssicos de integrao dessas funes :( )( )N x,D x1. caso :grau deN (x)grau deD (x) Problemas ResolvidosCalcular a funo primitiva (antiderivada) de cada uma das funes seguintes :( ){2x 1numerador 2 . graua ) f x :denominador 1 . graux+ = Decompondo a expresso racional dada em fraes parciais, teremos ( )2 22x 1 1 x 1 1 1f x x dx x . dx x . dx dxx x x x xxn x C .2+ + = = + = + = + = + + /( ){x 2numerador 1 . graub ) g x :denominador 1 . graux 1 = +( )( )( )x 1 3x 2 x 2 3 3g x 1 dx 1 dxx 1 x 1 x 1 x 1 x 11dx 3 dxx 1x 2dx x 3 n x 1 C .x 1+ = = = = + + + + + = + = + ++ /Se tivssemos operado a diviso do polinmio numerador pelo denominador, teramosx 2 x+11- x 1 - 3( )x 2 3dx 1 dxx 1 x 1x 3 n x 1 C . = + + = + + /Ento,( ){4 3 223x 5x 4x 5x 6numerador 4 . grauc ) h x :denominador 2 . graux 1 + + = +Efetuando a diviso dos polinmios, encontramos4 3 2 24 2 23 23223x 5x 4x 5x 6 x 13x 3x 3x 5x 15x x 5x 65x 5xx 6x 15 + + + + + +++ 4 3 222 23 23x 5x 4x 5x 6 5dx 3x 5x 1 dxx 1 x 15x x x 5 arc tg x C .2 + + = + + + + = + + + Ento,Maple :> plot ([(x^2+1)/x, x^2/2+log(x)], x=0..5, color=[red, blue]);Maple :> plot ( [(x-2)/(x+1), x-3*log(x+1)], x = -1..10, color = [red, blue] ) ;Maple :> plot ( [ (3*x^4-5*x^3+4*x^2-5*x+6)/(x^2+1),x^3-5/2*x^2+x+5*arctan(x) ] , x = -2..5,color = [ red, blue ] ) ;( ) F x( ) f x( ) F x( ) f x( ) F x( ) f x46 462. caso :grau deN (x) plot ( [y/(y+2), y-2*log(abs(y+2))], y = -2..6, color = [red, blue] ) ;Maple :> plot ( [(x-7)/(x^2+x-6), log((x+3)^2/abs(x-2))], x = -3..2,color = [red, blue] ) ;( ) F x( ) f x( ) F x( ) f x47 47( ) ( ) ( )( )9 425 5916 422525 52 2B 1 3 160 B 23 2 4 5 25 25xEnto , dx dxx 3 x 2x 3 x 2 x 29 16 4n x 3 n x 2 C .25 25 5 x 2 = + = + = = + + + + = + + + ++ / /Em tempo : No clculo do coeficienteB , a deliberao de fazerx = 0decorreu exclusivamente do intuito defa-cilitar as operaes, uma vez que qualquer outro valor numrico poderia ser arbitrado, excluindo-se obviamente aqueles valores que porventura acarretassem a anulao de qualquer denominador .( ){23x 3numerador 2 . grauf x :denominador 3 . graux 2x+ = +c) Problema 30 ,pgina 498- James Stewart : O denominador contm fator quadrtico irredutvel,sem repetio :( )2x . x 2 +( )( )2 223 2 2A Bx C x 3 x 3A B x Cx 2Axx 2x x 2 x x 22A 33 1C 0 A , C 0 e B2 2A B 1+ + += = + + + ++ + += = = = = + =Ento, a integral proposta se desdobra em ( )2 2 223 21 1 123 1 22 4114x 3 3 1 2x 1dx dx dx2 x 4x 2x x 2n x n x 23n 2 n 225n 2 0,866 .4+ = + += += = / // //d) Problema 42 , pgina 498- James Stewart :O denominador contm fator quadrtico irredutvel,comrepetio :( ) ( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )42 2 22 224 2 24 3 2x 1 A Bx C Dx Exx 1x x 1 x 1x 1 A x 1 Bx C x x 1 Dx E xA B x Cx 2A B D x C E x AA B 1C 0 A 12A B D 0 B C E 0C E 0 D 2A 1+ + += + +++ ++ = + + + + + += + + + + + + + ++ = = = + + = = = = + = = = ( ) ( )42 2 22 2x 1 1 2x 1dx dx n x C .xx 1x x 1 x 1 + = = + + + + + /( )( ){422x 1numerador 4 . grauf x :denominador 5 . graux x 1+ = +( ) ( )2 2x . x 1 . x 1 + +Maple :> plot ( [x^2/((x-3)*(x+2)^2), 9/25*log(abs(x-3))+16/25*log(abs(x+2))+4/(5*(x+2))], x = -2..3,color = [ red, blue ] ) ;Maple :> plot ( [(x^2+3)/(x^3+2*x), 3/2*log(abs(x))-1/4*log(x^2+2)], x = 1/2..5/2,color = [red, blue] ) ;Maple :> plot ( [(x^4+1)/x*(x^2+1)^2,log(abs(x))+1/(x^2+1) ], x = 0..3/2, color = [red, blue] ) ;( ) F x( ) f x( ) F x( ) f x( ) F x( ) f x48 48e) Problema 56 , pgina 498- James Stewart :Calcular a integralcompletando o quadrado .22x 1dx ,4x 12x 7++ Formatando o denominador numa diferena de quadrados, teremos a integral na forma ( )( )( )( )( ) ( )2 2 22 22 2 22x 3 22x 1 2x 1dx dx dx4x 12x 72x 3 16 2x 2 . 2x .3 3 3 72x 32x 1 2dx dx dx4x 12x 72x 3 16 2x 3 16+ + + = = + + + + ++ = + + + Aplicando uma varivel auxiliar vir2x 3 u du 2 . dx , + = =( )2 2 22 2 2 222x 1 u du dudx24x 12x 7 u 16 u 161 2u .du du4u 4 4 u1 1 4 un u 16 n C4 2.4 4 u+ = + = + += + + / /( integral imediata 15 ,pgina 32 deste compndio )( )( )( )( ) ( )21 1 2x 7n 4x 12x 7 n C4 8 1 2x1 1 2x 7n 2x 7 2x 1 n C4 8 2x 13 1n 2x 7 n 2x 1 C8 8+= + + ++ = + + + = + + +/ // // /Reintroduzindo a varivel originalx ,chegamos soluo Advertncia : A integral tambm pode ser resolvida mediante o algoritmo de Euler : 2duu 16 u 42 2u 42 21 1Au 4 8 1 A B:1 1 u 4 u 4u 4Bu 4 8Ento,du 1 du du 1 u 4 1 u 4n C ou n C .8 u 4 u 4 8 u 4 8 u 4u 4= == = = ++ = = + += = + + + + / /f) Problema 62,pgina 499 - James Stewart :Determinar a rea da regio sob a curva dada pela equao ,de a = 5at b = 10 :8 x 6 x1y2+ =Resoluo : O intervalo de existncia da curva o conjunto de nmeros reais tais que e,no intervalo[ 5, 10 ],afuno dada positiva, ou seja, a curva situa-se acima do eixoXX . ( )( )10 102 25 51025dx dxAx 6x 8x 6x 9 1dxx 3 1= = + + = 4 x e 2 x >> x=linspace(5,10,100);>> y=(x.^2-6*x+8).^(-1);>> plot(x,y)MatlabA 0,405 ( ) F x( ) f x49 49> Int ((2*x+1)/(4*x^2+12*x-7), x) = int ((2*x+1)/(4*x^2+12*x-7), x) + C ; =d +2 x 1 + 4 x212 x 7x+ + 18( ) ln +1 2 x38( ) ln+2 x 7 C>> x=linspace(0,11,100);>> y=(x.^2-6*x+8).^(-1);>> plot(x,y)MatlabMaple :> plot ([(2*x+1)/(4*x^2+12*x-7),3/8*ln(2*x+7)+1/8*ln(2*x-1)],x = 0.5..4,y = 0..2,color = [red,blue]) ;Problemas PropostosCalcular as integrais,confrontando os resultados com as funes primitivas apresentadas e construir os grficos :( )( )( )2 22 23 322 22 243222x 2a ) d x x n x 1 Cx 1x 1 xb ) d x x Cx 1 2x 4 x x 4c ) d x x C3 x 6 3x 8 xd ) d x x 4 x Cx 2 3v 1 6 v 6 4 ve ) d v 8 v Cv 8 2t 2 t 9 tf ) d t t 1 2 n t 3 Ct 3 23 t 2 7g ) d t t 9 t Ct 32 w 1h ) d w n w 1 a r c tw 1+ = + + ++ = + + = ++ = + ++ + = + + = + + + = ++ = + +///( )( )( )( )( )( )222222222g w C2 x 5 5i ) d x 5 n x n x 1 2 a r c t g x C2x x 12 x 5 x 1j ) d x n x 3 x 2 8 n Cx 2x 3 x 2d x 1 x) n C3 x 3x 3 xd x 1 x 3m ) n C6 x 3x 92 x 3 1 x 2n ) d x n x 2 4 a r c t g C2 2x 4 x 8x . d xo )x 1 x+ = + + + +++ = + + + = + ++ = + + + + = + + + + + +/ // // ///( )( )( )( ) ( )22272x 12 x 1a r c t g n C5 2 1 0x 44d xp ) a r c t g 2 x 1 C2 x 2 x 1x . d x 1q ) n x 7 x 1 C8x 6 x 7= + ++= + + = + + //50 50> Int (1/(x^2-6*x+8), x=5..10) = int (1/(x^2-6*x+8), x=5..10) ;> evalf (%, 3) ; { {7 37 742 122 3 2u x 3 du dx x: 5 10lembremo nos de que ea 1 u : 2 7du 1 u 1 u 1n n n2 u 1 u 1u 13A n 0,405 .2= = = = = = =+ + = / / // =d5101 +x26 x 8x( ) ln 3 ( ) ln 2 =0.405 0.405Maple :( )21f xx 6 x 8= +( ) ( )72x . dx 1q ) n x 7 x 1 C8x 6 x 7 = + + /Utilizando oMAPLE ,confirmar alguns resultados dos exerccios propostos na pgina anterior :( )x 2a ) dx x n x 1 Cx 1+ = + + ++/d +x 2 +x 1x> with (student):> Int ((x+2)/(x+1), x) ;> value (%)+C ;+ +x ( ) ln+x 1 C3 32x 8 xd ) dx x 4x Cx 2 3+ = + ++> value (%)+C ;> Int ((x^3+8)/(x+2), x) ; d +x38 +x 2x + + 13x3x24 x C( )2 2t 2t 9 tf ) dt t 12 n t 3 Ct 3 2 + = + + +/> Int ((t^2-2*t+9)/(t-3), t) ;d +t22 t 9 t 3t> value (%)+C ; + + + 12t2t 12 ( ) lnt 3 C( )( )( )222x 5 5i ) dx 5 n x n x 1 2 arc tg x C2x x 1 = + + + ++/ /> Int ((2*x-5)/(x*(x^2+1)), x) ;d 2 x 5x ( ) +x21x> value (%)+C ; + + +5 ( ) ln x52( ) ln+x21 2 ( ) arctan x C2dx 1 x) n C3 x 3x 3x = + ++ / /> Int (1/(x^2+3*x), x) ;d1 +x23 xx> value (%)+C ;( )222x 3 1 x 2n ) dx n x 2 4 arc tg C2 2x 4 x 8+ + = + + + + +/> Int ((2*x+3)/(x^2+4*x+8), x) ;d +2 x 3 + +x24 x 8x> value (%)+C ; +( ) ln+ +x24 x 812arctan+ 12x 1 C( )( )( )222x 1x . dx 2 x 1o ) arc tg n C5 2 10x 4x 1 x 4= + ++ +/> Int (x/((x-1)*(x^2+4)), x) ; dx( ) x 1 ( ) +x24x> value (%)+C ; + + 15( ) lnx 1110( ) ln+x2425arctan12x C> Int (x/(x^2-6*x-7), x) ; dx x26 x 7x> value (%)+C ; + + 18( ) ln+x 178( ) lnx 7 C51 51+ + 13( ) ln+x 313( ) ln x C( ) ( )72x . dx 1q ) n x 7 x 1 C8x 6 x 7 = + + /Repetiremos as resolues da pgina anterior, porm utilizando a sintaxe compacta doMAPLE :( )x 2a ) dx x n x 1 Cx 1+ = + + ++/3 32x 8 xd ) dx x 4x Cx 2 3+ = + ++( )2 2t 2t 9 tf ) dt t 12 n t 3 Ct 3 2 + = + + +/( )( )( )222x 5 5i ) dx 5 n x n x 1 2 arc tg x C2x x 1 = + + + ++/ /2dx 1 x) n C3 x 3x 3x = + ++ / /( )222x 3 1 x 2n ) dx n x 2 4 arc tg C2 2x 4 x 8+ + = + + + + +/( )( )( )222x 1x . dx 2 x 1o ) arc tg n C5 2 10x 4x 1 x 4= + ++ +/52 52> Int ((x+2)/(x+1), x) = int ((x+2)/(x+1), x)+C ; =d +x 2 +x 1x+ +x ( ) ln+x 1 C> Int ((x^3+8)/(x+2), x) = int ((x^3+8)/(x+2), x)+C ; =d +x38 +x 2x + + 13x3x24 x C> Int ((t^2-2*t+9)/(t-3), t) = int ((t^2-2*t+9)/(t-3), t)+C ; =d +t22 t 9 t 3t+ + + t22t 12 ( ) lnt 3 C> Int ((2*x+5)/(x^3+x), x) = int ((2*x+5)/(x^3+x), x)+C ; =d 2 x 5 +x3xx+ + 52( ) ln+x21 2 ( ) arctan x 5 ( ) ln x C> Int (1/(x^2+3*x), x) = int (1/(x^2+3*x), x)+C ; =d1 +x23 xx + + 13( ) ln+x 313( ) ln x C> Int ((2*x+3)/(x^2+4*x+8), x) = int ((2*x+3)/(x^2+4*x+8), x)+C ; =d +2 x 3 + +x24 x 8x +( ) ln+ +x24 x 812arctan+ x21 C> Int (x/((x-1)*(x^2+4)), x) = int (x/((x-1)*(x^2+4)), x)+C ; =dx( ) x 1 ( ) +x24x + + + 110( ) ln+x2425arctanx215( ) lnx 1 C> Int (x/(x^2-6*x-7), x) = int (x/(x^2-6*x-7), x)+C ; =dx x26 x 7x+ + 78( ) lnx 718( ) ln+x 1 CProf. Arnaldo StochieroUnidade 3 - ALGUMAS APLICAES DA INTEGRAL DEFINIDAC C LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II- - RoteiroSin RoteiroSin ptico ptico- -- - Cursos de Engenharia Cursos de Engenharia- -53 53Poderamos criar inmeras outras simulaes, at mesmo envolvendo vrias curvas, simultaneamente . Entretanto, cumpre-nos assegurar que quaisquer dessas situaes recairiam sempre na conjugao desses quatro casos ana-lisados, devendo ser ressaltado que este ltimo configura-se comocaso genrico .3.1. rea entre curvas planasNesta unidade desfilaremos algumas aplicaes geomtricas, fsicas e tcnicas que, esperamos, iro con-solidar de vez a compreenso das lies anteriores. Evidentemente, as aplicaes aqui tratadas no esgotaro o leque de utilidades da integral definida, porm mostraro ilustraes claras e objetivas dos conceitos e procedimentos j vistos .Serviro de precioso a