Computação Aplicada I - Introdução ao Cálculo Numérico

DEQFCTUCDepartamento de Engenharia Quımica

Faculdade de Ciencias e Tecnologia

Universidade de Coimbra

Computação Aplicada IIntrodução ao Cálculo Numérico

Pedro Nuno Simões

Ano Lectivo 2005/06

Conteúdo

1 IntroduçãoAnálise numérica e ciências da computação

2 Algoritmos numéricos e errosTipos (fontes) de erros. Erro absoluto e erro relativoCondicionamento e estabilidade

3 Erros de arredondamento e aritmética computacionalRepresentação de vírgula flutuanteErros na representação de vírgula flutuanteAcumulação de erros e cancelamento subtractivoRepresentação de números em computador

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IntroduçãoAlgoritmos numéricos e erros

Erros de arredondamento e aritmética computacionalAnálise numérica e ciências da computação

Análise numérica: área da matemática e da ciência da computaçãoque gera, analisa e põe em execução algoritmos capazesde resolver numericamente problemas de matemáticacontínua, cujas soluções analíticas, ou são muito difíceis,ou impossíveis.

Ciência da computação: recorre a algoritmos numéricos de modoeficiente (tirando partido do próprio "hardware") pararesolver problemas matemáticos em inúmerasdisciplinas das ciências e engenharias.

Pedro Nuno Simões Introdução ao Cálculo Numérico

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Problema⇓

Modelo Matemático⇓

Algoritmo⇓

Resultados⇓

Apresentação

Figura: Conjunto de actividades típicas na computação científica.


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Um problema é bem formulado se a solução para o mesmoexiste;é única;depende continuamente dos seus dados.

Se a solução for sensível aos dados, o algoritmo deve ser de molde anão agravar essa sensibilidade.


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A estratégia habitual consiste em transformar um problema difícilnum equivalente, mais fácil, que conduza à mesma solução ou a umasolução aproximada.

Por exemplo:infinito (contínuo) −→ finito (discreto);diferencial −→ algébrico;não-linear −→ linear;complicado −→ simples.


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Fontes de aproximação do problema:antes da resolução:

modelação;medições empíricas;cálculos anteriores;

durante a resolução:truncatura ou discretização;arredondamento.

O grau de exactidão do resultado final é um reflexo de todos estesfactores.Incertezas nos dados do problema podem ser amplificadas pelopróprio problema.Perturbações durante o cálculo podem ser amplificadas peloalgoritmo.


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Exemplo

O cálculo da área superficial da Terra com base no modelo

A = 4πR2

envolve várias aproximações:a Terra é modelada como uma esfera, o que é uma idealização dasua forma verdadeira;o valor do raio R é baseado em medições empíricas e em cálculosrealizados previamente;o valor de π (dízima infinita) é representado de um modotruncado;os valores dos dados e das operações aritméticas realizadas sãoarredondados no computador.


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Erros de arredondamento e aritmética computacional

Tipos (fontes) de erros. Erro absoluto e erro relativoCondicionamento e estabilidade

Algoritmo. Conjunto de regras com vista à resolução de umdeterminado problema. Cada passo do algoritmo deveser precisamente definido de modo a ser expresso numalinguagem de programação e executado emcomputador.

O problema contínuo é convertido num problema discreto(aproximado). Funções contínuas são aproximadas com base numconjunto finito de valores.

Os algoritmos devem ser projectados de modo a resolver o problemacom eficiência, elevado nível de exactidão e de maneira fiável.

A computação científica procura projectar e desenvolver taisalgoritmos. A análise numérica serve de suporte teórico a essasacções.


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Após o desenvolvimento dos algoritmos há que colocá-los emprática, o que remete para questões como:

linguagens de programação:p. ex. C, C++, JAVA, FORTRAN , MATLAB , etc.;

estruturas de dados;arquitecturas computacionais e sua exploração mediantealgoritmos adequados, etc.


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As fontes de erro a considerar têm diferentes origens.

Erros associados ao problema a ser resolvido:erros de aproximação associados ao modelo matemático;erros nos dados.

Erros de aproximação:erros de truncatura devidos à discretização de processoscontínuos (interpolação, diferenciação, integração ...);erros de convergência, normalmente associados a processositerativos.

Erros de arredondamento:resultantes da representação finita de qualquer número real emcomputador, o que afecta não só a representação de dados mastambém a aritmética computacional.


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Os erros podem expressar-se em termos absolutos ou

relativos.Sejam: α = um valor exacto ou um valor de referênciaα = um valor calculado

Erro absoluto: Eabs(α) = |α− α|

Erro relativo: Erel(α) =|α− α||αref|

Se αref = α : Erel(α) =|α− α||α|


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Exemplo

α α Eabs(α) Erel(α)

1 0.99 0.01 0.011 1.01 0.01 0.01

-1.5 -1.2 0.3 0.2100 99.99 0.01 0.0001100 99 1 0.01

Geralmente, é preferível utilizar o erro relativo!


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Um importante teorema ao qual se recorre com frequência em análisenumérica é o seguinte.

Teorema (Série de Taylor)

Seja f (x) uma função contínua com k + 1 derivadas no intervalo[x0, x0 + h]. Então,

f (x0 + h) = f (x0) + h f ′(x0) +h2

2!f ′′(x0) +

h3

3!f ′′′(x0) + · · ·+

+hn

n!f n(x0) +

hn+1

(n + 1)!f n+1(ξ)

em que ξ ∈ [x0, x0 + h].


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−6 −4 −2 0 2 4 6−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

sin

(x);

ap

rox

. de

sin

(x)

po

r sé

rie

de

Tay

lor

Figura: Aproximações de f (x) = sin(x) por expansão em série de Taylor, emtorno de x = x0 = 0.


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−6 −4 −2 0 2 4 6−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

sin

(x);

ap

rox

. de

sin

(x)

po

r sé

rie

de

Tay

lor

sin(x)2 termos4 termos6 termos8 termos

Figura: Aproximações de f (x) = sin(x) por expansão em série de Taylor, emtorno de x = x0 = 0.


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Exemplo

Consideremos o problema da aproximação da derivada f ′(x0) numponto x = x0, de uma dada função, f (x).

O objectivo é desenvolver um algoritmo que permita o cálculo def ′(x0) por via numérica, e avaliar algumas questões que se prendemcom os erros.

Seja, por exemplo, f (x) = sin(x) definida em todo o domínio dosnúmeros reais, −∞ < x < +∞, e seja x0 = 1.2.


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Exemplo (cont.)

Uma forma possível de construir um algoritmo para determinarf ′(x0) numericamente consiste no recurso à série de Taylor.

Passagem do domínio contínuo:−∞ +∞

ao domínio discretou u u u u u u· · · · · ·xi−2 xi−1 xi xi+1 xi+2

Passo de discretização: h = xi+1 − xi.


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Exemplo (cont.)

Da expansão de f (x) em série de Taylor em torno de x0

f (x0 + h) = f (x0) + h f ′(x0) +h2

2!f ′′(x0) +

h3

3!f ′′′(x0) + · · ·

vem

f ′(x0) =f (x0 + h)− f (x0)

h−(

h2

2!f ′′(x0) +

h3

3!f ′′′(x0) + · · ·

)


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Exemplo (cont.)

Então, um algoritmo possível para a aproximação de f ′(x0) consisteno cálculo de

f (x0 + h)− f (x0)h

A aproximação tem um erro de discretização ou de truncatura dadopor ∣∣∣∣f ′(x0)−

f (x0 + h)− f (x0)h

∣∣∣∣ =∣∣∣∣h2

2!f ′′(x0) +

h3

3!f ′′′(x0) + · · ·

∣∣∣∣


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Exemplo (cont.)

Se h ≪ 1 e f ′′(x0) 6= 0:∣∣∣∣f ′(x0)−f (x0 + h)− f (x0)

h

∣∣∣∣ ≈ h2

2!

∣∣f ′′(x0)∣∣

No nosso caso:f (x) = sin(x)f ′(x) = cos(x)f ′(x0) = cos(1.2) = 0.362357754476674 . . . .


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Exemplo (cont.)

h Eabs

1.e-1 4.716676e-21.e-2 4.666196e-31.e-3 4.660799e-41.e-4 4.660256e-51.e-7 4.619326e-8

h Eabs

1.e-8 4.361050e-101.e-9 5.594726e-81.e-10 1.669696e-71.e-11 7.938531e-61.e-13 6.851746e-41.e-15 8.173146e-21.e-16 3.623578e-1


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Exemplo (cont.)

10−20

10−15

10−10

10−5

10−1

10−15

10−10

10−5

10−1

h

Erro

Ab

so

luto

Figura: Efeito combinado dos erros de truncatura e arredondamento nocálculo numérico da derivada.


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O facto de os erros serem inevitáveis em cálculo numérico levanta aquestão da sensibilidade da solução de um problema a pequenasvariações nos dados ou nos parâmetros do problema.

Um problema diz-se sensível ou mal-condicionado se pequenasperturbações nos seus dados ou nos seus parâmetros conduzem agrandes alterações nos resultados.

Um problema diz-se insensível ou bem-condicionado se pequenasperturbações nos seus dados ou nos seus parâmetros conduzem apequenas alterações nos resultados.


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x

x

f

f

y

y

Figura: Ilustração de um problema mal-condicionado no cálculo dey = f (x): quando o dado x é ligeiramente perturbado para x, o resultadoy = f (x) é muito diferente de y.


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Exemplo

As raízes do polinómio

p(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)(x− 5)(x− 6)(x− 7)

= x7 − 28x6 + 322x5 − 1960x4 + 6769x3 − 12132x2 + 13068x− 5040

são muito sensíveis a pequenas variações nos coeficientes. Porexemplo, se o coeficiente em x6 for alterado para -28.002, as raízesreais originais 5 e 6 são alteradas para as raízes complexas5.459± 0.540i.

Neste caso p(x) é uma função mal-condicionada.


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O número de condição, cond [·], é uma medida quantitativa docondicionamento de problemas numéricos.

cond =|erro relativo na solução||erro relativo nos dados|

=

∣∣∣∣∣∣∣∣f (x + ∆x)− f (x)

f (x)∆xx

∣∣∣∣∣∣∣∣


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f (x + ∆x) = f (x) + f ′(x)∆x + . . .

f (x + ∆x)− f (x) = f ′(x)∆x + . . .

f (x + ∆x)− f (x)f (x)

=f ′(x)∆x

f (x)+ . . .

Para ∆x pequeno:

f (x + ∆x)− f (x)f (x)

≈ f ′(x)∆xf (x)


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Então:

cond ≈

∣∣∣∣∣∣∣∣f ′(x)∆x

f (x)∆xx

∣∣∣∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣x f ′(x)

f (x)

∣∣∣∣Definição

O número de condição de uma função f (x) é dado por

cond [f (x)] =∣∣∣∣x f ′(x)

f (x)

∣∣∣∣


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Exemplo

Função tan(x) para argumentos próximos de π/2:

tan(1.57079) ≈ 1.58058× 105

tan(1.57078) ≈ 6.12490× 104

A variação relativa na solução é ≈ 9.6× 104 superior à variaçãorelativa nos dados (argumento).

cond [tan(x)] =∣∣∣∣x(1 + tan2(x))

tan(x)

∣∣∣∣cond [tan(1.57079)] ≈ 2.48275× 105


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O bom ou mau condicionamento de um problema é umacaracterística que lhe é intrínseca, portando, independente dométodo adoptado na sua resolução.

A estabilidade de um algoritmo é um conceito usado para indicarque o efeito dos erros computacionais não são agravados pelopróprio algoritmo.

Um algoritmo é estável se o resultado a que conduz é relativamenteinsensível a perturbações nos dados (considerando um problemabem-condicionado).


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x

x

fy

Figura: Ilustração de um algoritmo estável no cálculo de y = f (x): oresultado y é o resultado exacto para o dado ligeiramente perturbado x,y = f (x). Assim, se o algoritmo é estável e o problema bem condicionado, oresultado calculado y é próximo do exacto y.


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Representação de vírgula flutuanteErros na representação de vírgula flutuanteAcumulação de erros e cancelamento subtractivoRepresentação de números em computador

Um sistema de numeração de base n é caracterizado pela utilizaçãode n dígitos diferentes.

Sistema decimal: d10 = {0, 1, 2, ..., 9}.

Sistema binário: d2 = {0, 1}.

Outros (octal, hexadecimal, ...).

O sistema binário é usado, quase invariavelmente, para representartodos os elementos de informação armazenados nos computadores.Voltaremos a este assunto.


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Consideremos, por ora, o sistema decimal.

Qualquer número real pode ser representado de modo exactomediante uma sequência decimal infinita.

Exemplo

x =83

= 2.6666 . . . =(

2101 +

6102 +

6103 +

6104 +

6105 + . . .

)× 101


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Como veremos, a representação de números em computador éfisicamente limitada a um determinado número de dígitos.

Exemplo

A representação de x, por exemplo apenas com quatro dígitos poromissão dos restantes dígitos da representação infinita, será:

x =(

2101 +

6102 +

6103 +

6104

)= 0.2666× 101

(note-se que x é uma aproximação de x).


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Generalizando a metodologia exemplificada, podemos falar em tdígitos decimais e chamar a t precisão.

Para qualquer número real x podemos associar uma representaçãoem vírgula flutuante, denotada por fl(x):

fl(x) = ±0.d1d2 . . . dt−1dt × 10e

= ±(

d1

101 +d2

102 + . . . +dt−1

10t−1 +dt

10t + . . .)× 10e


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Exemplo (cont.)

Retomando o nosso exemplo, para

x =(

2101 +

6102 +

6103 +

6104

)= 0.2666× 101

tem-se t = 4 e e = 1.

Este exemplo serve também para mostrar que a representação não éúnica:

0.2666× 101 = 0.02666× 102 = 0.002666× 103 = . . .


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Para evitar ambiguidades na representação, esta é normalizada,impondo que d1 6= 0. Assim,

fl(x) = ±0.d1d2 . . . dt−1dt × 10e

em que1 6 d1 6 9, 0 6 di 6 9, i = 2, ..., t.


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A gama do expoente também é restringida na representação denúmeros em computador. Ou seja, existem inteiros U > 0 e L < 0 taisque todos os expoentes possíveis num dado sistema de representaçãoem vírgula flutuante satisfaz

L 6 e 6 U

O maior número representável de modo preciso em tal sistema é:

0.99 . . . 99× 10U / 10U

e o número positivo mais pequeno é

0.10 . . . 00× 10L = 10L−1


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Considere-se o número real

x = ±(0.d1d2d3 . . . dtdt+1dt+2 . . .)× 10e

Existem duas formas distintas de aproximar x tomando apenas tdígitos:

truncatura: ignorar os dígitos dt+1dt+2dt+3 . . .;arredondamento: adicionar 1 ao dígito dt se dt+1 > 10

2 = 5 edepois ignorar os dígitos dt+1dt+2dt+3 . . ..


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Exemplo

Truncatura e arredondamento de x, com t = 3:

Trunc. Arred.x x x

5.672 5.67 5.67-5.672 -5.67 -5.675.677 5.67 5.68

-5.677 -5.67 -5.68


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Recordar as expressões para os erros absoluto e relativoErro absoluto: Eabs = |fl(x)− x|

Erro relativo: Erel =|fl(x)− x|

|x|

Seja x 7−→ fl(x) = 0.f × 10e em que f é obtido como indicado atrás,por truncatura ou por arredondamento.

O erro absoluto cometido pela representação finita pode sermajorado, verificando-se que

Eabs 6

{10−t · 10e, no caso da truncatura12 10−t · 10e, no caso do arredondamento


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Para o erro relativo, basta atender a que, devido à normalização:

|x| >(

1101 +

0102 + . . . +

010t + . . .

)× 10e = 0.1× 10e

Então, no caso de aproximação por truncatura:

|fl(x)− x||x| 6

10−t · 10e

0.1× 10e = 101−t =: εm

No caso de aproximação por arredondamento, o erro relativo émetade daquele que se observa no caso da aproximação portruncatura, donde:

εm =12

101−t


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εm =12

101−t

A quantidade εm é designada por precisão da máquina.

εm serve para quantificar a magnitude dos erros de arredondamentona representação de vírgula flutuante com precisão finita.

O simétrico do expoente, t− 1, corresponde, no caso da aproximaçãopor arredondamento, ao número de algarismos significativos.


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Casas decimais correctas. Uma aproximação x de x tem k casasdecimais correctas se

|x− x| 6 0.5× 10−k.

Algarismos significativos correctos. Se

|x− x||x| 6 0.5× 10−k

então x é uma aproximação de x com k algarismos significativoscorrectos.


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Assim, um algarismo significativo é correcto se o arredondamento donúmero aproximado depois desse dígito corresponder a um erroabsoluto inferior a 1/2 na posição daquele dígito.

Exemplo

|22/7− π| = 0.00126 . . . 6 0.5× 10−2, donde 22/7 = 3.14286 . . . éuma aproximação de π = 3.14159 . . . com 2 casas decimais correctas.

Também|22/7− π|

|π| = 4.025 . . .× 10−4 6 0.5× 10−3

donde a aproximação 22/7 possui 3 algarismos significativoscorrectos.


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Geralmente, é impossível eliminar a acumulação de erros dearredondamento.

Seja Erel,n o erro relativo ao fim de uma operação n de um dadoalgoritmo, e sejam c0 e c1 constantes > 1. Então.

Erel,n = c0 n Erel,0 representa um crescimento linear;Erel,n = cn

1 Erel,0 representa um crescimento exponencial;

Interessa garantir que o crescimento dos erros seja não mais quelinear.

É necessário evitar um crescimento exponencial dos erros.


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Potenciais problemas:se as magnitudes de x e y forem muito diferentes, o erro absolutoem x + y é grande;

se |y| � 1, os erros absoluto e relativo emxy

são grandes;

se |y| � 1, os erros absoluto e relativo em x y são grandes;se x ' y, o erro relativo em x− y é grande (cancelamentosubtractivo).


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Exemplo

Raízes deax2 + bx + c = 0

podem ser obtidas mediante:

x =−b±

√b2 − 4ac

2a


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Exemplo (cont.)

Sejax2 − 54.32x + 0.1 = 0

cujas raízes são (considerando doze casas decimais)

x1 = 54.318158995042, x2 = 0.001841004958.

Importa notar que

b2 = 2950.7 � 4ac = 0.4.


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Exemplo (cont.)

Cálculo das raízes usando uma aritmética com quatro dígitos.√b2 − 4ac =

√(−54.32)2 − 0.4000

=√

2951− 0.4000

=√

2951

= 54.32


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Exemplo (cont.)

x1,4dig =−b +

√b2 − 4ac

2a

=+54.32 + 54.32

2.000

=108.62.000

= 54.30∣∣x1,4dig − x4∣∣

|x4|× 100 ' 0.0%


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Exemplo (cont.)

x2,4dig =−b−

√b2 − 4ac

2a

=+54.32− 54.32

2.000

=0.00002.000

= 0∣∣x2,4dig − x4∣∣

|x4|× 100 = 100%


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Exemplo (cont.)

A fraca aproximação obtida para a raiz x2,4dig é o resultado do erro de

arredondamento no cálculo de√

b2 − 4ac, em particular devido aocancelamento subtractivo.

É possível contornar o problema?


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Exemplo (cont.)

x1 =−b +

√b2 − 4ac

2a

(−b−

√b2 − 4ac

−b−√

b2 − 4ac

)

=2c

−b−√

b2 − 4ac

x2 =−b−

√b2 − 4ac

2a

(−b +

√b2 − 4ac

−b +√

b2 − 4ac

)

=2c

−b +√

b2 − 4ac


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Exemplo (cont.)

x2,4dig =2c

−b +√

b2 − 4ac

=0.2000

+54.32 + 54.32

=0.2000108.6

= 0.001842∣∣x2,4dig − x4∣∣

|x4|× 100 = 0.05%


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Exemplo (cont.)

x1,4dig =2c

−b−√

b2 − 4ac

=0.2000

+54.32− 54.32

=0.2000

0= ∞

A precisão limitada no cálculo de√

b2 + 4ac origina umcancelamento subtractivo fatal.


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Exemplo (cont.)

O recurso a uma fórmula que tenha em consideração o sinal de b seráuma boa opção para prevenir o cancelamento subtractivo fatal.

X = −12

(b + sign(b)

√b2 − 4ac

)em que

sign(b) =

{1 se b > 0

−1 se b < 0

As raízes serão então:

x1 =Xa

, x2 =cX


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Como atrás se disse, um sistema de numeração de base n écaracterizado pela utilização de n dígitos diferentes.

Sistema decimal: d10 = {0, 1, 2, ..., 9}.

Sistema binário: d2 = {0, 1}.

Outros (octal, hexadecimal, ...).

O sistema binário é usado, quase invariavelmente, para representartodos os elementos de informação armazenados nos computadores.


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bit: (binary digit) quantidade elementar de informação quepode ser representada através de um dígito binário

byte (B): agrupamento de 8 bites consecutivos;1 byte (1 B) = 8 bits.


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1 kilobyte (kB) = 1 000bytes = 103 B1 megabyte (MB) = 1 000kilobytes = 106 B1 gigabyte (GB) = 1 000megabytes = 109 B

1 kibibyte (KiB) = 1 024 bytes = 210 bytes = 1 024 B1 mebibyte (MiB) = 1 024 kibibytes = 220 bytes = 1048 576 B1 gibibyte (GiB) = 1 024 mebibytes = 230 bytes = 1 073 741 824 B


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Tabela: Algumas correspondências entre as representações decimal ebinária.

base 10 base 2

1 0000 00012 0000 00104 0000 01008 0000 10009 0000 1001

10 0000 101027 0001 1011︸︷︷︸

um byte


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Exemplo

Converter {36}10 à base binária (e vice-versa).36 20 18 2

0 9 21 4 2

0 2 20 1

{36}10 = {100100}2

1× 25 + 0× 24 + 0× 23 + 1× 22 + 0× 21 + 0× 20 == 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 = 36


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Exemplo

Converter {0.3125}10 à base binária.

0.3125× 2 = 0 .62500.6250× 2 = 1 .25000.2500× 2 = 0 .50000.5000× 2 = 1 .0000

{0.3125}10 = {0.0101}2


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Exemplo

Converter {0.3}10 à base binária.

0.3× 2 = 0 .60.6× 2 = 1 .20.2× 2 = 0 .40.4× 2 = 0 .80.8× 2 = 1 .6

...

{0.3}10 = {0.01001 . . .}2


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Valores numéricos com partes fraccionais não nulas sãoarmazenados como números de vírgula flutuante.Um conjunto fixo de bits atribuído para armazenar cada número.O número total de bits divide-se em partes separadas paraarmazenar a mantissa e o expoente.Todos os valores de vírgula flutuante são representados atravésde notação científica normalizada:

fl(x) = ± 0.d1d2 . . . dt−1dt︸︷︷︸mantissa

×10e

em que1 6 d1 6 9, 0 6 di 6 9, i = 2, ..., t.


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Precisão simples – 32 bits por número de vírgula flutuante.Precisão dupla – 64 bits por número de vírgula flutuante.

Precisão Mantissa (bits) Expoente (bits)

Simples 24 8Dupla 53 11


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Um número de vírgula flutuante com precisão dupla pode seresquematicamente representado por:

64 bits︷︸︸︷b︸︷︷︸

sinal

bbbbbbbbbbbbbbb . . . . . . bbb︸︷︷︸mantissa (52 bits)

bbbbbbbbbbb︸︷︷︸exp. e sinal (11 bits)


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Consequências:

O limite no número de bits atribuído à representação doexpoente implica a existência de um limite superior e de umlimite inferior na magnitude dos números de vírgula flutuante.O limite no número de bits atribuído à representação damantissa limita a precisão (número de algarismos significativos)de qualquer número de vírgula flutuante.A maioria dos números reais não pode ser armazenado de modoexacto.

Inteiros inferiores a 252 podem ser armazenados de modo exacto.Números com 15 dígitos decimais que seja a soma exacta depotências de (1/2) podem ser armazenados de modo exacto.


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Tabela: Comparação entre a recta dos números reais e a recta dos númerosde vírgula flutuante.

Reais Vírgula flutuante

Gama Infinita: existem números re-ais arbitrariamente grandes earbitrariamente pequenos.

Finita: o número de bits atri-buídos ao expoente limitama magnitude dos valores devírgula flutuante.

Precisão Infinita: existe um númeroinfinito de números reais en-tre quaisquer dois númerosreais.

Finita: existe um númerofinito de números de vír-gula flutuante entre quais-quer dois valores de vírgulaflutuante.


Computação Aplicada I - Introdução ao Cálculo Numérico

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