Calculo Matricial de Estructuras (teoria y problemas) - Ramon Argüelles

5/13/2018 Calculo Matricial de Estructuras (teoria y problemas) - Ramon Argelles

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en 1ery 2do orden. Teoria y problemas


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CALCULO MATRICIAL DEESTRUCTURAS EN PRIMER YSEGUNDO ORDEN. TEORiA YPROBLEMAS

Autores:Ramon Arguelles AlvarezCatedratico de Calculo de Estructuras de la U.P.M.Acadernico de Numero de la Real Academia de Ingenierfa.Ramon Arguelles BustilloDr. Ingeniero Industrial. Profesor Titular de la U.P.M.Francisco Arriaga MartiteguiDr. Arquitecto. Profesor Titular de Calculo de Estructuras de la U.P.M.Jose Maria Arguelles BustilloIngeniero Industrial. Profesor de la U.P.M.Miguel Esteban HerreroDr. Ingeniero de Montes. Profesor Titular de la U.P.M.

BELLISCOEdiciones Tecnicas y Cientfficas MADRID


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iNDICE DE CAPiTULOS v

INDICE DE CAPITULOS

I. FUNDAMENT OS DEL CALCULO MATRICIAL 1I.A. TEOREMAS DE LA ENERGIA 1

LA.!. TRABAJO DE LAS FUERZAS EXTERIORES 1LA.2. ENERGIA DESARROLLADA POR LAS FUERZAS INTERIORES 2

I.A.2.1. TEORiA 21 .A. 2. 2. E JERC1C10S 4

LA.3. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES 5I.A.4. TEOREMA DE MAXWELL BETTI 0 DE LA RECIPROCIDAD DE LOSRECORRIDOS 7I.Ao4.l. TEOREMA 71 .Ao4 .2 . APLlCAC10NES 9

LA.5. METODO DE MOHR 10l.A.S.l. TEORiA 10

EJERCIC[O 1.3 12[NFLUENC1A DE LAS VAR1ACIONES DE TEMPERATURA 13EJERC[C10 [A 14

l.A.S.2.

LB. ECUACION DE LA FLEXIBILIDAD I5I.B.!. COEFICIENTES DE INFLUENC1A Y GRADOS DE LIBERT AD 15I.B.2. MA TRIZ DE FLEXIBILIDAD 16I.B.3. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE INFLUENCIA 17

LA.S.l. EJERC1CIO 1.5 19I.e. ECUACION DE LA RIGIDEZ 20r.c. I. DEFINICIONES 20

EJERClClO 1 .6 21J.D. METODO DE LAS FUERZAS 22

I.D.I. ECUACIONES CANONICAS 22EJERC1C10 1.7 24

BIBLIOGRAFIA 26


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VI INDICE DE CAPiTULOS

II. LA BARRA HIPEREST ATICA 1Il.A. INTRODUCCION 1

II.A.1. EJES LOCALES DE LA BARRA Y GRADOS DE LIBERTAD III.A.2. COEFICIENTES DE INFUENCIA EN EL EXTREMO A DEL VOLADIZO 211.A. 3. DESPLAZAMIENTOS DEL EXTREMO A DEL VOLWIZO PARA

DIFERENTES TIPOS DE CARGAS DE BARRA 2

I I.B. BARRA ARTICULADA I EMPOTRADA SOLICIT ADA POR CARGASNORMALES A SU EJE 3II.B.1. CA.LCULO DE LA INCOGNITA HIPERESTA.TICA ry "c . . . . . .. . . . . . . . 3II.B.2. EJEMPLOS DE BARRAS DE SECCION CONSTANTE 5

l.B.2.1. CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA 5l.B.2.2. CARGA PUNTUAL 5!B.2.3. CARGA PARCIAL Y UNIFORMEMENTE REPARTIDA 6

II.C. BARRA BIEMPOTRADA SOLICITADA POR CARGAS NORMALES A SU EJE 7I LC. I CA.LCULO DE LAS INCOGNITAS HIPERESTA.T ICAS ry,,'y .m,' 7I LC.2. EJEMPLOS DE BARRAS DE SECCION CONSTANTE 9

II.C.2.1. CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA 91I.C.2.2. CARGA PUNTUAL 101I.C .23. CARGA PARCIAL Y UNIFORMEMENTE REPARTIDA IO

U,D. BARRA CON APOYOS INDESPLAZABLES SOLICITADA POR CARGASAXIALES II

1l.E. MATRiZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA : 12II.E.I. ECUACION MA TRICIAL DE LA BARRA SIN CARGAS 12II.E.2. COEFICIENTES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA DE SECC ION

CONSTANTE 14II.E.3. JUSTIFICACION DE ALGUNOS VALORES DE LOS COEFICIENTES DE

RIGIDEZ 16EJERCICIO 11.1 18

I I. F. ECUACION MATRICIAL COMPLETA DE LA BARRA 19EJERCICIO 11.2 21

II.G. TAB LAS II.l.a-b 22BIBLIOGRAFiA 25

III. CALCULO MATRICIAL DE PORTICOS PLANOS 11I1.A. SISTEMAS DE BARRAS PLANOS SOLICITADOS POR CARGAS APLICADAS

EN LOS NUDOS Y EN EL PLANO 1IILA.I. INTRODUCCION 1IIl.A.2. EJES LOCALES DE BARRA Y EJES GENERALES 3

III.A.2.1. EJES GENERALES DEL SISTEMA. FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS 3III.A.2.2. EJES LOCALES DE BARRA. FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOS 3IIl.A.2.3. MATRICES DE CAMBIO DE EJES 4

IIl.A.3. MATRIZ COMPLETA DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA 5

iNDICE DE CAPiTULOS VII

I II.A.4. ECUACION MATRICIAL DE LA BARRA DE SECCION CONSTANTE EN EJESLOCALES. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 7

III .A.5 . MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA EN EJES GENERALES ... .. .. .. : :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: :: '8 .III.A.6. ECUACION MATRICIAL COMPLETA DE LA BARRA DE SECCION .CONST ANTE EN EJES GENERALES 9EJERCICIO III.I ( 1) ; i

I II .A.7. CONDICIONES DE DEFO~\ .1ACION Y DE EQUILIBRIO DEL SISTEMA DEBARRAS , 12

lII.A.8. ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ COMPLETA DE RIGIDEZ 13IIl.A.9. ECUACION,MATRICIAL REm~CIDA 15IILA.IO. RESOLUCION DE ,LA ECUACION MATRICIAL 16

I II .A .IO. I. TEORIA 16EJERCICIO III. I (2) ; 18

IlI .A.I I. ESFUERZOS REACCION EN LOS EXTREMOS DE LA BARRA NO CARGADA 20II LA .I I.I . T EORIA 20EJERCICIO I II .I ( 3) 21

IIl.A.12. REACCIONES EN _LOSAPOYOS 22~~:~~~,~;OI~~~~~...:::....:::..::::..:::. .: :::::: ..::::.:..::::::::::. ::;;llLA.l3. ELECCION DE LOS MODELOS DE MATRICES DE RIGIDEZ DE BARRAS 25

II I. A. 13 .I . INFLUENCIA DE LOS APOYOS 25I II .A .I 3.2. EL NUDO ARTICULADO 26I II. A. I3 .3 . SELECCION MODELOS DE BARRA DE MATRICES DE RIG IDEZ 27EJERCICIO I II .2 30

III.B. SISTEMAS CON CAR9AS DE BARRA 30IILB.I. ETAPAS DEL C~LCULO MATRICIAL.. 30lII.B.2. DETERMINACION DE LAS FUERZAS EQUIVALENTES 31

II I. B. 2. 1. PLANTEAMIENTO GENERAL. . 31EJERCICIO III .4 33

IIl.B.3. ESFUERZO~ EN LOS EXTREMOS DE BARRAS CARGADAS :34IIl.B.4. RESOLUCION COMPLETA DEL SISTEMA 35

III.B.4.1. TEORiA 35EJERCICIO IlLS , ".,., ,., 37EJERCICIO III.6 , 38

lII.C. COMPLEMENTOS 39lILC.I. APOYOS NO.CONCORDANTES 39III.C.2. A~~~~.7.EL~~;~~S.:: .. ::: .. .. .: :::: :::: ::: :::: :::: :::: :::: '. ::: :::;

EJERCICI0 111.7 44lIl.C.3. DESPLAZA~IENTOS FORZADOS SEGUN LOS EJES GENERALES .46III.C.4. E~~~~~7.TE:~it~~:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::;

EJERCICIO III .S 49lII.D. OTROS EJERClCIOS 52

EJERCICIO III9 , , , 52EJERCICIO TII.IO , 53

BIBLIOGRAFfA 55


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VIII iNDICE DE CAPITULOS

IV. SISTEMAS ESPACIALES DE BARRAS 1IV.A. LA BARRA ESPACIAL 1

IV.A.I. INTRODUCCION 1IV.A.2. EJES PRINCIPALES DE LA BARRA ESPACIAL 2IV.A.3. ECUACION MATRICIAL COMPLETA DE LA BARRA EN EJES PRINCIPALES 4

EJERCICIO IV. I 9REACCIONES EN LOS EXTREMOS DE LA BARRA DEBIDAS A LASCARGAS DE BARRA 10.................. 11

IV.A.4.EJERCICIO IV.2 ' " .

IV.B. CALCULO MATRICIAL 12IV.8. I. INTRODUCCION 12IV.8.2. EJES GLOBALES. AUXILIARES Y PRINCIPALES. MATRICES DE CAMBIO

DE EJES 14IV.B.2.I. INTRODUCCION 14IV.B.2.2. E JESGLOBALES DEL SISTEMA.FUERZAS YDESPLAZAMIENTOS 14IV.B.2.3. E1SAUXlLIARES DEBARRA Y MATRICES DE CAMBIO D E E1S 14EJERCICIO IV.3 17IV.B2.4. MATRICES DECAMBIO DEEJESAUXILIARES A E1SPRINCIPALES

DEBARRA 17EJERCICIO IVA 19

IV.8.3. ECUACION MATRICIAL DE LA BARRA EN EJES GLOBALES 19TV.B. 4. SIGNIFICADO FisICO DE LOS COEFICIENTES LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE

LABARRA 21EJERCICIO IV.S 22IYB.5. MATRIZ COMPLETA DE RIGIDEZ DEL SISTEMA 23IV.8.6. RESOLUCION DEL SISTEMA 24

EJERCICIO IV.6 25IV.B.7. DETER.MINACION DE LOS ESFUERZOS DE BARRA 26

EJERCICIO IV.7 27IV.8.S. LEYES DE ESFUERZOS DE LA BARRA 28IV.B.9. REACCIONES 29

EJERCICIO IV.8 31BIBLIOGRAFiA 32

V. ANA.LISIS DE SEGUNDO ORDEN IV.A LA VIGA-COLUMNA PATRON I

V.A.I. EJEMPLO EN EL QUE SE COMPARAN LOS ANALISIS DE PRIMER YSEGUNDO ORDEN I

V.A. 2. VIGA-COLUMNA CON OTRAS CLASES DE CARGAS .4V.A.2. I . CARGA CONCENTRADA APLlCADA EN UNPUNTO INTERMEDIO 4V.A.2.2. OTRAS CARGAS 5

V.A.3. FACTORES DE AMPLIFICACION DE LA VIGA -COLUMNA 5V.A. 4. BARRA BIEMPOTRADA SOLICITADA POR UNA CARGA

UNIFORMEMENTE REPARTIDA 7V.A.5. FUNCIONES DE ESTABILIDAD 8V.A.6. FACTORES DE AMPLIFICACION DEL MOMENTO MAxIMO ,9V.A. 7. METODO DE NEWMARK c 10

EJERCICIO V.I 12

iNDICE DE CAPITULOS IX

V.B. V.~~~I~~igg~~~6~I~~~.:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::~:V.B.I.I. EFECTO P-"- 14V.B.l.2. CONSIDERACIONES SOBRE EL ANALlSIS DE SEGUNDO ORDEN EN

ESTRUCTURAS CON IMPERFECCIONES 14V.B.2. METODOS DE CALCULO 15

Y.R1.1. INTRODUCCION 15V.B.2.2. METODO lTERATlVO 16V.R2.3. CALCULO MATRICIAL. 19V.R2.3.!' MATRIZ DERIGlDEZ DE LABARRA BIEMPOTRADA

CONSlDERANDO LAS FUNCIONES DE ESTABlLIDAD 19V.B.2.3.2. MATRIZDE RIGlDEZ GEOMETRICA DELA BARRA EN EJESLOCALES 21V.B.2.3.3. ECUACION MATRICIAL DE LA BARRA EN EJESGENERALES INCLUYENDO LA MATRIZ GEOMETRICA 22V.B.2.3.4. ECUACION MATRICIAL DELSISTEMA DE BARRASINCLUYENDO LAMATRIZ GEOMETRICA 22V.B.2.3.S. ESFUERZOS ENLOS EXTREMOS DELA BARRA CARGADA 24EJERCICIO V.2 26

V.c. PANDEO DE PORTICOS 29V.C.l. COEFICIENTE CRiTICO DE PANDEO 29V.C.2. LONGITUDES DE PANDEO 31

EJERCICIO V.3 3 IBIBLIOGRAFiA 32


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Fundamentosdel caJculomatricial pagina 1 / I

I. FUNDAMENTOS DEL CALCULOMATRICIAL

LA. TEOREMAS DE LA ENERGiALA . I. TRABAJO DE LAS FUERZAS EXTERIORESEn un sis tema de barras solicitado por cargas Pi que se apl ican lenta y linealmente, eltrabajo desarrollado por cada fuerza al producirse el desplazamiento del s is tema es iguala: P i .L lp, 12 , vease la f igura LA. I (Llpi es la componente del desplazamiento i-i' que sufreel punto i en la direcci6n de la fuerza Pi , figura LA.2.a).De la misma manera el trabajo generado por un momenta M, sera P j .L lM j 12 . Entendiendopor LI~ijel giro experimentado por la secci6nj en el sentido de ~, f igura LA.2.b.

aJ

pLJ-II

b)

~.J0M.m .AilJ' .

~ . m__j{liillllll.WJc.l.W.Llill _-- LI

LIp,Figura I.A.] Trabaja realizada

par las cargas, Pi Figura I.A.2. Sistemas de barras cargadas

Estas expresiones se pueden aplicar a un grupo de fuerzas y momentos, representados poruna fuerza generalizada Pi y por un momento, tambien general izado, ~, f igura LA.2.c. EItrabajo total desarrollado por las fuerzas externas es independiente de su orden deaplicaci6n, ya que es valida la ley de superposicion, resultando:

ecuaci6n LA.l


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Calculo matricial de estructuras, lor y 2 orden. Teotia y problemas pagina 2/ 1I.A.2. ENERGIA DESARROLLADA POR LAS FUERZAS

INTERIORESLA.2.l. TEORIAEs interesante deducir el trabajo realizado por las fuerzas de secci6n intemas aplicadas a10 largo de la barra 0 del sistema de barras. Para ella se considera un elemento diferencialde barra de longitud ds, figura LA.3.a, solicitado por las fuerzas de secci6n: N (axil), M(momento) y V (cortante). EI t rabajo desarroll ado por las fue rzas de secci6n comoconsecuencia de la deformaci6n del sistema rec ibe el nombre de energia potencial dedeformacion. Si se prescinde del traba jo rea lizado pOI los incrementos de fuerzas desecci6n diferenciales: dN, dM y dV, figura I.A.3.a , por dar origen a diferenciales desegundo orden, y se consideran aisladamente cada una de las fuerzas de secci6n, resulta:

EI esfuerzo axil N, figura b. provoca en un elemento diferencial de longitudds, el alargamiento s = N/(EA) (siendo: E = m6dulo de elast icidadlongitudinal, A = area de la secci6n transversal). EI trabajo desarrollado porel esfuerzo axil N, reducido en un 50% por tratarse de esfuerzos que, al igualque las cargas, actuan lenta y linealmente, es:

I I NdW = -Nf:ds =-N_dsmt.N 2 2 EA0) f----=---:, qis)

I *III(I!il

b) d)) I ' d"-U Y ', r

" r t d sT.J

i d s II.d sFigura I.A.3. DeJormaciones provocadas pOl'lasJuerzas internas

EI momenta f lector M, figura c, provoca en el elemento diferencial delongitud ds un giro drp,siendo, drp=Mds/(El) (siendo 1 = momenta de inerciade la secci6n transversal). EI trabajo desarrollado pOI el momenta M, es:

Fundamentos del calculo matricial pagina 31 I1 I MdW =-Md"'=-M_dsmt,M 2 'f' 2 El

Y, finalmente, el esfuerzo cor tante V, figura d, provoca en el elementodiferencial de longitud ds una distorsi6n angular y, siendo, r = ; t V/(GA)(siendo G = m6dulo de e lasti cidad transversa l y X, coeficiente de formadependiente de la geometr ia de la secci6n transversal de la barra). EI trabajodesarrollado por el cortante Ves:I I VdW =-Y-y-ds =-TV_dsmLV 2 2 GA

Sumando estas expresiones resulta:1 N I M I V I N 2 M 2 V2dW =-N_ds + -M_ds +_XY-ds =_.(- +- +X-)ds

mt 2 EA 2 EI 2 GA 2 EA EI " GAIntegrando esta ecuac i6n dentro de los l imi tes de cada barra y sumando los resultadoscorrespondientes a todas las barras de l si st ema , se obtiene la expresi6n que define elt rabajo de las fue rzas inte riores para el si st ema (conoc ido como energia potencial dedeformaci6n):

N2 M 2 V2W = " ( f~ s + f ~ s + x f ~ s )int L. J 2EA 2EI 2GA ecuaci6n I.A.2Igualando el trabaj0 realizado por las fuerzas extemas, ecuaci6n LA. I , a la energiapotencial de deformaci6n se plantea la ecuaci6n:

I 1 N2 M2 V2W, =-"rs,+-"M,/':"M ="(f~s+ f~s+ xf~s)ex 2 z: i 2 z:. i z: 2EA 2EI 2GAecuaci6n LA.3

En los sistemas de barras solicitados predominantemente a flexi6n (vigas) puedeprescindirse de la influencia de axiles y cortantes, en este caso:barrak;n I, M;(s)W =W = I f ds

ext mt barra k;i 02(EI) k ecuaci6n I.A.4

ley de momentos de labar ra kr ig idez a la f lexi6n de la bar ra klongitud de la barra k


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Calculo matricial de estructuras, I" y 2 orden. Teoria y problemas pagina 4/ 1Para un sistema de bar ras en celosia en el que las cargas se aplican en los nudos, todosarticulados, solamente se presentan esfuerzos axiales, en este caso:

N2 barra k= n N ;Ww - "(f~ s)= " --1e xt - i nt - L . . . J 2EA ba~=12(EA)k k ecuaci6n LA.5N, esfuerzo axial de la barra k( EA) k r igidez a la traccion de la barra kh longitud de la barra k

El calculo de algunos desplazamientos del sistema se obtiene igualando el trabajorealizado por las cargas Wext, a Jaenergia potencial de deformacion, Wint.

I.A.2.2. EJERCICIOSA continuacion se realizan dos ejercicios en los que se determinan los desplazamientos desecciones 0 nudos de sistemas de barras . Esta aplicacion solamente puede realizarse siexiste una sola carga y esta coincide con la posicion y direccion del desplazamiento.Ejercic io 1.1.Para la viga biapoyada_de secci6n constante sol ic itada por una carga puntual , P, Figura 1.A.4.,determinar la f /echa en el centro del vane despreciando la inf luencia de cor tantes.De igualar e l t rabajo de lacarga P, PtJ2,a la energia potencial de deformacion,resulta:

a) p11/2 e

~-x

b) Momentos ffectores

TP!~4,.Lf . . . = J ._ fM (X)2 dx

P 0 E 1I 112(PX)2 I I (P(l- x)) 2-f~.x+-f dxP 'E1 0 4 PE I 112 4F ig u ra 1 . A .4

M=(P!2/)'XM=(P!2)'(/-x)

si x=//2Pl3

48 E IEcuecion I.A.4.

Ejercic io 1.2Para el s istema de celosia representado en la FiguraI .A.S. , indicar la expresi6n que def ine el des-plazamiento L1 en func i6n de los es fuerzos axia les de las barras , N; .

De i gu al ar e l t ra ba jo d e l a car ga P ,PtJ2, a laenerg ia potencial dedeformacion, resulta:

t. = 1 k f 5 N f'lkP k=1 EA k

Ec ue c io n 1 . A .5 .pF ig u ra I .A . 5 .

Fundamentos del calculo matricial pagina 51 II.A.3. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALESEl teorema de los trabajos virtuales se formula en la Mecanica Racional del modosiguiente: Si una particula se encuentra en equilibrio bajo la accion de un grupo dejuerzas, el trabajo desarrollado por esta, -al recorrer la particula cualquierdesplazamiento virtual, es nulo.Un sistema elastico sometido a fuerzas de superficie y de volumen, esta constituido porun conjunto de particulas (elementos diferenciales de la pieza prismatica), sobre las queactlian grupos de fuerzas en equilibrio. Debido al principio de los trabajos virtuales, paracualquier desplazamiento vi rtual del s is tema, el t rabajo real izado por las fuerzas queactlian sobre el total de las particulas debe ser nulo.En un de sistema de barras en vez de considerar particulas se seleccionan trozos de barraequilibrados de longitud ds, figura LA.3.a, el desplazamiento virtual del sistema deberaser compatible con la condicion de continuidad de la materia, asi como con lascondiciones de sustentacion, Se admite que en el intervalo del desplazamiento, laintensidad de las fuerzas permanece constante y, en consecuencia, al caIcular el trabajo nose debe tomar la mitad de la carga por el desplazamiento, sino la magnitud total delproducto de las fuerzas y desplazamientos ya que estos desplazamientos se realizan conlas fuerzas ya aplicadas. Dado que los desplazamientos son pequefios y dependenlinealmente de las cargas, se utilizan como desplazamientos virtuales los desplazamientosoriginados por cualquier sistema de cargas, siempre que se respeten los vinculos externos.A este sistema se Ie denomina sistema equilibrado. Asi, por ejemplo, si se anal izan losdos sistemas de las figuras LA.7.a. y b, los desplazamientos del estado b puedenconsiderarse como desplazamientos virtuales del a y al reves, los desplazamientos delestado a como virtuales del h.

a) Si st ema rea l Denominando Wa", al tra-bajo de la fuerza general i-zada Pa del estado a (sis-tema real) debido a losdesplazamientos L l a h delsistema equilibrado, esta-do b, resulta:

b) Sistema equilibradoW " ' I . a h = P a L l a b ec.l.A.6Las fuerzas de seccion delestado a : N", M a Y Va , figuraLA. 7, asociadas a losdesplazamientos del estadob: &bds, db Y Yt;ds,generan, puesto que seaplican con toda su intensi-

Figura I.A.6. Principia de los trabajos virtuales.Sistemas real y equilibrado


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Calculo matricial de estructuras, 1er y 2orden. Teoria y problemas pagina 6/1dad durante el recorrido correspondiente al estado b en un elemento diferencial (ds), eltrabajo siguiente:

dW;nl ,ab= No'(&b ds )+ Ma'db + Va'(Yb ds )Sustituyendo,

&/J = E NA b ;db = ME 1bds ; Y - X Vbb - 0 GA 'resulta:

fN N fM M fVV.W . = ~( ~s+ ~s+X ~s)Inl,,,b L.. EA E 1 GA ecuaci6n l.A7E m6dulo de elasticidad longitudinal.G m6dulo d e e lasticidad t ransversalI momento de inercia de la secci6ntransversal de la piezaA area dela secci6ntransversal dela barra

0) Axi l b)Flector~~

c) CortanteIbI

I ds II ( l + C b ~Figura l.A.7. Trabajo realizado par lasfuerzas internas del estado a

l_> b a sTds

De igualar el trabajo realizado por las cargas Wmah, a l de las fue rzas de seccion, Wnl.ah,resulta:

fN N fM M fVV.~P' !1 ="C ~s+ ~s+X ~sL.. a ab L.. EA EI GA ecuaci6n LA8

Si se adopta como si stema equi librado e l propio sistema rea l soli cit ado por la cargageneralizada P; figura LA.6.a, la ecuacion LA.8, se transforma en la siguiente:

ecuaci6n LA9

Fundamentosdel calculomatricial pagina 7 / I0, bien,

1 N2 M 2 V2- 'LP '!1 = L(f~ s+ f~ s+ xf~ s)2 a a 2E A 2E 1 2GA ecuaci6n LA.IO

Ecuacion similar a la LA.3, deducida en el apartado LA.2.l.

I.A.4. TEOREMA DE MAXWELL-BETTI 0 DE LA RECIPROCIDADDE LOS RECORRIDOSI.AA.1. TEOREMAConside rando en un si st ema e lasti co dos estados de cargas general izadas: e l I (que esequivalente al sistema real a de la figura LA.6.a.), figura LA.8.a, y el II (que esequivalente al sistema equilibrado b de la figura LA.6.b.), figura LA.8.b, la aplicacion delteorema de los trabajos virtuales, ecuacion l.A.8, considerando como desplazamientosvirtuales los correspondientes al estado II (sistema equilibrado) proporciona la ecuacionsiguiente:

"p./'" = "(fNJ'NII ds+ fMJ 'MJI ds+ X f VJ 'VII ds) ecuaci6n LA.IIL.. J J ,1J L.. E A E 1 GAY si, reciprocamente, se considera como estado real de cargas el estado II, y comosistema equilibrado el I, figuras l.A.8.a-b, resulta:

ecuaci6n LA!2

Puesto que para ambos estados las expresiones de los trabajos de las fuerzas intemas soniguales, se cumple:

ecuaci6n LAl3

a) Estado I

8'!JII,lb)Estado IT d)

8'


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Calculo matricial de estructuras , I er y 2 orden. Teoria y problemas pagina 8 1 1Es decir: el trabajo realizado por laJuerza generalizada del estado I (PI) al eJectuar elrecorrido debido a la aplicacion de laJuerza generalizada del estado II ( . 1 1 . 1 1 ) ' es igual altrabajo de la fuerza generalizada del estado II (PII) al eJectuar el recorrido del estado I( . 1 1 1 . 1 ) 'Si como fuerza generalizada PI del estado I se considera una sola fuerza unidad, PI=l y,del mismo modo, como fuerza generalizada PII del estado II se considera tambien una solafuerza unidad: P2=1, veanse las figuras LA.8.c-d, al ser: PI = PI=l; L1Ul=~2y PII = P2=1;L11 / = O ? l ' la ecuacion LA.13, se transfonna en:

b1 2=b21 ecuacion LA.14012 representa el desplazamiento de la posicion 1, segun la direccion de PI, figura

d, provocado solamente por la carga unidad P2=1, apli cada en laposicion en 2021 representa e l desplazamiento de la pos ic ion 2, s egun la direccion de P2 figurac, provocado solamente por la carga unidad PI=1,apl icada en lapos ic ion en 1

Es decir: el recorrido producido en el punto 1 y en la direccion de PI, por una fuerzaunidad aplicada en 2 segun la direccion P2, es igual a l recorrido del pun to 2 y en ladireccion de P2, producido pOl' unafuerza unidad situada en 1en la direccion de PI.Este teorema denominado de la reciprocidad de los recorridos fue establecido porMaxwel en 1864. En la f igura LA.9, se representa una aplicacion de este teorema para elcaso de una viga apoyada en sus extremos en la que las elastic as que adopta la vigadebidas a cargas unidad aplicadas aisladamente: PI = 1 Y P, =1 cumplen la ecuacionLA.14. Observese que los movimientos que se consideran son las componen tes de losdesplazamientos en la direccion de las fuerzas.

Figura I.A.9. Aplicaciones del teoremade Maxwell-Betti

Figura I.A.IO. Aplicaciones del teoremade Maxwell-Betti

De igual modo se demuestra que el desplazamiento b l2 del punto 1,segun la direccion dePI, producido por el par unidad s ituado en laposicion 2, es igual al giro, rp = b 2 J que en laseccion 2 produce la fuerza unidad, PI=1,s ituada en 1,f igura LA. 1O .

Fundamentos del calculo matricial pagina 9 I IEI teorema de la reciprocidad de los recorridos permite la resolucion de muchosproblemas del Calculo de Estructuras. Tiene especial importancia en el calculo matricialde estructuras en 10que se ref iere a la s imetr ia de las matrices de f lexibi lidad y der igidez.

I.AA.2. APLICACIONESEn la presentacion III se inc1uyen algunas aplicaciones del teorema de Maxwell-Betti:

En el voladizo representado en las figuras LA. 1 I, se cumple que eldesplazamiento vertical del punto C, I i c h , provocado por la carga P aplicadaen B, es igual al desplazamiento vertical del punto B, ~o debido a la carga Paplicada en C.

En la viga biapoyada representada en las figu ras LA.12 , se cumple que eldesplazamiento vertical del punto A, b a b , provocado por la carga P aplicadaen B, es igual al desplazamiento vertical del punto B, b b a , debido a la carga Paplicada en A.

(I)

A f(I)

(I) P

~A~B

8 8~ ~ ~8 . . , S o. pm1/2 I 1/2

(II) , :&~i * ' 0,," .. .

Figura fA 11. P'obc =P'ochabc = 0Gb

Figura fA 13. lV['Bab =P'O ha- B a b ::= 0b a

Figura fA 12. P'O a;, =P'O haJa b = Ob a

Figura fA 14. MB.b =M Bhs; =B..,Presentacion III. Aplicaciones del teorema de Maxwell-Betti


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Calculomatricial de estructuras, Ier y 2orden.Teoriay problemas pagina 1 0 1 1 En la viga biapoyada representada en las figuras l.A.l3, se cumple que el

giro de la secci6n A, B a h , provocado por la carga unidad P=] aplicada en B,es igual al desplazamiento ver tical de la secci6n B, O b a , debido al momentoM=] aplicado enA.

En la viga biapoyada representada en las figura LA.14, se cumple que el g irode la secci6n A , B ab, provocado por el momenta M aplicado en B, es igual algiro de la secci6n B, 8 , , , , , debido almomento M aplicado enA.

I.A.S. METODO DE MOHRI.A.S.l. TEORiAEn una barra 0 en un s istema de barras solicitado por cargas Puna secci6n gener ic a i sedesplaza a la posici6n i, figura LA.15 .a. EI movimiento de la secci6n i queda definido porsus componentes respecto ados ejes ortogonales (que pueden ser cua lesquiera, en lafigura e l e je de la barra y su normal ) y e l giro que experimenta la secci6n. E l metodo deMohr permite determinar en cualquier secci6n, pero solamente en una, uno de estos tresmovimientos.EI metodo se establece a parti r del t eorema de los t rabajos virtua les el igiendo comosis tema equil ibrado el propio s istema cargado solamente por la fuerza [> i=] en el puntocuyo movimiento en direcci6n de Pi inte resa, figura LA.I5.b, y como si stema real elsolicitado por las cargas reales.

o ) S is tema rea! Denominando los es-fuerzos generados enel sistema real par N,M Y V (figuraLA.15.a), y por n .;u., y V I . i ' los pro-vocados por la fuerzaunitaria Pi ](figura b) aplicandoel principio de lostrabajos virtuales,ecuaci6n LA.S, re-sulta:

Es t u er zosNMVr

b)Sistema equiiibrodoL Esfuerzos.M r , iV ! , iA 8Figura l .A.I5. Teorema de Mohr

ecuaci6nLA.IS

F6rmula que se uti liza para el calculo de una de las componentes del movirniento, L1i,nla direcci6n de Pi , 0 del giro (/Ji' de una secci6n i del sistema,

Fundamentosdel calculomatricial pagina III IPara aplicar este metodo de calculo se procede del modo siguiente:I. Se de terminan de las fue rzas de secci6n N, My Ven el sistema real, vease la f iguraLA.I5.a.2. Se calculan s.;M,., Y VI. !, en el sistema equilibrado, figura LA.I5.b.3 . Se aplica la ecuaci6n LA.15, par ticularizada para P,=] Ygeneralizada para un sistemade barras:

. 1 . ; =b ar~= n c 'JN k (s} N1,;,k (s) -d s + 'jM k(S)'M1,i,k (s) -d s + X /J Vk (S )' ~' i' k(S ) ' ds)bar rak=1 0 (EA)k 0 (El)k 0 (EG)k

ecuaci6n LAl6Nl.i.tls)Ml. i .k(s)

esfuerzos axiales en la barra k del sistema equilibrado debidos a la carga Pi=1.momentos flectores en la barra k del sistema equilibrado debidos a la cargaP i=I .esfuerzos cortantes en la barra k del sistema equilibrado debidos a la cargaP i=I .esfuerzos axiales en la barra k del sistema real.momentos flectores en la barra k del sistema real.esfuerzos cortantes en la barra k del sistema real.

Ntis)l\'h(s)Vtls)

En general en el calculo de desplazarnientos de vigas y p6rticos se puede prescindir de lainfluencia de esfuerzos axiales y cortantes, considerandose solamente los desplazamientosoriginados por la flexion. En este caso,b a r ra k=n IIM (s)' M .(s)1 1 , .= L f k.. 1,I,k ' ,dsbarra k=1 0 (Elh ecuaci6nLAI 7

leymomentos flectores en la barra k del sistema real.ley momentos flectores en la barra k del sistema equilibrado debida a la cargaP i=I .rigidez a la flexi6n de labarra k.longitud de labarra k.

En los s is temas de celos ia art iculados , vease la f igura LA.5, formados por barras rectas deseccion constante solicitadas por cargas aplicadas en los nudos , solamente existen comofuerzas de secci6n esfuerzos axiales, la ecuaci6n LA.I6, por ser M=O y Vk=O , sesimplifica a la expresi6n siguiente:

berra k"'n N .N1 1 . = L .k. I ,i ,k ' !kI barra k= l (EA) k ecuaci6n LAIS

esfuerzo axial en la barra k del sistema real.esfuerzo axial en la barra k debido a la carga unidad aplicada en el grado delibertad i (sistema equilibrado).


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Calculo matricial de estructuras , 1er y 2 orden. Teoria y problemas pagina 12/1CEAh r ig idez a la t racc i6n de labar ra k.lk longitud de la barra k.

E;ercicio L3.Para el s is tema de barras representado en laj igura I.A.16 , determinar las tres componentes deldesplazamiento de la seccion C: vertical, horizontal y giro.

0) Sistema real

d) Vertical M1,151S t . equil ibrado 1

b) Sistema real desplazado

A

Horizontal M1,2Sistema equilibrado 2~ B . : : : C _ _ _

P ; = 1

M"z=(S-h)

c) Sistema realDiagrama M

Mls)=-PI

Figura I.A.16. Ejercicio 1.3.

Giro M1,3Sisto equiiibrado J

M ',3=-1

Inicialmente se calculan los diagramas de momentos fiectores en el s is tema real, figura I.A.16.c, ya continuac ion los diagramas de momentos cor respondientes a los t res si st emas equil ibradossol ic i t ados por cargas unidad en direcci6n de los t res movimientos de C (1, 2 y 3), f igura d:I. desplazamiento vertical:

bo rra k~2 Ik M Cs)M . (s) h MCs)'M IMCs)-M5 c = L f k t,l,k ds = f 1,1 ds + f 1,1 ds =v, berra k~l 0 CEl)k 0 EI2 0 Ell

= fC-PI)'C-I)dS+ fP'Cs-1)'CS-I)ds = Pl2 C h + I )o EI2 0 Ell E 12 311

2. desplazamiento horizontal:

ecuacion LA.17

Fundamentos del calculo matricial pagina 13II

b a~~2 l'fM k (s)-M1 .i.k (s) hfM (s)-M 1,2 lfM (s)- (M 12 =0)6h c:=: : L... ds :=: : ds + ' ds :=:: barre k~l 0 (E1) k 0 E12 0 E116 .:=:: hf(-P l)- (s - h)ds =_!J_h2c E1 2E1o 2 2

3. giro:

I.A.S.2. INFLUENCIA DE LAS VARIACIONES DE TEMPERATURAEImetodo de Mohr permite ca1cular tambien los movimientos del sistema provocados porvariaciones de temperatura, defect os de fabricacion, etc.Supongase, por ejemplo, que una 0 mas barras de l porti co represen tado en la figuraLAI7, sufre un calentamiento 0 enfriamiento desigual con temperaturas tbs en un bordede la pieza y tbi en el opues to , var iando linealmente la temperatura a 10 largo del canto hde la seccion, f igura LAI7 .b.Considerando un tramo de barra calentada desigualmente de longitud ds, figura b, yasignandola un coeficiente de dilatacion termica a" los alargamientos de las f ibras de susrespectivos bordes seran: a,' tb.\ ds y a,' thi ds. Estos movimientos originan:a) S is te m a r e ar

Un alargamiento axial,(f..ds) :=: : a . thi + ths -d st t 2

ec. LA.19.8~-'- Y un giro,

CdS) =a _fhi -ths dst I 1 1ec. l.A.20.

Para evaluar el desplazamiento ,1;,de una detenninada seccion i en ladireccion de P ;= 1 , figura LA I7.a,se consideran los desplazamientosindicados en las ecuaciones LAI9-20, como compatibles 0 virtuales, ycomo sistema equil ibrado el repre-sentado en la f igura c, cuyas fuerzasde seccion son: N1i.b M ' J . k Y VI,i.k

A

c t si s tem a e q u i ti o ro a o

Figura I .A.l7. Calentamiento desigual debido avariaciones de temperatura


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Calculo matricial de estructuras, 1er y 2orden.Teoria y problemas pagina 14/IDe aplicar el principio de los trabajos virtuales, ecuaci6n l.A.lS, resulta:

ecuaci6nLA.2I.Sustituyendo en esta ecuaci6n las ecuaciones LA.19-20, se obtiene:

k= n t . + I I - IL 1 . . = "(fN . ,'(a '~'ds) + fM . '(a ....!zj____}zds))I L.. 1,I,k t 2 k 1.I,k t 2 kk=1

ecuaci6nLA.22.

NI,;,kMu" axia les y fiec tores de la barra k debidos a la carga P;=1 en el si stemaequilibrado. figura LA.ItEn los sistemas articulados de celosia se considera solamente un calentamiento uniforrnede las barras, deb ido a la pequefia dimensi6n de h. Ademas no existen momentos en lasbarras, M,i,k'= 0 y en consecuemcia, h: I b , ' = 0 y (I b;+ I b ,)/2 =Ll lk,

l1i=barra k=nL NI, i ,k(atl1tklk) ecuaci6nLA.23.

NI.! esfuerzo axil en la barra k debido a la carga unidad aplicada en el zrado delibertad, i '='incrementode temperatura de labarra k.longitud de la barra k

En los s istemas de celosia en Jos que producen errores de construcci6n al uti lizar largosde cor te diferentes a los reales es aplicable esta misma ecuaci6n sust ituyendo el termino,(al' Lllk' li), por el error cometido en largo de fabricaci6n.....................................................................................................Ejercicio L4.La viga pr incipa l de acero (=210,000 Nrmm') de un puente de 2 m de altura,jigura l.A.18, estaexpuesta a un calentamiento desigual de 60C para el borde superior y 30C para el inferior.Determinar el desplazamiento vertical LIe que experimenta su seccion central, C. Coeficiente dedilatacion termica a,= 1,2'1 O"

a) b) Sistema equilibrado

A~ J I _ ~ _ i = _ ' ~8~ AFigura l.A.18, Ejercicio 1.4.

Fundamentosdel calculomatricial pagina 15 1 IUtilizando el teorema de Mohr, considerando como sistema equilibrado el representado en lafiguraLA.I8.b, se deduce:

Ni,lx)=0Ni,lx)=0

x < 1/2x;C 1/2

~,lx) =(Pi=l)-xl2Af;,lx) =(P,=IN 20-xI2)Aplicando la ecuaci6nLA.22, resulta:

t 20 X 30 - 60 40 X 30 - 60f bi - t bs d f f1 .c = Mli(at . s) = 'a' dx+ (20- )'a' dx=-0018m, 2 0 2 t 2 20 2 t 2 'Movimientoque es ascendente ya que es contrario al sentido asignado a Pi (descendente)......................................................................................................

I.B. ECUACION DE LA FLEXIBILIDADI.B.1. COEFICIENTES DE INFLUENCIA Y GRADOS DE LIBERTADEn la deformacion de un sistema de barras al que se aplican fuerzas, PI, P" ..y P", Ll irepresenta la proyecci6n del desplazamiento real de la secci6n i en la direcci6n de Pi,figura LB.1.a.Estas direcc iones que se asocian a direcciones de movimientos 0 fuerzas reciben elnombre de grados de libertadSe eligen dos secciones arbitrarias i y j a las que se les asocian los grados de libertaddefinidos por las direcciones Pi y Pj, figura LB.1.b, Considerando como cargas (micas, Piy P j con valores P, =1 YP ,=O , se denomina Oijla proyecci6n del desplazamiento del puntoi en direcci6n de PI' y ~I al movimiento del punto j en Jadirecci6n deP;

Figura l.B.1. Coeficientes de influencia

Reciprocamente, una carga unidad aplicada en i en la direcci6n de Pi' con P, = 0, provocaen j, en la di recc i6n de Pi' un desplazamiento OJ;,y un desplazamiento del punto i en la


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Calculo matricial de estructuras , I er y 2 orden. Teoria y problemas pagina 16/1direccion de P i, 6;;, figura I.B.I.c. Estos desplazamientos 6;;, 5ij, 0 ;, ~ reciben el nombrede coeficientes de influencia, cumpliendose por e l teorema de la reciprocidad de losrecorridos, que 6;;=0;" ecuacion LA.14.

I.B.2. MATRIZ DE FLEXIBILIDADAplicando el princ ipio de superposicion a1 si st ema de barras (el desplazamiento desistema es suma de los desplazamientos provocados por la apli cac ion ai sl ada de lasfuerzas) solicitado por la totalidad de las cargas P"", P;,. .Pj, . .y F; figura LB.l.a, resulta:

ns, =5i1'~ + 5;2 'P2+....+ 5!;,Pj + ....+ 5in -P ; =2~A;,Pfj=1

ecuaci6n LB.!

Extendiendo esta ecuacion a todos los grados de libertad del sistema, 1,2, .. , n, se obtienela ecuacion de la flexibilidad,

~I 1 1 1 2 O l} s; ~L \2 21 2 2 0 0 . : P2JL \; O il : O y S in P ,L \n 0 , , 1 . 0 n j . r;

ecuaci6n LB.2

Denorninandose a la mat riz que relaciona desplazamientos y cargas: matriz deflexibilidad, representada por [F] y formada por los coeficientes de influencia En formatoresumido esta ecuacion se representa,

ecuaci6n LB.3La energia potencial intema del sistema queda definida, puesto que las cargas seincrementan lineal y lentamente, por la expresion:

ecuaci6n LBA

funcion hornogenea de segundo grado de las fuerzas aplicadas al cuerpo elastico.

Fundamentos del calculo matricial pagina 17/ I

I.B.3. CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE INFLUENCIAEn los sistemas de barras y enpar ticular en los s is temas pIanos,t res grados de libertad (2 despla-zamientos y un giro) defmen elmovimiento de nudos y seccionesintermedias de barras, figura I.B.2.Asi, Llx. , L I r A , y e A ' representan eldesplazamiento del nudo A de laposicion A a la A'. En los sistemasde barras espaciales el movimientode nudos y secciones queda defi-nido por tres desplazamientoslineales: L lx , L lr y L I z , y tres giros:e x , e y y e z.

8- 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - x

Figura I .B.2

En un sistema de barras plano, figura LB.3.a, los coeficientes de influencia se determinandirectamente con ayuda de formularios 0, de modo mas general , apli cando el metodo deMohr, apartado LA.S.I, despreciando, en general, la incidencia que en losdesplazamientos tienen esfuerzos axiles y cortantes, ecuacion LA.17:

k=n M 'M5. =L f . I ,i ,k . ,' .1,J,kds11 k=) E1

k=n M"M.5..= ~ f 1,I,k 1,I,k ds :II L.. E1 'k=1

ecuaci6n LB.5

b) coetcente: deinfluencia8i, y8jj S} Sistema orticutodo.oj Coeficlentes 8i y 8;iB'

Ax/les N1J)

d) Ley de momentos, MI,j.kc) Ley de momentos, MI,' .kC

Figura I.B.3, Coeficientes de influencia.


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Calculo matricial de estructuras, 1er y 2orden. Teoria y problemas pagina I8/I

U.;,k ley de momentos tlectores en la barra k, debida a la carga Pi = 1, figura I.B.3.c.U.i.k ley de momentos f lectores en Iabarra k, debida a la carga P, = 1, figura I.B.3.d.

Y para un sistema de barras articuladas, figura l.B.3.e, con cargas aplicadas solamente enlos nudos, se utiliza la ecuacion l.A.IS:

k=n N2< 5 -"~l'il - L.(EA). kk=l k

ecuaci6n I.B.6

NO.k esfuerzo axial en labarra k debido a la carga Pi = 1N1,j,k esfuerzo axial en labarra k debido a la carga P, = 1

A continuacion se incluye un ejercicio en el que se determina para una viga biapoyada deseccion variable en la que se seleccionan en t res secciones equidistantes los grados delibertad 1,2, y 3, perpendiculares al e je de laviga y la ecuacion de la flexibil idad, figural.B.4. Para calcular los coeficientes de flexibi lidad se apl ica , puesto que se t rata de unaviga de seccion var iable, el metodo de Mohr, ecuacion LB.5. En la figura LB.5.a, serepresent a el diagrama de momentos Mil que corresponde a una carga unidad aplicada enel grado de libertad I y en la figura b la ley de moment os Mu para el grado de libertad 2.Teniendo en cuenta que la barra es de seccion variable la integracion debe realizarse concambios en las secciones donde se modifican las leyes de momentos y, tambien, laseccion de la viga. Unicamente se han deterrninado los coeficientes 5 " y 5 ; 1 , los restantescoeficientes, cuyos valores tambien se incluyen se deducen de manera analoga.Los desplazamientos /)."/).,Y / ) ." figura l.B.4.b, se obtienen aplicando la ecuacion LB.2.

Fundamentos del calculo matricial pagina 19 I IEjercicio 1.5Calcular la ecuaci6n de la f lexi -bilidad asociada a l os grados delibertad 1, 2 Y 3, de tressecc iones equid ist antes de laviga de secci6n var iable repre-sentada en la figura. 1.8.4. Ydeterminar, edemes, los despla-zamientos LI" L l2 Y LI 3

~ ~o ~T~B A~' < l : l z l:l. B,I :: :o.OOf~ " .-I , 1 1 r I f 1 f

12.:0,002",4E='OOOOOO~N/m2

Figura I.B.4.

1)Coeficientes de influenciaLeyes de momentos M,. " M,.2, . .. ..

A I 2 :3 B

~8//8 / 8/ ..21 31

M"I=(3I4)x;

M,.1=1-xl4;x=1

M'2= (112 )- x; x=2Figura 1.B.5.

Aplicando las ecuaciones I.B.5, resulta:

811

= jMI .J 'MI .I .dx = j ((3 /4}XY -dx+ f ( I -X /4)2 -dx+ j(I- X/ 4)2 dx = 0,000479 mo EI 0 Ell I El2 3 Ell

821= jMI ,I -MI . 2dx= j (( 3/ 4) 'X )' (X !2 ). dx + S (1 - x/ 4) '( X! 2) .d x + f (I -x / 4) '( 2- x I2 ). dx +

o EI 0 Ell I El2 2 El2+ 4S(I -X/4)' (2 -xI2) 0,000542m

3 Ell0 " , . 2 = 0,000750 m; 8 3 = 831= 0,000354 m; 8" =8" = 0,000542 m; 8 3 =0,000479 m2) Ecuaci6n dela flexbilidad Vdesplazamientos totales

0,000542 0,000354lj j l O ) JO.0I375 m )0,000750 0,000542' IO = 0,OI834m0,000542 0,000479 IO lO,0I375mj " ' l ) [0,000479" '2 = 0,000542" '3 0,000354 Ecuaci6n I.B.2.


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Calculo matricial de estructuras, 1er y 2orden. Teoria y problemas pagina 20 /1

I.C. ECUACION DE LA RIGIDEZI.C.1. DEFINICIONESPremultiplicando las dos partes de la ecuaci6n 1.B.2, por la matriz inversa de la matriz deflexibilidad, [F]"l, se obt iene la ecuacion de fa rigidez que relaciona las cargas aplicadas{P } segun los grados de libertad seleccionados, con los desplazamientos {, 1 }a traves dela matriz de rigidez [K]:

~ kl l k1 2 kJ i kn l ~1P2 k2 1 k22 k2i k2n ~2

~ ki l ki2 k ii ki n ~;

P n s.. kn 2 kn ; s; ~nEcuaci6n que en fonnato resumido se escribe:

{ p } = [ K H ~ }

ecuaci6n I.C.l

ecuacion I.C.2

La matriz de rigidez [K ] del sis tema, que es la inversa de la matriz de flexibilidad, estaasociada a los grados de libertad elegidos que pueden ser cualesquiera dentro del sistema.A los coeficientes kij se les denomina coeficientes de rigidez, Y puesto que la matriz deflexibilidad es simetrica tambien 1 0 es la matriz de rigidez, en consecuencia: ki j=kpDesarrollando la fila i de la ecuaci6nI.C.!,

p

l 'p r: p r- h

fj "m

r ! 1 ! ~< \~ 1 1 =kiltJ. j +k i2tJ.2 +. . . .+ k ij tJ . j + . . ..+ k il1 tJ.necuaci6n I.C.3y anulando en esta ecuaci6n todos losdesplazamientos, ,1/=0, ,12=0,..., ,1;=0,...,,1n=O, excepto 4 que se hace igual a launidad (4=1), resulta:J ' 'l ' l!;, *2/ L ' ' ' ; . h ' ~ If1/ 'i ftI} iii

Figura f.CI. Significadoflsico de los coeficientes de Pi =kij',1 i= kurigidez ecuaci6n l.C.4

Fundamentos del calculo matricial pagina 21 1 IPar tanto, kij, es la fuerza desarrollada en el grado de libertad i, cuando el grade delibertad j experimenta un desplazamiento unidad irnpidiendose los movimientos de losrestantes grados de libertad:

Asi, por ejemplo, la figura I.e. 1, representa una viga biapoyada a la que se le asocian losgrados de libertad J, 2,..., n, que son las direcciones nonnales al eje de la viga en esasmismas posiciones. Para obtener una defonnada de la viga en la que solamente sedesplace la unidad el grado de libertadj mientras que los restantes no 1 0 hacen, vease lafigura I.C.l.b, se aplican fuerzas kij en todos los grados de liber tad. Estas fuerzascorresponden a la columna numero j y, tambien, debido a lasimetrfa de la matriz , a la filanumeroj.

Ejercicio 1.6Como con ti nuac i6n de l e je rc ic io 1 .5 ., se

pide:1) Ecuaci 6n de l a r ig idez2) Representar el significado

fisico de los coeficientes kity k 2

a J bJ

A i i _ : I : I : I , I # I , = o , O O I ~ ~ r - - c / - t - - , - L ~12=o,oo2m4E:1000000 *N/mZ

Figura I .C. 2.1) Ecuacion Vmatriz de la rigidez

Inv ir tiendo la mat riz de f lexibi lidad del e jerc ic io 1.5., se obt iene la ecuaci6n de la r ig idez:

I F ;) 114.0~5 -14.561 6.0751 J ~ I )P2 =l -14.)61 22.379 -14.561 '1~2~ 6.075 - 14.561 14.075 l3 Ecuaci6n I.C.1.2) Representacion del significado ({sica delos coeficientes de la matriz dela rigidez

En laf igura I .C .3.a., se representan las fuerzas ki1 q ue se d ebe n a pl icar e n l os g ra dos d e l ib er ta d p aragenerar ladeformaci6n en la que L l. ,= 1 , L l. ,=O Y L l. ,=O . Idem, en laf igura I .C .3.b., para ki2

a) Coeficientes ki1 b) Coeficientes ki2Ll=1I 2:;

A~-14561AN t -/4561kN

22379kNk'2 k22 kJ2 Figura I.C.3.


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Calculo matricial de estructuras , I er y 2 orden. Teoria y problemas pagina 22/1I.D. METODO DE LAS FUERZASI.D.1. ECUACIONES CANONICASEI conocimiento de los coeficientes de influencia pennite resolver estructurashiperestaticas sencillas, planteando un sistema lineal de ecuaciones cuyo grado secorresponde con el numero de inc6gnitas hiperestast icas. Para ello se procede del modosiguiente:I. Se suprime el numero de bielas necesarias, representativas de los posibles

movimientos de los apoyos, transforrnando el sist ema en un sistema isostatico,denominado sistema principal. Por ejemplo, a la viga continua de dos vanosrepresentada en la figura LD.I.a, presentaci6n 2/1,que es una estructura hiperestaticade grado 1 se Ie supr ime la biela que representa al apoyo interrnedio B, con 10 cualse transforma en una viga isostatica biapoyada enAye, figura bI.En el sistema representado en la figura LD.2.a, presentaci6n 3/1 , al suprimir las tresbielas del empotramiento en A se transforrna en el sistema principal isostat icorepresentado en la figura I.D.2.b 1.

2. Se eligen como inc6gnitas hiperes taticas, X, las reacciones asociadas a las bielassuprimidas. Para la viga continua de la figura LD.l.a, la reacci6n hiperestatica, X, =R HY para el sistema de la f igura LD.2.a, las componentes de R,: Xl, Xl Y X,.

b)Sistema prmciocl()Corgos reate:

p0) Sistema rea! J A CI r. ~ f~AA ~=:::=:.::;:;;r~ - +t ~ " R B t - t ; = : " o t I C a v ,o " ~

c) Oe'ortoocicn y coeticiente de mtiuencia U --~ L ,

~LlloEcuaci6n de lacompatibilidadXI '511 +6JO =0

Figura /.D. 1.

Presentacion 2/1 . Metoda de las fuer zas. Apl icac ion a lav iga continua de dos vanos3. EI sistema real se sustituye por la superposici6n de los dos sist emas principales

sumadas cargas reales y reacciones hiperestaticas, figuras LD.I.b y LD.2.b.

Fundamentos del calculo matricial pagina 23 1 ISe ca1culan en el sistema principal isostatico los desplazamientos A d I'. LJU! aSOClaos a osgrados de hbertad correspondientes a las bielas apoyo suprimida E td I . t d . s. s osesp azarmen os se eterminan con ayuda deun formulario 0 aplicando el teorema deMohr, apartado LA.5',!.En la viga continua de la f igura l .D. l.a, solamente se ca1culaL l l o , figura c. Yen el sistema de la figura LD.2.a, L lI(}, L l 2 0 Y L l 3 0 , figura LD.2.c.

4.

Se deterrninan los coeficientes de influencia 5 en el sistema principal a . d. u , socia os concargas unidad aphcadas segun los grados de libertad correspondientes a I b' I d. 'd' as ie as eapoy? supnmi as. Estos coeficientes se calculan tambien con ayuda de un forrnularioo aplicando el teorema de Mohr. Para la viga continua de la fizura 1 D I I . t'I. b " .a, a exis trso ament~ un grado de libertad, se deterrnina blJ, figura c.Yen el s is tema de la figura LD.2.a, debidos ala cargas:

5.

X;=1:X2=1:X ,=1 :

s. , 0 21 Y 0 31, figura l.D.2.d.s., 0 22 Y 0 31 figura LD.2.e.013, 0 23 Y 0 33 , figura LD.2.f.

Presentacion 3/[ Metoda de lasfuerzas. Aplicacion a un sistema de barras

a)Sistema real

A

c) Desoto: LlI,oi2 d) cL81,1 e)Ct.8i,2 f) C/. 81,3

B,

Momen1os Mr ,2 Momen t o s M, 3

A Figura1.0.2.Ii,-BA

Los coeficientes de influencia se deterrninan mediante la ecuaci6n 1B 5 " . ,d I I . . , en runcione as eyes ~e momento~ M' J 0=1,2 y 3) generadas en el sistema principal por lascargas X=I (1=1,2 Y 3), vease la figura LD.2.h.


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Calculo matricial de estructuras , 1er y 2orden. Teoria y problemas pagina 24/16. Teniendo en cuenta que es valida la ley de superposici6n y que el desplazamiento del

s is tema real es suma de los desplazamientos del sistema principal sol icitado por lacarga real y tambien por lasinc6gnitas hiperestaticas x , . , se plantean las ecuacionesde compatibil idad de las deformaciones que cons is ten en anular los movimientos delos grados de Iibertad asociados a las bie las suprimidas. Por ejemplo, para la vigacont inua de la figura I.D.l .a, se anula el movimiento vertical de l apoyo B 10 quepermite plantear la ecuaci6n: X j" o/ l+ LI/O = 0 ; ecuaci6n con la que se determinaX,=R8=-L l lO lo l/.Si se trata de un s is tema mas complejo se plantea, en funci6n de los valores , Li m Y~.obtenidos anteriormente un sistema lineal de ecuaciones denominadas ecuacionescanonicas. Por ejemplo en el sistema de la figura I.D.2.a, al anularse los tresmovimientos del empotramiento A, resulta

011'XI +012X2 +0I3X3 +L\o = 0021'XI +022X2 +023'X3 +~20 = 0031,XI +032X2 +033X3 +~30 = 0

ecuaciones I.D.1.a

Este sistema de ecuaciones adopta el formato resumido siguiente:[F}{X }+ {~ } =0 ecuacion I.D.1.b[F] matriz de flexibi lidad, vease la ecuacion l .B.2.{X} vector que representa las incognitas hiperestaticas,{LI} vector que representa los desplazamien tos conocido s del sistema principal

solicitado por las cargas reales.7. Finalmente se resuelve el sistema real como el sistema isostat ico principal al que se

Ie incorporan las fuerzas hiperestat icas {X } obtenidas tras la resoluci6n de laecuaci6n l.D .l.a.

Ejercicio 1. 7 .Resolver, apl icando e l me toda de las fuer zas, l a v iga continua de t res vanos iguales , de seccionconstante, sol icitada por una carga uniformemente repartida, q, j igura ID.3.

* it I t I' { d B~.

.r---~~--~I----------~---------4Figura 1.D.3. Viga continua de tres vanos iguales

I) Sistema principal mas reacciones hiperestaticas:En la figura I.DA. se representa el sistema principal mas las incognitas hiperestaticasseleccionadas que son X! Y Xb reacciones en los apoyos intermedios.

Fundamentos del calculo matricial pagina 25 1 I

I',A~

Itt L t j B, v-I-:----~--4Figura I.D.4. Sistema principal + incognitas hiperestaticas

2) Desplazamientos LIm del s is tema principal debidos a la carga externa:La ley de desplazamientos de una viga de secc ion constante de luz L=31 solicitada por una car

c ida .rz vi ,gaunitormcmentc reparti a, q viene dada por laexpresion:

f(x) = qx [x3 _ 2Lx2 + L l ]24'Elcargo extemo. q! / J I * . r . ' * * a

~~X

Figura I.D.5.Desplazamientos LI,.o y Ll2.0del sistemaprincipal , debidos a la carga uniforme, q.

3) Coejicientes de influencia:

De modo que:Para x=Ll3,

~1O = O,011316'qL 4 / ( E I )Para x=2L13,

~20= O,011316'qL4/(EI)

La ley de despla~amientos de .una v!ga de secc ion constante de luz L=3'1, solicitada por una cargapuntual P= I, apl icada a una dis tancia a del apoyo A, figura I.D.6.a, es:

o J ~ , 0 ~P=II o=UJ + L/Jt-

Figura ID.6. Coeficientes de inf luencia

5(X)=PLa(L-X)[I_~_(L-X)2J' x>=a6El L2 L 'De modo quePara a=Ll3 y x=Ll3, all=0,01646L31(El)Para a=Ll3 y x=2L13, 02,=0,014403LJI(El)Y para una carga puntual P= I , apl icada a unadistancia b del apoyo B, figura I.D.6.b, es:

PLbx [ b2 X 2 ]5(x)=-- 1---- x


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Calculo matricial de estructuras , lory 2orden. Teoria y problemas pagina 26/1

4) Ecuaciones canonicas:O,01646X1 +O,014403X 2 +O,OI1316'qL=OO,OI4403X1 +O,OI646X2 +O,OI1316 'qL=O

Resolviendo el sistema, resulta:XI = X 2 =-O,36668'qL=-I , IO'ql

5) Diagramas de esfuerzos:a)

b) ,c'leetores

qI2/12,5

e)Cortantes

Figura I.D. 6. Diagramas de esfuerzos

ecuaciones I.D.l.a

Ca1culando e l si stema princ ipalcomo una viga isostatica a la queadema s de las cargas extemas seafiaden las inc6gnitas hiperes-tat icas , figura I.D.7 .a, se deducenlos diagramas de momentos y decortantes, figuras l.D.7.b-c, con lossignos uti lizados habitualmente enla resistencia de materiales.

Fundamentos del calculo matricial pagina 27 / I

BIBLIOGRAFiAArguelles Alvarez, R Analisis de Estructuras. Teoria, Prob lemas y Programas. Ed.

Fundaci6n Conde del Valle Salazar. Madrid 1996y Arguelles Bustillo, R.Arguelles Alvarez, R

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Cdlculo de Estructura s. Torno I. Ed. Fundaci6nConde del ValleSalazar. Madrid 1981

Ciencia de la Construccion, 4 volumenes. Ed Aguilar. Madrid. 1967Tirnoshenko, S y Gere, J Mechanics of Mater ials . 2" edici6n. Ed. PWS Engeneering. Boston1984Gutkowski, R. M. Structures. Fundsamental Theory and behavior. Ed. Van Nos trandReinhold Company. London 1981


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La barra hiperestatica pagina 11 II

II. LA BARRA HIPERESTATICAII.A. INTRODUCCIONI1.A.1. EJES LOCALES DE LA BARRA Y GRADOS DE LIBERTADEn el nudo A de la barra AB el eje local Xu corresponde al eje axial que se aleja del nudo B.Los restantes ejes locales Ya y ea , se obtienen girando a izquierdas. En el nudo B de la barrael eje local x, corresponde al e je axia l que se aleja del nudo A y tambien, los restantes ejeslocales Yh Y eb se obtienen girando tambien a izquierdas. Vease la figura ILA.l.aCon esta definici6n en 10 que se refiere a esfuerzos el eje local X coincide con el esfuerzoaxial de tracci6n. El eje local y, que resul ta de girar 90 el eje x en el sentido contrario a lasagujas del reloj, coincide con el esfuerzo cortante y el eje local z coincide con el momentaflector. En ambos nudos, como ya se ha dicho, se elige como sentido positivo el girocontrario al de las agujas del reloj, figura ILA.l.a.Como notaci6n se emplea la siguiente:

5o) 8. ~

3 bf I , 6~~ _!b~ r B 42 Y o

b)P m o . 8 .S:-tIA

'Py,os.,

{PJ; esfuerzo general izado de la barraAB, referido a sus ejes locales. Suscomponentes son: P x , a > p y, a Y rna , figuraILA.1.b.{ P b } ; esfuerzo generalizado en el nudo Bde la barra AB, referido, tambien, a susejes locales . Sus componentes son: p x . b ,PJ'.b y ms, figura ILA.l.b.-0PX ,b ; x , b{6 a}; desplazamiento generalizado delnudo A de labarra AB, referido a sus ejeslocales. Sus componentes son: D x .a > D y .a ye m figura II.A.1.b.igura II.A.l. Ejes locales y grad os de libertad

{6b}; desplazamiento generalizado del nudo B de la barra AB, referido a sus ejes locales.Sus componentes son: D xb, D y , b Y B t" figura ILA.1.b

Al extremo A se le asocian tres grados de libertad correspondientes a las direcciones de losejes locales x, y y e , de la figura ILA.l.a, a los cuales se les asignan los numeros 1,2 Y3; ypara los ejes del otro extremo B, ot ros t res grados de libertad: 4, 5, 6 en relaci6n, tambien,con las direcciones: x, y y e, figura Il.A.l.a.


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Calculo matricial de estructuras , lory 2 orden. Teoria y problemas Pagina 2/ IICOEFICIENTES DE INFUENCIA EN EL EXTREMO A DELVOLADIZOPara resolve r la barra hiperestati ca se considera como sistema principal isostati co de

referencia el voladizo con el extremo libre en A y empotramiento B, figura Il.A.2. Aplicandocargas unidad segun los grados de liber tad 1,2 y 3 los desplazamientos del extremo libre Aestan definidos por 0 : ; , i indica la direccion del desplazamiento de A (1, 20 3) y j el numerodel grado de libertad asociado a la aplicacion de la carga unidad. En la figura ll.A.2,presentacion llll, se indican los valores de los coeficientes de influencia para las siguientescargas unidad:

I1.A.2.

a . Carga apli cada segun el grado de libe rtad 1b. Carga aplicada segun e lg rado de libe rtad 2c . Carga aplicada segun el grado de l ibert ad 3

PO I A I_c:u:~=========IF 8 - . 821=0; 831=0 0)-I~' EA B~; 11- EA'I"

Figura 1I.A.2 Ecuaciones II,A 1.

Presentacion Jill. Coeficientes de influencia del extrema A del voladizo

II.A.3. DESPLAZAMIENTOS DEL EXTREMO A DEL VOLADIZOPARA DIFERENTES TIPOS DE CARGAS DE BARRA

Si el voladizo esta solicitado solamente por cargas normales a su eje, el extremo A no sedesplaza en direccion axial pero s i se produce un desplazamiento normal al eje de labarra yun giro. Para representar el desplazamiento se emplea la notacion L 1 ,. o , en la que ihacereferencia al grado de liber tad del movimiento (1, 2 0 3) y 0 indica que la causa de losdesplazamientos se debe a la carga aplicada en el voladizo.En las figuras ILAJ, presentacion 2/11, se indican los desplazamientos del extremo delextremo A del voladizo, Ll2,()y Ll 3,(), para diferentes t ipos de carga normales al eje de la barra:

a) Carga puntual

La barra hiperestatica pagina 3/ IIb) Carga uniforme y parcialmente repartida (se incluye tambien el caso decarga uniformemente repartida;c) momenta flector aplicado puntualmente;d) carga triangular iniciandose la carga en el extremo A;

En todos los casos L1 J o = 0

r- a-+--- b~---!. . . ~ I p ',0)LI,.~, + '~'~ ~. il =0'A I ,D ,LI I ' B"_ : ' 1 I " LI; 0

Sib=!:PI3

1\.2,0 =3EI ;PI2

1\.3,0 = 2EIr--'~T __~ b : b ) il"o =0; ilz,o= 6~1{a{ 3b 2 + c4 1) + 2b 3};[hT]]]qTF==~~~==;;:B~ 1 \. 3 0 = ~ f b2 + . c J

L2'~l~J,O ' 2E1 \ 12 '_ _ , _ ql" , qt3!:l Slc-tyb-1/2.il20--,1\.30=-f-_Q_ b ' 8E1' 6E1

c)

.__"--------,-.P-'----l-, d)

B ~ ;ill 0 =0; il20 = Pa fa3 -5a12 +513),, '30,E1 ~ ,il30 = Pa ,~2 + 2-(31- 2a)2}. nE1Ecuaciones JI,A2,

Figura JI,A,3,

Presentacion 211l.Flechas y giros del extrema A del voladizo

II.B. BARRA ARTICULADA / EMPOTRADA SOLICITADAPOR CARGAS NORMALES A SU EJE.II.B.I. CALCULO DE LA INCOGNITA HIPERESTATICA r. :Es una estructura hiperes tatica de grado unidad, Como incognita hiperestat ica se elige lareaccion r.,en A que se determina aplicando el metodo de las fuerzas, apartado l .D.I, para1 0 cual se afiade al si st ema princ ipal isostat ico (formado por la viga en voladizo con lacarga) l~ influencia de la reaccion hiperestatica, X = ' ' \ .a, figura ILB.I (se denomina X2 yaque la direccion de la reaccion hiperestatica corresponde al grado de libertad, 2), Anulandoel desplazamiento del extremo A se plantea la ecuacion de condiciones:


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Calculo matricial de estructuras , 1er y 2 orden. Teoria y problemas Pagina 4 I II

""2.0 +X 2'622 = 0 ecuaci6n II.B.1.a

repr esen ta el desplazamien to en el g rado de libertad 2 generado por una cargaunidad apl icada segun e lgrado de l iber tad 2. S i l a bar ra es de secci6n constante e lvalor de este coeficiente es, 022=1 3/(3EI), vease la ecuaci6n II.A.I.b, presentaci6nlIII.

.12,0 rep resen ta el d esp lazamiento en el gr ado de libertad 2 generado por la carga debar ra segun e l grado de l iber tad 2, veanse ecuac iones U,A.2 ,a -d , presentac i6n2/11.

aID]'] ~.A~B"t =re2 r,a

Figura Il.B. lBarra articulada empotrada

A partir de la ecuaci6n I l.Bvl .a, se deterrnina la reacci6n en el apoyo A, ~ya :/ : 0 "xc 2,02 = rv,a = - 022 ecuaei6n II,B.1.b

Esta ecuaci6n es valida cualesquiera que sea la geometr ia de la barra (secci6n constante 0secci6n variable). Si la barra es de secci6n constante: 6v=P/(3EJ), resultando:

c 3EI "". x 2 =r),.a =- 1 3 2.0 eeuaci6n 11.B.I.e.1 2,0 flecha del voladizo definida en las eeuaeiones Il.A.2, presentaei6n 2/n.

Los diagramas de momentos y cor tantes se deterrninan analizando el voladizo con la cargaextema y el esfuerzo reaccion, r.,aplicado en el extremo libre A.

La barra hiperestatica pagina 5 In

I1.B.2. EJEMPLOS DE BARRAS DE SECCION CONSTANTEII.B.2.!. CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDAEn el caso de una carga uniforrnemente repartida q, se aplica la ecuaci6n II.B. l.b, para losvalores correspondientes de 0" y ,1'0, veanse presentaciones lII I y 2/I I, deduciendose s i labarra es de secci6n constante:

Anali zando el voladizo con esta carga mas la carga uni forrnemente repart ida q, figuraILB.2, se deterrninan las leyes de esfuerzos que con los s ignos uti lizados habitualmente enla resistencia de materiales, resultan:

Figura II.B,2. Barra articulada empotrada con carga uniformemente repartida.

II.B.2.2. CARGAPUNTUALAplicando la ecuaci6n ILB.I.c, teniendo en cuenta que segun las ecuaciones ILA.2.a,

Pb2/:0.20 = (2b+3a), 6EI


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Calculo matricial de estructuras, IC ' y 2 orden. Teoria y problemas Pagina 61 IIse determina I"y.m ecuacion II.B.2, presentacion 3III, y a continuacion se calculan yrepresentan los diagramas de esfuerzos, figura II.B.3.

Figura I/.B.3. AI r: = X = _ Pb { l- a(l +a) 1

},a 2 I 2t2 JEcuaci6n 1/.B.2.

Leyes de esfuerzos:M(x)=-X2x; V(x)=-X2; x s:aM(x)=-X2.x-P.(x-a); V(x)=-X2-P; x?a

Presentacion 3111. Barra artieulada empotrada solicitada por una carga puntual.

II.B.Z.3. CARGA PARCIAL Y UNIFORMEMENTE REPARTIDAUtil izando la ley de la superposicion se resuelve el problema para cualquier c1ase de carga.Para ello se considera la carga total descompuesta en cargas puntuales elementales q-dx,figura II.BA.a, que se sustituyen por la carga P en la ecuacion II.B.2, presentacion 3/II.

r" =X =_bf q '(l- X){l_ X .(l+ X)} 'dcy:a 2 I 2/ 2aResultando:

ecuaci6n ILB.3.a

c _ X _ . b - a . ( t a + b ) m% .r - 0 -q-- --- +- siendo mbc =y,a - l 2 l ' q'(b2 _a2) . [ 2 - b 2 +a2]8 t2ecuaci6n II.B.3.b

En la figura ILBA.b, presentacion 4/II, se representan los diagramas de esfuerzos.

La barra hiperestatica pagina 71 IIo) (D))b M

r y ~ a g l i : 1$l'!HJV~AFigura I/.B.4.

Leyes de esfuerzos M(x) =-X, -x; Vex) =-X,; x


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Calculo matricial de estructuras , 1er y 2orden. Teoria y problemas Pagina 81 IIcoef icien tes de in fluencia. Si la barra es de secci6n constante sus val ores seobtienen de las ecuaciones II.A. l, presentaci6n lIII.

Estos resultados son validos cualesquiera que sea la geometria de la viga (secci6n constanteo variable).

b)

-e-LJ 20 !,..:t

I" X = r: 2 Y,oA,A'~

+!'X 3 ;m ;

XAJ~~Figura II.C.I, Barra biernpotrada

Si la viga es de secci6n constante,1 3 1 2 1

22 = 3EI; 23 = 32 = 2EI; 33 = EIresultando:

r" = X, = 6E1.(I./1. - 2./1 )y.a _ /3 .1,0 2,0me = X = 2E1.(_ 2M + 3/1 )a 3 [2 3,0 2,0

ecuaciones II.C.3

Determinados r.,Y rna se calculan los diagramas de momentos y cor tantes analizando elvoladizo con la carga normal a su eje y las fuerzas r.,Y rna, aplicadas en el extremo libre A.

La barra hiperestatica pagina 91 IIEJEMPLOS DE BARRAS DE SECCION CONSTANTE1.C.2.

II.C.2.t CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDAEn la figura n.c .2, se representa la viga biempot rada de secci6n constante soli ci tada po runa carga q uniformemente repartida. Los desplazamientos L i , o del extremo A del voladizoAB, debidos a la carga q (vease la ecuaci6n II.A.2.b, presentaci6n 2/II) son:

A _ ql4 . A _ ql311 1,0=0 ; '-'20 - '-'30-, 8EI' . 6EI

C /,,c ~m~ IIIT]~U..C[r'X,D ' A B"1------ I--- 1 m g

ry~oDeterminacion teyes de esiuerrost----x-q,

m~=qW'2

Figura If. C . 2 .Barra biempotrada can carga uniformemente repartida

Utilizando las ecuaciones ILC.3, sededucen los valores de r y , Q y r n a ' :

-: = X = 6EI _(7 -( q .1 3 ) _ 2'( ql4 ) J = _ q[y,o 2 13 l61 8EI 2c 2EI [ ql3 ql4 1 ql2m=X3= '-21-( )+3-( ) ) =a [2 6EI 8EI 12

Analizando el voladizo con estas cargas aplicadas en el extremo libre A y la cargauniformemente repartida q, f igura n.c.2 , se deterrninan las leyes de esfuerzos que, con lossignos utilizados habitualmente en la resistencia de materiales, corresponden a lasecuaciones siguientes:

2 2c c X (1- x) I.M(x)=-ry,o'x-mo-q 2 =qx 2 -ql2'e I)V(x)=-ry,o-qx=q(2 -x

Labarra hiperestatica


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Calculomatricialde estructuras, lo r y 2orden.Teoria y problemas Pagina 10 I IIII.C.2.2. CARGA PUNTUALEn la figura II.C.3, presentaci6n 5/II, se representa una barra biempotrada de secci6nconstante solicitada por una carga puntual P. Aplicando nuevamente las ecuaciones II.C.3,con los valores correspondientes de LI'/Jy LlJ/Jndicados en las ecuaciones II.C.4, se deducenlos valores de r y, aY m .; ecuaciones II.C.5.

-> Ipm~ ..


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Calculo matricial de estructuras , 1cr y 2 orden. Teoria y problemas Pagina 12 / IISi se trata de una carga oblicua respecto al eje de la barra el calculo se resuelve aplicando laley de superposici6n:La carga q(x;)se descompone en una carga axial q(x)'cos( a) y una carga normal al eje de labarra q(x)-sen(a), siendo a el angulo que forma la carga con el eje de la barra. Lasreacciones r.; debidas a Ia componente axial se determinan aplicando la teoria expuesta eneste apartado. Y las reacciones r- : y m; procedentes de la ca rga, ut il izando la teoriaexpuesta los apartados I1.B (barra articulada/empotrada) 6 I1.e.(barra biempotrada).

b0) a l-0-,

4cwmrtrr..r1'f1lillii0!lillli'Figura 11.0.1.

Barra de secci6n constante. Barra de secci6n constante.Carga uniforme y parcialmente repartida(I)) Ec. equil ibrio(2)) Ec.condiciones

r' =1~aB'x.a I ' r ' b =-'-~'H.r, Ia+cl2

r~,b= f - f q h d x = ~ 7 q h Ca-el2

Ecuaciones 11.0.2.

c) ResultadosEcueciones 11.0.1.

Presentacion 6 I ll . Barra con apoyos indesplazables solicitada por cargas axiales

II.E. MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRAII.E.I. ECUACION MATRICIAL DE LA BARRA SIN CARGASAsociando al extremo A de la barra los t res g rados de libert ad: 1, 2 y3, correspondientes alas direcciones x, y y e, figura I1.E.l.a, y al otro extremo B, los otros tres grados de libertad4, 5 Y 6, relacionados tambien con las direcciones x, y y e, la ecuaci6n matricial de la barrasin cargas responde al formato indicado en la ecuaci6n II.E. J , presentaci6n 7III.

La barra hiperestatica pagina 13 / IIEsta ecuaci6n relaciona las fuerzas reacci6n, {P} , que se presentan en los apoyos, con losdesplazamientos segun los grados de l ibert ad 1, 2, .,6, a traves de la matri z de rigidez [k]referida a los ejes locales de barra.Como ya se expuso en el apartado I.e . 1, kij' representa la fuerza desarrollada en el gradode libertad i (J a 6) cuando se aplica un desplazamiento unidad segun el grado de liber tadj(J a 6), quedando inmovilizados los res tantes grados de liber tad. Ademas, se cumple que:kij=~i'

Formato resumidoormato desarrolladoPx kll kl2 k13 kr4 klS kl6 0, aPy k2l kn k23 k24 k2S k26 0,m k31 kJ2 kJJ k34 k3S k]6 s......= ... .. . ... ... ... .. .

Ecuaci6n II.E.2.p, k4l k42 k43r, kSI kS2 kS3m k6l k62 k63

k44 k4l k46 0,kS4 kss kS6 0,.% 4 k6S k66 s b Ecuaci6n I I.E. 1

0) Grodos de tibertad b) Grados de libertod

Figura II.E. 1.Presentacion 7111.Formatos de la matri z de rigidez de la barra y s igni ficado f is ico de a lgunos delos coeficientes de rigidezEn la figura II.E .l.c , el apoyo art iculado A sufre un desplazamiento unidad horizontal,direcci6n 0 grado de liber tad 1, mientras que los res tantes movimientos de los otros gradosde libertad quedan inmovilizados (es decir el extremo A, ni gira ni se desplazatr ansversal men te y e l ext remo B no sufre desplazamiento alguno). Para que estemovimiento pueda producirse se presentan las fuerzas kll' k2I , .. , k6I , en los extremos A y Bde Iabarra. Estas fuerzas son precisamente los coeficientes de la columna y fila primeras dela matriz de rigidez.En Ill. figura II.E.l.d, el apoyo B de la barra biempotrada sufre un giro unidad (06=1),direcci6n 0 grado de liber tad 6, mientras que los res tantes movimientos de los otros grados

Calculomatricialde estructuras, Ier y 2 orden. Teoria y problemas Pagina 14/ II La barra hiperestatica


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de libertad quedan inmovilizados (es decir, el extremo A no sufre desplazamiento algunopor ser un empotramiento y el ext remo B solamente gira, pero no se desplaza). Para queeste movimiento pueda producirse se presentan las fuerzas k ! 6' k 26, . . , k 6 6' en los extremos A yB de la barra. Estas fuerzas son precisamente los coeficientes de la columna y fila sextas dela matriz de rigidez.En la figura II.E.l.e, el apoyo articulado A de la barra articu ladalempotrada sufre undesplazamiento unidad vertical, direccion 0 grado de libertad 2, mientras que los restantesmovimientos de los otros grados de libertad quedan inmovilizados (es decir el extremo de labarra A gira, puesto que el apoyo es una articulacion, pero no se desplaza axialmente y el Bpor ser un empotramiento no sufre desplazamiento alguno). Para generar este movimientode la barra se presentan las fuerzas k /2' k 22 , .. , k6 b en sus extremos A y B. Estas fuerzas sonprecisamente los coeficientes de la columna y fila segundas de la matriz de rigidez.En la figura II.E. l.f, el apoyo A de la barra biempotrada sufre un giro unidad (o~=1),direccion 0 grado de libertad 3, mientras que los restantes movimientos de los otros gradosde libertad quedan inmovil izados (es decir , e l extremo A no se desplaza ni axial nitransversalmente mientras que el B no sufre desplazamiento alguno, por ser unempotramiento). Para que este movimiento se produzca han de presentarse las fuerzas k/3 'k23 , .. , k63 , en los extremos A y B de la barra. Estas fuerzas son precisamente los coeficientesde la columna y fila terceras de la matriz de rigidez.En formato resumido la ecuacion 1I.E.l, queda representada segun la ecuacion 1I.E.2,presentacion 7 I I I

COEFICIENTES DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRADE SECCION CONST ANTEConsiderando que los ext remos de la barra sufren los desplazamientos en ejes locales

indicados en la figura 1I.E.2, la ecuacion matricial Il.E.3, presentacion 8/ll, inc1uye losvalores de los coeficientes de la matriz de rigidez. Estos valores, si la barra es de seccionconstante, dependen de:

II.E.2.

EA1I

modulo de elasticidad longitudinal;area de la seccion de la barra;momenta de inercia de la seccion de la barra;longitud de la barra ;coeficiente asociado a los modelos de enlace de los ext remos de la barra,vease la presentacion 8/Il.

Para la barra de seccion constante las matrices de rigidez considerando los coeficientes e ncorrespondientes a diferentes modelos de enlaces de los apoyos A y B son:

pagina 1 5 / IIBarra articuladalempotrada:

E: 0 0 E: 0 00 p/4 0 0 p/4 -K/20 0 0 0 0 0

E: 0 0 E: 0 - : 1 2 jp/4 0 0 p/40 -K/2 0 0 -Kl2 1,5/1

Barra biarticulada:r ~ 0 0 E: 0 00 0 0 0 0

Barra biempotrada:

j : 0 0 E: 0 0P -K 0 P -K-K 2/1 0 -K /1I~ 0 0 E: 0 0P -K 0 P -KL O -K /1 0 -K 2/1

Barra empotrada/articulada:16 0 0 6 0 0"II : P : : , ~ ; ~ 'l~~4 -~/2

o p!4 0o -K/2 0 o 0 0: + : J E: 0 0o 0 0o 0 0 o 0 0E: 0 0o 0 0 Io 0 OJ

Observese que la presencia de articulaciones da lugar a las filas y columnas nulas asociadasa los grados de libertad correspondientes: el 3 para la articulacion en A y el 6 para laarticulacion en B.

Ecuaciones IIE.4. a b

" j 0 0 0 0.~ .

E : E :0 C(p -C2'K 0 C3P -C4'K0 -C2'K c5'2/1 0 -C6'K 0'/1= ...

Px E: 0 0 E: 0 0P y 0 CJ'p -C6'K 0 CsP -C


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Calculo matricial de estructuras, 1er y 2 orden.Teoria y problemas Pagina 16/ IIII.E.3. JUSTIFICACION DE ALGUNOS VALORES DE LOS

COEFICIENTES DE RIGIDEZA continuaci6n sejust if ican los valores de algunos coeficientes de la matriz de r igidez, losrestantes se deducen de manera similar.

Para obtener los coeficientes k; quecorresponden a las fuerzas generadas porun desplazamiento unidad del grado delibertad 1, figura ILEA, se considera elvoladizo AB con el extremo libre en A ysoli cit ado por una carga k., tal que deorigen a un desplazamiento ~=1.

Figura 11..4.

Teniendo en cuenta que en una barra de secci6n constante (EA) y longitud l el alargamientoprovocado por una fuerza k., es,

ecuaci6nILE.5.a

Del equil ibrio de fuerzas se deduce k 41= k if. Los restantes coeficientes: k 21, k J1, k" Y k6 / sonnulos, resultando:

ecuaci6nII.E.5.b

Para obtener los coeficientes ki 2 que corresponden a las fuerzas generadas por undesplazamiento unidad del grado de liber tad 2 en el caso de una barra articulada en A yempotrada en B, figura ILE.5.a, presentaci6n 91II, se considera el voladizo AB con elextremo libre en A y soli cit ado por una carga k2 2 tal que de origen a un desplazamiento,62=1. Teniendo en cuenta la ecuac i6n ILA.2.a, 1 1 2.o=P/3/(3EI) (vease la f igura ILA.3.a,presentaci6n 21II. ), se plantea la ecuaci6n ILE.?, que permite determinar el valor de kn. Alser kJ 2 =0 Y k32=0, ya que e l apoyo es una arti culaci6n, se completan las reacciones en elapoyo A, ecuaciones ILE.S. Los coeficientes k4b k' 2 Y k6 b reacci6n en B, se de~ucenaplicando las ecuaciones de equilibrio de todas las fuerzas ki2(desde i=1 a i=6), ecuacionesII.E.9.

Figura I I .E . 5 .

a) o arro articuladalempotrada ,f k2 2 en el extremo A provoca los desplazamientos: 1 1 2.0= k22P1(3EI) Y 1 1 3.0=k 22P1(2EI) y un momenta M= k32: 1 1 2.0= k 32 P1( 2E I ) Y 1 1 3.0= k n ' // (E I ), vease la ecuaci6nII.A.2.c. De aplicar las condiciones del movimiento del apoyo A (desplazamiento unidad,62=1 y g iro nulo, 61= 0) se plantean las ecuaciones ILE.I 0, presentaci6n 91II, que penni tendeterminar k22 y k32 . Al ser kl2 = 0, por no exi stir desplazamiento axia l se comple tan lasreacciones en el apoyo A, ecuaciones ILE.II. Los coeficientes k4b k5 2 Yk6 b componentes dela reacci6n en B, se deducen, como en el caso anterior, aplicando las ecuaciones deequilibrio de todas las fuerzas ki 2 (des de i=1 a i=6), ecuaciones ILE.12.

Calculo matricial de estructuras, 1cr y 2 orden. Teoria y problemas Pagina 18/ II La barra hiperestatica


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Eiercicio 11.1Para l a v iga de made ra l aminada enco/ ada de c lase r es is tent e GL 2Bh r ep resent ada en l a F igura I I. E. 6,se pide:

a) Determinar las mat rices de r ig idez en ejes locales para las condiciones apoyo siguientes:1) biarliculada2) arliculadaJempotrada3) empotradaJarliculada4) biempotrada

b) Para el caso de la bar ra b iempot rada representar e l s igni ficado f is ico de los coeficientes k;2

1 ::: 5,978(' IO-Jm4A ::0,'0935 m2E ~12. 600000 k l i/m2

Figura liE 6

a) Matrices de rigJdeza1) barra biarticulada '114.817 0 0 114.817 0 ~lB EA 12.600.000'0,10935 ~ 114.~17 kN1m0 0 0 0 0 {;:= ~ts>: I / 120 0 0 0 0 01 c1= c2 = c3= C4= c5= c6 =c- Ge= c9= C10=O[ k ] = ~ I14.817 0 0 114.817 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 OJ

Ecuaci6n II.E.3.a2) barra articuladaiempotradaE=---=---~

1114817 0I 0 130,8 00 0 0[kl~

114.817 0 00 130,80 -1.569,4 0

Ecuaci6n II.E.3.

114.817 00 130,8 0

114.8170 130,80 -1.569,4

a3) barra empotradaiarticulada

14.817 0 00 130 ,8 -1.569,40 -1.569.4 18.833[kl~

114.817 0 00 130.8 -1.569,40 0

Ecuaci6n II.E.3.

114.817oo

114.817oo

I- ' ; - ' 1-1.569,4118.833 J

12EI 12'12.600.000'5,9787'10- 11 1308 kN! mp~-/,-C 123 4'_ 6El. _ 6'12.600.000,5,9787-10' 115694 kN

K - /2 C4 - 122 2' "4EI 4'12.600.000'5,9787'10-) 3~8.833 kN m2p=j.cO 12 4

130,8o

12/P~-/l-'C 12'12.600.000'5,9787'1 0-31 ~130.8 kN ' rn12' 46-[2,600.000'5,9787'10-31 ~1 . 569. 4 kN

122 2

130,8 0-1.569,4 0

o 0 _ 4EI _ 412,600.000-S,97871O-'3188'3 kNo L . J l - , c l( l - 12 4 - . -' 1 In

a4) barra empotradalempotradat B~r114.817 0 0

I < H523,1 -3,139

0 -3.139 25,110

)1 14~817 0523 ,1 -3,139l - 3. 139 12, 555

114.817 0 0 c1= c2 = C3= c4= cs= Cs =c7= c8= cg= c1O=10 523 ,1 -3,139 12EI 12'12.600.000'5,9787-10- 30 - 3. 139 12, 555 r=r= 12) '1=523,1 kN Im

6EI 6'12.600.000'5,9787'10- 3K=-'C 12' 1=3.139kN114.817 0 0 /2 40 523.1 -3.139 21'= 4Elc,o 4'12.600.000'5,9787'10- 3 '1=25.110 kNm0 -3.139 25.110 / 12

Ecuaci6n II.E.3.

b) Representacion del s ignificado fisico de los coeficientes k;2 la barra biempotradaLa s f ue rzas r ep re se nt ad as e n l a f ig ur a I I. E. 7, cor re sp ond en a l os coe fi ci en te s de l a col umn a 2 y f il a 2de la mat riz de r ig idez, ecuaci6n I I.E.3.

-3.f39kNm

'I~-rt523,10kN

Figura liE 7.

+523,IOkNfT\3.f39kNmr_o"

.....................................................................................................

II.F. ECUACION MATRICIAL COMPLETA DE LA BARRALas reacciones {P } ,de la barra AB, generadas por el efecto combinado de las cargas ymovimientos de los apoyos de la barra apoyada-empotrada 0 biempotrada, figuraII.F.l.a,presentaci6n 10/11.se determinan aplicando la ley de superposici6n, ecuaci6n 1I.F.1. Paraella el analisis de la barra se descompone en dos estados: el primero con las cargasaplicadas en la barra e impidiendo el desplazamiento de los apoyos, 10 que da lugar a unasfuerzas generalizadas en los extremos iguales a las reacciones representadas por f r o " } ={rca', r.. Y m/=r , /V y {rn={r,{. r.: y mh'=r,.;'V, figura II.F.l.b.; y el segundo, quecorresponde a la barra desplazada por movimientos de sus extremos, figura II.F. l.c. Estasuperposici6n queda explicitada en formato resumido por la ecuaci6n siguiente:

ecuaci6n II.F.2

Calculo matricial de estructuras , Ier y 2 orden. Teoria y problemas Pagina 20 I II La barra hipcrestatica pagina 21 I II


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{r,,'} representa l a reacc i6n general izada debida a las cargas de bar ra en e l ext rema Ade labarra AB. Sus componentes son: r r , r.: y mr=r. z.u' para el extremo A de labarraAB.representa l a reacc i6n general izada debida a las cargas de bar ra en e l ext remo Bde labarra AB. Sus componentes son: r./ , r",,' y m/=r; para el extremo B de labarraAB.

[k] submatrices de rigidez, vease la ecuaci6n II.E.3, presentaci6n 8/IIDeterminadas las reacciones, el calculo de los esfuerzos de barra se efectua partiendo deuno de los dos extremos de la barra, el A 6 el B, avanzando hacia el apoyo opuesto, el B 6 elA, y estableciendo el equilibrio de todas las fuerzas entre el apoyo y la secci6n de corte.

ecuaci6n matricia/ comp/eta de /a barra cargada

E ~ EA . P ~ 12 E1 tc ~ 6 E! Ii ~2,E1I' I" 1 2' 1Coefieientes ensequn las eeuaeiones II.E.4.

6000 0o CP -C2Ko -C2K cS'2p

o c3'P -C4Ko -C6K c7 J. icOOo c)'p -C6Ko -C4K c7 J. i

cOOo c8P -0'Ko -0'K c O '2p

Ecuaci6n II,F.1.b) Barrra biempotrada

a)

Figura II.F.1.Presentacion 10//1. Ecuacion matricial completa de la barra cargada deseccion constante

Eiercicio 11.2.Para la barra representada en la figura 1I,F,2.,que edemes de soportarla carga transversal uniformey parcialmente repartida, q = 10 kNlm, inclinada 45 respecto al eje de la viga, los apoyosexperimentan referidos a los ejes locales los movimientos siguientes:

o .= { 0 ,0 0 0 5 m ; O ,O O ;O ,O O Y; 0b = (O ,0 0 ; 0 , 05 m ; 0, 01 r ed }!se pide:

1)Determinar la ecuaci6n matricial completa de la barra2) l.eyes de esfuerzos

135mm,-j~LBJomml i .T!

~~3~m~-t ~6~m~. ~3~m_,~10kNIm//T//ZZZ& E = 12600000 kNlm2

A = 0,10935 m '1= 5,9181"0'3 m4

FiguraII.F.2.

1) Ecuaci6n matricia/ comp/etaa) Las reaeciones para labarra b iempot rada debidas a la carga t ransversal son:

r-21,20 kN a-21,20kN58,34kNm

cr . 21,20kN21,20kN

- 58,34 kNm J " T a b la 1 1 . 1 . a.

b) Eeuaei6n matricial eompleta y reaeciones totales:r ;114.817 0 0 114.817 0 o 1 0,0005 a f - 21,2T r 36,22 kN 1 "I 0 523,1 -3,139 0 523,1 -3.139 0 - ' ~ : ; ~ O j -26.44 kN! 26,95 IcVm' = 1 0 -3.139 25.110 0 -3,139 12,.555 . 0.... + o j . . . . ,Px I 114~817 0 0 114.817 0 o j 0 21,20 78,64 kNl P ' 523,1 -3,139 0 523,1 -3.139 , 0,05 21,20 15,98 kN, 25.110 l 0,01 LJh L 0 -3.139 12.555 0 -3.139 -58,34 b 35,83 kNm) hEcuaci6n / I.F. 1,

F t B t c,= c2 = c3= c4= c5= c6 = c,= cB= c9= clO=1

Calculo matricial de estructuras, lory 2 orden. Teoria y problemas Pagina 22 / II La ban-a hiperestatica pagina 23 / II


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2)Leves de esfuerzose) Axl es N(x)

36'2~?864kN N(x)=36,22 ; x=9

Cor to nt es V (x )1598kN

V(x)=26,44 ; x


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La tabla II.1.b, permite determinar, tambien, las reacciones con uno 0 los ~os apoyosarticulados a partir de los valores deducidos en la tabla II.I.a, para la rrnsma barraconsiderada inicialmente como biempotrada.Reacciones

A Bl 5 , J : : : = = = = = = = = : : : : ; ; l L

' x ~ p ~ a A. ~ ~ = B 1 } < ,~ry,a mbr

Tipos de carga

rx,a =r x .aI I ry." =r > , , + 3 r'z.a/ (21)m: a .rx,b = r,x,h ,r v . b = I' , .1,+ 3 r z,,,/(21)m; = ,:'z,h-rz."/ 2

AE

rx.a =r x.or,." = 1 " 1 ' . , , + 3 r'Z.h/ (21)~la = r~'z,a-z.h/ 2

I r .= I' x.br, =r~'h+ 3 r,.h/(21)

me= 0It"x,a = r,x ,a , ,r.=r y.a+ (I' z," + I' = . b) / Ims= a .r.l.:,a= r x .br- = ' < - b + ( 1" 0. ,, + 1 "2 ,h ) / Im..> 0

, ,r x.a ; r 1 ', a;ln a ; r x.b ; r y ,h ; In bReacciones calculadas en la tabla 11.1.a, para fa barra biempotradaTabla II.I.b. Reacciones en barras de seccion constante con apoyos articulados de seccion

constante, referidas a los ejes locales de barra

BIBLIOGRAFIAArguelles Alvarez, R Analisis de Estructuras. Teoria, Problemas y Programas. Ed. Fundaci6n

Conde del Valle Salazar . Madrid 1996y Arguelles Bustillo, R.Saez-Benito, J.M.

Aigibes, , M.; Coin.Ay Joumet, H.

Calculo Matricial de Estructuras. Ed. Fondo Edi to rial de IngenieriaNaval. Madrid 1981Estudio de las Estructuras por los Metodos Matriciales. EditoresTecnicos Asociados. Barcelona. 1971

Calculo matricial de porticos pianos pagina 1 / III


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III. CALCULO MATRICIAL DE PORTICOSPLANOS

I1I.A. SISTEMAS DE BARRAS PLANOS SOLICITADOS PORCARGAS APLICADAS ENLOS NUDOS Y EN ELPLANO

III.A.1. INTRODUCCIONLas cargas aplicadas en los s is temas de barras provocan su desplazamiento, f igura lILA. I ,que inc1uye los movimientos de los nudos definidos por tres grados de libertad que,refer idos a un sistema de ejes generales , son: { A X , L 1 y , e} T y, ademas, las defonnaciones 0combaduras de las de las barras.

Figura 1l1.A.l.Desplazamiento del sistema

Una balTa del sistema, por e jemplo la ABde la figura IILA.l, pasa a la posici6n A 'B "con movimientos: {LiKA' L 1 Y A, e A} T y {LiKB'L 1 Y B, eB} T de sus dos extremos. En elsistema deformado se mantienen ademas lacontinuidad de los desplazamientos de losextremos de las barras en los nudos (si losenlaces de todas las barras en el nudo sonrigidos todas las barras giran el mismoangulo) y condiciones de movimiento de losapoyos.Considerando que el movimiento de un nudoqueda def inido por sus componentes segunlos ejes generales, X, Y Y e, y asociando alsistema de barras los grados de liber tad de lafigura III.A.2, puede plantearse unaecuacion matricial completa, ecuacionIII.A.l, figura III.A.I, que incluye losterminos siguientes:

{P}, vector cargas de nudos en el que f iguran las cargas aplicadas segun las l igadurasl ibres y las reacciones en las l igaduras impedidas que inicialmente son desconocidas(R I y R2 componentes de la reacci6n segun los ejes X e Y de la articulaci6n C,respectivamente; RI O y Rll Y R 12, componentes de la reacci6n en el empotramiento Dy,finalrnente, R/3, componente segun el eje general X de ladesl izadera en elnudo E).

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[KJ, matriz completa de rigidez, que para el ejemplo representado es una matriz degrado 15. Este grado de la matriz se debe a que como cada nudo tiene 3 grados deliber tad (componentes del desplazamiento segun los ejes generales), f igura III .A.2, elnumero total de ecuaciones del sistema sera, 3xnlimero de nudos

{L\}, vector desplazamientos de nudos. De este vector son conocidos losdesplazamientos asociados a los grados de libertad impedidos (coacciones) ydesconocidos los desplazamientos de los grados de liber tad libres. Observese que en laecuaci6n III.A. 1, figuran como desplazamientos nulos (0), los asociados a las ligadurasde apoyocoartadas (1,2, 10, II, 12y 13)

La dif icultad del calculo matricial consiste en determinar la matriz de r igidez. Conocidaesta, se resuelve el sistema de ecuaciones reducido por las condiciones de apoyo,determinandose los movimientos de todas las ligaduras libres segun los ejes generales. Porun senci llo cambio de ejes, e stos movimientos se refi eren a los e jes loca les de barra. Y atraves de la ecuaci6n matricial de la barra, ecuaci6n n.E.3 (presentaci6n 8!Il), sedetenninan refe ridos a los ejes loca les los esfuerzos (reacciones) en los ex tremos de lasbarras, 1 0 que permite ca1cular las fuerzas de secci6n a 1 0 largo de toda la barra.

Ecuaci6n matricial com 12.1etadel s is tem a de ba rr as de /8 tlssus //I.A.1.r PI + R\ I r [ K , . , K 2 K\ ,31 IK! , KI,~ K ,6 1 lKu ; K111 Kill l ' r r 0 1 1

C1 P 2;,R 2 J K 1 K22 K 2 ' J K24 K25 K2,6 1 K ,13 K2,14 K 215 11 0 fCK~l,1 K),2 K3,3 r ; : : K3,5 ; : : K3.13 K)14 K I i3,15J : t8A { 3 J i K4 ,\ K 2 K4 . 3 ] K4,5 IK ,13 K4i4 K4,15 i f ~4 fI K~,5 K 6 I KS,D K .14 KS .l5 i 1 ~5 Al K 6 l ".13 KG. i4 K6,15~ i E l " Jr 1 r K 7 1 K7,2 K 7 . 31 r K 7 ., Ku K7 6 j f K 7 "3 K !4 K 7J ; i I r 1r, ~ . I .~:r l,! K . I I L Jr P, O + R J O } i [K1 O , ( KO1 fK 'O4 Ko.s K o . 61 r KII),13 K O,J4 K I ~ 1 5 1 I { n Di PI! +RIl :1 . l I )il Il M1 2 + R1 2 iL I l 1 { o J !po --.RIJ 1 r r Kn.2 K : o " J rKJ4 K 3 s K 1 [ K 1 3 I , K13_14 K 3 . 1 S 1I Kl.J1 l ,54 1 . 3 . 6 1 K",15 I ' IE l P4 ~ K14,14 ' ~rI I K ) 5 ) i 14M ' 1 l8 1515 J) J K15.15Jecuecton IIl.A.1. Rp c ompon en te X d e fa reeccton en C,

R:, componente Y de fa reeccion en C.14 R1J componente X de fa reeccton en E.

IO~ PpPpu, ,,,.Ca rg as a pf c ad as e n las ligaduras(~I---'~ segun l os g ra dos de J iber ta di tnatceaos en la ffgur a III A 2LI Y e aes p te zemt en to s y q sr o s segun g ra dosr _7 de ffbertad trui ic e a o s en fa ' ,g ur a IIf. A 21 5~-( L & " . ( ' : ; - "'{;j:i ; j " { : ' ) "Figura III.A.1 Figura III.A.2. Numerecion de grados

de libertad

Presentacion l/Ill. Ecuacion matricial completa de un sistema de barras

En este subcapitu lo se hara , inic ialmente, el p lanteamiento de l calculo matri cia l con lascargas aplicadas solamente en los nudos. En el subcapitulo s iguiente se afiadiran las cargasde barra cuya presencia no modifica en nada el planteamiento del calculo matricial.Finalmente se desarrollaran aspectos singulares del calculo matricial como son la presenciade apoyos elasticos, desplazamientos forzados y la influencia de las variaciones detemperatura.

III.A.2. EJES LOCALES DE BARRA Y EJES GENERALESII1.A.2.1. EJES GENERALES DEL SISTEMA. FUERZAS Y

DESPLAZAMIENTOSSon los habituales X, Y Y e , con giro a izquierdas, figura IILA.3.a, presentaci6n 2/llI.Como notaci6n se emplea la siguiente:

{Pa} representa la fuerza general izada aplicada en el nudo A refer ida a los ejesgenerales, presentaci6n 2/IIL Sus componentes son: P X ,a , P Y, a Y Ma{Ph} idem, para el extremo B, Sus componentes son: P X ,b , P l~ b Y M,{ L 1 a } representa el desplazamiento generalizado del nudo A en ejes generales.

Sus componentes son: L 1 X .a , L 1Y a Y 80{ L 1 b } idem, para el extremo B . Sus componentes son: L1 x,b, L 1Yh y 8 h

I II .A.2.2 . EJES LOCALES DE BARRA. FUERZAS Y DESPLAZAMIENTOSSon los ya definidos en el apart a do I1.A.I, del capitulo II. En la figura lII.A.3.b,presentaci6n 2/l lI , se representan los ejes locales de Ia barra ab perteneciente al sistemarepresentado en la figura III.A.3.a. La notaci6n es la siguiente:

esfuerzo generalizado del nudo a de la barra ab, referido a sus ejes locales.Sus componenetes son: Px,ah , Pv,ah Y m/, vease la f igura ILA.I, apartadoILA.I.esfuerzo generalizado del nudo b de la barra ab, refer ido, tambien, a susejes locales, Sus componenetes son: Px,ha ,py,ha y mhOdesplazamiento generalizado del nudo a de la barra ab, refer ido a sus ejeslocales. Sus componenetes son: ox} , s . : y e /desplazamiento generalizado del nudo b de la barra ab, refer ido a sus ejeslocales. Sus componenentes son: Ox,bo , Oy.ho y eba

En esta notac i6n los sub indices hacen re ferenc ia a la direcci6n de l eje loca l - x, y, e - y alextremo de la barra que se esta estudiando; el superindice def ine el otro extremo de la barracon objeto de locali zar la barra a la que se hace re ferenc ia , ya que enun si st ema de barras aun nudo acuden una 0mas barras.

Calculo matricial de estructuras , I cr y 2 orden. Teoria y problemas pagina 4 I 1Il Calculo matricial de porticos pIanos pagina 5 I ru


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IlI.A.2.3. MATRICES DE CAMBIO DE EJESPara los cambios de fuerzas y desplazamientos de

Calculo Matricial de Estructuras (teoria y problemas) - Ramon Argüelles

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