Cálculo Numérico Profs.: Bruno C. N. Queiroz J. Antão B. Moura José Eustáquio R. de Queiroz...
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Cálculo Numérico Profs.: Bruno C. N. Queiroz J. Antão B. Moura José Eustáquio R. de Queiroz Joseana Macêdo Fechine Maria Izabel C. Cabral Interpolação Polinomial Ajuste de Curvas (Parte I) DSC/CCT/UFCG
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Cálculo Numérico
Profs.: Bruno C. N. QueirozJ. Antão B. MouraJosé Eustáquio R. de QueirozJoseana Macêdo FechineMaria Izabel C. Cabral
Interpolação PolinomialAjuste de Curvas (Parte I)
DSC/CCT/UFCG
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Cálculo Numérico
Parte IInterpolação Polinomial
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A necessidade de obter um valor intermediário que não consta de uma tabela ocorre comumente.
Dados experimentais, tabelas estatísticas e de funções complexas são exemplos desta situação.
Solução: uso de métodos numéricos - Interpolação.
Interpolação Polinomial
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Dado um conjunto de dados {xi,f(xi)} tal como na tabela abaixo:
Como obter o valor de f(x) para um valor de x que não tenha sido medido, como por exemplo, x=2.0 ?
Quando se deseja saber o valor de f(x) para um x intermediário entre duas medidas, isto é, xi<x<xi+1, pode-se usar as técnicas da interpolação.
Interpolação Polinomial
0,057 0,046 0,028 0,016 0,001 f(xi) 6,04,53,01,50xi
5
A interpolação consiste em determinar uma função, que assume valores conhecidos em certos pontos (nós de interpolação).
A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária, e deve ser adequada às características que pretendemos que a função possua.
Função a ser considerada: Polinômios Interpolação Polinomial
Interpolação Polinomial
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Métodos de interpolação polinomial são utilizados para aproximar uma função f(x), principalmente nas seguintes situações:
conhece-se apenas valores de f(x) em apenas pontos discretos x0, x1 , x2 , ...
f(x) é extremamente complicada e de difícil manejo,
f(x) não é conhecida explicitamente.
Interpolação Polinomial
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O problema geral da interpolação por meio de polinômios consiste em:
Interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}, significa calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma analítica de f(x) ou ajustar uma função analítica aos dados.
Interpolação Polinomial
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Interpolação polinomial consiste em se obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto de (n+1) dados {xi,f(xi)}, isto é:
p(x0)=f(x0)
p(x1)=f(x1)
…
p(xn)=f(xn)
Obs: contagem começa em zero, portanto tem-se n+1 pontos na expressão.
(Equação 1)
Interpolação Polinomial
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Polinômio p(x) - polinômio interpolador. Pode-se demonstrar que existe um único
polinômio p(x) de grau menor ou igual a n que passa por todos os (n+1) pontos do conjunto {xi,f(xi)}
Portanto, pode-se escrever:
Interpolação Polinomial
p x a a x a x a x f xn nn
0 0 1 0 2 02
0 0 ...
p x a a x a x a x f xn nn
1 0 1 1 2 12
1 1 ...
p x a a x a x a x f xn n n n n n
nn
0 1 2
2 ......
10
Interpolação Polinomial
O conjunto de equações corresponde a um sistema linear de n+1 equações e n+1 variáveis.
Quais são as variáveis independentes? ai ou xi ?
Poderia ser resolvido diretamente (módulo 5).
Essa é uma das formas de se obter o polinômio interpolador.
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Interpolação linear
Interpolação Polinomial
xxxxyyyxP
yy
aa
x x
yxaayxaa
yxPyxP
xaaxPxf
)()(
11
)()(
)()(
001
0101
1
0
1
0
1
0
1110
0010
111
001
101
Polinômio interpolador
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A mesma metodologia pode ser empregada para a Interpolação Quadrática ou superior.
A determinação dos coeficientes do polinômio interpolador por meio da resolução de um sistema de equações lineares, apesar de ser conceitualmente simples, requer um certo esforço computacional.
Deve-se procurar metodologia alternativa de modo a evitar a solução de sistemas de equações lineares.
Outras formas: a forma de Lagrange a forma de Newton
Interpolação Polinomial
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Forma de Lagrange Seja um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}. Encontrar
um polinômio interpolador p(x) que satisfaça a condição (1), isto é, passe por todos os pontos.
Interpolação Polinomial
p x L x f x L x f x L x f xn n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 ...
Lk(x) são polinômios tais que: L xk i ki (Eq. 2) e sendo
que:ki
se k ise k i
01
,,
14
Forma de Lagrange Portanto,
Interpolação Polinomial
p x L x f x L x f x L x f xp x f x f x f xp x f x
n n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1
0 0
1 0 0
... ...
ep x L x f x L x f x L x f xp x f x f x f xp x f x
n n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 0 1 0 1 1 1 1
1 0 1
1 1
0 1 0
... ...
Ou seja: p x f xi i( ) ( ) ( p(x) passa sobre os pontos {xi,f(xi)} )
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Forma de Lagrange Temos que encontrar os polinômios Lk(x), que satisfaçam
(2). Uma solução é:
Interpolação Polinomial
L x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x xk
k k n
k k k ki k ki k n
( )
0 1 1 1
0 1 1 1
... ... ... ...
L x e
L x se i kk k
k i
1
0 ,
Pois:
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Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange Compacta Igual à anterior (notação diferente):
p x L x f xn i ii
n
0
e
L x
x x
x xi
jjj i
n
i jjj i
n
0
0
(3)
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Interpolação Polinomial Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de
retas (n=1) (Interpolação Linear)
xi x0 x1 f(xi) f(x0) f(x1)
De (3):
1
01100 )().()().()().()(
iii xfxLxfxLxfxLxp
18
Interpolação Polinomial Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de
retas (n=1)
As funções Li (x) devem satisfazer (2), ou seja:
L0 (x0) =1 L1 (x0) =0L0 (x1) =0 L1 (x1) =1
As funções:
10
10 )(
xxxx
xL
01
01 )(
xxxxxL
e satisfazem
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Interpolação Polinomial Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de
retas (n=1)
1
01
00
10
1 xfxxxx
xfxxxx
xp
20
Interpolação Polinomial Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de
parábolas (n=2) (Interpolação quadrática)
De (3):
xi x0 x1 x2
f(xi) f(x0) f(x1) f(x2)
221100
2
0
xfLxfLxfLxfLxpi
ii
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Interpolação Polinomial Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de
parábolas (n=2)
As funções Li (x) devem satisfazer (2), ou seja:
As funções:
satisfazem
L0 (x0) =1 L1 (x0) =0 L2 (x0) =0L0 (x1) =0 L1 (x1) =1 L2 (x1) =0 L0 (x2) =0 L1 (x2) =0 L2 (x2) =1
2010
210 xxxx
xxxxL
2101
201 xxxx
xxxxL
1202
102 xxxx
xxxxL
22
Interpolação Polinomial Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de
parábolas (n=2)
2
1202
101
2101
200
2010
21)( xfxxxx
xxxxxf
xxxxxxxx
xfxxxx
xxxxxp
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Interpolação Polinomial Ajuste uma reta aos seguintes pontos
(x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6)
101
00
10
1 xfxxxx
xfxxxx
xp
(vide slide 12)
28.2455.16.52421.3
424
xxxxxp
6.025.1 xxp
24Interpolação Polinomial - Exercício
A tabela informa o número de carros (x mil) que passam por um determinado pedágio em um determinado dia:
a) Faça um gráfico de horário vs. número de carros para verificar qual a tendência da curva.
b) Estime o número de carros que passariam pelo pedágio às 11:10, usando a forma de Lagrange para encontrar um polinômio interpolador p(x) que estima o número de carros em função do tempo. Use uma reta como função interpoladora.
c) Agora, faça a mesma estimativa, mas utilizando uma parábola como polinômio interpolador.
Horário 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30No. Carros
2,69 1,64 1,09 1,04 1,49 2,44
