Cálculo Numérico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas

7/17/2019 Clculo Numrico - Unidade 6 - Ajuste de Curvas

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AmintasAmintas

engenhariaengenharia


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TAjuste de Curvas

Unidade 6


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Ajuste de Curvas

Ementa:6.1 Introduo

6.2 Ajuste Linear Simples

6.3 Ajuste Linear Mltiplo6.4 Ajuste Polinomial

6. !rans"orma#es de Modelos $o

Lineares em Lineares


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Ajuste de Curvas

6.1 IntroduoA %ariao das leituras de uma %ari&%el ou

"atores e'ternos aos e'perimentos podem

muitas %e(es le%ar a interpolao a )erar umpolin*mio de )rau ele%ado para modelar

sistemas +ue na %erdade so lineares ou de

)rau ,em mais ,ai'o.

$estes -asos de%emos usar o ajuste de -ur%as

para determinar o melor polin*mio de )rau

mais ,ai'o +ue se en-ai'e nos dados

apresentados.


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Ajuste de Curvas

Portanto/ a di"erena entre interpolao eajuste de -ur%as 0

$a interpolao/ o polin*mio )erado ir&

in%aria%elmente passar por todos os pontosda ta,ela utili(ada no -&l-ulo/ -om um

polin*mio de )rau n15

$o ajuste de -ur%as/ o polin*mio )erado

passa pelo melor -amino entre os pontos

da ta,ela/ e no so,re eles. ajuste de

-ur%as normalmente utili(a polin*mios de

)rau menor.


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Ajuste de Curvas

Se por a-aso o polin*mio )erado no ajuste de-ur%as "or de )rau n1/ ele ser& id7nti-o ao

polin*mio )erado na interpolao.

8omo as %ari&%eis em um ajuste de -ur%asso pro%enientes de e'perimentos/ de%emos

entender melor os tipos de relao +ue

temos entre as %ari&%eis.


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Ajuste de Curvas

Relaes Determinsticas$este tipo de relao/ as %ari&%eis so

rela-ionadas por interm0dio de uma "9rmula

matem&ti-a pre-isa/ e +ual+uer %ariao naso,ser%a#es 0 atri,u:da a erros

e'perimentais.

;'emplo Lei dos juros -ompostos.

meses


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Ajuste de Curvas

Relaes Semideterminsticas:;m outras situa#es/ e'iste uma e'presso

matem&ti-a +ue rela-iona as %ari&%eis/ mas

nem todos os seus par=metros so-one-idos/ sendo ne-ess&rio estim&los.

;'emplo A -on-entrao de uma su,st=n-ia

depois de um tempo t depende de uma

-onstante de %elo-idade da reao espe-:"i-a

>/ o,tida e'perimentalmente

t>e-- .0.

=


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Ajuste de Curvas

Relaes empricas:;m muitas outras situa#es/ a relao entre

as %ari&%eis 0 des-one-ida. Pro-urase

ento e'pressar uma poss:%el relao entreelas atra%0s da determinao de uma

e+uao +ue melor se ajuste aos pontos

e'perimentais.

Por e'emplo A relao entre a produti%idade

de uma "a(enda e a +uantidade de adu,o

utili(ada na la%oura. ;'istem di%ersos "atores

+ue podem -ontri,uir para a produti%idade/


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Ajuste de Curvas

6.2 Auste linear simples tipo de relao mais simples entre duas

%ari&%eis 0 a relao linear. $esta relao/

temos uma %ari&%el independente ?'@rela-ionada a uma %ari&%el resposta ou

dependente ?@ por meio de um modelo

linear/ por e'emplo

B,CD,1.'


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Ajuste de Curvas

Ee%emos ento estimar os par=metros ,Ce ,1para en-ontrarmos a relao entre ' e .

Fma etapa importante 0 %isuali(armos o

)r&"i-os dos pontos em um dia)rama dedisperso/ de "orma a determinarmos se &

al)uma relao %is:%el entre as %ari&%eis.

;'emplo Eado o -onjunto de pontos a,ai'o/tra-e seu dia)rama de disperso.

x 0,3 2,7 4,5 5,9 7,8

y 1,8 1,9 3,1 3,9 3,3


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Ajuste de Curvas

Gesoluo Mar-amos em um )r&"i-o oslo-ais dos pontos ' e

Aparentemente & relao apro'imadamente

linear entre as %ari&%eis.


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Ajuste de Curvas

Para estimarmos os par=metros ,C e ,1/de%emos re-orrer ao m0todo dos +uadrados

m:nimos.

;sta t0-ni-a estima os par=metros de "orma+ue a dist=n-ia total entre a e+uao ajustada

e os pontos do e'perimento seja a menor

poss:%el.


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Ajuste de Curvas

As e+ua#es para determinao dospar=metros ,Ce ,1so

( ) ( )

n

',,

'n'

'n',

',,

ii

ii

iiii

=

=

+=

.

.

).(..

.

1

0

221

10


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Ajuste de Curvas

;'emplo Eados os pontos do e'emploanterior/ -al-ule a melor reta de ajuste

i x y x2 x.y y2

1 0,3 1,8 0,09 0,54 3,24

2 2,7 1,9 7,29 5,13 3,61

3 4,5 3,1 20,25 13,95 9,61

4 5,9 3,9 34,81 23,01 15,21

5 7,8 3,3 60,84 25,74 10,89

21,2 14,0 123,28 68,37 42,56


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Ajuste de Curvas

8al-ulando os par=metros

( ) ( )

6560,15

2,21.2698,00,14

.

2698,028,123.5)2,21(

37,68.50,14.2,21

.

).(..

0

10

21

221

=

=

=

==

=

,

n',,

,

'n'

'n',

ii

ii

iiii


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Ajuste de Curvas

;sta reta seria representada no )r&"i-o dedisperso -omo

B1/66CDC/26H.'


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Ajuste de Curvas

A +ualidade do ajuste linear 0 medida atra%0sdo -oe"i-iente de determinao e da %ari=n-ia

residual/ -al-ulados -omo se)ue -i0 o %alor

de -al-ulado pela e+uao de re)resso

( )

( )( )

2

.

11

2

2

22

2

2

=

=

n

n

r

-ii

ii

-ii


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Ajuste de Curvas

;'emplo Eetermine a +ualidade do modelopara o e'emplo anterior.

i x y yc y-yc (y-yc)2

1 0,3 1,8 1,7369 0,0631 0,0040

2 2,7 1,9 2,3845 -0,4845 0,2347

3 4,5 3,1 2,8701 0,2299 0,0528

4 5,9 3,9 3,2478 0,6522 0,4254

5 7,8 3,3 3,7604 -0,4604 0,2120

21,2 14,0 0,9289


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Ajuste de Curvas

Gesol%endo as e+ua#es( )

( )

( )

( )

3096,0

25

9289,0

2

7235,0

0,14.5

156,42

9289,01

.1

1

2

22

2

2

22

2

2

=

=

=

=

=

=

n

AA

r

A

n

A

AAr

-ii

ii

-ii


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Ajuste de Curvas

6.! Auste "inear #$ltiploJuando temos mais de uma %ari&%el

independente ?'@ para uma ni-a %ari&%el

dependente ?@/ de%emos utili(ar a re)ressolinear mltipla para rela-ionarmos todas

elas.

Ajuste linear mltiplo parte do prin-:pio de

+ue 0 poss:%el en-ontrar um polin*mio tal

+ue

B,CD,1.'1D,2.'2D...D,p.'p


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Ajuste de Curvas

$osso pro,lema a)ora 0 en-ontrar osdi%ersos par=metros ,C/ ,1/ ,2... ,p.

Para en-ontrarmos estes par=metros/

utili(amos as e+ua#es normais. ;stase+ua#es/ de "orma resumida/ nos entre)am

os par=metros pro-urados ao resol%ermos o

sistema de e+ua#es mostrado a se)uir.


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Ajuste de Curvas

;'emplo Eados os pontos a se)uir/

determine o ajuste linear mltiplo.

=

iip

ii

ii

i

pipipipiipiip

iipiiiii

iipiiiii

ipii

A'

A'

A'

A

,

,

,

,

'''''''

'''''''

'''''''

'''n

.

.

.

.

...

...

...

2

1

2

1

0

21

222212

112111

21


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Ajuste de Curvas

.

i xi1 xi2 yi xi12 xi2

2 xi1.xi2 xi1.yi xi2.yi

01 60,3 108 234 3636,09 11664 6512,4 14110,2 25272

02 61,1 109 259 3733,21 11881 6659,9 15824,9 28231

03 60,2 110 258 3624,04 12100 6622 15531,6 28380

04 61,2 112 285 3745,44 12544 6854,4 17442 31920

05 63,2 112 329 3994,24 12544 7078,4 20792,8 36848

06 63,6 113 347 4044,96 12769 7186,8 22069,2 39211

07 65,0 115 365 4225 13225 7475 23725 41975

08 63,8 116 363 4070,44 13456 7400,8 23159,4 42108

09 66,0 117 396 4356 13689 7722 26136 46332

10 67,9 119 419 4610,41 14161 8080,1 28450,1 49861

11 68,2 120 443 4651,24 14400 8184 30212,6 53160

12 66,5 122 445 4422,25 14884 8113 29592,5 54290

13 68,7 123 483 4719,69 15129 8450,1 33182,1 59409

14 69,6 125 503 4844,16 15625 8700 35008,8 62875

15 69,3 128 518 4802,49 16384 8870,4 35897,4 6630416 70,6 130 555 4984,36 16900 9178 39183 72150


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Ajuste de Curvas

s somat9rios das -olunas da ta,ela anteriorso

8olo-ando os %alores na matri(

Podemos resol%er o sistema de e+ua#es

a-ima atra%0s de +ual+uer m0todo Kauss.

xi1 xi2 yi xi12 xi2

2 xi1.xi2 xi1.yi xi2.yi

1045,2 1879 6202 68464,02 221355 123087,3 410317,6 738326

=

738326

6,410317

6202

.

2213553,1230871879

3,12308702,684642,1045

18792,104516

2

1

0

,,

,


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Ajuste de Curvas

Gesultado do sistema de e+ua#es,CB14C/4

,1B13/4

,2B/C

Assim/ a e+uao de ajuste 0

B14C/4 D 13/4.'1D /C.'2


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Ajuste de Curvas

6.% Auste &olinomialFm -aso parti-ular do ajuste linear mltiplo

0 a+uele em +ue +ueremos ajustar um

polin*mio de )rau ?)@. $este -aso/ teremossomente uma %ari&%el independente ?'@

rela-ionada a uma %ari&%el dependente ?@

atra%0s de um polin*mio do tipo

B,CD,1.'D,2.'2D...D,).'

)


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Ajuste de Curvas

Para este -aso parti-ular/ o sistema dee+ua#es anterior se simpli"i-a para

=

++

+

+

i

)

i

ii

i

)))))

)

)

i

)

ii

A'

A'A'

A

,

,,

,

''''

''''''''

'''n

i

i

iiii

iiii

iii

i

.

..

. 2

2

1

0

.221

2432

132

2


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;'emplo Eada a ta,ela a,ai'o/ en-ontre omelor polin*mio de )rau 3 +ue se ajusta aos

dadosi xi yi xi

2 xi3 xi

xi! xi

6 xiyi xi2yi xi

3yi

01 0,01 0,1000 0,0001 1E-06 1E-08 1E-10 1E-12 0,001 1E-05 1E-07

02 0,10 0,3162 0,01 0,001 0,0001 1E-05 1E-06 0,0316 0,0032 0,0003

03 0,20 0,4472 0,04 0,008 0,0016 0,0003 6,4E-05 0,0894 0,0179 0,0036

04 0,30 0,5477 0,09 0,027 0,0081 0,0024 0,00073 0,1643 0,0493 0,0148

05 0,40 0,6325 0,16 0,064 0,0256 0,0102 0,0041 0,253 0,1012 0,0405

06 0,50 0,7071 0,25 0,125 0,0625 0,0313 0,01563 0,3536 0,1768 0,0884

07 0,60 0,7746 0,36 0,216 0,1296 0,0778 0,04666 0,4648 0,2789 0,1673

08 0,70 0,8367 0,49 0,343 0,2401 0,1681 0,11765 0,5857 0,41 0,287

09 0,80 0,8944 0,64 0,512 0,4096 0,3277 0,26214 0,7155 0,5724 0,4579

10 0,90 0,94870,81 0,729 0,6561 0,5905 0,53144 0,8538 0,7684 0,6916

11 1,00 1,0000 1 1 1 1 1 1 1 1


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A ta,ela -om os somat9rios 0

8olo-ando os %alores na matri(

Gesol%endo este sistema de e+ua#es atra%0s

de +ual+uer m0todo j& %isto Kauss

xi yi xi2 xi

3 xi xi

! xi6 xiyi xi

2yi xi3yi

5,51 7,2051 3,8501 3,025 2,5333 2,2083 1,97841 4,5127 3,378 2,7514

=

7514,2378,3

5127,4

2051,7

.

97841,12083,25333,2025,32083,25333,2025,38501,3

5333,2025,38501,351,5

025,38501,351,511

3

2

1

0

,,

,

,


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Soluo do sistema,CBC/1C11

,1B2/C6

,2B2/12

,3B1/C16

; o polin*mio de ajuste ser&

BC/1C11D2/C6.'2/12.'2D1/C16.'3


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6.' (rans)ormao de modelos nolineares em lineares

;m al)uns -asos/ deparamos -om modelos

essen-ialmente no lineares/ em +uepre-isamos determinar seus par=metros.

$estes -asos/ apli-amos al)umas re)ras

simples para trans"ormar este modelo no

linear em linear para poder ser tra,alado.


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;'emplos de trans"orma#esBa.', lnBlnaD,.ln'

Ba.,' lnBlnaDln,.'

Ba.e,.'

lnBlnaD,.'BeaD,.'1D-.'2 lnBaD,.'1D-.'2

21..

21

21

2121

..11

ln1

1

..1..

1

)ln(.)ln(.)ln()ln(..

21

'-',ae

'-',a'-',a

'-',a''a

'-',a

-,

++=

+=

++=++

=

++==

++


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