Interpolação PolinomialAjuste de Curvas (Parte II)

Prof. Jorge Cavalcanti – jorge.cavalcanti@univasf.edu.br

MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/

Cálculo Numérico

2

Interpolação Polinomial Estratégia de manipulação de uma função definida por uma tabela de valores

Ajuste de Curvas - Introdução

x

y

1,166,150,135,121,108,8

11109876

8,80,70,52,45,33,1

654321

i

i

i

i

y

x

y

x

3

Inconvenientes

Necessidade de obtenção de um valor aproximado da função em algum ponto fora do intervalo de tabelamento (extrapolação);

Existência de erros inerentes, não previsíveis, associados aos valores tabelados

Resultados de experimentos físicos ou dados resultantes de pesquisas

Ajuste de Curvas - Introdução

4

Ajuste de Curvas - Introdução

x

y

X Y

0 6

1 10

2 22

3 ?

Problemática I

5

Problemática II

Geração de uma aproximação confiável para os valores tabelados

Possibilidade de extrapolação com certa margem de segurança

CasosDiscreto - a função é conhecida para m pontos Contínuo – a função é conhecida para todos os

pontos.

Ajuste de Curvas - Introdução

6

Problemática III

Ajuste de uma função a um conjunto de pontos

Contenção ou maior proximidade possível de todos os pontos à função que modela a constelação de pontos de interesse

Ajuste de Curvas – Caso Discreto

x

y

(1,1)

(8,2)

(27,3)

7

Problemática

Representação de uma função complexa a partir de outra mais simples

Simplificação do problema

Facilidade de resolução

Ajuste de Curvas – Caso Contínuo

x

y

7,1;5,012)(

728,044,36,3)( 23

xxg

xxxxf

8

Problemática

Representação de uma função complexa a partir de outra mais simples

Extrapolação com aproximação razoável. Simplificação de cálculos de novos pontos aproximados.

Ajuste de Curvas – Caso discreto

9

Seja um conjunto de pontos (xi, f(xi)), i=0,1,2..., m, e as funções g1(x), ..., gn(x), determinadas de alguma forma, com n m.

O que se procura é a função , dada por

tal que g(xi) passe o mais próximo possível dos pontos (xi, f(xi)).

Ajuste de Curvas – Caso discreto

(1)

xg

xgcxgcxgcxg nn 2211

)()( xgcxg i

n

1ii

10

A ideia mais simples para ajustar g à f e impormos a condição que g coincida com f nos pontos (xi, f(xi)) dados; ou seja g(xi)=f(xi).

Teríamos então:

Ajuste de Curvas

mi ,...,1

)(

...

)(

)(

mmnnm22m11

11nn122111

00nn022011

xfxgcxgcxgc

xfxgcxgcxgc

xfxgcxgcxgc

11

Deseja-se minimizar a diferença entre g(xi) e f(xi), i= 0, 1, 2...m.

Para definir as funções f(xi), i= 0, 1, 2...m é necessário determinar os coeficientes ci para que essas diferenças sejam as menores possíveis.

Configuração de um problema de minimização.

Ajuste de Curvas

12

Método dos Mínimos Quadrados Seja f dada pela tabela abaixo:

Objetivo

Obter uma função g(x) que aproxime dados tabelados (xi, f(xi)) afetados por erros inerentes.

A função g(x) não precisa passar pelos pontos da tabela, g(xi) f(xi), mas fornece o melhor ajuste no sentido dos mínimos quadrados.

Determinar uma reta g(x) = c0+ c1x que melhor se ajusta à f.

Ajuste de Curvas - Mínimos Quadrados

x x0 x1 x2

f(x) F(x0) F(x1) F(x2)

13

Ajuste de Curvas

Vamos considerar dk=g(xi)-f(xi). Observando a figura abaixo, com a reta g(x) = c0+ c1x, devemos escolher as constantes c0 e c1 de modo que d0, d1 e d2 sejam o menor possível.

Devemos, então, minimizar a soma dos desvios.

2

0k

kdMinimizar

14

Obtenção da melhor reta Minimização da soma das diferenças entre os valores de f(x)tabelados yi e os valores da função de ajuste (a+bxi) em cada ponto.

Resolução da aproximação pela minimização do somatório dos “erros” na expressão

Ajuste de Curvas

m

k

kdS1

kkk xgxfd onde (2)

m

k

kdMinimizar1

15

Ajuste de Curvas

Possibilidade de obtenção de diferença positiva ou negativa

Possibilidade de ocorrência de uma soma nula das diferenças, mesmo com os valores muito distantes da reta.

Modo de evitar o cancelamento Minimização do

quadrado da diferença 2

1

m

k

kdMinimizar

16

Assim, a expressão de S é substituída pela expressãoabaixo, que será mínima quando o somatório (2)também for:

Considerando g(x) dada pela expressão (1), o somatórioa ser minimizado toma a forma mostrada em (4).

(4)

(3)

Ajuste de Curvas

m

kkk

m

kk xgxfdS

1

2

1

m

kknnkkn xgcxgcxfcccSS

1

21121 ...,...,,

xgcxgcxgcxg nn 2211 (1)

17

Notar que S é função apenas dos coeficientes ci, i=1,..., n, pois f(xk) é conhecido e g(xk) pode ser arbitrado. Para minimizar S, é necessário que:

Do cálculo diferencial, sabe-se que para determinar o valor mínimo de uma função (ou seu valor crítico), deve-se derivar parcialmente esta função em relação às variáveis independentes.

Então, para se obter um ponto de mínimo de S, temos que encontrar seus pontos críticos, derivando (4).

A partir dessa condição, gera-se o sistema de equações lineares mostrado em (5).

(5)

Ajuste de Curvas

niCS i ,...,1,0

nixgxgcxgcxfC

S m

kkiknnkk ,...,1,....2

111

1

18

Expandindo a expressão anterior, obtém-se o sistema(6a), colocado na forma simplificada mostrada em(6b).

(6a)

(6b)

Ajuste de Curvas

nnnnn

nn

bcaca

bcaca

...

...

11

11111

m

kknkn

m

kknkn

m

kknk

m

kkkn

m

kkkn

m

kkk

xgxfcxgxgcxgxg

xgxfcxgxgcxgxg

111

11

11

111

111

........

........

ji

m

kkjkij axgxga

11 .

m

kkiki xgxfb

1

.(Simétricos)

19

Esse sistema é chamado de Normal e pode ser escrito assim:Ajuste de Curvas

m

k

mm

m

k

n

m

k

m

k

mmm

m

k

m

m

k

m

k

m

m

k

xfg

xfg

c

c

gggggg

gggggg

1

1

11

1

1 1

2

1

1

1 1

121

1

11

.

...

.

....

...

......

...

A montagem do sistema normal é facilitada com a construção daseguinte tabela:

i xi g1(xi) g2(xi) ... gm(xi) f(xi)

1 x1 g1(x1) g2(x1) ... gm(x1) f(x1)

2 x2 g1(x2) g2(x2) ... gm(x2) f(x2)

... ... ... ... ... ... ...

n xn g1(xn) g2(xn) ... gm(x0) f(xn)

g12 g1 g2 ... g1 gm g1 f

g2 g1 g22 ... g2 gm g2 f

gm g1 gm g2 ... gm2 gm f

A partir desses valores,constrói-se o sistema linear.

20

Exemplo 01

Como resultado de algum experimento, foram obtidos osseguintes valores para uma função f:

Deseja-se determinar a reta que melhor se ajusta a estes pontos pelo MMQ.

Ajuste de Curvas

4028112

8642

4321

i

i

y

x

i

21

Neste caso:

xxg

xg

xccxg

2

1

21

1

Ajuste de Curvas

x

y

xgcxgcxg

n

2211

2

4028112

8642

4321

i

i

y

x

i

xgcxgcxgcxg nn 2211

(O ajuste será por uma reta)

22

O sistema a ser resolvido é:

Ajuste de Curvas

4028112

8642

4321

i

i

y

x

i

;

;1

;2

;

2

1

21

xxg

xg

n

xccxg

i xi g1(xi) g2(xi) f(xi)

1 x1 g1(x1) g2(x1) f(x1)

2 x2 g1(x2) g2(x2) f(x2)

3 x3 g1(x3) g2(x3) f(x3)

4 x4 g1(x4) g2(x4) f(x4)

g12 g1 g2 g1 f

g2 g1 g22 g2 f

i xi g1(xi) g2(xi) f(xi)

1 2 1 2 2

2 4 1 4 11

3 6 1 6 28

4 8 1 8 40

g12 = 4 g1 g2 =20 g1 f=81

g2 g1 =20 g22 = 120 g2 f = 536

m

k

m

k

m

k

m

k

m

k

m

k

xfg

xfg

c

c

gggg

gggg

1

22

1

11

2

1

1

22

1

12

1

21

1

11

.

.

.

23

Substituindo-se os valores da tabela obtém-se:

Resolvendo-se o sistema obtém-se c1=-12,5 e c2=6,55.

A reta procurada é, portanto:

Ajuste de Curvas

536

81.

12020

204

2

1

c

c

x556512xg ,,

24

Exemplo 02

Seja uma função f, cujos dados que foram obtidosexperimentalmente são:

Deseja-se determinar a reta g(x) = c1 + c2x que melhor se ajusta a estes pontos pelo MMQ.

Ajuste de Curvas

5131xf

321x

321i

i

i

,)(

25

i xi g1(xi) g2(xi) f(xi)

1 x1 g1(x1) g2(x1) f(x1)

2 x2 g1(x2) g2(x2) f(x2)

3 x3 g1(x3) g2(x3) f(x3)

g12 g1 g2 g1 f

g2 g1 g22 g2 f

i xi g1(xi) g2(xi) f(xi)

1

2

3

5131xf

321x

321i

i

i

,)(

26

Exemplo 03

Seja uma função f, cujos dados que foram obtidosexperimentalmente são:

Deseja-se determinar a reta g(x) = c1 + c2x que melhor se ajusta a estes pontos pelo MMQ.

Ajuste de Curvas

i 1 2 3 4 5

x 0 1 2 3 4

f(x) 0.98 -3.01 -6.99 -11.01 -15

m

k

m

k

m

k

m

k

m

k

m

k

xfg

xfg

c

c

gggg

gggg

1

22

1

11

2

1

1

22

1

12

1

21

1

11

.

.

.

27

i xi g1(xi) g2(xi) f(xi)

1 x1 g1(x1) g2(x1) f(x1)

2 x2 g1(x2) g2(x2) f(x2)

3 x3 g1(x3) g2(x3) f(x3)

4 x4 g1(x4) g2(x4) f(x4)

5 x5 g1(x5) g2(x5) f(x5)

g12 g1 g2 g1 f

g2 g1 g22 g2 f

i xi g1(xi) g2(xi) f(xi)

1

2

3

4

5

i 1 2 3 4 5

x 0 1 2 3 4

f(x) 0.98 -3.01 -6.99 -11.01 -15

28

Referências

RUGGIERO, M. A. G. & LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2.ed. São Paulo, Makron, 1997.

Ajuste de Curvas