CÁLCULO NÚMERICO Versão 2

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PAR

CENTRO DE CINCIAS SOCIAIS E EDUCAO DEPARTAMENTO DE MATEMTICA, ESTATSTICA E INFORMTICA.

.

CLCULO NUMRICO

PROF. RUBENS VILHENA

2013

2

SUMRIO

APRESENTAO

UNIDADE 1

APRESENTAO

1. SISTEMA NUMRICO E ERROS

1.1. INTRODUO

1.2. ERROS NA FASE DE MODELAGEM

1.3. ERROS NA FASE DE RESOLUO

1.4. MUDANA DE BASE

1.5. ATIVIDADES

2. RESOLUO NUMRICA DE EQUAES NO LINEARES

2.1. RAIZ DE UMA EQUAO

2.2. ISOLAMENTO DE RAZES

2.3. TEOREMA DE BOLZANO

2.4. EQUAES TRANSCENDENTES

2.5. MTODO GRFICO

2.6. ATIVIDADES COMPLEMENTARES

2.7 ATIVIDADES DE AVALIAO

2.8. MTODO DA BISSEO


2.10. ATIVIDADES DE AVALIAO

2.11. MTODO DAS CORDAS



2.14. MTODO DE NEWTON



2.17. COMPARAO DOS MTODOS: BISSEO, CORDAS E NEWTON

3. INTERPOLAO LINEAR

3.1. INTRODUO

3.2. CONCEITO DE INTERPOLAO

3.3. INTERPOLAO LINEAR

3

3.4. INTERPOLAO QUADRTICA

3.5. ERRO DE TRUNCAMENTO

3.6. TEOREMA DE ROLLE

3.7. INTERPOLAO DE LAGRANGE

3.8. INTERPOLAO DE NEWTON COM DIFERENAS DIVIDIDAS

4. INTEGRAO NUMRICA

4.1. INTRODUO

4.2. REGRA DOS TRAPZIOS

4.3. PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON

4.4. SEGUNDA REGRA DE SIMPSON

4

1. SISTEMA NUMRICO E ERROS

1.1. INTRODUO

A soluo de muitos problemas passa pela modelagem matemtica, para isto devem ser representado por uma frmula ou procedimento matemtico, que expressam as caractersticas principais deste problema. A seqncia lgica da soluo de um problema, segue o diagrama a baixo.

importante ressaltar, que em certas situaes a soluo estimada, pelos mtodos numricos, se afasta da verdadeira soluo do problema. Isto ocorre devido a presena de fontes de erro que podem ocorrer na fase de modelagem do problema ou na fase resoluo do problema. 1.2. ERROS NA FASE DE MODELAGEM

Os erros na fase de modelagem ocorrem quando desconsideramos ou desprezamos alguma varivel presente no problema. 1.3. ERROS NA FASE DE RESOLUO Nesta fase, o erro gerado no momento que se fazer os clculos na calculadora ou computador devido aos processos de arredondamentos. 1.4. MUDANA DE BASE Todo nmero na base dez pode ser decomposta da seguinte forma

nn

22

11

00

11

22

mm

m

ni

ii 10.a...10.a10.a10.a10.a10.a...10.a10.a

ia 0 ou 1

m,n nmeros inteiros, com 0n e 0m

Exemplo: 3210123 10*610*010*410*210*510*010*8406,8052

De forma semelhante. um nmero na base 2 pode ser escrito por:

nn

22

11

00

11

22

mm

m

ni

ii 2.a...2.a2.a2.a2.a2.a...2.a2.a

Exemplo: 3210123 2.12.02.12.12.12.02.1101,1011

Para transformar um nmero inteiro da base 10 para a base 2, utiliza-se o mtodo de divises sucessivas, que consiste em dividir o nmero por 2, a seguir dividi-se por 2 o quociente encontrado e assim o processo repetido at que o ltimo quociente seja igual a 1 . O nmero binrio ser, ento,

Problema

Modelo

Matemtico

Soluo

Modelagem

Resoluo

5

formado pela concatenao do ltimo quociente com os restos das divises lidos em sentido inverso ao que foram obtidos, ou seja,

N 2

r1 q1 2

r2 Q2 2

R3 q3

qn-1 2

rn-1 1

1231n10 r.r.r.....r.1N

Para transformar nmeros fracionrios da base 10 para a base 2, utiliza-se o mtodo das multiplicaes sucessivas, que consiste em:

1 Passo multiplicar o numero fracionrios por 2;

2 Passo deste resultado, a parte inteira ser o primeiro dgito do nmero na base 2 e a parte fracionria novamente multiplicada por 2. O processo repetido at que a parte fracionria do ltimo produto seja igual a zero.

Exemplo: transforme 101875,0 para a base 2

logo 210 0011,01875,0

Exemplo: transforme 1025,13 para a base 2

13 2

1 6 2

0 3 2

1 1

1310 = 11012

0,2510 = 0,012

logo 210 01,110125,13

De maneira geral, o nmero x em uma base representado por:

0,1875

2

0,3750

0,375

2

0,750

0,75

2

1,50

0,50

2

1,00

0,25

2

0,50

0,50

2

1,00

6

exp

tt

33

221 .

d...

dddx

id so os nmeros inteiros contidos no intervalo id0 , t,...,2,1i

exp representa o expoente de e assume valores entre SexpI ,

S,I os limites inferior e superior, respectivamente, para a variao do expoente

tt

33

221 d...

ddd chamado de mantissa e a parte do nmero que representa seus

dgitos significativos e t o nmero de dgitos significativos do sistema de representao, comumente chamado de preciso da mquina.

Exemplo:

Sistema decimal

0

321010.

10

7

10

5

10

3357,0

2

54321010.

10

7

10

5

10

3

10

9

10

2357,29

Obs: a mantissa um nmero entre 0 e 1.

Sistema binrio

5

543222.

2

1

2

0

2

0

2

1

2

111001

5

76543222.

2

1

2

0

2

1

2

0

2

0

2

1

2

101,11001

Saiba que cada dgito do computador chamado de bit. Apresentaremos abaixo uma maquina fictcia de 10 bits para a mantissa, 4 bits para o expoente e 1 bit para o sinal da mantissa e outro bit para o sinal do expoente.

Para voc entender melhor faremos um exemplo numrico.

Exemplo: Numa maquina de calcular cujo sistema de representao utilizado tenha 2 , 10t ,

15I e 15S , o nmero 25 na base decimal representado por

1015210 2.11001,02.11001,01100125

1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1

Observe que utilizamos bit = 0 para positivo e bit = 1 para negativo.

Mantissa Expoente

Sin

al d

a

Man

tiss

a

Sin

al d

o

Expoen

te

7

Um parmetro muito utilizado para avaliar a preciso de um determinado sistema de representao o nmero de casas decimais exatas da mantissa e que este valor dado pelo valor

decimal do ltimo bit da mantissa, ou seja, o bit de maior significado, logo: t

PRECISO

1

EXERCCIO (01) Os nmeros a seguir esto na base 2, escreva-os na base 10.

(a) 211011 (b) 2111100 (c) 2100111

(d) 201111, (e) 21110, (f) 2001110,

(02) Os nmeros a seguir esto na base 10, escreva-os na base 2.

(a) 1015 (b) 1012 (c) 1036

(d) 106215, (e) 102510, (f) 1012530,

(03) Considere uma mquina de calcular cujo sistema de representao utilizado tenha 2 ,

10t , 15I e 15S .Represente nesta mquina os nmeros :

(a) 1035 (b) 1028,

(c) 1024 (d) 1064,

2. RESOLUO NUMRICA DE EQUAES NO LINEARES 2.1. RAIZ DE UMA EQUAO

Os mtodos numricos so usados na busca das razes das equaes, ou os zeros reais de f(x). Em geral, os mtodos, utilizados apresentam duas fases distintas: Fase I Localizao ou Isolamento das Razes Est fase consiste em obter um intervalo que contm a raiz da funo f(x) = 0, e em seguida iremos para a segunda fase. Fase II Refinamento Nesta fase definimos a preciso que desejamos da nossa resposta e escolhemos as aproximaes iniciais dentro do intervalo encontrado na Fase I. Em seguida melhoramos, sucessivamente, a aproximao da raiz da funo f(x) = 0, at se obter uma aproximao para a raiz dentro de uma preciso pr-fixada. 2.2. ISOLAMENTO DE RAZES

Os mtodos numricos utilizados para calcular razes da equao f(x) = 0, s calculam uma raiz de cada vez. Esta a razo porque devemos determinar um intervalo para cada raiz que desejamos calcular. Teorema

Se uma funo contnua )x(f assume valores de sinais oposto nos pontos extremos do intervalo [ a

, b ] , isto , 0)b(f.)a(f , ento o intervalo conter, no mnimo, uma raiz da equao 0)x(f , em

outras palavras haver no mnimo um nmero , pertencente ao intervalo aberto )b,a( ,

)b,a( , tal que, 0)(f

Exemplo:

Neste exemplo apresentamos uma funo )x(f que possui dentro do intervalo ]b,a[ trs razes:

1 , 2 e 3 . Isto , so trs valores de x , para os quais a funo )x(f tem imagem igual a zero, isto

: 01 )(f , 02 )(f e 03 )(f .

y

x 1 a

b

2

3 0

f(x) Se a funo possui imagem

zero nos pontos 1 , 2 e 3 ,

o grfico da funo )x(f ,

nestes pontos, intercepta o eixo dos x.

8

Observe no exemplo que 0)a(f e 0)b(f , logo o produto 0)b(f.)a(f

Observe que toda vez que dentro de um intervalo ]b,a[ , tivermos 0)b(f.)a(f , significa

que neste intervalo temos pelo menos uma raiz da funo )x(f , como vemos na figura a seguir.

0)a(f 0)a(f

0)b(f 0)b(f

logo 0)b(f.)a(f logo 0)b(f.)a(f

Quando uma funo no possui razes dentro do intervalos ]b,a[ , temos 0)b(f.)a(f

0)a(f 0)a(f

0)b(f 0)b(f

logo 0)b(f.)a(f logo 0)b(f.)a(f

2.3. TEOREMA DE BOLZANO

Seja 0)x(P uma equao algbrica com coeficientes reais e )b,a(x .

Se 0)b(P.)a(P , ento existem um nmero mpar de razes reais no intervalo )b,a( .

y

x

a

b 0

f(x) f(b)

f(a)

y

x 1 a

b 0

f(x)

y

x 1

a b 2 0

f(x) f(b)

f(a)

y

x 1 a b 2 0

f(x) f(b)

f(a)

a

y

x

b

0

f(x) f(b)

f(a)

y

x

a b

0

f(x) f(b)

f(a)

Quando uma funo possui um nmero par de razes dentro do intervalos ]b,a[ , temos 0)b(f.)a(f

9

Se 0)b(P.)a(P , ento existem um nmero par de razes reais no intervalo )b,a( ou

no existem razes reais no intervalo )b,a( .

2.4. EQUAES TRANSCENDENTES Saiba que a determinao do nmero de razes de funes transcendentes quase impossvel, pois algumas equaes podem ter um nmero infinito de razes. Funo Seno Funo Cosseno

Funo Tangente Funo Exponencial

2.5. MTODO GRFICO

Lembre que uma raiz de uma equao 0)x(f um ponto onde a funo )x(f toca o eixo

dos x . Outra forma de identificarmos as razes da equao substituir )x(h)x(g)x(f , onde

0 )x(h)x(g . As razes de 0)x(f corresponderam a interseo das funes )x(g e )x(h .

Observe o exemplo a seguir, onde utilizamos a funo 1072 xx)x(f que possui razes

2 e 5. Se fizermos )x(h)x(g)x(f , onde 2x)x(g e 107 x)x(h temos a interseo de

)x(g com )x(h acontece em 2 e 5.

10

Exerccio

(01) Dada a funo xsenx.)x(f 220 , separe esta em duas funes e aproxime pelo menos

uma de suas razes pelo mtodo grfico.

(02) Dada a funo xx)x(f 42 , separe esta em duas funes e aproxime pelo menos uma de

suas razes pelo mtodo grfico.

(03) Dada a funo xcosx)x(f 2 , separe esta em duas funes e aproxime pelo menos uma de

suas razes pelo mtodo grfico.

(04) Dada a funo xsenx)x(f 3 , separe esta em duas funes e aproxime pelo menos uma de

suas razes pelo mtodo grfico. 2.6. MTODO DA BISSEO

Para utilizarmos este mtodo devemos primeiro isolar a raiz dentro de um intervalo ]b,a[ ,

isto , devemos utilizar o mtodo grfico para aproximar visualmente a raiz para em seguida isol-la

pelo intervalo )b,a( , onde esta raiz pertena a este intervalo. Para utilizarmos o mtodo das

bisseo necessrios que a funo )x(f seja uma continua no intervalo ]b,a[ e que

0)b(f.)a(f .

Para aplicamos o mtodo da bisseo devemos dividir o intervalo ]b,a[ ao meio, obtendo

assim ox , com isto temos agora dois intervalos ]x,a[ o e ]b,x[ o

1072 xx)x(f

2x)x(g

107 x)x(h

y

x a

b ox

11

Se 0)x(f o , ento, ox ; Caso contrrio, a raiz estar no subintervalo onde a funo tem sinais

oposto nos pontos extremos, ou seja se

0)x(f.)a(f o implica que a raiz esta no intervalo ]x,a[ o .

0)b(f.)x(f o implica que a raiz esta no intervalo ]b,x[ o .

A partir da construiremos um novo intervalo ]b,a[ 11

O novo intervalo ]b,a[ 11 que contm dividido ao meio e obtm-se 1x onde se

011 )x(f.)a(f implica que a raiz esta no intervalo ]x,a[ 11 .

011 )b(f.)x(f implica que a raiz esta no intervalo ]b,x[ 11 .

O processo se repete at que se obtenha uma aproximao para a raiz exata , com a tolerncia desejada. Tolerncia () um valor que o calculista define. A partir da tolerncia, definimos o critrio de parada, onde se para de refinar a soluo e se aceita o valor aproximado calculado. A tolerncia , muitas vezes avaliada por um dos trs critrios abaixo:

E|)x(f| n

E|xx| nn 1

E|x|

|xx|

n

nn 1

Exemplo:

(01) Calcular a raiz da equao 32 x)x(f com 010,E .

Soluo Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto devemos fazer uma no seu grfico.

y

x 1a

1b

1x

Raiz procurada Intervalo de busca

12

A raiz procurada est prxima de 2 e esta dentro do intervalo ][ 31 . Logo

N an bn xn f (xn) E

0 1 2 3 4 5 6 7

1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 1.0000 2.0000 1.5000 -0.7500 0.5000 1.5000 2.0000 1.7500 0.0625 0.2500 1.5000 1.7500 1.6250 -0.3594 0.1250 1.6250 1.7500 1.6875 -0.1523 0.0625 1.6875 1.7500 1.7188 -0.0459 0.0313 1.7188 1.7500 1.7344 0.0081 0.0156 1.7188 1.7344 1.7266 -0.0190 0.0078

Construo da tabela

1 linha: Na iterao inicial ( N = 0 ) temos ][]ba[ oo 31 sendo o ponto mdio 2ox .

2 linha: ( N = 1 ) Como 0)x(f.)a(f oo , substitumos oxb 1 , logo ][]ba[ 2111 sendo

o ponto mdio 511 ,x .

3 linha: ( N = 2 ) Como 011 )b(f.)x(f , substitumos 12 xa , logo ],[]ba[ 25122 sendo

o ponto mdio 7512 ,x .

.........................................................................................................

8 linha: ( N = 7 ) Como 066 )x(f.)a(f , substitumos 67 xa , logo

][]ba[ 1.7344 1.718877 sendo o ponto mdio 1.72667 x ( E0.0078 ).

Como o erro menor que tolerncia ento a aproximao final 1,7266x .

Exerccio

(01) Calcular a raiz da equao xlnx)x(f 2

com 010,E .

(02) Calcular a raiz da equao 423 xx)x(f com 010,E .

(03) Calcular a raiz da equao 1022 x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.

(Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 31 )





(06) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 162

com 010,E utilizando o mtodo da

bisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 53 )

(07) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 52 com 010,E utilizando o mtodo da

bisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 31 ) 2.7. MTODO DAS CORDAS

Para utilizarmos este mtodo devemos primeiro isolar a raiz dentro de um intervalo ]b,a[ ,

isto , devemos, novamente, utilizar o mtodo grfico para aproximar visualmente a raiz para em

seguida isol-la pelo intervalo ]b,a[ , onde esta raiz pertena a este intervalo )b,a( . No mtodo

das cordas, ao invs de se dividir o intervalo ]ba[ ao meio, ele dividido em partes proporcionais

razo )b(f/)a(f . A frmula de recorrncia para a aproximao da raiz ensima

13

2h

y

x b

1xa

Corda

f(a)

f(b)

2x

cx)c(f)x(f

)x(fxx n

n

nnn

1 , onde ...,,,n 210 ,

onde o ponto fixado c (ou a ou b ) aquele no qual o sinal da funo )x(f coincide com o

sinal da segunda derivada )x(''f , ou seja 0)c(f.)c(''f .

E|x|

|xx|

n

nn 1

Ao se aplicar este procedimento ao novo intervalo que contm , como mostra a figura a

seguir, ]bx[ou]xa[ 11 , obtm-se uma nova aproximao 2x da raiz pela aproximao apresentada acima

y

x b

oxa 1x

1h

f(a)

f(b)

A existncia da corda da origem a dois tringulos semelhantes, que permitem estabelecer a seguinte relao:

)a(f)b(f

ab

)a(f

h

1

esta relao nos conduz a uma valor aproximado da raiz

11 hax

)ab()a(f)b(f

)a(fax

1

y

x b

oxa 1x

1h

Corda

f(a)

f(b)

14

Nas figuras a seguir, como no mtodo das cordas escolhido o extremos do intervalo ]b,a[ que

deve ser igual ao valor ox .

Exemplo:


Soluo Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto devemos fazer uma no seu grfico.

y

x

b

oxa

1x

1h

f(b)

f(a)

y

x

f(a)

f(b)

oxb

a

1x

1h

0)x(''f

00 )b(fe)a(f

bc

0)x(''f

00 )b(fe)a(f

ac

y

x b

oxa

1x

1h

f(a)

f(b)

0)x(''f

00 )b(fe)a(f

bc

0)x(''f

00 )b(fe)a(f

ac

y

x

1x

1h

f(b)

f(a)

oxb

a


15


N an bn xn f (xn) E

0 1 2 3 4

1.0000 3.0000 3.0000 6.0000 1.5000 1.0000 1.5000 1.5000 -0.7500 0.3000 1.0000 1.8000 1.8000 0.2400 0.0857 1.0000 1.7143 1.7143 -0.0612 0.0226 1.0000 1.7368 1.7368 0.0166 0.0061

Construo da tabela

Como 2)x(''f 023 )(''f e 06333 2 )(f

logo 033 )(f.)(''f de onde temos que 1 ac

usando a frmula de recorrncia cx)c(f)x(f

)x(fxx n

n

nnn

1 temos que

30 bx

1.500011

00

001

x

)(f)x(f

)x(fxx ][]ba[ 1.50 1.0

1.800011

11

112

x

)(f)x(f

)x(fxx ][]ba[ 1.80 1.0

1.714311

22

223

x

)(f)x(f

)x(fxx ][]ba[ 1.7143 1.0

1.736811

33

334

x

)(f)x(f

)x(fxx ][]ba[ 1.7368 1.0

Como o erro menor que tolerncia ( E0.0061 ) ento a aproximao final 1,7368x .

Exerccio

(01) Calcular a raiz da equao xlnx)x(f 2 com 010,E .


(03) Calcular a raiz da equao 102 2 x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.








(07) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 52 , com 010,E utilizando o mtodo da

bisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca ].,.[ 5251 )

16

2.8. MTODO DE NEWTON Semelhantes aos mtodos da bisseo e da corda, devemos primeiro isolar a raiz que

desejamos procurar dentro de um intervalo ]b,a[ utilizando para isto o mtodo grfico. Para

utilizarmos o mtodo de Newton necessrios que a funo )x(f seja uma continua no intervalo

]b,a[ e que o seu nico zero neste intervalo; as derivada )x('f ])x('f[ 0 e )x(''f devem

tambm ser contnuas.

Para se encontrar a expresso para o clculo da aproximao nx para a raiz devemos fazer

uma expanso em srie de Taylor para 0)x(f , de onde temos )xx)(x('f)x(f)x(f nnn se

fizermos 01 )x(f)x(f n , obteremos a seguinte expresso 01 )xx)(x('f)x(f nnnn ,

isolando o termo 1nx na temos

)x('f

)x(fxx

n

nnn 1 .

onde 1nx uma aproximao de .

Exemplo:


Soluo

y

x 1x 0xb

f(a)

f(b)

2x

a

0)x(''f

0)x('f

0xb

y

x 1x

f(b)

f(a)

b

0xa

2x

0)x(''f

0)x('f

0xa

y

x 0xb

b a

1x

f(b)

f(a)

2x

0)x(''f

0)x('f

0xb

y

x

f(a)

f(b)

b oxa 1x

2x

0)x(''f

0)x('f

0xa

17

Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto devemos fazer uma no seu grfico.


N an bn xn f (xn) E

0 1 2 3

1.0000 3.0000 3.0000 6.0000 1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 0.2500 1.0000 1.7500 1.7500 0.0625 0.0179 1.0000 1.7321 1.7321 0.0003 0.0001

Observe a construo da tabela:

Como x)x('f 2 063 )('f e como 02 )x(''f logo temos

30 bx

usando a expresso )x('f

)x(fxx

n

nnn 1 , temos a seguinte recorrncia

.000020

001

)x('f

)x(fxx ][]ba[ 2.0 1.0

.750011

112

)x('f

)x(fxx ][]ba[ 1.75 1.0

1.73212

223

)x('f

)x(fxx ][]ba[ 1.7321 1.0

Como o erro menor que tolerncia ( E0.0001 ) ento a aproximao final 1,7321x .

Exerccio

(01) Calcular a raiz da equao xlnx)x(f 2 com 010,E .











18

(07) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 52 , com 010,E utilizando o mtodo da

bisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca ].,.[ 5251 )

3. INTERPOLAO LINEAR 3.1. CONCEITO DE INTERPOLAO

Seja a funo )x(fy , cujos valores esto em uma tabela. Se desejarmos determinar )x(f

sendo:

(a) )x,x(x n0 e ixx onde n,...,,,i 210

(b) )x,x(x n0

O item (a) representa um problema de interpolao, isto , x est dentro do intervalo amostrado, logo devemos calcular um polinmio interpolador, que uma aproximao da funo tabelada.

O item (b) representa um problema de extrapolao, isto , x est fora do intervalo amostrado. Nos trataremos apenas de problemas de interpolao neste captulo. 4.2. INTERPOLAO LINEAR Exemplo - Na tabela est a produo seguir est assinalado o nmero de habitantes de uma cidade A em quatro censos.

Tabela 1

ANO 1950 1960

N de Habitantes 352.724 683.908

Determinar o nmero aproximado de habitantes na cidade A em 1955. Soluo Neste caso, o polinmio interpolador ter grau 1, isto , ser da forma

011 axa)x(P

Para se determinar os coeficientes, 0a e 1a devemos fazer

101111

000101

yaxa)x(P

yaxa)x(P

1011

0001

yaxa

yaxa

Para 19500 x e 352.724y 0 temos que

724.352a1950a 01

Para 1960x1 e 683.908y1 temos que

683.908a1960a 01

Com isto temos o seguinte sistemas

683.908a1960a

724.352a1950a

01

01

onde 33118,40a1 e 64228156a0 logo teremos

64228156x33118,40)x(P1

como queremos saber o nmero aproximado de habitantes na cidade A em 1955x , temos

518.31664228156195533118,40)x(P1 habitantes

3.3. INTERPOLAO QUADRATICA Exemplo - Na tabela a seguir est assinalado o nmero de habitantes de uma cidade A em quatro censos.

Tabela 1

ANO 1950 1960 1970

N de Habitantes 877500 901600 925900

Determinar o nmero aproximado de habitantes na cidade A em 1965.

19

Soluo Neste caso, o polinmio interpolador ser de 2 grau, isto , ser da forma

012

22 axaxa)x(P

Para se determinar os coeficientes, 0a , 1a e 2a devemos fazer

202122222

101121212

000120202

yaxaxa)x(P

yaxaxa)x(P

yaxaxa)x(P

2021222

1011212

0001202

yaxaxa

yaxaxa

yaxaxa

Para o problema em questo temos:

925900aa1950a1970

901600aa1950a1960

877500aa1950a1950

0122

0122

0122

cuja soluo, atravs de escalonamento ensinado no captulo anterior

25.2a

1500a

1a

0

1

2

logo teremos

25.2x1500x)x(P 22

como queremos saber o nmero aproximado de habitantes na cidade A em 1965x , temos

91372525.2196515001965)1965(P 22 habitantes

3.4. ERRO DE TRUNCAMENTO

Para que voc entenda o erro de truncamento, observe o grfico mostrado a figura a seguir.

Figura. )x(f a funo tabelada e )x(P1 um polinmio interpolador de 1 grau. Podemos observar

que, neste caso, )x(P1 no aproxima bem a soluo.

O erro de truncamento cometido no ponto x dado pela frmula

A)xx()xx()x(E 10T ,

onde A uma constante a determinar, como a funo erro de truncamento.

No calculo de A , utilizaremos a funo auxiliar )t(G definida por:

)t(E)t(P)t(f)t(G T1 .

3.5. TEOREMA DE ROLLE

Se a funo )x(f contnua no intervalo ]b,a[ e diferencivel no intervalo )b,a( e )b(f)a(f ,

ento, existe um )b,a( , tal que 0)('f

0x 1x

0y

1y )x(P1

)x(f

x

Valor Aproximado

Valor real

20

3.6. INTERPOLAO DE LAGRANGE

As interpolaes apresentadas anteriormente (interpolao linear e quadrtica) so casos

particulares da interpolao de Lagrange. Agora vamos determinar, o polinmio interpolador )x(P

de grau menor ou igual a n , sendo dado para isto, 1n pontos distintos. Teorema

Sejam )y,x( ii , 1n,n,...,2,1,0i pontos distintos, isto , ji xx para ji . Existe

um nico polinmio )x(P de grau no maior que n , tal que ii y)x(p , para todo i . O polinmio

)x(P pode ser escrito na forma:

nn

33

2210n xa...xaxaxaa)x(P

ou da seguinte forma

n

0i

iin xa)x(P

Observe que )x(P , no mximo, de grau n , se 0an . Para determinar o polinmio )x(P

devemos conhecer os valores n210 a,...,a,a,a . Como )x(P contm os pontos )y,x( ii

podemos escrever ii y)x(p , da seguinte forma

S:

nnnn

3n3

2n2n10

2n2n

323

222210

1n1n

313

212110

0n0n

303

202010

yxa...xaxaxaa

..............................................................

yxa...xaxaxaa

yxa...xaxaxaa

yxa...xaxaxaa

A soluo do sistema S so os valores n210 a,...,a,a,a , com os quais determinamos o polinmio

nn

33

2210n xa...xaxaxaa)x(P .

Para verificarmos que tal polinmio nico, basta calcularmos o determinante da matriz A

(matriz dos coeficientes) e verificar que ele diferente de zero.

2n

2nn

21

211

n0

200

x...xx1

...............

x...xx1

x...xx1

A

Observe que a matriz A , tem a forma da matriz de Vandermonte, tambm conhecida

como matriz das potncias. Seu determinante, segundo a lgebra Linear, dado pela expresso:

ji

ji )xx()Adet( , com ji xx

Sabemos que 0)Adet( , logo isto prova que )x(P nico.

Obteno da Frmula Para que voc entenda a interpolao de Lagrange necessrio que compreender como obtida a frmula de recorrncia deste mtodo.

O teorema fundamental da lgebra garante que podemos escrever o polinmio )x(P da

seguinte forma

)xx(...)xx()xx()xx()xx()x(P n3210

21

onde n3210 x,...,x,x,x,x so as razes do polinmio )x(P . Montaremos agora, uma seqncia

de polinmios auxiliares da seguinte forma

1 polinmio: se retirarmos )xx( 0 obteremos o polinmio

)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3210


)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3201


)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3102

Seguindo este raciocnio obteremos os polinmios )x(p,...),x(p),x(p),x(p n210 . Estes

polinmios podem ser escritos na forma sinttica:

n

ij0j

ji )xx()x(p , )n,...,3,2,1,0i(

Tais polinmios possuem as seguintes propriedades

(a) 0)x(p ii , para todo i.

(b) 0)x(p ji , para todo ij .

e so conhecidos como polinmios de Lagrange. O polinmio )x(P pode ser escrito como uma

combinao linear dos polinmios )x(p,...),x(p),x(p),x(p n210 , da seguinte forma:

)x(pb...)x(pb)x(pb)x(pb)x(P nn221100

ou

n

0iii )x(pb)x(P

Mas, como 0)x(p ji , para todo ij e 0)x(p ii , para todo i, temos que

)x(pb)x(P nnnnn

logo

)x(p

)x(Pb

nn

nnn

e como iin y)x(P , teremos

)x(p

yb

ii

ii

substituindo este valor no somatrio ser

n

0ii

ii

i )x(p)x(p

y)x(P

de onde teremos

n

0i ii

ii

)x(p

)x(py)x(P

como

n

ij0j

ji )xx()x(p ento

22

n

0i

n

ij0j ji

ji

)xx(

)xx(y)x(P

denominada de frmula de interpolao de Lagrange. Exemplo - A partir das informaes existentes na tabela, determine:

i ix iy

0 1 2 3

0.0 0.2 0.4 0.5

0.000 2.008 4.064 5.125

(a) O polinmio interpolador de Lagrange

(b) )3.0(P

Soluo (a) Como temos 4 pontos, o polinmio interpolador ser de grau 3, logo

3

0i

3

ij0j ji

ji3

)xx(

)xx(y)x(P , ou seja

)xx()xx()xx(

)xx()xx()xx(y

)xx()xx()xx(

)xx()xx()xx(y

)xx()xx()xx(

)xx()xx()xx(y

)xx()xx()xx(

)xx()xx()xx(y)x(P

231303

2103

321202

3102

312101

3201

302010

32103

substituindo os valores da tabela, teremos

)4.05.0()2.05.0()0.05.0(

)4.0x()2.0x()0.0x(125.5

)5.04.0()2.04.0()0.04.0(

)5.0x()2.0x()0.0x(064.4

)5.02.0()4.02.0()0.02.0(

)5.0x()4.0x()0.0x(008.2

)5.00.0()4.00.0()2.00.0(

)5.0x()4.0x()2.0x(000.0)x(P3

simplificando a expresso, temos o seguinte polinmio interpolador

x10x)x(P 33

(b) 027.33.0103.0)3.0(P 33

23

Exerccio (01) A partir das informaes existentes na tabela, determine:

I ix iy

0 1 2 3

0.0 0.2 0.4 0.6

0.0000 1.0400 2.1600 3.3600


(b) )3.0(P

(02) A partir das informaes existentes na tabela, determine:

I ix iy

0 1 2 3

0.1 0.3 0.5 0.7

0.1010 0.3270 0.6250 1.0430


(b) ).(P 40


I ix iy

0 1 2 3

0.0 0.2 0.4 0.6

0.0000 0.4080 0.8640 1.4160


(b) ).(P 50


I ix iy

0 1 2 3

0.1 0.3 0.5 0.7

0.0110 0.1170 0.3750 0.8330


(b) ).(P 60

3.7. INTERPOLAO DE NEWTON COM DIFERENAS DIVIDIDAS Conceito de Diferenas Divididas

Seja )x(fy uma funo que contm n pontos distintos )y,x( ii , onde n,...,2,1,0i .

Representaremos diferena divididas, por ][f . Definiremos diferena dividida de ordem zero a

prpria funo, isto ,

1110 y)x(f]x[f .

A diferena dividida de 1 ordem para os argumentos 0x e 1x uma aproximao da 1

derivada, isto ,

01

0110

1

xx

)x(f)x(f]x,x[f

,

24

onde temos a seguinte propriedade ]x,x[f]x,x[f 1001 . Considerando )x(fy ii , podemos

escrever as diferenas divididas de 1 ordem, de forma geral, por:

i1i

i1i1ii

1

xx

yy]x,x[f

.

A diferena dividida de 2 ordem para os argumentos 0x , 1x e 2x dada por:

02

101

211

2102

xx

]x,x[f]x,x[f]x,x,x[f

.

A diferena dividida de 3 ordem para os argumentos 0x , 1x , 2x e 3x dada por:

03

2102

3212

32103

xx

]x,x,x[f]x,x,x[f]x,x,x,x[f

.

Genericamente, a diferena dividida de ordem n dada por:

ini

1ni2i1ii1n

ni2i1i1n

ni2i1iin

xx

]x,...,x,x,x[f]x,...,x,x[f]x,...,x,x,x[f

.

Exemplo - Dada a funo tabelada calcule a diferena dividida de segunda ordem.

i ix iy

0 1 2

0.3 1.5 2.1

3.09 17.25 25.41

Soluo Devemos calcular as diferenas divididas de primeira ordem

80.113.05.1

09.325.17

xx

yy]x,x[f

01

0110

1

60.135.11.2

25.1741.25

xx

yy]x,x[f

12

1221

1

com todas as diferenas divididas de primeira ordem calculadas, vamos ento calcular a de segunda ordem

0.13.01.2

80.1160.13

xx


02

101

211

2102

Para facilitar os procedimentos numricos e organizar os nossos clculos colocaremos na prpria tabela o desenvolvimento do calculo da seguinte forma:

i ix iy ]x,x[f 1ii1

]x,x,x[f 2102

0 0.3 3.09 ]x,x[f 101 ]x,x,x[f 210

2

1 1.5 17.25 ]x,x[f 211

2 2.1 25.41

Fazendo a substituio numrica temos:

i ix iy ]x,x[f 1ii1

]x,x,x[f 2102

0 0.3 3.09 11.80 1.00

1 1.5 17.25 13.60

2 2.1 25.41

A frmula de recorrncia de interpola, de Newton com diferenas dividida, depende do nmero de pontos existente na tabela. 1 Caso: Existem s dois pontos na tabela

25

A frmula, de interpolao, obtida a partir da expresso de diferena divididas de primeira ordem,

10

10

01

0110

1

xx

)x(f)x(f

xx

)x(f)x(f]x,x[f

onde isolando )x(f , para obter a frmula de interpolao:

]x,x[f)xx()x(f)x(f 101

1010

assumiremos 0xx , onde x qualquer valor dentro do intervalo ]x,x[ 10 .

2 Caso: Existem s trs pontos na tabela

A frmula de interpolao, neste caso, obtida a partir da expresso de diferena divididas de segunda ordem,

20

211

101

02

101

211

2102

xx

]x,x[f]x,x[f

xx


onde isolando ]x,x[f 211 , obtemos:

]x,x,x[f)xx(]x,x[f]x,x[f 2102

20211

101

Substituindo na primeira frmula de interpolao, temos

]}x,x,x[f)xx(]x,x[f{)xx()x(f)x(f 2102

20211

1010

que pode ser escrita por

]x,x,x[f)xx)(xx(]x,x[f)xx()x(f)x(f 2102

2010211

1010

que a frmula de interpolao para este caso, onde assumiremos 0xx , onde x qualquer valor

dentro do intervalo ]x,x[ 20 .

3 Caso: Existem s quatro pontos na tabela

A frmula de interpolao, neste caso, obtida a partir da expresso de diferena divididas de terceira ordem,

30

3212

2102

03

2102

3212

32103

xx

]x,x,x[f]x,x,x[f

xx

]x,x,x[f]x,x,x[f]x,x,x,x[f

onde isolamos ]x,x,x[f 2102 , para obter:

]x,x,x,x[f)xx(]x,x,x[f]x,x,x[f 32103

303212

2102

Substituindo na segunda frmula de interpolao, temos

}]x,x,x,x[f)xx(]x,x,x[f{)xx)(xx(

]x,x[f)xx()x(f)x(f

32103

303212

2010

211

1010

que pode ser expresso por:

]x,x,x,x[f)xx)(xx)(xx(]x,x,x[f)xx)(xx(

]x,x[f)xx()x(f)x(f

32103

3020103212

2010

211

1010

que a frmula de interpolao para este caso, onde assumiremos 0xx , onde x qualquer valor

dentro do intervalo ]x,x[ 30 .

4 Caso: Generalizao para n pontos na tabela

Para uma tabela de n pontos, a frmula de interpolao pode ser expressa, segundo o mesmo raciocnio, por:

26

n

0i

1i

0jji0

i10 )xx(]x,...,x[f)x(f)x(f

onde assumiremos 0xx , onde x qualquer valor dentro do intervalo ]x,x[ n0 .

Exemplo - Determinar o valor aproximado de )4.0(f , usando todos os pontos tabelados

i ix iy

0 0.0 1.008

1 0.2 1.064

2 0.3 1.125

3 0.5 1.343 4 0.6 1.512

Soluo

I ix ][fyi ][f1 ][f 2 ][f3 ][f 4

0 0.0000 1.0080 0.2800 1.1000 1.0000 -0.0000 1 0.2000 1.0640 0.6100 1.6000 1.0000 0.0000 2 0.3000 1.1250 1.0900 2.0000 0.0000 0.0000 3 0.5000 1.3430 1.6900 0.0000 0.0000 0.0000 4 0.6000 1.5120 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Utilizamos os valores em azul no momento as substituio

][f)x4.0)(x4.0)(x4.0)(x4.0(][f)x4.0)(x4.0)(x4.0(

][f)x4.0)(x4.0(][f)x4.0(][f)4.0(f

43210

3210

210

10

2160.1)4.0(f

Exerccio

(01) Determinar o valor aproximado de ).(f 30 , usando todos os pontos tabelados

I ix iy

0 0.0 0.0000 1 0.2 0.0480

2 0.4 0.2240

3 0.6 0.5760

4 0.8 1.1520

(02) Determinar o valor aproximado de )4.0(f , usando todos os pontos tabelados

I ix iy

0 0.1 0.1010

1 0.3 0.3270

2 0.5 0.6250

3 0.7 1.0430 4 0.9 1.6290

27

(03) Determinar o valor aproximado de ).(f 30 , usando todos os pontos tabelados

i ix iy

0 0.0 0.1000

1 0.2 0.1080

2 0.4 0.1640

3 0.6 0.3160 4 0.8 0.6120

4. INTEGRAO NUMRICA

Se a funo )x(f contnua em um intervalo ]b,a[ e sua primitiva )x(F conhecida, ento

a rea calculada pela integral definida desta funo no intervalo definido e dada por:

)a(F)b(Fdx)x(fb

a ,

onde )x(f)x('F .

6.1. REGRA DOS TRAPZIOS Neste mtodo, substitumos a rachurada que se deseja calcular pela rea de um trapzio como ilustra a figura a seguir.

Figura (a) rea rachurada compreendida pela funo )x(f e o eixo do x no intervalo ]xx[ 10 .

(b) Trapzio utilizado para aproximar a rea rachurada do item (a). O trapzio utilizado para aproximar a rea rachurada determinado, utilizando os dois pontos do intervalo, onde passamos uma reta. Da geometria sabemos que a rea deste trapzio dada por:

)x(f)x(fhA 102

.

A diferena entre a integral exata de )x(f (rea sob a curva )x(f ) e a integral aproximada (rea

do trapzio) denominada de erro de integrao. Uma forma de se melhorar o resultado estimado, isto , diminuir a diferena entre o resultado

estimado e o exato na regra do trapzio subdividir o intervalo ]xx[ 10 em n intervalos de

amplitude h e em cada intervalo aplica-se a regra dos trapzios.

x0 x0 x1 x1

f(x) f(x) f(x0)

f(x1) f(x1)

f(x0)

x

y

x

y

h h

(a) (b)

a = x0 b= xn

f(x)

x

y

h

x1

h

x2

h

x3

h

x4

h

xn-1

28

Figura rea compreendida pela funo )x(f e o eixo do x no intervalo ]xx[ 10 aproximada

pela soma de n reas dos trapzios de mesma base compreendidos no intervalo ]xx[ 10 .

Desta forma, a rea aproximada calculada pela expresso:

)yy(h

...)yy(h

)yy(h

A nn 12110222

,

Que pode ser simplificado para

)yy...yyy(h

A nn 1310 2222

.

Onde iE o erro cometido na aplicao da regra dos trapzios no intervalo cujos extremos so ix

e 1ix , ou seja,

)(''fh

E i 12

3 ;

Com isto o erro total cometido a soma dos erros cometidos em cada intervalo, logo

1

1

3

12

n

ii )(''f

hE ,

e pela continuidade de )(''f , existe n em ba , tal que:

)(''fn

)ab(E i 2

3

12

, onde ba .

Exemplo Calcule a rea entre o grfico 24 ttv e o eixo do x , dentro do intervalo ][ 40 .

A preciso do valor aproximado depende do nmero n de trapzios, observe

Resoluo analtica:

40

32

4

0

2

324 )

tt(dt)tt(A

)*()*(A3

002

3

442

32

32 666710

3

32.A

Aproximao para n = 2

)yyy(h

A 321 22

8A

)(''fn

)ab(E

2

3

12

2.6667E


)yyyyy(h

A 54321 2222

10A

)(''fn

)ab(E

2

3

12

0.6667E

29

Figura 5 Mostrando a aproximao pela regra dos trapzios para diferentes valores de n. Com

t)t('v 24 , e como 2)t(''v , logo 20 )(''f em todas as expresses, onde 40 .

Exerccio

(01) Dada a funo 2x)x(f calcular o valor da integral 3

0dx)x(fI , usando a regra dos

trapzios e dividindo o intervalos 6 partes.

(02) Dada a funo xln)x(f calcular o valor da integral 4



(03) Dada a funo 3x)x(f calcular o valor da integral 3



(04) Dada a funo xe)x(f calcular o valor da integral 4



Utilizamos uma aproximao de primeira ordem do polinmio interpolador de Gregory-

Newton )x(Pn para representar a funo )x(f .

02

03

02

00

1

121

3

21

2

1

y*!)n(

)nz(*...*)z)(z(z

...y*!

)z)(z(zy*

!

)z(zyzy)x(Pn

Isto , utilizamos na regra do trapzio, utilizamos 002 yzy)x(P (n = 1), para aproximar

)x(f , com isto a integral passou a ser determinada por

b

a

b

a

dxyzydx)x(fI 00

Como h

xxz 0

dzhdx ,

e considerando 0xa e 1xb , temos que

para ax 000

h

xxz ,


)yyyyyyy(h

A 7654321 222222

370410.A

)(''fn

)ab(E

2

3

12

0.2963E


654810.A

)(''fn

)ab(E

2

3

12

0.0119E

30

para bx 101

h

xxz

substituindo os limes na integral temos

1

0

0

2

0

1

0

00002

y

zyzhdzhyzydxyzyI

b

a

0

2

00

2

02

00

2

11 yy*hyy*hI

00

2

1yyhI

)yy(yhI 00

2

1

2

0yyhI , foi esta a expresso utilizada no mtodo dos trapzios.

4.2. PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON A vantagem, de revermos o mtodo dos trapzios usando o polinmio interpolador de Gregory-

Newton ( )x(Pn ) e que na primeira regra de Simpson, utilizamos uma aproximao de 2 ordem

deste polinmio, isto , faremos: 02

002

1y*

!

)z(zyzy)x(f

, onde

h

xxz 0

.

Com isto o valor da integral ser:

b

a

b

a

dxy*!

)z(zyzydx)x(fI 0

200

2

1

Como h

xxz 0

dzhdx ,

Para se aproximar a funo )x(f por um polinmio do 2 grau, sero necessrios 3 pontos: 0x , 1x

e 2x (Figura).

Figura Grfico de )x(f juntamente com a aproximao de segunda ordem )x(P2 .

Considerando 0xa e 2xb , temos que :

ax 0

h

aaz ,

x0 x1

f(x)

f(x0) f(x2)

x

y

h h x2

f(x1)

P2(x)

31

bx 2

h

abz

Com isto, a integral ser resolvida da seguinte forma

2

0

02

002

1dzhy*

!

)z(zyzydx)x(fI

b

a

Cujo resultado :

0

200

3

122 yyyhI

Como babemos que

01202

010

2 yyyy

yyy, ento com a substituio teremos

210 43

yyyh

I que denominado de 1 regra de Simpson.

2

0yyhI , foi esta a expresso utilizada no mtodo dos trapzios.

Para diminuir o erro, isto , a diferena do valor estimado e do valor real, devemos subdividir o intervalo de integrao, da mesma forma que fizemos no mtodo dos trapzios, com isto, a

integral b

a

dx)x(fI , ser aplicada em cada dupla de intervalos da seguinte forma:

ervalointsubltimo

nnn

ervalointsubervalointsub

yyyh

...yyyh

yyyh

I 12

2

432

1

210 43

43

43

O erro total cometido ser a soma dos erros cometidos em cada aplicao da 1 regra de Simpson nas duplas de subintervalos e so determinados por:

)(fn

)ab(E )IV(

4

5

180

, onde ba .

Exemplo 1. Calcule o valor da integral

1

0 21 x

dx, com 410 .

Soluo

Figura Grfico da funo 21

1

x)x(f

, onde a rea rachurada

1

0 21 x

dx.

Devemos definir qual dever ser o nmero n de subintervalos devemos usar, para isto utilizaremos a nossa frmula do erro total

)(fn

)ab(E )IV(

4

5

180

, onde ba .

Como 21

1

x)x(f

, ento temos que

32

524

42

2

32 1

384

1

288

1

24

x

x

x

x

x

)x(f IV

, onde 10

Sabemos que o maior erro total ser obtido quando 0x , logo 24max

IV )x(f , e considerando

410 , ento temos:

4

4

5

1024180

01

*n

)( 44 10

180

24n 0426.n

Isto , devemos escolher um nmero de subintervalos maior que 7, e escolheremos para este caso

8n . O valor da aproximao foi obtido, para 8n , a partir da tabela a seguir.

i xi yi ci

0 0.0000 1.0000 1 0.1250 0.9846 2 0.2500 0.9412 3 0.3750 0.8767 4 0.5000 0.8000 5 0.6250 0.7191 6 0.7500 0.6400 7 0.8750 0.5664 8 1.0000 0.5000

1 4 2 4 2 4 2 4 1

Tabela - ci so os coeficientes que devem ser aplicados yi para determinar a aproximao do valor da integral. Para calcularmos o valor da integral pela seguinte expresso

8765432101

0 24242424

1

1yyyyyyyyy

hx

dx

Substituindo os valores da tabela teremos 785401

1

0 2.

x

dx

Exerccio

(01) Calcule o valor da integral

1

0 221 x

dx, com 410 , usando a primeira regra de Simpson.

(02) Calcule o valor da integral 2

11 dx)xln( , com 410 , usando a primeira regra de

Simpson.


1

0 321 x

dx, com 410 , usando a primeira regra de Simpson.


1

21 dx)xln( , com 410 , usando a primeira regra de

Simpson. 4.3. SEGUNDA REGRA DE SIMPSON

Na segunda regra de Simpson utilizamos uma aproximao de terceira ordem no polinmio

interpolador de Gregory-Newton ( )x(Pn ) o que resulta na expresso :

33

03

02

003

21

2

1y*

!

)z)(z(zy*

!

)z(zyzy)x(Pn

, onde

h

xxz 0

.

Com isto o valor da integral ser:

b

a

b

a

dxy*!

)z)(z(zy*

!

)z(zyzydx)x(fI 0

30

200

3

21

2

1

como h

xxz 0

dzhdx ,

Desta forma a soluo da integral :

3210 338

3yyyy

hI

O erro total neste mtodo dado pela expresso

)(fx

E IV 80

3 5 , ba .

Para diminuir o erro quando o intervalo no for muito pequeno, devemos subdividir o intervalo de integrao da seguinte forma:

ervalointsubltimo

nnnn

ervalointsubervalointsub

yyyyh

...yyyyh

yyyyh

I 123

2

6543

1

3210 338

333

8

333

8

3

Exemplo 1 Calcule o valor da integral 4

1

3 dx)exln(I x

Soluo Calcular esta integral significa determinar a rea compreendida entre o grfico e o eixo x,

como mostra a Figura 8. O valor da integral obtido pela seguinte expresso:

98765432104

1

3 332332338

3yyyyyyyyyy

hdx)exln( x

Os valores de ny,...,y,y,y 210 so obtidos na tabela a seguir,

O valor da aproximao foi obtido, para 9n , a partir da tabela a seguir.

I xi yi ci

0 1.0000 1.3133 1 1.3333 1.8187 2 1.6667 2.2950 3 2.0000 2.7337 4 2.3333 3.1362 5 2.6667 3.5072 6 3.0000 3.8520 7 3.3333 4.1754 8 3.6667 4.4821 9 4.0000 4.7757

1 3 3 2 3 3 2 3 3 1

Tabela - ci so os coeficientes que devem ser aplicados yi para determinar a aproximao do valor da integral.

Substituindo os valores da tabela teremos 9.6880dx)exln( x 4

1

3

34

Exerccio


1

0 221 x

dx, com 410 , usando a segunda regra de Simpson.


11 dx)xln( , com 410 , usando a segunda regra de

Simpson.


1

0 321 x

dx, com 410 , usando a segunda regra de Simpson.


1

21 dx)xln( , com 410 , usando a segunda regra de

Simpson. QUESTES COMPLEMENTARES 1) Na tabela abaixo, d a distancia, em metros, que uma bala percorre ao longo de um cano de canho em t segundos. Encontrar a distancia percorrida pela bala 5 segundos aps ter sido disparada.

Tempo de disparo(s) 0 2 4 6 8

Distancia percorrida ao longo do cano. 0,000 0,049 0,070 0,087 0,103

2)Durante trs dias consecutivos foram tomadas as temperaturas ( em C) numa regio de uma cidade, por quatro vezes no perodo das 6 s 12 horas. Determinar, usando todos os dados da tabela abaixo, a mdia das temperaturas dos trs dias s 9 horas.

Hora 1 dia 2 dia 3 dia

6 18 17 18

8 20 20 21

10 24 25 22

12 28 27 23

3) Determinar, usando todos os valores das tabelas abaixo o valor de F(G(0,25)) .

4) ( altitude de 2890m), sabendo que O ponto de ebulio da gua varia com a altitude, conforme mostra a tabela abaixo.

a) Determinar, usando os cinco primeiros pontos da tabela, o ponto de ebulio da gua em um local que possui altitude de 1000m.

b) Determinar, usando os cinco pontos mais prximos de 2890, o ponto de ebulio da gua em um local que possui altitude de 2890m.

Altitude(m) Ponto de ebulio da gua ( C)

850 97,18

950 96,84

1050 96,51

1150 96,18

1250 95,84

- -

X G(x)

0 1,001

0,2 1,083

0,4 1,645

0,6 3,167

0,8 6,1293

X F(x)

1 0

1,1 0,21

1,3 0,69

1,6 1,56

2 3

35

- -

- -

2600 91,34

2700 91,01

2800 90,67

2900 90,34

3000 90

5) A velocidade do som na gua varia com a temperatura, usando os valores da tabela abaixo, determinar o valor aproximado da velocidade do som na gua a 100C.

Temperatura ( C ) Velocidade (m/s)

86 1552

93,3 1548

98,9 1544

104,4 1538

110 1532

6) Um automvel percorreu 160 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste trajeto, 2horas e 20 minutos. A tabela abaixo d o tempo gasto e a distancia percorrida em alguns pontos entre as duas cidades. Determinar: a) Qual foi aproximadamente a distancia percorrida pelo automvel nos primeiros 45 minutos de viagem, considerando apenas os quatro primeiros pontos da tabela?

b) Quantos minutos o automvel gastou para chegar metade do caminho? TEMPO (em minuto) DISTANCIA ( em metro)

0 0,00

10 8,00

30 27,00

60 58

90 100

120 145

140 160

7) A tabela abaixo relaciona a quantidade ideal de calorias, em funo da idade e do peso, para homens e mulheres que possuem atividade fsica moderada e vivem a uma temperatura ambiente mdia de 20C.

Peso ( kg) Cota de calorias ( em kcal)

Idade (em anos) homens. Idade (em anos) mulheres.

25 45 65 25 45 65

40 - - - 1750 1650 1400

50 2500 2350 1950 2050 1950 1600

60 2850 2700 2250 2350 2200 1850

70 3200 3000 2550 2600 2450 2050

80 3550 3350 2800 - - -

Determine a cota aproximada de calorias para um homem de:

a) 30 anos que pesa 70 quilogramas; b) 45 anos que pesa 62 quilogramas; c) 50 anos que pesa 78 quilogramas.

Determine a cota aproximada de calorias para uma mulher de: a) 25 anos que pesa 46 quilogramas; b) 30 anos que pesa 50 quilogramas; c) 52 anos que pesa 62 quilogramas.

36

8) O grfico da figura foi registrado por um instrumento usado para medir uma qualidade fsica. Estime as coordenadas-y dos pontos dos grficos e exprime a rea da regio sombreada usando ( com n = 6 ). (a) a regra do trapzio e (b) a regra de Simpson. 9) Um lago artificial tem a forma da figura, com mensuraes eqidistantes de 5 m. Usa a regra do trapzio para estimar a rea da superfcie do lago.

10) Um aspecto importante na administrao de gua a obteno de dados confiveis de sobre o fluxo de corrente, que o nmero de metros cbicos que passam por uma seo transversa da corrente ou rio. O primeiro passo neste calculo a determinao da velocidade mdia a uma distncia x metros da margem do rio. Se k uma profundidade da corrente em um ponto a x metros da margem e v(y) a velocidade (em m/s) a uma profundidade y metros (ver figura), ento

k

x dyyvk

v0

)(1

com o mtodo dos seis pontos, fazem-se as leituras da velocidade na superfcie, nas profundidades

0,2k, 0,4K, 0,6k e 0,8k e prximo do leito do rio.Usa-se ento a regra do trapzio para estimar xv

com os dados da tabela

Y (m) 0 0,2k 0,4k 0,6k 0,8k k

V(y) (m/s) 0,28 0,23 0,19 0,17 0,13 0,02

BIBLIOGRAFIA DEMIDOVICH. B. P. e MARON, L. A. Clculo Numrico Fundamental Madri: Paraninfo .

1977. DORN. W. S. e CRAKEN. D. D. Mc, Clculo Numrico com Estudos de Casos em Fortran ZV

/ So Paulo : Ed. da Universidade de So Paulo 1978. RUGGIEIRO. M. A. G., e LOPES V. L. de R. Clculo Numrico Aspectos Tericos e

Computacionais So Paulo : Ed. McGraw - Hill. 1988. MORAES. D. C., MARTINS J. M. Calculo Numrico Computacional: Teoria e Prtica; Algaritmo

em Pseudo Linguagem, Indicao de Software Matemtico So Paulo: Atlas 1989.

6 m 6 m 8 m 10 m 9 m

9 m

7 m 7 m

5 m

k

x m L m

0,2k

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