UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PAR
CENTRO DE CINCIAS SOCIAIS E EDUCAO DEPARTAMENTO DE MATEMTICA, ESTATSTICA E INFORMTICA.
.
CLCULO NUMRICO
PROF. RUBENS VILHENA
2013
2
SUMRIO
APRESENTAO
UNIDADE 1
APRESENTAO
1. SISTEMA NUMRICO E ERROS
1.1. INTRODUO
1.2. ERROS NA FASE DE MODELAGEM
1.3. ERROS NA FASE DE RESOLUO
1.4. MUDANA DE BASE
1.5. ATIVIDADES
2. RESOLUO NUMRICA DE EQUAES NO LINEARES
2.1. RAIZ DE UMA EQUAO
2.2. ISOLAMENTO DE RAZES
2.3. TEOREMA DE BOLZANO
2.4. EQUAES TRANSCENDENTES
2.5. MTODO GRFICO
2.6. ATIVIDADES COMPLEMENTARES
2.7 ATIVIDADES DE AVALIAO
2.8. MTODO DA BISSEO
2.9. ATIVIDADES COMPLEMENTARES
2.10. ATIVIDADES DE AVALIAO
2.11. MTODO DAS CORDAS
2.12. ATIVIDADES COMPLEMENTARES
2.13. ATIVIDADES DE AVALIAO
2.14. MTODO DE NEWTON
2.15. ATIVIDADES COMPLEMENTARES
2.16. ATIVIDADES DE AVALIAO
2.17. COMPARAO DOS MTODOS: BISSEO, CORDAS E NEWTON
3. INTERPOLAO LINEAR
3.1. INTRODUO
3.2. CONCEITO DE INTERPOLAO
3.3. INTERPOLAO LINEAR
3
3.4. INTERPOLAO QUADRTICA
3.5. ERRO DE TRUNCAMENTO
3.6. TEOREMA DE ROLLE
3.7. INTERPOLAO DE LAGRANGE
3.8. INTERPOLAO DE NEWTON COM DIFERENAS DIVIDIDAS
4. INTEGRAO NUMRICA
4.1. INTRODUO
4.2. REGRA DOS TRAPZIOS
4.3. PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON
4.4. SEGUNDA REGRA DE SIMPSON
4
1. SISTEMA NUMRICO E ERROS
1.1. INTRODUO
A soluo de muitos problemas passa pela modelagem matemtica, para isto devem ser representado por uma frmula ou procedimento matemtico, que expressam as caractersticas principais deste problema. A seqncia lgica da soluo de um problema, segue o diagrama a baixo.
importante ressaltar, que em certas situaes a soluo estimada, pelos mtodos numricos, se afasta da verdadeira soluo do problema. Isto ocorre devido a presena de fontes de erro que podem ocorrer na fase de modelagem do problema ou na fase resoluo do problema. 1.2. ERROS NA FASE DE MODELAGEM
Os erros na fase de modelagem ocorrem quando desconsideramos ou desprezamos alguma varivel presente no problema. 1.3. ERROS NA FASE DE RESOLUO Nesta fase, o erro gerado no momento que se fazer os clculos na calculadora ou computador devido aos processos de arredondamentos. 1.4. MUDANA DE BASE Todo nmero na base dez pode ser decomposta da seguinte forma
nn
22
11
00
11
22
mm
m
ni
ii 10.a...10.a10.a10.a10.a10.a...10.a10.a
ia 0 ou 1
m,n nmeros inteiros, com 0n e 0m
Exemplo: 3210123 10*610*010*410*210*510*010*8406,8052
De forma semelhante. um nmero na base 2 pode ser escrito por:
nn
22
11
00
11
22
mm
m
ni
ii 2.a...2.a2.a2.a2.a2.a...2.a2.a
Exemplo: 3210123 2.12.02.12.12.12.02.1101,1011
Para transformar um nmero inteiro da base 10 para a base 2, utiliza-se o mtodo de divises sucessivas, que consiste em dividir o nmero por 2, a seguir dividi-se por 2 o quociente encontrado e assim o processo repetido at que o ltimo quociente seja igual a 1 . O nmero binrio ser, ento,
Problema
Modelo
Matemtico
Soluo
Modelagem
Resoluo
5
formado pela concatenao do ltimo quociente com os restos das divises lidos em sentido inverso ao que foram obtidos, ou seja,
N 2
r1 q1 2
r2 Q2 2
R3 q3
qn-1 2
rn-1 1
1231n10 r.r.r.....r.1N
Para transformar nmeros fracionrios da base 10 para a base 2, utiliza-se o mtodo das multiplicaes sucessivas, que consiste em:
1 Passo multiplicar o numero fracionrios por 2;
2 Passo deste resultado, a parte inteira ser o primeiro dgito do nmero na base 2 e a parte fracionria novamente multiplicada por 2. O processo repetido at que a parte fracionria do ltimo produto seja igual a zero.
Exemplo: transforme 101875,0 para a base 2
logo 210 0011,01875,0
Exemplo: transforme 1025,13 para a base 2
13 2
1 6 2
0 3 2
1 1
1310 = 11012
0,2510 = 0,012
logo 210 01,110125,13
De maneira geral, o nmero x em uma base representado por:
0,1875
2
0,3750
0,375
2
0,750
0,75
2
1,50
0,50
2
1,00
0,25
2
0,50
0,50
2
1,00
6
exp
tt
33
221 .
d...
dddx
id so os nmeros inteiros contidos no intervalo id0 , t,...,2,1i
exp representa o expoente de e assume valores entre SexpI ,
S,I os limites inferior e superior, respectivamente, para a variao do expoente
tt
33
221 d...
ddd chamado de mantissa e a parte do nmero que representa seus
dgitos significativos e t o nmero de dgitos significativos do sistema de representao, comumente chamado de preciso da mquina.
Exemplo:
Sistema decimal
0
321010.
10
7
10
5
10
3357,0
2
54321010.
10
7
10
5
10
3
10
9
10
2357,29
Obs: a mantissa um nmero entre 0 e 1.
Sistema binrio
5
543222.
2
1
2
0
2
0
2
1
2
111001
5
76543222.
2
1
2
0
2
1
2
0
2
0
2
1
2
101,11001
Saiba que cada dgito do computador chamado de bit. Apresentaremos abaixo uma maquina fictcia de 10 bits para a mantissa, 4 bits para o expoente e 1 bit para o sinal da mantissa e outro bit para o sinal do expoente.
Para voc entender melhor faremos um exemplo numrico.
Exemplo: Numa maquina de calcular cujo sistema de representao utilizado tenha 2 , 10t ,
15I e 15S , o nmero 25 na base decimal representado por
1015210 2.11001,02.11001,01100125
1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
Observe que utilizamos bit = 0 para positivo e bit = 1 para negativo.
Mantissa Expoente
Sin
al d
a
Man
tiss
a
Sin
al d
o
Expoen
te
7
Um parmetro muito utilizado para avaliar a preciso de um determinado sistema de representao o nmero de casas decimais exatas da mantissa e que este valor dado pelo valor
decimal do ltimo bit da mantissa, ou seja, o bit de maior significado, logo: t
PRECISO
1
EXERCCIO (01) Os nmeros a seguir esto na base 2, escreva-os na base 10.
(a) 211011 (b) 2111100 (c) 2100111
(d) 201111, (e) 21110, (f) 2001110,
(02) Os nmeros a seguir esto na base 10, escreva-os na base 2.
(a) 1015 (b) 1012 (c) 1036
(d) 106215, (e) 102510, (f) 1012530,
(03) Considere uma mquina de calcular cujo sistema de representao utilizado tenha 2 ,
10t , 15I e 15S .Represente nesta mquina os nmeros :
(a) 1035 (b) 1028,
(c) 1024 (d) 1064,
2. RESOLUO NUMRICA DE EQUAES NO LINEARES 2.1. RAIZ DE UMA EQUAO
Os mtodos numricos so usados na busca das razes das equaes, ou os zeros reais de f(x). Em geral, os mtodos, utilizados apresentam duas fases distintas: Fase I Localizao ou Isolamento das Razes Est fase consiste em obter um intervalo que contm a raiz da funo f(x) = 0, e em seguida iremos para a segunda fase. Fase II Refinamento Nesta fase definimos a preciso que desejamos da nossa resposta e escolhemos as aproximaes iniciais dentro do intervalo encontrado na Fase I. Em seguida melhoramos, sucessivamente, a aproximao da raiz da funo f(x) = 0, at se obter uma aproximao para a raiz dentro de uma preciso pr-fixada. 2.2. ISOLAMENTO DE RAZES
Os mtodos numricos utilizados para calcular razes da equao f(x) = 0, s calculam uma raiz de cada vez. Esta a razo porque devemos determinar um intervalo para cada raiz que desejamos calcular. Teorema
Se uma funo contnua )x(f assume valores de sinais oposto nos pontos extremos do intervalo [ a
, b ] , isto , 0)b(f.)a(f , ento o intervalo conter, no mnimo, uma raiz da equao 0)x(f , em
outras palavras haver no mnimo um nmero , pertencente ao intervalo aberto )b,a( ,
)b,a( , tal que, 0)(f
Exemplo:
Neste exemplo apresentamos uma funo )x(f que possui dentro do intervalo ]b,a[ trs razes:
1 , 2 e 3 . Isto , so trs valores de x , para os quais a funo )x(f tem imagem igual a zero, isto
: 01 )(f , 02 )(f e 03 )(f .
y
x 1 a
b
2
3 0
f(x) Se a funo possui imagem
zero nos pontos 1 , 2 e 3 ,
o grfico da funo )x(f ,
nestes pontos, intercepta o eixo dos x.
8
Observe no exemplo que 0)a(f e 0)b(f , logo o produto 0)b(f.)a(f
Observe que toda vez que dentro de um intervalo ]b,a[ , tivermos 0)b(f.)a(f , significa
que neste intervalo temos pelo menos uma raiz da funo )x(f , como vemos na figura a seguir.
0)a(f 0)a(f
0)b(f 0)b(f
logo 0)b(f.)a(f logo 0)b(f.)a(f
Quando uma funo no possui razes dentro do intervalos ]b,a[ , temos 0)b(f.)a(f
0)a(f 0)a(f
0)b(f 0)b(f
logo 0)b(f.)a(f logo 0)b(f.)a(f
2.3. TEOREMA DE BOLZANO
Seja 0)x(P uma equao algbrica com coeficientes reais e )b,a(x .
Se 0)b(P.)a(P , ento existem um nmero mpar de razes reais no intervalo )b,a( .
y
x
a
b 0
f(x) f(b)
f(a)
y
x 1 a
b 0
f(x)
y
x 1
a b 2 0
f(x) f(b)
f(a)
y
x 1 a b 2 0
f(x) f(b)
f(a)
a
y
x
b
0
f(x) f(b)
f(a)
y
x
a b
0
f(x) f(b)
f(a)
Quando uma funo possui um nmero par de razes dentro do intervalos ]b,a[ , temos 0)b(f.)a(f
9
Se 0)b(P.)a(P , ento existem um nmero par de razes reais no intervalo )b,a( ou
no existem razes reais no intervalo )b,a( .
2.4. EQUAES TRANSCENDENTES Saiba que a determinao do nmero de razes de funes transcendentes quase impossvel, pois algumas equaes podem ter um nmero infinito de razes. Funo Seno Funo Cosseno
Funo Tangente Funo Exponencial
2.5. MTODO GRFICO
Lembre que uma raiz de uma equao 0)x(f um ponto onde a funo )x(f toca o eixo
dos x . Outra forma de identificarmos as razes da equao substituir )x(h)x(g)x(f , onde
0 )x(h)x(g . As razes de 0)x(f corresponderam a interseo das funes )x(g e )x(h .
Observe o exemplo a seguir, onde utilizamos a funo 1072 xx)x(f que possui razes
2 e 5. Se fizermos )x(h)x(g)x(f , onde 2x)x(g e 107 x)x(h temos a interseo de
)x(g com )x(h acontece em 2 e 5.
10
Exerccio
(01) Dada a funo xsenx.)x(f 220 , separe esta em duas funes e aproxime pelo menos
uma de suas razes pelo mtodo grfico.
(02) Dada a funo xx)x(f 42 , separe esta em duas funes e aproxime pelo menos uma de
suas razes pelo mtodo grfico.
(03) Dada a funo xcosx)x(f 2 , separe esta em duas funes e aproxime pelo menos uma de
suas razes pelo mtodo grfico.
(04) Dada a funo xsenx)x(f 3 , separe esta em duas funes e aproxime pelo menos uma de
suas razes pelo mtodo grfico. 2.6. MTODO DA BISSEO
Para utilizarmos este mtodo devemos primeiro isolar a raiz dentro de um intervalo ]b,a[ ,
isto , devemos utilizar o mtodo grfico para aproximar visualmente a raiz para em seguida isol-la
pelo intervalo )b,a( , onde esta raiz pertena a este intervalo. Para utilizarmos o mtodo das
bisseo necessrios que a funo )x(f seja uma continua no intervalo ]b,a[ e que
0)b(f.)a(f .
Para aplicamos o mtodo da bisseo devemos dividir o intervalo ]b,a[ ao meio, obtendo
assim ox , com isto temos agora dois intervalos ]x,a[ o e ]b,x[ o
1072 xx)x(f
2x)x(g
107 x)x(h
y
x a
b ox
11
Se 0)x(f o , ento, ox ; Caso contrrio, a raiz estar no subintervalo onde a funo tem sinais
oposto nos pontos extremos, ou seja se
0)x(f.)a(f o implica que a raiz esta no intervalo ]x,a[ o .
0)b(f.)x(f o implica que a raiz esta no intervalo ]b,x[ o .
A partir da construiremos um novo intervalo ]b,a[ 11
O novo intervalo ]b,a[ 11 que contm dividido ao meio e obtm-se 1x onde se
011 )x(f.)a(f implica que a raiz esta no intervalo ]x,a[ 11 .
011 )b(f.)x(f implica que a raiz esta no intervalo ]b,x[ 11 .
O processo se repete at que se obtenha uma aproximao para a raiz exata , com a tolerncia desejada. Tolerncia () um valor que o calculista define. A partir da tolerncia, definimos o critrio de parada, onde se para de refinar a soluo e se aceita o valor aproximado calculado. A tolerncia , muitas vezes avaliada por um dos trs critrios abaixo:
E|)x(f| n
E|xx| nn 1
E|x|
|xx|
n
nn 1
Exemplo:
(01) Calcular a raiz da equao 32 x)x(f com 010,E .
Soluo Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto devemos fazer uma no seu grfico.
y
x 1a
1b
1x
Raiz procurada Intervalo de busca
12
A raiz procurada est prxima de 2 e esta dentro do intervalo ][ 31 . Logo
N an bn xn f (xn) E
0 1 2 3 4 5 6 7
1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 1.0000 2.0000 1.5000 -0.7500 0.5000 1.5000 2.0000 1.7500 0.0625 0.2500 1.5000 1.7500 1.6250 -0.3594 0.1250 1.6250 1.7500 1.6875 -0.1523 0.0625 1.6875 1.7500 1.7188 -0.0459 0.0313 1.7188 1.7500 1.7344 0.0081 0.0156 1.7188 1.7344 1.7266 -0.0190 0.0078
Construo da tabela
1 linha: Na iterao inicial ( N = 0 ) temos ][]ba[ oo 31 sendo o ponto mdio 2ox .
2 linha: ( N = 1 ) Como 0)x(f.)a(f oo , substitumos oxb 1 , logo ][]ba[ 2111 sendo
o ponto mdio 511 ,x .
3 linha: ( N = 2 ) Como 011 )b(f.)x(f , substitumos 12 xa , logo ],[]ba[ 25122 sendo
o ponto mdio 7512 ,x .
.........................................................................................................
8 linha: ( N = 7 ) Como 066 )x(f.)a(f , substitumos 67 xa , logo
][]ba[ 1.7344 1.718877 sendo o ponto mdio 1.72667 x ( E0.0078 ).
Como o erro menor que tolerncia ento a aproximao final 1,7266x .
Exerccio
(01) Calcular a raiz da equao xlnx)x(f 2
com 010,E .
(02) Calcular a raiz da equao 423 xx)x(f com 010,E .
(03) Calcular a raiz da equao 1022 x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.
(Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 31 )
(04) Calcular a raiz da equao 523 x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.
(Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 30 )
(05) Calcular a raiz da equao 32 x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.
(Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 31 )
(06) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 162
com 010,E utilizando o mtodo da
bisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 53 )
(07) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 52 com 010,E utilizando o mtodo da
bisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 31 ) 2.7. MTODO DAS CORDAS
Para utilizarmos este mtodo devemos primeiro isolar a raiz dentro de um intervalo ]b,a[ ,
isto , devemos, novamente, utilizar o mtodo grfico para aproximar visualmente a raiz para em
seguida isol-la pelo intervalo ]b,a[ , onde esta raiz pertena a este intervalo )b,a( . No mtodo
das cordas, ao invs de se dividir o intervalo ]ba[ ao meio, ele dividido em partes proporcionais
razo )b(f/)a(f . A frmula de recorrncia para a aproximao da raiz ensima
13
2h
y
x b
1xa
Corda
f(a)
f(b)
2x
cx)c(f)x(f
)x(fxx n
n
nnn
1 , onde ...,,,n 210 ,
onde o ponto fixado c (ou a ou b ) aquele no qual o sinal da funo )x(f coincide com o
sinal da segunda derivada )x(''f , ou seja 0)c(f.)c(''f .
E|x|
|xx|
n
nn 1
Ao se aplicar este procedimento ao novo intervalo que contm , como mostra a figura a
seguir, ]bx[ou]xa[ 11 , obtm-se uma nova aproximao 2x da raiz pela aproximao apresentada acima
y
x b
oxa 1x
1h
f(a)
f(b)
A existncia da corda da origem a dois tringulos semelhantes, que permitem estabelecer a seguinte relao:
)a(f)b(f
ab
)a(f
h
1
esta relao nos conduz a uma valor aproximado da raiz
11 hax
)ab()a(f)b(f
)a(fax
1
y
x b
oxa 1x
1h
Corda
f(a)
f(b)
14
Nas figuras a seguir, como no mtodo das cordas escolhido o extremos do intervalo ]b,a[ que
deve ser igual ao valor ox .
Exemplo:
(01) Calcular a raiz da equao 32 x)x(f com 010,E .
Soluo Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto devemos fazer uma no seu grfico.
y
x
b
oxa
1x
1h
f(b)
f(a)
y
x
f(a)
f(b)
oxb
a
1x
1h
0)x(''f
00 )b(fe)a(f
bc
0)x(''f
00 )b(fe)a(f
ac
y
x b
oxa
1x
1h
f(a)
f(b)
0)x(''f
00 )b(fe)a(f
bc
0)x(''f
00 )b(fe)a(f
ac
y
x
1x
1h
f(b)
f(a)
oxb
a
Raiz procurada Intervalo de busca
15
A raiz procurada est prxima de 2 e esta dentro do intervalo ][ 31 . Logo
N an bn xn f (xn) E
0 1 2 3 4
1.0000 3.0000 3.0000 6.0000 1.5000 1.0000 1.5000 1.5000 -0.7500 0.3000 1.0000 1.8000 1.8000 0.2400 0.0857 1.0000 1.7143 1.7143 -0.0612 0.0226 1.0000 1.7368 1.7368 0.0166 0.0061
Construo da tabela
Como 2)x(''f 023 )(''f e 06333 2 )(f
logo 033 )(f.)(''f de onde temos que 1 ac
usando a frmula de recorrncia cx)c(f)x(f
)x(fxx n
n
nnn
1 temos que
30 bx
1.500011
00
001
x
)(f)x(f
)x(fxx ][]ba[ 1.50 1.0
1.800011
11
112
x
)(f)x(f
)x(fxx ][]ba[ 1.80 1.0
1.714311
22
223
x
)(f)x(f
)x(fxx ][]ba[ 1.7143 1.0
1.736811
33
334
x
)(f)x(f
)x(fxx ][]ba[ 1.7368 1.0
Como o erro menor que tolerncia ( E0.0061 ) ento a aproximao final 1,7368x .
Exerccio
(01) Calcular a raiz da equao xlnx)x(f 2 com 010,E .
(02) Calcular a raiz da equao 423 xx)x(f com 010,E .
(03) Calcular a raiz da equao 102 2 x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.
(Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 31 )
(04) Calcular a raiz da equao 52 3 x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.
(Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 21 )
(05) Calcular a raiz da equao 32 x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.
(Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 31 )
(06) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 162 com 010,E utilizando o mtodo da
bisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 53 )
(07) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 52 , com 010,E utilizando o mtodo da
bisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca ].,.[ 5251 )
16
2.8. MTODO DE NEWTON Semelhantes aos mtodos da bisseo e da corda, devemos primeiro isolar a raiz que
desejamos procurar dentro de um intervalo ]b,a[ utilizando para isto o mtodo grfico. Para
utilizarmos o mtodo de Newton necessrios que a funo )x(f seja uma continua no intervalo
]b,a[ e que o seu nico zero neste intervalo; as derivada )x('f ])x('f[ 0 e )x(''f devem
tambm ser contnuas.
Para se encontrar a expresso para o clculo da aproximao nx para a raiz devemos fazer
uma expanso em srie de Taylor para 0)x(f , de onde temos )xx)(x('f)x(f)x(f nnn se
fizermos 01 )x(f)x(f n , obteremos a seguinte expresso 01 )xx)(x('f)x(f nnnn ,
isolando o termo 1nx na temos
)x('f
)x(fxx
n
nnn 1 .
onde 1nx uma aproximao de .
Exemplo:
(01) Calcular a raiz da equao 32 x)x(f com 010,E .
Soluo
y
x 1x 0xb
f(a)
f(b)
2x
a
0)x(''f
0)x('f
0xb
y
x 1x
f(b)
f(a)
b
0xa
2x
0)x(''f
0)x('f
0xa
y
x 0xb
b a
1x
f(b)
f(a)
2x
0)x(''f
0)x('f
0xb
y
x
f(a)
f(b)
b oxa 1x
2x
0)x(''f
0)x('f
0xa
17
Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto devemos fazer uma no seu grfico.
A raiz procurada est prxima de 2 e esta dentro do intervalo ][ 31 . Logo
N an bn xn f (xn) E
0 1 2 3
1.0000 3.0000 3.0000 6.0000 1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 0.2500 1.0000 1.7500 1.7500 0.0625 0.0179 1.0000 1.7321 1.7321 0.0003 0.0001
Observe a construo da tabela:
Como x)x('f 2 063 )('f e como 02 )x(''f logo temos
30 bx
usando a expresso )x('f
)x(fxx
n
nnn 1 , temos a seguinte recorrncia
.000020
001
)x('f
)x(fxx ][]ba[ 2.0 1.0
.750011
112
)x('f
)x(fxx ][]ba[ 1.75 1.0
1.73212
223
)x('f
)x(fxx ][]ba[ 1.7321 1.0
Como o erro menor que tolerncia ( E0.0001 ) ento a aproximao final 1,7321x .
Exerccio
(01) Calcular a raiz da equao xlnx)x(f 2 com 010,E .
(02) Calcular a raiz da equao 423 xx)x(f com 010,E .
(03) Calcular a raiz da equao 102 2 x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.
(Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 31 )
(04) Calcular a raiz da equao 52 3 x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.
(Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 21 )
(05) Calcular a raiz da equao 32 x)x(f com 010,E utilizando o mtodo da bisseo.
(Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 31 )
(06) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 162 com 010,E utilizando o mtodo da
bisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca ],[ 53 )
Raiz procurada Intervalo de busca
18
(07) Calcular a raiz da equao xsenx)x(f 52 , com 010,E utilizando o mtodo da
bisseo. (Sugesto utilizar intervalo de busca ].,.[ 5251 )
3. INTERPOLAO LINEAR 3.1. CONCEITO DE INTERPOLAO
Seja a funo )x(fy , cujos valores esto em uma tabela. Se desejarmos determinar )x(f
sendo:
(a) )x,x(x n0 e ixx onde n,...,,,i 210
(b) )x,x(x n0
O item (a) representa um problema de interpolao, isto , x est dentro do intervalo amostrado, logo devemos calcular um polinmio interpolador, que uma aproximao da funo tabelada.
O item (b) representa um problema de extrapolao, isto , x est fora do intervalo amostrado. Nos trataremos apenas de problemas de interpolao neste captulo. 4.2. INTERPOLAO LINEAR Exemplo - Na tabela est a produo seguir est assinalado o nmero de habitantes de uma cidade A em quatro censos.
Tabela 1
ANO 1950 1960
N de Habitantes 352.724 683.908
Determinar o nmero aproximado de habitantes na cidade A em 1955. Soluo Neste caso, o polinmio interpolador ter grau 1, isto , ser da forma
011 axa)x(P
Para se determinar os coeficientes, 0a e 1a devemos fazer
101111
000101
yaxa)x(P
yaxa)x(P
1011
0001
yaxa
yaxa
Para 19500 x e 352.724y 0 temos que
724.352a1950a 01
Para 1960x1 e 683.908y1 temos que
683.908a1960a 01
Com isto temos o seguinte sistemas
683.908a1960a
724.352a1950a
01
01
onde 33118,40a1 e 64228156a0 logo teremos
64228156x33118,40)x(P1
como queremos saber o nmero aproximado de habitantes na cidade A em 1955x , temos
518.31664228156195533118,40)x(P1 habitantes
3.3. INTERPOLAO QUADRATICA Exemplo - Na tabela a seguir est assinalado o nmero de habitantes de uma cidade A em quatro censos.
Tabela 1
ANO 1950 1960 1970
N de Habitantes 877500 901600 925900
Determinar o nmero aproximado de habitantes na cidade A em 1965.
19
Soluo Neste caso, o polinmio interpolador ser de 2 grau, isto , ser da forma
012
22 axaxa)x(P
Para se determinar os coeficientes, 0a , 1a e 2a devemos fazer
202122222
101121212
000120202
yaxaxa)x(P
yaxaxa)x(P
yaxaxa)x(P
2021222
1011212
0001202
yaxaxa
yaxaxa
yaxaxa
Para o problema em questo temos:
925900aa1950a1970
901600aa1950a1960
877500aa1950a1950
0122
0122
0122
cuja soluo, atravs de escalonamento ensinado no captulo anterior
25.2a
1500a
1a
0
1
2
logo teremos
25.2x1500x)x(P 22
como queremos saber o nmero aproximado de habitantes na cidade A em 1965x , temos
91372525.2196515001965)1965(P 22 habitantes
3.4. ERRO DE TRUNCAMENTO
Para que voc entenda o erro de truncamento, observe o grfico mostrado a figura a seguir.
Figura. )x(f a funo tabelada e )x(P1 um polinmio interpolador de 1 grau. Podemos observar
que, neste caso, )x(P1 no aproxima bem a soluo.
O erro de truncamento cometido no ponto x dado pela frmula
A)xx()xx()x(E 10T ,
onde A uma constante a determinar, como a funo erro de truncamento.
No calculo de A , utilizaremos a funo auxiliar )t(G definida por:
)t(E)t(P)t(f)t(G T1 .
3.5. TEOREMA DE ROLLE
Se a funo )x(f contnua no intervalo ]b,a[ e diferencivel no intervalo )b,a( e )b(f)a(f ,
ento, existe um )b,a( , tal que 0)('f
0x 1x
0y
1y )x(P1
)x(f
x
Valor Aproximado
Valor real
20
3.6. INTERPOLAO DE LAGRANGE
As interpolaes apresentadas anteriormente (interpolao linear e quadrtica) so casos
particulares da interpolao de Lagrange. Agora vamos determinar, o polinmio interpolador )x(P
de grau menor ou igual a n , sendo dado para isto, 1n pontos distintos. Teorema
Sejam )y,x( ii , 1n,n,...,2,1,0i pontos distintos, isto , ji xx para ji . Existe
um nico polinmio )x(P de grau no maior que n , tal que ii y)x(p , para todo i . O polinmio
)x(P pode ser escrito na forma:
nn
33
2210n xa...xaxaxaa)x(P
ou da seguinte forma
n
0i
iin xa)x(P
Observe que )x(P , no mximo, de grau n , se 0an . Para determinar o polinmio )x(P
devemos conhecer os valores n210 a,...,a,a,a . Como )x(P contm os pontos )y,x( ii
podemos escrever ii y)x(p , da seguinte forma
S:
nnnn
3n3
2n2n10
2n2n
323
222210
1n1n
313
212110
0n0n
303
202010
yxa...xaxaxaa
..............................................................
yxa...xaxaxaa
yxa...xaxaxaa
yxa...xaxaxaa
A soluo do sistema S so os valores n210 a,...,a,a,a , com os quais determinamos o polinmio
nn
33
2210n xa...xaxaxaa)x(P .
Para verificarmos que tal polinmio nico, basta calcularmos o determinante da matriz A
(matriz dos coeficientes) e verificar que ele diferente de zero.
2n
2nn
21
211
n0
200
x...xx1
...............
x...xx1
x...xx1
A
Observe que a matriz A , tem a forma da matriz de Vandermonte, tambm conhecida
como matriz das potncias. Seu determinante, segundo a lgebra Linear, dado pela expresso:
ji
ji )xx()Adet( , com ji xx
Sabemos que 0)Adet( , logo isto prova que )x(P nico.
Obteno da Frmula Para que voc entenda a interpolao de Lagrange necessrio que compreender como obtida a frmula de recorrncia deste mtodo.
O teorema fundamental da lgebra garante que podemos escrever o polinmio )x(P da
seguinte forma
)xx(...)xx()xx()xx()xx()x(P n3210
21
onde n3210 x,...,x,x,x,x so as razes do polinmio )x(P . Montaremos agora, uma seqncia
de polinmios auxiliares da seguinte forma
1 polinmio: se retirarmos )xx( 0 obteremos o polinmio
)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3210
2 polinmio: se retirarmos )xx( 1 obteremos o polinmio
)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3201
3 polinmio: se retirarmos )xx( 2 obteremos o polinmio
)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3102
Seguindo este raciocnio obteremos os polinmios )x(p,...),x(p),x(p),x(p n210 . Estes
polinmios podem ser escritos na forma sinttica:
n
ij0j
ji )xx()x(p , )n,...,3,2,1,0i(
Tais polinmios possuem as seguintes propriedades
(a) 0)x(p ii , para todo i.
(b) 0)x(p ji , para todo ij .
e so conhecidos como polinmios de Lagrange. O polinmio )x(P pode ser escrito como uma
combinao linear dos polinmios )x(p,...),x(p),x(p),x(p n210 , da seguinte forma:
)x(pb...)x(pb)x(pb)x(pb)x(P nn221100
ou
n
0iii )x(pb)x(P
Mas, como 0)x(p ji , para todo ij e 0)x(p ii , para todo i, temos que
)x(pb)x(P nnnnn
logo
)x(p
)x(Pb
nn
nnn
e como iin y)x(P , teremos
)x(p
yb
ii
ii
substituindo este valor no somatrio ser
n
0ii
ii
i )x(p)x(p
y)x(P
de onde teremos
n
0i ii
ii
)x(p
)x(py)x(P
como
n
ij0j
ji )xx()x(p ento
22
n
0i
n
ij0j ji
ji
)xx(
)xx(y)x(P
denominada de frmula de interpolao de Lagrange. Exemplo - A partir das informaes existentes na tabela, determine:
i ix iy
0 1 2 3
0.0 0.2 0.4 0.5
0.000 2.008 4.064 5.125
(a) O polinmio interpolador de Lagrange
(b) )3.0(P
Soluo (a) Como temos 4 pontos, o polinmio interpolador ser de grau 3, logo
3
0i
3
ij0j ji
ji3
)xx(
)xx(y)x(P , ou seja
)xx()xx()xx(
)xx()xx()xx(y
)xx()xx()xx(
)xx()xx()xx(y
)xx()xx()xx(
)xx()xx()xx(y
)xx()xx()xx(
)xx()xx()xx(y)x(P
231303
2103
321202
3102
312101
3201
302010
32103
substituindo os valores da tabela, teremos
)4.05.0()2.05.0()0.05.0(
)4.0x()2.0x()0.0x(125.5
)5.04.0()2.04.0()0.04.0(
)5.0x()2.0x()0.0x(064.4
)5.02.0()4.02.0()0.02.0(
)5.0x()4.0x()0.0x(008.2
)5.00.0()4.00.0()2.00.0(
)5.0x()4.0x()2.0x(000.0)x(P3
simplificando a expresso, temos o seguinte polinmio interpolador
x10x)x(P 33
(b) 027.33.0103.0)3.0(P 33
23
Exerccio (01) A partir das informaes existentes na tabela, determine:
I ix iy
0 1 2 3
0.0 0.2 0.4 0.6
0.0000 1.0400 2.1600 3.3600
(a) O polinmio interpolador de Lagrange
(b) )3.0(P
(02) A partir das informaes existentes na tabela, determine:
I ix iy
0 1 2 3
0.1 0.3 0.5 0.7
0.1010 0.3270 0.6250 1.0430
(a) O polinmio interpolador de Lagrange
(b) ).(P 40
(03) A partir das informaes existentes na tabela, determine:
I ix iy
0 1 2 3
0.0 0.2 0.4 0.6
0.0000 0.4080 0.8640 1.4160
(a) O polinmio interpolador de Lagrange
(b) ).(P 50
(04) A partir das informaes existentes na tabela, determine:
I ix iy
0 1 2 3
0.1 0.3 0.5 0.7
0.0110 0.1170 0.3750 0.8330
(a) O polinmio interpolador de Lagrange
(b) ).(P 60
3.7. INTERPOLAO DE NEWTON COM DIFERENAS DIVIDIDAS Conceito de Diferenas Divididas
Seja )x(fy uma funo que contm n pontos distintos )y,x( ii , onde n,...,2,1,0i .
Representaremos diferena divididas, por ][f . Definiremos diferena dividida de ordem zero a
prpria funo, isto ,
1110 y)x(f]x[f .
A diferena dividida de 1 ordem para os argumentos 0x e 1x uma aproximao da 1
derivada, isto ,
01
0110
1
xx
)x(f)x(f]x,x[f
,
24
onde temos a seguinte propriedade ]x,x[f]x,x[f 1001 . Considerando )x(fy ii , podemos
escrever as diferenas divididas de 1 ordem, de forma geral, por:
i1i
i1i1ii
1
xx
yy]x,x[f
.
A diferena dividida de 2 ordem para os argumentos 0x , 1x e 2x dada por:
02
101
211
2102
xx
]x,x[f]x,x[f]x,x,x[f
.
A diferena dividida de 3 ordem para os argumentos 0x , 1x , 2x e 3x dada por:
03
2102
3212
32103
xx
]x,x,x[f]x,x,x[f]x,x,x,x[f
.
Genericamente, a diferena dividida de ordem n dada por:
ini
1ni2i1ii1n
ni2i1i1n
ni2i1iin
xx
]x,...,x,x,x[f]x,...,x,x[f]x,...,x,x,x[f
.
Exemplo - Dada a funo tabelada calcule a diferena dividida de segunda ordem.
i ix iy
0 1 2
0.3 1.5 2.1
3.09 17.25 25.41
Soluo Devemos calcular as diferenas divididas de primeira ordem
80.113.05.1
09.325.17
xx
yy]x,x[f
01
0110
1
60.135.11.2
25.1741.25
xx
yy]x,x[f
12
1221
1
com todas as diferenas divididas de primeira ordem calculadas, vamos ento calcular a de segunda ordem
0.13.01.2
80.1160.13
xx
]x,x[f]x,x[f]x,x,x[f
02
101
211
2102
Para facilitar os procedimentos numricos e organizar os nossos clculos colocaremos na prpria tabela o desenvolvimento do calculo da seguinte forma:
i ix iy ]x,x[f 1ii1
]x,x,x[f 2102
0 0.3 3.09 ]x,x[f 101 ]x,x,x[f 210
2
1 1.5 17.25 ]x,x[f 211
2 2.1 25.41
Fazendo a substituio numrica temos:
i ix iy ]x,x[f 1ii1
]x,x,x[f 2102
0 0.3 3.09 11.80 1.00
1 1.5 17.25 13.60
2 2.1 25.41
A frmula de recorrncia de interpola, de Newton com diferenas dividida, depende do nmero de pontos existente na tabela. 1 Caso: Existem s dois pontos na tabela
25
A frmula, de interpolao, obtida a partir da expresso de diferena divididas de primeira ordem,
10
10
01
0110
1
xx
)x(f)x(f
xx
)x(f)x(f]x,x[f
onde isolando )x(f , para obter a frmula de interpolao:
]x,x[f)xx()x(f)x(f 101
1010
assumiremos 0xx , onde x qualquer valor dentro do intervalo ]x,x[ 10 .
2 Caso: Existem s trs pontos na tabela
A frmula de interpolao, neste caso, obtida a partir da expresso de diferena divididas de segunda ordem,
20
211
101
02
101
211
2102
xx
]x,x[f]x,x[f
xx
]x,x[f]x,x[f]x,x,x[f
onde isolando ]x,x[f 211 , obtemos:
]x,x,x[f)xx(]x,x[f]x,x[f 2102
20211
101
Substituindo na primeira frmula de interpolao, temos
]}x,x,x[f)xx(]x,x[f{)xx()x(f)x(f 2102
20211
1010
que pode ser escrita por
]x,x,x[f)xx)(xx(]x,x[f)xx()x(f)x(f 2102
2010211
1010
que a frmula de interpolao para este caso, onde assumiremos 0xx , onde x qualquer valor
dentro do intervalo ]x,x[ 20 .
3 Caso: Existem s quatro pontos na tabela
A frmula de interpolao, neste caso, obtida a partir da expresso de diferena divididas de terceira ordem,
30
3212
2102
03
2102
3212
32103
xx
]x,x,x[f]x,x,x[f
xx
]x,x,x[f]x,x,x[f]x,x,x,x[f
onde isolamos ]x,x,x[f 2102 , para obter:
]x,x,x,x[f)xx(]x,x,x[f]x,x,x[f 32103
303212
2102
Substituindo na segunda frmula de interpolao, temos
}]x,x,x,x[f)xx(]x,x,x[f{)xx)(xx(
]x,x[f)xx()x(f)x(f
32103
303212
2010
211
1010
que pode ser expresso por:
]x,x,x,x[f)xx)(xx)(xx(]x,x,x[f)xx)(xx(
]x,x[f)xx()x(f)x(f
32103
3020103212
2010
211
1010
que a frmula de interpolao para este caso, onde assumiremos 0xx , onde x qualquer valor
dentro do intervalo ]x,x[ 30 .
4 Caso: Generalizao para n pontos na tabela
Para uma tabela de n pontos, a frmula de interpolao pode ser expressa, segundo o mesmo raciocnio, por:
26
n
0i
1i
0jji0
i10 )xx(]x,...,x[f)x(f)x(f
onde assumiremos 0xx , onde x qualquer valor dentro do intervalo ]x,x[ n0 .
Exemplo - Determinar o valor aproximado de )4.0(f , usando todos os pontos tabelados
i ix iy
0 0.0 1.008
1 0.2 1.064
2 0.3 1.125
3 0.5 1.343 4 0.6 1.512
Soluo
I ix ][fyi ][f1 ][f 2 ][f3 ][f 4
0 0.0000 1.0080 0.2800 1.1000 1.0000 -0.0000 1 0.2000 1.0640 0.6100 1.6000 1.0000 0.0000 2 0.3000 1.1250 1.0900 2.0000 0.0000 0.0000 3 0.5000 1.3430 1.6900 0.0000 0.0000 0.0000 4 0.6000 1.5120 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
Utilizamos os valores em azul no momento as substituio
][f)x4.0)(x4.0)(x4.0)(x4.0(][f)x4.0)(x4.0)(x4.0(
][f)x4.0)(x4.0(][f)x4.0(][f)4.0(f
43210
3210
210
10
2160.1)4.0(f
Exerccio
(01) Determinar o valor aproximado de ).(f 30 , usando todos os pontos tabelados
I ix iy
0 0.0 0.0000 1 0.2 0.0480
2 0.4 0.2240
3 0.6 0.5760
4 0.8 1.1520
(02) Determinar o valor aproximado de )4.0(f , usando todos os pontos tabelados
I ix iy
0 0.1 0.1010
1 0.3 0.3270
2 0.5 0.6250
3 0.7 1.0430 4 0.9 1.6290
27
(03) Determinar o valor aproximado de ).(f 30 , usando todos os pontos tabelados
i ix iy
0 0.0 0.1000
1 0.2 0.1080
2 0.4 0.1640
3 0.6 0.3160 4 0.8 0.6120
4. INTEGRAO NUMRICA
Se a funo )x(f contnua em um intervalo ]b,a[ e sua primitiva )x(F conhecida, ento
a rea calculada pela integral definida desta funo no intervalo definido e dada por:
)a(F)b(Fdx)x(fb
a ,
onde )x(f)x('F .
6.1. REGRA DOS TRAPZIOS Neste mtodo, substitumos a rachurada que se deseja calcular pela rea de um trapzio como ilustra a figura a seguir.
Figura (a) rea rachurada compreendida pela funo )x(f e o eixo do x no intervalo ]xx[ 10 .
(b) Trapzio utilizado para aproximar a rea rachurada do item (a). O trapzio utilizado para aproximar a rea rachurada determinado, utilizando os dois pontos do intervalo, onde passamos uma reta. Da geometria sabemos que a rea deste trapzio dada por:
)x(f)x(fhA 102
.
A diferena entre a integral exata de )x(f (rea sob a curva )x(f ) e a integral aproximada (rea
do trapzio) denominada de erro de integrao. Uma forma de se melhorar o resultado estimado, isto , diminuir a diferena entre o resultado
estimado e o exato na regra do trapzio subdividir o intervalo ]xx[ 10 em n intervalos de
amplitude h e em cada intervalo aplica-se a regra dos trapzios.
x0 x0 x1 x1
f(x) f(x) f(x0)
f(x1) f(x1)
f(x0)
x
y
x
y
h h
(a) (b)
a = x0 b= xn
f(x)
x
y
h
x1
h
x2
h
x3
h
x4
h
xn-1
28
Figura rea compreendida pela funo )x(f e o eixo do x no intervalo ]xx[ 10 aproximada
pela soma de n reas dos trapzios de mesma base compreendidos no intervalo ]xx[ 10 .
Desta forma, a rea aproximada calculada pela expresso:
)yy(h
...)yy(h
)yy(h
A nn 12110222
,
Que pode ser simplificado para
)yy...yyy(h
A nn 1310 2222
.
Onde iE o erro cometido na aplicao da regra dos trapzios no intervalo cujos extremos so ix
e 1ix , ou seja,
)(''fh
E i 12
3 ;
Com isto o erro total cometido a soma dos erros cometidos em cada intervalo, logo
1
1
3
12
n
ii )(''f
hE ,
e pela continuidade de )(''f , existe n em ba , tal que:
)(''fn
)ab(E i 2
3
12
, onde ba .
Exemplo Calcule a rea entre o grfico 24 ttv e o eixo do x , dentro do intervalo ][ 40 .
A preciso do valor aproximado depende do nmero n de trapzios, observe
Resoluo analtica:
40
32
4
0
2
324 )
tt(dt)tt(A
)*()*(A3
002
3
442
32
32 666710
3
32.A
Aproximao para n = 2
)yyy(h
A 321 22
8A
)(''fn
)ab(E
2
3
12
2.6667E
Aproximao para n = 4
)yyyyy(h
A 54321 2222
10A
)(''fn
)ab(E
2
3
12
0.6667E
29
Figura 5 Mostrando a aproximao pela regra dos trapzios para diferentes valores de n. Com
t)t('v 24 , e como 2)t(''v , logo 20 )(''f em todas as expresses, onde 40 .
Exerccio
(01) Dada a funo 2x)x(f calcular o valor da integral 3
0dx)x(fI , usando a regra dos
trapzios e dividindo o intervalos 6 partes.
(02) Dada a funo xln)x(f calcular o valor da integral 4
2dx)x(fI , usando a regra dos
trapzios e dividindo o intervalos 6 partes.
(03) Dada a funo 3x)x(f calcular o valor da integral 3
0dx)x(fI , usando a regra dos
trapzios e dividindo o intervalos 6 partes.
(04) Dada a funo xe)x(f calcular o valor da integral 4
2dx)x(fI , usando a regra dos
trapzios e dividindo o intervalos 6 partes.
Utilizamos uma aproximao de primeira ordem do polinmio interpolador de Gregory-
Newton )x(Pn para representar a funo )x(f .
02
03
02
00
1
121
3
21
2
1
y*!)n(
)nz(*...*)z)(z(z
...y*!
)z)(z(zy*
!
)z(zyzy)x(Pn
Isto , utilizamos na regra do trapzio, utilizamos 002 yzy)x(P (n = 1), para aproximar
)x(f , com isto a integral passou a ser determinada por
b
a
b
a
dxyzydx)x(fI 00
Como h
xxz 0
dzhdx ,
e considerando 0xa e 1xb , temos que
para ax 000
h
xxz ,
Aproximao para n = 6
)yyyyyyy(h
A 7654321 222222
370410.A
)(''fn
)ab(E
2
3
12
0.2963E
Aproximao para n = 30
654810.A
)(''fn
)ab(E
2
3
12
0.0119E
30
para bx 101
h
xxz
substituindo os limes na integral temos
1
0
0
2
0
1
0
00002
y
zyzhdzhyzydxyzyI
b
a
0
2
00
2
02
00
2
11 yy*hyy*hI
00
2
1yyhI
)yy(yhI 00
2
1
2
0yyhI , foi esta a expresso utilizada no mtodo dos trapzios.
4.2. PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON A vantagem, de revermos o mtodo dos trapzios usando o polinmio interpolador de Gregory-
Newton ( )x(Pn ) e que na primeira regra de Simpson, utilizamos uma aproximao de 2 ordem
deste polinmio, isto , faremos: 02
002
1y*
!
)z(zyzy)x(f
, onde
h
xxz 0
.
Com isto o valor da integral ser:
b
a
b
a
dxy*!
)z(zyzydx)x(fI 0
200
2
1
Como h
xxz 0
dzhdx ,
Para se aproximar a funo )x(f por um polinmio do 2 grau, sero necessrios 3 pontos: 0x , 1x
e 2x (Figura).
Figura Grfico de )x(f juntamente com a aproximao de segunda ordem )x(P2 .
Considerando 0xa e 2xb , temos que :
ax 0
h
aaz ,
x0 x1
f(x)
f(x0) f(x2)
x
y
h h x2
f(x1)
P2(x)
31
bx 2
h
abz
Com isto, a integral ser resolvida da seguinte forma
2
0
02
002
1dzhy*
!
)z(zyzydx)x(fI
b
a
Cujo resultado :
0
200
3
122 yyyhI
Como babemos que
01202
010
2 yyyy
yyy, ento com a substituio teremos
210 43
yyyh
I que denominado de 1 regra de Simpson.
2
0yyhI , foi esta a expresso utilizada no mtodo dos trapzios.
Para diminuir o erro, isto , a diferena do valor estimado e do valor real, devemos subdividir o intervalo de integrao, da mesma forma que fizemos no mtodo dos trapzios, com isto, a
integral b
a
dx)x(fI , ser aplicada em cada dupla de intervalos da seguinte forma:
ervalointsubltimo
nnn
ervalointsubervalointsub
yyyh
...yyyh
yyyh
I 12
2
432
1
210 43
43
43
O erro total cometido ser a soma dos erros cometidos em cada aplicao da 1 regra de Simpson nas duplas de subintervalos e so determinados por:
)(fn
)ab(E )IV(
4
5
180
, onde ba .
Exemplo 1. Calcule o valor da integral
1
0 21 x
dx, com 410 .
Soluo
Figura Grfico da funo 21
1
x)x(f
, onde a rea rachurada
1
0 21 x
dx.
Devemos definir qual dever ser o nmero n de subintervalos devemos usar, para isto utilizaremos a nossa frmula do erro total
)(fn
)ab(E )IV(
4
5
180
, onde ba .
Como 21
1
x)x(f
, ento temos que
32
524
42
2
32 1
384
1
288
1
24
x
x
x
x
x
)x(f IV
, onde 10
Sabemos que o maior erro total ser obtido quando 0x , logo 24max
IV )x(f , e considerando
410 , ento temos:
4
4
5
1024180
01
*n
)( 44 10
180
24n 0426.n
Isto , devemos escolher um nmero de subintervalos maior que 7, e escolheremos para este caso
8n . O valor da aproximao foi obtido, para 8n , a partir da tabela a seguir.
i xi yi ci
0 0.0000 1.0000 1 0.1250 0.9846 2 0.2500 0.9412 3 0.3750 0.8767 4 0.5000 0.8000 5 0.6250 0.7191 6 0.7500 0.6400 7 0.8750 0.5664 8 1.0000 0.5000
1 4 2 4 2 4 2 4 1
Tabela - ci so os coeficientes que devem ser aplicados yi para determinar a aproximao do valor da integral. Para calcularmos o valor da integral pela seguinte expresso
8765432101
0 24242424
1
1yyyyyyyyy
hx
dx
Substituindo os valores da tabela teremos 785401
1
0 2.
x
dx
Exerccio
(01) Calcule o valor da integral
1
0 221 x
dx, com 410 , usando a primeira regra de Simpson.
(02) Calcule o valor da integral 2
11 dx)xln( , com 410 , usando a primeira regra de
Simpson.
(03) Calcule o valor da integral
1
0 321 x
dx, com 410 , usando a primeira regra de Simpson.
(04) Calcule o valor da integral 2
1
21 dx)xln( , com 410 , usando a primeira regra de
Simpson. 4.3. SEGUNDA REGRA DE SIMPSON
Na segunda regra de Simpson utilizamos uma aproximao de terceira ordem no polinmio
interpolador de Gregory-Newton ( )x(Pn ) o que resulta na expresso :
33
03
02
003
21
2
1y*
!
)z)(z(zy*
!
)z(zyzy)x(Pn
, onde
h
xxz 0
.
Com isto o valor da integral ser:
b
a
b
a
dxy*!
)z)(z(zy*
!
)z(zyzydx)x(fI 0
30
200
3
21
2
1
como h
xxz 0
dzhdx ,
Desta forma a soluo da integral :
3210 338
3yyyy
hI
O erro total neste mtodo dado pela expresso
)(fx
E IV 80
3 5 , ba .
Para diminuir o erro quando o intervalo no for muito pequeno, devemos subdividir o intervalo de integrao da seguinte forma:
ervalointsubltimo
nnnn
ervalointsubervalointsub
yyyyh
...yyyyh
yyyyh
I 123
2
6543
1
3210 338
333
8
333
8
3
Exemplo 1 Calcule o valor da integral 4
1
3 dx)exln(I x
Soluo Calcular esta integral significa determinar a rea compreendida entre o grfico e o eixo x,
como mostra a Figura 8. O valor da integral obtido pela seguinte expresso:
98765432104
1
3 332332338
3yyyyyyyyyy
hdx)exln( x
Os valores de ny,...,y,y,y 210 so obtidos na tabela a seguir,
O valor da aproximao foi obtido, para 9n , a partir da tabela a seguir.
I xi yi ci
0 1.0000 1.3133 1 1.3333 1.8187 2 1.6667 2.2950 3 2.0000 2.7337 4 2.3333 3.1362 5 2.6667 3.5072 6 3.0000 3.8520 7 3.3333 4.1754 8 3.6667 4.4821 9 4.0000 4.7757
1 3 3 2 3 3 2 3 3 1
Tabela - ci so os coeficientes que devem ser aplicados yi para determinar a aproximao do valor da integral.
Substituindo os valores da tabela teremos 9.6880dx)exln( x 4
1
3
34
Exerccio
(01) Calcule o valor da integral
1
0 221 x
dx, com 410 , usando a segunda regra de Simpson.
(02) Calcule o valor da integral 2
11 dx)xln( , com 410 , usando a segunda regra de
Simpson.
(03) Calcule o valor da integral
1
0 321 x
dx, com 410 , usando a segunda regra de Simpson.
(04) Calcule o valor da integral 2
1
21 dx)xln( , com 410 , usando a segunda regra de
Simpson. QUESTES COMPLEMENTARES 1) Na tabela abaixo, d a distancia, em metros, que uma bala percorre ao longo de um cano de canho em t segundos. Encontrar a distancia percorrida pela bala 5 segundos aps ter sido disparada.
Tempo de disparo(s) 0 2 4 6 8
Distancia percorrida ao longo do cano. 0,000 0,049 0,070 0,087 0,103
2)Durante trs dias consecutivos foram tomadas as temperaturas ( em C) numa regio de uma cidade, por quatro vezes no perodo das 6 s 12 horas. Determinar, usando todos os dados da tabela abaixo, a mdia das temperaturas dos trs dias s 9 horas.
Hora 1 dia 2 dia 3 dia
6 18 17 18
8 20 20 21
10 24 25 22
12 28 27 23
3) Determinar, usando todos os valores das tabelas abaixo o valor de F(G(0,25)) .
4) ( altitude de 2890m), sabendo que O ponto de ebulio da gua varia com a altitude, conforme mostra a tabela abaixo.
a) Determinar, usando os cinco primeiros pontos da tabela, o ponto de ebulio da gua em um local que possui altitude de 1000m.
b) Determinar, usando os cinco pontos mais prximos de 2890, o ponto de ebulio da gua em um local que possui altitude de 2890m.
Altitude(m) Ponto de ebulio da gua ( C)
850 97,18
950 96,84
1050 96,51
1150 96,18
1250 95,84
- -
X G(x)
0 1,001
0,2 1,083
0,4 1,645
0,6 3,167
0,8 6,1293
X F(x)
1 0
1,1 0,21
1,3 0,69
1,6 1,56
2 3
35
- -
- -
2600 91,34
2700 91,01
2800 90,67
2900 90,34
3000 90
5) A velocidade do som na gua varia com a temperatura, usando os valores da tabela abaixo, determinar o valor aproximado da velocidade do som na gua a 100C.
Temperatura ( C ) Velocidade (m/s)
86 1552
93,3 1548
98,9 1544
104,4 1538
110 1532
6) Um automvel percorreu 160 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste trajeto, 2horas e 20 minutos. A tabela abaixo d o tempo gasto e a distancia percorrida em alguns pontos entre as duas cidades. Determinar: a) Qual foi aproximadamente a distancia percorrida pelo automvel nos primeiros 45 minutos de viagem, considerando apenas os quatro primeiros pontos da tabela?
b) Quantos minutos o automvel gastou para chegar metade do caminho? TEMPO (em minuto) DISTANCIA ( em metro)
0 0,00
10 8,00
30 27,00
60 58
90 100
120 145
140 160
7) A tabela abaixo relaciona a quantidade ideal de calorias, em funo da idade e do peso, para homens e mulheres que possuem atividade fsica moderada e vivem a uma temperatura ambiente mdia de 20C.
Peso ( kg) Cota de calorias ( em kcal)
Idade (em anos) homens. Idade (em anos) mulheres.
25 45 65 25 45 65
40 - - - 1750 1650 1400
50 2500 2350 1950 2050 1950 1600
60 2850 2700 2250 2350 2200 1850
70 3200 3000 2550 2600 2450 2050
80 3550 3350 2800 - - -
Determine a cota aproximada de calorias para um homem de:
a) 30 anos que pesa 70 quilogramas; b) 45 anos que pesa 62 quilogramas; c) 50 anos que pesa 78 quilogramas.
Determine a cota aproximada de calorias para uma mulher de: a) 25 anos que pesa 46 quilogramas; b) 30 anos que pesa 50 quilogramas; c) 52 anos que pesa 62 quilogramas.
36
8) O grfico da figura foi registrado por um instrumento usado para medir uma qualidade fsica. Estime as coordenadas-y dos pontos dos grficos e exprime a rea da regio sombreada usando ( com n = 6 ). (a) a regra do trapzio e (b) a regra de Simpson. 9) Um lago artificial tem a forma da figura, com mensuraes eqidistantes de 5 m. Usa a regra do trapzio para estimar a rea da superfcie do lago.
10) Um aspecto importante na administrao de gua a obteno de dados confiveis de sobre o fluxo de corrente, que o nmero de metros cbicos que passam por uma seo transversa da corrente ou rio. O primeiro passo neste calculo a determinao da velocidade mdia a uma distncia x metros da margem do rio. Se k uma profundidade da corrente em um ponto a x metros da margem e v(y) a velocidade (em m/s) a uma profundidade y metros (ver figura), ento
k
x dyyvk
v0
)(1
com o mtodo dos seis pontos, fazem-se as leituras da velocidade na superfcie, nas profundidades
0,2k, 0,4K, 0,6k e 0,8k e prximo do leito do rio.Usa-se ento a regra do trapzio para estimar xv
com os dados da tabela
Y (m) 0 0,2k 0,4k 0,6k 0,8k k
V(y) (m/s) 0,28 0,23 0,19 0,17 0,13 0,02
BIBLIOGRAFIA DEMIDOVICH. B. P. e MARON, L. A. Clculo Numrico Fundamental Madri: Paraninfo .
1977. DORN. W. S. e CRAKEN. D. D. Mc, Clculo Numrico com Estudos de Casos em Fortran ZV
/ So Paulo : Ed. da Universidade de So Paulo 1978. RUGGIEIRO. M. A. G., e LOPES V. L. de R. Clculo Numrico Aspectos Tericos e
Computacionais So Paulo : Ed. McGraw - Hill. 1988. MORAES. D. C., MARTINS J. M. Calculo Numrico Computacional: Teoria e Prtica; Algaritmo
em Pseudo Linguagem, Indicao de Software Matemtico So Paulo: Atlas 1989.
6 m 6 m 8 m 10 m 9 m
9 m
7 m 7 m
5 m
k
x m L m
0,2k
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