CÁLCULO PROPOSICIONAL - Tororó de Ideias · Web view2.1. Conectivos . O Cálculo das...

CLCULO PROPOSICIONAL

CLCULO PROPOSICIONAL

1. Proposies

Uma proposio uma sentena declarativa que pode ser verdade ou falsa, mas no ambas. As proposies podem ser divididas em proposies simples e compostas.

1.1. Proposies simples

a) Pedro aluno do Curso de Informtica.

b) A terra gira em torno do sol.

c) O leite branco.

d) 7 quadrado perfeito.

1.2. Proposies compostas

e) Cabral descobriu o Brasil e Colombo a Amrica.

f) Bruno cursa Informtica e Mariel Estatstica.

g) O tringulo ABC isscele ou retngulo.

h) Se Pedro estudioso, ento ser aprovado.

i) ABC tringulo eqiltero se, e somente se, eqingulo.

1.3. Princpio da no contradio

Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

So verdadeiras (a), (b) e (c) e falsa (d).

1.4. Princpio do terceiro excludo.

Toda proposio ou verdadeira ou falsa. Sempre ocorre esses casos e nunca um terceiro.

2. Operaes lgicas

O clculo das proposies consiste nas operaes fundamentais que partem de proposies simples para se chegar s proposies compostas. As operaes que podem ser efetuadas so: A negao, a conjuno, a disjuno, a condicional e a bicondicional.

2.1. Conectivos

O Clculo das proposies destaca cinco operadores lgicos, a saber:

...no...(denota-se

)

... e... (denota-se

)

...ou...(denota-se

)

...se,... ento... (denota-se

)

...se, e somente se ... (denota-se

)

O primeiro operador

dito unrio, pelo fato de operar sobre um s operando; os demais so operadores binrios, j que operam sobre dois operandos.

2.2. Negao

a mais simples operao-verdade. Se a proposio A verdadeira, ento

A falsa, se A falsa, ento

A verdadeira.

A: 2/3 um nmero racional. (verdade)

A: 2/3 no um nmero racional. (falso) ou

A: 2/3 um nmero irracional. (falso)

Tabela verdade para a negao

A

A

A

A

V

F

1

0

F

V

0

1

2.3. Conjuno (

)

Essa operao-verdade corresponde ao termo e e seu smbolo

. Por meio da conjuno possvel, dadas duas proposies simples A e B obter-se outra composta A

B que ser verdadeira somente quando A e B forem verdadeiras.

A: Recife a capital de Pernambuco.

B: Manaus a capital do Amazonas.

A

B: Recife a capital de Pernambuco e Manaus a capital do Amazonas.

A

B

A

B

A

B

A

B

V

V

V

1

1

1

V

F

F

1

0

0

F

V

F

0

1

0

F

F

F

0

0

0

Exemplo 01.

Jos de Alencar escreveu o Guarani e Machado de Assis Capitu. ( V

V = V)

5+2=7 e 3> 5. ( V

F = F )

p

> 4 e 7 nmero primo. ( F

V = F )

p

> 4 e 8 nmero mpar. ( F

F = F )

2.4. Disjuno (

)

Essa operao-verdade corresponde ao termo ou e seu smbolo

. Por meio da disjuno possvel, dadas duas proposies simples A e B obter-se outra composta A

B que ser falsa somente quando A e B forem falsas.

A: Recife a capital de Pernambuco.

B: Manaus a capital do Amazonas.

A

B: Recife a capital de Pernambuco ou Manaus a capital do Amazonas.

A

B

A

B

A

B

A

B

V

V

V

1

1

1

V

F

V

1

0

1

F

V

V

0

1

1

F

F

F

0

0

0

Exemplo 02.

2+2=4 ou 5>3 ( V

V = V)

p

>

4 ou 7 nmero primo. ( F

V =V)

p

>

4 ou 8 nmero primo. ( F

F =F )

2.5. Condicional (

)

Se chover, ento irei ao cinema.

Se estudar, ento serei aprovado.

Seja A: estudar

B: serei aprovado

A partir de duas proposies A e B, construmos uma nova proposio

A

B (se A, ento B) ou A implica B.

A tabela verdade dada por:

A

B

A

B

A

B

A

B

V

V

V

1

1

1

V

F

F

1

0

0

F

V

V

0

1

1

F

F

V

0

0

1

Observao 01:

Da teoria dos conjuntos sabemos que

ABB

ou

ABA

, assim, se

xAB

, ento

,

xB

isto , sempre verdade que se

x

est em

AB

, ento

x

est em

.

B

Logo, na tabela

ABB

sempre verdadeira.

A

B

A

B

A

B

B

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

F

Observando as trs ltimas colunas podemos escrever:

V

V = V

F

F = V

F

V = V

Observao 02:

Uma proposio A

B sempre Verdadeira (V) desde que A seja Falsa (F), independente do valor de B.

Observao 03:

Uma proposio A

B Verdadeira sempre que B verdadeira.

Exemplo 03.

1) Se 2 + 2 =5, ento 1

1 (verdade)

2) Se 2 + 2 =5, ento 1 = 1 (verdade)

3) Se o Papa joga no Corinthians, ento o Palmeiras ser campeo.

3) Se o Papa joga no Corinthians, ento todos os alunos de Matemtica Discreta sero aprovados.

Observao 04:

As proposies no Exemplo 03 so trivialmente verdadeiras pois, A : 2 + 2 =5 ou A: O Papa joga no Corinthians,so falsas.

2.5. Bicondicional (

)

Encontramos com freqncia a forma:

A se, e somente se, B que definida por (A

B)

( B

A)

A

B

A

B

B

A

(A

B)

( B

A)

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

Segue, portanto, a tabela verdade para a bicondicional.

A

B

A

B

A

B

A

B

V

V

V

1

1

1

V

F

F

1

0

0

F

V

F

0

1

0

F

F

V

0

0

1

Exerccios de aplicao 01:

Escreva em linguagem corrente.

1) A: Est frio.

B: Est chovendo.

a)

A:

b) A

B:

c) A

B:

d) A

B;

e) A

B:

f)

A

EMBED Equation.DSMT4

B:

g) A


B:

2) Analogamente: A: Pedro aluno de ADS

B: ADS Curso da Fatec SP

3) Escreva em linguagem simblica as sentenas.

p: Carolina alta.

q: Carolina elegante.

a) Carolina alta e elegante.

b) Carolina alta mas no elegante.

c) falso, que Carolina baixa ou elegante.

d) Carolina no nem baixa nem elegante.

e) Carolina alta, ou ela baixa e elegante.

4) Dar o valor lgico das proposies.

a) Porto Alegre a capital do Estado do Paran ou 10 par. ( )

b) Se 3 >

p

, ento

2

racional. ( )

c) Se 3 >

p

, ento o Corinthians ser campeo Paulista de 2009. ( )

d) Se

11

-=-

, ento

495

+=

. ( )

e) 2+3=5 se, e somente se

366.

=

( )

f)

3

26

=

se, e somente se 2+2+2=6. ( )

2.7. Formas sentenciais

Quando estudamos as expresses numricas , observamos expresses com as operaes de adio, subtrao, multiplicao e diviso organizadas com parnteses, colchetes e chaves. Da mesma forma ocorrem as formas sentenciais usando

,,,e

.

2.8. Tabelas-verdade

Para cada forma sentencial podemos montar uma tabela-verdade.

Exemplo 04.

Construir a tabela verdade relativa forma sentencial

[()()]()

ABACBC


A

B

C

AB

A

AC

C

BC

V

V

V

V

F

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

V

V

F

V

F

F

V

V

F

F

V

F

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

F

F

V

V

V

F

V

F

Exemplo 05.

Construir a tabela verdade relativa forma sentencial

[()(]()

ABBCAC

A

B

C

AB

BC

AC

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

V

V

Exemplo 06.

Tabela-verdade simplificada.

()()

ABAB

V V V V F V V

V F F V F F F

F V V V V V V

F V F V V V F


Construir a tabela verdade relativa forma sentencial (Simplificada ou no).

1)

()()

pqpq

2)

[()]()

ABCAC

3)

[()()]()

ABCDDA

4)

[()()][()()]

ACBCBAAC

5)

[()()][()()]

ABCAABCA

6)

[()()][()()]

ABCAABCB

2.9. Tautologia Contradio

Uma forma sentencial diz-se tautologia, se assumir valor V para quaisquer que sejam os valores atribudos s variveis e se assumir o valor F diremos que uma contradio.

Exemplo 07. A forma sentencial que segue uma tautologia.

()()

ABAB

V V V V F V V

V F F V F F F

F V V V V V V

F V F V V V F

Exemplo 08. A forma sentencial que segue uma contradio.

()()

ABAB

V V V F F F F

V V F F F F V

F V V F V F F

F F F F V V V

Exemplo 09.

Se a forma sentencial

(())()

ABCBC

falsa, quais valores possveis de verdade, que podem assumir A, B e C?

(())()

ABCBC

____________________0___________ 1 concluso

____1______________________ 0_______2 concluso

__________1____0_________1_____0___ 3 concluso

_________0_________________________ 4 concluso

_0__________0_____________________ 5 concluso

Assim, A=0, B=1 e C=0


As formas sentencias que seguem so falsas, quais valores possveis de verdade, que podem assumir A, B, C e D?

1)

[

]

[()]()

ABDABC

2)

()[()]

ABBCC

3)

[

]

(())(()()

ABCDBECD

4)

(

)

(

)

ABBC

5) Se a forma sentencial

[

]

[

]

()()

ABCBCA

falsa, e a sentena

CB

verdadeira. Quais os valores possveis de verdade, que podem assumir A, B e C?

Respostas dos exerccios de aplicao 02:

1) A=B=1 e C=D=0 2) A=B=1 e C=0 3)A=B=C=D=E=1

4) A=B=0e C=1 5) A=C=0 e B=1

2.10. Implicaes e equivalncias lgicas (~)

Dizemos que uma forma sentencial X implica logicamente uma forma sentencial Y, se a forma sentencial X

Y for uma tautologia.

Exemplo 10.

Seja X:

AB

e Y:

AB

, mostremos que X ~ Y isto

()

AB


()

AB

A

B

A



B

A

B

V

V

V

V

F

V

V

V

F

F

V

F

F

F

F

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

F

2.11. Equivalncias lgicas Fundamentais

1

E

: Lei da dupla negao:

~

AA

A

A

A

V

F

V

F

V

F

Exemplo 11. No entendi nada desta explicao ~ entendi tudo.

A

: Entendi essa explicao.

A

: No entendi essa explicao.

A

: No entendi nada essa explicao ~

A

: entendi tudo.

2

E

: Lei da idempotncia:

(

)

(

)

~~

AAAeAAA

A

AA

A

V

V

V

V

F

F

V

F

A

AA

A

V

V

V

V

F

F

V

F

3

E

: Lei da Comutatividade:

a)

(

)

~

ABBA

A

B

B

A

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

F

F

V

V

V

F

F

F

F

F

V

F

F

F

b)

(

)

~

ABBA

A

B

B

A

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

F

F

V

V

V

F

F

F

F

F

V

F

F

F

4

E

: Leis da associatividade:

a)

[

]

[

]

()~()

ABCABC

b)

[

]

[

]

()~()

ABCABC

5

E

: Leis de De Morgan

a)

()~()

ABAB

b)

()~()

ABAB

Demonstrao: Usaremos 1 para V e 0 para F

a)

()~()

ABAB

A

B

A

B

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

b)

()~()

ABAB

A

B

A

B

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

Mostre as propriedades que seguem usando as tabelas- verdade.

6

E

: Leis distributivas ou de fatorao

a)

()~()()

ABCABAC

b)

()~()()

ABCABAC

7

E

: Leis de absoro

1)

()~

AABA

2)

()~

AABA

3)

[

]

()~()

ABBAB

4)

[

]

()~()

ABBAB

5) Se T tautologia e F uma contradio, ento

a)

()~

TAA

b)

()~

TAT

c)

()~

FAF

d)

()~

FAA

Mostremos a)

()~

TAA

T

A

A

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

Mostre as propriedades b) c) d) usando as tabelas- verdade.

8

E

: Contrapositivo.

()~()

ABBA

A

B

B

A

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

9

E

: Eliminao da condicional

a)

()~()

ABAB

A

B

A

B

1

1

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

b)

()~()

ABAB

A

B

AB

B

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

10

E

: Eliminao da Bicondicional

a)

[

]

()~()()

ABABAB

A

B

AB

AB

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

b)

[

]

()~()()

ABABBA

A

B

AB

BA

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1


Nota: Nos exerccios que seguem use as leis apresentadas, indicando qual esta sendo usada.

1)A forma sentencial

[

]

()()

ABABB

logicamente equivalente a

A)

AB

b)

AB

c)

AB

d)

AB


[()]()

BCACB


a)

()

CAB

b)

()

CAB

c)

()

CAB


[

]

()[()]

AABABB


a)

()

AB

b)

AB

c)

AB

d)

()

BA

4) A forma sentencial

[

]

()[()]

ABCABC


a)

()

CAB

b)

()

CAB

c)

()

ABC

5) A forma sentencial

[

]

()()[()()()()]

ABBAABBACACC


a)

()

AB

b)

()

CAB

c)

()

ABC


1)c 2) a 3) d 4) c 5)a

Observao:

Nos exerccios que seguem importante conhecer a leitura das proposies e sua simbologia. Assim

AB

: l-se: Se

A

, ento

B

A

somente se

B

A

condio suficiente para

B

.

B

condio necessria para

A

.

AB

:

A

condio necessria suficiente para

B

.

Exemplo 12.

Indique em quais casos temos c.s, c.n e c.n.s.

a) A: n divisvel por 6 B: n nmero par (c.s)

b) A: x < 0 e y < 0 B: x .y > 0 (c.s)

c) A: x mpar B:

2

x

impar (c.n.s)

d) A: x = 2 B:

2

x

=4 (c.s)

e) A:

2

x

=4 B: x = 2 (c.n)

Exemplo 13.

Dar a negao em linguagem corrente das proposies.

As rosas so amarelas e os cravos brancos.

Soluo:

Definindo:

A: As rosas so amarelas.

B: Os cravos brancos. Assim, podemos escrever

AB

Negao de

AB

()

AB

~

AB

(Leis de De Morgan)

As rosas no so amarelas ou os cravos no so brancos.

Exemplo 14.


Se estiver cansado ou com fome, no consigo estudar.

Definindo:

C: estiver cansado

F: com fome

E: consigo estudar

E: no consigo estudar.

Assim, podemos escrever:

()

CFE

, negando:

[()]~[()]

CFECFE

~

()

CFE

.

Portanto,

Mesmo cansado ou com fome eu estudo.

Estando cansado ou com fome consigo estudar.

Exemplo 15.


A temperatura diminuir somente se chover ou nevar.

Definindo:

D: A temperatura diminuir

C: chover

N: nevar

Assim, podemos escrever:

()

DCN

, negando

[()]

DCN

~

[()]

DCN

~

()

DCN

~

)

DCN

A temperatura diminuir mesmo no chovendo e no nevando.

No chover e no nevar e mesmo assim a temperatura diminuir.



1) Far sol se, e somente se no chover.

2) Bruno aluno MD ou pesquisador.

3) Existe menina feia.

4)Todo menino gosta de futebol.

5) Nenhuma menina gosta do Corinthians.

6) Tudo que bom engorda.

7)Todos os homens so mortais.

8)Thas inteligente e estuda.

9)O Corinthians ganhar o campeonato brasileiro se o juiz roubar ou os santos ajudarem.


1) Far sol se, e somente se chover.

2) No aluno Bruno MD e no pesquisador.

3) Todas as meninas no so feias.

4) Existe menino e que no gosta de futebol.

5) Existem meninas que no gostam do Corinthians.

6) Nem Tudo que bom engorda.( Existe coisa boa e que no engorda)

7) Existem homens que no so mortais.

8) Thas no inteligente ou no estuda.

9) Mesmo o juiz roubando ou os santos ajudando, o Corinthians no ganhar o campeonato brasileiro.

2.11. Argumentos

Sejam

12

,,...,

n

PPP

e

Q

proposies. Denomina-se argumento a toda afirmao de que uma dada seqncia finita de proposies

12

,,...,

n

PPP

acarreta uma proposio final

Q

.

12

,,...,

n

PPP

denominam-se premissas, e

Q

concluso. L-se

12

,,...,

n

PPP

acarreta

Q

ou

Q

decorre de

12

,,...,

n

PPP

.

Um argumento que consiste em duas premissas e uma concluso, denomina-se silogismo.

Um argumento

12

,,...,

n

PPPQ

a

valido se, e somente se a condicional

12

(...)

n

PPPQ

a

uma tautologia.

Exemplo 16.

Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentao vlida ou uma falcia .

1) Sejam as Premissas:

i) Se um homem feliz, ele no solteiro.

ii) Se um homem no feliz, ele morre cedo.

Concluso:

Homens solteiros morrem cedo.

Chamando

F: Homem feliz

S: Solteiro

C: morre Cedo

Podemos escrever a forma simblica (argumentao) como:

[()()]()

FSFCSC

______1________1________1___________ 1_______ 1 concluso

___________1__________________________________2 concluso

__________0___________________________________3 concluso

___0__________________0_______________________4 concluso

____________________1________1______________1_ 5 concluso

__________________________________1______1____final

Portanto, a argumentao verdadeira.


i) Se um homem no fuma , ento atleta ou no alcolatra.

ii) Se um homem fuma, ento tem cncer.

iii) Paulo no atleta mas alcolatra.

Concluso:

Paulo tem cncer.

Chamando

F: Fuma

C: Cncer

At: Atleta

Al: Alcolatra

(

)

(())()

tltl

FAAFCAAC

______ 1____________________1__________ __ 1__________1 concluso

______________________________________1__ ___1____ 2 concluso

___________0______1_____________________0____________3 concluso

________________0____________________________________4 concluso

______________0______________________________________5 concluso

___0_________________________________________________6 concluso

_____1____________________1_____1_________________ 1_ 7 concluso

_________________________________________________1__ Verdade__



i) Se eu no jogar xadrez,jogarei futebol.

ii) Se estiver machucado, no jogarei futebol

Concluso:

Se estiver machucado jogarei xadrez.

Chamando

X: jogar Xadrez

F: Futebol

M: Machucado

(

)

(

)

(

)

XFMFMX

______ V_____________ V_____________________ 1 concluso

_______________V____________________ V hip ____ 2 concluso

___________________V_________________________ 3 concluso

___________F________________F________________ 4 concluso

___F__________________________________________ 5 concluso

______V____________________________________V__6 concluso

_____________________________________V_______ 7 concluso

_______________________________V_______________Verdade



Verifique em cada um dos casos abaixo, se a argumentao vlida ou uma falcia .


i) Os bebes no so lgicos.

ii) Quem consegue amestrar um crocodilo no desprezado.

iii) Pessoas no lgicas so desprezadas.

Concluso:

Bebes no conseguem amestrar crocodilo.


i) O professor no erra.

ii) Andria distrada.

iii) Quem distrado erra

Concluso:

a) Andria no professora.

b) Nenhum professor distrado.


i) Gracielli estudiosa.

ii) Todo estudioso aprovado em Matemtica discreta.

Concluso:

Gracielli ser reprovada em Matemtica discreta.


1) e 2) A argumentao verdadeira.

3) A argumentao falsa.

_1295506675.unknown

_1296120537.unknown

_1296138457.unknown

_1296151135.unknown

_1296152983.unknown

_1296153956.unknown

_1296288809.unknown

_1296289092.unknown

_1296296225.unknown

_1296297283.unknown

_1296477282.unknown

_1296504364.unknown

_1296298066.unknown

_1296297195.unknown

_1296296076.unknown

_1296288937.unknown

_1296289018.unknown

_1296288884.unknown

_1296154305.unknown

_1296288235.unknown

_1296288254.unknown

_1296288178.unknown

_1296154214.unknown

_1296154254.unknown

_1296153650.unknown

_1296153747.unknown

_1296153872.unknown

_1296153916.unknown

_1296153609.unknown

_1296153626.unknown

_1296153560.unknown

_1296153428.unknown

_1296152177.unknown

_1296152418.unknown

_1296152774.unknown

_1296152794.unknown

_1296152437.unknown

_1296152749.unknown

_1296152377.unknown

_1296152232.unknown

_1296152342.unknown

_1296151822.unknown

_1296152093.unknown

_1296152155.unknown

_1296151900.unknown

_1296152038.unknown

_1296151699.unknown

_1296151803.unknown

_1296151391.unknown

_1296151410.unknown

_1296149488.unknown

_1296150351.unknown

_1296150567.unknown

_1296150862.unknown

_1296151079.unknown

_1296150621.unknown

_1296150837.unknown

_1296150849.unknown

_1296150825.unknown

_1296150594.unknown

_1296150513.unknown

_1296150012.unknown

_1296150134.unknown

_1296150222.unknown

_1296150078.unknown

_1296149734.unknown

_1296149851.unknown

_1296149657.unknown

_1296148569.unknown

_1296149032.unknown

_1296149226.unknown

_1296149424.unknown

_1296148850.unknown

_1296148935.unknown

_1296148907.unknown

_1296148624.unknown

_1296148112.unknown

_1296148217.unknown

_1296147990.unknown

_1296135408.unknown

_1296136280.unknown

_1296137687.unknown

_1296138278.unknown

_1296138341.unknown

_1296138064.unknown

_1296138082.unknown

_1296138094.unknown

_1296138034.unknown

_1296138049.unknown

_1296136880.unknown

_1296137431.unknown

_1296137581.unknown

_1296137264.unknown

_1296137339.unknown

_1296137171.unknown

_1296136300.unknown

_1296135680.unknown

_1296136078.unknown

_1296136160.unknown

_1296135701.unknown

_1296135592.unknown

_1296135642.unknown

_1296135660.unknown

_1296135633.unknown

_1296135591.unknown

_1296124860.unknown

_1296133042.unknown

_1296133298.unknown

_1296135385.unknown

_1296133180.unknown

_1296132096.unknown

_1296132518.unknown

_1296131307.unknown

_1296131434.unknown

_1296125426.unknown

_1296121564.unknown

_1296122894.unknown

_1296123006.unknown

_1296122335.unknown

_1296121017.unknown

_1296121276.unknown

_1296120830.unknown

_1296116059.unknown

_1296118424.unknown

_1296119252.unknown

_1296120068.unknown

_1296120342.unknown

_1296119910.unknown

_1296119132.unknown

_1296119251.unknown

_1296118517.unknown

_1296118348.unknown

_1296118379.unknown

_1296118410.unknown

_1296117528.unknown

_1296117704.unknown

_1296118328.unknown

_1296117128.unknown

_1295508441.unknown

_1296115719.unknown

_1296115902.unknown

_1296115973.unknown

_1296115882.unknown

_1295511999.unknown

_1296115695.unknown

_1295510865.unknown

_1295507005.unknown

_1295507136.unknown

_1295507341.unknown

_1295507026.unknown

_1295506808.unknown

_1295506941.unknown

_1295506761.unknown

_1008807163.unknown

_1295434989.unknown

_1295436701.unknown

_1295504622.unknown

_1295506553.unknown

_1295506627.unknown

_1295504931.unknown

_1295436975.unknown

_1295437252.unknown

_1295435290.unknown

_1295436313.unknown

_1295436478.unknown

_1295436483.unknown

_1295435579.unknown

_1295435072.unknown

_1008808020.unknown

_1008808103.unknown

_1008808756.unknown

_1008808945.unknown

_1008809082.unknown

_1008808864.unknown

_1008808144.unknown

_1008808085.unknown

_1008807249.unknown

_1008807551.unknown

_1008807192.unknown

_1008197740.unknown

_1008805241.unknown

_1008807065.unknown

_1008805620.unknown

_1008804563.unknown

_1008804590.unknown

_1008804349.unknown

_1008194206.unknown

_1008194274.unknown

_1008194322.unknown

_1008193967.unknown

_1008194125.unknown

CÁLCULO PROPOSICIONAL - Tororó de Ideias · Web view2.1. Conectivos . O Cálculo das...

Documents

Transcript of CÁLCULO PROPOSICIONAL - Tororó de Ideias · Web view2.1. Conectivos . O Cálculo das...