Cálculos aplicados em saúde e segurança do trabalho

SÉRIE SEGURANÇA DO TRABALHO

CÁLCULOS APLICADOS

EM SAÚDE E SEGURANÇA

DO TRABALHO

Série Segurança do Trabalho

CÁLCULOS APLICADOS


DO TRABALHO

CONFEDERAÇÃO NACIONAL DA INDÚSTRIA – CNI

Robson Braga de AndradePresidente

DIRETORIA DE EDUCAÇÃO E TECNOLOGIA

Rafael Esmeraldo Lucchesi RamacciottiDiretor de Educação e Tecnologia

SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL – SENAI

Conselho Nacional

Robson Braga de AndradePresidente

SENAI – Departamento Nacional

Rafael Esmeraldo Lucchesi RamacciottiDiretor-Geral

Gustavo Leal Sales FilhoDiretor de Operações

Série Segurança do Trabalho

CÁLCULOS APLICADOS


DO TRABALHO

SENAI

Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial Departamento Nacional

Sede

Setor Bancário Norte • Quadra 1 • Bloco C • Edifício Roberto Simonsen • 70040-903 • Brasília – DF • Tel.: (0xx61) 3317-9001 Fax: (0xx61) 3317-9190 • http://www.senai.br

© 2012. SENAI – Departamento Nacional

© 2012. SENAI – Departamento Regional de Santa Catarina

A reprodução total ou parcial desta publicação por quaisquer meios, seja eletrônico, mecâ-nico, fotocópia, de gravação ou outros, somente será permitida com prévia autorização, por escrito, do SENAI.

Esta publicação foi elaborada pela equipe do Núcleo de Educação a Distância do SENAI de Santa Catarina, com a coordenação do SENAI Departamento Nacional, para ser utilizada por todos os Departamentos Regionais do SENAI nos cursos presenciais e a distância.

SENAI Departamento Nacional Unidade de Educação Profissional e Tecnológica – UNIEP

SENAI Departamento Regional de Santa Catarina Núcleo de Educação – NED

FICHA CATALOGRÁFICA

S491c

Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Nacional. Cálculos aplicados em saúde e segurança do trabalho / Serviço Nacional de

Aprendizagem Industrial. Departamento Nacional, Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Regional de Santa Catarina . Brasília : SENAI/DN, 2012.

126 p. : il.; (Série Segurança do Trabalho).

ISBN 798-85-7519-491-1

1. Cálculo. 2. Unidade de medidas. 3. Frações. I. Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Regional de Santa Catarina II. Título III. Série.

CDU: 517

lista de ilustraçõesFigura 1 - Forma geométrica – cubo ..........................................................................................................................22Figura 2 - Forma geométrica – pirâmide ..................................................................................................................22Figura 3 - Forma geométrica – paralelepípedo ......................................................................................................22Figura 4 - Forma geométrica – esfera .........................................................................................................................23Figura 5 - Forma geométrica – cilindro .....................................................................................................................23Figura 6 - Forma geométrica – paralelogramo .......................................................................................................23Figura 7 - Antecedente e consequente .....................................................................................................................45Figura 8 - Proporção .........................................................................................................................................................52Figura 9 - Representação da população ....................................................................................................................77Figura 10 - Representação do cálculo da média de uma população de dados estatísticos ...................78Figura 11 - Função para o cálculo da média ............................................................................................................78Figura 12 - Amostra dos resultados da média ........................................................................................................78Figura 13 - Amostra da coleta de dados ...................................................................................................................88Figura 14 - Amostra da organização de dados, resultando em rol ..................................................................88Figura 15 - Amostra da forma de como fazer um gráfico ..................................................................................96Figura 16 - Gráfico tipo linha obtido no Excel .........................................................................................................96Figura 17 - Gráfico tipo coluna obtido no Excel .....................................................................................................97Figura 18 - Gráfico tipo barra obtido através do Excel .........................................................................................97Figura 19 - Histograma obtido no Excel ....................................................................................................................98Figura 20 - Forma de cálculo da média .................................................................................................................. 100Figura 21 - Mostra do cálculo da média ................................................................................................................ 101Figura 22 - Mostra dos resultados da média calculada no Excel ................................................................... 102Figura 23 - Conceito de linha, coluna e célula em uma planilha eletrônica .............................................. 108Figura 24 - Separando informações por colunas e tipos de dados diferentes ......................................... 111Figura 25 - Ordenando uma lista simples por critérios ..................................................................................... 111Figura 26 - Planilha básica de uma lista de equipamentos por meses do ano ........................................ 112Figura 27 - Intervalo de células preenchido ......................................................................................................... 113Figura 28 - Selecionando informações para criar um gráfico ......................................................................... 114Figura 29 - Exemplo de gráfico simples.................................................................................................................. 115

Quadro 1 - Matriz curricular ..........................................................................................................................................14Quadro 2 - Área de um quadrado ...............................................................................................................................26Quadro 3 - Área de um retângulo ...............................................................................................................................27Quadro 4 - Área do trapézio .........................................................................................................................................27Quadro 5 - Área do triângulo ........................................................................................................................................27Quadro 6 - Área do triangulo equilátero ...................................................................................................................27Quadro 7 - Área do hexágono .....................................................................................................................................28Quadro 8 - Área do círculo .............................................................................................................................................28Quadro 9 - Área da coroa polar ....................................................................................................................................28

Quadro 10 - Volume do quadrado .............................................................................................................................29Quadro 11 - Volume do paralelepípedo ....................................................................................................................30Quadro 12 - Volume da pirâmide ................................................................................................................................30Quadro 13 - Volume do cilindro ...................................................................................................................................30Quadro 14 - Volume da esfera ......................................................................................................................................31Quadro 15 - Resumo dos tipos de variáveis de uma pesquisa ........................................................................87

Tabela 1 - Sistema de medida internacional ............................................................................................................18Tabela 2 - Relação entre velocidade e tempo .........................................................................................................56Tabela 3 - Variáveis ...........................................................................................................................................................65Tabela 4 - Mínimo múltiplo comum de 50 e 60 ......................................................................................................67Tabela 5 - Demonstrativo de um rol ...........................................................................................................................89Tabela 6 - População brasileira em 2010, segundo dados do IBGE .................................................................94Tabela 7 - População por região brasileira ...............................................................................................................96Tabela 8 - Dados empíricos para construção de um histograma .....................................................................98Tabela 9 - Dados empíricos para calcular a média ............................................................................................ 101Tabela 10 - Dados empíricos para cálculo da média ......................................................................................... 102Tabela 11 - Cálculo da média aritmética pelo processo breve ....................................................................... 103

Sumário1 Introdução ........................................................................................................................................................................13

2 Sistema Internacional de Unidades ........................................................................................................................172.1 Unidades .........................................................................................................................................................182.2 Conversão de unidades de medida ......................................................................................................192.3 Formas geométricas ...................................................................................................................................212.4 Medidas ..........................................................................................................................................................24

2.4.1 Área ................................................................................................................................................262.4.2 Volume ..........................................................................................................................................29

3 Frações ...............................................................................................................................................................................333.1 Tipos de frações ...........................................................................................................................................34

3.1.1 Frações Próprias ........................................................................................................................353.1.2 Frações Impróprias ..................................................................................................................363.1.3 Frações Aparentes ....................................................................................................................36

3.2 Número misto ..............................................................................................................................................363.3 Simplificação .................................................................................................................................................37

3.3.1 Operações com frações: adição e subtração ...................................................................383.3.2 Produto de frações ..................................................................................................................403.3.3 Quociente de frações ...............................................................................................................40

4 Razões Decimais .............................................................................................................................................................434.1 Entre grandezas da mesma espécie .....................................................................................................444.2 Entre grandezas de espécies diferentes ..............................................................................................47

5 Proporções .......................................................................................................................................................................515.1 Termos .............................................................................................................................................................525.2 Propriedade fundamental ........................................................................................................................52

5.2.1 Quando as grandezas são diretamente proporcionais ..............................................535.2.2 Quando as grandezas são inversamente proporcionais ............................................55

5.3 Aplicação .......................................................................................................................................................565.3.1 Aplicação 1 .................................................................................................................................565.3.2 Aplicação 2 ..................................................................................................................................565.3.3 Aplicação 3 .................................................................................................................................57

6 Porcentagem ...................................................................................................................................................................616.1 Taxa Percentual ............................................................................................................................................626.2 Regra de três .................................................................................................................................................646.3 Média ...............................................................................................................................................................66

6.3.1 Média harmônica ......................................................................................................................666.3.2 Média aritmética .......................................................................................................................71

7 Estatística ..........................................................................................................................................................................757.1 População.......................................................................................................................................................767.2 Amostra ...........................................................................................................................................................797.3 Probabilidade................................................................................................................................................827.4 Variáveis ..........................................................................................................................................................83

7.4.1 Variáveis quantitativas ...........................................................................................................847.4.2 Variáveis qualitativas ................................................................................................................857.4.3 Variáveis dependentes (VD) .................................................................................................867.4.4 Variáveis independentes (VI) ................................................................................................867.4.5 Variável aleatória ......................................................................................................................86

7.5 Coleta de dados e dados brutos ............................................................................................................877.5.1 Dados brutos, Rol ......................................................................................................................887.5.2 Amplitude total .........................................................................................................................89

8 Apresentação Gráfica de Dados ...............................................................................................................................938.1 Tabelas .............................................................................................................................................................948.2 Gráficos ...........................................................................................................................................................958.3 Histograma ....................................................................................................................................................98

8.3.1 Valores de tendência central .................................................................................................99

9 Ferramentas .................................................................................................................................................................. 1079.1 Planilhas ....................................................................................................................................................... 1089.2 Gráficos eletrônicos ................................................................................................................................. 114

Referências ........................................................................................................................................................................ 119

Minicurrículo dos Autores ........................................................................................................................................... 121

Índice .................................................................................................................................................................................. 123

1

Este livro didático tem por objetivo apresentar uma série de cálculos básicos, fundamentais para complementação de seus estudos, que vão desde medidas simples, cálculos de área e volume, identificação de formas geométricas, frações, proporções, até estatística. Enfim, uma série de expressões que serão muito úteis na sua profissão.

Com o conhecimento adquirido nesse estudo, você será capaz, por exemplo, de realizar um histograma do número de acidentes em determinado período. Para isso, será necessário identificar um espaço físico de uma empresa e compará-lo com uma forma geométrica. Desta maneira, será encontrada a área do local para análise do mapa de risco, e os cálculos de volume para análise de armazenamento de líquidos tóxicos.

Aproveite as oportunidades de aprendizagem para enriquecer o seu repertório de conhe-cimento!

A seguir são descritos na matriz curricular os módulos e as unidades curriculares previstos e as respectivas cargas horárias.

introdução

CÁlCuloS aPliCadoS À SaÚde e Segurança do Trabalho14

Técnico Segurança do Trabalho

MóDULOS DENOMINAÇÃO UNIDADES CURRICULARES

CARGA hORáRIA

CARGA hORáRIA DO MóDULO

Básico Básico

• Comunicação Oral e

Escrita

60h

300h

• Fundamentos de

Saúde e Segurança do

Trabalho

120h

• Cálculos aplicados em


Trabalho

60h

• Gestão de pessoas 60h

Específico I

Realização de

ações de saúde

e segurança do

trabalho

• Ações Educativas em


Trabalho

• Saúde e Segurança do

Trabalho

90h

360h

450h

Específico II

Coordenação de

ações de saúde

e segurança do

trabalho

• Coordenação de Ações

em Saúde e Segurança

do Trabalho

150h 150h

Específico III

Planejamento de

ações de saúde

e segurança do

trabalho

• Planejamento de Ações

em Saúde e Segurança

do Trabalho

300h 300h

Quadro 1 - Matriz curricularFonte: SENAI DN

Agora você é convidado a trilhar os caminhos do conhecimento. Faça deste processo um momento de construção de novos saberes, onde teoria e prática devem estar alinhadas para o seu desenvolvimento profissional.

Bons estudos!

Anotações:

1 inTrodução 15

2Sistema internacional de unidades

A matemática está presente no nosso dia a dia e pode ser muito importante quando aplica-da em nossa área profissional. Procure utilizar os números não apenas para gerar relatórios, mas para reduzir o número de acidentes que ocorrem todos os dias na indústria.

Você verá, neste capítulo, os conceitos básicos de cálculos, que o ajudarão no dia a dia da sua vida profissional. Também saberá calcular a área da unidade física de uma empresa, pois, realizar cálculos para gerar estatísticas e gráficos são atividades importantes para sua área de atuação.

Para adentrar neste assunto e, ao final, alcançar os objetivos propostos, você precisa investir na sua dedicação, motivação e autonomia. Tornando o processo de aprendizagem um espaço para aprender a aprender.

Ao final deste capítulo você terá subsídios para:

a) elaborar cálculos de conversão de unidades de medida;

b) realizar medições de diferentes formas geométricas;

c) utilizar sistemas de unidade de medidas.


2.1 unidadeS

VOCÊ SABIA?

Que as unidades determinam grandezas físicas, e que elas são utilizadas também para comparações com ou-tras medidas?

O sistema de medidas internacionais padroniza algumas medidas básicas, e conforme a exigência, necessita de uma maior precisão baseada no sistema mé-trico decimal, conforme você pode conferir na tabela a seguir.

Tabela 1 - Sistema de medida internacional

MÚLTIPLOS E SUbMÚLTIPLOS DO METROTerâmetro Tm 1012 1 000 000 000 000Gigâmetro Gm 109 1 000 000 000Megâmetro Mm 106 1 000 000Quilômetro Km 103 1 000Hectômetro Hm 102 100Decâmetro Dam 101 10Metro (unidade) M 100 1Decímetro DM 10 -1 0, 1Centímetro Cm 10-2 0, 01Milímetro Mm 10-3 0, 001Micrômetro Um 10-6 0, 000 001Nanômetro Nm 10-9 0, 000 000 001Picômetro PM 10-12 0, 000 000 000 001Femtômetro FM 10-15 0, 000 000 000 000 001Attômetro AM 10-18 0, 000 000 000 000 000 001

As unidades vêm sendo aprimoradas ao longo do tempo, de acordo com a necessidade de cada época. Da mesma forma, surgem outros instrumentos de medição como, por exemplo: a régua de 30cm, a trena à laser1 e o GPS2, com os quais é possível verificar distâncias em metros ou quilômetros, precisamente.

Alv

iman

n (2

0--?

)

1 LASER

Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation - Amplificação de Luz por Emissão Estimulada de Radiação – cria um feixe de luz que é capaz de ser projetado e refletido ou absorvido por objetos e é utilizado em diversos tipos de aplicação.

2 GPS

Global Positioning System - Sistema de Posicionamento Global – é um sistema capaz de identificar a localização geográfica terrestre de um determinado ponto através do recebimento de sinais de satélites.

2 SiSTema inTernaCional de unidadeS 19

É bem comum utilizar as unidades de medidas: metro, milímetro, centímetro ou quilômetro. A tabela do sistema de medidas internacional é utilizada para identificar o quão grande ou pequena é uma dimensão em relação a um metro.

Veja os exemplos: um quilômetro corresponde a 10³ metros, ou seja, 1000 me-tros. Ou ainda: se você tivesse trabalhando com informática, no lugar do metro você usaria bits. Um kilobits é igual a 10³ bits, ou 1000 bits de dados, assim como um megabits é 106 ou 1.000.000 bits.

FIQUE ALERTA

De acordo com a tabela de medidas internacional, a uni-dade metro (m) deve ser escrita minúscula. Dessa forma, milímetro deve ser descrito como mm, e não Mm. Assim deverá ser para as demais unidades. Somente unidades que possuem nome próprio são descritas com letras maiúsculas, como por exemplo: Pascal (Pa), Watts (W), Newton (N), entre outras.

Ger

ard7

9 (2

0--?

)

E então, você já havia tido contato com este assunto? Saiba que o conteúdo que você acabou de conhecer será muito importante para dar sequência ao seu estudo. Agora que você conheceu as unidades, verá, a seguir, como convertê-las em outras unidades de medida.

2.2 ConverSão de unidadeS de medida

As unidades de medida podem ser convertidas em outras unidades, bastando conhecer a sua grandeza. Veja a seguir alguns exemplos básicos de conversão.


1” (uma polegada3) = 25,4mm

25,4mm = 1”

25,4mm = 2,54cm

1m = 100cm

1m = 1000mm

150cm = 1.5m

300mm = 30cm

50cm = 0,5m

1km = 1000m

VOCÊ SABIA?

Que para transformar centímetro em milímetro, deve multiplicar o valor por 10;

Que para transformar metro em milímetro, deve multi-plicar o valor por 1000; e

Que para transformar polegada em milímetro, deve multiplicar o valor por 25,4mm?

Você pôde ver que uma polegada corresponde a 25,4mm, certo? Então, se você precisar transformar duas polegadas e meia em milímetros, deverá realizar o seguinte cálculo:

2, 5” x 25,4mm = 63,5mm.

Geralmente, a polegada é expressa em fração, ou seja, 2 ½" (duas polegadas e meia). Sendo assim, divide-se o numerador pelo denominador e soma-se ao 2, da seguinte forma:

1 ÷ 2 = 0,5 + 2 = 2,5”.

3 POLEGADA

É uma unidade de medida usada no sistema imperial de medidas no Reino Unido. Polegadas são representadas também usando as iniciais do termo em inglês: in (inches).


Rock

o Ro

cko

(20-

-?)

Observe que não basta saber fazer a conversão das unidades, é necessário, também, saber como ler e escrever essas informações. Veja a seguir alguns exem-plos.

VOCÊ SABIA?

Que um décimo de milímetro, é descrito na forma nu-meral 0,1mm;

Que um centésimo de milímetro, é descrito como sendo igual a 0,01mm; e

Que o valor 23,34mm pode ser lido como: vinte e três milímetros e trinta e quatro centésimos?

Então, você se interessou pelo conteúdo que acabou de ver? Agora, que você já sabe converter as unidades, poderá conhecer as diferentes formas geométricas.

2.3 FormaS geoméTriCaS

Algumas imagens básicas são importantes para calcular a área e o volume. Você aprenderá agora algumas formas geométricas, das inúmeras que existem, como o quadrado, o retângulo, a esfera e o triângulo.

Para o cálculo de área e volume existem fórmulas, precisando somente infor-mar a altura, o comprimento ou a largura de determinada forma geométrica. Es-sas informações são importantes para você poder identificar com clareza as for-


mas que serão necessárias para a elaboração do mapa de risco, bem como poder calcular a área e o volume dos objetos na sua empresa.

Conheça a seguir as principais formas geométricas.

Wal

eska

Rus

chel

(201

1)

Figura 1 - Forma geométrica – cubo

Wal

eska

Rus

chel

(201

1)

Figura 2 - Forma geométrica – pirâmide

Wal

eska

Rus

chel

(201

1)

Figura 3 - Forma geométrica – paralelepípedo


Wal

eska

Rus

chel

(201

1)

Figura 4 - Forma geométrica – esfera

Wal

eska

Rus

chel

(201

1)

Figura 5 - Forma geométrica – cilindro

Wal

eska

Rus

chel

(201

1)

Figura 6 - Forma geométrica – paralelogramo

Neste estudo que você acabou de realizar, foi possível conhecer alguns exem-plos de formas geométricas. Você ainda conheceu as unidades de medidas e aprendeu a converte-las. No conteúdo seguinte, você verá como calcular a área e o volume de algumas figuras geométricas.


2.4 medidaS

Nesta etapa do conteúdo, você estudará as medidas lineares como, por exem-plo, uma distância em metros ou quilômetros. Você também conhecerá as áreas das figuras geométricas como a de um quadrado e a de um triângulo e saberá identificar o volume dessas figuras por meio de cálculos.

Para identificar os diversos tipos de medidas, depende da figura geométrica que irá analisar. Pode ser uma medida linear, se estiver falando de uma reta, como a base e a altura de um quadrado. Pode ser um ângulo, quando se tem uma in-clinação entre dois planos como, por exemplo, os planos de um paralelogramo. Pode ser ainda um raio ou um diâmetro, como de um círculo, sendo o raio uma medida linear reta da metade do diâmetro. Pode ser um arco, ao medir o contor-no de uma parte da circunferência.

Como você pode verificar, é possível encontrar todos os tipos de medidas nas figuras geométricas. Para isso, é necessário identificá-las conforme o caso em questão.

FIQUE ALERTA

As medidas lineares são usadas para expressar uma medi-da inteira ou fracionada de um lugar até outro, ou ainda, para expressar uma quantidade exata de material.

Ao expressar a quantidade de parafusos no almoxarifado, por exemplo, a res-posta será um número inteiro, pois, em nenhuma hipótese existirá no almoxarifa-do 15,3 ou 10,5 parafusos e sim, 15 ou 10.

Se você pesar uma caixa, poderá encontrar 3 algarismos significativos, depen-dendo da precisão desejada. Ou seja, conforme a situação, a caixa poderá pesar 2Kg ou 2,34Kg. Acompanhe os exemplos a seguir!

a) Dada a medida em milésimos de polegada, você poderá expressá-la em mm da seguinte forma:

0,750” - o valor em polegada milesimal é multiplicado por 25,4mm. 0,750” x 25,4mm = 19,05mm.

b) Para o cálculo da polegada fracionária, você deverá proceder da seguinte forma:

5/8” - divide-se o número 5 pelo denominador 8 e multiplica-se por 25,4mm.

5 ÷ 8 x 25,4 = 15,875mm


Veja a seguir uma situação que pode exemplificar o que você acabou de co-nhecer.

Mic

roso

ft O

ffice

(20-

-?)

CaSoS e relaToS

O Piloto de Corrida

Um piloto de corrida fez o percurso de uma prova com velocidade média de 210km/h.

Ele sabe que, quando se trata da velocidade de um veículo, é necessá-rio utilizar medidas como quilômetros por hora, ou seja, o número total de quilômetros que são percorridos pelo veículo, a cada hora que passa. Normalmente, expressamos este valor considerando uma média.

O piloto percebe que, para vencer a corrida, precisa aumentar sua velo-cidade média. No entanto, ele soube que seu principal adversário está atingindo a média de 60m/s (metros por segundo).

Como ele poderá descobrir a diferença para saber se o seu desempenho é suficiente?

Primeiramente, será necessário transformar todas as unidades de medida que fazem parte da velocidade:

Transforma os 210km em metros:

210km = 210.000m


Em seguida, transforma horas em segundos:

1 hora = 60 min = 3600 segundos

A seguir, realiza a seguinte divisão:

210.000 ÷ 3.600 = 58,3m/s

Ou, divide o valor em km/h por 3,6, ou seja:

210 ÷ 3,6 = 58,3m/s

Desta forma, o piloto descobriu que a média da velocidade no seu treino foi de 58,3 m/s. Mas, para comparar com a velocidade do adversário, ele faz novamente a conversão, só que desta vez, de 60 m/s para quilômetros por segundo, multiplicando o valor encontrado por 3,6, resultando em 216km/h.

Por fim, diminuindo a velocidade calculada do adversário (216km/h) da velocidade do piloto (210km/h), encontramos a diferença. Agora o piloto já sabe que deverá aumentar em 6 km/h sua velocidade média para atin-gir o seu objetivo.

2.4.1 Área

O cálculo da área é baseado na observação das formas geométricas, em duas dimensões: base e altura. Estas informações são necessárias para a elaboração dos mapas de risco, identificando espaços mínimos ou alturas máximas para utili-zação de um produto. A seguir, conheça as fórmulas referentes às figuras geomé-tricas, lembrando que o diâmetro é igual a “d”. Confira!

Wal

eska

Rus

chel

(201

1)

Fórmula do quadrado:

A = a2

Quadro 2 - Área de um quadrado


Wal

eska

Rus

chel

(201

1)

Fórmula do retângulo:

A =a.b

Quadro 3 - Área de um retânguloW

ales

ka R

usch

el (2

011)

Fórmula do trapézio:

h2

baA ×

+=

Quadro 4 - Área do trapézio

Wal

eska

Rus

chel

(201

1)

Fórmulas do triângulo:

2ha

A×

=

2cba

s++

=

srA ×=

Quadro 5 - Área do triângulo

Wal

eska

Rus

chel

(201

1)

Fórmula do triângulo equilátero:

34

aA

2

×=

Quadro 6 - Área do triangulo equilátero


Wal

eska

Rus

chel

(201

1)

Fórmulas do hexágono:

)3a23

A( 2 ××=

(d = 2a s = d23× )

Quadro 7 - Área do hexágono

D'Im

itre

Cam

argo

(201

1)

Fórmulas do círculo:

2d4

A ×π

= 2rπA ×=

π×

=A4

d πA

r

Quadro 8 - Área do círculo

D'Im

itre

Cam

argo

(201

1)

Fórmula da coroa polar:

)dD(πA 22 −=

2dD

b−

=

Quadro 9 - Área da coroa polar


SAIBA MAIS

É possível calcular áreas de ambientes ou objetos irregula-res? Sim, utilizando a técnica da aproximação, ao comparar o desenho que representa a área irregular com uma ou várias outras figuras geométricas regulares, como visto anterior-mente.

Veja o exemplo disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/calculo-de-areas-especiais.htm>.

2.4.2 Volume

O volume de uma peça ou forma geométrica mede a quantidade que deter-minado material ocupa dentro de um espaço físico. Esse volume é calculado em 3 dimensões: largura, altura e comprimento.

Para que você entenda um pouco mais sobre volume, imagine que você preci-se encher uma piscina. Qual seria o volume de água necessário? Para realizar este cálculo, é necessário saber a largura, altura e comprimento da piscina.

Assim, para cada forma geométrica há uma fórmula diferente para calcular o volume. Confira a seguir as fórmulas do volume de alguns elementos geométri-cos.

D'Im

itre

Cam

argo

(201

1)

Fórmula do quadrado:

2aV =

a3d ×=

Quadro 10 - Volume do quadrado


D'Im

itre

Cam

argo

(201

1)

Fórmula do paralelepípedo:

cbaV ××=

222 cbad ++=

Quadro 11 - Volume do paralelepípedo

Luiz

Men

eghe

l (20

11)

Fórmula da pirâmide:

3h1A

V×

=

Quadro 12 - Volume da pirâmide

Luiz

Men

eghe

l (20

11)

Fórmula do cilindro:

V=πR².h

Quadro 13 - Volume do cilindro


Luiz

Men

eghe

l (20

11)

Fórmula da esfera:

3d34

V ×π×=

Quadro 14 - Volume da esfera

Como você acabou de ver, é possível aprender como calcular a área e o vo-lume das figuras geométricas por meio de observação dos objetos. No capítulo seguinte, você aprenderá outras unidades numéricas que complementarão o que estudou até o momento.

reCaPiTulando

Neste capítulo, você estudou que para chegar ao cálculo de uma área ou volume é necessário identificar corretamente a forma geométrica do objeto e aplicar a fórmula correspondente. Portanto, se torna bastante simples seu cálculo, porém, de muita importância o seu resultado.

Você deverá saber utilizar as fórmulas das formas geométricas mais co-muns, como a fórmula que calcula a área de um círculo, de um quadrado e a de um retângulo. Saber encontrar o volume dessas formas também é um aprendizado que você não deverá esquecer. Para as formas geo-métricas menos utilizadas, tenha sempre em mãos o livro didático para consulta.

3Frações

Você sabe quanto é um quarto do volume de um litro de leite? Saberia demonstrar de que forma se escreve um quarto? Neste capítulo, você aprenderá como calcular e escrever uma fra-ção numérica, bem como os tipos e formas em que se apresentam.


a) calcular dados estatísticos de desvios, acidentes, incidentes e doenças ocupacionais;

b) calcular índices estatísticos de saúde e segurança do trabalho, inclusive em planilha ele-trônica;

c) elaborar cálculos matemáticos aplicados à saúde, segurança e meio ambiente.


3.1 TiPoS de FraçõeS

Você já deve ter percebido que, constantemente, as frações se fazem presen-tes no seu cotidiano, que podem aparecer tanto em forma de divisões de partes como, por exemplo, um quarto (¼), ou acompanhar uma unidade numérica intei-ra como, por exemplo, um litro e meio (1 ½). Você verá, a seguir, algumas formas de como as frações são apresentadas e como devem ser calculadas.

Mic

roso

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ffice

(20-

-?)

A fração é outra maneira de expressar uma divisão, além da forma decimal. Veja a seguir um exemplo de como a fração pode se apresentar.

51

= 1 ÷ 5 = 0,2

Como você pode conferir no exemplo, o número 1 é o numerador e o número 5 é o denominador.

CaSoS e relaToS

As Terras do Faraó Sesóstris

O faraó egípcio Sesóstris distribuiu várias terras aos agricultores às mar-gens do rio Nilo. Como estes locais eram considerados privilegiados, a disputa por cada pedaço de terra gerava grandes conflitos.

3 FraçõeS 35

Os primeiros registros do uso de frações foram dos egípcios por volta de 3000 a.C.. Enquanto mediam as terras com o uso de cordas para dividi--las entre os agricultores, eles descobriram que nem sempre um terreno tinha a mesma medida do tamanho de cada corda. E por isso, resolveram considerar partes de cada unidade de medida.

Uma unidade de medida era representada pelo espaço entre os dois nós de uma corda. Ou seja, uma medição poderia ser representada, por exemplo, por 10 nós e meio.

As necessidades de uso das frações de outros povos antigos também fo-ram motivadas pela comercialização de produtos, quando as unidades de medida ainda eram imprecisas e não existiam padrões. Muitas des-tas unidades de medida foram inicialmente baseadas no corpo humano, como pé, polegada, palmo, etc.

Agora, que você sabe o que é uma fração e de que forma ela pode se apresen-tar, chegou o momento de conhecer quais são os tipos existentes. Veja, a seguir, o que é uma fração própria, imprópria ou aparente e o exemplo de cada uma delas.

3.1.1 Frações PróPrias

É quando o numerador é menor que o denominador.

62

165

Mic

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(20-

-?)


3.1.2 Frações imPróPrias

É quando o numerador é maior que o denominador.

78

3.1.3 Frações aParentes

É quando o numerador é múltiplo do denominador.

612

Você conhecia os tipos de fração? Ao seguir em frente, você verá que elas se-rão importantes para chegar ao cálculo dos números mistos. Portanto, você está convidado a aprofundar conhecimentos no universo dos cálculos, com muita mo-tivação e dedicação!

3.2 nÚmero miSTo

Você sabe o que é um número misto?

Número misto é quando uma fração possui um número inteiro mais uma fra-ção. Pode ser representado como fração imprópria. Veja, a seguir, um exemplo de número misto.

62

1:log68

o

Veja outro exemplo, onde tanto 6 ¼ como 25/4 possuem o mesmo resultado.

6 ¼ = (24 +1)/4 = 25/4

Você viu como é possível conhecer um pouco mais sobre frações numéricas? Mas não para por aqui. Nas próximas páginas você verá como simplificá-las e como realizar operações de adição e subtração.

3 FraçõeS 37

VOCÊ SABIA?

Que a porcentagem também é uma representação de uma fração? Quando dizemos, por exemplo, que 11% (por cento) dos passageiros de veículos que ocupam o banco traseiro usam o cinto de segurança, estamos usando uma fração, ou seja, 11/100 (onze passageiros de cada cem).

3.3 SimPliFiCação

Você sabe no que consiste a simplificação de uma fração?

Simplificar uma fração consiste em reduzir o numerador e o denominador por meio da divisão pelo máximo divisor comum aos dois números. Por exemplo, ao possuir dois números, como 24 e 12, você pode dividi-los por 1, por 2, por 3, por 4 e por 6. Portanto, 6 é o maior, e, por isso, é chamado de máximo divisor comum. O resultado da simplificação entre 24 e 12 você verá a seguir.

24 / 12

24 ÷ 6= 4

12 ÷ 6= 2

O resultado da simplificação acima é 4/2.

Mas quando sei que uma fração está totalmente simplificada? Saberei assim que verificar que seus termos estão totalmente reduzidos a números que não possuem termos divisíveis entre si.

Com base nesta afirmação, é possível concluir que no cálculo acima ainda é pos-sível continuar a simplificação. Sendo agora o número 2 o máximo divisor comum, divide-se o 4 por 2, resultando em 2. Em seguida, divide-se 2 por 2, cujo resultado passa ser igual a 1. Dessa maneira, o resultado da simplificação desta fração é 2.

4/2=2

2/2=1

Uma fração simplificada também pode sofrer alteração do numerador e do denominador, mas seu valor matemático não é alterado, pois, a fração quando tem seus termos reduzidos, torna-se uma fração equivalente. Você pode enten-der melhor esse conceito no exemplo a seguir.


23

46

812

==

Veja como chegar ao resultado da fração simplificada da fração que você acabou de ver.

12 / 8

Esta fração tem o máximo divisor comum igual 4. Portanto, o 12 e o 8 deverão ser divididos por 4.

12 ÷ 4 = 3

8 ÷ 4 = 2

Logo, a fração simplificada fica 3/2.

Agora que você já sabe simplificar uma fração, que tal aprender também a somar e subtrair? Conheça a seguir estas outras formas de operações.

SAIBA MAIS

Para conhecer outros conceitos e exemplos obre simplifica-ção de frações, acesse o site Matemática Didática. Disponível em: <http://www.matematicadidatica.com.br>. Esse site também disponibiliza calculadoras que apresentam a solu-ção passo a passo das operações realizadas.

3.3.1 oPerações com Frações: adição e subtração

Você poderá somar ou subtrair frações de duas formas: quando os denomina-dores forem iguais ou quando eles forem diferentes.

1 EQUAçãO

Representa a igualdade entre duas expressões matemáticas. É utilizada para verificar os valores de variáveis entre estas duas expressões.

3 FraçõeS 39

Mic

roso

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(20-

-?)

Quando os denominadores forem iguais, você deve somar os numeradores e manter o denominador, como é exemplificado na equação1 a seguir.

43

42

41

=+

Quando os denominadores forem diferentes, você deve multiplicar os deno-minadores, como você pode visualizar na equação a seguir.

4083

52

=+

Mas você viu que este cálculo não mostra nenhum resultado?

Para concluir esta equação é necessário ainda:

a) dividir o 40 pelo denominador da primeira fração: 40 ÷ 5 = 8;

b) multiplicar o resultado encontrado pelo numerador: 8 x 2 = 16.

Da mesma forma para a segunda fração:

a) dividir o 40 pelo denominador: 40 ÷ 8 = 5;

b) multiplicar o resultado encontrado pelo numerador: 5 x 3 = 15.

Sendo assim, veja no exemplo a seguir como ficará nossa operação de deno-minadores diferentes.


4031

401516

83

52

=+

=+

3.3.2 Produto de Frações

O produto entre duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores dessas duas fra-ções. Você pode compreender melhor esse conceito ao visualizar os exemplos a seguir.

353

71

x53

=

409

41

x109

=

3.3.3 Quociente de Frações

Você pode chegar ao quociente entre frações, efetuando uma divisão segun-do a seguinte regra: multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda. Veja no exemplo, a seguir, como você deverá proceder.

2021

47

x53

74

53

==÷

FIQUE ALERTA

Ao realizar operações com frações tenha cuidado com os sinais. Não se esqueça que o sinal acompanha o numera-dor de cada fração. E normalmente, quando o valor repre-sentado pela fração for positivo, não haverá o sinal + na frente do numerador.

3 FraçõeS 41

reCaPiTulando

Neste capítulo, você pôde ver que as frações são unidades numéricas bastante importantes para os cálculos do nosso dia a dia. Podem ser di-vididas em próprias, impróprias e aparentes, e que, ao final de um resul-tado, pode ainda ser simplificada. Viu também como é possível somar, subtrair, multiplicar e dividir frações entre si.

No estudo do próximo capítulo, você estudará as frações em outras dife-rentes formas de aplicação, com grandezas de mesma espécie e espécies diferentes.

4razões decimais

Neste capítulo, você estudará as razões decimais entre grandezas da mesma espécie e entre espécies diferentes. Por exemplo, você será capaz de analisar a razão em quilômetros por litro para deslocar-se de uma cidade para outra. Desta forma, você saberá a quantidade mínima que deve abastecer de combustível para realizar a viagem. Veja que você aprenderá mais um recurso matemático para ser aplicado no seu dia a dia.


a) elaborar cálculos de conversão de unidades de medidas;

b) elaborar cálculos matemáticos aplicados à saúde, segurança e meio ambiente;

c) utilizar sistemas de unidades de medidas.


4.1 enTre grandezaS da meSma eSPéCie

As razões decimais são importantes para conseguir analisar algumas situações do nosso cotidiano. Mas, antes de aprofundar o estudo desta etapa, você verá a sucessão dos múltiplos de 6 e 8. Acompanhe o exemplo a seguir.

6, 12, 18, ...

8, 16, 24, ...

Se você escrever em forma de fração, cada termo da primeira sucessão pelo seu correspondente na segunda obterá o que é apresentado no exemplo a seguir.

2418

,1612

,86

Ao simplificar cada fração, obtém-se uma fração comum representada, como você pode verificar no exemplo a seguir.

43

x43

Desta maneira, você poder afirmar que essa fração é a razão comum entre as duas sucessões e a razão dessas sucessões é o quociente do primeiro pelo segundo.

Sendo assim, a razão entre 3 e 4 é:

75,043=

Veja, a seguir, outros exemplos de razões decimais.

Para a razão entre 15 e 5 tem-se o seguinte:

35

15=

Para a razão entre 8 e 10 tem-se o seguinte:

4 razõeS deCimaiS 45

8,0108=

FIQUE ALERTA

Em uma razão decimal, o dividendo é denominado antece-dente e, o divisor, con sequente. O consequente deve ser diferente de zero.

Visualize no exemplo, a seguir, quem é o antecedente e quem é o consequente.

D'Im

itre

Cam

argo

(201

1)

Figura 7 - Antecedente e consequente

Desta forma, é possível escrever a razão 3 para 4 assim: 43

ou 3:4, onde 3 é o antecedente e 4 o consequente.

Quando se trata de grandezas, o antecedente e o consequente de vem ser da mesma espécie. Veja o exemplo a seguir:

3m100m300

dm1000m300

==

Ou seja:

a) deve-se transformar 1000dm (decímetros) em metros, que é igual a 100m (metros);

b) 300m divididos por 100m é igual a 3.

Percebeu que a unidade m (metro) não aparece no resultado? É porque foi realizado um cálculo entre unidades de mesma grandeza, nesse caso, o metro e o decímetro.


VOCÊ SABIA?

Que quando um cálculo compreende a razão entre uni-dades de mesma grandeza, a unidade referenciada não aparece no resultado? Isto acontece porque esta razão representa o número de vezes em que o antecedente compreende o valor do consequente.

Agora, imagine que você tenha a razão de 4 para 3. Veja que ela pode ser repre-sentada de duas maneiras: 4/3 ou 4:3, onde 4 é o antecedente e 3 o consequen-te. Perceba que essa situação é inversa ao exemplo que você viu anteriormente. Trata-se de uma fração imprópria, pois o numerador é maior que o denominador.

Observe que as duas razões citadas acima são inversas. Sendo assim, o inverso de 3:4 é 4:3, conforme você pode conferir a seguir.

34

é43

Da mesma forma que:

134

43

=×

Ou seja, se você multiplicar as duas frações acima, terá como resultado o nº 1. Mas o que isso significa exatamente? Significa que quando o produto entre duas razões for igual a 1, tratam-se de duas razões inversas.

SAIBA MAIS

A misteriosa razão áurea, ou divina proporção, ou ainda, conhecida também como número de ouro, é uma constante irracional aproximada de 1,618, que corresponde a uma série de eventos que ocorrem na natureza. Por exemplo, a propor-ção entre o número de abelhas fêmeas e machos em qual-quer colmeia pode ser representada por este número. Saiba mais na seguinte obra: LIVIO, Mario. Razão áurea: a história de FI. 2. ed. São Paulo: Record, 2006.

Agora que você viu como trabalhar com antecedente e consequente, como identificar as razões inversas e como realizar cálculos com grandezas, que tal aprender como trabalhar com grandezas de espécies diferentes? É este o assunto que você conhecerá a seguir.


4.2 enTre grandezaS de eSPéCieS diFerenTeS

Você estudou, recentemente, que quando se trabalha com grandezas, o ante-cedente e o consequente devem ser da mesma espécie, mas nem sempre é assim. Em alguns casos, o antecedente e consequente irão corresponder a grandezas diferentes. Veja nos exemplos a seguir, como é possível trabalhar com grandezas diferentes.

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(20-

-?)

a) Velocidade entre distância e tempo. 600km em 6 h

hkm

100h6km600

=

b) Densidade demográfica entre população e área. 3000 hab em 200km²

22

km/hab15km200

hab3000=

c) Massa específica entre massa e volume. 59,5kg em 7 dm³

33

dm/kg5,8dm7

kg3,59=

Agora, você aprenderá como calcular a distância pelo consumo, para chegar ao consumo médio. Veja um exemplo.


CaSoS e relaToS

Viagem de Carro em Santa Catarina

Em um passeio entre a região do Vale do Itajaí e o norte catarinense, a família de Alfredo viajou de Blumenau para Joinville, de carro. Em uma distância de aproximadamente 100km e o carro consumiu 8 litros de combustível.

Alfredo tinha uma dúvida: queria saber se com ¼ do tanque apontado pelo marcador de combustível (cerca de 12 litros) ele poderia retornar à sua cidade de origem, Curitiba, que fica a 140km de distância de Joinville.

Primeiro, para calcular o consumo médio de combustível de seu veículo, ele deve determinar a razão destas grandezas, procedendo da seguinte maneira:

100km com 8l km/l5,12l8km100

=

Neste caso, se o veículo de Alfredo pode fazer em média 12,5km por litro de combustível, com 12 litros ele poderá fazer um percurso de em torno de 150km. Viu Alfredo? Parece que ainda vai sobrar um pouco de com-bustível para dar mais uma voltinha em Curitiba.

Boa viagem!

Mic

roso

ft O

ffice

(20-

-?)


Viu como é interessante trabalhar com grandezas? Ao final deste estudo, você aprendeu algo bastante útil e comum no dia a dia de muitas pessoas: a calcular a quantidade de combustível por distância percorrida com base no tempo e na distância, ou seja, grandezas de espécies diferentes.

reCaPiTulando

Você viu, neste capítulo de estudo, que é importante saber aplicar as ra-zões decimais para analisar diversas variáveis, tais como: Km/h, habitan-tes por km², metros por segundo, quilômetros por litro. Devemos analisar as unidades de cada referência que estivermos utilizando para a realiza-ção do cálculo, ou seja, distância em Km ou metros, tempo em horas, mi-nutos ou segundos, volume em litros ou ml.

5Proporções

Dando continuidade ao estudo, neste capítulo, você entenderá o que é proporção e que um elemento pode ser proporcional a outro. Retomará o assunto sobre razão entre as grandezas, dessa vez, aplicada às proporções. Como? Veja um exemplo: para fazer a receita de um bolo, é necessário que você aplique as proporções de produtos como: azeite, farinha de trigo e ovos.

Se para fazer um bolo você precisa de 3 ovos, proporcionalmente, para fazer 3 bolos, preci-sará de 9 ovos, certo? Então, aprenderá um pouco mais!


a) calcular a razão entre os termos;

b) encontrar a propriedade fundamental de uma proporção.


5.1 TermoS

Termos são a relação entre objetos de uma dimensão com outra. Desta forma, é possível comparar a base e a altura de dois objetos, e esta comparação é cha-mada de termos. A partir desta relação é possível obter uma razão, ou seja, uma proporção das dimensões entre um objeto e outro. Observe as figuras a seguir.

Luiz

Men

eghe

l (20

11)

Figura 8 - Proporção

A razão entre a altura e a base do primeiro retângulo é 6/4 = 1,5. Já a razão entre a altura e a base do segundo retângulo é 3/2 = 1,5. Então, é possível afirmar que 6/4 = 3/2. Essa igualdade é chamada de proporção.

Para 6/4 = 3/2, você poderá representar como 6:4 = 3:2. A leitura destes termos ficaria da seguinte maneira: 6 está para 4, assim como 3 está para 2.

FIQUE ALERTA

Quando comparamos as razões de duas medidas, como na figura dos retângulos, dizemos que as suas razões são equivalentes e que os objetos são proporcionais, não ne-cessariamente iguais.

Com o estudo que acabou de realizar, você viu que é possível obter a razão dos termos por meio da proporção das dimensões entre dois objetos.

5.2 ProPriedade FundamenTal

A propriedade fundamental explica que ao igualar duas frações, o numerador da primeira fração é multiplicado pelo denominador da segunda equação e deve ser proporcional ao denominador da primeira, multiplicado pelo numerador da segunda.

5 ProPorçõeS 53

O exemplo a seguir justifica esta afirmação.

Se dc

ba=

, então axd = bxc

FIQUE ALERTA

Em toda proporção, o produto dos extremos é sempre igual ao produto dos meios.

A seguir veja por que esta afirmação é possível.

2/4 = 20/40

Onde:

a) 4 multiplicado por 20 é igual a 80;

b) 2 multiplicado por 40 é igual a 80.

Portanto, esta é uma propriedade fundamental de proporção, pois, os extre-mos, quando multiplicados, apresentam o mesmo resultado.

Entre grandezas proporcionais, é possível perceber duas situações distintas, que serão descritas a seguir.

5.2.1 Quando as grandezas são diretamente ProPorcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais, se os valores a e b correspon-dentes são tais que a/b = K, onde K é um valor constante, positivo, chamado de constante de proporcionalidade.

Veja, a seguir, um exemplo de grandezas diretamente proporcionais.


CaSoS e relaToS

Confecção de Lenços

Com 8m² de tecido uma confecção produz 200 lenços de tamanho pa-drão. Para atender aos novos pedidos, a empresa comprou mais 12m² de tecido. Quantos lenços serão produzidos com 12m²?

Solução: as grandezas quantidades (m²) de tecido e número de lenços são diretamente proporcionais. A seguir, veja como calcular o resultado desta questão.8 x = 200 x 12

12x

8200

=

812x200

x = = 300

Onde x é o número de lenços a serem fabricados com 12m².

Desta forma:

8 x = 200 x 12

12x

8200

=

812x200

x = = 300

8 x = 200 x 12

12x

8200

=

812x200

x = = 300

Concluímos, então, que será possível produzir um total de 300 lenços.

Han

spet

er K

lass

er (2

0--?

)

5 ProPorçõeS 55

5.2.2 Quando as grandezas são inVersamente ProPorcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais, se os valores a e b corres-pondentes são tais que a.b = K, onde K é um valor constante, positivo, chamado de constante de proporcionalidade inverso.

A seguir, um exemplo de grandezas inversamente proporcionais.

CaSoS e relaToS

O Voo do Avião a Jato

Um avião que voa a 500km/h percorre a distância entre duas cidades em 3 horas. Quanto tempo gastará o avião para percorrer a mesma distância se voar a 750km/h?

Solução: se você aumentar a velocidade, o tempo de viagem diminui.

A seguir, veja como calcular o resultado desta questão:

500 x 3 = 750 . X 1500 = 750 . X X = 1500/750 X = 2

Nesse caso, ao aumentar a velocidade para 750km/h descobrimos que o tempo de voo irá reduzir de 3 para 2 horas.

Mic

roso

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(20-

-?)


Viu como este estudo foi bastante útil? Você pode aprender como é importan-te trabalhar com propriedade fundamental e que as grandezas correspondentes podem ser tanto proporcionais quanto inversamente proporcionais.

SAIBA MAIS

As proporções são calculadas utilizando uma técnica conhe-cida como regra de três. Você conhecerá mais sobre as apli-cações da regra de três no próximo capítulo.

Nas páginas seguintes, você poderá acompanhar exemplos de aplicação do cálculo de proporções.

5.3 aPliCação

Dando segmento ao estudo das proporções, você verá três tipos de aplicação para situações distintas. Para aplicá-las, você deve analisar os termos da equação, verificar se são proporcionais ou inversamente proporcionais e calcular sua razão. Veja a seguir as formas de aplicação apresentadas.

5.3.1 aPlicação 1

Você viu anteriormente que, em uma viagem, quanto maior a velocidade mé-dia, menor será o tempo gasto. Nesse caso, quanto menor for a velocidade, maior será o tempo. Acompanhe na tabela a seguir, a relação entre a velocidade e o tempo.

Tabela 2 - Relação entre velocidade e tempo

VELOCIDADE (KM/h) 50 110 160 210 260

TEMPO (h) 10 6 5 4 3

Como você pode perceber, essas grandezas são inversamente proporcionais, ou seja, se viajo mais rápido, levo menos tempo ou se viajo mais devagar, levo mais tempo.

5.3.2 aPlicação 2

Para entender esta segunda forma de aplicação, imagine que você tenha comprado um copo de refrigerante, que corresponde a 250ml. Se um professor

5 ProPorçõeS 57

comprou refrigerante suficiente para encher 39 copos, quantos litros da bebida o professor comprou?

Acompanhe a seguir, o cálculo que você deve realizar para chegar à solução correta.

1 copo ............................... 250ml

39 copos ........................... X

1 X = 39 x 250

X = 9750ml ÷ 1000 = 9,75 litros.

Mic

hael

Con

nors

(20-

-?)

5.3.3 aPlicação 3

Suponha que uma roda d’água realiza 45 rotações por minuto. Quantas voltas essa roda daria em 4 segundos?

Veja a resposta para essa pergunta.

45 voltas .........60 segundos

X .......................4 segundos X = 45 x 4 / 60

X = 3 voltas


Como você acabou de ver, existem diversas formas de aplicação para as pro-porções, e cada uma delas é bastante útil para realizar os cálculos das mais diver-sas situações do nosso cotidiano.

VOCÊ SABIA?

Que o cálculo de proporções pode ser útil na tomada de decisões estratégicas e gerenciais em uma empresa? A análise dos dados obtidos através do cálculo de propor-ções pode indicar oportunidades, situações de risco ou cenários importantes para que uma empresa possa ter diferencial competitivo no mercado.

reCaPiTulando

Neste capítulo, você estudou que as grandezas podem ser diretas ou in-versamente proporcionais. Aprendeu que a razão entre 10 e 5 é igual a 2 e que a razão entre 14 para 7 também é 2. Nesse caso, é possível afirmar que essas duas razões são proporcionais entre si, ou seja, 10 está para 5, assim como, 14 está para 7.

Anotações:

595 ProPorçõeS

6Porcentagem

A todo o momento percebe-se que as mídias informam sobre o aumento do nível de de-semprego, o crescimento populacional ou sobre os índices da bolsa de valores. Para todas essas informações, é comum chegar a um resultado por meio de porcentagens.

Você sabe o que é porcentagem?

A maioria das informações é fixada em percentual. Quando se ouve falar que o combustível aumentará 9%, ou que a taxa de desemprego diminuiu 3%, automaticamente entende-se e quantifica-se o total destes valores, analisando se tal resultado foi bom ou ruim.

Essa análise é possível porque a tendência é comparar sempre o percentual a um montante, permitindo ter uma visão mais simples e rápida do que um valor numérico seria capaz de nos mostrar ou, ainda, porque talvez um valor numérico não seja tão representativo em relação ao montante.


a) calcular porcentagem, razão e proporção;

b) elaborar cálculos matemáticos aplicados à saúde, segurança e meio ambiente;

c) interpretar dados estatísticos;

d) utilizar sistemas de unidades de medidas.


6.1 Taxa PerCenTual

Para entender o significado da expressão taxa percentual, considere a se-guinte situação: dos 100 carros da garagem de um prédio, 38 são de cor verme-lha. A razão entre o número de carros vermelhos e a quantidade total de carros pode ser expressa pela razão centesimal:

10038

.

Imot

ion

Imag

ens

(20-

-?)

Essa razão também pode ser representada da seguinte maneira: 38% (trinta e oito por cento). Nesse caso, a razão centesimal recebe o nome de Taxa, ou seja:

10038

equivale a 38 ÷ 100 = 0,38.

Toda razão ba

, onde b=100 chama-se taxa percentual.

VOCÊ SABIA?

Que quando o denominador for igual a 100, trata-se de uma porcentagem?

6 PorCenTagem 63

Mic

roso

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(20-

-?)

Imagine a seguinte situação: Sílvia resolveu se candidatar às vagas disponíveis em uma empresa, e descobriu que em uma etapa da avaliação, dos 50 candidatos que fizeram a prova, 17 foram aprovados. Ela ficou contente, pois estava entre os aprovados.

Para saber qual foi a taxa percentual de aprovados, você deve realizar a se-guinte operação:

A razão que representa os aprovados é representada por 1 - 5017

.

Para obter a taxa percentual dessa razão, é necessário dividir o numerador pelo denominador da seguinte maneira:

17 ÷ 50 = 0,34 ou 34%.

O resultado também significa que 66% dos candidatos não tiveram sucesso na avaliação, pois sobre o total de inscritos (neste caso, 50), é sempre representado por 100%.

Veja a seguir duas situações que podem exemplificar o emprego da porcen-tagem.


CaSoS e relaToS

Acidentes de Trabalho

A cada 80 acidentes que ocorrem nas fábricas de uma empresa, 30 estão relacionados a pessoas que trabalham na prensa excêntrica. A empresa precisa analisar o impacto deste tipo de acidente, comparando-o a ou-tros. Nesse caso, qual será o percentual de acidentes por este motivo?

Solução: 30 dividido por 80 é igual a 0,375. Multiplicado por 100, é igual a 37,5%.

Ainda nesta mesma empresa, no ano passado, ocorreram 70 acidentes no primeiro semestre em uma única fábrica do grupo. Neste ano, o número de acidentes no mesmo período aumentou em 20%. Qual foi a quantida-de de aumento no número de acidentes nesta fábrica?

Solução: 30 dividido por 80 é igual a 0,375. Multiplicado por 100, é igual a 37,5%.

20 % de 70 = 10020

x 70 = 0,20 x 70

= 14 acidentes a mais que no ano passado

= 14 acidentes a mais que no ano

passado

Ou seja, o número total de acidentes neste ano foi: 70 + 14 = 84 acidentes.

Neste estudo, você aprendeu a realizar cálculos gerando resultados com per-centual. Viu que calcular a porcentagem é simples, e que ela se aplica em diversas situações. A seguir, você conhecerá outras formas de como utilizar a porcenta-gem, uma das mais comuns é a regra de três.

6.2 regra de TrêS

A regra de três é uma operação matemática que pode ser classificada de duas maneiras: simples ou composta.

A regra de três simples é uma equação prática que ajuda a resolver proble-mas matemáticos que envolvem quatro elementos, onde é possível conhecer o valor de três deles.

6 PorCenTagem 65

Suponha que você precise fazer uma tabela de valores. Nesse caso, você de-verá colocar na mesma coluna as grandezas iguais. Veja a seguir, um exemplo de regra de três simples.

Quantas horas têm 240 minutos?

1 hora ............. 60 minutos

X horas .......... 240 minutos

Solução: Você deverá multiplicar X horas por 60 minutos, resultando 60X. Pos-teriormente, você deverá multiplicar 1hora por 240 minutos, conforme demons-tração a seguir.

60 x = 240 min

horas460

240x ==

SAIBA MAIS

O nome “Regra de Três” surgiu por meio da aplicação das proporções como um processo prático para resolver proble-mas que envolvessem quatro valores, onde “três” deles são conhecidos. Conheça mais sobre uma abordagem diferente da regra de três no site do Professor Paulo G. Marques. Dis-ponível em: <http://www.paulomarques.com.br/arq1-13.htm>.

A regra de três composta é utilizada com mais de duas grandezas, seja ela direta ou inversamente proporcional.

Imagine que, em 8 horas de trabalho, 5 caçambas descarregam 140m³ de areia. Em 5 horas, quantas caçambas serão necessárias descarregar 115m³?

Da mesma forma como na regra de três simples, você deverá colocar as variá-veis de mesma grandeza na mesma coluna, como mostra a tabela a seguir.

Tabela 3 - Variáveis

hORAS CAÇAMbAS VOLUME M³

8 5 140

5 X 115


Mic

roso

ft O

ffice

(20-

-?)

Observe que, aumentando o número de horas de trabalho, é possível diminuir o número de caçambas. Portanto, a relação é inversamente proporcional. No en-tanto, quando aumentamos o volume de areia, devemos aumentar o número de caçambas. Logo, essa última situação é uma relação diretamente proporcional.

Você deve estar curioso para saber quantas caçambas serão necessárias para descarregar 115m³, não é mesmo? Veja então como realizar a equação da situa-ção descrita anteriormente.

==85

x115140

x5

==5x140

5x8x115x ==

7004600

x x = 6,5 caçambas

Viu como pode ser interessante trabalhar com regra de três? Dependendo da situação poderá utilizar a simples ou a composta. Tanto uma, quanto a outra po-dem ser utilizadas para os cálculos mais comuns do nosso dia a dia.

6.3 média

A média, na matemática, é estabelecida pelo resultado de vários elementos de uma mesma grandeza, podendo ser harmônica ou aritmética.

6.3.1 média harmônica

A média harmônica (MH) está relacionada ao cálculo matemático das situa-ções que envolvem grandezas inversamente proporcionais. Ou seja, se analisar 10 elementos, faça a soma dos 10 elementos e divida-os por 10.

6 PorCenTagem 67

Imagine a relação entre velocidade e tempo. Em uma determinada viagem, um carro desenvolve duas velocidades distintas: metade do percurso o motorista manteve a velocidade de 50 km/h e a outra metade a velocidade atingida foi de 60 km/h.

Para determinar a velocidade média do veículo durante o percurso, com base na média harmônica, você tem a seguinte relação:

n321 x1

...x1

x1

x1

nMH

++++=

601

501

2MH

+=

Nesse caso, você deverá encontrar o mínimo múltiplo comum de 50 e 60, a partir da divisão entre os divisores possíveis, conforme a tabela a seguir:

Tabela 4 - Mínimo múltiplo comum de 50 e 60

Nº Nº DIVISORES

50 60 Divide por 2

25 30 Divide por 2

25 15 Divide por 3

25 5 Divide por 5

5 1 Divide por 5

1 1

Os resultados na coluna dos divisores são multiplicados: 2 x 2 x 3 x 5 x 5 = 300. Logo, o mínimo múltiplo comum de 50 e 60 é 300.

==+=

=

300

)560

300()6

50300

(

2MH


=+

=

30056

2MH

=×=11

3002MH

==11

600MH

MH= 54

Phot

odis

c (2

0--?

)

Na situação que você acabou de conhecer, a velocidade média do veículo du-rante todo o percurso será de aproximadamente 54km/h. Mas é preciso conside-rar que, no primeiro trecho, o automóvel levou um tempo maior para o percurso, pois a velocidade era de 50km/h, e no segundo trecho o tempo decorrido foi me-nor, devido à velocidade de 60km/h.

Nesse momento, observa-se a relação inversa entre velocidade e tempo e, para que não haja erro, é aconselhável nessas condições a utilização da média

6 PorCenTagem 69

harmônica. A seguir, você encontra mais alguns exemplos de como calcular a mé-dia harmônica.

a) Média Harmônica entre 2 e 3:

=+

=

31

21

2MH

O mínimo múltiplo comum de 2 e 3 é igual a 6.

=

=+==

6

)236

()326

(

2MH

=×=56

2MH

4,25

12MH ==

b) Média Harmônica entre 5, 5 e 2:

33,33

10

21

51

51

3MH ==

++=

O mínimo múltiplo comum de 5, 5 e 2 é igual a 10.

==+=+=

=

10

)52

10()2

510

()25

10(

3MH


=++

=

10)5()2()2(

3MH

=×=9

103MH

==9

30MH

==3

10MH

MH=3,33

c) Média Harmônica entre 1, 2, 3 e 4:

92,12548

41

31

21

11

4MH ==

+++=

O mínimo múltiplo comum de 1, 2, 3 e 4 é igual a 12.

==+=+=

=

12

)43

12()6

212

()121

12(

4MH

=+++

=

12)3()4()6()12(

4MH

6 PorCenTagem 71

=×=2512

4MH

92,12548

MH ==

FIQUE ALERTA

É importante notar que a média harmônica é mais ade-quada nas situações em que é construída uma relação entre um fator constante - a distância entre as cidades, por exemplo - e um fator variável - a velocidade do veículo.

6.3.2 média aritmética

A média aritmética (MA) é o resultado da divisão da soma dos números dos elementos analisados. A média aritmética de dois ou mais termos, é o quociente do resultado da divisão da soma dos números dados pela quantidade de núme-ros somados.

A seguir você encontra mais alguns exemplos de como calcular a média arit-mética.

a) Média aritmética entre os número 12, 4, 5, 7:

74

284

75412Ma ==

+++=

Observe que foram somados os quatros números e divididos pela quantidade

de números.

b) Média aritmética dos gols obtidos por um time em 6 partidas de futebol: 4, 4, 6, 5 e 2. Neste caso, você obterá a média dos gols marcados nesses jogos. Ou seja, uma média de 3,5 gols por partida.

5,3621

625644

Ma ==++++

=


Então, você sabia que seria capaz de realizar tantos cálculos? É importante lembrar que a matemática está presente no seu cotidiano e é um diferencial sa-ber resolver as operações com a qual você se depara, desde as mais simples até as mais complexas. No capítulo seguinte, você estudará estatística, bastante utiliza-da para gerar dados de uma determinada população, por exemplo.

reCaPiTulando

Você estudou neste capítulo, que a matemática é uma das ciências mais antigas da humanidade e muitos dos conceitos trabalhados foram de-senvolvidos há muitos anos atrás. Em diversas áreas técnicas, a matemá-tica é utilizada amplamente para diversos cálculos, seja na resistência de uma viga na mecânica, sejam nos elementos químicos de uma mistura, sejam nos dados estatísticos na segurança do trabalho.

Portanto, relembre os conceitos aprendidos neste capítulo de estudo e aplique no seu trabalho, pois este curso poderá lhe trazer bons frutos profissionalmente, já que será um diferencial no seu currículo.

Anotações:

736 PorCenTagem

7estatística

A aplicação de estatística no campo da Segurança e Saúde do Trabalho vem sendo essencial ao planejamento, coleta, avaliação e interpretação de todos os dados obtidos em pesquisas, em áreas como: segurança, acidentes e saúde do trabalhador. Neste capítulo você verá como serão coletados os dados de uma população ou de uma amostra, de uma probabilidade e de variáveis.

Com o frequente uso de estatísticas, vem a necessidade de realizar análises e avaliações ob-jetivas, fundamentadas em conhecimentos científicos. Organizações, governo e pessoas usam cada vez mais os dados estatísticos para obter informações essenciais sobre seus processos de trabalho, principalmente quando se refere à conjuntura econômica e social.

A estatística, portanto, permite fornecer ferramentas importantes para que empresas, insti-tuições e pessoas possam definir melhor suas metas, avaliar seu desempenho, identificar seus pontos fracos e atuar na melhoria contínua de seus processos.


a) calcular dados estatísticos e desvios de acidentes, incidentes e doenças ocupacionais;

b) calcular índices estatísticos de saúde e segurança do trabalho, inclusive em planilha ele-trônica;

c) interpretar dados estatísticos;

d) utilizar ferramentas de estatística para apresentação dos resultados.


7.1 PoPulação

Segundo Levine et al. (2008),

a população é uma totalidade de pessoas, animais, plantas ou objetos, da qual se podem recolher dados. É um grupo de inte-resse que se deseja descrever, ou acerca do qual se deseja tirar conclusões.

Mic

roso

ft O

ffice

(20-

-?)

Amostra é um subconjunto de uma população ou universo. Deve ser obtida de uma população específica e homogênea por um processo aleatório. A aleatoriza-ção é a condição necessária para que a amostra seja representativa da população.

Para Willians (2005) é importante que o investigador defina cuidadosa e com-pletamente a população antes de recolher a amostra, acrescentando uma descri-ção dos membros que devem ser incluídos. Para cada população há muitas amos-tras possíveis e, qualquer uma delas, deve fornecer a informação dos parâmetros da população correspondente. É importante também definir os critérios que per-mitem determinar se um indivíduo pertence ou não à população em estudo. Para isso, define-se conceitualmente a população.

Ao considerar que os alunos do SENAI – Jaraguá do Sul, ano letivo 2011/02, fa-zem parte de uma população, é possível afirmar que essa população é constituída por uma demanda e que, como tal, é uma característica a ser estudada.

7 eSTaTíSTiCa 77

FIQUE ALERTA

Nem sempre é possível estudar exaustivamente todos os elementos de uma população. Você sabe por quê?

A população pode ter dimensão infinita (ex.: a população das chuvas em todos os pontos da cidade).

O estudo da população pode levar à destruição da mesma (ex.: população dos fósforos numa caixa).

O estudo da população pode ser muito dispendioso em tempo ou dinheiro (ex.: eleitores em todo território brasi-leiro).

Inacessibilidade a alguns elementos da população (ex.: por razões de ordem legal, valores de depósito em conta bancária.).

Sobre população, será importante você sempre lembrar que:

a) população também pode ser definida como um conjunto de elementos abrangidos por uma mesma definição;

b) a cada elemento da população dá-se o nome de unidade estatística;

c) o número de elementos da população designa-se por dimensão da popula-ção e representa-se por N;

d) a dimensão da população pode ser finita ou infinita.

Você poderá ver agora um exemplo de como gerar uma estatística por meio da ferramenta de elaboração de planilhas eletrônicas: o Excel.

Suponha que você gostaria de conhecer a média das notas da disciplina de matemática, das turmas do curso Técnico em Segurança do Trabalho no período matutino, vespertino e noturno. A população da turma do período matutino é de 35 alunos, a do período vespertino é de 30 e a do período noturno é de 32 alunos.

O primeiro passo é digitar a população, observando a nota de todos os alunos por período, conforme é apresentado na figura a seguir.

Luiz

Men

eghe

l (20

11)

Figura 9 - Representação da população

O segundo passo é clicar nas fórmulas da coluna AL da linha 4 e escolher a função média, conforme é apresentado na figura a seguir.


Luiz

Men

eghe

l (20

11)

Figura 10 - Representação do cálculo da média de uma população de dados estatísticos

O terceiro passo é clicar em OK e destacar as notas que se pretende obter a média, conforme é apresentado na figura a seguir.

Luiz

Men

eghe

l (20

11)

Figura 11 - Função para o cálculo da média

No quarto passo, você encontra as médias, conforme é apresentado na figura a seguir.

Luiz

Men

eghe

l (20

11)

Figura 12 - Amostra dos resultados da média

7 eSTaTíSTiCa 79

No estudo que acabou de realizar, você aprendeu como calcular os dados es-tatísticos de uma população, e que para tanto, o investigador deverá levar em consideração diversos aspectos antes mesmo de realizar a coleta de amostras. Você pôde ainda aprender a trabalhar com a ferramenta Excel, que é bastante utilizada para cálculos desse gênero.

Pronto para mais uma etapa de estudo? Nas páginas seguintes você saberá como obter amostras para as pesquisas.

7.2 amoSTra

Segundo Downing e Clark (2006) as amostras devem ser obtidas por méto-dos aleatórios, sempre que se pretende tirar conclusões sobre a população, mas muitas vezes são obtidas por métodos não-aleatórios. Amostra pode ser todos os ganhadores da Mega Sena do mês de dezembro, em qualquer dos anos. Neste último caso, as conclusões obtidas do estudo, apenas se reportam à amostra.

Na obtenção de uma amostra, para fazer inferências de uma população, as quais serão válidas somente se a amostra for uma representação da população pesquisada. Na prática, não existe forma de garantia sem ter informação da po-pulação inteira para comparar com a amostra. Em tais circunstâncias, não haveria necessidade de amostragem.

No entanto, é possível assegurar que não existem vícios sistemáticos na amos-tra por meio de uma seleção aleatória dos membros da população. Essa amostra aleatória pode ser de forma independente.

Você já ouviu falar em amostra aleatória independente?

Uma amostra aleatória independente é selecionada de tal forma que:

a) todos os membros da população têm a mesma chance de serem seleciona-dos;

b) cada combinação possível de um dado número de membros tem a mesma chance de ser selecionada.

Segundo Downing e Clark (2006) a melhor forma de obter uma amostra ale-atória de tamanho (n) é ter uma lista de todos os membros da população, dar a todos um número, como de 1 a (N), e então escolher aleatoriamente (n) números de 1 a (N) para definir a amostra. Na prática, essa amostragem não é executável, especialmente porque a população é infinita.

Imagine que um especialista em medicina pretende estudar o efeito de um novo medicamento para cura da AIDS. Para sua pesquisa, ele seleciona um grupo de 150 pacientes (população), e desse grupo seleciona aleatoriamente 50 pacien-


tes (amostra) para testar o novo medicamento, enquanto o restante do grupo mantém o medicamento habitual.

Para essa investigação, foram coletadas as seguintes informações.

População: 150 pacientes.

Amostra: 50 pacientes escolhidos aleatoriamente.

Ao estudar os efeitos do novo medicamento, o especialista poderá tirar con-clusões sobre as características da população de pacientes. Se os resultados fo-rem satisfatórios para a amostra da população em estudo, isso pode indicar que os resultados poderão beneficiar outros pacientes que tenham perfil semelhante.

Veja a seguir alguns exemplos de amostra na estatística.

CaSoS e relaToS

Defeitos de Fabricação

O Gerente de Produção de uma empresa metalmecânica, produtora de eixos, pretende assegurar-se de que a porcentagem de peças com defei-tos não exceda a um determinado valor, pois uma vez ultrapassado este valor, determinada encomenda poderia ser rejeitada.

Para essa investigação, foram coletadas as seguintes informações:

População: Todos os eixos em produção.

Amostra: Eixos escolhidos aleatoriamente no lote produzido.

Desta forma, a análise de defeitos nas amostras pode indicar a frequência com que os defeitos ocorrem em toda a população. Por exemplo: se 10% das amostras analisadas apresentam algum tipo de defeito, podemos su-por que, em média, 10% da população possui defeitos de fabricação.

7 eSTaTíSTiCa 81

CaSoS e relaToS

Análise de Mercado

Uma indústria de produtos esportivos pretende lançar uma linha de ra-quetes de tênis. Para isso, contrata uma empresa especializada em estu-dos de mercado, para estimar a percentagem de potenciais compradores de raquetes de tênis.

Para essa investigação, foram coletadas as seguintes informações.

População: Todos os praticantes de Tênis.

Amostra: Uma porcentagem de praticantes de Tênis.

Nesta amostra, é possível analisar os preços que os praticantes do jogo estão dispostos a pagar, a frequência com que compram novas raquetes, ou ainda, as características mais importantes para eles neste produto.

Desta forma, é possível estudar os resultados de uma pesquisa aplicada ao desenvolvimento de um novo produto.

Mic

roso

ft O

ffice

(20-

-?)

Como você acabou de verificar, para poder realizar uma pesquisa é necessário fazer a coleta das informações que são fundamentais para o nosso estudo, ou seja, você precisará saber qual é a população estudada e qual é a amostragem.


A seguir, você aprenderá a calcular a probabilidade, um dado estatístico bas-tante importante para a nossa pesquisa.

7.3 Probabilidade

De acordo com Downing e Clark (2006) a teoria da probabilidade teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabili-dade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um expe-rimento aleatório. Vai permitir fornecer resultados diferentes explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, por exemplo, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

Veja a seguir um exemplo de cálculo de probabilidades.

CaSoS e relaToS

O Vírus da Dengue

Em uma determinada cidade, 10% da população é portadora do vírus da dengue. Um teste realizado para detectar ou não a presença do vírus aponta 90% de acertos quando aplicado a portadores desse vírus, mas aos não portadores, esse resultado aponta 80% de acertos.

Qual o percentual de pessoas realmente portadoras do vírus, dentre aquelas que o teste classificou como portadoras? Para chegar a essa solu-ção, considere que o teste foi aplicado aos habitantes da cidade. O núme-ro de testes que indicou a presença do vírus é apresentado na equação a seguir.

I27,0I18,0I09,0portadoresnãodos%20

Ix9,0x2,0portadoressãorealmentequedos%90

Ix1,0x9,0=+=+

−

I27,0I18,0I09,0portadoresnãodos%20

Ix9,0x2,0portadoressãorealmentequedos%90

Ix1,0x9,0=+=+

−

Onde:

0,9 = (90/100=0,9) ou 90%, presença do vírus em 90% dos acertos;

0,1 = (10/100=0,1) ou 10%, 10 por cento da população com vírus da dengue;

0,2 = (20/100=0,2) ou 20%, 20 por cento dos não-portadores do vírus;

7 eSTaTíSTiCa 83

I = habitantes.

Com base no cálculo que você acabou de ver, pode-se concluir que:

a) são portadoras do vírus 0,09 I pessoas;

b) 0,09 I /0,27 I = 1/3, ou seja, aproximadamente (≈) 33,3% das pessoas que o teste classificou são portadoras do vírus.

Esse dado aponta que uma pessoa que realizou o teste e foi classificada como portadora, tem grande possibilidade de ser um “falso-positivo”, uma vez que quando um indivíduo realiza um teste como este, cujo resultado é positivo, os médicos recomendam realizar um novo teste a fim de certificarem-se.

Ainda sobre o cálculo realizado acima, você percebeu que o número de testes que indicaram a ausência do vírus foi de 0,73 I e, dentre esses, 0,72 I não são por-tadores, o que resulta 0,72 I / 0,73 I = 98,6% de não-portadores dentre os classifi-cados como não-portadores.

Algumas variações nos dados também originam resultados interessantes. Por exemplo: se 0,5% da população é portadora do vírus e o teste acerta em 98% dos casos, então somente 20% das pessoas que o teste classificou como portadoras são realmente portadoras.

VOCÊ SABIA?

É importante observar que quando um médico solicita mais de um exame é porque ele tem razões para suspei-tar que o paciente não esteja suficientemente bem de saúde e, portanto, a probabilidade condicional de que o indivíduo esteja doente é, em geral, bem maior do que a incidência da doença na população toda.

A probabilidade, como você acabou de estudar, permite fornecer informações diferentes para uma mesma situação. Os exemplos apresentados à você demons-tram como é possível aplicar este recurso estatístico. A seguir, você aprenderá a trabalhar com as variáveis, estudo que permitirá enriquecer ainda mais o apren-dizado sobre estatística.

7.4 variÁveiS

Segundo Downing e Clark (2006) variáveis são características possíveis de se-rem medidas, controladas ou manipuladas em uma pesquisa. Diferem em diver-


sos aspectos, principalmente no papel que a elas é dado em uma pesquisa, e na forma como podem ser medidas.

As variáveis se caracterizam de formas diferentes. Veja a seguir o que cada uma delas representa.

7.4.1 VariÁVeis QuantitatiVas

São variáveis que remetem a valores expressos em números. Elas podem ser discretas ou contínuas. Compreenda melhor observando os exemplos a seguir.

a) População: número de alunos de uma escola.

Variável contínua: altura dos alunos.

b) População: parafusos produzidos por uma indústria.

Variável quantitativa contínua: diâmetro, tipo de rosca (métrica ou polega-da), comprimento ou massa.

Mic

roso

ft O

ffice

(20-

-?)

VariÁVel QuantitatiVa discreta

São variáveis resultantes de contagens. Por serem passíveis de numeração, constituem um conjunto finito de valores, como número de filhos, número de reprovações em matemática, idade em anos completos, etc.

Veja a seguir um exemplo de como identificar uma variável quantitativa dis-creta.

7 eSTaTíSTiCa 85

a) População: habitantes de um estado.

Variável quantitativa discreta: número de universitários.

b) População: ladrilhos fabricados por uma indústria.

Variável quantitativa discreta: número de ladrilhos trincados.

VariÁVel QuantitatiVa contínua

São variáveis que apresentam resultados mensuráveis, e que podem tomar infinitos valores, como pontuação na escala de atitude, nota na prova de mate-mática, pontuação no vestibular, etc.

7.4.2 VariÁVeis QualitatiVas

São variáveis contínuas, que não são passíveis de enumeração. Compreenda melhor observando os exemplos a seguir.

a) População: habitantes de um país.

Variáveis qualitativas: cor da pele.

b) População: candidatos a exames de seleção.

Variável qualitativa: sexo (masculino e feminino).

As variáveis qualitativas podem se dividir em dois grupos: nominal e ordinal. Veja a seguir como esses dois tipos de variáveis se caracterizam.

VariÁVel QualitatiVa (ou categórica) nominal

São variáveis cujas respostas podem ser organizadas por categorias, sendo que cada uma delas é independente, sem nenhuma relação com as outras como, por exemplo: sexo (masculino, feminino), raça (branco, preto, outro), etc.

VariÁVel QualitatiVa (ou categórica) ordinal

São variáveis cujas categorias mantêm uma relação de ordem com as outras, podendo ser regulares ou não. Para tanto, existe uma ordem natural entre essas categorias, como por exemplo: classe social (alta, média, baixa), percepção de de-sempenho em matemática (péssimo, ruim, regular, bom, ótimo), etc.


No tratamento estatístico das variáveis categóricas, não existe diferença se ela for nominal ou ordinal. A única observação é que quando você está lidando com uma variável ordinal, aconselha-se manter a ordem natural das categorias no mo-mento da apresentação, de menor para maior, seja em tabela ou em gráficos.

7.4.3 VariÁVeis dePendentes (Vd)

São variáveis que medem o fenômeno estudado, o que se deseja explicar e seus efeitos são esperados de acordo com as causas. Normalmente situam-se no fim do processo causal e são sempre definidas na hipótese ou na questão de pesquisa. No nosso exemplo, desempenho em estatística e atitudes em relação à estatística.

Chris

tian

Ferr

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20--

?)

7.4.4 VariÁVeis indePendentes (Vi)

São variáveis candidatas a explicar a(s) variável (eis) dependente(s), cujos efei-tos se quer medir. Mesmo que você encontre relação entre as variáveis depen-dentes e independentes, não significa necessariamente que se trata de uma rela-ção de causa.

7.4.5 VariÁVel aleatória

São variáveis cujo valor numérico atual é determinado por probabilidades. Por exemplo: X corresponde à pontuação na escala de atitudes em relação à Estatísti-

7 eSTaTíSTiCa 87

ca, Y corresponde ao número de disciplinas reprovadas em Estatística, e assim por diante. Observe que o resultado depende do aluno selecionado.

“A variável aleatória tem uma distribuição de probabilidades associada, o que permite calcular a probabilidade de ocorrência de certos valores.” (DOWNING e CLARK, 2006)

Você pode verificar no quadro a seguir os tipos de variáveis de uma pesquisa.

VARIáVEL

QUALITATIVANominal – pode nominar

Qualitativa ordinal – pode ordenar

QUANTITATIVADiscreta – pode contar

Variável quantitativa contínua – pode medir

Quadro 15 - Resumo dos tipos de variáveis de uma pesquisa Fonte: Downing e Clark (2006)

Referente à descrição, as variáveis constituem um primeiro nível de operacio-nalização de uma construção teórica e, para cada uma, se deve dar em seguida, uma descrição operacional. Para algumas variáveis, a descrição é simples, porém, em outros casos, essa definição é mais complexa.

Uma variável contínua pode ser transformada em discreta e depois em cate-górica ordinal como, por exemplo: idade, cujo diferencial se encontra entre a data atual e data de nascimento; anos completos, cujo diferencial se encontra entre faixas de idade. Recomenda-se tomar o valor bruto e depois categorizá-lo, isso dá mais flexibilidade ao pesquisador. (DOWNING e CLARK, 2006)

Como você viu, variáveis são características a serem analisadas. Elas podem apresentar relações diferentes, possíveis de serem medidas, controladas ou ma-nipuladas em uma pesquisa. Prepare os conhecimentos adquiridos, pois nas pá-ginas seguintes você aprenderá como trabalhar com coleta de dados e dados brutos.

7.5 ColeTa de dadoS e dadoS bruToS

A coleta de dados consiste na obtenção dos dados referentes aos trabalhos que se deseja realizar. Após a coleta, é necessário saber como manipular e forma-tar os dados de modo adequado. Isso envolve a própria organização, bem como, o resumo e o tratamento dos dados levantados, que devem ser obtidos por meio de procedimentos estatísticos que incluem: análise de tendências centrais, dis-persão e variações dos dados coletados e análises matemáticas de probabilidade. (MORETI, 2008)


A manipulação dos dados é imprescindível, para que possam ser adequada-mente analisados e interpretados à luz de instrumentais científicos. Este é o mo-mento exato para extrair significado dos dados e números, transformando-os em informações sobre a realidade a ser analisada. Para isso, é necessário determinar quais dados são relevantes para a pesquisa, descartando as informações irrele-vantes. (MORETI, 2008)

7.5.1 dados brutos, rol

São informações colhidas em determinada amostra sem que sejam numerica-mente organizados. Quando os dados são organizados em ordem crescente ou decrescente de grandeza, chamamos de Rol.

A seguir, veja alguns exemplos de dados rol.

Suponha que, em uma pesquisa de preço de certo produto em 20 supermer-cados diferentes, foram obtidos os seguintes dados brutos.

Luiz

Men

eghe

l (20

11)

Figura 13 - Amostra da coleta de dados

Organizando os dados brutos acima em ordem crescente de preço, por exem-plo, resulta o seguinte rol.

Luiz

Men

eghe

l (20

11)

Figura 14 - Amostra da organização de dados, resultando em rol

7 eSTaTíSTiCa 89

Organizando novamente em ordem crescente de preço, resulta o seguinte rol.

Tabela 5 - Demonstrativo de um rol

PREÇO (R$) NÚMERO DE SUPERMERCADO

185,00 2

195,00 4

196,00 1

198,00 4

199,00 1

203,00 3

205,00 2

212,00 1

215,00 2

7.5.2 amPlitude total

A amplitude total constitui a diferença entre a maior e a menor grandeza do rol. Na tabela que você acabou de verificar, foi possível encontrar a amplitude total da seguinte maneira: 215,00 – 185,00 = 30,00. Nesse caso, a amplitude total é igual a R$30,00.

SAIBA MAIS

Para conhecer mais sobre outras técnicas aplicadas ao estu-do de estatística, acesse o site Só Matemática. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/estat/basica/indice.php>

Você viu como é interessante o estudo que acabou de realizar? Neste capítulo, você pôde conhecer os elementos necessários para cálculos estatísticos. Pôde ver ainda que a estatística apresenta ferramentas importantes para entidades e pes-soas que buscam definir melhor suas metas, avaliar seu desempenho ou atuar na melhoria contínua de seus processos.

No capítulo seguinte, você verá como apresentar os resultados gerados, ou seja, aprenderá a representar graficamente os dados coletados.


reCaPiTulando

Até o presente, buscou-se apresentar conhecimentos que possibilitem a compreensão e aplicação do ferramental estatístico em fenômenos so-ciais, econômicos e organizacionais por meio da estatística. Os resultados obtidos devem ser analisados e a partir deles, você deve gerar os planos de ação. Para as situações que possuam um índice significativo que gere risco a pessoas ou ao ambiente, tende-se a eliminar esses agravantes.

Não há por que fazer uso da estatística meramente para observar aconte-cimentos. A estatística terá a sua real importância quando promover uma ação a partir do que foi estudado.

Anotações:

917 eSTaTíSTiCa

8Apresentação Gráfica de Dados

O capítulo 8 demonstrará como aplicar dados estatísticos no nosso cotidiano, destacando, portanto, a importância da estatística. Você aprenderá a interpretar dados estatísticos por meio de tabelas e gráficos. Verá a construção correta de uma tabela a partir de um levantamento de dados e ainda saberá como construir gráficos com linhas, barras, colunas e setores, tudo ma-nualmente e por meio do Excel, aquele programa que foi apresentado à você anteriormente.


a) conhecer a importância de representar a estatística de forma gráfica, onde as formas de apresentação dos dados estatísticos em gráficos falam mais rápido à compreensão do que em formas de texto.


8.1 TabelaS

Para dar início ao estudo das tabelas, observe a seguir um exemplo que repre-senta a população brasileira em 2010, segundo o IBGE.

Tabela 6 - População brasileira em 2010, segundo dados do IBGE

REGIÃO POPULAÇÃO EM 2010

bRASIL 190 073 788

Norte 15 820 347

Rondônia 1 550 300

Acre 730 903

Amazonas 3 476 658

Roraima 448 675

Pará 7 566 369

Amapá 667 234

Tocantins 1 380 208

Nordeste 52 986 438

Maranhão 6 568 693

Piauí 3 114 735

Ceará 8 439 947

Rio Grande do Norte 3 162 327

Paraíba 3 758 323

Pernambuco 8 770 723

Alagoas 3 114 195

Sergipe 2 065 293

Bahia 13 992 202

Sudeste 79 991 436

Minas Gerais 19 519 023

Espírito Santo 3 501 693

Rio de Janeiro 15 937 153

São Paulo 41 033 567

Sul 27 274 441

Paraná 10 406 307

Santa Catarina 6 226 708

Rio Grande do Sul 10 641 426

Centro-Oeste 14 001 126

Mato Grosso do Sul 2 437 037

Mato Grosso 3 020 113

Goiás 5 985 111

Distrito Federal 2 558 865

Fonte: IBGE (2011)

8 aPreSenTação grÁFiCa de dadoS 95

SAIBA MAIS

As normas da ABNT indicam que a elaboração de tabelas em trabalhos acadêmicos deve seguir as orientações da seguin-te publicação: tabela é definida como forma não discursiva de apresentar informações, das quais o dado numérico se destaca como informação central. (MANZANO E MANZANO, 2001, p. 47)

A informação central de uma tabela deve ser, portanto, o dado numérico e to-dos os outros elementos que a compõem devem ter a função de complementá-lo e explicá-lo. Caso isso não ocorra, então você não elaborou uma tabela, mas um quadro ou outro elemento qualquer.

Tabelas devem ser precedidas ou seguidas de uma análise, ou seja, não devem aparecer soltas em um trabalho científico. Em alguns casos, podem ser inseridas em anexos ou apêndices.

Toda tabela deve ter moldura, sem traços verticais que a delimitem à esquerda e à direita e com no mínimo 3 espaços horizontais para estruturar os dados numé-ricos, separando o topo, o cabeçalho e o rodapé.

Como você pode perceber, para elaborar uma tabela é necessário seguir al-gumas especificações. A principal delas é que uma tabela deverá apresentar um dado numérico e todas as outras informações contidas nela deverão ter relação com este dado.

8.2 grÁFiCoS

O gráfico estatístico é uma forma de apresentação de dados cujo objetivo é o de produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e clara do fenômeno em estudo, já que os gráficos expressam mais rápido a com-preensão que as séries.

A representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos requisitos fundamentais para ser realmente útil. Veja a seguir quais são esses requisitos.

a) Simplicidade – O gráfico deve ser desprovido de detalhes de importância secundária, assim como de traços desnecessários que possam levar o obser-vador a uma análise com erros.

b) Clareza – O gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do fenômeno em estudo.

c) Veracidade – O gráfico deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo.


Veja na seguinte tabela uma representação gráfica da população brasileira por região.

Tabela 7 - População por região brasileira

REGIÃO POPULAÇÃO EM 2010

Norte 15 820 347

Nordeste 52 986 438

Sudeste 79 991 436

Sul 27 274 441

Centro-Oeste 14 001 126

Fonte: Adaptado dos dados IBGE (2011)

Nas figuras a seguir, você poderá observar a apresentação de dados para ob-tenção de gráficos.

Die

go F

erna

ndes

(201

1)

Figura 15 - Amostra da forma de como fazer um gráfico

Die

go F

erna

ndes

(201

1)

Figura 16 - Gráfico tipo linha obtido no Excel


Die

go F

erna

ndes

(201

1)

Figura 17 - Gráfico tipo coluna obtido no Excel

Die

go F

erna

ndes

(201

1)

Figura 18 - Gráfico tipo barra obtido através do Excel

Como você pôde observar, a construção de gráficos permite apresentar dados estatísticos de forma clara, rápida e de fácil compreensão. Para tanto, ao pensar em utilizar esse tipo de representação, deve-se levar em conta alguns critérios fundamentais: a simplicidade, a clareza e a veracidade. A fim de aprofundar o as-sunto sobre gráficos, você conhecerá a seguir o que é e como utilizar um histo-grama.


8.3 hiSTograma

Histograma é um gráfico composto por retângulos em que a base de cada um deles corresponde ao intervalo de classe e a sua altura, à respectiva frequência. Quando o número de dados aumenta indefinidamente e o intervalo de classe tende a zero, a distribuição de frequência passa para uma distribuição de densi-dade de probabilidades.

FIQUE ALERTA

A construção de histogramas tem caráter preliminar em qualquer estudo, e é um importante indicador da distri-buição de dados. Tanto podem indicar se uma distribuição se aproxima de uma função normal, como também podem indicar a mistura de populações quando se apresentam bimodais (DOWNING e CLARK, 2006).

Na tabela a seguir, você poderá observar na primeira coluna a idade dos alu-nos e na segunda, a frequência de alunos, onde foi coletada a idade de 34 alunos.

Tabela 8 - Dados empíricos para construção de um histograma

IDADE DOS ALUNOS DE TECNOLOGIA NÚMERO DE ALUNOS

21 anos 3

22 anos 2

23 anos 1

24 anos 16

25 anos 10

Mais 25 2

No gráfico a seguir, você poderá observar o histograma referente à tabela que acabou de ver.

Die

go F

erna

ndes

(201

1)

Figura 19 - Histograma obtido no Excel

8 ApresentAção gráficA de dAdos 99

SAIBA MAIS

Que os gráficos, especialmente os histogramas são impor-tantes ferramentas de gestão? As ferramentas de gestão são utilizadas na análise de dados coletados nos diversos setores das empresas, e podem auxiliar na identificação e solução de diversos tipos de problemas.

8.3.1 Valores de tendência central

Média aritMética

A média aritmética é o mais comum para o cálculo da média. Este processo também é chamado de processo longo de obtenção da média.

a) Dados isolados

A média aritmética simples de uma série de valores x1, x2, xn, indicada por x é definida da seguinte forma, como mostra a fórmula a seguir.

Sx

xn

xn

1i ix ∑==

∑= =

Nesse caso, n constitui o número de elementos do conjunto de dados. Veja a seguir um exemplo para a média aritmética simples dos valores 5, 8, 9,10 e 13.

Sx

xn

xn

1i ix ∑==

∑= =

95

1310985x

5xxxxx

x 54321 =++++

==++++

=

Você também poderá utilizar o recurso da ferramenta Excel para chegar ao mesmo resultado visto anteriormente, conforme é apresentado na figura a seguir.


Die

go F

erna

ndes

(201

1)

Figura 20 - Forma de cálculo da média

b) Dados agrupados

Quando dados são agrupados numa certa distribuição de frequências, deter-mina-se a média aritmética dos dados x1, x2, xn, ponderadas pelas respectivas frequências f1, f2, fn. Veja a seguir qual é a fórmula para o cálculo de dados agru-pados.

∑ =

∑= =

n

iƒ

n1i

i

iƒ.xi

1x ou

ƒ

ƒ.xx∑∑=

Veja a seguir um exemplo do conteúdo que acabou de conhecer.

CaSoS e relaToS

O Desempenho dos Alunos do Curso Técnico em Segurança do Trabalho

Para facilitar o cálculo da média de um grande grupo de alunos, veja na tabela a seguir um exemplo que relaciona as notas dos alunos do curso Técnico em Segurança do Trabalho. Na sequência, você poderá ver como realizar o cálculo para essa situação utilizando a fórmula dos dados agru-pados.


Tabela 9 - Dados empíricos para calcular a média

NOTAS DOS ALUNOS (x) FREQUêNCIA (F)

8 10 80

9 11 99

10 8 80

5 1 5

6 15 90

∑ =

∑= =

n

iƒ

1

n1i

i

1ƒ.xi

x ou ∑∑=

ƒ

ƒ.xx

54321

5544332211

ƒƒƒƒƒƒxƒxƒxƒxƒx

x++++

++++=

87,745

35415181110

905809980x ==

++++++++

=

Agora que você já possui a média das notas dos alunos, veja a seguir como utilizar o Excel para facilitar a realização desta operação e conferir os resultados.

Die

go F

erna

ndes

(201

1)

Figura 21 - Mostra do cálculo da média


Die

go F

erna

ndes

(201

1)

Figura 22 - Mostra dos resultados da média calculada no Excel

Existe outro processo para obtenção da média, chamado processo breve. Esse processo torna-se mais prático quando a quantidade de dados é grande e está agrupada em poucas classes devido à grande repetição de valores. Na tabela a seguir, você encontrará um exemplo de como calcular a média sobre as notas de 750 alunos do ensino médio do SENAI – Jaraguá, onde foi utilizado o recurso do processo breve.

Tabela 10 - Dados empíricos para cálculo da média

NOTAS Nº ALUNOS ( F )

0 - 2 150

2 - 4 175

4 - 6 175

6 – 8 150

8 - 10 100

No caso de dados agrupados em intervalos de classes, você deve determinar o ponto médio de cada classe da seguinte maneira.

a) Quando um dos pontos da média é muito fora dos valores normais ana-lisados, ou seja, ou muito mais alto ou muito mais baixo, você deve puxar ou aumentar o resultado da média. Nestes casos, elimina-se esse valor para calcular a média.

b) Determinar os desvios de cada classe em relação à média arbitrária.

c) Calcular a média dos desvios pelo processo longo.


d) Tomar a média arbitrária e corrigi-la, levando em conta o desvio médio obtido.

Desta forma, chega-se à seguinte fórmula.

∑∑+=

1

11

ƒ

dƒAx

Veja a seguir um exemplo de como aplicar essa fórmula para calcular a média aritmética pelo processo breve.

Tabela 11 - Cálculo da média aritmética pelo processo breve

PONTOS MéDIOS ( x I ) Nº ALUNOS ( F ) DESVIOS DI = xI- A FI DI

1 150 - 4 -600

3 175 - 2 -350

A 5 175 0 0

7 150 2 500

9 100 4 400

750 -50

67-0,0666666750

50ƒ

dƒd

1

11=

−==

∑∑

Ao final deste capítulo, você viu que tabelas, gráficos e histogramas são for-mas de apresentação de dados estatísticos, que tornam visivelmente mais claros dados e resultados encontrados em nossos trabalhos. Viu também que o Excel é uma ferramenta que auxilia no cálculo das médias, contribuindo para a apresen-tação de resultados simplificados.

No último capítulo deste livro didático, você poderá conhecer outros recursos que o Excel apresenta para auxiliar na construção de planilhas.

reCaPiTulando

Neste capítulo, você aprendeu que a estatística é utilizada diariamente para explicar resultados de pesquisa de forma simples e dinâmica. Tomou força no século XX, mas já era utilizada pelos povos antigos. É basicamente


nas empresas e intuições do governo que ela demonstra todo seu poten-cial de uso. Gráficos e tabelas são apresentados na exposição de resultados de uma pesquisa, por exemplo.

Dados numéricos são usados para aprimorar e aumentar a produção de determinado departamento. Censos demográficos ajudam o Governo a entender melhor a população e a organizar os gastos com saúde e assis-tência social. Com a velocidade da informação, a estatística passou a ser uma ferramenta essencial na produção e atuação do conhecimento.

Anotações:

1058 aPreSenTação grÁFiCa de dadoS

9Ferramentas

Neste último capítulo, serão apresentados alguns recursos sobre planilhas eletrônicas de cálculo, em especial o Microsoft Excel 2007, aquela ferramenta que você conheceu nos capítu-los anteriores.

O Excel é um dos programas de planilha eletrônica mais conceituados no mercado atual. Com ele é possível trabalhar desde conceitos básicos até a manipulação de gráficos e tabelas.


a) utilizar ferramentas computacionais para auxiliar na produção de conteúdo relativo a ta-belas e gráficos, utilizando um programa de planilha eletrônica.


9.1 PlanilhaS

Uma ferramenta que é indispensável em qualquer computador é um editor de planilha eletrônica. Neste capítulo, você estudará um pouco mais sobre esse tipo de planilha e seus componentes.

É de fundamental importância que você esteja atento ao conteúdo apresen-tado, pois permitirá ampliar a capacidade de suas habilidades e conhecimentos sobre essa ferramenta tão rica em funções.

Uma planilha eletrônica é composta por uma tabela. Logo, fica claro imaginar uma tabela composta por linhas e colunas. Nesse caso, as linhas são representa-das por números e se encontram dispostas na horizontal. Essas linhas se encon-tram em maior quantidade que as colunas, que, nesse caso, são representadas por letras, na vertical, em menos quantidade que as linhas.

Você lembra quando relacionava os eixos x e y na matemática, para chegar a uma coordenada?

Em uma planilha eletrônica, onde um eixo cruza o outro, existe uma célula em comum. As células são identificadas com o código da letra seguido do número, correspondentes à coluna e linha que pertencem. Na figura a seguir, você pode verificar como as linhas e colunas se cruzam para formar células.

Die

go F

erna

ndes

(201

1)

Figura 23 - Conceito de linha, coluna e célula em uma planilha eletrônica

A fim de facilitar ainda mais o uso dessa ferramenta, as planilhas eletrônicas contêm diversas pastas de trabalho. São como sessões de um mesmo trabalho. Por exemplo: se uma empresa requer planejamento mensal de seus custos, não haveria a necessidade de criar diversos arquivos. Nesse caso, você pode criar ape-nas uma planilha com doze pastas de trabalho, onde cada uma delas refere-se a cada mês do ano.

9 FerramenTaS 109

Para utilizar uma planilha de cálculo, basta clicar em uma célula e digitar um conteúdo. Você perceberá que, dependendo do tamanho do conteúdo, o tama-nho da célula pode variar e inclusive pode aumentar de tamanho. Mas não se pre-ocupe, isso não significa que o conteúdo foi digitado fora da célula. O conteúdo digitado na célula permanecerá na célula.

Caso seja necessário editar um conteúdo digitado anteriormente, você poderá clicar novamente na célula desejada e pressionar a tecla F2. Outra opção de edi-ção é clicar duas vezes com o botão esquerdo do mouse para corrigir o conteúdo desejado.

Sempre que for necessário apagar o conteúdo de uma célula você pode usar a tecla delete. Para isso, basta selecionar a célula desejada e pressionar a tecla. Mas tome cuidado para não apagar nada desnecessário!

Em planilhas eletrônicas também é possível formatar as fontes do mesmo modo que um editor de textos. De uma forma geral, existem formatações para fonte, estilo de fonte, tamanho, cor e diversas outras opções.

Mas o que significa formatar uma fonte?

Um formato de fonte é um tipo de letra que é identificado pelo nome dela, como por exemplo: Arial, Comic Sans MS, Tahoma ou Verdana. A variação da for-matação da fonte pode ser também sobre o estilo ou forma que ela poderá apre-sentar como, por exemplo, o itálico, o negrito e o sublinhado.

SAIBA MAIS

Você poderá variar a forma das fontes cujo estilo já foi apli-cado.

Se você aplicou o estilo negrito para determinada palavra, saiba que essa mesma palavra também poderá estar em itálico. Nesse caso, se tem uma fonte em negrito e itálico ao mesmo tempo (planilha).

No caso de você ter uma palavra ou fonte sublinhada, esta poderá apresentar--se da seguinte forma: simples, duplo, tracejado ou pontilhado. Tente usar pelo menos alguns para experimentar!

As possibilidades de transformação das fontes são muitas, uma vez que as le-tras são variações de pontos. Por tal motivo, quanto maior o tamanho da letra, mais pontos a fonte possui.

Assim como as formas das letras criam um diferencial naquilo que se deseja destacar, as cores das fontes também terão a função de realçar o texto da plani-lha e são baseadas em uma combinação RGb. Essa sigla é utilizada para informar


quais são as cores que compõem o sistema de visualização de cores dos monito-res: R= Vermelho, G = Verde e b = Azul.

SAIBA MAIS

As letras RGb são representações das cores vermelho, verde e azul no idioma inglês. Portanto temos: R = Red, G = Green e b = Blue.

Conforme necessário, você poderá utilizar alguns destaques nas palavras, por exemplo, o subscrito, o sobrescrito, o tachado entre outras possibilidades.

Outra alternativa importante, para fazer render o trabalho na formatação de planilhas, é o recurso de autoformatação, bastante utilizado para alterar de forma rápida as formatações de toda uma tabela ou de um intervalo entre células. Tem como função transformar, de forma simples, diversas formatações simultanea-mente. Veja adiante como você pode aplicar os recursos estudados sobre plani-lha eletrônica.

No Microsoft Excel 2007, os estilos são utilizados para formatar automatica-mente uma tabela ou intervalo de células. Para tanto, você deve selecionar a ta-bela que quer formatar. Em seguida, pressione a aba Início e procure pelos ícones Estilos de célula e Formatar como Tabela.

Você pode alterar os estilos de várias células ou de apenas uma. Experimente fazer você mesmo e confira como é fácil!

Sem dúvida, uma boa planilha eletrônica é uma poderosa ferramenta no mer-cado de trabalho, mas de nada adiantará utilizá-la apenas como um programa para formatar tabelas.

Antes de qualquer coisa, é necessário entender o que é um tipo de dado. Um número digitado como 215,32 é diferente de 215.32, da mesma forma como a vírgula e o ponto representam informações diferentes. Com o Excel, a lógica é a mesma: o programa também compreenderá diferentes tipos de informação para planilhas. Experimente, por exemplo, digitar apenas números em uma célula e em outra digitar números com letras, depois veja o que acontece.

Além das diversas possibilidades que o recurso das planilhas eletrônicas apre-senta, é possível ainda utilizá-las para organizar, catalogar, filtrar e agrupar infor-mações, caso seja necessário. Você pode, por exemplo, organizar uma lista de compras de parafusos por bitola1, ou por tamanho, fabricante, enfim, qualquer detalhe que torne um item da lista diferente dos demais.

1 BITOLA

medida padrão que indica a largura e/ou comprimento.

9 FerramenTaS 111

Veja na figura a seguir um modelo de planilha cujas informações, por serem diferentes, apresentam colunas e células em cores diferentes.

Die

go F

erna

ndes

(201

1)

Figura 24 - Separando informações por colunas e tipos de dados diferentes

Para organizar as informações em uma planilha, é necessário ter uma coluna para cada tipo de informação, característica ou dado. Na figura a seguir, você po-derá conferir como pode ser útil separar as informações por colunas.

Die

go F

erna

ndes

(201

1)

Figura 25 - Ordenando uma lista simples por critérios


Você pode perceber que por meio da guia Dados, foi possível ordenar a lista por tamanho. Para isso, bastou selecionar toda a lista, pressionar o botão Classi-ficar, em seguida escolher o parâmetro tamanho e depois confirmar a operação.

Outra forma interessante de visualizar a planilha é agrupar as informações por parâmetros comuns. No exemplo acima, é possível organizar a planilha agrupan-do por fabricante, tamanho, tipo ou ainda, o nome do parafuso. Foi necessário, então, utilizar o botão Subtotal para este comando. Você poderá também utilizar os recursos Agrupar e Desagrupar, que servem para agrupar as informações de acordo com o resultado desejado.

E não para por aqui! As planilhas eletrônicas apresentam outro recurso bastan-te eficaz: o de visualizar apenas um tipo específico de informações de uma tabela, por meio dos filtros. A opção Filtro, que consta na guia Dados, auxilia bastante na hora de buscar informações que estejam organizadas em várias colunas, es-tando as linhas desordenadas ou não.

Para permitir que uma informação seja digitada apenas em um determinado formato ou tipo de dado, a opção Validação de Dados é utilizada. Nesse caso, é possível restringir que uma célula aceite apenas uma determinada faixa de valo-res, por exemplo, números entre 5 e 10, ou apenas números positivos, ou ainda, apenas números, horas, texto, enfim, as opções são inúmeras.

Você já parou para pensar o que diferencia uma calculadora de uma planilha eletrônica?

Tratam-se de ferramentas diferentes, e uma das principais características das planilhas é a utilização de fórmulas. Ao abrir uma planilha eletrônica, normalmen-te o programa já é carregado com uma planilha em branco. De uma forma sim-ples e prática, você é capaz de compreender como utilizar fórmulas para tornar mais dinâmico o seu trabalho.

As fórmulas em uma célula são um modo de mostrar que todo o conteúdo desta célula é calculado com base nos valores contidos em outras células. Primei-ramente, é necessário separar as informações por linhas e colunas e organizá-las por tipo, conforme pode ser visto no exemplo a seguir. Abra o programa em seu computador e procure acompanhar a construção de uma planilha.

Die

go F

erna

ndes

(201

1)

Figura 26 - Planilha básica de uma lista de equipamentos por meses do ano

2 TRIGONOMETRIA

É um segmento da matemática que estuda as relações entre as medidas de dois lados de um triângulo e os possíveis valores para seus ângulos agudos.

9 FerramenTaS 113

Repare que não foi digitada nenhuma informação, apenas a planilha em branco.

Para compreender o uso de fórmulas em planilhas eletrônicas, é apresentado a você um exemplo bastante simples na figura a seguir, onde foi realizada a soma automática de todos os itens da linha 2 na célula subtotal dessa linha. Em seguida, foi efetuada a soma automática de todos os itens do mês de janeiro, gerando um subtotal deste mês cujo resultado deve aparecer na célula B6.

Entende-se que o subtotal de janeiro, nessa situação, seria a somatória da cé-lula B2 (coluna B e linha 2) com a célula B3, somada à célula B4, mais a célula B5. Para chegar a esse resultado na célula B6, que é onde se deseja que o resultado apareça, você deverá digitar =b2+b3+b4+b5 e pressionar a tecla Enter. Como você já viu, a célula B6 depende dos valores das células B2, B3, B4 e B5.

Mas estas células não formam uma sequência?

Quando há a possibilidade de utilizar uma mesma sequência de células, é in-teressante usar o intervalo, nesse caso, de B2 até B5, representado pelo sinal de 2 pontos (:), ou seja, (b2:b5). Para simplificar o procedimento, ao invés de digitar vários sinais de mais (+), você pode trocar pela soma. Veja como essa operação é possível visualizando a figura a seguir.

Die

go F

erna

ndes

(201

1)

Figura 27 - Intervalo de células preenchido

Ao trabalhar com planilhas eletrônicas, você poderá encontrar outros tipos de fórmulas e perceberá que cada uma delas atende uma necessidade específica, seja de matemática financeira, trigonometria2, engenharia, estatística, lógica ou para manipular informações. Independente da finalidade, todas as fórmulas utili-zam a mesma estrutura básica: deve-se digitar o sinal de igual (=) seguido da fun-ção a ser utilizada, ou seja, a soma e os parâmetros da função, que corresponde ao intervalo (b2:b5).

Você viu como pode ser interessante trabalhar com planilhas? Até conhecer ferramentas, fórmulas e dicas de como melhorar nossos trabalhos por meio do uso de planilhas eletrônicas, imagina-se tratar de uma tarefa destinada para pou-cos. Mas agora que você já conhece as possibilidades desse tipo de ferramenta, não há dúvidas de que você aproveitará ao máximo todos os recursos que ela oferece.


9.2 grÁFiCoS eleTrôniCoS

Um gráfico eletrônico representa uma tabela de uma planilha, de modo que o usuário consiga visualizar as informações não apenas em forma de texto, mas também de forma gráfica.

Assim como um mapa ou uma foto em jornal ou revista, os gráficos são bas-tante utilizados para ajudar na leitura e facilitar a compreensão das informações que são apresentadas em uma tabela. Você já deve ter visto, por exemplo, o uso de gráficos em jornal, revista, livro, na Internet ou em algum programa de televi-são, porque normalmente são usados com frequência. É possível afirmar, de uma forma geral, que o objetivo principal dos gráficos é o de facilitar na compreensão de uma determinada informação.

Para gerar um gráfico, primeiramente é necessário selecionar os dados que você deseja inserir nesse gráfico, lembrando de selecionar também a coluna que mostrará o título da legenda3 e do gráfico em si.

CaSoS e relaToS

Garcia trabalha em uma empresa como representante de vendas e está desenvolvendo um plano de trabalho para o próximo ano. Ele coletou dados que indicam o volume de vendas de sua equipe nos primeiros qua-tro trimestres do ano.

O objetivo de Garcia agora é transformar estes dados em um gráfico para facilitar a apresentação e a análise das informações durante a reunião de planejamento.

Die

go F

erna

ndes

(201

1)

Figura 28 - Selecionando informações para criar um gráfico

Garcia pode utilizar uma das várias opções de gráficos que uma planilha eletrônica padrão de mercado oferece. O programa de planilha eletrôni-ca “reconhece” o padrão existente na tabela de dados e transforma estes em gráfico, de acordo com o tipo de gráfico escolhido. O tipo escolhido

3 LEGENDA

Em um gráfico, as legendas indicam o significado dos valores que estão descritos nos eixos x e y.

9 FerramenTaS 115

por ele é o gráfico de barras, que irá representar a comparação do desem-penho em cada período do ano.

Die

go F

erna

ndes

(201

1)

Figura 29 - Exemplo de gráfico simples

Outro gráfico bastante comum de ser utilizado é aquele cujo formato lembra uma pizza. Esse tipo de gráfico é útil quando se deseja comparar um item em específico, que faça parte de um grupo. Por exemplo, quando um item de um estoque é comparado aos demais itens. Nesse caso, esses itens são separados proporcionalmente, de acordo com a tabela, e podem ser apresentados em per-centuais ou numericamente.

FIQUE ALERTA

Antes de criar qualquer gráfico, selecione o texto que será a legenda, e utilize a tecla CTRL caso os dados estejam em outras colunas ou linhas.

Para cada tipo de aplicação, há diferentes tipos de gráficos. Você conhecerá a seguir dois tipos deles: os gráficos de colunas e os gráficos de linhas.

Os gráficos de colunas são compostos por linhas verticais e eixos horizontais, onde são representadas as variações das informações da planilha baseadas na tabela.

Os gráficos de linhas apresentam dois eixos, onde uma linha demonstra a evolução numérica, subindo ou descendo, de acordo com as informações da ta-bela que foi usada para gerar o gráfico.


VOCÊ SABIA?

Que um gráfico que demonstra os dados de forma in-correta poderá induzir o leitor ao erro? Tente alterar a orientação dos dados na ferramenta de elaboração de gráficos e analise-o para certificar-se de que ele está legível.

Independente do tipo de gráfico que você irá gerar, é importante ter a certeza do que realmente deseja informar. Você pode evitar, por exemplo, utilizar um gráfico de pizza para apresentar as notas de um boletim escolar. Para esse caso, uma boa sugestão é usar um gráfico de linhas ou colunas para mostrar as notas do boletim, pois assim as informações de maior importância ficam claras e o cál-culo utilizado passa a ser de fácil compreensão.

reCaPiTulando

Neste capítulo, você pôde compreender como funciona uma planilha eletrônica de cálculo, passando desde os aspectos básicos até a forma-tação de fontes e recursos intermediários, como agrupar as informações com subtotais e filtros.

Você pode descobrir também que há inúmeros recursos que podem ser explorados, muitos deles você aprenderá mesmo depois de concluir este material. Você estudou os conceitos básicos de planilha eletrônica e sua relação com tabelas de linhas e colunas, além da organização das pastas de trabalho e planilhas.

Viu que o Excel é uma ferramenta bastante utilizada e como é diferente digitar um número decimal com ponto ao invés da vírgula, por exemplo. Algumas teclas de atalho facilitam o uso do Excel, por exemplo, as teclas F2 e Delete, que podem ajudar em casos específicos, como ao digitar um texto ou apagar o conteúdo de uma célula. Você pode também aprender que o uso de fórmulas intensifica sua experiência quando utiliza o Excel, e que, dessa maneira, automatiza funções já conhecidas como somar to-dos os itens de uma tabela ou buscar automaticamente o menor valor de uma tabela.

Por fim, e não menos importante, você aprendeu a trabalhar com gráficos que, assim como as tabelas, têm a função de apresentar informações, po-rém, de outra forma que não a textual.

Anotações:

1179 FerramenTaS

reFerênCiaS

ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística Aplicada à Economia e Administração. 2. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005.

COSTA NETO, P.L.O.; CYMBALISTA, M. Probabilidades. São Paulo: Edgard Blucher, 1994.

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WONNACOTT, T.H.; WONNACOTT, R. J. Introductory Statistics. New York: John wiley & Sons, 2010.

miniCurríCulo doS auToreS

Wilmar Mattes é mestre em Engenharia Mecânica e graduado em Administração, com Habilitação em Comércio Exterior, pelo Centro Universitário de Jaraguá do Sul (2006). Tem experiência na área de administração, com ênfase em administração, projetos mecânicos e automação.

Atualmente, é professor do SENAI nos níveis técnicos, superiores e pós-graduação e professor na PUC – PR, nos cursos de graduação, pós-graduação e mestrado. Possui diversos trabalhos publica-dos nos EUA e Europa, além da experiência na indústria, onde atua por mais de 27 anos.

Juliano Daniel Marcelino é especialista em Gerenciamento de Projetos e bacharel em Sistemas de Informação. Atuou como gerente de projetos de implantação de sistemas de informação para cadeia de suprimentos, sistemas de gerenciamento corporativo, sincronização e integração de sistemas colaborativos, além de ter sido consultor empresarial, com experiência em nível inter-nacional, em gerenciamento de projetos, análise, mapeamento e gerenciamento de processos e planejamento estratégico.

Realizou inúmeras apresentações, palestras e cursos sobre gerenciamento de projetos, gestão de riscos, planejamento de auditoria, gestão de alta performance, gestão do conhecimento e desen-volvimento de equipes de alta performance.

Atualmente, é professor da academia Cisco no SENAI/SC em Jaraguá do Sul e conta com experi-ência nos segmentos de pós-graduação, graduação, técnico e profissionalizante, além de coorde-nação e orientação de trabalhos acadêmicos em instituições da região.

Reginaldo Motta é graduado em Administração de Empresas pela UNERJ Jaraguá do Sul e pós--graduado em Engenharia de Produção pela Fundação Uni versitária de Blumenau (FURB). Tam-bém possui graduação em Tecnólogo de Fabricação Mecânica pelo IFSC Jaraguá do Sul e ainda, formação técnica em Mecânica, Desenhos e Projetos pela Associação Beneficente da Indústria Carbonífera de Santa Catarina (SATC).

Atua na área de metal mecânica, em engenharia de processos, desenvolvimento de produtos, projetos mecâni cos, metrologia, melhoria con tínua, controle da qualidade e controle estatístico de processo (CEP).

índiCe bBitola 110

E

Equação 38, 39, 52, 56, 64, 66, 82

G

GPS 18

L

Laser 18

Legenda 113, 114, 115

P

planejamento 14

Polegada 20, 24, 35, 84

T

Trigonometria 112, 113

SENAI – DEpArtAmENto NAcIoNAlUNIDADE DE EDUcAção profISSIoNAl E tEcNológIcA – UNIEp

Rolando Vargas VallejosGerente Executivo

Felipe Esteves MorgadoGerente Executivo Adjunto

Diana NeriCoordenação Geral do Desenvolvimento dos Livros

SENAI – DEpArtAmENto rEgIoNAl DE SANtA cAtArINA

Simone Moraes RaszlCoordenação do Desenvolvimento dos Livros no Departamento Regional

Caroline Batista Nunes SilvaMorgana Machado TezzaCoordenação do Projeto

Juliano Daniel Marcelino Reginaldo MottaWilmar MattesElaboração

Guilherme Augusto GirardiRevisão Técnica

Beth SchirmerCoordenação do Núcleo de Desenvolvimento

Gisele UmbelinoCoordenação de Desenvolvimento de Recursos Didáticos

Adriana Ferreira dos SantosDesign Educacional

D’imitre Camargo Martins Diego FernandesLuiz Eduardo MeneghelWaleska Knecht RuscheIlustrações e Tratamento de Imagens

Juliana Vieira de LimaDiagramação

Juliana Vieira de LimaRevisão e Fechamento de Arquivos

Patrícia Correa CicilianoCRB-14/752Ficha Catalográfica

DNA Tecnologia Ltda.Sidiane Kayser dos Santos SchwinzerRevisão Ortográfica e Gramatical

DNA Tecnologia Ltda.Sidiane Kayser dos Santos SchwinzerNormalização

i-ComunicaçãoProjeto Gráfico

Cálculos aplicados em saúde e segurança do trabalho

Education

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