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tiam porque ele nunca tinha visto nenhum!), umaamostra radioactiva com brilhantes cintilações, que sópodiam vir do interior do átomo. Mach teria pouco de-pois expirado, poupando-lhe a morte o incómodo deassistir ao triunfo em várias frentes da teoria que afir-ma a constituição corpuscular da matéria.

De acordo com Bohr, o pequeno núcleo reside nocentro e os electrões orbitam velozmente à sua volta.Esse modelo manteve-se no essencial com o amadureci-

mento da mecânica quântica, em fi-nais dos anos 20, embora a imagemdo electrão localizado tivesse de sersubstituída pelo conceito de umanuvem de probabilidade. Não sepode saber muito bem por onde an-da o electrão mas, em contraparti-da, sabe-se muito bem a respectivaenergia. Os níveis de energia doselectrões no átomo estão quantifi-cados, só podendo tomar certos va-lores bem definidos.

A mecânica quântica veio arevelar-se a teoria não só do átomomas também do núcleo no seu in-terior. Continua a aplicar-se, semquaisquer objecções por parte des-se juíz impiedoso que é a experiên-cia, às partículas que constituem onúcleo (os protões e neutrões, de-signados genericamente por nu-cleões, os quais, sabe-se hoje, sãopor sua vez feitos de quarks) ou àspartículas produzidas artificialmen-te em aceleradores de alta energia.Para o outro lado da escala de dis-tâncias, a mecânica quântica expli-ca o comportamento dos gases,líquidos, sólidos (que mais não sãodo que arranjos regulares de áto-

físico norte-americano Richard Feynmanescreveu um dia que, se tivéssemos detransmitir o essencial sobre o nosso conhe-

cimento do mundo a um extraterrestre perfeitamenteignorante, teríamos de lhe dizer, concisa mas exacta-mente, que “o mundo é feito de átomos!”.

Esta verdade fundamental, embora intuída por al-guns filósofos e poetas da antiguidade clássica (lem-bremos que por cada poeta que acerta numaverdade científica há uma multidãode outros a errar.. .), só veio aimpor-se lentamente, facto experi-mental a facto experimental. Embo-ra existisse alguma evidência emfavor da realidade dos átomos combase na fenomenologia química, aentrada do atómo na Física foi len-ta e penosa. No início do nosso sé-culo, a hipótese atómica nãopassava de pura especulação pornada então se saber sobre a estru-tura do átomo. Mas, em 1911, ofísico britânico de origem neo--zelandeza Ernest Rutherford desco-bre o núcleo, o pequeno coração doátomo, que já antes tinha reveladoa sua presença através de toda umapléiade de fenómenos radioactivos.Passados dois escassos anos, o di-namarquês Niels Bohr elabora o fa-moso “modelo planetário” doátomo. Os anti-atomistas que aindanão estavam rendidos tiveram, acusto, de ceder.

Conta a lenda que alguém, mal-dosamente, mostrou a Ernst Mach,o físico e filósofo austríaco que senotabilizou na oposição às doutri-nas atomísticas (os átomos não exis-

O núcleo é uma democracia, ao contrário de um átomo, esse sítio totalitáriodominado pelo núcleo central com mão de ferro. Todos os nucleões participam no governodo núcleo e, perante uma perturbação, podem exibir movimentos colectivos de vários tipos.

O mesmo se passa com os agregados atómicos recentemente descobertos.

DOS NÚCLEOS AOS AGREGADOS ATÓMICOSCAMPO MÉDIO E MOVIMENTOS COLECTIVOS

CARLOS FIOLHAIS

O

Licenciado em Física pela Universidade deCoimbra, doutorado em Física Teórica pela Uni-versidade Goethe, em Frankfurt (Alemanha),Carlos Fiolhais é professor associado da Facul-dade de Ciências e Tecnologia de Coimbra. Oseu trabalho científico tem incidido principal-mente sobre estrutura e movimentos colectivosde sistemas de muitos corpos, sendo autor ouco-autor de dezenas de trabalhos em revistas in-ternacionais; em 1991 foi professor visitante naUniversidade Tulane, New Orleans, EUA. Res-ponsável por um projecto sobre o uso de com-putadores no ensino da física, autor denumerosos artigos de divulgação científica, tra-dutor de trabalhos de Feynman, Mandelbrot,Mayer-Kuckuk, etc, publicou recentemente “Fí-sica Divertida” (Gradiva, 1991).

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mos), macromoléculas biológicas, etc. A equação fun-damental da teoria quântica, que tem o nome do fí-sico inglês Paul Dirac, explica, nas palavras do seu au-tor, toda a Química e quase toda a Física.

De entre os inúmeros exemplos de sucesso que amecânica quântica tem conhecido, pretende-se aquiapresentar, de modo necessariamente breve e qualita-tivo, a sua aplicação a sistemas de muitas partículas,sejam estas nucleões no núcleo, ou conjuntos de al-guns átomos, sob a forma de agregados (figura 1). Es-sas estruturas, embora caracterizadas por diferentesescalas de distância e de energia, exibem um princí-pio de organização a que se convencionou chamar de“campo médio”. Significa isto que constitui boa apro-ximação tratar as partículas como independentes,movendo-se cada uma delas sob um certo potencial oucampo médio. Numa situação de equilíbrio, o campomédio é estático, mas se por alguma razão, ele for per-turbado exteriormente, esses sistemas podem exibirum comportamento colectivo, quer dizer, podem mos-trar um movimento de conjunto, coerente e orde-nado. O facto de as propriedades dos núcleos e dosagregados atómicos apresentarem notáveis similarida-des deve ser visto como um dos triunfos recentes daunidade dos princípios físicos.

A mecânica quântica começou por ser desenvol-vida para o átomo. Neste, o núcleo central mantémuma ordem rígida que dificilmente pode ser pertur-bada, estando os movimentos colectivos dos electrõesgrandemente dificultados. No entanto, nos núcleos nãoexiste um tal “poder centralizado”, tendo-se reve-lado profícua a ideia de um campo médio comum,onde se move cada partícula, e de flutuaçóes dessecampo. Desde os anos trinta que são conhecidos exem-plos de comportamento colectivo dos núcleos atómi-cos. A cisão nuclear, descoberta no início da SegundaGuerra Mundial e que lhe colocou termo, é um movi-mento colectivo de grande amplitude. Foi, logo no iní-cio, comparada à deformação lenta de uma gota líquidaclássica mas acabou, mais tarde, por ser explicada usan-do o conceito quântico de campo médio. Mais recen-temente, descobriram-se nos núcleos vibraçõesperiódicas, de alta energia, que são movimentos co-lectivos de pequena amplitude, interpretáveis como va-riações do campo médio.

Conforme o átomo de que são feitos, assim é dife-rente a natureza dos agregados atómicos, essas estru-turas intermediárias entre um átomo e um cristal quesó há poucos anos foram produzidas em laboratório.Alguns deles podem ser descritos, à imagem e seme-lhança dos núcleos, recorrendo ao conceito de cam-po médio. Os agregados de hélio, a temperaturaspróximas do zero absoluto, serão pequenas gotas apa-rentadas aos núcleos, pese embora a grande diferençados constituintes e das dimensões do conjunto. Con-tudo, a informação experimental sobre eles ainda é bas-tante escassa e fragmentada, tornando-se necessário

aguardar pelo desenvolvimento de técnicas experimen-tais mais sofisticadas. Pelo contrário, os agregados deelementos metálicos (como o alumínio, o sódio ou océsio) são hoje facilmente sintetizados. Nestes, os elec-trões livres obedecem ainda a um princípio de organi-zação análogo ao dos nucleões no núcleo. Não é,portanto, de estranhar que apresentem, perante umaexcitação exterior, um tipo de resposta que faz lem-brar, em vários aspectos, a que é fornecida por umnúcleo.

Em mecânica quântica, o estado energético de umsistema é caracterizado por um conjunto de números,chamados quânticos. Conhecidos esses números, sabe--se com exactidão a energia do sistema. Partículas ma-teriais como os electrões, os protões e os neutrões sãochamadas fermióes e obedecem ao princípio de Pauli(do nome do físico suíço, nascido na Áustria, WolfgangPauli), segundo o qual um nível energético individualnão pode ser ocupado por mais do que dois fermiões.Um par de fermiões no mesmo estado tem “spins”opostos, sendo o “spin” uma propriedade intrínsecade uma partícula, análoga à rotação interna de uma par-tícula clássica mas cuja justificação é apenas quântica.Dado um certo conjunto de fermiões independentes,os níveis de energia possíveis num certo potencial sãopreenchidos por ordem de energia crescente. O po-tencial é uma construção teórica extremamente útilque, em mecânica clássica, está directamente relacio-nada com a força e, em mecânica quântica, permitedeterminar os níveis de energia de um sistema. Os fer-miões não podem, por conseguinte, acotovelar-se pro-miscuamente no mesmo estado energético. Tudo sepassa como num hotel onde é interdito alojar mais de

Fig. 1 – Representação esquemática de um núcleo ou de um agre-gado atómico. Os constituintes são, no primeiro caso, nucleões e,no segundo caso, átomos.

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dois hóspedes no mesmo quarto. O princípio de Paulié, como veremos, fundamental para explicar a ordemtanto nos átomos como nos núcleos e agregadosatómicos.

A ORDEM NOS ÁTOMOS

Nos átomos, cujo tamanho é de alguns Ångstroms(1 Å = 10-10 m), o potencial sentido pelos electrõesé da responsabilidade quase exclusiva do núcleo. Trata--se do potencial eléctrico, atractivo, proporcional àcarga do núcleo e inversamente proporcional à distân-cia ao núcleo (figura 2). O átomo mais simples é o dehidrogénio, que consiste apenas de um protão, positi-vo, no centro, e um electrão, negativo, em volta. Nes-te caso, não faz sentido falar de campo médio (a noçãode média exige considerações estatísticas e, portanto,um sistema de várias partículas). O único electrão dohidrogénio pode ocupar diferentes níveis de energia,rotulados por números quânticos que são característi-cos do potencial eléctrico. O electrão quando mudade nível efectua um “salto” energético. Ganha ener-gia se “sobe” (recebendo luz) e perde energia se “des-ce” (emitindo luz). A unidade típica de energia atómicaé o electrão-volt (eV), extraordinariamente pequenaquando comparada com as energias comuns da nossavida quotidiana (1 eV = 1.602 x 10-19 J).

No caso de átomos com vários electrões, estes úl-timos não são independentes, em virtude da respecti-va repulsão eléctrica. Constitui, porém, uma boaaproximação considerar os electrões independentes,movendo-se num certo potencial comum. O potencialdevido ao núcleo tem então de ser corrigido, levan-do em conta a interacção entre os electrões. O poten-

cial efectivo a que está sujeito um só electrão é, preci-samente, o “campo médio”. O princípio de Pauli pre-side, para cada átomo, ao enchimento dos estadospossíveis. O modelo de campo médio é muitas vezeschamado “modelo de camadas”, uma vez que osníveis mais próximos se agrupam em “camadas”. Con-vém notar que esta imagem de um átomo polielectró-nico é uma aproximação: ao contrário do que sucedeno problema do átomo de hidrogénio, não existeagora solução exacta.

Vejamos como aparece o campo médio do átomo.O potencial médio varia de átomo para átomo, umavez que, sendo diferente o número de electrões, é tam-bém diferente o efeito de repulsão. Mas, para um elec-trão nas vizinhanças do núcleo, o efeito de repulsãopor parte dos seus parceiros é insignificante compara-do com a atracção eléctrica do núcleo de carga Z. Poroutro lado, um electrão muito distante tem algumadificuldade em “sentir” o núcleo (quer dizer, o poten-cial devido ao núcleo é menos intenso) pelo facto deeste estar “tapado” pelos electrões interiores. Designa--se este fenómeno por efeito de “blindagem“. Os Z-1electrões mais interiores “escondem” a maior parte dacarga Z do núcleo e o último electrão, lá ao longe,fica sujeito apenas a um potencial devido a umacarga 1, tal como no átomo de hidrogénio (figura 3a).

A partir de um potencial efectivo com essas carac-terísticas e efectuando os cálculos exigidos pela equa-ção quântica fundamental, obtêm-se vários níveis(figura 3b). Chamam-se «números mágicos» aos núme-

Fig. 2 – Potencial eléctrico do átomo de hidrogénio (inversamen-te proporcional à distância ao núcleo) e níveis energéticos desse áto-mo. Os intervalos de energia são cada vez menores à medida quea energia aumenta até que, para energias superiores a zero, surgeum contínuo (não representado).

Fig. 3 a) – Potencial efectivo de um átomo com vários electrões.

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ros de partículas que correspondem a camadas com- pletas. Os números mágicos para os electrões são 2, 10, 18, 36, 54, etc. Átomos com esses números de elec- trões são dificilmente excitáveis (a camada seguinte à última preenchida está energeticamente distante). Como as reacções químicas resultam de rearranjos dos electrões exteriores, os átomos com números mágicos de electrões são quimicamente inertes: é o caso do hé- lio, com 2 electrões, do néon, com 10, do árgon, com 18, do crípton, com 36, e do xénon, com 54. Estes ele- mentos aparecem na última coluna da tabela periódi- ca e são conhecidos por gases raros. A energia de ionização – a energia que é necessária para separar o

último electrão – é maior para os gases raros do que para os elementos seus vizinhos (figura 4). A explica- ção é simples: os gases raros apresentam configurações electrónicas particularmente estáveis, não sendo fácil arrancar-lhes um electrão.

A ORDEM NOS NÚCLEOS

O átomo tem dimensões muito pequenas compa- radas com aquelas que caracterizam o mundo macros- cópio mas muito grandes comparadas com as do núcleo. Um tamanho típico de um núcleo é de alguns

Fig. 3 b) – Esquemas de níveis de alguns átomos – hélio, lítio, néon e sódio – e sua ocupação no estado de mais baixa energia. O hélioe o néon são gases raros, enquanto o lítio e o sódio têm um electrão fora de camadas fechadas. As setas indicam o spin.Fonte: T. Mayer-Kuckuk, «Atomphysik», Teubner, Estugarda, 1980.

Fig. 4 – Energia de ionização dos elementos da tabela periódica em função do número atómico Z. Notar os máximos para os gases raros,quando Z = 2, 10, 18, 36, e 54.Fonte: A . Holden, «The Nature of Solids», Columbia U.P., Nova Iorque, 1965.

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fermis, sendo 1 fm = 10-15 m. Um núcleo é assimcerca de 10000 vezes menor do que um átomo.

Não obstante essa diferença, a mecânica quânticaaplica-se aos núcleos tão bem como aos átomos. Osprotagonistas do jogo quântico são agora os protõese neutrões, que seriam idênticos se não fosse a dife-rença de carga (o protão é positivo enquanto o neu-trão é neutro). Para explicar a coesão do núcleo, épreciso invocar uma força diferente da força eléctri-ca, uma força forte, suficientemente forte para man-ter juntos protões e neutrões no minúsculo núcleo (arepulsão eléctrica entre os protões levaria, por si só,à desagregação nuclear). Essa força é chamada forçanuclear forte. A força entre dois nucleões (protões ouneutrões) é praticamente nula a distâncias maiores doque 2 fm (figura 5), atractiva a distâncias entre 1 fme 2 fm, e muito repulsiva para distâncias menores doque cerca de 0,8 fm (dois nucleões não podem, comoé evidente, entrar um dentro do outro!). Esta é umaimagem parcial e simplificada da força entre dois nu-cleões. A força pormenorizada foi determinada a par-tir de experiências de colisão de um nucleão noutroe das propriedades de núcleos leves, concluindo-se queela é terrivelmente complicada: a sua descrição exigeuma fórmula com dezenas de parâmetros. Hoje em dia,os físicos tentam descrever a força forte a partir da in-

teracção mais fundamental entre os quarks no interiordos nucleões. A força entre dois nucleões é, de certomodo, semelhante à força entre duas moléculas: emambos os casos se tem uma força entre objectos com-pósitos e complexos.

O núcleo é assim uma colecção de protões e neu-trões interagindo por forças complicadas num espaçomuito restrito. Poder-se-ia, portanto, pensar que osconstituintes nucleares estivessem sempre a colidir, talcomo as moléculas de um líquido normal. Mas os nu-cleões são fermiões e o princípio de Pauli encarrega--se de manter a ordem. Proibe a maioria das colisões,porque os estados finais estão ocupados e, por conse-guinte, inacessíveis. Os nucleões não colidem frequen-temente porque não têm, no final da colisão, para ondeir. O núcleo pode então ser visto como uma gota deum líquido, mas um líquido muito especial: trata-se deum líquido quântico, formado por partículas que obe-decem ao princípio de Pauli.

O núcleo é uma democracia, ao contrário de umátomo, esse sítio totalitário dominado pelo núcleo cen-tral com mão de ferro. Todos os nucleões participamno governo do núcleo. Em boa aproximação, os nu-cleões não sentem qualquer força no interior do nú-cleo (as forças internucleónicas, quando tomadas emmédia, anulam-se; ver figura 6). Porém, na periferia,existe um potencial atractivo (os nucleões do interior“puxam” um nucleão periférico, impedindo que esteabandone o núcleo). Estamos perante uma situação tí-pica de campo médio: é legítimo considerar os nu-cleões independentes movendo-se num potencial queé devido a todos. Esse potencial, constante no interiore subindo suavemente para zero na fronteira nuclearé, bem entendido, uma construção teórica. Mas,

Fig. 5 – Potencial simples representando a interacção entre dois nu-cleões. A força é repulsiva a curtas distâncias (potencial descenden-te), atractiva a distâncias intermédias (potencial ascendente) e nulaa grandes distâncias (potencial nulo).Fonte: R. Reid, Ann. Phys. 50 (1968) 411.

Fig. 6 – Construção do potencial médio a partir das forças entrenucleões do núcleo. A representação aqui é unidimensional, ao passoque a situação real é tridimensional.Fonte: G. Bertsch, Sci. Amer, May 1983, 40.

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como todas as concepções teóricas que triunfam, é efi-caz na descrição dos factos experimentais. O proble-ma complicado (e mesmo intratável) de muitos corposfica reduzido ao problema mais simples (e solúvel!) deum nucleão que se move no seio de um potencial efec-tivo comum.

Mais rigorosamente, a partícula teórica que semove no campo médio deve ser chamada de quase--partícula. Não se trata de um nucleão sozinho mas deum nucleão imerso no meio nuclear, sujeito ao cam-po médio devido aos seus companheiros. Enquanto umnucleão real está sujeito a uma força forte, complexa,um quase-nucleão move-se sob a acção de uma forçasimples, nula no interior do núcleo e muito forte naperiferia.

Dois modelos esquemáticos que servem para des-crever o potencial nuclear (figura 7) são o osciladorharmónico (o potencial cresce com o quadrado da dis-tância ao centro do núcleo) e o poço rectangular deparedes infinitas (o potencial é constante no interiore sobe verticalmente na superfície nuclear). É no meio

que reside normalmente a virtude: o potencial harmó-nico não é bom porque impede os nucleões de se es-caparem e o potencial rectangular não é bom porqueapresenta “esquinas”. Os chamados cálculos autocon-sistentes, realizados no quadro da aproximação docampo médio, partem de interacções efectivas entrequase-partículas e procuram obter um potencial mé-dio optimizado. O resultado final, qualquer que sejao núcleo, tem uma forma típica: o potencial sobe sua-vemente para zero a partir de um patamar interior (fi-gura 8a). A densidade correspondente desce para zeroa partir de um planalto interior (figura 8b). No mode-lo de Woods-Saxon, com a forma requerida, os núme-ros mágicos, isto é, os números que correspondem aoenchimento de camadas completas, são 2 , 8, 20, 40,etc. (figura 7 ). Encontrou-se, de facto, que os núcleoscom 2, 8 e 20 protões ou neutrões têm propriedadesde estabilidade especiais, tal como, em Física Atómi-ca, os átomos dos gases raros. Um núcleo de hélio 4é duplamente mágico porque tem 2 protões e 2 neu-trões. Um núcleo de oxigénio 16 é duplamente má-

Fig. 7 – Esquemas de níveis de energia para o oscilador harmónico simples (A, acima à esquerda) e para o poço rectangular de paredes infinitas(B, abaixo à esquerda). No meio encontram-se os níveis correspondentes a um potencial intermediário. Entre parêntesis curvos encontra-seo número de partículas que cabem no conjunto de níveis com a energia indicada. Entre parêntesis rectos encontra-se o número total de partícu-las que podem ser alojadas até ao nível indicado (inclusivé). Os números mágicos para o oscilador harmónico são 2, 8, 20, 40, 70, etc., parao poço rectangular 2, 8, 18, 20, 34, etc., e para o potencial intermediário 2, 8, 20, 40, etc.Fonte: M. Mayer e J. Jensen, «Elementary theory of nuclear shell structure», J . Wiley, Nova Iorque, 1955.

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gico pois tem 8 protões e 8 neutrões. Um núcleo decálcio 40 é duplamente mágico já que tem 20 protõese 20 neutrões. A partir do exame das propriedades nu-cleares verificou-se, contudo, que 40 protões ou neu-trões não mostravam estabilidade adicional.Empiricamente, os números mágicos a seguir a 20 são:28, 50, 82, 126, etc. Por exemplo, o chumbo 208 temum núcleo duplamente mágico, com os seus 82 pro-tões e 126 neutrões (é, de resto, praticamente o maiornúcleo estável que aparece na natureza, já que quasetodos os núcleos com massa superior decaem radioac-tivamente vindo parar ao chumbo).

Constituiu um dos grandes avanços da Física Nu-clear a conclusão a que chegaram, em 1948, os físicosalemães M. G. Mayer, J . H. D. Jensen, O. Haxel eH. E. Suess de que existia, nos núcleos, uma interacçãoparticular de origem relativista. É a chamada interac-ção spin-órbita, que também existe nos átomos, em-bora o seu efeito nestes seja menos relevante. Ainteracção spin-órbita combinada com o potencial deWoods-Saxon consegue explicar todos os números má-gicos superiores a 20 (ver figura 9 na pág. seguinte).

Com a inclusão da interacção spin-órbita, o mode-lo nuclear de camadas começou a superiorizar-se rela-tivamente aos seus concorrentes no mercado dasideias. O núcleo atómico tinha antes sido considera-do uma gota: nos anos 30 o físico alemão Carl von Wei-zaecker verificou que as energias dos estados deequilíbrio dos núcleos podiam ser bem descritas poruma “fórmula de gota líquida”, onde se somavam ter-mos de volume, superfície e outros (figura 10); o mo-

Fig.8 – a) Representação dos potenciais nucleares para neutrões e protões para o chumbo 208, no quadro de uma aproximação de campomédio autoconsistente (usando uma força entre quase-partículas designada por Skyrme II). b) Representação da densidade nuclear correspon-dente ao potencial anterior e sua comparação com os dados experimentais. O raio nuclear do chumbo 208 é de cerca de 7 fm.Fonte: D. Vautherin e D. M. Brink, Phys. Rev. C5 (1972) 626.

delo de gota líquida foi generalizado em 1937 por NielsBohr, tendo sido mais tarde utilizado para explicar acisão nuclear. O modelo de camadas e o modelo degota líquida contrastam nas suposições de onde par-tem e nas imagens que fornecem: o segundo supõe queas partículas nucleares colidem frequentemente, aopasso que o primeiro supõe a quase inexistência de co-lisões. Hoje sabe-se que o modelo de camadas corres-ponde melhor à realidade. Com efeito, os nucleões têmum caminho livre médio (distância percorrida, em mé-dia, entre duas colisões sucessivas) bem superior ao diâ-metro nuclear. Por outro lado, o êxito empírico domodelo de gota líquida, traduzido pelo acordo com aexperiência da fórmula de von Weizaecker, é explicá-vel, apesar da concepção erónea que lhe está subja-cente sobre a frequência das colisões. O modeloquântico de camadas complementa o de gota líquida,no sentido em que esclarece e elimina as discrepân-cias com a experiência deste último. O núcleo é, defacto, um líquido mas um líquido exótico, por obrae graça da mecânica quântica.

Não é de mais encomiar o modelo de camadas. Nãose trata de um modelo qualquer, anónimo entre umamultidão de outros, mas “do” modelo nuclear por ex-celência. As suas previsões têm batido, vezes sem con-ta, certo com os factos. Por exemplo, o modelo decamadas prevê que núcleos com números mágicos deprotões e neutrões sejam esféricos e que núcleos comcamadas abertas sejam, mais ou menos, deformados.Com efeito, o campo médio e portanto os níveis deenergia individuais mudam com a deformação, poden-

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do acontecer que, para certos números de nucleões,um núcleo alongado tenha uma energia menor do queo mesmo núcleo esférico. Medidas de várias proprie-dades nucleares confirmaram o vaticínio que o mode-lo de camadas faz sobre a forma dos núcleos.

Podem-se fornecer mais provas em abono do mo-delo de camadas. Os núcleos mágicos são particular-mente estáveis sendo a sua energia de ligação maiordo que a dos seus vizinhos com mais ou menos um nu-cleão (figura 10). A energia necessária para removerum nucleão (energia de separação) é maior para um nú-cleo mágico do que para os seus vizinhos. Um dos su-cessos recentes do modelo de camadas consistiu nadeterminação rigorosa da densidade nuclear por meio

Fig. 10 - Energia de ligação nuclear, por nucleão, em função donúmero de nucleões. A energia de ligação é a diferença entre a energiade um conjunto de nucleões separados e ligados. No quadro inte-rior representa-se a mesma quantidade para núcleos pequenos(repare-se na mudança da escala vertical). Note-se que núcleos mui-to pesados se cindem porque a energia de ligação por nucleão au-menta. Por outro lado, núcleos leves fundem-se já que então a energiade ligação por nucleão também aumenta. A curva de von Weizaec-ker, suave, corresponde a uma média da informação experimental,em zigue-zague. Núcleos com números mágicos de protões e/ou neu-trões têm energias de ligação por nucleão superiores à média.Fonte: A. Bohr e B. Mottelson, «Nuclear Structure», vol. I, Benja-min, Nova torque, 1969.

Fig. 9 – Esquema de níveis de neutrões num potencial de Woods-Saxon (considera-se um núcleo com 80 nucleões, cujo raio nuclear é 6,2 fm),incluindo a interacção spin-órbita. As zonas a sombreado representam as camadas (agrupamentos de níveis). Os números mágicos são 2, 8,20, 28, 50, e 82.Fonte: T. Mayer-Kuckuk, «Kernphysik», Teubner, Estugarda, 1984.

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da colisão de electrões de alta energia em núcleos pe-sados (figura 11). A diferença entre, por exemplo, asdensidades de carga do chumbo 206 e do tálio 205 cor-responde, em boa aproximação, à orbital (distribuiçãode probabilidade) do protão exterior, tal como é an-tecipado pelo modelo de camadas (figuras 12a e 12b).Não se poderia esperar melhor desse modelo.

O movimento colectivo de um sistema quântico demuitas partículas consiste de um deslocamento con-

junto e ordenado dos constituintes. Distingue-se deuma excitação de partícula única por envolver, ao con-trário desta, vários corpos elementares. Em ambos oscasos, a excitação do sistema é devida a uma pertur-bação exterior. Num núcleo, um exemplo trivial demovimento colectivo consiste na translação do núcleocomo um todo no espaço. Um outro exemplo, menostrivial (dá até muito pano para mangas!), é a rotaçãode um núcleo deformado. Mas os exemplos que nos

Fig. 11 – Distribuição de carga para vários núcleos na aproximação de campo médio e respectiva comparação com os dados experimentais,obtidos em colisões de electrões rápidos com núcleos. A distribuição de protões é aproximadamente a mesma que a distribuição de neutrões.O raio nuclear aumenta com a raiz cúbica do número de partículas.Fonte: B. Frois, in R. Ricci (ed.) Proc. 9th Int. Conf. on Nuclear Physics (Florence, 1983), Bolonha, 1983.

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vão aqui interessar são os movimentos de vibração donúcleo em torno da sua forma de equilíbrio.

O modelo de camadas permite explicitar a diferen-ça entre excitações individuais e colectivas. Numa ex-citação de partícula única, uma partícula sobe para onível imediatamente acessível (ou outro qualquer, sehouver energia suficiente), enquanto num movimen-to colectivo várias partículas são promovidas quer namesma camada (se ela estiver incompleta) quer de uma,duas ou mais camadas. As excitações vibracionais deum sistema de fermiões podem ser vistas como pro-moções energéticas de várias partículas no interior docampo médio. O intervalo de energia entre camadas,que é tipicamente de alguns milhões de electrões-volt(MeV), diminui quando o raio nuclear aumenta (porexemplo, o chumbo 208 tem um intervalo de cama-das, relativamente pequeno, de cerca de 7 MeV).Como a profundidade do potencial médio é aproxi-madamente a mesma para todos os núcleos, núcleoscom mais partículas têm de mostrar espaçamentos me-nores entre níveis.

O primeiro movimento colectivo vibracional des-coberto nos núcleos foi, em 1948, a chamada “resso-nância dipolar gigante”. Trata-se de um movimentoharmónico do conjunto dos protões contra os neu-trões, que é ocasionado por uma excitação luminosaexterior (figura 13). Para o obter, lança-se sobre o nú-cleo radiação gama, que é uma forma de luz invisível,

de frequência e portanto energia muito maior do queas da luz normal. A energia da vibração dipolar é, pa-ra o chumbo 208, 14 MeV, correspondente portantoa um salto de duas camadas. De onde vem o sugestivonome de “ressonância gigante?”. Um oscilador pertur-bado por uma intervenção exterior está em ressonân-cia se a frequência da excitação for igual a uma suafrequência natural (um pai que empurra ritmicamenteo filho no baloiço está a aproveitar o fenómeno da res-sonância). Uma ressonância dos núcleos é “gigante”quando nela participam a grande maioria dos nucleões,apresentando por isso um grau elevado de colecti-vidade.

Nos últimos quinze anos, devido ao avanço das téc-nicas experimentais para excitar núcleos (utilizando vá-rios tipos de projécteis como, por exemplo, partículasalfa, que são núcleos de hélio 4) e detectar os produ-tos da subsequente desexcitação, descobriram-se ou-tras ressonâncias gigantes. Em 1972, encontrou-se a“ressonância quadrupolar gigante”, que consiste na os-cilação conjunta de neutrões e protões, passando o nú-cleo de uma forma esférica a uma forma elipsoidal e

Fig. 12 – a) Representação tridimensional da densidade de cargano chumbo e no tálio, medida em experiências de colisão de elec-trões. A diferença deve corresponder à distribuição de carga da or-bital 3s para um protão. b) A figura compara a diferença dedistribuições de carga com a previsão do campo médio, podendoconcluir-se que a teoria do campo médio é bastante boa. A incerte-za experimental é maior para as medidas da carga no centro do nú-cleo, quando a discrepância entre a teoria de campo médio e aexperiência é também maior.Fonte: B. Frois, in R. Ricci (ed) Proc. 9th Int. Conf. in Nuclear Physics(Florence, 1983), Bolonha, 1983.

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vice-versa (figura 14). Em 1979 encontrou-se a “res-sonância monopolar gigante”, que consiste no movi-mento conjunto dos nucleões de tal maneira que o raionuclear aumenta e diminui, mantendo o núcleo a mes-ma forma inicial (figura 15). Esta vibração é tambémchamada “modo de respiração”. Tal como os pulmões,que abrem e fecham, também o núcleo pode aumen-tar e diminuir de volume. No caso do chumbo 208,as energias das ressonâncias quadrupolar e monopo-lar são respectivamente 12 e 14 MeV.

Porém, nos anos 50 e 60, tinha sido detectado umgrande número de estados vibracionais dos núcleos,com energia bastante menor que a das ressonânciasgigantes. Esses estados são chamados “modos de bai-xa energia” uma vez que as respectivas energias sãomenores que um intervalo típico entre camadas (figu-ra 16). Para o chumbo 208 o estado de mais baixa ener-gia existe a cerca de 2 MeV.

Classificam-se pois as excitações colectivas dos nú-cleos em modos de alta e baixa energia. Ambos são mo-vimentos de pequena amplitude, isto é, durante avibração a fronteira nuclear não se desloca mais do que1 % do raio nuclear. Os núcleos têm assim uma respostade baixa energia (lenta) e uma resposta de alta energia(rápida). Normalmente, num dado processo de exci-tação, são excitados simultaneamente modos dos doistipos, embora em proporções diferentes. A probabili-dade de transição do estado fundamental (estado deequilíbrio) do núcleo para um estado de ressonânciagigante é, em geral, maior.

O comportamento do núcleo atómico é um poucobizarro: reage diferentemente conforme o modocomo é provocado, tal como uma bola de “Sil lyPutty”. “Silly Putty” (tradução à letra: “massa devidraceiro maluca”) é uma substância sintética que ser-ve para fazer um brinquedo muito popular nos Esta-dos Unidos. Uma bola dessa substância, que pareceexteriormente plasticina, deforma-se lentamente comos dedos como se fosse realmente plasticina. Mas, sea bola for arremessada contra o chão, saltita como sefosse uma bola de borracha. Umas vezes assemelha-sea um líquido viscoso e outras a um sólido elástico. Domesmo modo, o núcleo parece-se com um líquidoquando vibra a baixa energia (comparada com a ener-gia de excitação de uma camada) e com um sólidoquando vibra a alta energia.

A história da aplicação do modelo de gota líquidaàs vibrações nucleares é assaz curiosa. Como foi dito,a generalização dinâmica da fórmula de gota líquidaobteve algum sucesso ao descrever o fenómeno da ci-são nuclear, que é um processo de baixa energia (a ci-são é o prolongamento de um modo quadrupolar debaixa energia). No entanto, esse modelo, proposto pelodinamarquês Aage Bohr, filho de Niels Bohr, e pelonorte-americano Ben Mottelson nos anos 50, não for-nece uma explicação quantitativa das vibrações de bai-xa energia da generalidade dos núcleos. A energiaobtida no modelo de gota líquida é muito superior aos

Fig. 13 – Diagrama esquemático da ressonância dipolar gigante nosnúcleos. Os protões oscilam em sentido contrário aos dos neutrões.A amplitude da oscilação foi exagerada para tornar a imagem maisclara. Fonte: G. Bertsch, Sci. Amer., May 1983, 40.

Fig. 14 – Diagrama esquemático da ressonância quadrupolar gigan-te. O núcleo passa de uma forma esférica a uma forma elipsoidale vice-versa. Fonte: G. Bertsch, Sci. Amer., May 1983, 40.

Fig. 15 – Diagrama esquemático da ressonância monopolar gigan-te. O núcleo aumenta e diminui de raio, mantendo a forma esférica.Fonte: G. Bertsch, Sci. Amer., May. 1983, 40.

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valores experimentais. Ainda houve quem pensasse queo modelo poderia ser adequado para as ressonânciasgigantes, de energia elevada, mas os mesmos Bohr eMottelson, ainda antes da ressonância quadrupolar tersido detectada, partiram de suposicões contrárias àsdo modelo hidrodinâmico para formular uma previ-são correcta da energia da vibracão quadrupolar. Omodelo de gota líquida renormalizado (isto é, multi-plicando o seu resultado por um factor menor do que1) pode, quanto muito, servir para descrever em mé-dia os estados de baixa energia (figura 16) mas revela--se absolutamente inadequado para tratar os estadosde alta energia. Contudo, as previsões do modelo degota líquida para as energias dos modos monopolarese dipolar não são desrazoáveis de todo. Estas excita-ções de alta energia não têm parceiro de baixa ener-gia, tendo o sucesso parcial do modelo de gota líquidaconfundido durante algum tempo os investigadores donúcleo...

No modelo de gota líquida, cuja base é macroscó-pica, a força restauradora tem a ver com a tensão su-

perficial (a forca que, ao fim e ao cabo, mantém a coe-são de uma gota clássica). Cálculos microscópicos, rea-lizados na aproximacão de campo médio, revelaramque a expressão hidrodinâmica para a força restaura-dora não é adequada para os modos de baixa energia.Efeitos quânticos (relacionados com a existência de ca-madas) impedem que uma descrição do tipo de gotalíquida seja quantitativamente bem sucedida.

O raciocínio hidrodinâmico tembém não serve paraos modos de alta energia. Qual é então o mecanismoresponsável pelas ressonâncias gigantes? Descobriu-seque a respectiva força restauradora, do tipo elástico,tem a ver com a resposta rápida do campo médio auma perturbação. Uma vibracão ou “som” no núcleonão se propaga como o som no ar (o som normal nãoé mais do que uma vibração no ar), antes resultandoda existência de campo médio. Não é transmitida porcolisões, que são raras nos núcleos atendendo ao gran-de caminho livre médio dos nucleões, mas pelo pró-prio campo médio. Quando um nucleão se agita, todoo campo médio se agita com ele. Este fenómeno, típi-

Fig. 16 – Energia da vibração quadrupolar de baixa energia em função do número de nucleões, para núcleos com números pares de protõese neutrões. Repare-se que núcleos deformados têm energias de excitação colectiva mais baixa do que núcleos mágicos. A curva suave indicao resultado do modelo de gota líquida renormalizado (isto é, multiplicando a energia que fornece por 0,2). Nesse modelo, a energia é inversa-mente proporcional à raiz quadrada do número de nucleões.Fonte: O. Nathan e S. Nilsson, in K. Siegbahn (ed.), “Beta and Gamma Ray Spectroscopy”, North Holland, Amsterdão, 1955.

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co da matéria de fermiões, surge em consequência doprincípio de Pauli.

Como as ressonâncias gigantes são altamente co-lectivas, é natural supor que a sua energia seja bem des-crita por uma função do número total A de nucleões.Existe, com efeito, uma fórmula simples (devida ao fí-sico norte-americano George Bertsch) que, sem quais-quer parâmetros ajustáveis, descreve a energia daressonância quadrupolar gigante da quase totalidadedos núcleos (figura 17). Nessa fórmula entra uma for-ça restauradora que é proporcional à energia cinéticamédia dos nucleões. A energia resultante é inversamen-te proporcional ao raio do núcleo. Como o raio nu-clear cresce com a raiz cúbica de A (este facto tem aver com a constância da densidade nuclear no interiordo núcleo), a energia de ressonância é inversamenteproporcional à raiz cúbica de A . Para as energias dasressonâncias monopolar e dipolar existem fórmulas se-melhantes, sendo apenas diferente o coeficiente deproporcionalidade. Note-se, porém, que a vibraçãomonopolar não foi identificada na prática para núcleosleves: é necessário um número mínimo de partículaspara que esse fenómeno colectivo se manifeste.

Ao contrário da energia, a largura da ressonância,que é uma medida do tempo que dura a vibração, va-ria bastante de núcleo para núcleo. Uma ressonância

gigante permanece, em geral, pouco tempo: antes deamortecer completamente, o núcleo experimenta ti-picamente duas ou três oscilações completas. O pro-blema de calcular o tempo de vida de uma vibraçãonuclear é bem mais difícil do que o de calcular a res-pectiva energia. A dificuldade reside principalmenteno facto de a largura da ressonância não poder ser ex-plicada no âmbito da aproximação de campo médio.A perda da energia colectiva deve-se à sua dispersãopor graus de liberdade individuais.

Além da deformação elipsoidal, que aparece no mo-do quadrupolar, podem ocorrer deformações maiscomplicadas. O núcleo pode, por exemplo, mudar deuma forma esférica para uma forma de pera (com trêssaliências), voltando depois à forma esférica primiti-va. Esta deformação diz-se octupolar. Existem menosdados sobre a ressonância octupolar gigante, sendo es-sa informação proveniente principalmente de núcleospesados. A experiência permite, todavia, também nessecaso confirmar a validade do modelo de força elásti-ca, que hoje, de resto, é apoiado não só por diversaevidência laboratorial como também por cálculos mi-croscópicos pormenorizados. São ainda possíveis, emprincípio, excitações com multipolaridade superior àoctupolar, mas, nesse caso, a incerteza experimentalrevela-se demasiado grande. A largura da ressonânciaobservada é elevada e, por isso, o tempo de vida cur-to. O próprio modelo dos nucleões independentes per-mite explicar a “morte” rápida das ressonânciasgigantes de elevada multipolaridade. Esses modos de-caem imediatamente uma vez que dão origem a exci-tações de partícula única. Um nucleão pode sercomparado com um surfista que avança no mar rece-bendo energia de uma onda. Um tal processo de amor-tecimento é conhecido por amortecimento de Landau,já que foi descoberto pelo físico soviético Lev Landauno contexto, bastante diferente, do estudo das ondasnum plasma electrónico.

Deve ainda ser referido que foram identificadas os-cilações monopolares e quadrupolares em que os pro-tões e neutrões oscilam em oposição, tal como nomovimento dipolar gigante, e ainda oscilações em quenucleões com diferentes spin oscilam fora de fase. Es-tes modos, embora de considerável interesse teóricoe experimental, não são aqui considerados.

Finalizando a discussão sobre as ressonâncias gigan-tes, chamemos a atenção para a relevância que essasexcitações assumem para o melhor conhecimento tan-to da matéria nuclear como dos núcleos finitos. A ener-gia da ressonância monopolar permite determinar ovalor da compressibilidade nuclear, isto é, da maneiracomo o volume varia com um aumento de pressão. Es-te resultado é importante para o estudo da vida e mortedas estrelas (a explosão de uma estrela depende da re-sistência da matéria nuclear no seu interior a tremen-das pressões gravitacionais). Por sua vez, a ressonânciadipolar gigante permite “medir” a forma de um nú-

Fig. 17 – Energia da ressonãncia quadrupolar gigante em funçãodo número de nucleões. A curva suave indica a previsão de uma fór-mula simples, devida a G. Bertsch, segundo a qual a energia colecti-va é inversamente proporcional à raiz cúbica de A.Fonte: A. Nix e A. Sierk, Phys. Rev. C21 (1980) 396.

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cleo. O gráfico de absorção de raios gama mostra umacurva em forma de sino, com um só pico, para núcleoscuja forma de equilíbrio é esférica, mas uma curva comdois picos, para um núcleo cuja forma de equilíbrioé elipsoidal (figuras 18a e 18b). Isso significa que exis-te, no primeiro caso, um comprimento característico(o diâmetro do núcleo) e, no segundo caso, dois com-primentos característicos (altura e largura de um “cha-ruto” ou de um “disco voador”).

A ORDEM NOS AGREGADOS ATÓMICOS

Agregados de hélio são conjuntos de átomos de hé-lio 3 ou 4. O átomo de hélio 3 é um fermião, tal comoum nucleão, uma vez que o seu spin total é 1/2: doisprotões e um neutrão no núcleo perfazem spin 1/2, aopasso que os dois electrões à volta dão spin 0. O hélio3 é o isótopo menos comum do hélio. O átomo de hé-lio 4, mais abundante, tem spin total 0: não é por issoum fermião e não nos vai aqui interessar.

As forças entre átomos de hélio 3 são forças muitosemelhantes às que existem entre nucleões: repulsivasa muito curtas distâncias e atractivas a distâncias umpouco maiores. Embora a escala de distâncias seja mui-to maior e a escala de energias muito menor (as dis-tâncias dos agregados de hélio medem-se em Ångstromse as energias em décimas milésimas do electrão-volt),deve então existir um campo médio num agregado dehélio 3, tal como num núcleo. De facto, o potencialmédio que encontrámos no caso nuclear e que é in-termediário entre o de oscilador e de poço rectangu-lar afigura-se adequado para descrever os estadosenergéticos desse agregado. Simulações computacio-nais baseadas em forças interatómicas fiáveis condu-ziram a um potencial desse tipo (figura 19a). A situacãoé mais simples do que no caso nuclear uma vez que,

Fig. 19 – a) Potencial de um agregado de hélio 3 com 168 átomos.No eixo vertical, a unidade é o Kelvin (1 K = 8,62 x 10-5 V) e noeixo horizontal a unidade é o Ångstrom. b) Perfis de densidade(numa aproximação semiclássica, que não leva em conta alguns efei-tos quânticos) de agregados de hélio 3 com 40, 70, 168 e 240 áto-mos. Tal como nos núcleos, a densidade no interior é aproxi-madamente constante, enquanto o raio aumenta com a raiz cúbicado número de partículas constituintes.Fonte: S. Stringari, Proc. Int. School Physics Enrico Fermi, North--Holland, Amsterdão 1990, p. 190.

Fig. 18 – Medidas experimentais e descrição teórica da ressonância dipolar gigante (a) no chumbo 208 (que é esférico) e (b) no gadolínio160 (que é deformado). A secção eficaz, no eixo vertical, mede a probabilidade de absorção de luz gama, cuja energia está indicada no eixohorizontal. O chumbo 208 apresenta um único pico enquanto o gadolínio 160 exibe dois picos.Fonte: B. L. Berman e S. C. Fultz, Rev. Mod. Phys 47 (1975), 713.

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como nos agregados não é importante a interacçãospin-órbita, os números mágicos são 2, 8, 20, 40, 80,etc.

Os perfis de densidade são também semelhantes aosnucleares, obtendo-se uma densidade constante no in-terior e um decréscimo rápido para zero na superfície(figura 19b): núcleos e agregados de hélio 3 são siste-mas leptodérmicos, isto é, cuja «pele» é fina em com-paração com o «corpo». Sabe-se hoje que a energia dequalquer sistema leptodérmico pode ser descrita poruma fórmula de gota líquida. Uma fórmula como a devon Weizaecker aplica-se não só aos núcleos como aosagregados de hélio (note-se que se trata de uma fór-mula clássica, atendendo a que não inclui efeitos quân-ticos de camadas). A energia de um núcleo ou agregadopode ser escrita como a soma de termos de volume,superfície, curvatura e outras correcções adicionais.

Infelizmente, não foram até hoje identificados agre-gados de hélio isolados (exigem temperaturas muitobaixas e técnicas sofisticadas de manipulação) mas tãosó agregados de hélio colocados sobre um certo subs-tracto sólido. Não é ainda claro qual é a influência des-se substracto nas propriedades observáveis doagregado.

Apresentadas as semelhanças, convém agora enfa-tizar as diferenças entre um núcleo e um agregado dehélio 3. O limite de um agregado muito grande, comum número quase infinito de átomos, corresponde àsuperfície livre do hélio 3 que é, ao contrário dos aglo-merados finitos, experimentalmente bem conhecida.Na Física Nuclear existe acesso experimental a siste-mas com um número finito de nucleões mas o mesmojá não acontece para o caso de uma superfície plana

de matéria nuclear (ou quase plana, como será o casoda superfície de uma estrela de neutrões). A teoria pre-vê também que não existem agregados de hélio 3 liga-dos com menos de cerca de 40 átomos, em contrastecom o caso nuclear, onde a força é suficientemente for-te para conseguir ligar núcleos pequenos.

Foram já previstas teoricamente excitações alta-mente colectivas dos agregados de hélio 3. O meca-nismo responsável por essas «ressonâncias gigantes» édo mesmo tipo que no caso nuclear. Como se trata deum mecanismo característico de fermiões, ele não sepode manifestar no hélio 4. O hélio 4 é um líquido maisnormal, sendo plausível que se lhe aplique o modelohidrodinâmico (pelo menos para agregados suficien-temente grandes). Definitivamente, torna-se necessá-ria mais informação experimental sobre os agregadosde hélio 3 ou 4: de pouco adianta a teoria correr mui-to à frente da experiência.

Embora não exista evidência experimental suficien-te sobre agregados de hélio, ela está disponível paraagregados metálicos, que têm dimensões com a mes-ma ordem de grandeza e escalas de energia maiores,da ordem de grandeza do electrão-volt. Esses agrega-dos foram fabricados recentemente, tendo logo sidoreconhecidas bastantes semelhanças qualitativas comos núcleos atómicos. Apesar das propriedades dos agre-gados metálicos se deverem, em geral, aos seus elec-trões livres, que são muito diferentes de nucleões, aideia de campo médio continua ainda a aplicar-se. Nãosó esse campo médio foi identificado experimental-mente como foram encontradas vibrações do campomédio, com bastantes semelhanças com a ressonânciadipolar gigante dos núcleos.

Fig. 20 – Dispositivo experimental para a produção e estudo de agregados metálicos.Fonte: M. Duncan e D. Rouvray, Sci. Amer., Dec. 1989,110.

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O êxito na produção de agregados em laboratóriodeve-se principalmente aos progressos realizados natecnologia de feixes moleculares. Numa câmara de va-porização coloca-se uma amostra metálica que se va-poriza com o auxílio de um laser (figura 20). Os átomosque se soltaram podem eventualmente agrupar-se emagregados, que são transportados por um feixe de hé-lio de alta velocidade ao longo de um canal de saída.O feixe molecular – os agregados podem ser vistos co-mo grandes moléculas – é depois dirigido para um es-pectrómetro, que mais não é do que um aparelho paramedir massas com bastante precisão. Um segundo la-ser ioniza os agregados de modo a que estes fiquemcarregados e possam ser desviados por um campo elec-tromagnético. Os caminhos percorridos pelos agrega-dos no espectrómetro variam conforme a sua massa,ocorrendo assim uma diferenciação de acordo com ostamanhos.

Os agregados constituem uma estrutura intermédiaentre os átomos e a matéria extensa (figura 21), tal co-mo os núcleos são estruturas intermédias entre um nu-cleão e a matéria nuclear, que existe por exemplo nasestrelas de neutrões. Um dos motivos do interesse noactual estudo de agregados consiste no facto de elesestabelecerem uma ponte entre as propriedades da ma-téria macroscópica normal e dos átomos e moléculasindividuais. A sua análise requer tanto métodos da Fí-sica do Estado Sólido como da Química Quântica,tornando-se a Física de Agregados uma ocasião exce-lente de interdisciplinaridade. É curioso notar que apalavra inglesa para «agregado» – «cluster» – provémda língua germânica arcaica – «klustro» –, que sig-nifica «amontoamento», tanto de objectos materiais(por exemplo, partículas), como de objectos imateriais(por exemplo, ideias). Os agregados de átomos têm,de facto, propiciado uma agregação frutífera de ideiasprovenientes dos mais variados domínios.

Num agregado de um metal alcalino como, porexemplo, o sódio, os iões positivos estão localizadosem posições de equilíbrio, enquanto os electrões devalência (ou livres) circulam no espaço entre os iões.

Revela-se uma aproximação adequada a chamada«aproximação de geleia», na qual se substituem iões lo-calizados por uma distribuição uniforme de carga po-sitiva dentro do agregado (essa aproximação foi usadacom sucesso para estudar algumas propriedades dossólidos metálicos). Na aproximação de geleia, os elec-trões interagem com o fundo fixo de carga positiva eentre si.

Uma vez aceite essa aproximação, verifica-se queo modelo de camadas descreve bem o movimento doselectrões no interior do agregado metálico (figura 22a).

Fig. 21 – Os agregados são estruturas intermédias entre a matéria macroscópica e as unidades microscópicas (moléculas e átomos). Pode-seestudar o modo como variam as propriedades físicas ao passar do mundo macroscópico ao mundo microscópico.Fonte: M. Duncan e D. Rouvray, Sci. Amer., Dec. 1989, 110.

Fig. 22 a) – Potencial e perfis de densidade para a distribuição elec-trónica num agregado metálico (considera-se um agregado de só-dio, com 20 electrões livres). No potencial indicam-se o esquemade níveis e a respectiva ocupação. Para os perfis de densidade, indica--se, a grosso, uma curva correspondente à descrição quântica e, afino, uma curva semiclássica. O rectângulo representa a «geleia» decarga positiva. A unidade de distância é o bohr, 1 bohr = 0,529 Å;a unidade de densidade é o bohr-3 e a unidade de potencial é o har-tree, 1 hartree = 27,2 eV.Fonte: L. Serra et al, Phys. Rev. B 39 (1989) 8247.

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O potencial comum «sentido» pelos electrões de umagregado, por exemplo de sódio, é constante no inte-rior subindo para zero junto à superfície. O campo mé-dio do agregado é parecido com o campo médio donúcleo.

Os perfis de densidade electrónica obtidos preen-chendo o campo médio por electrões independentessão semelhantes aos perfis de densidade nuclear: a den-sidade é constante no interior do agregado e desce parazero nos bordos (figura 22b). A densidade interior éaproximadamente a mesma para todos os núcleos. Paraos agregados metálicos, a densidade electrónica inte-

rior é a mesma para o mesmo metal, mas varia de me-tal para metal, sendo grande, por exemplo, para o alu-mínio e pequena para o césio. Dado o parentesco entrenúcleos atómicos e agregados metálicos, afigura-seplausível uma fórmula de gota líquida para descreveras energias dos estados fundamentais dos agregados.A energia de um conjunto de agregados do mesmo ele-mento metálico com diferente número de átomos po-de, de facto, ser bem parametrizada por uma soma determos de volume, superfície e curvatura.

O potencial médio do agregado conduz à existên-cia de números mágicos para os electrões. Estes nú-meros foram identificados de várias maneiras nosagregados metálicos [figura 23 a) e b)]. Uma demons-tração da existência de números mágicos encontra-se,por exemplo, na análise das abundâncias relativas dosagregados de um certo metal. Agregados com 8, 20,40, 58, etc. electrões, isto é, com números mágicos deelectrões, aparecem em maior número no espectróme-tro de massa. Outra prova consiste na medida dos po-tenciais de ionização, que é a energia necessária paraextrair um electrão do agregado. Verifica-se que essasenergias de separação são maiores para agregados com8, 20, 40, 58, etc. electrões. Uma das questões que sus-cita actualmente mais interesse entre os físicos de agre-gados consiste em averiguar a ocorrência de grandesnúmeros mágicos (muito maiores que a centena). Es-ses números não se manifestam nos núcleos atómicosem virtude da repulsão eléctrica entre protões, queocasiona a cisão natural de núcleos muito pesados. Atabela periódica dos elementos termina não por faltade níveis a serem preenchidos por electrões mas sim-plesmente porque o núcleo central se desintegra. Des-de os anos 60 que circulam especulações sobre aocorrência de uma «ilha» de núcleos superpesados,

Fig. 23 – Evidência de números mágicos de electrões para agregados: a) Contagem de agregados com um certo número de átomos de sódionum espectrómetro de massa. Existem picos para 8, 20, 40 e 58 electrões livres. b) Potencial de ionizagão para agregados de potássio emfunção do número de átomos por agregado. Ocorrem picos para 8, 20, 40 e 58 electrões livres.Fonte: W. de Heer et al, Solid State Physics 40 (1987) 93 .

Fig. 22 b) – Perfis de densidade (descrição semiclássica) de agrega-dos de sódio com 8, 58, 198 e 300 átomos. A densidade de cargano interior é aproximadamente constante, enquanto o raio aumen-ta com a raiz cúbica do número de electrões livres.Fonte: L. Serra et al, Phys. Rev. B 39 (1989) 8247.

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com números mágicos de neutrões e protões superio-res a 126 e 82 respectivamente (figura 24). A estabili-dade adicional proveniente do fecho de camadasconseguiria, de acordo com essas ideias, contrariar arepulsão eléctrica. No entanto, tais núcleos não foramaté hoje encontrados na natureza nem sintetizados nolaboratório.

O campo médio dos electrões nos agregados me-tálicos pode ser posto a oscilar por uma perturbaçãoexterior adequada. A energia necessária é bastante me-nor do que no caso nuclear. Em vez de luz gama usa--se luz visível, por exemplo um feixe laser de cor verde.Foram assim descobertas nos agregados metálicos vi-brações colectivas de tipo dipolar. As previsões teóri-cas baseadas na aproximação do campo médioparecem descrever bem as observações experimentais,à parte um pequeno deslocamento do máximo da luzabsorvida relativamente às previsões teóricas. Não fo-ram ainda encontradas excitações de multipolaridadesuperior a 2 mas, se nos lembrarmos da história da Fí-sica Nuclear, talvez se esteja em presença de uma me-ra e passageira dificuldade de ordem prática.

Como entender os estados de excitação dipolar nosagregados? Os electrões nos metais podem formar on-das de densidade, chamadas plasmões. Quando se temum plasmão no metal, a densidade electrónica aumentae diminui periodicamente em cada ponto do espaço.Os plasmões dos agregados aparecem localizados per-to da superfície: em virtude da excitação luminosa, oselectrões da superfície deslocam-se para cá e para lácontra o fundo fixo de carga positiva. Embora tal fe-nómeno pareça bem longe da realidade macroscópi-ca, os vitrais que ornamentam as janelas de algumasigrejas enviam a nossos olhos deslumbrados evidên-cia desses plasmões de superfície. Com efeito, a colo-ração dos vidros é devida a pequenos grãos metálicosque lhes são misturados no processo de fabrico. Os res-pectivos plasmões superficiais absorvem parte da luzvisível recebida.

Tal como nos núcleos, pode-se usar a ressonânciadipolar gigante para verificar a forma elipsoidal deagregados com camadas semi-preenchidas. Enviandoluz para cima de um agregado com um número de áto-mos entre dois números mágicos, constata-se que o pi-co de foto-absorção é duplo, tal como para os núcleos[figura 25 a) e b)]. A aparição de dois picos constituiprova inequívoca da existência de dois comprimentostípicos. Um dos problemas que ocupou o matemáticonorte-americano, de origem húngara, John von Neu-mann era: «Pode-se ‘ouvir’ a forma de um tambor?».Um tambor circular tem um conjunto de sons próprios(emite esses sons em resposta a excitação que é umapancada; v. figura 26). Um tambor de forma diferenteapresenta um espectro acústico diferente. A famosaquestão de von Neumann é inversa: dado um espec-tro de sons, qual é a forma do tambor que os produ-ziu? Idêntica questão se pode colocar a propósito deum sino ou de qualquer outro instrumento de percus-são. Um sino com uma forma não convencional origi-nará um som estranho e poder-se-á perguntar qual éa forma do sino, uma vez escutado o respectivo som.Os núcleos e agregados atómicos podem servir de pre-texto a uma interrogação do mesmo tipo: a observa-ção do espectro de absorção de luz permite descobrira forma do agregado!

Toda a gente sabe qual é a utilidade dos núcleos.Mas para que servem os agregados? Voltemos a Feyn-man. Numa conferência em 1959, Feynman fundouuma nova disciplina – a «nanotecnologia» – com

Fig. 24 – Energia de ligação em função do número de neutrões eprotões. A península da estabilidade, com certos picos mágicos, es-tá rodeada de um mar de instabilidade. Suspeita-se que exista umailha de núcleos superpesados, com números mágicos 114 para pro-tões e 184 e 196 para neutrões.Fonte: T. Mayer-Kuckuk, «Kernphysik», Teubner, Estugarda, 1984.

Fig. 25 – Medidas experimentais e descrição teórica da excitaçãodipolar de um agregado de sódio (a) com 8 (esférico) e (b) 10 áto-mos (deformado). A secção eficaz por electrão está representada emfunção do comprimento de onda da radiação absorvida (em nm, com1 nm = 10 Å).Fonte: W. Knight, in Proc. Int. School Physics Enrico Fermi, North--Holland, Amsterdão 1990, p. 190.

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Fig. 26 – Representação de quatro modos de vibração de um tambor circular. Em cada «linha» representa-se um modo por meio de dois ins-tantãneos intervalados de meio período (um período é o tempo de uma vibração completa). Conforme a perturbação exterior, assim se podemexcitar vários desses modos.Fonte: D. Hall, «Musical acoustics: An introduction», Wadsworth Pub. Co., Belmont, 1980.

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uma frase que ficou famosa: «Há muito espaço lá embaixo!». Segundo Feynman, não existe nenhum obstá-culo fundamental ao arranjo artificial de átomos, paraconseguir minúsculas obras de engenharia molecular.Feynman ofereceu até um prémio a quem conseguissereduzir de um factor de 1/25000 os caracteres de umlivro... Houve, de certeza, quem dissesse: «Está a brin-car, Sr. Feynman!». No entanto, em 1990, os cientis-tas da IBM D. Eigler e E. Schweizer publicaram narevista «Nature» uma comunicação onde anunciavamcomo, com a ajuda de um microscópio de efeito tú-nel, tinham conseguido mover e reunir átomos indi-viduais para formar determinados padrões. Ao

primeiro agregado, consistindo de sete átomos de xé-non em fila indiana (figura 27 a), seguiu-se um agrega-do de 35 átomos de xénon (figura 27 b) dispostos paraformar as letras «IBM» (nunca se tinha realizado um le-treiro publicitárioo tão pequeno!). O raio atómico doxénon é de 2,2 Å e a altura das letras era 50 Å. Am-pliando 50 Å por um factor de 1/2 500 000 (muito alémdo pretendido por Feynman...) obtêm-se letras de 1cm de altura.

Os modernos microscópios electrónico e de efei-to túnel permitem visualizar directamente os átomos,de modo que hoje somos perfeitamente capazes deconvencer um extraterrestre, se este existir, da reali-

Fig. 27 – a) Preparação de um agregado de átomos de xénon colocados sobre a superfície de um cristal de níquel. Os átomos movem-se uma um com o auxílio da ponta de um microscópio de efeito túnel. b) Preparação de um conjunto de átomos de xénon para formar a palavra«IBM». Cada letra tem 50 Å de altura.Fonte: D. Eigler e E. Schweizer, Nature 344 (1990), 521.

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dade dos átomos, que existem com toda a certeza! Bas-ta pô-lo a espreitar por um bom microscópio... Os agre-gados atómicos podem até ser fi lmados com umacâmara de video adequada, sendo assim possível vi-sualizar alguns dos seus movimentos colectivos (figu-ra 28).

Os agregados de xénon constituem apenas umexemplo dos prodígios que recentemente têm sidoanunciados: criação de novos materiais (é o caso do«buckminsterfullereno», que é uma nova molécula decarbono que, quando empacotada sob a forma de umcristal molecular e dopada com um metal alcalino, éum supercondutor a altas temperaturas), produtos denanotecnologia clínica (por exemplo, agregados quese podem deslocar no interior de um corpo humano

transportando substâncias activas para combater umtumor), catalizadores (para facilitar certas reacções quí-micas, nomeadamente as que têm lugar em chapas fo-tográficas), etc.

Contudo, os físicos não estudam os agregados ouos núcleos com o fito principal ou exclusivo nas apli-cações. As aplicações aparecem normalmente comoprodutos laterais da infatigável indagação humana. Éum facto histórico bem conhecido que a pesquisa dosfísicos sobre as forças no coração do átomo acabou porconduzir à exploração da energia nuclear. Só o futuropoderá dizer onde desembocará a nossa actual inves-tigação sobre os agregados, esses «parentes» dos nú-cleos a uma escala quase macroscópica.

Fig. 28 – Fotografias com microscópio electrónico de um agregado de ouro com 460 átomos (o seu raio é 20 Å)Fonte: C. Hayashi, Physics Today, Dec. 1987, 44.

SUGESTÕES DE LEITURA

Sobre Física Nuclear:

G. BERTSCH, “Vibrations of the atomic nucleus”, Scientific Ame- rican, May 1983, 40.

T. MAYER-KUCKUK, “Kernphysik”, 4.a ed, Teubner, Estugarda, 1984 (a publicar em português pela F. Gulbenkian, tradução de C. Fiolhais e R. Ferreira Marques).

J. SPETH e A. VAN DER WOUDE, “Giant resonances in nuclei”, Re- ports of Progress in Physics 44 (1979) 719.

J. N. URBANO, “O Núcleo Atómico”, Colóquio Ciências n.° 8, Fun- dação Calouste Gulbenkian, 1991, pág. 12.

Sobre Física de Agregados:

M. DUNCAN e D. ROUVRAY, “Microclusters”, Scientific American,Dec. 1989, 110.

W. de HEER et al, “Electronic shell structure and metal clusters”,Solid State Physics 40 (1987) 93.

S. STRINGARI, “Clusters of quantum liquids”, in Proc. Int. SchoolPhysics Enrico Fermi, North-Holland, Amsterdão 1990, p. 190.