Cap 15 - Oscilacoes

Captulo 15

Oscilaes

O Movimento Harmnico Simples MHS

O Sistema Massa-Mola

Energia no Movimento Harmnico Simples

O Pndulo Simples

O Pendulo Fsico

O Momento de Inrcia

O teorema dos Eixos Paralelos

O Movimento Circular Uniforme

O Movimento Harmnico Simples Amortecido

Oscilaes Foradas e Ressonncia

Captulo 15 - Oscilaes

http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=p6rdo-jvzkhdrM&tbnid=2zFLX6lU2LfgjM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.pb.utfpr.edu.br/pibidmatematica/&ei=Iq-vUfjvCsPO0QGshIHQDg&bvm=bv.47380653,d.dmQ&psig=AFQjCNHgrgPurb2t8qK7AQoYdFGtm9BVEA&ust=1370554526646232

O movimento oscilatrio um movimento peridico no tempo, ou seja, um movimento que se repete a intervalos iguais. Exemplos: Massa presa a uma mola, pndulos, o movimento dos eltrons de uma corrente eltrica alternada, o movimento circular...



Definies de algumas variveis fsicas vinculadas s oscilaes.

Perodo (T): Intervalo de tempo necessrio para completar uma oscilao completa. No SI [s].

Tf

1


Frequncia (f): Nmero de oscilaes completadas em um intervalo de tempo, que pode ser de 1 segundo, 1 minuto, 1 hora ou o intervalo mais apropriado. No SI [Hertz, Hz = 1/s].

Frequncia Angular (): Considerando que a cada perodo de oscilao podemos associar 2 rad, definimos a frequncia angular como o nmero de radianos relacionados s oscilaes a cada segundo.

Tf

22


O Movimento Harmnico Simples compreende um tipo de movimento oscilatrio em que a posio da partcula em funo do tempo dada em termos de uma funo seno ou cosseno conforme descrito abaixo.

)cos()( txtx m


A amplitude, xm: o mximo deslocamento a partir do ponto de equilbrio. (a)

A frequncia ngular, : Quanto maior , mais oscilaes ocorrem em um determinado intervalo de tempo. (b)

A constante de fase, : Define onde o movimento inicia. (c)

Fase do movimento, (t+ ): Oscilaes em fase podem apenas apresentar diferentes amplitudes. (a)


importante notar que a equao do movimento harmnico simples peridica, ou seja, se repete cada 2 rad assim como a cada perodo, T, e sendo assim:

))(cos()2cos( Ttxtx mm


)(2 Ttt

T 2

T

2 f 2


Sabendo a posio da partcula a cada instante de tempo, podemos obter as equaes da velocidade e da acelerao.


)cos()( txtx m

dt

tdxtv

)()( )()( tsenxtv m

O valor mximo da velocidade da partcula em mdulo vale xm, e ocorre quando a partcula est passando pela posio de equilbrio, ou seja em t = T/4, 3T/4 ...

dt

tdvta

)()( )cos()(

2 txta m

)()( 2 txta

O ponto de mnimo na posio indica um ponto de mximo na acelerao.


O Movimento Harmnico Simples um tipo de movimento oscilatrio em que a Fora proporcional ao deslocamento, porm tem sentido oposto ao deslocamento. Ex. Massa-Mola.

Soluo:

makxF


)]([)]([

2

2

txkdt

txdm )]([

)]([2

2

txm

k

dt

txd

)cos()( tm

kxtx m

)cos()( txtx m

m

k

)()( txm

kta

k

mT 2

O perodo no Movimento Harmnico Simples no depende da amplitude do movimento!


Exemplo 15.1) pg. 91 Um bloco cuja a massa 680 g preso a uma mola cuja a constante elstica 65 N/m. O bloco puxado sobre uma superfcie sem atrito por uma distncia de 11 cm a partir da posio de equilbrio em x = 0 e liberado a partir do repouso no instante t = 0. a) Quais so a frequncia angular, a frequncia e o perodo do movimento resultante? b) Qual a amplitude das oscilaes? c) Qual a velocidade mxima e onde o bloco se encontra quando ele tem essa

velocidade? d) Qual o mdulo da acelerao mxima do bloco? e) Qual a constante de fase do movimento? f) Qual a equao do deslocamento em funo do tempo? g) Qual a equao da velocidade em funo do tempo?


a) srad

m

k/78,9

Hzf 56,12

sf

T 64,01

b) mxm 11,0

0x

c) smxv mm /1,1

mxx

22 /11 smxa mm d)

e) 0,0 xt

)cos()( txtx m

)0cos( mm xx0

f) )78,9cos(11,0)( ttx

g) )78,9(1,1)( tsentv


Exemplo 15.2) pg. 92 Em t = 0 o deslocamento x(0) do bloco de um oscilador linear - 8,5 cm. A velocidade do bloco v(0) nesse instante 0,920 m/s e a acelerao a(0) +47,0 m/s2. a) Qual a frequncia angular desse sistema?

b) Quais so os valores da constante de fase e da amplitude?

)0()0( 2xa


srad

x

a/5,23

)0(

0

)0cos(

)0(

)0(

)0(

m

m

x

senx

x

v

)0(

)0()(

x

vtg

461,0tg

25155

Testando a resposta:

)0cos()0( mxx

mx

xm 094,0)25cos(

)0(

mx

xm 094,0)155cos(

)0(

Resposta errada

Resposta certa

Certo Errado


A Energia no Movimento Harmnico Simples

A energia potencial em um sistema massa-mola:

xkF


xdFUW

)](cos[2

1])([

2

1 222 txktxkU m

A energia cintica em um sistema massa-mola:

)]([2

1)]()[(

2

1])([

2

1 22222 tsenxktsenxmtvmK mm

A energia mecnica do sistema massa-mola:

mxmxm UKkxUKE 2

2

1A energia mecnica do sistema massa mola se mantm constante em funo do tempo!


Problema 15-32) pg. 108 A figura abaixo mostra a energia cintica de um oscilador harmnico simples em funo da posio. A escala vertical definida por Ks = 4,0 J. Qual a constante elstica da mola? b) Sabendo que o perodo de oscilao vale 2 s, determine o valor da velocidade mxima.

a) Sabendo que: mxKkxE 2

2

1

k

mT 2


2)12,0(2

1)4(5,1 k

mNk /833

b) Sabendo que:

2

2

4

kTm kgm 4,84

2

2

1mxmx mvK

smm

Ev mxmx /377,0

2


Nesta situao podemos escrever o torque de duas maneira diferentes:

I

k

I

Note que I denominado de momento de inrcia, ou seja, proporcional dificuldade de colocar um corpo em rotao, a acelerao angular, k a constante de toro e a amplitude de oscilao angular.


O Oscilador Harmnico Simples Angular

k

Por analogia temos: )()( 2 txta

)()( tI

kt

)()(

2 tt

k

IT 2

I

kf

2

1


Exemplo 15-4) pg. 95 A figura abaixo mostra uma barra fina de comprimento L = 12,4 cm cuja a massa 135 g, suspensa por um fio longo pelo ponto mdio. O perodo do seu MHS angular vale Tb = 2,53 s. Um objeto de forma irregular chamado de objeto X, pendurado no mesmo fio e seu perodo vale Tx = 4,76 s. qual o momento de inrcia Ix em relao ao ponto de suspenso?

Sabendo que o fio o mesmo para os dois casos, temos que k o mesmo no dois casos!


k

IT bb 2

radNmT

Lm

T

Ik

b

b

b

b /10067,112

1

44 32

2

2

2

2

k

IT xx 2

24

2

2

1012,64

kgmkT

I xx


Para pequeno, sen ~ .

L

g


O Pndulo Simples

Um pndulo simples caracterizado por uma massa que oscila presa extremidade de um cordel de massa desprezvel. Nesta situao podemos escrever o torque de duas maneira diferentes:

I Fr

)( FsenL

2mLI )()(2 tLmgtmL

)()( tL

gt

)()( 2 txta

g

LT 2



O Pndulo Fsico

Para pequeno, sen ~ .

I

mgh

Um pndulo fsico caracterizado por um corpo de massa m que oscila preso a um ponto de ocilao. Nesta situao podemos escrever o torque de duas maneira diferentes:

I Fr

)( Fsenh

)()( thmgtI

)()( tI

mght

)()(

2 txta

mgh

IT 2


O momento de inrcia est relacionado com a dificuldade de colocar um corpo em rotao, definido pela equao:

dmrI2


O Momento de Inrcia

No SI: [kgm2]

http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=p6rdo-jvzkhdrM&tbnid=2zFLX6lU2LfgjM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.pb.utfpr.edu.br/pibidmatematica/&ei=Iq-vUfjvCsPO0QGshIHQDg&bvm=bv.47380653,d.dmQ&psig=AFQjCNHgrgPurb2t8qK7AQoYdFGtm9BVEA&ust=1370554526646232http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=6_MPUlhgiwo2yM&tbnid=kX_MxOBlhw470M:&ved=0CAUQjRw&url=http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=57314.0&ei=zAvNUYaPN4vC9gSrsYEQ&bvm=bv.48572450,d.dmg&psig=AFQjCNEisctByhASFpqoLBHV8_iod_5Hsg&ust=1372478723828325

permite calcular o momento de inrcia de um slido rgido relativo a um eixo de rotao que passa por um ponto O, quando so conhecidos o momento de inrcia relativo a um eixo paralelo ao anterior e que passa pelo centro de massa do slido e a distncia entre os eixos.

Exemplo:

2MdII cmo


O Teorema dos Eixos Paralelos

2

12

1MLIcm

2

2

212

1

LMMLIo

2

3

1MLIo

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Exemplo 15-5) pg. 98 Na figura ao lado uma rgua de 1 metro oscila em torno de um ponto fixo O em uma das extremidades, a uma distncia h do centro de massa da rgua. a) Qual o perodo de oscilao? b) Qual a distncia L0 do ponto fixo O, at o centro de oscilao da rgua C?


mgh

IT 2

2

3

1mLIb s

Lg

LT 64,1

)2/(32

2

O centro de oscilao definido pelo comprimento L0 do pndulo simples que apresenta o mesmo perodo e a mesma massa do objeto!

ops TTT

g

L

g

LT

3

222 0

g

L

g

L

3

20

cmL

L 7,663

20


)cos()( trtx


O ponto P que se move em movimento circular uniforme tem a projeo do deslocamento em funo do tempo sobre o eixo x descrita da seguinte forma:

O Movimento Circular Uniforme - MCU

)()(

)( tsenrdt

tdxtv

Onde: R o raio da trajetria a velocidade angular o angulo onde o movimento foi iniciado

A velocidade projetada sobre o eixo x apontar no sentido contrario ao deslocamento:

)cos()(

)( 2 trdt

tdvta

A acelerao projetada sobre o eixo x apontar no sentido contrario ao deslocamento:

)()( 2 txta

O MHS equivale projeo do MCU ao longo do dimetro!


No movimento harmnico amortecido, uma fora no conservativa, proporcional a velocidade ou a velocidade ao quadrado atua no sentido contrario ao do movimento, ocasionando a reduo da amplitude de oscilao em funo do tempo.

Da segunda Lei de Newton:

bvF


O Movimento Harmnico Simples Amortecido

Fora de amortecimento

b = Coeficiente de Amortecimento [N.s/m = kg/s]

)()()(

2

2

tbvtkxdt

txdm 0)(

)()(2

2

txm

k

dt

tdx

m

b

dt

txd

Soluo Geral:

)'cos()( 2

textx mbt

m 2

2

4'

m

b

m

k

titimbt

BeAeetx ''2)(

)'()'cos(' tisente ti )'()'cos(' tisente ti

Considerando a parte real da soluo, temos:


Se b for pequeno, ou seja, b2/4m2

Caso Subcrtico:


Tipos de Amortecimento no MHS

2

2

4'

m

b

m

k2

2

4m

b

m

k

Caso Crtico: m

bt

m

bt

BteAetx 22)(

0)()()(

2

2

txm

k

dt

tdx

m

b

dt

txd

mxAetx 0)( 0

mxA

Para a condio inicial; x(0) = xm e v(0) = 0, temos:

m

bt

m

bt

m

bt

em

bBtBee

m

bAtv 222

22)(

002

)0( 00 Beem

bAv

m

bxB m

2

m

bt

mm

bt

m em

tbxextx 22

2)(

2

2

4m

b

m

k

)'cos()( 2

textx mbt

m


Caso Subcrtico:


Tipos de Amortecimento no MHS

)'cos()( 2

textx mbt

m

2

2

4'

m

b

m

k

2

2

4m

b

m

k

Caso Crtico:

m

bt

m

bt

BteAetx 22)(

2

2

4m

b

m

k

0)()()(

2

2

txm

k

dt

tdx

m

b

dt

txd

Caso Supercrtico:

2

2

4m

b

m

k

ttmbt

BeAeetx ""2)(

m

k

m

b

2

2

4"


Exemplo 157) pg. 102 Um oscilador harmnico amortecido, possui massa de 250 g, k = 85 N/m e b = 70 g/s. a) Determinar o perodo do movimento. b) Quanto tempo necessrio para que a amplitude de oscilao se reduza pela metade. c) Determinar quanto tempo necessrio para que a energia mecnica se reduza pela metade.


2

2

4'

m

b

m

k srad /4,18

)25,0(4

)07,0(

25,0

85'

2

2

2

0

2ex

ex mmbt

m

2

12

m

bt

e

2

1ln

2m

bts

b

mt 5

2

1ln

2

)2(22

022 exex mm

bt

m

sT 34,0'

2

22

)()(

22 m

bt

m ekxtkxtE

2

1

m

bt

e

2

1ln

m

bt

2

1ln

b

mt

st 5,2


O movimento oscilatrio descrito como forado quando uma fora peridica aplicada.

Soluo Particular:



matkxtFF )()( 22

0

)()()cos(

dt

txdmtkxtF e

)cos()()( 0

2

2

tm

Ftx

m

k

dt

txde

teAetx

)(

)cos()()( 02

2

2

tm

Ftx

dt

txde

)()( 22

2

2

txAedt

txde

t

ee

)cos()()( 022

tm

Ftxtx ee )cos()(

)(22

0 tm

Ftx e

e

)cos()(

)(22

0

tm

Ftx e

e


A condio de ressonncia ocorre quando a frequncia excitadora e se iguala frequncia natural do sistema, . Nessa situao a amplitude aumenta consideravelmente, ao ponto de promover o colapso da estrutura.



)cos()(

)(22

0

tm

Ftx e

e

Colapso da ponte Tacoma nos EUA. http://www.youtube.com/watch?v=dvRHK4yA8rc

Simulao de Ressonncia

http://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=p6rdo-jvzkhdrM&tbnid=2zFLX6lU2LfgjM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.pb.utfpr.edu.br/pibidmatematica/&ei=Iq-vUfjvCsPO0QGshIHQDg&bvm=bv.47380653,d.dmQ&psig=AFQjCNHgrgPurb2t8qK7AQoYdFGtm9BVEA&ust=1370554526646232resonance_pt_BR.jar

Lista de Exerccios:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 21, 25, 27, 28, 31, 32, 33, 39, 40, 45, 49, 55, 57, 63, 77, 85, 93.

Referncias HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Fsica: Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. Vol.2. TIPLER, P. A.; Fsica para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v.1. SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Fsica: Eletromagnetismo. 12a ed. So Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v.2.



Cap 15 - Oscilacoes

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