Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos

Capítulo 2 - Modelação

Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos

Maria Isabel Ribeiro

António Pascoal

Revisão: Outubro de 2011

Transparências de apoio às aulas teóricas

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

CONTROLO1º semestre – 2011/2012


Objectivos

• Definir o que é um modelo e discutir o seu uso para responder a perguntas sobre sistemas físicos

• Introduzir os conceitos de entrada, saída e dinâmica• Dar exemplos de modelos de sistemas físicos em

domínios diversos• Linearização

Referênciaso Cap.2 – do livro de Franklin, Powel, Naemi (referência principal)o Cap.2 - do texto de Karl Astrom, Richard Murray, disponível na

Web.


Revisão sobre Introdução ao Controlo

Controlo = = Sensoriamento +

Computação + Actuação

Sensoriamento / Percepção

Computação

ActuaçãoSistema

físico

Sistemas de controlo por retroaçcão ocorrem em muitos domínios

Objectivos do controlo• Modificar o comportamento de sistemas

com as seguintes restrições:

Estabilidade em cadeia fechada Robustez face a incertezas de modelização Atenuação de perturbações


Modelos

• Modelo = representação matemática de um sistema físico, biológico, mecânico, de informação, ...

• Um modelo fornece uma predição de como é o comportamento do sistema

• O projecto de controladores para sistemas físicos faz-se a partir de um modelo desse sistema. Os modelos não têm que ser exactos.

– Modelos que descrevam muito detalhadamente um sistema podem ser complexos– Desconhecem-se todos os fenómenos físicos que regulam o comportamento do sistema– Na modelação fazem-se, muitas vezes, hipóteses simplificativas

• A retroacção garante robustez a incertezas (em determinados limites) no modelo

• Os modelos usados para controlo relacionam entradas com saídas e (eventualmente) com variáveis internas do sistema


Modelos

• O modelo que se deriva depende da pergunta a que se pretende responder sobre o sistema físico.– Perguntas diferentes modelos diferentes– Perguntas iguais mas hipóteses simplificativas diferentes modelos diferentes

• Ao mesmo sistema físico podem corresponder modelos diferentes

• Devem ser escolhidas escalas de tempo e de espaço adaptadas às questões a que se pretende responder


Modelo

• De entrada-saída – relaciona directamente a entrada com a saída• Equação diferencial

• Linear ou não linear• Variante ou invariante no tempo

• Função de Transferência• Só para sistemas lineares invariantes no tempo

• De estado – relaciona a entrada, a saída e variáveis internas do sistema

Entrada Saída

r(t) y(t)Sistema


Modelação: Exemplos

Alguns exemplos de sistemas físicos– Sistemas mecânicos– Circuitos eléctricos– Sistemas electromecânicos– Sistemas térmicos– Sistemas hidráulicos– Dinâmica de populações– ......


Sistema de Controlo de Velocidade (Cruise Control)

• Objectivo do sistema de controlo– Manter constante a velocidade do veículo

• Modelo do sistema físico– Entrada: força f(t) gerada pelo motor– Saída: velocidade v(t) do automóvel

f(t)Sensor de velocidade

MotorControladorv(t)vref(t) +

_f(t)

v(t)f(t)

• Qual é o modelo matemático deste sistema físico que relaciona f(t) com v(t) ?

• Fazendo hipóteses simplificativas obtem-se um modelo.


Sistemas Mecânicos de Translação

Lei de Newton (séc. XVII)

F = soma das forças aplicadas ao corpo (N) v = vector velocidade do corpo (m/s) M = massa do corpo (Kg) mv= momento linear Kgm/s

F= d(mv)/dt

A força total aplicada a um corpo rígido é igual à derivada em ordem ao tempo do seu momento linear



• Massa

• Mola

X

2

2

dt

)t(xdm)t(f

Massa - Armazena energia cinética

m f(t)

X

K

)t(x K)t(fs

Mola - Armazena energia potencial

K=constante da mola

fs(t) = força de restituição da mola, resultado de uma deformação (alongamento ou compressão). Kx(t) é a força que é necessário exercer para efectuar o alongamento (x(t)>0) ou a compressão (x(t)<0).

K )t(x K

)t(fs

Elementos Básicos



• Atrito

Elementos Básicos

dt

)t(xd )t(fd

Atrito - Elemento dissipador de energia

b=coeficiente de atrito viscoso

X

b

b

Xx(t)

dt

)t(xd

)t(fd

A força de atrito, fd(t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade• simplificação da realidade

• é usualmente uma função não linear da velocidade


Sistema de Controlo de Velocidade (Cruise Control)

v(t)f(t)Qual é o modelo matemático deste sistema físico que relaciona f(t) com v(t) assumindo as hipóteses simplificativas ?

Hipóteses simplificativas:• Inércia rotacional das rodas

é desprezável• O atrito que se opõe ao

movimento é proporcional à velocidade (atrito viscoso)

• O automóvel move-se no plano horizontal

b

m f(t)

Força externa aplicada

f(t) dt

)t(xd (t)v

Sistema



Exemplo de 1ª Ordem

b

m f(t) Força externa aplicada

f(t) dt

)t(xd (t)v

Sistema

A força de atrito opõe-se ao movimento

dt

)t(dvm

dt

)t(xdmaplicadas forças

2

2

dt

)t(dvm)t(v)t(f)t(f)t(f d

Força externa

Força do atrito

Lei de Newton

)t(f)t(vdt

)t(dvm

• Representação de entrada-saídao no domínio do tempo

o entrada: f(t)o saída: v(t)

o Equação diferencial linear de coeficientes constantes de 1ª ordem

o Sistema de 1ª ordem




b

m f(t) Força externa aplicada

f(t) x(t)Sistema

A força de atrito opõe-se ao movimento

2

2

dt

x(t)dmaplicadas forças

2

2

d dt

x(t)dm

dt

dx(t)βf(t)(t)ff(t)

Força externa

Força do atrito

Lei de Newton

f(t)dt

dx(t)β

dt

x(t)dm

2

2

• Representação de entrada-saídao no domínio do tempo

o entrada: f(t)o saída: x(t)

o Equação diferencial linear de coeficientes constantes de 2ª ordem

o Sistema de 2ª ordem




m f(t)Força externa aplicada

f(t) (t)xSistema

2

2

dt

)t(xdmaplicadas forças

2

2

dt

)t(xdm)t(Kx

dt

)t(dx)t(f

b

K

dt

)t(xd

)t(Kx

)t(f)t(Kxdt

)t(dx

dt

)t(xdm

2

2


Função de Transferência

)t(f)t(vdt

)t(dvm

EQUAÇÃO DIFERENCIAL - Representação matemática do sistema no domínio do tempo

• para uma dada entrada• a saída pode obter-se por resolução da equação

diferencial

Aplicando Transformada de Laplace unilateral e considerando condições iniciais nulas

)s(F)s(V)s(msV

0

s de)(x)s(X

)]t(f[TL)s(F

)]t(v[TL)s(V

Transformada de Laplace unilateral

ms

1)s(F)s(V FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA - Representação matemática

do sistema no domínio da variável complexa s



SLITr(t) y(t)

FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

0.i.c)s(R

)s(Y)s(G

G(s)R(s) Y(s)

Para condições iniciais nulas )s(R).s(G)s(Y

• A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída

• Para SLITs, a função de transferência caracteriza completamente o sistema do ponto de vista de entrada-saída

Quociente da transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace do sinal de entrada considerando nulas as condições iniciais



SLITr(t) y(t)

0.i.c)s(R

)s(Y)s(G

G(s)R(s) Y(s)r(t) y(t)

R(s) Y(s)

TL TL-1

Obtenção da solução da equação diferencial que é a representação do comportamento de entrada-saída

)s(R).s(G)s(Y

Se as condições iniciais forem nulas

A função de transferência é um conceito potente para descrever o comportamento de sistemas do ponto de vista de entrada/saída

Resolução da eq.diferencial


Função de Transferência e Diagrama de Blocos

v(t)f(t)

)t(f)t(vdt

)t(dvm

ms

1)s(F)s(V

βms

1

V(s)F(s)

x(t)f(t)

βms

1

V(s)F(s) X(s)

s

1

β)s(ms

1

X(s)F(s)

f(t)(t)xβ(t)xm

O mesmo sistema físico Modelos diferentes


Cruise Control (em plano horizontal)

v(t)f(t)

βms

1

V(s)F(s)

Sistema físico

K

modelo do sistema físico

Sistema controlado com controlador proporcional

Vref(s)+

_

?(s)V

V(s)

ref controlador


Sistemas Mecânicos de Rotação

rotação em torno de um eixo

• Lei de Newton-Euler

A soma dos binários que actuam num corpo é igual ao produto do momento de inércia desse corpo pela sua aceleração angular.

2

2

dt

θ(t)dJT(t)

2

2

dt

θ(t)d

T = soma dos binários aplicados ao sistema (N-m)

= vector aceleração angular a que o corpo está sujeito (rad/s2)

J = momento de inércia (Kg-m2) (suposto constante)



• Inércia

• Mola Rotacional

Elementos Básicos

dt

dJ

dt

θ(t)dJT(t)

2

2

Armazena energia cinética rotacional

- Velocidade angular

θ(t)K (t)Ts

Mola armazena energia potencial rotacional

K = constante da mola

Ts(t) = binário de restituição da mola em resultado de uma deformação em torno do ponto de equilíbrio.

é o binário que é necessário exercer para efectuar a rotação.

θ(t)K

w



• Atrito Rotacional

Elementos Básicos

Atrito - Elemento dissipador de energia

b - coeficiente de atrito viscoso

O binário de atrito Td(t), que se opõe ao movimento, é proporcional à velocidade angular

• simplificação da realidade

• é usualmente uma função não linear da velocidade

ω(t) β(t)Td


Sistemas mecânicos de rotação

2

1

2

1

1

2

NN

rr

A velocidade linear é igual no ponto de contacto das duas rodas

Engrenagem (caixa de desmultiplicação)

2211 rr

Roda dentada 1 – entrada

Raio -

# dentes - 1N1r

Roda dentada 2 – saída

Raio -

# dentes - 2N2r

a desmultiplicação angular é inversamente proporcional ao quociente do número de dentes.


Sistemas mecânicos de rotação

Engrenagem (caixa de desmultiplicação)

Roda dentada 1 – entrada

Raio -

# dentes - 1N1r

Roda dentada 2 – saída

Raio -

# dentes - 2N2r

1

2

2

1

1

2

NN

TT

Supondo que a engrenagem não acumula nem dissipa energia

2211 TT a “multiplicação” de binário é directamente

proporcional ao quociente do número de dentes das rodas.

Resumo

q2q1 T1T2

1

2

NN

2

1

NN

Energia rotacional


Exemplo: Pêndulo

m

L

mg

θ

PênduloMassa toda concentrada na extremidadeBraço de comprimento L [m]Binário aplicado Tc(t) [N.m]

Pergunta: Como varia o ângulo q(t) como função de Tc(t)?

Momento de inércia em torno do ponto de rotação = J = mL2

aplicados binários(t)θJ

sin L mg-(t)T(t)θmL c2

2c

mL

(t)Tsinθ

L

g(t)θ

mg

θ

θ

mgcos q

mgsin q

• Eq. Diferencial não linear• Não se pode obter directamente a

Função de Transferência• Faz-se linearização

(t)Tc


Carro com pêndulo invertido

http://www.engin.umich.edu/group/ctm/examples/pend/invpen.html

M Massa do carro

m Massa do pêndulo

b Coeficiente de atrito no movimento do carro

L Comprimento do pêndulo

I Inércia do pêndulo

F Força externa aplicada ao carro

x Posição do carro

q Ângulo do pêndulo relativamente à vertical

Pretende-se: Equações da dinâmica de movimento do sistema em termos de x e de q



Soma das forças no referencial horizontal associado ao carro

FNxbxM Soma das forças no pêndulo na direcção horizontal

sinθθmLcosθθmLxmN 2

N = força de reacção (desconhecida) aplicada pelo pêndulo

FsinθθmLcosθθmLxbxm)(M 2



Soma das forças perpendiculares ao pêndulo

cosθxmθmLmgsinθNcosθPsinθ Soma dos momentos em torno do centróide do pêndulo

θINLcosθPLsinθ

cosθxmLmgLsinθθ)mL(I 2



FsinθθmLcosθθmLxbxm)(M 2

cosθxmLmgLsinθθ)mL(I 2

Sistema de equações diferenciais não lineares


Sistemas Electromecânicos

Parâmetros característicos:

Ra - resistência – Ohm

La - indutância – Henry

ea - tensão de entrada no circuito da armadura – Volt

ia - corrente no circuito da armadura - Ampere

vb - força contra-electromotriz – Volt

Tm – binário disponível no veio do motor

Motor de corrente contínua



O rotor gira num campo magnético

Força contra-electromotriz

)(tmbm

bb ωKdt

(t)dθKv

Equação do circuito da armadura

aba

aaa e(t)vdt

diLiR

tensão de entrada no estator

Forca contra-electromotriztensão aos terminais da resistencia

queda de tensão na bobina

(s)E(s)V(s)sIL(s)IR abaaaa

sLR

1

aa

+

_

Ea(s)

Vb(s)

Ia(s) Qm(s)

bsK



Binario acessível no veio do motor

atm IKT t

maatm K

)s(T)s(I )s(IK)s(T

(proporcional a ia; Kt=Kb)

sLR

1

aa

+

_

Ea(s)

Vb(s)

Ia(s)Kt

Tm(s) Qm(s)

bsK

termo em m

(s)E(s)sΘKK

(s)s)TL(Ramb

t

maa

termos em Tm



(s)T(s)Ωβ(s)sΩJ mmmmm

Equação do ROTOR

(s)T(s)s)Θβs(J mmm2

m

)]t([TL)s( mm

sLR

1

aa

+

_

Ea(s)

Vb(s)

Ia(s)Kt

Tm(s))sJ(s

1

mm Qm(s)

bsK

Por reduções sucessivas do diagrama de blocos, obtenha a função de transferência do motor.



Se La puder ser desprezada (em comparação com Ra)

(s)T(s)s)Θβs(J mmm2

m

(s)E(s)sΘKK

(s)s)TL(Ramb

t

maa

(s)E(s)sΘK(s)ΘK

s)βss)(JL(Rambm

t

m2

maa

(s)E(s)sΘK)βs(JK

Rambmm

t

a

)]RKK

(βJ1

s[s

)J/(RK

(s)E

(s)Θ

a

btm

m

mat

a

m

a)s(s

K

(s)E

(s)Θ

a

m

Função de TRANSFERÊNCIA da forma


Controlo de posição de um motor de corrente contínua

Sistema de controlo de posição angular do motor

a)s(s

K

(s)E

(s)Θ

a

m

a)(s

K

s

1

Integrador(posicao angular é o integral da velocidade angular. Pólo em zero!)

Wm(s)Ea(s)

Qm(s)

Dinâmica davelocidade angular

as

K

s

1+_

K

Qm(s)

Ea(s)

R(s)

KKsas

KK

R(s)

(s)ΘG(s)

2m


Dinâmica de condução de um robot móvel

{R})t(y

)t(x

)t(

WY

{W} WX

vd(t) – velocidade linear da roda direita

ve(t) – velocidade linear da roda esquerda

L – distância entre rodas

2 rodas motoras traseiras

2 rodas dianteiras não motorizadas

L

(t)v(t)v(t)θ

(t))sin(2

(t)v(t)v(t)y

(t))cos(2

(t)v(t)v(t)x

ed

ed

ed

Pergunta:

Como variam no tempo a posição (x,y) e orientação q do veículo em função das velocidades lineares das duas rodas ?

Sistema de 3 equações diferenciais não lineares

rodas motoras


Dinâmica de condução de um robot móvel

{R})t(y

)t(x

)t(

WY

{W} WX

L

(t)v(t)v(t)θ

(t))sin(2

(t)v(t)v(t)y

(t))cos(2

(t)v(t)v(t)x

ed

ed

ed

Controlo:

Que valores devem ter ve(t) e vd(t) para que o veículo siga um determinado caminho?

rodas motoras

Controlador

(x,y,q)Coordenadas do caminho a seguir

ve

vd

É com base neste modelo do sistema físico (é um modelo simplificado) que se projecta o controlador


Linearização

v(t)f(t)

b

m f(t)

Força externa aplicada

Sistema não linear Aproximação linear

Exemplo: carro a alta velocidade

dt

dv(t)mv(t)βv(t)βf(t) 2

21

Velocidade elevada Força de atrito: termo linear + termo quadrático

221d v(t)βv(t)β(t)f

Sistema não linear


Linearização: Exemplo

dt

dv(t)mv(t)βv(t)βf(t) 2

21

Condição de equilíbrio

• O que é uma situação de equilíbrio ?• Se o sistema estiver numa situação de equilíbrio e não houver

nenhuma perturbação, ele mantém-se indefinidamente nessa situação• O sistema está numa situação de equilíbrio quando uma força externa

iguala a força de atrito

dinâmica não linear

evctev(t)

Caracterização do equilíbrio

0dt

dv(t) 0vβvβf 2e2e1e

2e2e1e vβvβf Os pares (ve, fe) que satisfazem esta relação

são pontos de equilíbrio do sistema

Sistema não linear Aproximação linear em torno de uma situação de equilíbrio


Linearização: exemplo

Estudo do comportamento do sistema em torno de uma situação de equilíbrio (ve, fe)

δv(t)vv(t) e

δf(t)ff(t) e

2e2e1e

e δv(t))(vβδv(t))(vβδf(t))(fdt

δv(t))d(vm

221 v(t)βv(t)βf(t)

dt

dv(t)m

Incrementos pequenos em torno do equilíbrio

????2e1e βδv(t))(vβδf(t))(fdt

(t)dδm

v

???linear linearVe=cte.



??? 2e

2 δv(t))(vv(t)Apr. série de Taylor em torno do ponto de equilíbrio desprezando os termos não lineares (ordem superior à 1ª)

...)xx(dx

fd

2

1)xx(

dx

df)x(f)x(f 2

0

xx

2

2

0xx

0

00

Apr. série de Taylor

δv(t)2vvv(t) e2

e2 Desprezando termos de ordem superior

δv(t))2v(vβδv(t))(vβδf(t))(fdt

(t)dδm e

2e2e1e

v

É válido para incrementos pequenos

v

v2

ve



δv(t))2v(vβδv(t))(vβδf(t))(fdt

(t)dδm e

2e2e1e

v

2e2e1e vβvβf Condição de equilíbrio

δv(t)vβδv(t)βδf(t)dt

(t)dδm e21 2

v

δf(t)v(t))vβ(βdt

(t)dδm e21 2

v Eq. diferencial linear

Função de transferência)]v2β(β[sm

1

δF(s)

δV(s)

e21



Função de transferência)]v2β(β[sm

1

δF(s)

δV(s)

e21

v(t)f(t)

dv(t)df(t)

Sistema não linear

Sistema Linearizado δf(t)v(t))vβ(βdt

(t)dδm e21 2

v

f(t)v(t)βv(t)βdt

dv(t)m 2

21

•Relaciona incrementos na saída com incrementos na entrada•Os incrementos são em torno de um determinado ponto de equilíbrio (ve,fe)

A localização do pólo depende da velocidade de operação ve


Pêndulo: Linearização

m

L

mg

θ

2c

mL

(t)Tsinθ

L

g(t)θ

(t)Tc

Não linear devido ao termo sinq

0T 0,θ c Ponto de equilíbrio do sistema

Para q pequenos (pequenas perturbações em torno do ponto de equilíbrio)

θsinθ

2c

mL

(t)Tθ

L

g(t)θ Modelo linear que descreve o

comportamento do sistema, mas só para q pequenos

Cap 2 – Modelação de Sistemas Físicos

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