Cap. 3 – Estática dos fluidos

3.1 – Equação básica

Forças de massa (ou de campo) dV..gdm.gFd m

y

p

p

2

dy

y

pp

2

dy

y

pp

dy

y

x

z

p dA.2

dy

y

pp

dA.2

dy

y

pp

y

x

z

p )j(dz.dx.2

dy

y

pp

)j(dz.dx.

2

dy

y

pp

)j(dz.dx.2

dy

y

pp)j(dz.dx.

2

dy

y

ppFd yS

)j(dVy

p)j(dz.dx.dy

y

pFd yS

dV.g.dm.gFd m

k.dVz

pj.dV

y

pi.dV

x

pFdFdFdFd zSySxSS

dV.kz

pj

y

pi

x

pFd S

dV.pdV).pgrad(Fd S

dV).g.p(Fd

Força total atuando em um elemento de fluido:

dm.aFd

Fluido estático : 0a

0dV).g.p(

Força total atuando em um elemento de fluido = 0

0g.z

p

0g.y

p

0g.x

p

z

y

x

0g.p

Equação Básica

y

x

z

Se o sistema de coordenadas for posicionado de tal maneira que o eixo z coincida com a vertical e direcionado para cima, tem-se:

g gg0g0g zyx

g.z

p

0y

p

0x

p

3.2 – Variação da pressão em um fluido estático

g.dz

dp

Peso específico do fluido 3m/N][

dz.dp

dz.dp2

1

2

1

z

z

p

p

y

x

z

g

11 z,p

22 z,p

)zz.(pp 1212

h.pp 21

Pressão absoluta: Pressão positiva a partir do vácuo completo.

Pressão manométrica ou relativa: Diferença entre a pressão medida e a pressão atmosférica local.

Escalas de pressão

0 (vácuo absoluto)

p-atm (pressão atmosférica local)

p

p

Manômetro de coluna(medição de pressão)

111 hp

1

2

1h2h

ATM22 ph

?p1 ATMp

ATM11221 phhp

A pressão absoluta, p1, será conhecida se for conhecida a

pressão atmosférica local, pATM, bem como as demais grandezas.

1122ATM1r1 hhppp

A pressão relativa, p1r , é obtida ao passarmos o termo da pressão atmosférica local, pATM, para

o lado esquerdo da equação:

3.3 – Atmosfera padrão

Unidades de pressão:

- mmHg (milimetros de mercúrio)- mH20 (metro de água)- psi (libras por polegada quadrada)- kgf/cm2  (quilograma-força por centímetro quadrado)- Pascal (N/m2)- bar (105 N/m2) - mbar (102 N/m2)

CNTP temperatura e pressão de 273,15 K e 101.325 Pa

CPTP (Condições Padrão de Temperatura e Pressão),com valores de temperatura e pressão de 273,15 K (0 °C) e 100 000 Pa = 1 bar.

Exemplo: Calcule a pressão atmosférica em Curitiba e em uma localidade à 3.000 m de altitude, considerando que ao nivel do mar a temperatura é 30 oC e a pressão atmosférica é 101,325 N/m2, e que a temperatura do ar decresce 65 oC a cada 10 km de altura.

gdz

dp RTp )zz(mTT 00

z.mTT 0

mdz

dT

gRT

p

dz

dp

T

dz

R

g

p

dp

dT.m

1dz

T

dT

R.m

g

p

dp

1

0

1

0

1

0 T

dT

R.m

g

T

dT

R.m

g

p

dp

T

T

p

p 00Tln

R.m

gpln

00 T

Tln.

R.m

g

p

pln

z.mTT 0 000.10m65 ]m/K[10x5,6m 3

00 T

Tln.

R.m

g

p

pln 00 TlnTln.

R.m

gplnpln

25,5287.10x5,6

8,9

)97,28/314.8.(10x5,6

8,9

R.m

g33

)15,303(lnTln.25,5)325.101(lnpln

71,5Tln.25,552,11pln 45,18Tln.25,5pln

Curitibaz=920 m.

K17,297C02,2498,530920.10x5,630T o3

]Pa[967.92eep 44,1145,18Tln.25,5

]mbar[930]bar[93,0p

C5,105,1930000.3x10x5,630T o3 ]mbar[730p

3.4 – Sistemas hidráulicos

3.5 – Forças hidrostáticas sobre superfícies submersas

Comporta tipo Segmento Comporta tipo Vagão

Comporta tipo basculante com acionamento hidráulico

Comporta tipo basculante com acionamento por correntes

Comporta tipo basculante com acionamento hidráulico

Contra-peso para facilitar acionamento de comporta

h

(sobre a) Estrutura

p

Ad

(sobre o) Fluido

Ad.pFd

Fd

h

Forças na Estrutura

h = y - h1y

h.p

(sistema de referência)

L

A

R Ad.pF

Força resultante na estrutura

(elemento de área na estrutura)

x

)i.(dh.LAd

dh

)i(2

hLF

H

0

2

R

H

0

H

0R )i.(dh.L.h)i.(dh.L.pF

H

)i(2

LHF

2

R

h

Ponto de aplicação da força resultante

na estruturay

L

AAA

R dh.h.L.ph.dA.ph.dF´y.F

Momento da força resultante em torno do ponto O (por exemplo) é equivalente ao

momento das forças de pressão em torno de O.

x

dhH

O

y´ é a posição na vertical (linha tracejada vermelha) do ponto de aplicação da força resultante, FR.

H

0

22

dh.h.L.´y.2

LH

3

Hdh.h´y.

2

H 3H

0

22

H3

2´y

A

Exemplo 1: Calcular as reações nos apoios da comporta plana vertical, de profundidade W , da figura:

H

X

1h

2h

)i(dh.W.h.)i(dh.W.pFd p

Força no elemento de área da estrutura

O

h

y

h=y+h1 dh=dy

Sistema de referência:

xxOF

yAF xAF

yOF yAxAyOxO F;F;F;F

Incógnitas: 4 componentes de reações nos apoios

A) Cálculo da resultante das forças de pressão na estrutura

A

p

A

R FdAd.pF

Resultante das forças de pressão na estrutura )i(

2

WH)i(dh.h.WF

2H

0R

H

A

X

1h

2h

O

h

y

xxOF

yAF xAF

yOF

B) Balanço das forças que atuam na estrutura:

0FFF:x.dir RxAxO

0FF:y.dir yAyO RF

C) Balanço dos momentos nos apoios da estrutura:

0MO 0MA

+

0y.dFh.FX.FM p2xAyAO

0r.dFh.FX.FM p2xOyOA

r

H

A

X

1h

2h

O

h

y

xxOF

yAF xAF

yOF RF

+

?y.dFp

r

)i(dh.h.W.Fd p

Ap y.hdh.Wy.dF

H

0 1p )hh.(dh.hWy.dF

H

0 12

p dh).h.hh(Wy.dF

2

Hh

3

HWy.dF

2

1

3

p

3*p WHy.dF

H

A

X

1h

2h

O

h

y

xxOF

yAF xAF

yOF RF

+

?r.dFp

r

)i(dh.h.W.Fd p

Ap r.hdh.Wr.dF

H

0p )hH.(dh.hWr.dF

H

0

2p dh).hHh(Wr.dF

3

H

2

HWr.dF

33

p 6

WHr.dF

3

p

D) Sistema de equações final

02

WHFF:x.dir

2

AxOx

0FF:y.dir AyOy

02

Hh

3

HWh.FX.F:M

2

1

3

2AxAyO

06

WHh.FX.F:M

3

2OxOyA

]m/N[10 34

E) Dados

W=6 [m] H=6 [m] h1=3 [m]

X=12 [m]

010x08,1FF 6AxOx

0FF AyOy

010x08,13.F12.F 6AxAy

010x16,23.F12.F 6OxOy

6AxOx 10x08,1FF

010x08,13.F12.F 6AxAy

010x16,23.F12.F 6OxAy

010x08,13.F12.F 6AxAy

010x08,13.F12.F 6AxAy

Sistema estaticamente indeterminado

H

A

X

1h

2h

Oh

y

xOxF

AyF

OyFRF

Nestas condições, é normal admitir que o apoio em A não transmite forças na direção

horizontal, e portanto:

0FAx

]N[10x08,1F 6Ox

]N[10x9F 4Oy

]N[10x9F 4Ay

]tf[108FOx

]tf[9FOy

]tf[9FAy

010x08,1FF:x.dir 6AxOx

0FF:y.dir AyOy

010x08,13.F12.F:M 6AxAyO

Exemplo 2: Calcular as reações nos apoios da comporta plana inclinada, de profundidade W, da figura abaixo:

x

h

y

A

O

D

L

xOF

yOF

Diagrama de corpo livre:

xAF

yAF

x

h

y

A

O

D

L

l

A) Cálculo da força resultante devido à pressão do fluido

A

p

A

yRxRR FdAd.pFFF

yx AdAdAd

)j.(cos.dA)i.(sen.dAAd

d.WdA

L

0A

yR

L

0A

xR

)j.(cos.d.W.h)j.(cos.dA.pF

)i.(sen.d.W.h)i.(sen.dA.pF

x

h

y

A

O

D

L

l

L

0yR

L

0xR

)j.(d.h.cos.W.F

)i.(d.h.sen.W.F

L

0yR

L

0xR

)j.(d).sen.D(.cos.W.F

)i.(d).sen.D(.sen.W.F

sen2

LDLd).sen.D(

2L

0

)j(sen2

LDL.cos.W.F

)i(sen2

LDL.sen.W.F

2

yR

2

xR

B) Balanço das forças que atuam na estrutura:

0FF:x.dir xRxO

0FFF:y.dir yRyAyO

xOF

yOF

Diagrama de corpo livre:

xAF

yAF

xy

Para que o sistema não seja estaticamente indeterminado, consideraremos:

0F xA

0

RF

C) Balanço dos momentos no apoio da estrutura:

0MO

+

0.dFT.FM pyAO

T

l

0.dA.pT.FA

yA

xOF

yOF

yAF

xy

T

l

h

D AA

yA .d.W.h.dA.pT.F

A

yA .d.W).senD(T.F

L

0yA d.).senD(WT.F

L

0

32

yA sen32

DWT.F

sen

3

L

2

DLWcosL.F

32

yA

D) Sistema de equações final

sen3

L

2

DL

cos

WF

2

yA

sen

2

LDL.sen.W.F

2

xO

yA

2

yO Fsen2

LDL.cos.W.F

]m/N[10 34E) Dados

W=1 [m] =30 o L=4 [m]D=2 [m]

xOF

yOF

yAF

xy

T

l

h

D

A

RF

xOF

yOF

yAF

h

D=2 m

A

RF

]N[10x7,76

1642

3

10F 4

4

yA

]N[10x65,02

168

2

10F 4

4

xO

44

yO 10x7,75,02

168.3

2

10F

L=4 m

W=1 m

]N[10x7,2F 4yO

]tf[7,7F yA

]tf[6F xO

]tf[7,2F yO

Método simplificado utilizando propriedades geométricas das superfícies planas

RF

A

R dAhF

A

R dA.ysen.F

A

R dA.ysenF

A

dA.y

Momento de primeira ordem da área A em

relação ao eixo x

AysenF CR

yc é a coordenada do centróide da área medida a partir do eixo x que passa por 0 (nível do fluido)

AhF CR

Módulo Força Resultante:

RFy.dAhyF

A

RR

A

2RR dAseny.yF

A

A

2

RdA.ysen

dA.ysen

y

A

2 dA.y

Momento de segunda ordem da área A em

relação ao eixo x

Ponto de Aplicação da Força Resultante, yR:

A.y

dA.y

yc

A

2

R

A.y

I

c

x

2cxcx y.AII c

c

xcR y

Ay

Iy

RFx.dAhxF

A

RR

A

RR dAxysen.xF

A

AR

dA.ysen

dA.xysen

x

A

dA.xy

Produto de Inércia da área A em relação aos

eixos x e y

Ponto de Aplicação da Força Resultante, xR:

A.y

dA.xy

xc

AR

A.y

I

c

xy

ccxycxy yx.AII cc

xycR x

Ay

Ix

Exemplo 3: Calcular as reações nos apoios da comporta plana inclinada, de profundidade W, da figura abaixo:

h

A

B

D

L

xBF

yBF

Diagrama de corpo livre:

yAF

3.6 – Empuxo e estabilidade

dV

E dV.E

Empuxo = Peso Específico do fluido x Volume deslocado

]m].[m/N[]N[ 33

Exemplo : Determine a massa específica de um corpo que, ao ser mergulhado em óleo de densidade igual a 0,8 , se equilibra com 20% do seu volume acima da superfície do fluido (despreze o efeito do empuxo na atmosfera)

Eg.m

Em equilíbrio:Força peso = Empuxo

FluidoDSólidoT .Vg..V

SólidoFluido

g..V.8,0g..V FluidoTSólidoT

g).x8,0.(V.8,0g..V ÁguaTSólidoT

ÁguaSólido 64,0

3.7 – Fluidos em movimento de corpo rígido

dm.aFd

Fluido não está estático : 0a

dV..adV).g.p(

dV).g.p(Fd

Força total atuando em um elemento de fluido:

ag.p

zz

yy

xx

a.g.z

p

a.g.y

p

a.g.x

p

Gradiente de uma grandeza escalar em:

kz

pj

y

pi

x

pp

Coordenadas cartesianas:

zz

pp

r

1r

r

pp

Coordenadas cilíndricas:

Exemplo: Determine a borda livre da lateral de um reservatório retangular para transportar água sem transbordar quando sujeito a uma aceleração de 3 vezes a aceleração da gravidade na direção horizontal.

H

nHg

g

a

3H

00z

p

0g.y

p

g3.0x

p

g

a

x

y

gy

p

g3x

p )y,x(pp Campo de pressão

dyy

pdx

x

pdp

0dp Na superfície livre a pressão é constante, portanto:

0dyy

pdx

x

p

0dy.gdx.g3

zz

yy

xx

a.g.z

p

a.g.y

p

a.g.x

p

dx.g3dy.g 3dx

dydx.3dy

x

y

1

3

H

nH

3H

FinalInicial VV

2

1

3

)nHH()nHH(WH.W.3 2

H+nH

6

)n1(H).n1(HH3 2

2)n1(18

24,3123n