cap.16 - GEOMETRIA ESPACIAL

GEOMETRIA

?t-FlrJ

oI.JJCI

sfUJooIzf

TUCLIDES DE ÁLEXAI\IDRIA

Das poucas inlormações que lemos sobre esse ma lemático qrepo. ouc vr_veu en lre osseculos TTI e IV a.C.. sâ be-sF que fol con,v,ldâ.ìo â ensiÌ iar"no áuseuescola. criada por Plolomeu. em Alexandria. pâssando ãi grânde paíe da suavtdâ-

Muttâs das obras de Euclides foram perdidas. mas amais lmportante, OsEJgTettos. dae de 3oo a.C. Compõe-seìe um conjunto de 13 lilvros (ãu ca_PrIulost,,onoe Uucttdes laz uma exposição riAorosa e ordcnada dos âssunlosbâsicos dâ Malemátjca elementar. Inclujndo Arit mética, Geometria e ÁlÉebrâ.

Os EÌ,emenúos éconsiderada â mais antjga obra da Matemátic" e uri. d".mâl,s lmportantes. Suâ conlr ibuição lot tdo gúnde. que a malor parte dâs pro_posrçoes nela contjdâs e lratâda na cscola âtual. priní- ipalmenle no ca rpuda ceometria. conhecida hoJe como ceometrta Eucìtdlanàj ;;À;;ãue"-

"seu criador.

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Sabe-se que os babilônios, povo que habitava a Mesopotâmia, dêixarâm documenlos quemostram conhecimenlos geométricos, quase sempre ligados àAstrologia, desde 2 000 anos aC.

A palavra Geometria signìfica, em grego, medir a terra. Os agrimensores egípcios (1 300anos a.c.) recoÍiam à Gêomêtíia para determinar a áreade seus camoos e oara delirnitar suasterras quando as cheias anuais do Nilo cobriam ou apagavam os maicos anteriores.

A construção de pirâmides demonstra que os egípcios dominavam a Geometria.Por volta dê 600 âC., Íilósofos e matemáticos gregos, entre os q uais podemos inc u r Ta-

les dê MileÌo e Pitágoras, passâram a sistematizar os conhêcimentos geométricos da época.E voz corrente que a Geometria, antes dos grêgos, êra puramente experimentâ1, ou seja, nãohaviâqualquercuidadocom os princípios matemáticos que regiam os conhecimenÌos geomé'tricos. Foram, então, os gregos os primeiros a introduziro íaciocínio deduììvo. Foi, poíém, como matemático grego Euclides que esta ciência rêâlmêntê se desenvolveu, fâzendo dâ cidadeegípciâ deAlexandíiâ, ondêv:via Euclidês, o centro mundialda Geometria, porvolta de 300 anos

Sistematizando os conhecimentos que outíos povos antigos haviam adquiíidodê tormadesordenadaatravés dotempq Euclides deu-lhês oídem lógica, êstudando â fundo âs propÍiê-dades das figuras geométricas, as áreas e os volumes.

Para Euclides, aGeomelriaera uma ciência dedutiva óujo desenvolvimento parl ia de cer'tas hipóteses básicas: os axiomas ou postulados. O grande tíâbalho de Euclides foi reunir em13 volumes, sob o título "Elementos", tudo o que se sabia sobíê a Geometria em seu tempo.

A GeometÍia é constantemente aplicada na vida prática: nos píojetos de edificios, pon.tes, estradas, carros e aviões; na navegaçáo aérea e marítima;na bâlística; no cálculo dovolu.me de areia, cimento e água; nos moldes de costura elc.

r

mitivas da Geomet a Plana, êm que o universo de trabalho é o plano.Suas representações são:

(ponto A)

INTRODUCAO

NOCOES PRIMITIVAS

Dosestudos realizados no 19 grau, sabêmos que o ponto, a rela e o plano sâo noções pri'

(plano a)

t_(reta r)

231

Agora, ampliaremos o nosso universodetrabalho, que será o gspaço, e desenvolverêmoso estudb da Goomêt.ia Esoacial.

For isso definimos:

Nos estudos dedutivos da Matemática, em geral, consideramos certas proposições quesão acêitas sem demonstraçáq inspiíadas na experiênciae naobservação, equê são chama-das Doslulados.

Veiamos âlguns desses postulados.

. Poslulados da reta

. Poslulâdos do plano

232

POSTULADOS

I

t _. // " .B)

A reta r pedence a ambos e chama_se oíigem dos sêmiplanos.Os semiplanos a1 ê a2 são diÌos oposlos

O plano o é considerado a odgem dos dois sêml_êspaÇos.Uma reta oue passa de uma dessas regiôes à outÍa inteÍcepta necessarÌamente o plano

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

Responclâ.

â) Quantos ponlos existem numa reta? E foradela?

b) Dado umpontoP, quantas retâs e\istem queo contêm?

c) Dâdos dois pontos A e B dislintos, quantasretas são determinadas poÍ esses pontosl

d) Quantos pontos existem num pÌaÌro? E ioradele?

e) SejaumareÌat que possui dois pontos djsljntos num plano a. Pode se dizer que a re_ta r está inteirâmente coniida no plano a?

2 Responda.

a) Qüantas retas estão contidas nüm plano?

b) Uma reta Ì de um plaúo ít divide_o em cluas-

Ìegiões. Como são chamadas essas regiões?

c)Oqüeéespaço?d) \o e.paço e\ i 'enr qrJr ' ,4. relâ ' Ì I q.rar '

ios planos?e) Um plarÌo a divide o espaço E em dois se_

mi-eipaço'. t e F) t ma Íela ouc na"a def para F) inlercepìa nece\\ârìamenle o pld-

I233

DETERMIN DO PLANO

Um plano Í ica dêterminâdo dê quatro maneiras dist jntas:

Três pontos náo alinhados detêrminam um plano (postulado P3 do plano).

uma retâ e um ponto Íora dêla determinam um único olano.

Í

,"" o#,1?T! B?Èï,il::""ii"'IájïtJ::"s"dê pranos quecontêm a reta,determinada pê'

prano o porque A, B e p são três pontos n?unico quêcontém o ponto B exterior à rela r, é o

Sejam duas retas concorrêntes no ponto p

, . Consjdêrando um ponto A sobrê a rela í distinto do ponlo B sabemos que a reta s e o pon.to A. exterior a s. determinam um plano o.Esse prano d conrériì a reta r por estarem nere situados os poritos p ê A dâ mesma reta.

2U

retas concofiêntes determinâm

Duas retas Daralelas deteÍminam um olano.

\

Seiam as retas oâralêlas s e r.Considerando um ponto Pem re dois pontos A e B distintos em s, determinamos o plano

d poíque e A e B são três pontos não âlinhados.


a) Quantos planoípassam por uma retâ?b) Como podemos determinaf um plano?c) Quando três pontos dislintos determinam

um plano?d) Tiês pontos, que são os vértices d€ rìm trìân

gulo, determinaÍn um único planoÌe) Quantos sào os planos determinados pcìcs

pontos A, B, C e D da figuË seguinlc?

2 Justìfique as afirmações:

a) l rè. ponlo' de uma circunfercrcia deÍ inemÌrm plano.

b) O cenrro e oi e\ tr(mo. de um diame o deuma circunlerènciâ n;o deÍ inem urÍ nìano

c) Dois diámerro' dc uma.rrc rnÍcrè1ciâ del i -nem um plaDo,

3 Responda:

a) Quantos são os planos determinados pelasretas a eb da figura seguinte?

b) Por que âs mesas de três pernas assenÌam sem-pre perlèìtâmede?

4 O' ponro' A, Be C 'ào nàocol ineare. e nenhur. .deles perlence à rctr r.

aì Qualo número mii \ imo de pìano. que Ndem ser definidos pelos três pontos e a reta r?

b) Qualo numero mrnìmo? Neneca.o. que p!. 'çõe. relar iva. ocupam a reta c o\ t ré\ poÍ

235

7

POS|çOES RELATIVAS DE DUAS REIAS NO ESPACO

Sêja a seguinte figura, que íepresenta um btoco retangular:

Nele, podemos observar que:

. As retas a (EF) e b (EH) estáo contidas num mesmo plano

. As retas a (Ej) e c (,LB) eslão contidas num mesmo ptano.

. As retas b (EH) e c (AB) estão contidas êm planos diferenÌes.

Daí as definiçóês:

. Relas coplanaÌesSão duas íetas contidas num mesmo planoExemplos:aeb;aec.

. Rglag reversasSâo duas relas náo contidas num mesmo plano e que náo têm pontoExemplo: b e c.

No caso de duas rêtas serem coplanaíeq êlas podem ser:

Íl

comum_

con@ÍÍenlês(un ponto comum)

paralelas(nenhum ponto comum)

coincidentes(lodos os ponlos comuns)

ObsêNaçõês:

1?) Quando duas retas concorentesformâm entre sium ângulode90o,são chamadas perpendiculaaes.

236

2i) Sejam r e s duas reÌas reversas.

Consideremos sobre a reta r, poíeiemplqum ponto Pe porele tracemos a reta sl parâlêìaa Íela s,

O ânqulo tormâdo pelâs retas concorrentêsre s ê poúeÍiniçâo.o ânguloformado pelasíê-tasreversasres,

Quando duas rêtas reversas íormam um ângulo de901 sáo chamadas oÍlogonals.

fVemos, entãq quê

lanto as retas pêrpenolcu'lares comoas rêtas ortogo'nais Íormam ângulos de90o; a distinção entrê êlasestá no fato de q ue as Íetasp€apendiculares são coPla'nares e asonogonals, nao. s são peípendiculaíes

rrsressãoortogonaisre

EXERCíCIOS DE APREN DIZAGEM

I Responda:

a) Ei ist indo um planou quecontêm as reta\ re b, como são chamadas essas retas?

b) Dadas duas reÌas. r e s se exìslìr um planoa quecontém f masnào€ontem s' como saochamadâs as retas r e sl

c) S€ duas retas r € s sào coplanares e nâo têm' ponto comum, como são chamadas essâs rc-

tas?d) Se a inteÍsecção de duas Íetas r e s é um con-

junlo !a.zjo e náo e{ste um plano d que asiontém, podemos dizer que r e s são re!€rsas?

e) Podemo' aÍirmar que duas retascoplanaÍessào sempre concorrentes?

2 observando o sótido da Íigu ra següin[q e{reva

3 Dadâ a figrra, iderÌtifique:

a) um par de Íetâs reversasb) um paÌ de retas aopbnares.c) dois paÍes de Íetas copìtlnares concorrentes'

d) dois pares de retas coplanarcs paraÌelas'

4 A nguraabaixoé umcubo ObseÍvando-a. res-ponda:

a) Quâl é o ângulo formado pelas retas EF e

FG?b) Qual é o ângulo foÍmado peÌas rúas EF e

BC?c) As Íetas AB e AE são perpendiculaÌes oü

oíoaonais?d) As rctas AB e CG são perpendicuÌaÍes ou

oÍtogonâis?

B

D

a) um paÍ de retas coplanares.

b) um paÍ de retas reversas

c) um pfi de retas concorrenÍes.d) um par de Íetas PaÍalelas

I237

POS|çOES RELATTVAS DE UMA RETA E UM PLANONO ESPACO

Uma íeta e um plano podem ocupar as seguintês posiçõesl

A íeta r estácontÍda no plâno ô.

IA reta Í fura oplano 04

í

Aretaréparalêlaâo plano o,

. Fìeta contida no planot quando a reta e o plano têm doìs pontos distìntos em comum.

. Reta concorrentê ou secanle ao planotquando a rêtaeo planotêm um único oonloemcomum.

. Reta paralela ao planot quando a reta e o plano não apresenÌam ponto em comuÍI|.

EXERCICIOS DE APREN DIZAGEM

I A íigura a seguir mostra uma porta entreaber- 3 Responda:ta e o canto cle üma sala.

a) Que posiçôes rclatìvas têm as reras r e s;set ;xer;yet?

b) Que posições relativas têm a Íeta e o pianoyeÉ;t€(Y;Íep?

2 Observando a figura seguinte, responda:

A&\

a) Qüal a posiçâo da reta AB em relaçãoplano da base (ABC)? _

b) Qüal a posiçâo da reta VA em reìaçãoplano da base (ABC)?

238

B

a) Quando uma rela r fura um plano o, quala po'ição da Íera r em relaçào ao plano d l

b) QÌìando uma reta r está contida num plano

c) Qual a posiçâo rclariva enrÍE uma rela re umplanod,sernd=7?

4 Observando a figÌrÍÌ s€guinte, responda:

a) Quâl é a posìção da reta Éi em reÌaçao aopÌano (ABCID) da base?

-b) Quâl é a posjçâo da rera CDeÌnrelaçãoaoplano (ÀBCD) da base?

-c) Qual é a posição da rcra FC em relaçào aoplano (ABCD) da base?

-d) Qual é â posìçâo da rera Ccemretâçãoaoplano (BCFGX

e) Qual é a posição da reÌa AEenl reÌação aoplano (EFGH)?

0 Qual é a posição da reta Dllcm relação aoplano (ACEG)?

POSICOES RELATIVAS DE DOIS PLANOS NO ESPACO

pooêmocupar no êspaço as seguintes posiçóes:Dois planos a eP

secantes ouconcorrentes

, t

paratetos coincidêntês

Plànos paíalelos: não têm ponto em comum.Planos secanles: têm uma única rela em comum.Planos colncidentes: têm mais de uma retâ êm comum.


Responda:

a) Dois plaÌÌos c e B se cortam s€gundo umâ Étar Qual é a posição relati!ã dos planos d e 0 ?

b) Se doìs planos a ePtêmemcomum uma rc-ta r, podemos dizeÍ que d e B são paralelos?

c). Se o e É são dois planos dislintos paralelos,podemos dizer que esses planos não têm pon-

2 obseÍvando a figura, €screva:

AEa) um paÍ de pÌanos Daralelos,b) um par de planos secantes.c) urn plano paralelo ao plano (BCFG).d) um plano secant€ ao plano (EFGH).e) uln plarÌo paralçlo ao plano (ABEF).

0 um plano secant€ ao plano (ADEH).

3 Observando a figuÍâ segúnte, responda:

a) Qual a posição relativa entre os planos (VAB)e (vBc)?

b) Qual a ìntersecção dos planos (ABCD) e(VBç)?

c) Há planos paralelos na figurald) Qual a posição relativa dos pÌanos (VAD)€

(VBC)?fi1".:'.i

i.".]:'.'r

239

PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO

Se uma reta I Íura um planor! num ponto p e é perpendicular a dLlas íêÌâs de o que pas.sam pelo ponto B entáo â reta r é pêrpendicular ao plano a.

.setsãoretasde o passando por P ] - , , "

1

No cubo da f igura seguinte, podemos verif icar faci lmente êsse falo:

BF .L AB

BFaBC

= íF é pêrpêndicular ao plano(ABCD)da bâse.

. Projoção o.togonal de um ponloConsideremos um ponÌo P ê um plâno a, conÍorme a f igura.

Pelo ponto q tracemos uma reta r peÍpendicular a c ê que fure a no ponto Pl

PROJECAO ORTOGONAL

Naturalmente, se P < a, então P' = P

. Projeção ortogonal de uma reta

Consideremos uma reta r oblíqua a um plano(xequeÍure o plano no pontoA, conformeâ f igural .

1Í

Tomêmos um ponto B êmsobrê o plano o (figura 2).

Obtemos, então, a reÌa I

r e vamos detêrminar o ponÌo B', que é a projeção oíÌogonal de

determinâda pelos pontos A e B:

A reta a e a proieção oÍlogonal da reta r sobíê o plano a.

. Projeção ortogonal de uma ligura gooméirica

Sabemos que uma figufa geométricaé um conjunto de ponÌos. Consideremos, entãq umaÍ igura F ê um plano d.

Determinando a proieção ortogonalde todos ospontos da f igurâ F sobre o plano d, vamos obter a t i_gura Fì


I consideremos üma reia r perpendicular a umplano {} no ponto A. Uma rela s' contida em a,pd"a pelo pon o { Qudl e â Po'ic;o de r em

relação a s?

2 Sejam o. reta ' 'e t ioncorìenleseconirdâs num

flanoo.Deuma€ar. 'cbe \equer s e I l - l

Nessas condiçòes, pode-se dizer que I r a l

3 Consideremos uma reta r p€rpendjcular a umplano o e seia P o ponto em que r encontf t ì o.Uma rela s, contida em o, nào passapelo pon-to P As retas r e s são peÍpendiculares ou orto-gonais?

4 Duas retas r e s distintas sâo tais que r a d es ! o. Quâl é a posição reÌâtiva entre r e s?

' gUíâ 1 Í iguÍa 2

241

5 As retas 11 € 12 são concorrentes e estão cont!das nurn plano a. Sabe-se que uma reta t é talquer I r rer I r r .Qüaléaposiçâodarerarem relação ao pÌano a?

ó ob,enandoocuboda ligum ao l.Jo, re'ponda:

a) Qual ea projeçáo ortogonaldo ponlo C \o.bre o plano (ABCD) da base?

b) Quâl é d píojeçáo oflogonâìdo ponlo A sa-bre o plano (BCFCX

c) Qualéa pÍojeçáo onoSo na I do ponro Vrso_bÍe o plano (ABCD) da base?

Considerêmos uma rêta r oblíqua a um plano a em A, conforme mostra a figura.

O ângulo 0 quê a reta r Íorma com ã sua projeção ortogonal sobíê o é o ângulo entre arera e o prano

Claro está que:. o ângulo entre um? reta r e um plano d, quando í a o, é um ângulo reto. o ângulo entre uma rela r e um plano c, quando r l l d, é um ângulo nulo.

DrsÍÂNcrAs t0. Dislância enlÍe ponlo e plano

Sejam dados um plano (x e um ponto A, foía de d. PorA, traçamos umâ pêrpendicular ad, que corta o plano no ponto Al projeçâo ortogonal de A em d.

ANGULO ENTRE RETA E PLANO

A mêdida do segmênto AA'é a dislânciaentre o ponto Ae o planoo.

l

. Distânciâ entre retâ € plano paÍalêtosConsideremos um plano d e uma reta r, não contida êm d. e tal a!ê r z o.Tomemo^s um ponto A qualquer de I e vamos determinâí a distância entre A e a, o que

nos dá a disÌância entrê r e a.

f

. Distância enlre planos paralêlosConsideremos dois planos a ê É tais que d ,. , , É.Ìomemo-s um ponto A qualquêr de o e vamos determinar a distância entre A e É, o que

nos dá a distância entre a e d.

. Distâncla entre duas rclas rêversasConsidêremos duas íeÌâs reversas, I e s.Tomemos um ponto A sobre s e tracemos I Z r.Sêjâ a o plano dêteÍminado pelas retas r e s,lemos eue | , d.

A distância êntre a reta r e o plano o seÍá â distância procurada entre as retas reversasr e s; para issq tomemos um ponlo I qualquerdê re determinemos a disÌância enÌre B e o pla-

Então:

243


í-\\ | |.ta figura, a reta r é oblíqua ao plaoo o em P

X€ x = 30o, calcule y.

\ 2 h.esoonda:

. a) Sâo dados um plano o e um ponto P fo.a ded, Pelo ponto P trâçamos uma perpendicu-lar ao plano a e que fuÍa a no ponto Q QualéadistânciaentrePe.r?

b) Uma Íeta r e um plano d são paÉlelos. Emrelaçâo à reta r, podemos dizer que A é umde seus pontos. Quâl é â distância entre a rc-taÍeopìanod?

c) Sejam a e P dois planos dhtintos paraleÌos.Sabendo que A é um ponto qualqueÍ de oe B um ponto qualquer de É, podemos dizerque a medida do segmeÍio AB é semple a dis-tânciaenlreaeÉ?

d) Sendo dadal duas retas rwersas, r e s, qualé a distânciâ entre elas?

e) Sejam a e B dois plaDos distintos paralelos.Toma-se um ponto A qualquer de c| e umponto B qualquer de P e rqifica-se que a dis-tância entÍe aeÉé igual à medida do segmen-to ÀB Podemos, então, dizer que a Íeta de-teÍminada pelos pontos AeB é perpendicu-Ìâraosir lanosdeÉ?

i ì( 3 pbservando o cubo da figura, responda:

.kwtc- tgr*:ÈtFlrgH#,'hJ ^Eeâ!êÊról u

a) QualéadistârciaentreopontoEeoplanoda base (ABCD)? ,i,

b) Qual é a distânciaerìrÍeoìontoÃeoptâno(cDcH)?

c) Qual é a distância entre a reta EFeoplano(ÀBCD) da base?

d) Qual é a distância entre a reta BC e o plâno(ADEH)?

e) Qual é a distância entrc os planos (ABCD)e (EFCH)?

D Qgl é a distância enrre as Íetas reveÍsas EHe CD?

8l Qualé â di\lânciaeniÍ€ as reras paralelas EGeAC?

Í

onsidere o Donto P extemo ao Dlano o da fi-

O segmento PA perpetrdicular a a medê 15 cm,e PB obliquo â a, mede 25 cÍn.Calcule a medida da pIoieção ortogonâl dePBsobre o plano a.

Dois planos conconentesdividem oespaçosm quatro regiões dênominadas ângu106die-daos ou simplesmento dledros

ÂNGULO DIEDRo

,g

Um único diedro é limitado por dois gemiplanos d e É e uma rêla comum r

A reta íé chamadaargsia do diedío eosdois semiplanos, ae É, são as íacês dodiedro.

1

- Seccionândo um diedro de aresta r por um plano 1 perpendicular a r, obtemos um ângulo

AOB denominado s€ccão normal do diedro

Em que: AÕB = secção noímâl do diedro.A medida de um diedro á a medida de sua secção normal.Obseívâçãor

Sedols planosseiantesa eÉ formarem quatro diedros iguais dê mêdida 90o serâoditospgrpsndiculares.

245

SECCAO NORMAL DE UM DIEDRO

TEOREMAS DO PARALELISMO

Daremos, agoía, alguns teoremas fundamentais sobíe paralelismo, queconsideramos in-teressantês para o seu conhecimento ê pâra aplicações futúías.

Íeorcma 1 - Se uma reta té patulela a uh plano q e se existi um Dtano g que conemI e é secante a q segundo uma rcta s, então as rctas I e s sáo panlelas.

v. i

r l ldÉcontémr=TIr lsH

Demonstração:

De fatq se re s não Íossem paíalêlas porestarem contidas no planoB, deveíiâm têrumponto A comum.

Esse ponto A, naluralmente, pertenceriaà rêtâ r ê ao plâno a, o quê contraria a hipóle-sê.

Logo, r I s.

Ieorcma 2 - Se uma rcta t, não contida num plano d,é paralelaa uma rcta s, contída êmd, então I e e são patalelos.

( , c "Hlsc.t r "

+TIr l (x

246

t:,

Demonstração:

As retas íe sdeterminam um planoÉ, queé secante a d, segundo uma íêta que só podeser a.

Se re a tivessem um pontocomum A, elepertenceria aos planos a e É; como conse-qüêncja, o pontoA pertenceriaà reta re à retas, o que contíâria a hipótese.

Logq r o.

r-

Teo'ema 3 - Sed e P sâo planos paíalelos, então qualquer rcta rcontidaem d é paÊlelaao Dlano 0.

-Lrtp

t

rCd,sCor, s são concorÍentes = Tlo | Éí l lP, s lP

, Í " nB( rcd

f

DêmonslraçáolSe r não fosse paralelâ ao plâno É, teriâ um ponto em P, o qual sêria comum a

a e B, contrariandq pois, a hipóÌese.l!go, | , Ê.

Têorema 4 - Se um plano d contém duas rctas I e ê concotentes e ambas paralelas aum outro plano ê, entáo, s e Ê são panlelos.

Demonstraçâo:

Se a e d não sâo paralelos, então se in-terceptam, sêgundo uma rêta t.

Como re s seriam paralelas à rêta t, en.tãq pelo ponto A, intersecção de r ê s, terÍa'mos duas retas paralelas a t, o que é um ab-suroo

Logq a B.

| (Mack-Sp) A reta Í é paralela ao plano aEntâo:

. a) todas as retas d€ o sâo paÍalelas a r.b) a rela r nào pode ser coplanar com nenhì,-

c) existem em a rctas paÍal€las â r e tambémexistem em a retas Íeversas em relação a I

d.) exitem em a Íetas paralelas a r e lelas per-pendiculares a r

e) todo plano que contém r é paraleÌo a @.

2 €.C. Chagao Seja um plano o e um ponto Pnão peÍtencente a d.Quantas retas paralelas a d podem ser traçadas,no máximo, pelo ponto P?

a) Nenhuma.b) Uma.c) Duas.d) Três.e) lnfinitas.


F

3 tPUC-SP)Quai das proposiçòe1 abai\o e fat\a?a) As int€rsecçôes de dois planos paÍalelos, com

um terceiro planq sâo retas paÍalelas.b) Se doi, plano. di . l into\.ào paratetos. roda

reta contidã em um deles é paralela ao outroplano.

c) Doir planos di . l intor pdralelos a um rercei-ío sào paraleÌos entre si.

dì Se dot planos sào paralelo., loJa reta pdra-lela a um deles é pâralela ao ouÌro.

4 tCe\cem-5P) t ma.ondiçáo nece\\ár ia e \ut ìc ienle para qDe dois plano! ,eiam paralelo. e

a) uma reÌa de um seja paralela ao outrob) duas reÌas de um sejam paralelas ao outro.c) duas Íetas paraÌelas de um sejam parâlelas ao

d, roda rera de um \eia paraleta a quaiquer rera

eì um deìes conlenha dua\ relas concor ren(e.,paElelâs ao outro.

5 (S. Carlos-USP) Quâl a afirmação correra?a) Um plano paralelo a uma reta de um oulru

plano é paralelo a esre planob) Um plano perpendicular a uma re|a de urn

plano é perpendicular a este planoc.) Umplano paraÌeloaduas retas de um plano

é pamÌelo âo ptano

d) Dois planos paralelos à mesma reta são paralelos.

e) Um plano paralelo a três retas de um mes-mo plano é paralelo a este plano.

ó (PUC-SP) Qualdas afirmaçõesabaixo é VERDADEIRA?

d) Seduas rer a, concorrenle. de um plano sãorespectivamenÌe pamlelâs a duas retas de o.-úo plano, enlão €sses pÌanos são paralelos.

b) PoÍ uma reta dada pode-se conduzjr um pla-no paraìeìo a um plano dado.

'or qualquer ponÌo é possível conduzir umaque se apóje em duas reias reversas da

d, reta é paralela a dois planos, entào.anos sào paralelos.

e) f jm planos retr'ersos.

7 (F.C. Chagat Sâo dadas âs proposições:Ì Dois planos são paraleÌos se duas relz."

de um deles sâo pamlelas ao outroplanoII Se dois planos rêm um ponto comum, en-

tão eles têm uma retâ comum quepassapelo ponro.

llÌ - SeduasreÌasdisrintassãopamlelas aumplano, enlào eìas.áo paralela5 enrrc si .

E correto afirmar que:

a) âpenas uma delâs é verdadeira.b) apenas I e Il são verdadeiras.c) apenas I e IIÌ são verdadeiras.d) apenas II e Ill sâo verdadeiras.e) I, Il e III são verdadeiras.

Í

TEOREMAS DO PERPEN DICU LARISMO

Vejamos alguns teoremas sobre perpendìcuransmo:

Ieorcma 1 - Se uma rcta | é perpendicutaí a um ptano a, entáo I faz ânguto de g7o comqualquet rcta contida em d.

Sê s é uma reta do plano ry e que passapelo ponto A onde í fuía o. então. pela detini-çaq r -L s.

Supondoque s não passe pelo ponto A.vamos considerar uma íeta s de o que pas-saporAeé paíalela à reta s.

Então. se ré perpendicular a o. é. tam-bém, perpendicular a todas as rêtas de o quepâssam pelo ponto A; logo, r a sl

nrí eô r '

c !ô c! l ê ôntâô r .

Ít

Íêorcma 2 - Se uma rcta rfazângulo rctocomduas rctas concoffentes set de um planod, entáo a rcta r é petpenclicular aÔ plano d.

19 casol

Defato, sendo r-L s e r ! t , vamostraçara reta t 'de d passando porA e talquef t t .

Becaímos, entãq no teorema anterior.Daíl

2! caso:

Defatqsendor Ls e r I t , vamostíaçar âs retas s' e t' dê d passando por Aê ìais que s' I s e t' t, recaindo, entãq noteorema âôtêrioí

Daí:

Ieorcma 3 - Sejam clados uma reta re um plano d taisque | ! d no ponto A.Sendo suma íeta de d que passa pelo ponto A e t uma íeta de d perpendicular a se concoftente com esta num ponto B I A, então qualqueÍ reta que passapelo ponto B e por um ponto de | é petpendiculaí à rcta t.

i ' ,"Hlsca,Aes

I t rs,B(t ,B€s,'c € r

- TJBC L t

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Ì

249

Iêorcma 4 - Duas retas I e s perpendiculares a um mesmo f)lano d sâo paralelas.

Í

" ls r . - T l í ls

Teorema 5 - Se dols p lanos a e Êsão perpendicularcs segundo uma rctat, ese uma íetaa contida em d, é peryendiculat à rcta t, então | é peryendícutat a p.

ì T I r ! I"(" 'unlaôÉ=Ì

250

Dêrnonstraçáo:

Se r L d, então r forma ângulo rêtocom duas retas concorrentes, aeb, contidas

Se s I o. entáo s ÍoÍmâ ângulo retocom as mêsmas retas a e b de @,

Logo, r ls.

Dernonstração:Se.v e Ê são perpendiculaíes, êntãoa dê-

ve conteí uma retâ stalque s _L p. Logicâmên-te,a reta re perpendicular à interseceão t, ouseta, s r t .

Comor r t e s -L t, temos, pelo teore.ma anterior, r s.

ComorlsesJ0, logor LB.

T


| (Mack-SP) A rela ré p€' pendicularao plano o.Então:

a) todas as retas d€ o são pamlelas a r.b) arcta r não pode ser coplaíar com nenhu-

ma reta de d.c) existem em d retasperpendiculares a r € tam-

bém exìstem em a retas reversas em relação

d) existem em d retas pamleÌas e retas perp€n-diculares a Í,

e) todo plano que contém r é paraleÌo a d.

2 (Cice) Ser éumplanoe P é um ponro que náopertence a r, entãoi

a) por P passa um único plano perpendicular

b) por P nâo par\a neúum pìano perpendicu-lar a Í,

c) por P passam exatament€ 2 planos p€ryen-diculaÍes a r.

d) por P passa uma infinidade de planos perpendicularcs a r.

e) todo plano que passa por P é peryendicular

3 euc,sP) são dadas as proposiçõ€s:

I Uma reÌa é perpendìcuiar a um planoquando ela é perpendrcular a todas as re-tas desse plano.

ll - Se um planoéperpendiculara oulro en-tào ele é perpendicular a qüalqu€r retaoesse ouÍo

III - Sedois planosdisrinror são paraleìos, en-tão loda rcta de um é pâraÌela ao outro.

E correto afiÌmar que,

a) I, lI e lll são verdadeirâs.b) I, lI e lll são falsas.c) apenas ll é verdadeira.d) apenas III é verdadeiÌâ.e) apenas II e III sâo veÍdadeiras.

4 (Ufal-AL) Sejam a e É dóis planos perpendiculaÌes entre si. A reta r é perpendicular ao plano(! e a reta s é perpendicular ao plâno B. Nessascondições:

â) a Íeta rnão pode teÍ pontos comuns com oplano d.

b) as Í€tas r e s são concorrentes,c) as retas r e s podem ser reversals.d, a reLa \ e\rá conrrda em um pìano perpendi-

e) as retas r e s são paralelas èntre sj.

5 (Cescem-SP) Identifique a alterrÌativa verda-d€iÉ:

a) Seduas rela5 pâralelas íesenconrraÍn o pla-no rem A e B enráo a reta AB é perpend -cular a r e a s.

b) Se dois planos são peryendicuÌars, qualqueÍoutro qu€ os coía o faz segundo duas retasperpendiculares. .l

c) Se uma rera é pâralela a um pláno. elâ-éparalela a todas as retas desse plano.

d) PaÍa uma rela ser perpendicular a um pla-nq é suficiente que ela seja perpendicular auma reta do pÌano que passa por seu traço.

e) n.d.a.

ó (UCP-PR) Assinale a attemativa correta:

a) Uma condição suficiente pâÉ que dois pla-nos sejam paralelos é que duas rctas de umsejam paÍalelas ao oütÍo

b) No espaçq duas rctas perpendiculares a umaterc€im reta são sempÍe pâíalelas,

c) Se dois planos s€ interceptam, um terceiroplano que inrercepra um dos doi5plano(drve, sempre, interceptar o outro.

d) Um plano perpendicular a uma rela de umoutro plano é perpendicular a este últimoplano

e) Se umâ retâ é pâÍâlela a dois planos, entãoesses planos são pamlelos.

7 ( ITA-SP)Considereo plano de uma mesae umponl o dado derle plano Vocè d i\pôe de uma fo-ìha de papelque po\,ur um.d bordo reto. Dobrando €sta folha de papel, conduza uma peÍ-pendicular ao plano da mesa, pelo ponto 4ado.A justificatìva de tal constÍução está em um dosteoremas abaixo:

â) Se uma reta é p€rpendicuÌar a um plano, to-do plano quepassapor elaé perpeÍdicular

b) Se dois pla n o\ .ào perpend icu lare'. roda r(tadeum deles que for perpendicular à intersecção seÉ perpendicular ao outro.

c) Se uma rela eperpendicular aduâsrelaJconcorrenlespelo \eu ponlode inlersecçào. entào a rcLa e perpendicülar ao plano detetminâdo por essas duas retas.

d) Por um ponr o e-yÍerìor a u m pLano pa5\a umarerapeÍpendìcuìaÌao pìano esomenre uma.

e) Todas as perpendiculares a uma reta, tÍaça-da, por um de'eu5 ponro!, pertencem a umplâno.

r

251

353 ObseÍvando o sólido da figuÍa seguinre, asso-cie V ou Facada afirmação:

V

355 lela geometria plana, sabemos que o ân-gulo inrerno de um polígono e o ânguloformado por dois lados consecutivos e que,se o poligono é regulat a medida do ângu-lo interno pode ser calculada pela fórmula

(n - 2) 180'âi - s :2 -: . sendo n o númeÍo de

lâdos do polígono. JNe(ra' condiçóes, sendo a figuÍa abaixoìmsólido de base penÌagonal regular, pergunÌa-s€:

a) Quahmedidado ângulo forÌnado pelas Íe-tas AB € BC?

b) Qual.g medida do âÌÌgulo formado pelâs re-tas AB e AF?

c) Qualì medida do ânguÌo formado pelas re-tas AB e CH?

d) Quahmedidado ângulo formado pelas re-tas AF e cH?

e) Quais retas sào orrogomis com a reta AB?

35ó A circunferência de c€ntro O da figura est icontida no plano a e tem raio ignal a 4 cm.

.o

O segmento OP med€ I cm eé perpendicularaoplanod. CalcuÌeamedida da distânciadeP a qualquer ponto da circunferência.

são coplânares,sâo paralelas.sâo paralelas.sAo reversas,são coplanares.

a) As retas ú eb) As retas BC ec) As retas AB ed) As retas VA e.

0 As retas BC e

354 Observando a figura següinte, responda:

VBCDCDCDVCAD

a) Quâjs são as retas s€cantes ao plano (ABCDE) da base?

b) Quais sâo as retas conÌidâs nesse plano?c) Há âlsuma reta paraleÌa ao plano (ABCDE)

da base?

T

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cap.16 - GEOMETRIA ESPACIAL

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