Cap. 36

DIFRAÇÃO

Milton Massumi FujimotoDepartamento de Física / UFPR

http://fisica.ufpr.br/down/FIV

Difração

Quando uma onda encontra um obstáculo com dimensões da ordem do comprimento de onda, se espalha de acordo com o princípio de Huygens.

λ≈a

A Luz como uma Onda

tt ≡′

Difração por uma fenda

máximo central

máximos secundários ou laterais

Sombra de uma lâmina

máximos secundários ou laterais

O ponto claro de Fresnel

Ponto claro de Fresneltambém ponto de Poisson ou Arago

Augustin Jean Fresnel1819

Difração por uma Fenda:Posição dos mínimos

posição das franjas escuras

Quando as ondas passam pela fenda estão em fase

aD >>

2sen

2a λ

=θ ⇒ λ=θasen Primeiro mínimo

Difração de Fraunhofer

Primeiro mínimo ( primeira franja escura):

Observe que:

2sen

2a λ

=θ

λ=θasen

asen λ

=θ

λ>>a ⇒ °≈θ 0 Não se observa a difração

λ≈a ⇒ °≈θ 90 Toda tela iluminada

Segundo mínimo (2a. franja escura):

Equação Geral:

aD >>

2sen

4a λ

=θ ⇒ λ=θ 2asen segundo mínimo

λ=θ masen ,...3,2,1m = Mínimos franjas escuras⇐

Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda – Método Qualitativo

P

Diferença de fase

θΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λπ

=φΔ sen.x2

Nax =Δ

2EI θ∝

θΔλ

↔↔

φΔπ

sen.x2/

Método dos Fasores

0=φΔ°=θ 00

1θ

2θ

3θ

Primeiro mínimoMáximo central

Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda – Método Quantitativo

A intensidade I(θ) em função de θ é:

onde

Os mínimos ocorrem nos pontos em que:

Assim:

Ou

2

msenI)(I ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

=θ θλπ

=φ

=α sena2

)0(IIm °=

π=α m ,...3,2,1m =

θλπ

=π senam

λ=θ masen ,...3,2,1m = MínimosFranjas escuras

radianosem,, αθφ

Largura do máximo central em função da abertura a:

λ=a

λ= 5a

λ=10a

amsen λ

=θ

Dep

endê

ncia

com

a a

bertu

ramm1,0a =

Dep

endê

ncia

com

a a

bertu

ramm2,0a =

Dep

endê

ncia

com

λnm450=λ

Dep

endê

ncia

com

λnm570=λ

Demonstração das Equações de IntensidadeMétodo dos Fasores

assim,

Portanto

R2Esen 2

1 θ=φR

Em=φ

φφ

=θ 21

21

m senEE

2m

2

m EE

I)(I θ=

θ

0

2rms

cEI

μ=⇐

2

msenI)(I ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

=θ ⇐Difração porFenda única

φ

φ/2α

α=φ 2

Relação entre α e θ:– Δx.senθ é a diferença entre as distâncias percorridas por ondas

secundárias vindas regiões vizinhas– Δφ é a diferença de fase entre estas ondas secundárias de regiões

vizinhas.

– A diferença de fase φ entre os raios que partem das extremidades superior e inferior da fenda é:

– Como

– Temos:

∑ Δ= xa

θΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λπ

=φΔ sen.x2

θ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

λπ

=φ sen.a2

α=φ 2

∑ φΔ=φ

θλπ

=φ

=α sena2

φ

φ

φl

Rl

=φ

R

Justificativa de α=φ 2

ExercícioDifração por fenda única

37-10E. Uma luz monocromática com um comprimento de onda de 538 nm incide em uma fenda com uma largura de 0,025 mm. A distância entre a fenda e a tela é de 3,5 m. Considere um ponto na tela a 1,1 cm do máximo central. (a) Calcule o valor de θ neste ponto (ângulo entre a reta ligando o ponto central da fenda à tela e a reta ligando o ponto central da fenda ao ponto em questão na tela). (b) Calcule o valor de α. (c) Calcule a razão entre a intensidade neste ponto e a intensidade no máximo central.

Dados:

m10x38,5nm538 7−==λ

m10x5,2mm025,0a 5−==m5,3D =

m011,0cm1,1y ==

P

a)

b)

c)

Dytg =θ

?=θ

?=α θλπ

=α sena

?I

)(Im

=θ

o0,18rad0,0031435,3011,0arctg ==

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=θ

rad459,0)3en(0,00314s10x53810x5,2

9

5=

π=α −

−

932,00,459)en(0,459s

I)(I

2

m

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

θ

2

m

ensI

)(I⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

=θ

A imagem de um ponto luminoso distante, não é um ponto, mas um disco luminoso cercado por anéis claros e escuros.

Difração por uma abertura Circular

Exemplos: Olho humano,obturadores de filmadora, máquinas fotográficas etc

Posição do primeiro mínimo:

d22,1sen λ

=θd

Posição do primeiro mínimop/ fenda única

asen λ

=θ

Aberturacircular⇐

Figura de difração de uma abertura circularImagens produzidas por lentes

Resolução(Abertura Circular)

Imagens produzidas por lentes são figuras de difração.O importante é resolver dois corpos distantes cuja separação angular é pequena.

Resolução (cont)

Não podem serdistinguidos

Podem serdistinguidosLimite

Resolução (cont)

Critério de Rayleigh para a resolução– Quando o máximo central de uma figura coincide com o primeiro

mínimo de outra.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

=θd

22,1arcsenR

Como os ângulos sãoPequenos, em radianos:

θ≈θsen

d22,1R

λ=θCritério de Rayleigh ⇒

Critério de resolução de Rayleigh

Dependência com o comprimento de onda

d22,1R

λ=θ

nm700maior ≈λ

nm400menor ≈λ

Quanto menor λmenor será θRmelhor será a resolução

Critério de resolução de Rayleigh

Dependência com a distância

Quanto mais próximo, maior a separação angular θ emelhor a resolução.Quanto menor θR , melhor a resolução, e é possível distinguir a distâncias maiores

R1 θ<θ R2 θ=θ R3 θ>θ

d22,1R

λ=θ

fixo está Rθ

d está limitadopelo olho

O pintor neoimpressionista Georges Seurat (final do século XIX) pertencia a escola do pontilhismo.

As cores pareciam mudar com a distância do observador ao quadro.

Difração por duas Fendas

onda incidente

λ≈a

Difração por duas Fendas

=

×Interferência por dupla fenda estreitas Difração por fenda única

λ<<a λ≈a

Difração porFenda dupla

Difração por uma fenda

Difração por duas fendas

Observe que no caso de duas fendas existem também os máximos e mínimos ocasionados pela interferência.

Intensidade na difração por fenda dupla

A intensidade na figura de difração por duas fendas é:

Fator de interferência:

Fator de Difração:

2

msenI)(I ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

=θ

)2/(cosI4)(I 20 φ=θ Intensidade na interferência – fenda dupla

estreitas⇐

Intensidade na difração – fenda única⇐

22

msen.cos.I)(I ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

β=θ θλπ

=β sendθ

λπ

=α sena

0a → 0→α 1sen→

αα

0d → 0→β 1cos2 →β

Redes de Difração

Grande número fendasou ranhuras

⇓

Rede de difração

Redes de difração

Quanto maior o número de fendas, mais separados são os picos,Melhor a resolução.

5 fendas 10 fendas

Rede de Difração

dD >>

w

Nwd =

λ=θ mdsen ,...2,1,0m =

Posições do máximos

Linha centralOrdem zero (m = 0)

Laser de He-Ne

0 11 22 m

O ângulo θ entre o eixo central e uma determinada linha

Sabendo-se θ, m e d, podemos determinar λ.

Mesmo que seja uma mistura de λ’s pelo uso da rede de difração podemos determinar cada λ separadamente, pois as figuras não se superpõem.

dmsen λ

=θ ⇒ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

=θd

marcsen

Redes de difração:Largura de linhas

Capacidade de resolver (separar) λ’s diferentes depende da largura de linhas.Meia-largura da linha central (Δθml):

Para Δθml pequeno,

Quanto menor Δθml melhor a separação

λ=θΔ mlsenNd

mlmlsen θΔ≈θΔ ⇒Ndmlλ

=θΔ

λ=θsena

Meia-largura de qualquer outra linha (Δθml):

Para um mesmo λ e espaçamento d a largura de linhas é

θλ

=θΔcosNdml

N1

ml ∝θΔ A rede de difração com maior NSepara melhor

⇒

Uma Aplicação das redes de difração

São usadas para determinar os λ’s de uma fonte luminosa.

Espectroscópio

Linhas de emissãodo cádmio

Linhas de Emissão do hidrogênio

Redes de Difração: Dispersão e Resolução

Dispersão(D):

Dispersão de uma rede de difração:

Maior dispersão, maior a separação entre os picos.Maior dispersão, menor d e/ou ordens maiores m.

λΔθΔ

=D ⇐ definição

θ=

cosdmD

θ1 θ2

λ1 λ2

θ

Δθ

Demonstração da equação:– Posição da linhas de difração de uma rede:

– Diferenciando

– Para ângulos pequenos, os infinitésimos pode ser substituídos por diferenças

ou

λ=θ msend

λ=θθ dd mcosd

λΔ=θΔθ mcosd

θ=

λΔθΔ

cosdm

Redes de Difração: Dispersão e Resolução

Resolução (R):– Resolver linhas muito próximas linhas estreitas

Resolução de uma rede de difração:

λΔλ

= médR ⇐ definição

NmR =

θ1 θ2

λ1 λ2

θ

12 λ−λ=λΔ

212

med

λ+λ=λ

Demonstração da equação:– Meia-largura de uma linha:

– Substituindo Δθml em– Temos

– Ou resolução

θλ

=θΔcosNdml

λΔ=θΔθ mcosd

λΔ=λ mN

NmR =λΔ

λ=

Comparação entre Dispersão e Resolução

θ=

cosdmD

NmR =

Exercícios

37-33E. Uma rede de difração com 20,0 mm de largura possui 6000 ranhuras. (a) Calcule a distância d entre ranhuras vizinhas. (b) Para que ângulos θ ocorrerão máximos de intensidade em uma tela de observação se a radiação incidente na rede de difração tiver um comprimento de onda de 589 nm?

Dados:

(a) d = ?

ranhuras6000N =mm0,20w =

m10x33,36000

m10x0,20Nwd 6

3−

−===

m=0

m=1

m=1

m=2

m=2

(b) θ = ? Ocorrerão máximos de intensidade.

Os valores possíveis para m são:Os valores possíveis para os ângulos são:Para m =1

m10x89,5nm589 7−==λ

1d

msen ≤λ

=θ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ λ

=θd

marcsenm⇒

66,5m10x89,5m10x33,3dm 7

6==

λ≤ −

−

5,4,3,2,1,0m =

177,010x33,310x89,5x1

dm

6

7==

λ−

−

⇒ ( ) rad17763,0177,0arcsen1 ==θ

°=θ 2,101

Outros valores possíveis para os ângulos são:

Para m = 2

Para m = 3

Para m = 4

Para m = 5

353,0177,0x2d

m==

λ⇒ ( ) rad3612,0353,0arcsen2 ==θ

530,0177,0x3d

m==

λ ⇒ ( ) rad5587,053,0arcsen3 ==θ

707,0177,0x4d

m==

λ ⇒ ( ) rad7849,0707,0arcsen4 ==θ

884,0177,0x5d

m==

λ ⇒ ( ) rad083,1884,0arcsen5 ==θ

°=θ 7,202

°=θ 0,323

°=θ 0,454

°=θ 0,625

Exercícios37-48E. Uma rede de difração tem 600 ranhuras/mm e 5,0 mm de largura. (a) Qual é o menor intervalo de comprimentos de onda que a rede é capaz de resolver em terceira ordem para λ=500 nm? (b) Quantas ordens acima da terceira podem ser observadas?

Dados:

(a)

mm/ranhuras600N =′

mm0,5w =

m10x0,5nm500 7−==λ

?=λΔ 3m =

NmR =λΔ

λ=

NmR =λΔ

λ=

A rede de difração deveter alta resolução

Resolução maiorPicos mais estreitos

Picos mais estreitos:Possível distingüir doisλ’s muito próximos

θ1 θ2

λ1 λ2

θ

(a) Δλ = ? Para m = 3

N total:

Assim:

(b) quais os m’s possíveis ? m = ? (m>3)

NmR =λΔ

λ=

ranhuras3000mm0,5xmm

ranhuras600wNN ==′=

m10x56,53ranhurasx3000

m10x0,5Nm

117

−−

==λ

=λΔ

1d

msen ≤λ

=θ ⇒λ

≤dm

(b) cont.

Os valores possíveis para são

Portanto não podemos observar nenhuma ordem acima da terceira.

m10x667,1ranhuras3000

m10x0,5Nwd 3

3−

−===

3,3m10x0,5m10x667,1m 7

3=≤ −

−

3,2,1,0m =

Difração de Raios X

Em 1895, descoberto por Röentgen - (1901, Nobel de Física)

São ondas eletromagnéticas com

Luz visível

m10A1 10o

−=≈λ

m10x5,5nm550 7−=≈λ

Misteriosos raios X– Não eram defletidos pelo campo magnético

• Conclusão: partículas não carregadas.

– Inicialmente não foi observado difração:• Para uma rede de difração comum

• O máximo de primeira ordem (m = 1) ocorre para

m103nm3000d 6−×== m10A1 10o

−==λ

°=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ λ=θ 0019,0darcsen Não podem ser

resolvidas⇐

Difração de raios X

Raios X

Em 1912 propôs

m10A1 10o

−=≈λ

Um sólido cristalinoPoderia se comportarComo uma rede de difração

Difração de raios X

Colimador Filme fotográfico

CristalTubo de raios-x

Raios-x

Figura de Laue

Pontos de Laue

m10A1 10o

−=≈λ

A lei de Bragg

Posições dos máximos

Plano superior

Plano inferior

Feixe incidente

Feixe refletido

Lei de Bragg

,...3,2,1m =θ é definido em relação a superfície refletora

λ=θ mdsen2

Para qualquer ângulo de incidência θ sempre haverá uma família de planos refletores.Nos 2 casos acima a estrutura cristalina tem a mesma orientação, mas o ângulo de incidência são diferentes. θ está relacionado com uma família de planos com separação d

λ=θ mdsen2

λ=θ mdsen2

A difração de raios X é um excelente método para:

– Analisar o espectro de raios X:• Usa-se um cristal com estrutura cristalina conhecida (d),

medindo I(θ) e θ, determina-se os λ’s

– Determinar a estrutura cristalina:• Usa-se raios X monocromático com λ conhecido e mede-se

o ângulo θ correspondente a um dado m, determina-se d e depois o a0 da célula unitária.

mdsen2 θ

=λ

θλ

=sen2md

Exercícios

37-53E. Raios-X de comprimento de onda de 0,12 nm sofrem reflexão de segunda ordem em um cristal de fluoreto de lítio para um ângulo de Bragg de 28o. Qual é a distância interplanar dos planos cristalinos responsáveis pela reflexão?

Dados:

m10x2,1nm12,0 10−==λ °=θ 28

nm26,0)28(xsen2

10x2,1x2sen2md

10=

°=

θλ

=−

2m =

Referências Bibliográficas

Livro texto:– Fundamentos de Física

• Halliday, Resnick e Walker• Vol. 4: Óptica e Física Moderna• 7a. edição