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Capıtulo 1

Corpo rıgido

Exercıcio 1.1: A barra uniforme AB da figura 1.1 tem 4 m de comprimento epesa 100 kgf, podendo girar em torno do ponto fixo C que dista de A 2.5 m. Abarra esta em repouso sobre o ponto A e um homem, pesando 75 kgf, caminhasobre ela partindo de A. Calcule a distancia maxima que o homem se pode afastarde A e manter o equilıbrio. Represente graficamente a reaccao no ponto A emfuncao da distancia.

x

A BC

Figura 1.1: Exercıcio 1.1.

Exercıcio 1.2: O andaime representado na figura 1.2 e constituido por umabarra homogenea, pesando 1000 N, suspensa de duas cordas.O pintor pesa 75 kgfe o balde de tinta 7 kgf. Determine a distancia maxima xmaximo a que o pintor

2.5m 3m 2.5m

x1m


se pode afastar do centro da barra, para a direita, sem que aconteca um acidente!

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Corpo rıgido

Represente num grafico as tensoes nas cordas em funcao da distancia x.

Exercıcio 1.3: O letreiro de uma pousada pesa 40 Kg e esta colocado como semostra na figura 1.3. A barra que o suporta pesa 20 Kg e o sistema e mantido porum cabo que nao pode submeter-se a uma tensao superior a 1200 N.

75cm

POUSADA

A α

B

75cm


a) Qual e a distancia mınima possıvel entre os pontos A e B?

b) Qual e, nestas condicoes, o modulo e a direccao da forca exercida sobre abarra suporte no ponto A?

Exercıcio 1.4: Uma haste homogenea de ferro encontra-se apoiada num degrauformando um angulo de 30 com a vertical. Sendo o comprimento da haste 40 cm,a sua massa 400 g e a altura do degrau 30 cm, determine o valor da forca de atritono ponto B (da figura 1.4) em que a extremidade da haste se apoia na superfıciehorizontal, sabendo que e nulo o atrito no ponto A em que a haste se apoia naesquina do degrau.

A

B

30º


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Corpo rıgido

Exercıcio 1.5: Uma escada de 2.5 m de comprimento encontra-se encostadaa uma parede vertical. O coeficiente de atrito entre a escada e a parede e nulo,mas e de 0.6 o coeficiente de atrito entre a escada e o solo (horizontal). O centrode gravidade da escada encontra-se deslocada por faltarem alguns degraus. Rep-resente as forcas que actuam sobre a escada e determine a posicao do centro degravidade sabendo que a escada escorrega se a distancia entre a parede e o pontode apoio sobre o solo for superior a 1.5 m.

Exercıcio 1.6: Considere o sistema esquematizado na figura 1.5, constituıdopor:

a) uma corda fixa no ponto C da parede vertical CA;

b) um objecto com massa 100 kg suspenso da referida corda;

c) uma base AB munida na extremidade B de uma roldana por onde passaa corda descrita previamente. Sabendo que AC = 50 cm, BC = 40 cm,AB = 30 cm, que o sistema esta em equilıbrio e que a extremidade A dahaste, apoiada na parede, esta revistida de borracha a fim de evitar queescorregue, determine a massa da haste AB e a forca de atrito exercida pelahaste sobre a parede.

A

C

m

B


Exercıcio 1.7: A barra da figura 1.6 e homogenea, tem um comprimento de 2 me o coeficiente de atrito estatico entre ela e a parede vertical e de 1.2. O corposuspenso na roldana tem um peso de 50 N. A corda, depois de passar pelas roldanasesta presa a parede segundo a horizontal . A massa da roldana e desprezavel.

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Corpo rıgido


a) Representar as forcas que actuam na barra.

b) Sabendo que a barra esta no limiar de escorregar, determine o peso da barra.

c) Quanto vale o angulo α nas condicoes da alınea anterior?

Exercıcio 1.8: Uma haste AB, de massa 20 g, esta presa em A por um eixohorizontal numa direccao perpendicular ao plano da figura 1.7. A extremidade B

esta suspensa por um fio que passa por uma roldana C e tem suspenso na outraextremidade uma esfera com 30 g de massa. Esta esfera esta apoiada com atrito naface inclinada do bloco D que se encontra colocado sobre um superfıcie horizontal.O sistema esta em equilıbrio com o fio na vertical dum e doutro lado da roldana.Determine a tensao no fio e o valor da forca de atrito entre o bloco D e a superfıcieem que se apoia.

A

C

B

D


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Corpo rıgido

Exercıcio 1.9: Uma barra homogenea de comprimento l e massa M roda emtorno dum eixo O horizontal que atravessa uma das extremidade e e perpendiculara barra. Presa a extremidade livre da barra e passando por uma roldana R colocadana perpendicular a extremidade atravessada pelo eixo O, a uma distancia igual aocomprimento l da barra, existe uma corda, da qual se encontra suspenso um objectode massa m. A barra fica em equilıbrio numa posicao que forma um angulo θ coma vertical (ver figura 1.8). Relacione m, M e θ e mostre que m < M . Qual o valorde m/M se θ = 60?

O

R

mM

ll


Exercıcio 1.10: Calcule o momento de inercia do sistema formado por trespartıculas de massa 2 kg dispostas nos vertices de um triangulo isosceles com20 cm de altura e 15 cm de base, em relacao:

a) ao eixo de simetria, no plano do triangulo, que passa pela vertice superior;

b) ao eixo perpendicular ao triangulo, passando pelo seu centro de massa.

Exercıcio 1.11: Um disco homogeneo de massa M e raio R, inicialmente emrepouso, roda sem escorregar num plano inclinado de inclinacao θ. Sabendo queele parte do repouso de uma altura h, calcule a velocidade linear do centro demassa do disco quando atinge a base do plano?

Exercıcio 1.12: Considere um cilindro homogenio de 80 g de massa, em tornodo qual esta enrolado um fio com 60 cm de comprimento.

a) Se se deixar cair o cilindro verticalmente, mantendo fixa a extremidade livredo fio, determinar a velocidade do seu centro de massa quando ele alcancaa outra extremidade do fio.

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Corpo rıgido

b) Na situacao anterior, qual e a tensao no fio?

Exercıcio 1.13: A roldana homogenia representada na figura 1.9 tem 0.5 m deraio e 25 kg de massa e pode girar em torno do seu eixo horizontal. O fio enroladona roldana tem, na sua extremidade livre, uma massa de 10 kg. Calcule:

a) a aceleracao angular da roldana;

b) a aceleracao linear do corpo;

c) a tensao no fio.


Exercıcio 1.14: Determine a aceleracao dos corpos representados na figura 1.10,bem como as tensoes do fio. Considere que o diametro da roldana, considerada

20kg

A B

10kg

5kg

AB = 10cm


homogenia, e igual a 10 cm.

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Corpo rıgido

Exercıcio 1.15: A figura 1.11 representa uma roldana homogenia de raio R emassa mc que pode rodar livremente. O bloco B esta inicialmente em repouso adistancia h da base e o bloco A desliza sem atrito sobre a superfıcie horizontal.Qual a velocidade do bloco B quando atinge a base?

A

B

h


Exercıcio 1.16: Um fio e enrolado no io-io da figura 1.12 de massa m e momentode inercia I = 1

2mR2, que desliza sem atrito. Exercendo uma forca F sobre o fio,calcule:

a) o sentido do movimento;

b) a aceleracao do cilindro;

c) a aceleracao do fio.

r R

F


Exercıcio 1.17: Repita o problema 16 considerando que o atrito entre o cilindro

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Corpo rıgido

e a superfıcie e tal que o forca a rolar sem escorregar. Calcule tambem o coeficientede atrito estatico mınimo para que isso aconteca.

Exercıcio 1.18: Repita o problema 17 para o cilindro representado na figura1.13 sabendo que o fio tem sempre a direccao vertical.

r R

F


Exercıcio 1.19: No sistema representado na figura 1.14 a roldana tem massadesprezavel e roda sem atrito. O corpo de massa M e um cilindro homogenio deraio r, no qual esta enrolado o fio, que roda sem atrito. Calcule:

a) a aceleracao linear de m;

b) a aceleracao angular do cilindro M ;

c) a tensao no fio.

M

r

m


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Corpo rıgido

1.1 Solucoes de corpo rıgido

Solucao 1.1: x = 3.16 m.

Solucao 1.2: xmaximo = 3.73 m.

Solucao 1.3:

a) dmınimo = 0.518 m.

b)~R = 117 kgf; α = 9.8.

Solucao 1.4: ~Fa

= 100 gf.

Solucao 1.5: O centro de massa esta a 2 m da base da escada.

Solucao 1.6: mh = 50 kg; ~Fa

= 70 kgf.

Solucao 1.7:

a) Diagrama.

b) Pbarra = 5 N.

c) α = 47.7.

Solucao 1.8:~T = 10 gf;

~Fa

= 0 gf.

Solucao 1.9: m/M = 1/2.

Solucao 1.10:

a) Is = 0.0225 kg m2.

b) Is = 0.0758 kg m2.

Solucao 1.11: |~v| =È

43gh.

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Corpo rıgido

Solucao 1.12:

a) |~v| = 2.8 m/s.

b)~T = 0.261 N.

Solucao 1.13:

a) |~α| = 8.71 rad/s2.

b) |~a| = 4.36 m/s2.

c)~T = 54.4 N.

Solucao 1.14: |~a| = 1.96 m/s2;~T10kg

= 78.4 N,~T5kg

= 58.8 N.

Solucao 1.15: vB =q

2mBghmA+mB+mc/2 .

Solucao 1.16:

a) Na direccao e sentido da forca.

b) ac = Fm .

c) af = Fm(1 + 2r2

R2 ).

Solucao 1.17:

a) Na direccao e sentido da forca.

b) ac = 2F (1−r/R)3m .

c) af = 2F (1−r/R)2

3m .

µe >= F (1+2r/R)3mg

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Corpo rıgido

Solucao 1.18:

a) Para a direita.

b) ac = 23

rFRm .

c) ~af = ac(ı + rR ).

µe >=23

rFR

mg−F

Solucao 1.19:

a) a = 3mg3m+M .

b) α = 2mg(3m+M)r .

c) T = mMg3m+M .

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Corpo rıgido

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Capıtulo 2

Ondas

Exercıcio 2.1: As boias de dois pescadores estao num lago a distancia de 21 cmuma da outra. Uma perturbacao, num ponto da recta que une as duas boias (masnao entre elas), provoca nestas um movimento em que executam 20 oscilacoes porminuto. Num determinado instante, uma boia esta sobre uma ”crista”e a outraesta num ”vale”, havendo uma ”crista”entre elas. Qual a velocidade de propagacaodas ondas?

Exercıcio 2.2: Estando as frequencias dos sons compreendidas entre 16 Hz e16 kHz, qual o correspondente intervalo de comprimentos de onda, sabendo que avelocidade do som no ar e de 340 m/s

Exercıcio 2.3: Uma onda propaga-se de acordo com a seguinte equacao:

s = 3 sin(100πt− 8πx) (S.I.)

a) Calcular:

a) a velocidade de propagacao da onda;

b) o comprimento de onda;

c) a frequencia;

d) o perıodo.

b) Ao fim de quanto tempo comecara a vibrar uma partıcula que esteja:

a) a 25 cm da fonte?

b) a 50 cm da fonte?

c) a 10 cm da fonte?

Exercıcio 2.4: A partir da equacao de onda s = A sin

2πtT − 2πx

λ

, calcule a

distancia a origem O, dos pontos do meio que vibram

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Ondas

a) em fase com O;

b) em oposicao de fase com O.

Exercıcio 2.5: Um movimento harmonico simples, de amplitude 6 dm e frequencia2 Hz, propaga-se com a velocidade de 4 m/s num espaco a uma dimensao. Con-sidere t = 0 o instante em que a origem do abalo se encontra na posicao deequilıbrio.

a) Escreva a equacao de onda no SI.

b) Represente graficamente as elongacoes das partıculas do meio vibrante, emfuncao das suas distancias x a origem:

a) no instante t = 0,25 s (meio perıodo);

b) no instante t = 0,50 s (um perıodo).

Exercıcio 2.6: Considere uma onda transversal propagando-se com uma veloci-dade v = 2 m/s, uma amplitude de 0.1 m e uma frequencia angular de 0.2 rad/sno sentido positivo do eixo dos XX.

a) Calcule o perıodo e o comprimento de onda.

b) Escreva a equacao de propagacao de onda, sabendo que a partıcula de co-ordenada x = 0 se encontra na posicao y = 0.05 m no instante t = 0 s,movendo-se no sentido negativo do eixo dos Y Y .

c) Considere 5 pontos cujas posicoes distem entre si 1/6 do comprimento deonda, e marque as suas posicoes no instante t = 1 s.

d) Marque as posicoes que o ponto intermedio ocupa sucessivamente em in-stantes intervalados de 1/6 do perıodo.

Exercıcio 2.7: Uma onda transversal propagando-se ao longo de uma cordacom a direccao do eixo dos XX, produz na partıcula A da corda, situada no pontox = 0, um movimento vibratorio traduzido pela equacao y(t) = 0.1 cos (4πt) comy em metros e t em segundos.Verifica-se que uma outra partıcula B que se encontra no ponto x = 0.5 m executaum movimento vibratorio com a mesma amplitude e frequencia, mas adiantadorelativamente ao primeiro de π/2 rad.

a) Indique, justificando, o sentido de propagacao da onda ao longo do eixo.

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Ondas

b) Esboce um grafico que mostre as variacoes das elongacoes de A e de B emfuncao do tempo.

c) Determine a velocidade de propagacao da onda e escreva a sua equacao depropagacao.

Exercıcio 2.8: Ao longo do eixo dos XX propaga-se uma onda transversalcuja equacao de propagacao e y1(x, t) = 2× 10−3 cos

20πt− 2π

3 x, (SI). Ao ponto

x = 2 m chega simultaneamente uma outra onda propagando-se na mesma direccaoe sentido, e que, na ausencia da primeira onda, imprimiria a este ponto um movi-mento harmonico simples traduzido pela equacao y2(t) = 2× 10−3 cos

20πt + π

4

,

(SI) . Determine:

a) a velocidade de propagacao da primeira onda;

b) a equacao do movimento harmonico simples que o ponto x = 2 m executariase so a primeira onda se propagasse;

c) a amplitude, frequencia e fase do movimento desse ponto, resultante dasobreposicao das duas ondas.

Exercıcio 2.9: Tres partıculas A, B e C, dispostas em linha recta nas posicoesindicadas na figura 2.1, estao inicialmente em repouso. Num dado instante, apartıcula C comeca a descrever um movimento harmonico simples numa direccaoperpendicular a linha ABC, de amplitude igual a 3 cm, deslocando-se para cima.Dois segundos depois, B entra tambem em vibracao. A comeca a vibrar no mesmoinstante em que C volta a passar, pela primeira vez, na posicao de equilıbrio.Admita que A, B e C sao tres pontos de uma corda por onde se propaga uma ondatransversal.

a) Qual a velocidade e sentido de propagacao da onda?

b) Em que instante iniciou A o seu movimento?

c) Qual a frequencia angular e o comprimento de onda?

d) Escreva a equacao de propagacao, considerando t = 0 quando C comecou avibrar.

e) Escreva a equacao do movimento harmonico simples executado por B.

Exercıcio 2.10: Considerar a onda que se propaga segundo a equacao:

s = 10 sin40πt +

π

6− πx

4

(S.I.)

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Ondas

Y

A XB C

2a a


a) Calcular as elongacoes, para t=0 s, das seguintes partıculas:

a) Fonte (x=0 m);

b) partıcula na posicao x=0,2 m;

c) partıcula na posicao x=0,4 m;

b) Relativamente a partıcula que se encontra na posicaoo x = 0,2 m, quais assuas elongacoes nos instantes t = 0 e t = 0,02 s?

c) Descrever a equacao das velocidades das oscilacoes em funcao do tempo.Que velocidade maxima tem as partıculas?

d) Qual a velocidade de propagacao da onda?

Exercıcio 2.11: Uma onda progressiva, de frequencia 300 Hz, reflecte-se numaparede. Como consequencia, originam-se ondas estacionarias de tal forma que doisnodos consecutivos distam entre si de 0,40 m. Qual e a velocidade de propagacaoda onda?

16

Ondas

2.1 Solucoes de Ondas

Solucao 2.1: c = 4, 7 m/s.

Solucao 2.2: λ estara entre 2,1 cm e 21 m.

Solucao 2.3:

a) a) 12 m/s;

b) 0,25 m;

c) 50 Hz;

d) 0,020 s.

b) a) 0,020 s;

b) 0,040 s;

c) 0,0080 s.

Solucao 2.4:

a) nλ (n=1,2,3,...);

b) (n− 1/2)λ (n=1,2,3,...).

Solucao 2.5: s = 0, 6 sin(4πt− πx) (SI).

Solucao 2.6:

a) T = 31.4 s; λ = 62.8 m.

b) y(t) = 0.1 sin(0.2t− 0.1x + 5π6 ) (SI).

Solucao 2.7:

a) Sentido negativo.

b) yB(t) = 0.1 cos(4πt + π2 ) (SI).

c) v = 4 m/s; y(x, t) = 0.1 cos(4πt + πx) (SI).

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Ondas

Solucao 2.8:

a) v = 30 m/s.

b) y1(2, t) = 2× 10−3 cos(20πt− 4π3 ) (SI).

c) A = 3.17× 10−3 m; ω = 20π rad/s; ϕ = 1.44 rad;y(t) = 3.17× 10−3 cos(20πt + 1.44) (SI).

Solucao 2.9:

a) v = a2 no sentido negativo do eixo OX.

b) t = 6 s.

c) w = π6 rad/s; λ = 6a.

d) y(x, t) = 3× 10−2 sin

π6 t + π

3ax

(SI).

e) y(−a, t) = 3× 10−2 sin

π6 t− π

3

(SI) para t ≥ 2 s.

Solucao 2.10:

a) a) 5, 0 m;

b) 3, 6 m;

c) 2, 1 m;

b) 3, 6 m e 2, 6 m;

c) v = 4× 102π cos(40πt + π/6− πx/4) m/s;vmax = 1, 3× 103 m/s;

d) 160 m/s.

Solucao 2.11: c = 2, 4× 102 m/s.

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Capıtulo 3

Hidrostatica e Hidrodinamica

Exercıcio 3.1: Calcule o valor de 1 atmosfera (76 cmHg) em unidades do SistemaInternacional.ρHg = 13.6 g/cm3.

Exercıcio 3.2: Calcule a massa de uma esfera de cobre de raio 2 cm, sendo queρcobre = 8.96× 103 kg/m3 em condicoes normais de pressao e temperatura.

Exercıcio 3.3: Um pequeno frasco utilizado para medir densidades de lıquidos(denominado picnometro) tem uma massa de 22.71 g. Quando o frasco esta cheiode agua, a massa total do frasco e da agua e 153.38 g e, quando esta cheio deleite, a massa total e 157.67 g. Calcule a densidade do leite sabendo que ρagua =1.0 g/cm3.

Exercıcio 3.4: Um balao de 60 ml esta cheio de mercurio a 0 C. Quando a tem-peratura sobre para 80 C, transbordam do balao 1.47 g de mercurio. Admitindoque o volume do balao permanece constante, calcule a densidade do mercurio a80 C, sabendo que a densidade a 0 C e 13.645× 103 kg/m3.

Exercıcio 3.5: Um prego e espetado verticalmente num pedaco de madeira,aplicando-se uma forca de 15 N na sua cabeca. O raio da cabeca do prego e de5 mm e o da ponta e de 0.1 mm. Qual e a pressao aplicada na cabeca do prego?Qual e a pressao exercida na madeira?

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Exercıcio 3.6: Para o recipiente da figura 3.1, e sabendo que ρlıquido = 2.0 g/cm3,determine a pressao e o valor da forca de pressao no ponto A, fundo do recipiente.

A


Exercıcio 3.7: Determine a pressao a que fica sujeito um peixe que se encontra150 m abaixo da superfıcie do mar.ρaguamar = 1.026 g/cm3.

Exercıcio 3.8: As areas do embolo A e da base do cilindro B do sistema es-quematizado na figura 3.2 sao, respectivamente, 40 cm2 e 400 cm2. O cilindroB tem 40 kg de massa. O sistema esta cheio de oleo com uma densidade de0.75 g/cm3. Determine o valor da forca que se deve exercer no cilindro A de modoa manter o equilıbrio. Considere que o embolo A tem massa desprezavel.

A

B


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Exercıcio 3.9: No sistema representado na figura 3.3, o lıquido mais denso temdensidade 1.2 g/cm3. Determine:

a) a desidade do outro lıquido;

b) a diferenca de pressao entre os pontos A e B, sabendo que A se situa a 5 cmda superfıcie livre do lıquido.

A B


Exercıcio 3.10: Calcule a composicao de uma liga de cobre e ouro que pesa2.50 N no ar e 2.35 N na agua.ρcobre = 8.96× 103 kg/m3, ρouro = 19.3× 103 kg/m3.

Exercıcio 3.11: O sistema representado na figura 3.4 esta em equilıbrio. Oscorpos A e B tem massas de 5.0 kg e 50 g, respectivamente. As areas das seccoesS1 e S2 da prensa sao, respectivamente, 500 cm2 e 25 cm2. Calcule o valor dovolume do corpo B, desprezando o peso da alavanca e os atritos.

S

AS

Bágua

B


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Exercıcio 3.12: Um bloco de um material com densidade ρ0 tem um peso P0 noar. Quando este bloco, com uma cavidade interior oca, e mergulhado num lıquidode densidade ρ, o seu peso passa a ser P . Determine o volume da cavidade.

Exercıcio 3.13: A crosta terrestre possui normalmente uma espessura de 33 kme a sua densidade e de ρc = 2800 kg/m3. A densidade do manto e de ρm =3300 kg/m3. A altura media dos Himalaias e de 7 km. Qual e a espessura previstapara a crosta sob os Himalaias se o modelo isostatico explicar completamente osuporte da montanha? (A espessura da crosta sob os Himalaias e 55 km).

Exercıcio 3.14: Um lıquido, de densidade 0.8 g/cm3 e de viscosidade de-sprezavel, percorre o sistema da figura 3.5 com um fluxo de 200 ml/minuto. Quale a diferenca de pressao entre A e B.

A

B


Exercıcio 3.15: Considere que a conduta da figura 3.6 e percorrida por agua quepara o caso pode ser considerada um fluıdo perfeito. Sabendo que SA = 25 cm2,SB = 16 cm2 e Q = 20 litros em 5 segundos , calcule:

A

B

Hg

H O


a) as velocidades de deslocamento da agua em A e B;

b) a diferenca de pressao entre as duas seccoes;

c) o desnıvel de mercurio no tubo em V, de seccao 1 cm2.

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Exercıcio 3.16: Com os dados da figura 3.7, calcule:

a) a velocidade de saıda da agua atraves do tubo;

b) a pressao no ponto B;

c) o caudal de escoamento.

A

B

500 cm

C


Exercıcio 3.17: Um tanque de seccao recta muito grande possui dois pequenosorifıcios, conforme indicado na figura 3.8. Calcule a altura do nıvel inicial h emfuncao de h1 e h2, sabendo que a agua que sai dos dois orifıcios atinge o solo nomesmo ponto.


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Exercıcio 3.18: Um sifao e um dispositivo usado para remover lıquidos de umrecipiente que nao pode ser tombado, conforme se mostra na figura 3.9. O tuboAC de seccao recta uniforme deve ser inicialmente cheio, permitindo em seguidaescoar o lıquido do recipiente, ate que o seu nıvel fique abaixo da abertura do tuboem A. O lıquido tem densidade ρ e viscosidade desprezavel. Calcule:

a) a velocidade com que o lıquido sai do tubo em C;

b) a pressao do lıquido no ponto mais alto B;

c) a maior altura possıvel h1 a que um sifao pode fazer subir a agua. Note queo lıquido deixa de subir quando a pressao em B for igual a pressao de vapordo lıquido, no caso da agua, ρva = 0.1 atm.

A

B

C


Exercıcio 3.19: Cada asa de um pequeno aviao tem uma area de 9.3 m2. Quandovoa horizontalmente a uma certa velocidade, o ar escoa sobre a superfıcie superiorda asa a velocidade de 49 m/s e sobre a superfıcie inferior de 40 m/s. Calcule opeso do aviao, considerando a densidade do ar igual a 1.2 kg/m3.

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3.1 Solucoes de hidrostatica e hidrodinamica

Solucao 3.1: 1.013× 105 Pa.

Solucao 3.2: 0.3 kg.

Solucao 3.3: ρleite = 1.03 g/cm3.

Solucao 3.4: ρ80 = 13.62× 103 kg/m3.

Solucao 3.5: P5 = 1.9× 105 Pa; P01 = 4.77× 108 Pa.

Solucao 3.6: PA = 1.2× 105 Pa; FA = 3.7× 103 N.

Solucao 3.7: 1.61× 106 Pa.

Solucao 3.8: 78.4 N para cima.

Solucao 3.9:

a) 0.8 g/cm3.

b) PB − PA = 196 Pa.

Solucao 3.10: 14 % da massa total e de cobre e 86 % e de ouro.

Solucao 3.11: 18.8 cm3.

Solucao 3.12: VC = P0g

1ρ − 1

ρ0

− P

ρg .

Solucao 3.13: 79.2 km

Solucao 3.14: PA − PB = 2.8× 10−3 Pa.

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Solucao 3.15:

a) vA = 1.6 m/s; vB = 2.5 m/s.

b) PA − PB = 1.845× 103 Pa.

c) 1.38 cm.

Solucao 3.16:

a) 9.9 m/s.

b) 8.2× 104 Pa.

c) 4.95 l/s.

Solucao 3.17: h = h1 + h2.

Solucao 3.18:

a)È

2g(d + h2).

b) patm − ρg(h1 + h2 + d).

c) 9.3 m.

Solucao 3.19: 8939 N.

26

Capıtulo 4

Termodinamica

Exercıcio 4.1: Um cilindro horizontal termicamente isolado, fechado em ambasas extremidades, esta equipado com um pistao condutor de calor e sem atrito quedivide o volume em dois compartimentos estanques diferentes. Inicialmente, opistao esta imobilizado de maneira que o compartimento a sua esquerda tem umvolume V0 e o compartimento a sua direita um volume 3V0. O compartimento daesquerda contem um gas perfeito monoatomico a temperatura T0 e a pressao 2P0.O compartimento da direita contem o mesmo gas a temperatura T0 e a pressaoP0. O pistao e entao solto.

a) Quais sao as temperaturas e pressoes em cada um dos compartimentos nonovo equilıbrio?

b) Quais sao so volumes?

c) Descreva os processos que levam o pistao ao repouso.

Exercıcio 4.2: Um tanque vertical cilındrico, de altura superior a 76 cm, temo extremo superior fechado por um pistao sem atrito, perfeitamente ajustado e depeso desprezavel. Dentro do cilindro, a pressao absoluta do ar e 1 atm. Faz-se opistao descer vertendo lentamente mercurio sobre ele, de modo que a temperaturado ar seja mantida constante. Qual e a altura da coluna de ar quando o mercuriocomeca a derramar-se pela parte superior do cilindro?

Exercıcio 4.3: Derrama-se mercurio na extremidade aberta de um tubo emforma de J com 1 cm2 de seccao, que e fechado na extremidade mais curta, ficandoo ar aı preso. Supondo que o ar se comporta como um gas perfeito, que quan-tidade de mercurio pode ser introduzida no tubo antes que este transborde? Os

27

Termodinamica

comprimentos dos ramos longo e curto do tubo sao, respectivamente, 1 m e 50 cm,e podem ser desprezados os efeitos da curvatura do fundo. Admita que a pressaoatmosferica e 75 cm Hg.

Exercıcio 4.4: Duas ampolas contendo ar, uma das quais com um volume tresvezes superior ao da outra, estao ligadas por um capilar de volume desprezavel. Ini-cialmente, as ampolas estao a mesma temperatura. A que temperatura e necessarioaquecer o ar na ampola maior para que a pressao duplique? Despreze a conducaode calor atraves do capilar.

Exercıcio 4.5: Um cilindro com 2.4 m de altura esta preenchido com 0.1 mol deum gas ideal nas condicoes normais de pressao e temperatura. O topo do cilindro eentao fechado com um pistao hermetico cuja massa e 1.4 kg, sendo o pistao largadoate ficar em equilıbrio (ver figura 4.1).

a) Determine a altura a que fica o pistao, admitindo que a temperatura do gasnao se altera, a medida que este vai sendo comprimido.

b) Suponha que o pistao e empurrado um pouco para baixo da sua posicao deequilıbrio sendo largado de seguida. Partindo do princıpio que a temperaturado gas se mantem constante, determine a frequencia de vibracao do pistao.


Exercıcio 4.6: Determine como varia a temperatura de um gas ideal ao sofrerum processo durante o qual P

√V se mantem constante e o volume do gas diminui.

28

Termodinamica

Exercıcio 4.7: Para o CO2, as constante da equacao de estado de Van de Waals,sao a = 0.37 Nm4/mol2 e b = 43 cm3/mol, respectivamente. Calcule a pressaoa 0 C a que se encontra uma mole de CO2 que ocupa um volume de 55 l e umvolume de 0.55 l, respectivamente, usando a equacao de estado de Van de Waals ea de um gas ideal e interprete os resultados obtidos.

Exercıcio 4.8: Um bloco de metal de 50 g e mantido durante algum tempo emagua a ferver. Seguidamente, o bloco e mergulhado num calorımetro de cobre demassa 100 g que contem 200 g de agua a 20 C. A temperatura de equilıbrio e 22 C.Qual o calor especıfico do metal? (Calor especıfico do cobre cp = 0.386 J/g/K).

Exercıcio 4.9: Um bloco de cobre com 75 g de massa e retirado de um forno emergulhado num recipiente de alumınio com 300 g de massa que contem 200 g deagua. A temperatura da agua sobe de 12 C para 27 C. Qual e a temperatura a queo forno se encontrava? Assuma que o bloco de cobre estava em equilıbrio termicocom o forno antes de ser retirado. (cp(cobre) = 0.386 J/g/K; cp(alumınio) =0.900 J/g/K).

Exercıcio 4.10: A temperaturas muito baixas, o calor especıfico de um metale dado por c = aT + bT 3. No caso do cobre, a = 0.0108 J/kg.K2 e b = 7.62 ×10−4 J/kg.K4.

a) Determine o calor especıfico do cobre a 4 K.

b) Calcule a energia que e necessario fornecer para elevar a temperatura de2.5 kg de cobre de 1 K para 3 K.

29

Termodinamica

Exercıcio 4.11: A figura 4.2 representa um diagrama de fase para a agua. Quetransicoes de fase se observam se fizermos o sistema evoluir segundo os percursosA, B e C indicados com setas na figura?

4

1

5

32

A

BC

GÁS

LIQ.SOL.

TEMPERATURA T

PRESSÃOp


Exercıcio 4.12:

a) Qual a energia libertada por uma mole de vapor de agua quando a suatemperatura baixa de 180 C para 100 C, se o arrefecimento se verificar apressao constante?

b) Qual a energia libertada por essa mesma quantidade de agua se se condensartotalmente, mantendo-se a temperatura de 100 C e a pressao atmosfericanormal?

c) Qual a quantidade de energia que se liberta se a temperatura da agua baixarde 100 C para 30 C?

d) Com base nos calculos efecutados (30 C e a temperatura aproximada dasuperfıcie da pele) explique porque e que uma queimadura com vapor de aguaa 100 C e mais grave do que uma queimadura com agua a ferver a 100 C?(Calor latente de vaporizacao da agua λv = 2.25 kJ/g; calor especıfico dovapor de agua a volume constante cv = 3R, considerando o vapor de aguacomo um gas perfeito).

30

Termodinamica

Exercıcio 4.13: Qual a energia que e necessario fornecer a 18 g de gelo que seencontra a temperatura de −50 C para que este atinja a temperatura de fusao(Tf = 0 C se P = 1 atm). Qual e a energia que e necessario fornecer a essamassa de gelo a 0 C para o fundir se a temperatura final da agua for 0 C. (Calorespecıfico do gelo a pressao constante cp = 0.5 cal/g.C; calor latente de fusao dogelo λf = 80 cal/g).

Exercıcio 4.14: A figura 4.3 representa o grafico da temperatura de umaamostra de 1 kg de agua em funcao do tempo, num experiencia em que esta eaquecida uniformemente. A fonte de calor utilizada tem um debito constante de3 kW. A quanto tempo correspondem os patamares A e B? (Calor de fusao do geloλf = 333 kJ/kg; calor de vaporizacao da agua λv = 2255 kJ/kg).

TEMP.( C)

TEMPO (s)


Exercıcio 4.15: A capacidade calorıfica, a volume constante, de um certa massade gas monoatomico e igual a 50 J/K. Determine o numero de moles de gas e acapacidade calorıfica a pressao constante dessa massa de gas.

Exercıcio 4.16: Calcule o trabalho realizado por uma mole de gas durante umaexpansao isotermica quase estatica de um volume inicial vi ate ao volume final vf ,quando a equacao de estado for:

a) P (v − b) = RT , com R e b constantes;

31

Termodinamica

b) Pv = RT1− B

v

, com R constante e B = f(T ).

Exercıcio 4.17: A figura 4.4 representa um ciclo descrito por um gas perfeito.A temperatura do gas no estado A e de 300 K.

a) Calcule a temperatura do gas nos estados B, C e D.

b) Calcule o trabalho realizado pelo sistema termodinamico que realiza o ciclorepresentado.

c) Qual o calor fornecido ao gas perfeito ao longo do ciclo?

d) Represente o ciclo num diagrama (P, T ).

A

100

1

200

2

P (atm)

V (l)

B

CD


Exercıcio 4.18: NA moles de um gas perfeito, no estado inicial A (pressao PA,volume VA, temperatura TA), sofrem as seguintes transformacoes: i) compressaoisotermica AB ate se atingir um volume igual a metade do volume inicial; ii)expansao isobarica BC, ate se atingir um volume igual a VA; iii) arrefecimentoCA a volume constante, ate se atingir a temperatura inicial TA.

a) Determine o valor das tres variaveis de estado P , V e T , no estado final decada transformacao, em funcao de PA, VA e TA, respectivamente.

b) Represente a evolucao temporal sofrida pelo ar num diagrama (P, V ).

c) Calcule o trabalho realizado sobre o gas, durante o ciclo, em funcao de PA

e VA.

32

Termodinamica

Exercıcio 4.19: Durante uma expansao adiabatica quase estatica de um gasperfeito, a pressao e dada, em qualquer instante, por PV γ = K, onde γ e K

sao constantes. Demonstre que o trabalho realizado pelo gas na expansao de umestado (Pi, Vi) ate um estado (Pf , Vf ) e igual a W = PiVi−Pf Vf

γ−1 . Se a pressao eo volume iniciais forem 10 atm e 1 l, respectivamente, e os valores finais 2 atm e3.16 l, qual o trabalho realizado por um gas em que γ = 1.4?

Exercıcio 4.20: Duas moles de um gas diatomico ideal sao comprimidas isoter-micamente de 18 l ate 8 l. Durante o processo, ocorre a transferencia de 170 caldo gas para o exterior.

a) Determine o trabalho realizado pelo gas e a variacao da energia interna dogas durante o processo, bem como as temperaturas inicial e final do gas.

b) Considere que a mesma quantidade de gas sofre a mesma reducao de volumeneste caso adiabaticamente e que neste processo o trabalho realizado sobreo gas e de 820 J. Determine a temperatura inicial e a pressao nos estadosincial e final.

c) Repita a alınea anterior para o caso de um gas monoatomico ideal.

Exercıcio 4.21: Numa expansao isotermica, um gas ideal, a uma pressao inicialP0, expande-se ate que o seu volume duplica.

a) Determine a sua pressao apos a expansao.

b) O gas e entao comprimido, adiabaticamente e quase estaticamente, de voltaao seu volume inicial, sendo nesse momento a pressao 1.32P0. O gas seramonoatomico, diatomico ou poliatomico?

Exercıcio 4.22: Uma mole de um gas monoatomico, inicialmente a temperaturaT , e submetido a um processo no qual a temperatura e quadriplicada e o volumereduzido a metade. Determine o calor transferido para o gas, considerando que,durante o processo, a pressao nunca foi inferior a pressao inicial e que o trabalhorealizado sobre o gas foi o mınimo possıvel.

33

Termodinamica

Exercıcio 4.23: O diagrama apresentado na figura 4.5 representa o conjunto detransformacoes sofridas por uma mole de um gas ideal. Na transformacao BC ogas e sujeito a uma transformacao isotermica e na transformacao CA a variacaoda energia interna do gas e igual a -3.0 kJ.

a) Caracterize o estado do gas em C.

b) Represente o conjunto das transformacoes num diagrama (V, T ).

c) Determine os valores do trabalho, calor e energia interna associados a cadauma das transformacoes.

C

12

1

50

P (atm)

V (l)

BA

0


Exercıcio 4.24: Calcule o acrescimo de entropia de um cubo de gelo de 1 cm dearesta ao fundir-se a temperatura ambiente num dia de calor (30 C). Ha algumadiferenca se for num dia frio? E se o cubo for fundido fornecendo-lhe apenastrabalho (por exemplo, esfregando-o sobre a mesa)? Justifique. (Calor de fusaodo gelo λf = 80 cal/g; volume especıfico do gelo a 0 C = 1.0907 cm3/g).

Exercıcio 4.25: Calcule o acrescimo de entropia ocasionado pela vaporizacaode 1 cm3 de agua a temperatura de 100 C. (Calor de vaporizacao da agua λv =540 cal/g).

Exercıcio 4.26: Porque e que depois de nevar faz menos frio? Use dados dosdois problemas anteriores para calcular a quantidade de calor libertada ao congelar1 kg de agua a 0 C. E ao condensar 1 kg de vapor a 100 C? Em cada um doscasos a entropria da agua aumenta ou diminui? E a do ambiente?

34

Termodinamica

Exercıcio 4.27: Se um esquimo pretendesse substituir o seu iglu por uma casade betao, que espessura deveriam ter as paredes para que a nova habitacao tivesseas mesmas caracterısticas termicas do iglu? (Espessura das paredes do iglu: 20 cm;condutibilidade termica da neve compacta: 0.46 W/m.K; condutibilidade termicado betao: 1.28 W/m/K;).

Exercıcio 4.28: Que potencia deve ter um aquecedor para manter uma temper-atura constante de 20 C numa sala com uma janela de 1 m2 de superfıcie numdia sem vento, em que a temperatura exterior e de 10 C? E se a temperaturaexterior for de 15 C e quisermos manter o quarto a 25 C? Despreze as perdasde calor pelas paredes e pela porta da sala. (Condutibilidade termica do vidro:0.8 W/m.K; espessura do vidro da janela: 2 mm).

Exercıcio 4.29:

a) O espectro da radiacao solar tem um maximo para o comprimento de ondade 483 nm. Admitindo que a radiacao do Sol tem as mesmas caracterısticasque a emitida por um corpo negro, qual a temperatura do sol?

b) Num dia de bom tempo, em que a temperatura da superfıcie da Terra sejade 300 K, qual o comprimento de onda da radiacao mais intensa emititda,na aproximacao de que a superfıcie terrestre se comporta como um corponegro?

c) Durante a noite, a temperatura que corresponde a radiacao mais intensaemitida pelas estrelas na nossa regiao da galaxia onde a Terra se encontra emuito baixa, embora superior a 3 K. Porque e que a superfıcie da Terra naoiluminada pelo Sol durante a noite nao tende a ficar a essa temperatura?

Exercıcio 4.30: Num quarto a cerca de 29 C, a temperatura da superfıcie dapele de uma pessoa (cerca de 1.5 m2), sem roupa e em repouso, e de 33 C. Aemissividade para as frequencias na regiao do espectro visıvel varia com a cor dapele. No entanto, para a radiacao emitida de maior intensidade (infravermelhosde grande comprimento de onda) tem-se e ' 1 (corpo negro).

a) Calcule a potencia perdida por radiacao. Note que a pessoa perde calor porradiacao a temperatura do corpo mas absorve radiacao ambiente a temper-atura do quarto.

b) Sabendo que a perda de calor por conducao e desprezavel e que a perdapor conveccao nestas condicoes e de cerca de 50% do total, quantas caloriastem a pessoa que ingerir por dia so para assegurar o seu metabolismo nestascondicoes?

35

Termodinamica

4.1 Solucoes de termodinamica

Solucao 4.1:

a) T0; 5P0/4.

b) Ve = 8V0/5; Vd = 12V0/5.

Solucao 4.2: 76 cm.

Solucao 4.3: 125 cm3.

Solucao 4.4: 3T0.

Solucao 4.5:

a) 2.1 m.

b) 0.97 Hz.

Solucao 4.6: Diminui.

Solucao 4.7: PvdW = 41.2 kPa; PGP = 41.3 kPa; PvdW = 3.26 MPa; PGP =4.13 MPa;.

Solucao 4.8: 0.45 J/g/K.

Solucao 4.9: 601 C.

Solucao 4.10:

a) 0.092 J/Kg/K.

b) 0.146 J.

Solucao 4.11: A: solido-vapor (sublimacao) em 1; B: solido lıquido (fusao) em2, lıquido-vapor (ebulicao) em 3; C: nao ha transicao de fase de 4 para 5 (percursoacima do ponto crıtico).

36

Termodinamica

Solucao 4.12:

a) 2.66 kJ.

b) 40.5 kJ.

c) 5.3 kJ.

Solucao 4.13: 450 cal; 1440 cal.

Solucao 4.14: tA = 1 min 51 s; tB = 12 min 32 s.

Solucao 4.15: 4 mol; 83 J/K.

Solucao 4.16:

a) RT ln

vf−bvi−b

.

b) RT ln

vf

vi

+ RTB

1vf− 1

vi

.

Solucao 4.17:

a) TB = 600 K; TC = 300 K; TD = 150 K.

b) 10.13 kJ.

c) 10.13 kJ.

Solucao 4.18:

a) B: P = 2PA, V = VA/2, T = TA; C: P = 2PA, V = VA, T = 2TA; A:P = PA, V = VA, T = TA.

b)

c) PAVA(ln 2− 1).

Solucao 4.19: 932 J.

Solucao 4.20:

37

Termodinamica

a) W = −711 J; ∆U = 0 J; TA = TB = −220 C.

b) TA = −222 C; PA = 0.47 atm; PB = 1.46 atm.

c) TA = −227 C; PA = 0.42 atm; PB = 1.62 atm.

Solucao 4.21:

a) P2 = P0/2.

b) Diatomico.

Solucao 4.22: 4RT .

Solucao 4.23:

a) P = 4.17 atm, V = 12 l, T = 609 K.

b)

c) Transicao AB: Q = 6.8 KJ, W = 3.8 kJ, ∆U = 3.0 kJ; Transicao BC:Q = −7.2 KJ, W = −7.2 kJ, ∆U = 0.0 kJ; Transicao CA: Q = −3.0 KJ,W = 0.0 kJ, ∆U = −3.0 kJ; Ciclo completo: Q = −3.4 KJ, W = −3.4 kJ,∆U = 0.0 kJ;

Solucao 4.24: ∆S = ∆Q/T = 0.27 cal/K; Nao porque Tgelo se mantemconstante; ∆S seria o mesmo porque a entropia e uma funcao do estado.

Solucao 4.25: 1.447 cal/K.

Solucao 4.26: 335 kJ; 2260 kJ; A entropia da agua diminui e a do ambienteaumenta.

Solucao 4.27: 56 cm.

Solucao 4.28: 4 kW; 4 kW (so depende de ∆T ).

Solucao 4.29:

a) 6000 K.

38

Termodinamica

b) 10 µm (infravermelho).

c) Por causa da atmosfera: o vapor de agua e o dioxido de carbono absorvemsobretudo os infravermelhos, reemitindo-os para a superfıcie da Terra (efeitode estufa).

Solucao 4.30:

a) 38 W.

b) 1.6 Mcal.

39

Termodinamica

40

Capıtulo 5

Electrostatica

Exercıcio 5.1: Nos vertices de um quadrado ABCD, com 10 cm de lado, estaocolocadas cargas pontuais de +50 µC em A e B e de −100 µC em C e D. Calculeo campo electrico no centro do quadrado.

Exercıcio 5.2: A figura 5.1 representa um quadrado de 10 cm de lado assentenum plano horizontal, nos vertices do qual existem quatro cargas iguais de 20 nC.Determine a carga a colocar no ponto E de forma a que uma partıcula, de massa20 mg e carga −10 nC, posicionada no ponto P, fique suspensa. Os pontos E e Psituam-se sobre o eixo do quadrado e OP = PE = 10 cm.

O

P

E

A B

CD


41

Electrostatica

Exercıcio 5.3: No campo criado pela carga Q = 4 µC, considere sobre a mesmalinha de forca, dois pontos A e B como ilustra a figura 5.2. Determine:

a) Os potenciais electricos em A e B.

b) O trabalho realizado pela forca do campo para deslocar a carga q = 10−8 Cde A para B.

c) A velocidade ~v com que deve ser lancada de B, sobre a referida linha de forcae em direccao a Q, uma partıcula de carga q = 10−8 C e massa m = 40 gpara que atinja A com velocidade nula (suponha que o meio e o vacuo).

X

A

0.1m

BQ

0.1m


Exercıcio 5.4: Nos vertices de um hexagono regular de lado a, estao colocadasseis cargas pontuais, de modulo Q, como indica a figura 5.3.

+Q

+Q

-Q

-Q

-Q +Q

a


a) Calcule a energia total armazenada nesta distribuicao.

b) Calcule o potencial no centro do hexagono.

Exercıcio 5.5: Em tres vertices de um quadrado com 1.0 m de lado estaocolocadas as seguintes cargas pontuais: Q1 = +4.0 µC, Q2 = +3.0 µC e Q3 =−2.0 µC. Determine:

a) O potencial electrico no centro do quadrado.

b) A carga Q4, a colocar no vertice livre, de modo que o potencial electrico setorne nulo no centro do quadrado.

42

Electrostatica

Exercıcio 5.6: A figura 5.4 mostra como varia um dado potencial electrico aolongo do eixo OX. Trace o grafico que representa a variacao da componente Ex docampo electrico que lhe corresponde.

a X (m)

V(V)

3V

2V

V

b c d


Exercıcio 5.7: O potencial electrico num espaco a uma dimensao e dado porV (x) = C1 + C2x

2, com V em Volts, x em metros e C1 e C2 constantes positivas.Calcule o campo electrico E nessa regiao do espaco.

Exercıcio 5.8: Um campo electrico numa certa regiao do espaco e dado pelaexpressao Ex = 2x3 kN/C. Calcule a diferenca de potencial entre dois pontos doeixo dos XX, dados por x = 1 m e x = 2 m.

Exercıcio 5.9: O momento dipolar ~p = Q~a de um dipolo faz um angulo θ coma direccao de um campo electrico uniforme ~E confome ilustra a figura 5.5

+Q

E

-Q


a) Calcule o momento do binario a que o dipolo esta sujeito.

b) Determine o trabalho realizado pelo campo para inverter a posicao do dipolo,desde a sua posicao de equilıbrio estavel ate a posicao oposta.

43

Electrostatica

Exercıcio 5.10: A superfıcie cubica fechada de aresta a, representada na figura5.6, e colocada numa regiao onde existe um campo electrico paralelo ao eixo OX.Determine o fluxo do campo atraves da superfıcie cubica e a carga total contidano interior da superfıcie, considerando que o campo electrico:

a) e uniforme, ~E = k1ı (k1 e constante).

b) varia de acordo com ~E = k2xı (k2 e constante).

EX

Y

Z

A B

H

E F

G

D C


Exercıcio 5.11: Uma distribuicao uniforme e linear de carga com densidadeλ = 3.5 nC/m estende-se de x = 0 m a x = 5 m.

a) Determine a carga total.

b) Calcule o campo electrico para x = 6 m, x = 9 m e x = 250 m (comparecom o resultado que obteria se toda a carga estivesse concentrada no centroda distribuicao linear).

Exercıcio 5.12: Um anel circular, fino, de 3 cm de raio, tem uma carga de10−3 C uniformemente distribuıda.

a) Qual e a forca exercida sobre uma carga de 10−2 C colocada no seu centro?

b) Qual seria a forca exercida sobre essa mesma carga se ela estivesse colocadaa 4 cm do plano do anel, sobre o seu eixo?

44

Electrostatica

Exercıcio 5.13: Uma carga de 2.75 µC encontra-se uniformemente distribuıdanum anel circular, considerado sem espessura, de 8.5 cm de raio.

a) Calcule o campo electrico no eixo do anel para distancias de 1.2 cm, 3.6 cme 4.0 cm do centro do anel e sobre o seu eixo.

b) Repita os calculos da alınea anterior usando a aproximacao de que a cargae uma carga pontual na centro do anel e compare os resultados.

Exercıcio 5.14: Considere duas distribuicoes superficiais de carga, planas einfinitas de densidades σ1 e σ2. Calcule o campo electrico no espaco que as rodeiase:

a) os dois planos forem paralelos, separados de uma distancia d.

b) os dois planos forem ortogonais.

Exercıcio 5.15: Tres planos extensos A, B e C, paralelos e isolantes, estaoseparados de uma distancia 1 cm entre si. Os planos encontram-se uniformementecarregados com densidades de carga σA = 2× 10−7 C/m2, σB = 4× 10−7 C/m2 eσC = 6×10−7 C/m2. Calcule as diferencas de potencial entre os diferentes planos:VB − VA, VC − VB e VC − VA.

Exercıcio 5.16: Duas superfıcies condutoras isoladas, esfericas e concentricas, deraios 5 cm e 10 cm, estao aos potenciais 2.7×104 V e 9.0×106 V, respectivamente.Determine as cargas em cada uma das esferas e a energia do conjunto.

Exercıcio 5.17: Tres esferas ocas e concentricas, tem raios R1 = 1 m, R2 = 2 me R3 = 3 m. A esfera de menor raio foi carregada com 1µ C e a de maior raio com-2µ C. A esfera intermedia foi ligada a Terra.

a) Calcule o potencial electrico das esferas.

b) Calcule as cargas e os potenciais da esferas se a esfera intermedia for desli-gada da Terra e ligada por um fio condutor a esfera de menor raio.

Exercıcio 5.18: Uma esfera carregada A, de 2 cm de raio, poe-se em contactoatraves de um fio longo com uma esfera descarregada B, de 3 cm de raio. Depoisde desligar as esferas, a energia da esfera B e 0.4 J. Qual o valor da carga de A

antes de as esferas serem postas em contacto?

45

Electrostatica

Exercıcio 5.19: Um condensador tem armaduras planas paralelas, de 500 cm2

de area, separadas de 1 cm. Aplica-se uma diferenca de potencial de 2000 V entreas armaduras, isolando-as depois de atingir o equilıbrio.

a) Qual a energia armazenada no condensador?

b) Uma folha metalıca com 2 mm de espessura, descarregada e isolada, e intro-duzida a meia distancia entre as armaduras, ficando paralela a estas. Quala capacidade do condensador obtido? Que trabalho e realizado pelas forcaselectricas durante esta operacao e qual e a diferenca de pontencial entre asarmaduras?

Exercıcio 5.20: Um condensador tem capacidade variavel entre 5 pF e 200 pF.Quando o condensador esta na posicao de capacidade maxima, liga-se aos seuselectrodos uma bateria de 10 V ate que se atinge o equilıbrio. Com o condensadorisolado reduz-se entao a capacidade ao mınimo. Determine a carga e a diferencade potencial entre as armaduras nesta posicao.

Exercıcio 5.21: Os condensadores de cada um dos circuitos da figura 5.7 estaoinicialmente descarregados. Para cada circuito, faz-se a ligacao 0-1 ate se atingiro equilıbrio. Em seguida, desfaz-se esta e faz-se a ligacao 0-2. Determine a dis-tribuicao final das cargas e a energia armazenada em cada condensador.No circuito 1: C1 = 2 µF, C2 = 4 µF, C3 = 4 µF e ε = 100 VNo circuito 2: C1 = 1 µF, C2 = 2 µF, C3 = C4 = 0.5 µF e ε = 20 V

C

C

01

2

C

C

C

0

C

C

12

1 2


Exercıcio 5.22: Considere a associacao de condensadores da figura 5.8, ini-cialmente descarregados. O condensador de 4 µC nao suporta uma diferenca depotencial entre os seus terminais superior a 100 V.C1 = C2 = 1 µC, C3 = 4 µC e C4 = C5 = 2 µC

46

Electrostatica

a) Determine o valor maximo da tensao que se pode aplicar entre A e B.

b) Nessas condicoes, determine a carga de cada condensador.

C

C

A

C

C

B

C


Exercıcio 5.23: Entre duas placas paralelas de area A, distanciadas entre si ded, foram colocados dois dielectricos diferentes de constantes k1 e k2, como indica afigura 5.9. Calcule, em cada um dos casos, a capacidade dos condensadores assimobtidos.

1

K K

A/2 A/2

2

K

K

A/2 A/2

dd/2

d/2


47

Electrostatica

5.1 Solucoes de electrostatica

Solucao 5.1: 3.8× 108 N/C.

Solucao 5.2: 65 nC.

Solucao 5.3:

a) VA = 3.6× 105 V; VB = 1.8× 105 V.

b) W = 1.8× 10−3 J.

c) 0.3 m/s.

Solucao 5.4:

a) −3.6× 1010 Q2

a .

b) V = 0 V.

Solucao 5.5:

a) V = 64 kV.

b) Q4 = −5 µC.

Solucao 5.6:

Solucao 5.7: E = −2C2x.

Solucao 5.8: V1 − V2 = 7.5 kV.

Solucao 5.9:

a) ~M = ~p ∧ ~E.

b) W = −2pE.

48

Electrostatica

Solucao 5.10:

a) Φ = 0, Qint = 0.

b) Φ = k2a3, Qint = ε0k2a

3.

Solucao 5.11:

a) Q = 17.5 nC.

b) E6 = 26 N/C; E9 = 4.4 N/C; E250 = 2.6 mN/C.

Solucao 5.12:

a) F = 0 N.

b) F = 2.88× 107 N.

Solucao 5.13:

a) E1.2 = 4.7× 105 N/C; E3.6 = 1.1× 106 N/C; E4.0 = 1.2× 106 N/C.

b) E1.2 = 1.7× 108 N/C; E3.6 = 1.9× 107 N/C; E4.0 = 1.5× 107 N/C.

Solucao 5.14:

a) Ex = −σ1+σ22ε0

para −∞ < x < 0Ex = σ1−σ2

2ε0para 0 < x < d

Ex = σ1+σ22ε0

para d < x < +∞b) Sendo o eixo OX paralelo ao plano 2, tem-se:

~E = 12ε0

(σ1ı + σ2) no primeiro quadrante~E = 1

2ε0(−σ1ı + σ2) no segundo quadrante

~E = −12ε0

(σ1ı + σ2) no terceiro quadrante~E = 1

2ε0(σ1ı− σ2) no quarto quadrante

Solucao 5.15: VB − VA = 452 V; VC − VB = 0 V; VC − VA = 452 V.

Solucao 5.16: Q1 = −100 µC; Q2 = 200 µC; E = 900 J.

49

Electrostatica

Solucao 5.17:

a) V1 = 4.5 kV; V2 = 0 V; V3 = −2 kV.

b) Q′1 = 0 C; Q′

2 = 1.3 µC; Q′3 = −2 µC; V ′

1 = V ′2 = 0 V; V ′

3 = −2 kV.

Solucao 5.18: QA = ±2.7 µC.

Solucao 5.19:

a) E = 8.84× 10−5 J.

b) C ′ = 5.5× 10−11 F; W = E −E′ = 1.77× 10−5 J; V ′ = 1600 V.

Solucao 5.20: Q = 2 nC; ∆V = 400 V.

Solucao 5.21:No circuito 1: Q1 = 67 µC; Q2 = 133 µC; Q3 = 200 µC; E1 = 1.1 mJ; E2 = 2.2 mJ;E3 = 5 mJ.No circuito 2: Q1 = 12.9 µC; Q2 = 14.3 µC; Q3 = 6.4 µC; Q4 = 5 µC; E1 = 83 µJ;E2 = 51 µJ; E3 = 41 µJ; E4 = 25 µJ.

Solucao 5.22:

a) Vmax = 300 V.

b) Q1 = Q2 = 200 µC; Q3 = 400 µC; Q4 = Q5 = 300 µC.

Solucao 5.23: C1 = k1+k22 ε0

Ad ; C2 = 2k1k2

k1+k2ε0

Ad ;

50

Capıtulo 6

Corrente Contınua

Exercıcio 6.1: Um condutor de cobre de 1.5 mm2 de seccao (mınimo permitidoem instalacoes electricas), tem uma resistividade de 1.72×10−8 Ω.m a temperaturade 20 C. Qual a resistencia dos condutores de um circuito (2 fios) com 85 m deextensao?

Exercıcio 6.2: Um bloco de carbono (ρc = 3500 × 10−8 Ω.m) tem 3.0 cm decomprimento e uma seccao transversal quadrada com 0.5 cm de lado. Sabendoque e mantida uma diferenca de potencial de 8.4 V ao longo do seu comprimento,determine a resistencia do bloco e a corrente que o atravessa.

Exercıcio 6.3: Determine a resistencia equivalente entre os pontos A e B paracada um dos circuitos da figura 6.1. Comente o resultado.R = 4 Ω.

4R

R

2R

2R

6R

A

B

14R

R

2R

2R

6R

A

B

2


51

Corrente Contınua

Exercıcio 6.4: No circuito da figura 6.2, considere desprezaveis as resistenciasinternas do gerador e do amperımetro. Determine para as posicoes 0-1 e 0-2 docomutador:

a) a razao entre as leituras feitas no amperımetro.

b) a razao entre as potencias consumidas no circuito.

R

0

2

1

A

3R 3R

R

3R


Exercıcio 6.5: No circuito da figura 6.3, as resistencias internas dos geradoressao desprezaveis em face das restantes, sendo a do amperımetro A2 de 20 Ω.Determine:

a) Os valores de ε1 e de ε2 sabendo que, quando o amperımetro A1 indica ovalor zero, o amperımetro A2 indica 10 mA.

b) A corrente que passa em A1 quando se invertem os polos do gerador ε1 e oamperımetro A2 marca o valor zero.

c) A resistencia interna de A1, r.

R1 = 80 Ω, R2 = 100 Ω

R

A

A

R


52

Corrente Contınua

Exercıcio 6.6: Uma bateria de automovel de 12 V possui uma resistencia internade 0.4 Ω.

a) Qual a potencia dissipada se a bateria for momentaneamente curto-circuitada?

b) Qual a diferenca de potencial aos terminais da bateria quando esta forneceuma corrente de 20 A ao motor de arranque?

Exercıcio 6.7: No circuito representado na figura 6.4, ε = 3ε1 e ε2 = 2ε1,sendo desprezaveis as resistencias internas dos geradores.Determine a diferenca depotencial VA − VB.

R

R

R

A B


Exercıcio 6.8: No circuito representado na figura 6.5, o amperımetro e o voltımetroacusam valores de 2 A e 180 V, respectivamente.

a) Que valores esperaria medir nos aparelhos de medida caso os considerasseideais?

b) Calcule a resitencia interna de cada aparelho.

R1 = 35 Ω, R2 = 100 Ω, r = 10 Ω, ε = 300 V

R

A

R V,r


53

Corrente Contınua

Exercıcio 6.9: No circuito da figura 6.6, A1 e A2 sao amperımetros ideais e ogerador de forca electromotriz ε3 tem resistencia interna desprezavel.

a) Estabelecida a ligacao 0-1, verifica-se que A1 indica o valor zero e que apotencia dissipada no circuito e 2 W. Calcule o valor de ε1 e ε3.

b) Desfaz-se a ligacao 0-1 e faz-se a ligacao 0-2. Sabendo que, nestas condicoes,a potencia dissipada na resistencia R1 e nula, determine o valor indicadopelo amperımetro A2 e a resistencia interna do gerador ε2.

R1 = 110 Ω, R2 = 40 Ω, R3 = 50 Ω, ε2 = 9 V

02 1

A

R

R

A

R

,r ,r


Exercıcio 6.10: Na figura 6.7 esta representado o circuito da ponte de Wheat-stone, para medicao de resistencias. Rx e a resistencia desconhecida, R0 e a re-sistencia padrao e G e o galvanometro ligado ao contacto deslizante C, o qual seapoia sobre um fio homogeneo AB de grande resistencia.Demonstre que, na ausencia de corrente no galvanometro, se verifica a relacaoRx/R0 = AC/CB

A

R

G

R

BC


54

Corrente Contınua

Exercıcio 6.11: Os geradores do circuito representado na figura 6.8 tem re-sistencia interna desprezavel e RAB = 50 Ω.

a) Qual deve ser o valor da resistencia entre o ponto A e a posicao C do cursor,para que o galvanometro nao acuse passagem de corrente?

b) Qual a potencia dissipada na resistencia R0 quando o cursor esta em cadauma das posicoes extremas?

ε0 = 30 V, R0 = 30 Ω, ε1 = 9 V, R1 = 120 Ω

AR

GR

BC


Exercıcio 6.12: Considere ideais os aparelhos de medida representados no cir-cuito da figura 6.9.

a) Determine as leituras dos aparelhos quando o interruptor esta aberto.

b) Determine o valor da intensidade da corrente que percorre a resistencia R2,quando o interruptor esta fechado.

ε1 = 12 V, r1 = 1 Ω, ε2 = 8 V, r2 = 2 Ω, ε3 = 10 V, R1 = 2 Ω, R2 = 15 Ω

3R

A

2R

V

R

R

,r

,r


55

Corrente Contınua

Exercıcio 6.13: Sabendo que o galvanometro G da figura 6.10 nao suportacorrentes superiores a 10 mA e que a sua resistencia interna e de 25 Ω, calcule osvalores das resistencias R1, R2 e R3 do ”amperımetro”de 3 escalas esquematizado.

10A

G

R

Comum

R R

1A 0.1A


Exercıcio 6.14: Em equilıbrio, qual e a diferenca de potencial aos terminais docondensador do circuito da figura 6.11, considerando o gerador ideal.ε1 = 36 V, R1 = 10 Ω, R2 = 40 Ω, R3 = 80 Ω, R4 = 20 Ω, C1 = 10 µC

R

C

R

R R


Exercıcio 6.15: Calcule a diferenca de potencial aos terminais dos conden-sadores da figura 6.12 em equlıbrio, desprezando a resistencia interna do gerador.ε1 = 12 V, R1 = 100 Ω, R2 = 50 Ω, R3 = 150 Ω, C1 = 10 µF, C2 = 50 µF

R

R

C C

R


56

Corrente Contınua

Exercıcio 6.16: Os condensadores do circuito da figura 6.13 estao inicialmentedescarregados e o gerador tem resistencia interna desprezavel.

a) Determine a carga do condensador C1 e a corrente que atravessa R1 quandose estabelece a ligacao 0-1.

b) Determine, uma vez reestabelecido o equilıbrio, a energia armazenada nocondensador C1 quando se desfaz a ligacao 0-1 e se estabelece a ligacao 0-2.

ε = 10 V, R1 = 5 Ω, R2 = R3 = 10 Ω, R4 = 20 Ω, C1 = 2 µF, C2 = C3 = 1 µF

R

0

21

R

R

C

C

C

R


Exercıcio 6.17: No circuito da figura 6.14, o amperımetro A2 pode considerar-seideal, o amperımetro A1 tem resistencia interna de 10 Ω e os condensadores estaoinicialmente descarregados.

a) Com o interruptor aberto, determine os valores indicados nos aparelhos demedida e a diferenca de potencial VA − VB.

b) Com o interruptor fechado, e depois de atingido o equilıbrio, determine osvalors indicados pelos aparelhos de medida e carga de cada condensador.

ε1 = 20 V, ε2 = 10 V, R1 = 3.3 kΩ, R2 = 1 kΩ, R3 = 10 Ω,C1 = 10 µF, C2 = 4.7 µF, C3 = 2.2 µF

R

R

C

C

R

A

A

C

V

A

B


57

Corrente Contınua

6.1 Solucoes de Corrente Contınua

Solucao 6.1: R = 1.95 Ω.

Solucao 6.2: R = 42 mΩ; I = 6.5kA.

Solucao 6.3: R1 = R2 = 6 Ω.No circuito 1, o potencial entre as resistencias 2R e R e igual ao potencial entreas resitencias 4R e 2R (lei de Ohm).

Solucao 6.4:

a) IA1IA2

= 3.1.

b) P1P2

= 1.36.

Solucao 6.5:

a) ε1 = 1 V; ε2 = 2 V.

b) I = 20 mA.

c) r = 50 Ω.

Solucao 6.6:

a) P = 360 W.

b) ∆V = 4 V.

Solucao 6.7: VA − VB = 2ε1.

Solucao 6.8:

a) I = 2.07 A; V = 207 V.

b) RiV = 900 Ω; RiA = 15 Ω.

58

Corrente Contınua

Solucao 6.9:

a) ε1 = 4 V; ε3 = 20 V.

b) I = 222 mA; r2 = 40.5 Ω.

Solucao 6.10:

Solucao 6.11:

a) RAC = 24 Ω.

b) PA = 4.2 W; PB = 5.3 W.

Solucao 6.12:

a) I = 2.8 A; V = 2.5 V.

b) I = 0 A.

Solucao 6.13: R1 = 0.028 Ω; R2 = 0.25 Ω; R3 = 2.5 Ω.

Solucao 6.14: ∆V = 20 V.

Solucao 6.15: ∆V1 = 8 V; ∆V2 = 6 V.

Solucao 6.16:

a) Q1 = 0 C; I1 = 1 A.

b) E = 6.25 µJ.

Solucao 6.17:

a) I1 = 9 mA; I2 = 0 A; V = 0 V; VA − VB = −9.8 V.

b) I1 = 9 mA; I2 = 0 A; V = 5.8 V; Q1 = 40 µC; Q2 = 27 µC; Q3 = 13 µC;

59

Corrente Contınua

60

Capıtulo 7

Electromagnetismo

Exercıcio 7.1: Um atomo de hidrogenio, descrito por um modelo simplificado,consiste num protao e num electrao de carga qe = −1.6 × 10−19 C que se movenuma orbita circular de raio 0.5×10−10 m em torno do protao, com uma frequencia1013 Hz. Calcule o campo magnetico no nucleo devido ao movimento do electrao.

Exercıcio 7.2: A corrente que percorre o fio representado na figura 7.1 e de 8 A.Calcule o campo magnetico criado por esta corrente no ponto P, situado a meiodo segmento a tracejado.

2 cm

8 AP

1 cm


Exercıcio 7.3: Para cada um dos fios representado na figura 7.2 calcule o campomagnetico no ponto P, quando sao percorridos por uma corrente de 15 A.

R I

P

R

R

I

P

1 2


61

Electromagnetismo

Exercıcio 7.4: Dois fios condutores infinitos, rectilıneos e paralelos, na posicaohorizontal estao separados duma distancia de 1 m, sendo I1 = 6 A, ”entrando”noplano da pagina, como mostra a figura 7.3.

a) Qual deve ser o modulo e sentido da corrente I2 para que o campo resultanteno ponto P seja nulo?

b) Quais sao entao os modulos do campo resultante em Q e em S?

I

S

1.0 mI

PQ 0.5 m0.5 m

0.8 m 0.6 m


Exercıcio 7.5: Tres fios rectilıneos paralelos e infinitos, equidistantes entre si de20 cm, sao percorridos por correntes de intensidades I1 = 2 A, I2 = 4 A e I3 = 4 Acom os sentidos indicados na figura 7.4. Uma corrente de intensidade I4 percorreum outro fio infinito, paralelo aos primeiros, equidistante do ponto A (que formaum losango com I1, I2 e I3 na figura) e da corrente I3. Qual deve ser o valor de I4

para que o campo magnetico em A seja perpendicular ao plano definido por I1, I2

e I4?

I

A

20 cm

II

I


Exercıcio 7.6: Um circuito, com a forma de um triangulo equilatero de lado` e percorrido pela corrente I. Determine o raio da espira circular centrado nocentro do triangulo e assente no mesmo plano que, percorrida igualmente por umacorrente I, anula o campo no centro comum.

62

Electromagnetismo

Exercıcio 7.7: Na figura 7.5 estao representados dois fios muito longos tendoambos um arco semicircular. Um dos fios, que forma uma semicircunferencia de3 cm de raio, e percorrido por uma corrente I1 = 5 A. O outro fio e percorrido poruma corrente I2 = 7.5 A, sendo de 9 cm o raio do seu arco semicircular. Sendo ossentidos de I1 e I2 os indicados na figura, calcule, justificando, o campo magneticono centro comum aos dois arcos.

R

R

I

I

O


Exercıcio 7.8: Calcule o campo magnetico criado no ponto C da figura 7.6,pela corrente I. Note que as porcoes (1) e (3) da corrente sao semi-infinitas eperpendiculares ao plano que contem a porcao (2), e C e o centro desta porcaocircular.

C

(1)(3)

(2)

R


Exercıcio 7.9: Uma partıcula tem carga Q = 4 × 10−9 C. Quando se move noplano YZ com velocidade ~v1 de modulo 3 × 104 m/s fazendo um angulo de 45

com o semi-eixo positivo dos YY, num campo magnetico uniforme, fica sujeita auma forca ~F1 na direccao do eixo dos XX. Quando se move com velocidade ~v2

igual a 2 × 104ı (m/s), o mesmo campo magnetico exerce sobre ela uma forca ~F2

de 4× 10−5 (N).

a) Qual a grandeza, direccao e sentido do campo magnetico?

b) Qual a grandeza de ~F1?

63

Electromagnetismo

Exercıcio 7.10: Calcule a direccao e sentido da velocidade mınima de uma cargaq = 3.204× 10−19 C que da origem a forca magnetica representada na figura 7.7,admitindo que se encontra numa regiao onde existe um campo magnetico uniforme.

Z

X

Y

Q

F

B


Exercıcio 7.11: Dois fios condutores rectilıneos e infinitos estao a uma distanciade 60 cm e sao percorridos por correntes de 20 A, em sentidos contrarios, comomostra a figura 7.8. Um terceiro fio, paralelo aos outros dois e percorrido tambempor uma corrente de 20 A, esta colocado a 40 cm do ponto medio do segmento queune os outros dois. Determine o modulo, direccao e sentido da forca por unidadede comprimento que actua no terceiro fio:

a) se a corrente que o percorre ”sai”do plano da pagina;

b) se a corrente ”entra”no plano da pagina.

60 cm P40 cm


Exercıcio 7.12: Dois fios rectilıneos e muito compridos, cada um deles percor-rido por uma corrente de 9 A, no mesmo sentido, sao colocados paralelamente.Calcule a forca que cada um exerce sobre o outro quando separados por 0.1 m.

64

Electromagnetismo

Exercıcio 7.13: Um fio condutor com a forma de uma semi-circunferencia deraio R e percorrido por uma corrente de intensidade I. Calcule o modulo da forcaque e exercida sobre o fio, se na regiao onde se encontra passar a existir um campomagnetico uniforme ~B = Bk, estando o fio no plano XOY.

Exercıcio 7.14: Uma espira rectangular pode girar livremente em torno do eixodos YY e e percorrida por uma corrente de 10 A no sentido indicado na figura7.9. Admitindo que a espira esta sob a accao de um campo magnetico uniforme de0.2 T, paralelo ao eixo dos XX, calcule a forca em cada lado da espira e o momentodo binario necessario para manter a espira na posicao indicada.

Z

X

Y

A

B

D

C

8 cm

cm


Exercıcio 7.15: Numa certa localidade, o campo magnetico terrestre tem aintensidade de 0.5 × 10−4 W/m2, faz um angulo de 60 com a horizontal e edirigido de cima para baixo. Calcule o modulo da forca exercida por este campomagnetico num condutor de 3 m de comprimento no qual circula uma corrente de100 A quando:

a) o condutor e vertical;

b) o condutor e paralelo a componente horizontal do campo;

c) o condutor e perpendicular a componente horizontal do campo e esta noplano horizontal.

65

Electromagnetismo

Exercıcio 7.16: Considere o circuito esquematizado na figura 7.10 e determine:

a) as correntes em cada ramo do circuito, indicando os respectivos sentidos;

b) o campo magnetico no ponto O, centro do quadrado ACEG de lado 80 cm,criado pela seccao rectilınea AHG do circuito;

c) o campo magnetico no ponto O criado pela seccao semicircular BDF;

d) o campo magnetico total no ponto A criado pelas duas seccoes referidas.

ε = 20 V , r = 2 Ω, R = 2 Ω

5R

4R3R

4R

D

E

C B A

H

F G

O,r


Exercıcio 7.17: Considere o circuito da figura 7.11. Calcule o campo magneticocriado no ponto P pela porcao de fio condutor entre C e D.ε1 = 4 V , ε2 = ε3 = 5 V , ε4 = 7 V , R = 2 Ω

10RDC P

2R

5R

3R

r2r


66

Electromagnetismo

7.1 Solucoes de electromagnetismo

Solucao 7.1: B = 2× 10−2 T.

Solucao 7.2: B = 2.3× 10−4 T.

Solucao 7.3: B1 = 4.7×10−6

R (SI),N

; B2 = 4.7× 10−6

1R1− 1

R2

(SI),

J.

Solucao 7.4:

a) I2 = 2 A,J

.

b) BQ = 2.1× 10−6 T; BS = 1.6× 10−6 T.

Solucao 7.5: I4 = 3.5 A,J

.

Solucao 7.6: R = 0.35`.

Solucao 7.7: B = 7.9× 10−5 T,N

.

Solucao 7.8: ~B = 10−7 IR

ı + − π

2 k, em que ı aponta de 3 para C e de 1

para C.

Solucao 7.9:

a) ~B = −0.5k T.

b) ~F1 = −4.24× 10−5ı N.

Solucao 7.10: v =√

22

ı− k

.

Solucao 7.11:

a) dFdl = 1.92× 10−4 N/m, ↓.

b) dFdl = 1.92× 10−4 N/m, ↑.

67

Electromagnetismo

Solucao 7.12: dFdl = 1.62× 10−4 N/m, atractiva.

Solucao 7.13: F = 2IBR.

Solucao 7.14: ~FAB = 0.06 N; ~FBC = 0.16k N; ~FCD = −0.06 N;~FDA = −0.16k N; ~M = −8.3× 10−3 Nm.

Solucao 7.15:

a) F = 7.5× 10−3 N.

b) F = 1.3× 10−2 N.

c) F = 1.5× 10−2 N.

Solucao 7.16:

a) 2 A atraves do gerador, 1 A de A para G e 1 A de B para F .

b) BAG = 3.5× 10−7 T,N

.

c) BBDF = 7.9× 10−7 T,J

.

d) B = 4.3× 10−7 T,J

.

Solucao 7.17: B = 0.7×10−7

r T,J

.

68

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