Capitalizacao PPT

nuno ferreira | rui lourenço matemática financeira | capitalização | gestão de empreendimentos 2006 | dec | ipc 1

Conceitos fundamentais de matemáticafinanceira e engenharia económicaNSTITUTO POLITÉCNICO DE COIMBRA

Departamento de Engenharia CivilGestão de Empreendimentos

2006/2007

C A P I T AL I Z A Ç Ã O

1.Introdução

2.Conceitos genéricos

3.Regimes de Capitalização

3.1.Regime de juros simples3.2.Regime de juros compostos

4.Relação entre taxas de juros

4.1.Taxas equivalentes4.2.Taxas proporcionais4.3.Taxas efectivas4.4.Taxas nominais4.5.Taxas efectivas/ nominais

5.Imflação

5.1.Conceito de Inflação5.2.Taxas correntes5.3.Taxas reais

CAPITALIZAÇÃO


NSTITUTO POLITÉCNICO DE COIMBRADepartamento de Engenharia Civil

Gestão de Empreendimentos2006/2007


1.Introdução






5.Imflação


1.Introdução

O processo de capitalização é o

mecanismo através do qual um

determinado capital aplicado

produz juro ao fim de um certo

tempo de aplicação.

A relação entre o capital e o tempo está

na base da diferença entre dois

processos de capitalização:

•Regime de juro simples;•Regime de juro composto.





1.Introdução






5.Imflação


Regime de juro simples:

Um processo em que o juro é calculado

só em função do tempo, mantendo

o mesmo capital inicial.

Regime de juro composto:

um outro processo em que o juro é

calculado com base no capital e no

tempo, uma vez que o juro vencido

em cada unidade de tempo se

adiciona ao capital inicial

vencendo também juro.





1.Introdução






5.Imflação


2.Conseitos genéricos

Capital: é a quantidade de meios líquidos

que originou uma transacção entre

duas entidades que é aplicada

durante um certo período de

tempo;

Tempo: é o prazo pelo qual o capital é

aplicado;





1.Introdução






5.Imflação


Período de tempo: é a unidade de tempo

em que o tempo global da

aplicação foi subdividido, para

efeito de cálculo dos juros;

Juro: será a remuneração recebida (ou

paga) em troca do empréstimo de

algum recurso financeiro;

Taxa de juro: é a constante de proporcio-

nalidade entre o juro produzido e o

capital aplicado numa unidade de

tempo.





1.Introdução






5.Imflação


3.Regime de Capitalização

Ao fim de cada período de tempo o

capital aplicado vence juros.

Quando um capital é cedido

(aplicado) podem ser negociados

basicamente duas formas de

liquidação dos juros vincendos:

• Capitalização em regime de juros simples;

• Capitalização em regime de juros compostos.





1.Introdução






5.Imflação


3.1.Regime de juros simples

No caso do regime de juros simples os juros produzidos em cada período são excluídos do processo de capitalização.

O capital que vence juros é constante ao longo do processo:





1.Introdução






5.Imflação


Ao fim do 1º período o juro produzido édado por:

Como j1 sai do processo de capitaliza-ção, o capital que vence juros no final do período seguinte é também C0.

Logo, podemos calcular em qualquer período n o juro produzido:

iCnJ ××= 0

iCj ×= 01





1.Introdução






5.Imflação


3.1.Regime de juros compostos

Neste regime de capitalização, os juros produzidos não são excluídos do processo de capitalização.

Estes juros são adicionados ao capital vencendo também juros nos períodos seguintes: "juros sobre juros".





1.Introdução






5.Imflação


Neste caso, como j1 não sai do processo de capitalização, o capital que vence juros durante o segundo período é C0 + j1 , isto é o capital no fim do primeiro período de tempo (C1) é dado por:

logo, os juros produzidos no 2º período são:

( )iCjCC o +×=+= 1011

( )( )

( ) iiCiiCC

ijCiCj

×+×=××+=

×+=×=

10

00

10

12





1.Introdução






5.Imflação


Assim, para cada período n o juro é dado por:

o capital acumulado ao fim de cada período é dado pela expressão:

e o montante de juros produzidos duranten períodos de aplicação seráportando:

( ) iiCj nn ×+×= −1

0 1

( )nn iCC +×= 10

( ) ( )[ ]111 0000 −+×=−+=−= nnntotal iCCiCCCJ





1.Introdução






5.Imflação


Exemplo de aplicação:

Seja a aplicação de um capital de 1.000,00 € à taxa de juro de 10%, durante três anos. Assim, calcular o juro vencido em cada ano e o capital acumulado ao fim de cada período pelos dois regimes de capitalização.





1.Introdução






5.Imflação


4.Relação entre taxas de juro

Sendo a taxa de juro a constante de

proporcionalidade entre o juro

produzido e o capital acumulado

por um capital inicial aplicado

durante a unidade de tempo,

podem-se evidenciar algumas

relações entre as taxas de juro.





1.Introdução






5.Imflação


4.1.Taxas equivalentes

Duas taxas de juro dizem-se equivalentes, referidas a períodos de tempo diferentes, se quando aplicadas a capitais iguais durante igual extensão de tempo produzem o mesmo efeito.

( )nnn iCC +×= 10

( )mmm iCC +×= 10

mn CC =

( ) ( )mmn

n ii +=+ 11

Usando a definição de capital acumulado:

Se são equivalentes produzem o mesmo efeito:

logo:





1.Introdução






5.Imflação


Assim sendo, verificando o exposto para uma taxa anual e outra semestraltemos.

Caso se relacionasse a taxa anual com uma trimestral, n vira com o valor de 4 (1 ano tem 4 trimestres):

( )20 1 ssemestral iCC +×=

( )10 1 aanual iCC +×=

( )

( )( ) ( )14

10

40

111

1

at

aanual

ttrimestral

iiiCC

iCC+=+⇒

⎪⎭

⎪⎬

⎫

+×=

+×=





1.Introdução






5.Imflação


4.2.Taxas proporcionais

Quando entre duas taxas de juro, referidas a períodos diferentes, existe a mesma relação de proporcionalidade que entre os seus períodos .

Para um período de tempo 1/m do ano, a taxa de juro proporcional à taxa anual ia é dada por ia/m (m é o número de períodos iguais em que se dividiu o ano).

mii a

m =





1.Introdução






5.Imflação


4.3.Taxas efectivas

As taxas equivalentes são definidas como taxas efectivas, desde que, pelo menos uma seja referida ao período de capitalização efectivamente praticado .

Assim a taxa efectiva anual, num processo de capitalização semestral à taxa is seria portanto:

( ) ( )mmii +=+ 11

( ) ( ) ( ) 1111 22 −+=⇒+=+ sasa iiii





1.Introdução






5.Imflação


4.4.Taxas nominais

Quando usamos taxas proporcionais somente uma dela se considera efectiva, esta taxa chama-se portanto taxa nominal ou declarada

Assim, se uma taxa anual ia capitaliza mvezes ao ano, então ia é a taxa nominal anual:

mperíodonoefectivataxamia =

anualefectivataxami ma ⇒−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ + 11





1.Introdução






5.Imflação


4.5.Taxas efectivas Vs. nominais

A taxa nominal é a taxa efectiva se o período de capitalização coin-cide com o período da taxa.

Quando o período da taxa e o de capitalização não são coincidentes:

( ) 11

:então taxada período aoinferior é çãocapitaliza de período o se a)

min −+= nalnoefectiva ii

( ) 11

:então taxada período aosuperior é çãocapitaliza de período o se b)

1min −+= n

alnoefectiva ii

em que n é o nº de períodos de capitalização que ocorrem em cada período de referência da taxa (múltiplo do período da taxa).





1.Introdução






5.Imflação


5.Inflação

O juro expressa-se geralmente em termos de quantidade de moeda, de acordo com o seu valor corrente.

No entanto em períodos de instabilidade económica o valor real da moeda altera-se.





1.Introdução






5.Imflação


5.1.Conceito de inflação

Na sua essência, a inflação constitui um desequilíbrio entre a procura e a oferta e que cria uma tensão nas estruturas produtivas.

Há vários tipos:

• Hiperinflação, elevado aumento dos preços num curto espaço de tempo;

• Inflação galopante, aumento rápido e elevado dos preços. A taxa varia entre 20 a 200 %;

• Inflação moderada, caracterizado por um aumento reduzido dos preços, a taxa de inflação é inferior a 10%.





1.Introdução






5.Imflação


5.2.Taxas concorrentes

A taxa corrente é a taxa convencionada para a aplicação.

Ao calcular o capital acumulado numa aplicação de um determinado capital inicial durante um certo período de tempo, encontramos o valor absoluto desse capital, independentemen-te do seu valor real em termos de poder de compra.





1.Introdução






5.Imflação


5.2.Taxas reais

A taxa real de juro será a constante de proporcionalidade entre o valor realde um capital acumulado e o valor do capital inicial quando aplicado durante a unidade de tempo.

O aumento real do poder de compra será dado portanto pelo valor real do juro produzido, isto é a diferença entre capitais:

0CCj realnreal −=





1.Introdução






5.Imflação


Por definição de capital acumulado:

nn iCC )1(0 +=

Devido à inflação terá de se actualizar este capital:

n

n

realn IiCC)1()1(

0 ++

=

00 )1()1( C

IiCj n

n

real −++

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

Por definição de juro em regime de capitalização composta:

[ ]1)1(0 −+= niCj





1.Introdução






5.Imflação


Igualando os capitais C0:

1)1()1(

)1()1()1(

−++

=⇒

++

=+

Iii

Iii

real

n

nn

real

É esta a expressão que nos permite determinar a taxa de juro real de uma aplicação, função da taxa de juro corrente e da taxa de inflação.

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