Capitalizacao Simples e Composta

Equipe EAD

REITORIAProf. Ms. Cristina Nitz da Cruz

PR-REITORIA DE GRADUAOProf. Ms. Marcos Barros

COORDENAO GERALRicardo Teodoro Martins

ASSESSORIA PEDAGGICASandra Regina Pinto Pestana

DESIGN INSTRUCIONALSamira Santana Dias

REVISO TEXTUALAricinara Porto OFarrell

SUPERVISO DE TUTORIAKeila Gerude Ferreira Botelho

DESIGN GRFICOJoo Mrio Chaves Jnior

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Apresentao

Ol estudante! Seja bem-vindo (a)

Voc est iniciando mais uma disciplina do curso de Administrao na modalidade a distncia. Trata-se da disciplina de Matemtica Financeira.

Muitas pessoas crescem lendo as histrias do Tio Patinhas, criao de Walt Disney, desenhista norte americano. Nelas, o personagem do Tio Patinhas curte sua fortuna, guardada a sete chaves em seu cofre.

No mundo real, no entanto, poucas pessoas esto dispostas a agir como Tio Patinhas. Longe disso, quem tem dinheiro disponvel nem pensa em guard-lo consigo. Procura alguma maneira de empreg-lo de forma a obter mais dinheiro, seja na aquisio de bens, seja no mercado financeiro, ou, simplesmente, emprestando-o a terceiros.

Tudo isso feito a partir de um princpio bsico: quem empresta dinheiro a algum, espera receb-lo, depois de certo tempo, acrescido de uma quantia adicional cobrada a ttulo de aluguel do dinheiro. Essa quantia adicional cobrada a ttulo de aluguel do dinheiro emprestado o que chamamos de juro.

Nos estudos de Economia, aprende-se que os recursos (fontes) so limitados, e as necessidades infinitas. Entre essas necessidades, encontram-se os recursos financeiros, cada vez mais valorizados e disputados entre as empresas e pessoas.

Quem administra esses recursos deve conhecer os mecanismos bsicos que a Matemtica Comercial e Financeira coloca disposio para o trato seguro, transparente e honesto com o cliente.

Portanto, o objetivo deste material auxiliar o trabalho, permitindo que o aluno compreenda esses mecanismos de forma reflexiva, prtica e crtica.

Vou apresentar conceitos e teorias que envolvem a temtica da disciplina, organizando os contedos em 7 mdulos e da seguinte forma:

Mdulo I Juros e Capitalizao simples. Nesse mdulo vou apresentar os seguintes contedos: Conceitos de Juro, Capital, Prazo e Taxa de Juros; Juro Comercial e Juro Exato; Capitalizao Simples; Montante e Valor Atual.

Mdulo II Capitalizao Composta. Nesse mdulo vou trabalhar com a Capitalizao Composta, abordando o Montante e Valor Atual para Pagamento nico.

Mdulo III O Estudo das Taxas. Nesse mdulo vou abordar: Taxa nominal, taxas promocionais, taxas equivalentes e taxa real de juros.

Mdulo IV Os Descontos. Nesse mdulo vou trabalhar com os descontos, abordando conceitos e tipos de descontos.

Mdulo V Rendas. Nesse mdulo vou apresentar os seguintes contedos: As rendas certas, classificao e sries de pagamentos e clculo de taxas.

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oMdulo VI Sistemas de amortizao de emprstimos e financiamentos. Nes-

se mdulo vou abordar: Sistema Francs de Amortizao, Sistema de Amortizao Constante e Sistema de Amortizao Americano.

Mdulo VII Anlise de projetos e decises de investimentos. Nesse mdulo vou trabalhar as tcnicas para anlise de investimentos, perodo de payback, valor pre-sente lquido e taxa interna de retorno.

A proposta deste material apresentar um trabalho didtico, prtico e com con-tedos significativos sua formao. Ao final de cada mdulo voc encontrar as ati-vidades de aprendizagem, que consistem em exerccios tericos e prticos que permite que voc pratique tudo aquilo que foi estudado.

Seja bem-vindo (a) ao processo pela busca do saber, onde voc um sujeito ativo e o professor um mediador, e que juntos possamos estabelecer uma cumplicidade va-lorizada por curiosidade, motivao e exigncia, propiciando a finalidade principal do ensino universitrio: o exerccio da crtica na pesquisa, no ensino e na extenso.

Lembro que todas as orientaes para a formatao e uniformizao dos traba-lhos acadmicos esto apresentadas e seguem os critrios da ABNT - Associao Bra-sileira de Normas Tcnicas, atravs das Normas Brasileiras Regulamentadoras - NBR s 6.023 (Referncias) e 10.520 (Citaes), como aqueles definidos pelo UNICEUMA.

Bons estudos!

Professor Conteudista Kleverton Viana

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APRESENTAO ..................................................................................................03

MDULO I - JUROS E CAPITALIZAO SIMPLES1 CONCEITOS DE JURO, CAPITAL, PRAZO E TAXA DE JUROS....................8 1.1 Juro Comercial e Juro Exato..........................................................................9 1.2 Capitalizao Simples.......................................................................................9EXERCCIOS RESOLVIDOS......................................................................................................10 1.3 Montante e Valor Atual.................................................................................12EXERCCIOS RESOLVIDOS......................................................................................................13ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM ...................................................................................15COMENTRIO DAS ATIVIDADES .......................................................................................17

MDULO II - CAPITALIZAO COMPOSTA1 Capitalizao Composta: Montante e Valor Atual para Pagamento nico ....22EXERCCIOS RESOLVIDOS....................................................................................................26ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM ...................................................................................27COMENTRIO DAS ATIVIDADES .......................................................................................29

MDULO III O ESTUDO DAS TAXAS1 TAXA NOMINAL................................................................................................................34 1.1 Taxas Promocionais.........................................................................................34EXERCCIOS RESOLVIDOS......................................................................................................35 1.2 Taxas Equivalentes............................................................................................36EXERCCIOS RESOLVIDOS.....................................................................................................37 1.3 Nominal e Efetiva (ou Real).......................................................................38EXERCCIOS RESOLVIDOS.....................................................................................................39 1.4 Taxa Real de Juros...........................................................................................40ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM.....................................................................................41COMENTRIO DAS ATIVIDADES .......................................................................................43

MDULO IV OS DESCONTOS1. CONCEITOS.......................................................................................................................46 1.1 Desconto Comercial Simples....................................................................47EXERCCIOS RESOLVIDOS....................................................................................................48 1.2 Desconto Racional Simples.......................................................................50EXERCCIOS RESOLVIDOS.....................................................................................................51 1.3 Desconto Composto........................................................................................52 1.3.1 Desconto Racional Composto.............................................................52EXERCCIOS RESOLVIDOS.....................................................................................................54 1.3.2 Desconto Comercial Composto..........................................................55EXERCCIOS RESOLVIDOS.....................................................................................................56 1.4 Equivalncia de Capitais...........................................................................57

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EXERCCIOS RESOLVIDOS....................................................................................................58ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM...................................................................................62COMENTRIO DAS ATIVIDADES .....................................................................................64

MDULO V - RENDAS1 RENDAS CERTAS ...........................................................................................................68 1.1 Classificao das Sries de Pagamentos.......................................68 1.1.1 Sries Uniformes de Pagamentos....................................................69 1.1.2 Sries Uniformes de Pagamentos Postecipadas............................70 1.1.3 Dada a Prestao (PMT), Achar o valor Presente (PV)..............70 1.1.4 Dado o Valor Presente (PV), Achar a Prestao (PMT)............72 1.2 Dado o Valor Futuro (FV), Achar a Prestao (PMT)................73 1.2.1 Dado o Valor Presente (PV), Calcular o Prazo (n)......................74 1.2.2 Dado o Valor Futuro (FV), Calcular o Prazo (n).........................75 1.2.3 Clculo da Taxa (i).............................................................................76 1.2.4 Dada a Prestao (PMT), Calcular o Valor Futuro (FV).............77 1.2.5 Srie Uniforme de Pagamentos Antecipados................................78 1.3 Dada a Prestao (PMT), Calcular o Valor Presente (PV).............78 1.3.1 Dado o Valor Presente (PV), Calcular a Prestao (PMT).........80 1.3.2 Dado o Valor Presente (PV), Calcular o Prazo (n)...............................81 1.3.3 Dada a Prestao (PMT), Calcular o Valor Futuro (FV).............82 1.3.4 Dado o Valor Futuro (FV), Calcular a Prestao (PMT)............83 1.3.5 Clculo da Taxa (i).............................................................................84 1.4 Clculo da Prestao (PMT)...................................................................85 1.4.1 Clculo do Prazo (n).........................................................................86 1.4.2 Srie Uniforme de Pagamento Diferida.........................................87 1.4.3 Clculo do Valor Presente (PV)......................................................87ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM...................................................................................89COMENTRIO DAS ATIVIDADES ...................................................................................91

MDULO VI - SISTEMAS DE AMORTIZAO DE EMPRSTIMOS E FINANCIAMENTOS

1. CONCEITOS ..................................................................................................................96 1.1 Sistema Francs de Amortizao (Sfa)..................................................96 1.1.1 Sistema de Amortizao Constante (Sac)....................................99 1.1.2 Sistema de Amortizao Americano (Saa)...................................100ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM ...............................................................................102COMENTRIO DAS ATIVIDADES ...................................................................................103

MDULO VII - ANLISE DE PROJETOS E DECISES DE INVESTIMENTOS

1 TCNICAS PARA ANLISE DE INVESTIMENTOS......................................106 1.1 Perodo de Payback....................................................................................106 1.2 VPL (Valor Presente Lquido)..............................................................107 1.3 Taxa Interna de Retorno (TIR) ...........................................................109ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM.................................................................................111COMENTRIO DAS ATIVIDADES ...................................................................................112

REFERNCIAS.........................................................................................................113

Mdulo


Juros e Capitalizao Simples

I

OBJETIVO:

Nesse mdulo voc iniciar os es-tudos de Matemtica Financeira a par-tir da anlise e reflexo de conceitos b-sicos visando compreender os juros e a capitalizao simples.

8Matemtica Financeira

1 Conceitos de Juro, Capital, Prazo e Taxa de Juros

O Juro a remunerao que o tomador de um emprstimo deve pagar ao dono do capital como com-pensao pelo uso do dinheiro. Indica-se o juro por (J). Para a determinao do juro envolvido em uma certa operao financeira, alguns fatores merecem destaque especial.

Quanto ao capital considera-se que em Matemtica Financeira, refere-se qualquer valor expresso em dinheiro e disponvel em uma determinada data. O capital que d incio uma dada operao financeira chamado de capital inicial ou principal. Indicaremos o capital inicial por C.

O prazo o tempo que decorre desde o incio at o final de uma dada operao financeira. O prazo contado em perodos de tempo, sendo o menor deles o dia (dia, ms, bimestre, trimestre, quadrimestre, semestre, ano, etc.). Indicaremos o prazo por N.

Considera-se que na prtica, o prazo pode ser a partir de duas convenes:

Prazo exato: aquele que leva em conta o chamado ano civil, no qual os dias so contados pelo calendrio, isto , o ms pode ter 28 dias (fev.), 29 dias (fev., em anos bissextos, como em 1996, 2000, 2004, etc.), 30 dias (abr., jun., set., nov.) ou 31 dias (jan., mar., mai., jul., ago., out., dez.) ; e o ano pode ter 365 dias ou 366 dias (anos bissextos).

Prazo comercial (ou aproximado): o que leva em conta o chamado ano comercial, isto , aquele em que o ms (qualquer que seja ele), considerado como tendo 30 dias e o ano (qual-quer que ele seja), 360 dias.

A taxa de juros a razo entre o juro obtido no fim do primeiro perodo financeiro e o capital inicial.

A taxa de juro refere-se sempre a um dado perodo financeiro: ao dia (ad), ao ms (am), ao bimestre (ab), ao semestre (as), ao ano (aa) etc.

Indicaremos a taxa de juro por (i).

A taxa de juro (i) costuma apresentar-se, principalmente, de duas maneiras, que so:

Forma percentual: representa o juro de 100 unidades do capital, no perodo tomado como unidade de tempo. So exemplos:

i = 30% am (l-se: 30 por cento ao ms)

i = 0,5% ad (l-se: meio por cento ao dia)

Forma unitria: (ou centesimal) representa o juro de 1 unidade do capital, no perodo toma-do como unidade de tempo. So exemplos:

I = 0,3 am

i = 0,005 ad

9 Curso de Graduao em Administrao a Distncia

1.1 Juro Comercial e Juro Exato

Nas operaes financeiras em que o prazo contado em dias, o juro obtido recebe uma denominao especial, dependendo do tipo de prazo que se considera.

Juro comercial: aquele que se obtm contando-se o nmero de dias pelo critrio do prazo comercial, isto , considera-se em todos os meses 30 dias.

Juro exato: aquele que se obtm contando-se o nmero de dias pelo critrio exato, isto , aquele que considera os dias do ms conforme foram concebidos no calendrio.

Observao: Nos exerccios desta apostila, a no ser nos casos indicados, considera-se sempre o juro comercial simples.

1.2 Capitalizao Simples

Capitalizao simples aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial e que portanto no incide sobre os juros acumulados. Neste regime de capitalizao a taxa varia linearmente em funo do tempo, ou seja, se quiser converter a taxa diria em mensal, basta multiplic-la por 30; se desejar uma taxa anual, tendo a mensal, basta multiplic-la por 12, e assim por diante.

O valor dos juros obtido atravs da expresso:

J = c . i . n

em que:

J = valor de juros

c = valor do capital inicial ou principal

i = taxa de juros

n = prazo

Frmulas:

Juros: J = c . i . n Perodo = Prazo:

Taxa: Capital:

Observao:

Nos exerccios desta apostila, a no ser nos casos indicados, considera-se sempre o juro comercial simples.

10

Matemtica Financeira

EXERCCIOS RESOLVIDOS

1. Qual o valor dos juros correspondentes a um emprstimo de R$ 10.000,00 pelo prazo de 5 meses, saben-do-se que a taxa cobrada de 3% ao ms?

Dados: c = 10.000,00 i = 3% ao ms

n = 5 meses J = ?

Soluo: J = c i n

J = 10.000,00 0,03 5 = 1.500,00

2. Um capital de R$ 25.000,00 aplicado durante 7 meses, rende juros de R$ 7.875,00. Determine a taxa cor-respondente.

Dados: c = 25.000,00 n = 7 meses

J = 7.875,00 i= ?

Soluo: J = c i n

i = J = 7.875,00 = 0,45 ou 4,5 ao ms

c n 25.000,00 7

3. Uma aplicao de R$ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Indaga-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicao?

Dados: c = 50.000,00 n = 180 dias

J = 8.250,00 i = ?

Soluo: i = J

c x n

i = 8.250,00 = 0,00091667, ou 0,091667% ao dia

50.000,00 180

4. Sabendo-se que os juros de R$ 6.000,00 foram obtidos com a aplicao de R$ 7.500,00, taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo.

Dados: c = 7.500,00 i = 8% ao trimestre

j = 6.000,00 n =?

Soluo: J = c i n n = J

c x n

n = 6.000,00 = 6.000,00 = 10 trimestres, ou 2,5 anos.

7.500,000,08 600,00

Observao:

Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos clculos ser diria; se o prazo for em meses, a taxa ser mensal; se em trimestres, a taxa ser trimestral, e assim sucessivamente.

11

Curso de Graduao em Administrao a Distncia

5. Qual o capital que, taxa de 4% ao ms, rende juros de R$ 9.000,00 em 1 ano ? Dados: J = 9.000,00 i = 4% ao ms

n = 1 ano = 12 meses c = ?

Soluo: J = c i n c = J

i x n

c = 9.000,00 = 9.000,00 = 18.750,00

0,0412 0, 48

6. Um emprstimo de 23.000,00 liquidado por 29.200,00 no final de 152 dias. Calcule a taxa mensal de juros.

Dados: c = 23.000,00 n = 152 dias

m = 29.200,00 montante final i = ? (taxa mensal)

Soluo: J = c x i x n i = J

c x n

J = m - c = 29.200,00 23.000,00 = 6.200

i = 6.200,00 = 0,001773

23.000,00 x 152

ou 0,1773% ao dia (porque o prazo est expresso em nmero de dias)

Taxa mensal = im = 0,1773% x 30 = 5,32%

7. Calcule o valor dos juros e do montante de uma aplicao de R$ 20.000,00, feita a uma taxa de 4,94% ao ms, pelo prazo de 76 dias.

Dados: c = 20.000,00 n = 76 dias m =?

i = 4,94% ao ms J =?

Soluo: J = c x i x n

J = 20.00,00 x 0,0494 x 76 = 2.502,93

30

m = P + J = 20.000,00 + 2.502,93 = 22.502,93

12


1.3 Montante e Valor Atual

O montante (ou valor futuro), indicado por m, igual soma do capital inicial mais os juros referen-tes ao perodo da aplicao. Logo:

m = c + J

m = c + c x i x n, visto que J = c x i x n

Frmulas:

Montante Final: m = c (1 + i. n)

m

1 + i x n

m - 1

i = c x 100

i

m - 1

i = c

i

Capital: c =

Taxa:

Perodo / Prazo:

13



1. Calcule o montante da aplicao de um capital de R$ 8.000,00, pelo prazo de 12 meses, taxa de 3% ao ms.

Dados: c = 8.000,00

n = 12 meses

i = 3% ao ms

Soluo: m =?

m = c (1 + i . n)

m = 8.000,00 (1 +0,03 x 12) = 8.000,00 x 1,36 = 10.880,00

2. Determine o valor atual de um ttulo cujo valor de resgate de R$ 60.000,00, sabendo que a taxa de juros de 5% ao ms e que faltam quatro meses para o seu vencimento.

Dados: m = 60.000,00

n = 4 meses

i = 5% ao ms

c = ?

Soluo:

3. Um emprstimo de R$ 40.000,00 dever ser quitado por R$ 80.000,00 no final de 12 meses. Determine as taxas mensal e anual cobradas nessa operao.

Dados: m = 80.000,00

c = 40.000,00

n = 12 meses

i = ?

Soluo: m = c (1 + i x n)

80.000,00 = 40.000,00 (1 + i x 12)

2 = 1 + i . 12

i = 1 = 0,0833 ou 8,33% ao ms

12

Taxa anual = 12 x 0,0833 = 1,00 ou 100%

14


4. Em que prazo uma aplicao de R$ 35.000,00 pode gerar um montante de R$ 53.375,00, considerando-se uma taxa de 30% ao ano?

Dados: m = 53.375,00

c = 35.000,00

i = 30% ao ano

n =?

Soluo: J = m c

J = 53.375,00 35.000,00 = 18.375,00

n = J = 18.375,00 = 1,75 ano, ou 21 meses.

c x i 35.000,00 x 0,30

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ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM

Prezado estudante, resolva as seguintes atividades sobre juros simples:

1. Determine quanto receber um capital de R$ 60.000,00 aplicado taxa de 24% ao ano durante sete meses.

2. Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ 11.200,00. Determine a taxa anual.

3. Durante 155 dias foi gerado um montante de R$ 64.200,00. Sabendo que a taxa de juros de 4% ao ms, determine o valor do capital aplicado.

4. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00, resultante da aplicao de certo capital taxa de 42% a.a., durante 13 meses?

5. Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um emprstimo de R$ 125.000,00, sabendo que a taxa de juros de 27% ao semestre?

6. Em quanto tempo um capital de R$ 800, 00, aplicado taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de R$ 1.000,00?

7. Um capital de R$ 50.00,00 foi aplicado no dia 19-06-91 e resgatado em 20-01-92. Sabendo que a taxa de juros da aplicao foi de 56% ao ano, calcule o valor dos juros, considerando o nmero de dias efetivo entre as duas datas.

8. Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 40.000,00, aplicado taxa de 5% ao ms, produz R$ 18.600,00 de juros?

9. Obteve-se um emprstimo de R$ 10.000,00, para ser liquidado por R$ 14.675,00 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual nessa operao?

10. Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor?

11. A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a 1/4 do seu valor?

12. Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo que o prazo da aplicao foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% ao ms, calcule o valor do montante.

13. Em quantos dias um capital de R$ 270.420,00 produzir juros de R$ 62.304,77 a uma taxa de 5,4% ao ms?

14. Determine o capital necessrio para produzir um montante de R$ 798.00,00 no final de um ano e meio, aplicado a taxa de 15% ao trimestre.

15. A aplicao de R$ 35.600,00 gerou um montante de R$ 58.028,00 no final de nove meses. Calcule a taxa anual.

16


16. Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros de 5% ao ms e o prazo de oito meses, calcular o valor dos juros.

17. Determine o montante correspondente a uma aplicao de R$ 450.000,00 por 225 dias, taxa de 5,6% ao ms.

18. Calcule o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao ms, por 174 dias, produziu um montante de R$ 543.840,00.

17


COMENTRIO DAS ATIVIDADES

Na Atividade de n 1Resposta: R$ 8.400,00

Um capital de R$ 60.000,00 aplicado a uma taxa de 24% ao ano por um perodo de sete meses recebe R$ 8.400,00 de juros.

Na Atividade de n 2Resposta: 60% a.a

A taxa anual de um capital de R$ 28.000,00, que foi aplicado durante 8 meses e que rendeu juros de R$ 11.200,00, de 60% a.a (sessenta por cento ao ano).


O capital aplicado foi de R$ 53.204,42 que com uma taxa de juros mensal de 4% por um perodo de 155 dias gera um montante de R$ 64.200,00.


O valor dos juros de R$ 31.271,48.


Um emprstimo de R$ 125.000,00 com uma taxa de juros semestral de 27% por um perodo de cinco meses e 18 dias corresponde ao valor de R$ 156.500,00.

Na Atividade de n 6Resposta: 250 dias ou 8,333 meses

Um capital de R$ 800, 00 aplicado a uma taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de R$ 1.000,00 em um perodo de 250 dias ou 8,333 meses.


O valor dos juros de R$ 16.722,22.

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Na Atividade de n 8Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias

O tempo que um capital de R$ 40.000,00, aplicado a uma taxa de 5% ao ms, precisa para produzir R$ 18.600,00 de juros de 9,3 meses ou 279 dias.

Na Atividade de n 9Resposta: 66% ao ano

A taxa de juros anual de um emprstimo de R$ 10.000,00, liquidado por R$ 14.675,00 no final de 8 meses e meio de 66% ao ano.

Na Atividade de n 10Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses

Um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor em um perodo de 2,0833 anos ou 25 meses.

Na Atividade de n 11Resposta: 2,5% ao ms

Um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a 1/4 do seu valor com uma taxa de juros de 2,5% ao ms.


O valor do capital aplicado com uma taxa de juros de 6% ao ms, gerando um juros de R$ 96.720,00 em treze meses, de R$ 220.720,00.

Na Atividade de n 13Resposta: 128 dias

Um capital de R$ 270.420,00 produz um juros de R$ 62.304,77 a uma taxa mensal de 5,4% em um perodo de 128 dias.


O capital necessrio para gerar, em um ano e meio, R$ 798.000,00 aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre, de R$ 420.000,00.

Na Atividade de n 15Resposta: 84% ao ano

A taxa anual dessa aplicao de 84%, para que R$ 35.600,00 gere um montante de R$ 58.028,00 no final de nove meses.

19


Na Atividade de n 16Resposta: R$ 285,71

O valor dos juros que gera um montante de R$ 1.000,00 em um perodo de oito meses e com uma taxa mensal de 5% de R$ 285,71.


Uma aplicao de R$ 450.000,00 por 225 dias, a uma taxa de 5,6% ao ms corresponde a um valor de R$ 639.000,00.


O capital necessrio para produzir um montante de R$ 543.840,00 de R$ 400.000,00, aplicado a uma taxa mensal de 6,2% e por um perodo de 174 dias.

Mdulo


Capitalizao Composta

II

OBJETIVO:

Nesse mdulo voc ampliar os conhecimentos construdos no mdulo anterior sobre a capitalizao simples, com a finalidade de compreender a capitalizao composta.

22


1 CAPITALIZAO COMPOSTA: MONTANTE E VALOR ATUAL PARA PAGAMENTO NICO

Capitalizao composta aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados at o perodo anterior. Neste regime de capitalizao, o valor dos juros cresce em funo do tempo.

O conceito de montante o mesmo definido para capitalizao simples, ou seja, a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicao ou da dvida.

A simbologia a mesma j conhecida, ou seja, m indica o montante, c o capital inicial, n o prazo e i a taxa.

A deduo da frmula do montante para um nico pagamento um pouco mais complexa que aquela j vista para a capitalizao simples. Para facilitar o entendimento, supe-se o seguinte problema:

Calcule o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado taxa de 4% ao ms, durante 5 meses.

Dados: c= 1.000,00

n= 5 meses

i= 4% ao ms

m=?

Como ainda no h uma frmula para a soluo fcil e rpida desse problema, e sabendo que a taxa de juros para cada perodo unitrio incide sobre o capital inicial mais os juros acumulados, calcula-se o montante da forma mais primria possvel.

Representa-se por mt (t= 1, 2, 3, 4, 5) o valor do montante no final de cada perodo unitrio, que nesse exemplo o ms.

O quadro a seguir permite a visualizao clara do clculo do montante, ms a ms.

MS(t)

CAPITAL NO INICIO DO MS (Ct)

JUROS CORRESPONDENTES AO MS (Jt)

MONTANTE NO FINAL DO MS (Mt)

1 1.000,00 1.000,00 x 0,04 = 40,00 1.040,002 1.040,00 1.040,00 x 0,04 = 41,60 1.081,603 1.081,60 1.08,60 x 0,04 = 43,26 1.124,864 1.124,86 1.124,86 x 0,04 = 45,00 1.169,865 1.169,86 1.169,86 x 0,04 = 46,79 1.216,65

Portanto, o valor do montante no final de cada ms constitui-se no capital inicial do ms seguinte. Entretanto, essa forma de clculo extremamente trabalhosa e demorada. Nesse sentido sugere-se uma frmula que permita um clculo mais fcil e rpido, partindo do desenvolvimento anterior, mas sem que sejam efetuadas as operaes de multiplicao e soma, apenas usando a propriedade distributiva do produto em relao soma.

m0 = 1.000,00

m1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00 (1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)1

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m2 = 1.000,00 (1,04) + 0,04 x 1.000,00 (1,04) = 1.000,00 (1,04) (1,04)

= 1.000,00 (1,04)2

m3 = 1.000,00 (1,04)2 + 0,04 x 1.000,00 (1,04)2 = 1.000,00 (1,04)2 (1,04)

m4 = 1.000,00 (1,04)3 + 0,04 x 1.000,00 (1,04)3 = 1.000,00 (1,04)3 (1,04)

= 1.000,00 (1,04)4

m5 = 1.000,00 (1,04)4 + 0,04 x 1.000,00 (1,04)4 = 1.000,00 (1,04)4 (1,04)

= 1.000,00 (1,04)5

m = C (1+i)n

A expresso (1+i)n chamada fator de capitalizao ou fator de acumulao de capital para pagamento simples ou nico.

Esse fator, que se encontra tabelado para diferentes taxas no Apndice B, representa o montante para uma unidade de capital, isto , para P = 1.

Exemplo: Calcule o montante de uma aplicao de R$ 15.000,00, pelo prazo de 6 meses, taxa de 3% ao ms.

Dados: c =15. 000,00

N = 6 meses

i = 3% ao ms

m =?

m = c (1+i)n

m= 15.000,00 x (1,03)6 = 17.970,78

OBSERVAO: Para quem no possui uma calculadora que contenha a funo potncia yx, o valor correspondente expresso (1,03)6 pode ser obtido no Apndice B, na tabela definida para uma taxa de 3%, coluna correspondente ao Fator de Acumulao de Capital (1 + i)n e na linha n = 6, onde encontra-se o valor 1,19405. A soluo neste caso seria assim obtida:

m = 15.000,00 x 1,19405 = 17.910,75

24


A diferena de R$ 0,03 deve-se a problemas de arredondamento: enquanto a tabela apresenta o Fator de Acumulao de Capital com cinco casas decimais, as calculadoras normalmente trabalham com um n-mero maior de decimais.

O valor atual (ou valor presente) de um pagamento simples ou nico, cuja conceituao a mesma j definida para capitalizao simples, tem sua frmula de clculo deduzida da frmula do montante, como segue:

m = c (1 + i)n c . m c = m.x 1

(1 + i)n (1 + i)n

Em que a expresso 1 chamada Fator de Valor atual para pagamento simples (ou nico). (1 + i)n

Esse fator, que tambm encontra-se tabelado para diferentes taxas no Apndice B, representa o valor atual para o montante de uma unidade, isto , para S = 1.

Exemplo:

No final de dois anos, o Sr. Pedro dever efetuar um pagamento de R$ 200.000,00 referente ao valor de um emprstimo contrado hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao ms. Pergunta-se: Qual o valor emprestado?

Dados: m = 200.000,00

n = 2 anos = 24 meses

i = 4% ao ms

c = ?

c = m 1

(1 + i)n

c = 200.000,00 x 1 = 78.024,29

(1, 04)24

OBSERVAO: Para quem no possui calculadora com a funo yx, o valor correspondente expresso 1/(1,04)24 tambm pode ser obtido no Apndice B, na tabela corres-pondente a 4%, coluna correspondente ao Fator de Valor Atual 1/(1 + i)n e na linha n = 24, onde encontra-se o valor de 0,39012. Neste caso, a soluo seria obtida como segue:

c = 200.000,00 x 0,39012 = 78.024,00

25


Tambm neste caso, a diferena de R$ 0,29 deve-se a problemas de arredondamento pelas razes j explicadas.

Frmulas: Juros Compostos

Montante: m = C (1 + i)n

Capital Inicial: C = m (1 + i)n

nTaxa: i = M - 1 x 100 C

Perodo / Prazo: n = LogC M Log (1 + i)

Juros: J = C [ (1 + i)n - 1]

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1. A loja Topa Tudo financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 16.000,00, sem entrada, para pagamento em uma nica prestao de R$ 22.753,61 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?

Dados: m = 22.753,61

c = 16.000,00

n = 8 meses

i = ?

8 8

i = 22753,61 - 1 x 100 1,42210 -1 x 100

16.000

i = 1,04499 - 1 x 100 i = 4,49999 % i = 4,5% am

2. Em que prazo um emprstimo de R$ 30.000,00 pode ser quitado em um nico pagamento de R$ 51.310,18, sabendo-se que a taxa contratada de 5% ao ms?

Dados:

log 51.310,18

n = 30.000 log 1,71034 = 0,23308

log (1+0,05) log (1,05) 0,02118

n = 10,99952 meses

n = 11 meses

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Prezado estudante, resolva as seguintes atividades referentes aplicao de juros compostos.

1. Determine o montante no final de 10 meses, resultante de aplicaes de um capital de R$ 100.000,00 taxa de 3,75% ao ms.

2. Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de dois anos. Calcule as taxas mensal e anual desse emprstimo.

3. Sabendo-se que taxa trimestral de juros cobrada por uma instituio financeira de 12,486%, determine qual o prazo em que um emprstimo de R$ 20.000,00 ser resgatado por R$ 36.018,23.

4. Quanto devo aplicar hoje, taxa de 51,107% ao ano, para ter R$ 1.000,000, 00 no final de 19 meses?

5. Uma empresa obtm um emprstimo de R$ 700.000,00 que ser liquidado, de uma s vez, ao final de dois anos. Sabendo que a taxa de juros de 25% ao semestre, calcule o valor pelo qual esse emprstimo dever ser quitado.

6. Em que prazo uma aplicao de R$ 374.938,00, taxa de 3,25% ao ms, gera um resgate de R$ 500.000,00.

7. Um terreno est sendo oferecido por R$ 450.000,00 vista ou 150.000,00 de entrada e mais uma parcela de R$ 350.000,00, no final de 6 meses. Sabendo que no mercado a taxa mdia para aplicao em ttulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao ms (taxa lquida, isto , com o Imposto de Renda j computado), determine a melhor opo para um interessado que possua recursos disponveis para compr-lo.

8. A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor?

9. Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% de seu valor, se aplicado a 3,755% ao ms?

10. A aplicao de certo capital, taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$ 820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcule o valor dos juros.

11. Qual mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao ms, ou aplicar esse valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao ms?

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12. No final de quanto tempo um capital aplicado taxa de 4% ao ms, quadruplica o seu valor: a)No regime de capitalizao composta;

b)No regime de capitalizao simples;

13. Qual o montante produzido pela aplicao de R$ 580.000,00, taxa de 175% ao ano, pelo prazo de 213 dias?

14. Qual o valor do capital, que aplicado taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias produz um montante de R$ 5.000,00?

15. A aplicao de R$ 400.000,00 proporcionou um resgate de R$ 610.461,56 no final de seis meses. Determine as taxas mensal e anual dessa operao.

16. Certa aplicao rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poder receber o dobro da sua aplicao?

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Na atividade de n 1Resposta: R$ 144.504,39

O montante final de um capital de R$ 100.000,00 aplicado taxa mensal de 3,75% em um perodo de 10 meses de R$ 144.504,39.

Na atividade de n 2Resposta: 8% ao ms, ou 151,817% ao ano

Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de dois anos. A taxa mensal de 8% e a anual de 151,817% .

Na atividade de n 3Resposta: 5 trimestres (ou 15 meses)

O emprstimo ser resgatado em um perodo de 5 trimestres, que corresponde a 15 meses.


Para ter R$ 1.000,000, 00 no final de 19 meses preciso aplicar hoje um capital de R$ 520.154,96 a uma taxa de 51,107% ao ano.

Na atividade de n 5Resposta: R$ 1.708.984,39

Com uma taxa de juros de 25% ao semestre durante dois anos, um emprstimo de R$ 700.000,00 liquidado, de uma s vez, pelo valor de R$ 1.708.984,39.

Na atividade de n 6Resposta: 9 meses

O prazo necessrio para que R$ 374.938,00 aplicado a uma taxa de 3,25% ao ms, gere um resgate de R$ 500.000,00, de 9 meses.

Na atividade de n 7Resposta: A melhor opo comprar prazo.

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Na atividade de n 8Resposta: 4,162% meses

Para que um capital seja resgatado no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor necessrio que seja apli-cado a uma taxa de juros de 4,162% ao ms.

Na atividade de n 9Resposta: 11 meses

Um capital produz juros iguais a 50% de seu valor quando aplicado a 3,755% ao ms e por um perodo de 11 meses.


O valor dos juros de um capital aplicado a uma taxa anual de 69,588% e que gerou um montante de R$ 820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses de R$ 396.288,79.

Na atividade de n 11Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao ms.

Na atividade de n 12Respostas: a) 35,35 meses

b) 75 meses

a) No regime de capitalizao composta o tempo necessrio para que um capital aplicado a taxa de 4% ao ms quadruplique, seu valor de 35,35 meses.

b) No regime de capitalizao simples o tempo necessrio para que um capital aplicado a taxa de 4% ao ms quadruplique, seu valor de 75 meses.

Na atividade de n 13Resposta: R$ 1.055.277,08

Um capital de R$ 580.000,00 aplicado a uma taxa anual de 175% e pelo prazo de 213 dias gera um montante de R$ 1.055.277,08.


Um capital de R$ 3.584,32 se aplicado a uma taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias ir produzir um montante de R$ 5.000,00.

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Na atividade de n 15Resposta: 7,3% ao ms e 132,91% ao ano

Uma aplicao de R$ 400.000,00 proporcionou um resgate de R$ 610.461,56 no final de seis meses. A taxa mensal de 7,3% e a anual de 132,91% .

Na atividade de n 16Resposta: 308 dias

Se uma aplicao rende 0,225% ao dia, um investidor poder receber o dobro do capital aplicado em um perodo de 308 dias.

Mdulo


O Estudo das Taxas

III

OBJETIVO:

Nesse mdulo voc ter a oportu-nidade de estudar os principais concei-tos tericos relativos s taxas, visando compreend-las, identific-las e dife-renci-las.

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1. TAXA NOMINAL

No mercado financeiro e nas operaes bancrias e comerciais, a palavra taxa empregada de vrias formas, ou seja, vrios conceitos so abordados em vrias situaes. Mostraremos as aplicabilidades das taxas de juros do ponto de vista da matemtica financeira.

de fundamental importncia o conhecimento e a compreenso da existncia das taxas nominal e efetiva.

Denomina-se taxa nominal quando o prazo de formao ou incorporao de juros ao capital (capita-lizaes) no coincide com o prazo a que se refere a taxa.

Neste caso comum adotar-se a conveno de que a taxa, por perodo de capitalizao, seja propor-cional taxa nominal.

Em outras palavras, a taxa nominal no pode ser tomada como referncia para decises na contratao de um emprstimo ou aplicao de recursos.

Exemplo: Taxa Nominal de 48% a.a.

CAPITALIZAO TAXA EFETIVAMensal 48/12 = 4% a.m.

Trimestral 48/4 = 12% a.t.Quadrimensal 48/3 = 16% a.q.

Semestral 48/2 = 24% a.s.

Para o tomador de emprstimos a melhor opo o menor n. de capitalizaes.

Para o investidor a melhor opo o maior n.de capitalizaes.

1.1 Taxas Promocionais

Quando entre duas taxas existe a mesma relao que a dos perodos de tempo a que se referem, elas so proporcionais. Sua utilizao em juros simples.

Frmulas: ia = 360. id = 12 . im = 6 . ib = 4 . it = 3 . iq = 2 . is

Anual Mensal Trimestral Semestral

Diria Bimestral Quadrimestral

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1. Determine a taxa anual proporcional a 2% ao ms.Resposta: ia = 12 . im ia = 12 . 2%

ia = 24%. aa

2. Determine a taxa trimestral proporcional a 39,46% ao ano.Resposta: ie x 4 = ia ie x 4 = 39,46%

ie = 39,46/4

ie = 9,87% at

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1.2 Taxas Equivalentes

So aquelas que, referindo-se a perodos de tempo diferentes, fazem com que o capital produza um mesmo montante em um mesmo tempo.

Taxa Equivalente para juros simples (mesmo que proporcional).

Frmula: ia = 360. id = 12im = 6 . ib = 4 . ie = 3 . iq = 2 .isTaxa equivalente para juros compostos:

Frmula:

(1+ia) = (1+id)360 = (1+im)

= (1+ib)6 = (1+ie)

4 = (1+iq)3 = (1 +is)

2

37



1. Encontre uma taxa anual de juros composto, equivalente a 10% as.

Resposta: is = 0,1 (1 + is)

2 = 1 + iA (1 + 0,1) = 1+iA 1 + iA = 1,1 1 + iA = 1,21

iA = 0,21

0,21 aa ou 21% aa.

2. Encontre a taxa mensal de juro composto, equivalente a 9,2727%at.

Resposta:

it = 0,092727 im = ?

(1 + im) = (1 + it)4 (1 + im) = 1 + it

(1 + im) = 1 + 0,092727 (1 + im) = 1,092727

Pela tabela financeira, temos: (1 + 0,03) = 1.092727

im = 0,03 am ou 3% am

(1 + im) = 1 + it (1 + im) = 1 + 0,092727

(1 + im) = 1,092727 1 + im = 3 1,092727

1 + im = 1,03 im = 0,03

im = 3% am

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1.3 Nominal e Efetiva (ou Real)

Quando uma taxa de juros anual paga em parcelas proporcionais, os juros obtidos no fim do ano no correspondem taxa oferecida, mas maior. Desta forma, a taxa oferecida chamada Nominal, enquanto que a realmente paga denominada Efetiva.

Exemplo:

A CEF oferece dinheiro a 6% ao ano, com capitalizao semestral:

A taxa de 6% ao ano Nominal.

A taxa Efetiva a taxa anual equivalente a 3% a. semestre = 1,03 (E) 2 (yx) 1 100 x = 6,09 a a. Clculo mAq Hp 12 C

Frmula:

1 Passo ia = 360 . id = 12 . im = 6.ib = 4t = 3.iq = 2.is 2 Passo (1 + ia) = (1 + id)

360 = (1 + im)12 = (1 + ib)

6 = (1+ it)4 = (1+ iq)

39



1. Qual a taxa efetiva anual, relativa taxa de 36% aa, com capitalizao mensal?Resposta:

iA = ? iA = 0,36 aa k = 12

Encontrando a taxa efetiva mensal: im x 12 = ia im = iA

12

im = iA im = ( 0,36 ) am im = 0,03 am 12 12

Encontrando a taxa anual equivalente:

(i + im)12 = 1 + iA (1 + 0,03)

12 = 1+iA

Pela tbua financeira: (1+00,03)12 = 1,425761

(1 + 0,03)12 = 1 + iA 1,425761 = 1 + iA iA= 0,425761

iA = 0,426

0,426 aa ou 42,6% aa

2. No Brasil, as cadernetas de poupana pagam, alm da correo monetria, juro taxa nominal de 6% aa, com capitalizao mensal. Pergunta se:

a) Qual a taxa efetiva mensal?

b) Qual a taxa efetiva anual?

Resposta:

a) im x 12 = ia im = ia im = 0,06 im = 0,005

12 12

b) (1 + im)12 = (1 + iA) (1 + 0,005)

12 = 1 + iA iA = (1+0,005) - 1

iA = 0,061678

0,005 am e 0,061678 aa

40


1.4 Taxa Real de Juros

A taxa real de juros nada mais do que a apurao de ganho ou perda em relao a uma taxa de infla-o ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que taxa real de juros o verdadeiro ganho financeiro.

Considera-se que uma determinada aplicao financeira rendeu 10% em um determinado perodo de tempo, e que no mesmo perodo ocorreu uma inflao de 8%, correto afirmar que o ganho real desta apli-cao no foi os 10%, tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorizao de 8% no mesmo perodo de tempo; desta forma deve-se encontrar qual o verdadeiro ganho em relao inflao, ou seja, a Taxa Real de Juros.

Frmula:

ir = (1 + i) - 1 x 100

(1 + iinf)

Onde:

i = representa a taxa de juros;

iinf = a taxa de inflao ou custo de oportunidade;

ir = taxa real de juros;

Exemplo:

Uma aplicao durante o ano de 2001 rendeu 9,5% ao ano, sabendo-se que a taxa de inflao do perodo foi de 5,8% ao ano, determine a taxa real de juros.

Dados: ir =?

i = 9,5% ao ano

iinf = 58% ao ano

Soluo:

ir = [(1+0,095) / (1+0,058)] 1 x 100

ir = [(1,095) / (1,058)] 1 x 100

ir = [1,034972...] 1 x 100

ir = 0,034972... x 100

ir = 3,5% ao ano

41



Prezado estudante, resolva as seguintes atividades referentes Taxa de Juros.

1. Encontre a taxa de juros efetiva relativa cada uma das seguintes taxas nominais: juros compostos. a) 48% aa com capitalizao semestral.

b) 100% aa com capitalizao bimestral.

2. Encontre a taxa anual de juros compostos, equivalente a: a) 40% as

b) 30% at

Se um capital de 1.000,00 puder ser aplicado taxas de juros compostos de 10% ao ano, ou 33,1 ao trinio, qual a melhor opo?

4. Calcule a taxa anual equivalente a 10% ao ms.

5. Calcule a taxa mensal equivalente a 0,5% ao dia.

6. Calcule a taxa semestral equivalente a 12% ao bimestre.

7. Calcule a taxa quadrimestral equivalente a 10% ao trimestre.

8 .Calcular a taxa diria equivalente a 12% ao ms.

9. Calcule a taxa mensal equivalente a 100% ao ano.

10. Calcule a taxa anual equivalente a 25% ao ms.

11. Se a taxa mdia de inflao para os prximos 12 meses for de 15% ao ms, quais as previses de inflao anual?

12. Um capital foi aplicado por 1 ano, taxa de juros de 11% ao ano, e no mesmo perodo a inflao foi de 9% ao ano. Qual a taxa real de juros?

13. Um investimento rendeu 68% em 1 ms, no qual a inflao foi de 40%. O ganho real nesse ms foi de:

42


14. Uma indstria deseja ampliar a capacidade produtiva de sua fbrica. Foi calculado que a taxa de retorno deste investimento de 15,00% ao ano. Sabe-se que esta fbrica possui uma rentabilidade real de seus projetos de 5% ao ano. Qual ser a rentabilidade real desse projeto se a taxa de inflao do perodo for de 12,5% ao ano? Considerando a poltica de rentabilidade da empresa, este projeto deve ser aceito?

15. Qual a melhor taxa para aplicao: 0,1% ao dia ou 405 ao ano?

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Na atividade de n 1Resposta: a) 53,76% aa

b) 152,16% aa

a) A taxa de juros efetiva relativa a 48% aa com capitalizao semestral de 53,76% aa .

b) A taxa de juros efetiva relativa a 100% aa com capitalizao bimestral de 152,16% aa.

Na atividade de n 2Resposta: a) 96% aa

b) 185,81 aa

a) A taxa anual de juros compostos equivalente a 40% as de 96% aa.

b) A taxa anual de juros compostos equivalente a 30% at de 185,81 aa.

Na atividade de n 3Resposta: As duas opes so equivalentes.

Na atividade de n 4Resposta: 213,84%.

A taxa anual equivalente a 10% ao ms de 213,84%.

Na atividade de n 5Resposta: 16,14%

A taxa mensal equivalente a 0,5% ao dia de 16,14%.


A taxa semestral equivalente a 12% ao bimestre de 40,49%.


A taxa quadrimestral equivalente a 10% ao trimestre de 13,55%.

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A taxa diria equivalente a 12% ao ms de 0,378%.


A taxa mensal equivalente a 100% ao ano de 5,95%.


A taxa anual equivalente a 25% ao ms de 1355,19%.


A previso de inflao anual para uma taxa de 15% ao ms para os prximos 12 meses, de 435,03%.

Na atividade de n 12Resposta: 1,83% ao ano.

Um capital que aplicado por 1 ano com uma taxa de juros de 11% e no mesmo perodo a inflao de 9 % ao ano, tem uma taxa real de juros de 1,83% ao ano.

Na atividade de n 13Resposta: 20% ao ms.

Um investimento rendeu 68% em 1 ms, no qual a inflao foi de 40%. O ganho real nesse ms foi de 20%.

Na atividade de n 14Resposta: 2,22% ao ano. O projeto no deve ser aceito.

Na atividade de n 15Resposta: 0,1% ao dia.

A melhor taxa para aplicao de 0,1% ao dia.

Mdulo


Os Descontos

IV

OBJETIVO:

Nesse mdulo voc estudar os descontos, visando compreend-los atravs da reflexo, anlise e observao de exemplos prticos.

46


1. CONCEITOS

Ao se resgatar um ttulo de crdito antes do seu vencimento, ele sofre um abatimento denominado de desconto. O valor nominal ou valor futuro de um ttulo o seu valor na data do vencimento. Antes do venci-mento um ttulo pode ser resgatado pelo seu valor presente. Nominalmente, o resgate de um ttulo efetua-do utilizando o desconto simples. No presente estudo, tambm sero apresentados os descontos compostos.

O desconto consiste no abatimento sobre o valor de um ttulo que algum faz jus por compr-lo em data anterior a seu vencimento. Indica-se o desconto por d . Nas operaes envolvendo um ttulo de crdito, destaca-se alguns elementos relativos data de anlise do problema, que so:

Valor nominal ou valor futuro do ttulo Valor atual ou valor presente do ttulo o valor do ttulo em uma data posterior da anlise do problema, normalmente esta data posterior a data de vencimento do ttulo. Indica-se o valor nominal por N.

o valor do ttulo na data da anlise do problema. Indica-se o valor atual por A.

Pode ocorrer, no entanto, de um ttulo ter seu valor definido em data anterior data de anlise. Neste caso modifica-se a data de anlise para a data em que o valor do ttulo foi definido e calcula-se o valor nomi-nal deste ttulo na data em que se deseja.

Exemplo:

No caso de uma pessoa possuidora de uma duplicata de R$20. 000,00 que a vendeu a um banco, em uma data anterior a de seu vencimento por R$ 15.000,00:

Valor nominal: N = R$ 20.000,00

Valor atual (na data de resgate) A = R$ 15.000,00

Descontos: d = 20 000 15 000 d = R$ 5.000,00

O exemplo dado ilustra as seguintes relaes bsicas envolvidas em uma operao de desconto:

d = N A ou A = N d ou N = A + d

d = desconto

A = valor atual

N = valor nominal

Na prtica, o desconto consiste no juro cobrado pelo comprador do ttulo, a pretexto de aluguel do dinheiro antecipado. Quando esse juro calculado sobre um nico valor do ttulo (nominal ou atual) o desconto chamado desconto simples.

47


claro que o correto calcular o desconto com base no valor atual, considerando que uma espcie de juros e proporcional ao capital envolvido e logo deve ser proporcional ao valor atual do ttulo, que re-presenta o valor do capital naquele momento. No entanto, muitas vezes os descontos so cobrados com base no valor nominal, por representar maior rentabilidade para o comprador do ttulo.

Esse fato gera o aparecimento de dois tipos de descontos simples: o racional (calculado sobre A) e o comercial (calculado sobre N), conforme apresenta-se a seguir.

1.1 Desconto Comercial Simples

O desconto comercial simples tambm chamado de desconto por fora. Esse desconto aplicado sobre o valor nominal do ttulo. Indica-se o desconto comercial por dc.

Observao: Neste mdulo o desconto comercial simples designado apenas por desconto comercial.

Esse tipo de desconto equivale a uma espcie de juros simples, em que o capital inicial (C ou A) foi substitudo pelo valor nominal do ttulo (N).

Assim, para um ttulo de valor nominal N, descontado em n perodo de tempo antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial ic:

d = Aindc = Nicn

A relao entre o valor nominal e o valor atual, sob o critrio do desconto comercial, pode ser dedu-zida da seguinte forma:

Ac = N dc Ac = N Nicn Ac = N (1 icn) ou N = Ac 1 - icn

Em resumo, as relaes bsicas para o trato do desconto comercial so:

dc = Nicndc = desconto comercial

ic = taxa de desconto comercial

n = prazo de antecipao do ttulo

Ac = N(1 icn) ou N = Ac 1- icn

Ac = valor atual comercial

N = valor nominal

Observao: ic e n referem-se a um mesmo perodo de tempo

48



1. Em 1992 um ttulo com valor nominal de R$ 35.000,00 foi resgatado 40 dias antes de sua data de venci-mento, taxa de 30% ao ms. Qual o desconto comercial concedido?

Resposta:

dc? N = 35.000 ic = 30% am = 1% ad ic = 0,01 ad n = 40 d

Aplicando a relao 48:

dc = Nicn dc = 35.000 x 0,01 x 40

dc = R$ 14.000,00

2. Em 1992 resolvi quitar uma dvida de R$ 8.500,00, faltando 23 dias para o seu vencimento. Que valor devo pagar, se meu credor exigiu que a operao se realizasse com base na taxa de desconto comercial de 36% ao ms?

Resposta:

Ac = ? N = 8.500 ic = 36% am = 1,2% ad ic = 0,012 ad n = 23d

Por 49, entende-se:

Ac = N (1 icn) Ac = 8.500 (1 0,012 x 23)

Ac = 8.500 x 0,724

Ac = R$ 6.154,00

3. Por uma duplicata de R$ 20.000,00, um banco pagou o lquido de R$ 19.250,00. Quantos dias ainda falta-vam para o vencimento do ttulo, se operao deu-se taxa comercial de 30% aa?

Resposta:

n = ? Ac = 19.250 N = 20.000 ic = 30% aa = 0,3 aa

Por 49, entende-se:

Ac = N (1 icn) 19.250 = 20.000 (1 0,3n)

19.250 = 1 0,3n 0,9625 = 1 0,3n

20.000

0,3n = 0,0375 n = 0,0375

0,3

n = 0,125 ano ou n= (0,125 x 360) dias

n = 45 dias

49


4. Um banco opera no desconto de ttulo taxa comercial simples de 20% am. O sacador de uma duplicata de R$ 3.000,00 deseja vend-la a esse banco 7 meses antes de sua data de vencimento. Vale a pena realizar essa operao?

Resposta:

Ac =? N = 3.000 ic = 20% am ic = 0,2 am n = 7 m

Ac = N (1 icn) Ac = 3.000 (1 0, 2 x 7)

Ac = 3.000 x (-0, 4)

Ac = - R$ 1.200,00

No compensa, pois teoricamente o cliente teria que pagar para descontar o ttulo. Na prtica o banco no aceitaria o ttulo.

5. O quociente entre os descontos comercial e racional de um ttulo de 1,5. Qual a taxa de desconto comercial adotada na operao, se ir = 2ic se o perodo de antecipao foi de 5 meses?

Resposta:

Encontrando o quociente entre dc e d:

dc = Nicn e d = Nin dc = Nicn dc= (1+in) ic

1+ in d Nin d i

1 + in

Como dc= 1,5 e i = 2 ic :

d

(1+in) ic = 1,5 0,5 x (1 + i x 5) = 1,5 0,5 x (1 + ic x 10) = 1,5

0,5 + 5 ic = 1,5 ic = 0,2

ic = 20% am

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1.2 Desconto Racional Simples

O desconto racional simples tambm chamado de desconto por dentro ou desconto real. o desconto simples aplicado sobre o valor atual do ttulo. Indica-se o desconto racional por d.

Observao: Por questes prticas, o desconto racional simples poder ser designado, abreviadamente, por desconto racional neste mdulo.

Esse tipo de desconto equivalente a uma espcie de juros simples, em que o capital inicial corresponde ao valor atual do ttulo. Assim, para um ttulo descontado em n perodos de tempo antes de sua data de vencimento, a uma taxa i e com certo valor atual A:

d = Ain

No entanto, na maioria das situaes envolvendo descontos, observa-se o conhecimento do valor nominal e no do valor atual do ttulo. Por esse motivo, faz-se necessria a deduo de uma relao para o desconto racional, que envolva nominal do ttulo.

Por (43), sabe-se que: A = N d

d = Ain d = (N d) in d = Nin din

d + din = Nin d (1 + in) = Nin

Logo: d = Nin

1 + in

Agora, acompanhe a deduo de uma importante relao para o trato do desconto racional: a relao entre o valor nominal e um dado atual racional.

A = N d A = N Nin/1+in A = N(1 = in) Nin/1 + in

A = N + Nin Nin//1 + in A = n/1 + in ou N = A(1 + in)

Percebe-se que nada mais do que a frmula do montante: M = C (1 + it), adaptada ao desconto.

d = Nin A = N ou N = A (1 + in)

1 + in 1 + in

d = desconto racional i = taxa de desconto racional

n = prazo de antecipao do ttulo A = valor atual racional

N = valor nominal

Observao: i e n referem-se a um mesmo perodo de tempo.

51



1. Uma pessoa pretende saldar uma dvida cujo valor nominal de R$ 6.462,50, 2 meses antes da data de vencimento. Qual o desconto a que far jus se a taxa corrente no mercado de 60% aa e o critrio adotado foi o desconto racional simples?

Resposta:

d = ? N = 6.462,50 i = 60% aa = 5% am i = 0,05 am n = 2 m

Aplicando 45:

d = Nin d = 6.462,50 x 0, 05 .x 2 d = 646, 25 d = R$ 587,50

1 + in 1 + 0, 05 x 2 1,1

2. Qual o valor atual de uma nota promissria de R$ 7.500,00, 4 meses antes de seu vencimento, taxa de 60% aa? (Considere o desconto racional simples).

Resposta:

A = ? N = 7 500 i = 60% aa = 5% am i = 0,05 am n = 4 m

Por 46, temos:

A = N A = 7.500 A = 7.500 A = R$ 6.250,00

1+ in 1 + 0,05 x 4 1,2

3. Uma nota promissria, resgatada 90 dias antes de seu vencimento, foi negociada por R$ 53.409,00, taxa de desconto racional de 84% aa. Qual era o valor nominal desse ttulo?

Resposta:

N = ? A = 53.409 i = 84% aa = 7% am i = 0,07 am n =3m

Por (46) entende-se:

N = A (1 + in) N = R$ 53.409 (1 + 0,07x 3) N = R$ 53.409 x 1,21

N = R$ 64.424,89

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1.3 Desconto Composto

O estudo dos descontos ser estendido ao sistema de capitalizao composta: os descontos compos-tos.

Analogamente ao juro composto, os descontos compostos tambm so obtidos por clculos exponenciais, visto que o desconto composto , na verdade, uma sucesso de descontos simples, calculados perodo a perodo.

Da mesma maneira que os descontos simples, os descontos compostos podem ser de dois tipos: o desconto comercial composto e o desconto racional composto. No entanto, o desconto comercial composto quase no apresenta aplicao prtica no Sistema Financeiro brasileiro, razo pela qual apresentado aqui de forma sucinta.

A simbologia adotada no trato com o desconto composto a seguinte:

dc = desconto comercial composto

d = desconto racional composto

N = valor nominal

A = valor atual racional


i = taxa de desconto composto racional

ic = taxa de desconto composto comercial

n = prazo de antecipao

1.3.1 Desconto Racional Ccomposto

O desconto racional composto, relativo a um dado ttulo de crdito a diferena entre o valor nominal e o valor atual deste, os quais so determinados com base no sistema de capitalizao composta.

d = N A

Como se trata de desconto racional, a frmula para o valor atual pode ser obtida pela relao do montante composto (65).

M = C (1 + i)t N = A (1 + i)n ou A = N (1 + i)-n

Onde: d = N A d = N N. (1 + i)-n

ou d = N [1 (1 + i)-n]

53


Em resumo:

N = A (1 + i)

A = N (1 + i)-n

d = N [1 (1 + i)-n]

N = valor nominal

A = valor atual racional

i = taxa de desconto composto

n = prazo de antecipao do ttulo

d = desconto racional composto

Observao: (1 + i) e (1 + i) encontram-se tabelados.

54



1. Encontre o desconto racional composto, concedido no resgate de um ttulo de R$ 50.000,00, recebido 2 meses antes do seu vencimento, taxa de 3% am.

Resposta:

d = ? N = 50.000 i = 3% am = 0,03 am n = 2 m

Aplicando a relao (75c):

d = N[1 (1 + i)-n] d = 50.000 [1 (1 + 0,03)-2]

Consultando a tbua financeira para i =3% e n = 2, encontra-se: (1+ 0,03) = 0,942596.

Da: d = 50.000 [1 0,942596] d = 50.000 x 0,057404

d = 2.780,2

d = R$ 2.870,20

2. Qual o valor atual de um ttulo de R$ 100.000,00, resgatado racionalmente taxa composta de 4% am, 3 meses antes de seu vencimento?

Resposta:

A = ? N = 100.000 i = 4% am = 0,04 am n = 3 m

Aplicando a relao (75b):

A = N(1 + i)-n A = 100.000 (1 + 0,04)-3

Pela tbua financeira, (1 + 0,04)-3 = 0,888996. Ento:

A = 100.000 x 0,888996 A = 88.899,6

A = R$ 88.899,60

3. Por ter pago uma dvida de R$ 300.000,00, 4 meses antes de seu vencimento, uma pessoa obteve um desconto de R$ 22.846,50. Qual a taxa de desconto racional envolvido nessa operao?

Resposta:

i = ? N = 300.000 d = 22.846,5 n = 4 m

Aplicando a relao (75c):

d = N[1 (1 + i)-n] 22.846,5 = 300.000 [1 (1 + i)-4]

0,076155 = 1 (1 + i)4

(1 + i)4 = 0,923845

Pela tbua financeira: i = 2% am ou 0,02 am

55


1.3.2 Desconto Comercial Composto

As frmulas para o clculo do desconto comercial composto, relativo a um dado ttulo de crdito, so obtidas pelas frmulas do desconto comercial simples, aplicadas perodo a perodo.

Chamando de Anc o valor atual comercial do ttulo, em n perodos antes de sua data de vencimento, observa-se:

Ac1 = N (1 ic)

Ac2 = Ac1 (1 ic)

Substituindo Ac1 em Ac2:

Ac2 = N = (1 ic) x (1 ic) Ac2 = N (1 ic)

Analogamente:

Ac3 = Ac2 (1 ic) Ac3 = N(1 ic) (1 i) Ac3 = N (1 ic)

Generalizando esse processo:

Ac = N (1 ic)n

Quanto relao para o desconto comercial composto:

dc = N Ac dc = N N (1 ic) dc = N [1 (1 ic)n]

Ac = N (1 ic) ou N Ac (1 ic)

n

dc = N [1 (1 ic)n ]

Onde:


N = valor nominal

ic = taxa de desconto comercial composto

n = prazo de antecipao

dc = desconto comercial composto

56



1. Obtenha o desconto comercial composto, concedido no resgate de um ttulo de R$ 50 000,00, 2 meses antes de seu vencimento, taxa de 3% am.

Resposta:

N = 50.000 i = 3% am = 0,03 n = 2 dc = ?

dc = N [1 (1-ic)] dc = 50.000 [1 (1 0,03)]

dc = 50.000 x 0,0591

dc = R$ 2.955,00

2. Qual o valor atual de um ttulo de R$ 100.000,00, 3 meses antes de seu vencimento, considerando-se a taxa composta de 4% am, sob o critrio do desconto comercial?

Resposta:

N = 100.000 i = 0,04 am n = 3 m Ac = ?

Ac = N(1 ic) Ac = 100.000 (1 0,04)

Ac = 100.000 x 0,884736 Ac = R$ 88.473,60

57


1.4 Equivalncia de Capitais

Dois (ou mais) capitais, com datas de vencimento diferentes so ditos capitais equivalentes quando, transportados para uma mesma data, mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais.

A data para a qual os capitais sero transportados chamada data focal. No regime de juros simples, a escolha da data focal influencia a resposta do problema. Isto significa que definida uma taxa de juro, e a forma de clculo (se racional ou comercial), dois capitais diferentes, em datas diferentes, podem ser equiva-lentes, se transportados para uma certa data e podem no ser equivalentes, se transportados para uma outra data, mesmo mantendo-se todas as outras condies do problema.

A fim de fazer o transporte de um capital para a data focal, destacam-se dois casos:

1 caso: o capital est localizado em data posterior data focal.

Nesse caso, deve-se encontrar o valor atual do capital na data focal, fazendo uso da frmula do valor atual (racional ou comercial, conforme o caso).

2 caso: o capital est localizado em data anterior data focal.

Nesse caso, deve-se encontrar o valor futuro do capital, fazendo uso da frmula do valor nominal (racional ou comercial, conforme o caso).

Na prtica, os problemas envolvendo equivalncia de capitais surgem, principalmente, quando h a mudana da data de vencimento de um ttulo.

58



1. Verifique se os capitais R$ 6.400, 00, com vencimento para 3 meses, e R$ 10. 000, 00, com vencimento para 7 meses, so ou no equivalentes pelo critrio da taxa comercial simples a 10% am, na data focal 5.

Resposta:

Transportando, pela relao (49), o primeiro capital para a data focal:

N = Ac N = 6.400 N = 8.000

1 icn 1 0,1 x 2

Transportando, pela relao (49), o segundo capital para a data focal:

Ac = N(1 icn) Ac = 10.000 (1 0,1 x 2) Ac = 8.000

Os capitais so equivalentes, pois ambos valem R$ 8.000,00 na data focal 5.

2. Desejo substituir um ttulo de R$ 50.000,00 que vence hoje por outro que vencer daqui a 3 meses. Para esse tipo de transao, o banco aplica a taxa comercial simples de 20% am e, para os clculos, adota a data focal 3. Qual o valor do novo ttulo?

Resposta: Vamos chamar de N a quantia procurada.

Transportando, pela relao (49), o capital dado para a data focal:

N = Ac N = 50.000 N = 50.000

1 icn 1 0,2 x 3 0,4

O novo ttulo com vencimento para trs meses ter valor nominal de R$ 125 000,20.

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3. Uma pessoa trocou um ttulo de R$ 159.500,00, com vencimento para 45 dias, por outro a ele equivalente, a uma determinada taxa de desconto racional, com vencimento para 10 dias e valor nominal R$ 121.000,00. Qual o valor dessa taxa racional, considerando-se a data focal zero?

Resposta:

Transportando o ttulo a 45 dias para a data focal:

A = N A1 = 159 500

1 + in 1 + 45i

Transportando o ttulo a 10 dias para a data focal:

A = N A2 = 121 000

1 + in 1 + 10i

Para que os dois capitais sejam equivalentes, deve-se ter A1 = A2:

A1 = A2 159.500 = 121.000 159.500(1 + 10i) = 121.000 (1 + 45i)

1 + 45i 1 + 10i

319 (1 + 10i) = 242 (1 + 45i)

319 + 3.190i = 242 + 10.890i

7.700i = 77

i = 0,01 ad ou i = 1% ad

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4. Uma pessoa deve a um banco os seguintes valores: 30.000,00 com vencimento hoje, R$ 50.000,00 com vencimento para 30 dias e R$ 70.000,00 com vencimento em 60 dias. No entanto, sentindo que no poder pagar essas quantias nas datas previstas, prope ao seu credor o pagamento total da dvida, em uma s vez, daqui a 90 dias. Qual o valor desse pagamento nico, se foi usada para essa transao a taxa simples racional de 15% am e a data focal 90?

Resposta:

O valor procurado (N) ser a soma dos valores futuros de cada uma das partes da dvida (N1, N2 e N3), em sua data focal.

Aplicando, em cada caso, a relao 46:

N1 = A1 (1 + in1) N1 = 30.000 (1 + 0,15 x 3) N1 = 43.500

N2 = A2 (1 + in2) N2 = 50.000 (1 + 0,15 x 2) N2 = 65.000

N3 = A3 (1 + in3) N3 = 70.000 (1 + 0,15 x1) N3 = 80.500

Como N = N1 + N2 + N3:

N = 43.500 + 65.000 + 80.500

N = 189.000

O pagamento proposto ser de 189.000,00.

5. Uma pessoa deseja substituir um ttulo de valor nominal de R$ 85.000,00, com vencimento daqui a 2 meses, por outro ttulo, com vencimento para 5 meses. Qual o valor nominal do novo ttulo, sabendo-se que o banco em questo adota, nesse tipo de operao, a taxa composta de 9% am e o critrio do desconto racional?

Resposta:

N = ? A = 85.000

N = 3 i = 0,09

N = A (1 + i) N = 85.000 (1 + 0,09)

N = 85.000 x 1,295029 N = R$ 110077,46

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6. Um comerciante deve dois ttulos: um de R$ 90.000,00, com vencimento para 5 meses, e outro de R$ 140.000,00, com vencimento para 7 meses, e deseja pag-los hoje. Quanto dever desembolsar, se a operao vai se realizar a 4% am, sob o critrio do desconto racional composto?

Resposta:

Transportando o ttulo de 5 meses para a data zero:

A = N (1 + i) A = 90.000 (1 + 0,04) -5

A = 90.000 x 0,821927 A = R$ 73.973,43

Transportando o ttulo de 7 meses para a data zero:

A = N (1 + i) A = 140.000 (1 + 0,04) -7

A = 140.000 x 0,759918 A = R$ 106.388,52

O valor procurado (x) ser dado pela soma dos valores atuais encontrados:

X = 73.973,43 + 106.388,52 R$ 180.361,95

62



Prezado estudante, resolva as seguintes atividades sobre descontos simples e descontos compostos.

1. Um ttulo com valor nominal de R$ 50.000,00 foi resgatado 15 dias antes de sua data de vencimento, taxa de 90% aa, sob o critrio do desconto racional. Qual foi o desconto concedido? Por quanto foi negociado o ttulo?

2. Em 1992, sobre uma dvida paga 18 dias antes de seu vencimento, obteve-se um desconto comercial de R$ 56.160,00. Qual era o valor dessa dvida, se a taxa de desconto comercial usada na operao foi de 120% am?

3. Em 1992, o resgate de uma nota promissria de R$ 320.000,00, 1 ms e 15 dias antes de seu vencimento, foi feito com desconto comercial de R$ 144.00,00. Qual a taxa diria de desconto adotada nessa operao?

4. Qual o prazo de antecipao de um ttulo de R$ 32.000,00, negociado com desconto de R$ 8.064,00, taxa comercial de 7% am?

5. Em 1992, por uma duplicata de R$ 50.000,00, um banco pagou, em data anterior a seu vencimento, R$ 30.000,00. Encontre o perodo de antecipao do ttulo, sabendo que a operao se deu sob o critrio do desconto comercial, a 4% ad.

6. Qual o valor lquido de uma nota promissria de valor nominal R$ 70.213,15, resgatada 2 meses antes de vencimento, a 17% am, pelo critrio do desconto racional?

7. Dois ttulos (A e B) foram resgatados 3 e 4 meses, respectivamente, antes de suas datas de vencimento e receberam desconto por fora, taxa de 5% am. A diferena entre os descontos obtidos pelo ttulo B e pelo ttulo A foi de R$ 4.500,00. Encontre o valor nominal de cada ttulo, sabendo-se que os dois somam R$ 390.000,00.

8. Uma indstria obteve um emprstimo para ser pago, em um nico pagamento de R$ 2.000,000,00, aps 1 ano. Decorridos 10 meses, a diretoria resolveu liquid-lo. Qual o desconto racional a que fez jus se a taxa adotada na operao foi de 5% am?

9. Com base na taxa composta de 10% am, um ttulo foi descontado 3 meses antes do seu vencimento. Qual o valor atual desse ttulo se o seu valor nominal de R$ 400.000,00?

63


10. Um ttulo de R$ 350.000,00, com vencimento em 10/4/98, foi descontado em 10/4/96 em um banco que cobra 14% aa, capitalizao semestralmente. Qual o valor recebido pelo ttulo em 10/4/96?

11. O valor de ttulo, descontado 6 meses antes de seu vencimento, reduziu de R$ 465,85 para R$ 350,00. Qual a taxa bimestral racional composta, adotada nessa operao?

12. Encontre a taxa de juro composto adotada no desconto racional de um ttulo de R$ 975.000,00, sabendo que o ttulo sofreu um desconto de R$ 125.344,50 a 4 meses de seu vencimento.

13. Por um ttulo de R$ 1.000,000, 00 paguei R$ 887.971,00. Qual o prazo de antecipao desse ttulo, se o desconto racional composto deu-se a 2% am?

14. Um automvel vendido a vista por R$ 23.000,00. A prazo, o automvel vendido em dois pagamentos de R$ 13.200,00 mensais, sendo o primeiro em 30 dias. Qual a taxa racional de juro adotada nessa operao? (Dado: data focal zero.)

15. Uma empresa tomou emprestado de um banco o valor de R$ 2.000 000,00, taxa de juro composto de 12% am, por 7 meses. No entanto, 15 dias antes da data prevista para o vencimento, a empresa decidiu liquidar a dvida. Qual o valor a ser pago, se nessa data o banco estava operando a 15% am?

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Na atividade de n 1Resposta: d = R$ 1.807,23 A = R$ 48.1792,77Um ttulo de R$ 50.000,00, sendo resgatado 15 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de 90% aa, sob o critrio do desconto racional, tem um desconto de R$ 1.807,23, sendo negociado por R$ 48.1792,77.

Na atividade de n 2Resposta: R$ 7.800,00O valor de uma dvida, paga 18 dias antes de seu vencimento e que ao ser paga teve um desconto comercial de R$ 56.160,00 de 120% am, de R$ 7.800,00.

Na atividade de n 3Resposta: 0,01 ou 1%A taxa diria de desconto foi de 0,01 ou 1%.

Na atividade de n 4Resposta: 3 meses ou 18 diasO prazo de antecipao de um ttulo de R$ 32.000,00, negociado com desconto de R$ 8.064,00, taxa comercial de 7% am de 3 meses ou 18 dias.

Na atividade de n 5Resposta: 10 diasO perodo de antecipao do ttulo de 10 dias.

Na atividade de n 6Resposta: R$ 52.397,87O valor lquido de uma nota promissria de R$ 70.213,15, resgatada 2 meses antes de seu vencimento a 17% am, pelo critrio do desconto racional, de R$ 52.397,87.

Na atividade de n 7Resposta: NA = R$ 180.000,00 NB = R$ 210.000,00Os valores nominais de cada ttulo respectivamente so: ttulo A no valor de R$ 180.000,00 e o ttulo B no valor de R$ 210.000,00.

Na atividade de n 8Resposta: R$ 185.942,00O desconto racional do emprstimo foi de R$ 185.942,00.

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Na atividade de n 9Resposta: R$ 300.526,00O valor atual do ttulo de R$ 300.526,00.

Na atividade de n 10Resposta: 267.013,25Um ttulo de R$ 350.000,00, com vencimento em 10/4/98, foi descontado em 10/4/96 em um banco que cobra 14% aa, com uma capitalizao semestral. O valor recebido pelo ttulo em 10/4/96, data em que foi descontado, de 267.013,25.

Na atividade de n 11Resposta: 10% abA taxa bimestral racional composta de um ttulo que foi descontado 6 meses antes de seu vencimento e que teve seu valor reduzido de R$ 465,85 para R$ 350,00, de 10% ab.

Na atividade de n 12Resposta: 3,5 amUm ttulo de R$ 975.000,00, que teve um desconto de R$ 125.344,50 a 4 meses de seu vencimento, tem uma taxa de juro composto de 3,5% ao ms.

Na atividade de n 13Resposta: 6 mesesUm ttulo de R$ 1.000,000, 00 pago por R$ 887.971,00, tem um prazo de antecipao de 6 meses, com um desconto racional composto de 2% ao ms.

Na atividade de n 14Resposta: 10% amUm automvel que vendido a vista por R$ 23.000,00 e a prazo em dois pagamentos de R$ 13.200,00 mensais, com o primeiro em 30 dias, tem uma taxa racional de juro de 10% ao ms.

Na atividade de n 15Resposta: R$ 4.122. 941,32Um banco empresta a uma empresa a quantia de R$ 2.000 000,00, a uma taxa de juro composto de 12% ao ms, durante 7 meses. Entretanto, a empresa liquida a dvida 15 dias antes do vencimento. Como o banco nessa data opera com uma taxa de 15% ao ms, o valor a ser pago de R$ 4.122. 941,32.

Mdulo


Rendas

V

OBJETIVO:

Nesse mdulo voc estudar de forma ampla as rendas, visando com-preend-las e identific-las na resolu-o de problemas.

68


1 RENDAS CERTAS

Certamente, voc j se deparou com uma das seguintes situaes:

Compra de um bem de consumo a credito;

Investimento em poupanas programadas;

Compra de imvel pelo Sistema Financeiro de Habilitao SFH.

Considera-se que quando se quer construir um capital, deposita-se, periodicamente, certa quantia em um banco. Neste caso, efetua-se uma Capitalizao. Nos casos em que pago, periodicamente, certa quantia para resgatar uma dvida, realiza-se uma Amortizao.

Essa sucesso de pagamentos e depsitos recebe o nome de Rendas Certas, que podem ser:

Temporria: quando o nmero de termos finito;

Peridicas: quando os intervalos que ocorrem entre cada dois pagamentos so iguais;

Constantes: quando todos os pagamentos so iguais.

As rendas classificam-se em:

Tipos de Rendas Vencimento do primeiro termo e formas

Antecipadas 1 prestao pagvel por ocasio da assinatura do contrato.Ex.: 1 + 3, 1 + 9HP 12C (g) (BEG)

Postecipada ou Imediata1 prestao pagvel em 30 dias aps a assinatura do contrato. Ex.: 0 + 4, 0 + 10HP 12C (g) (END)

Diferidas ou Carncia 1 prestao pagvel em 60 dias, ou mais da assinatura do contrato. Ex.: ca-rncia HP 12C no est programada para clculo direto nesta modalidade.

Para especificar a modalidade de pagamento:

Pressione g BEG (BEGin = incio) se os pagamentos forem feitos no incio dos perodos de composio;

Pressione g END (END = fim) se os pagamentos forem feitos ao final dos perodos de com-posio.

O indicador de estado (anncio) BEGIN fica aceso quando tal modalidade est em vigor. Se BEGIN no estiver aceso, a modalidade de pagamentos em vigor ser END.

1.1 Classificao das Sries de Pagamentos

a) Quanto ao tempo

Temporria quando tem um nmero limitado de pagamento;

Infinita quando tem um nmero infinito de pagamentos.

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b) Quanto a constncia ou periodicidade

Peridicas quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos iguais;

No peridicas quando os pagamentos ocorrem em intervalos de tempos variveis.

c) Quanto ao valor dos pagamentos

Fixos ou Uniformes quando todos os pagamentos so iguais;

Variveis quando os valores dos pagamentos variam.

d) Quanto ao vencimento do primeiro pagamento

Imediata quando o primeiro pagamento ocorre exatamente no primeiro perodo de srie, ou seja, ocorrer em perodos subsequentes.

e) Quanto ao momento dos pagamentos

Antencipadas quando o primeiro pagamento ocorre no momento 0 (zero) da srie de pagamentos;

Postecipadas quando os pagamentos ocorrem no final dos perodos.

1.1.1 Sries Uniformes de Pagamentos

As Sries Uniformes de Pagamentos so aquelas em que os pagamentos ou recebimentos so cons-tantes e ocorrem em intervalos iguais. Para classificar estes conceitos, necessrio interpretar as seguintes palavras:

Srie Nmero de coisas ou eventos, semelhantes ou relacionados, disposto ou ocorrendo em su-cesso espacial ou temporal;

Uniforme Que tem uma s forma; que tem a mesma forma igual, idntico; muito semelhante;

Pagamento Cumprimento efetivo da obrigao exigvel.

Representa-se graficamente as sries uniformes de pagamentos da seguinte forma:

a) Do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos:

Onde: PMT = pagamentos ou prestao ou recebimentos

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b) Do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos

Onde: PMT = pagamento ou prestao

Teclas e Funes Financeiras na calculadora HP 12C que utilizaremos nos prximos exemplos:

n (calcula o prazo); i (calcula a taxa); PV (calcula o valor presente); PMT (calcula a prestao) FV (calcula o valor futuro); CHS (troca um sinal de um nmero de positivo para negativo ou o contrrio, ou seja, de negativo para positivo);

g [END] (para clculos de sries uniformes de pagamentos postecipadas);g [BEG] (para clculos de sries de pagamentos antecipadas);f [FIN] (limpa as funes financeiras);f [REG] (limpa todas as funes).

1.1.2 Sries Uniformes de Pagamentos Postecipadas

As sries uniformes de pagamentos postecipadas so aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no momento 1; este sistema tambm chamado de sitema de pagamento ou recebimento sem entrada (0 + n). Pagamentos ou recebimentos podem ser chamados de prestao, representada pela sigla PMT que vem do ingls Payment e significa pagamento ou recebimento.

1.1.3 Dada a Prestao (PMT), Achar o valor Presente (PV)

Apresenta-se abaixo um diagrama de fluxo de caixa que representa o clculo do valor presente (PV) com base na prestao (PMT):

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A demonstrao do conceito de valor presente (PV), em uma srie de pagamento uniforme poste-cipada, consiste em trazer cada um dos termos para focal zero e, na sequncia, som-los, obtendo-se o valor presente da srie uniforme de pagamento. Para um maior entendimento deste conceito apresenta-se as seguintes frmulas:

PV = PMT + PMT + ... + PMT

(1 + i)1 (1 + 1)2 (1 + i)

(1 + i)n -1

(1 + i)n x i

Onde:

PMT = prestao ou pagamento.

Exemplo:

Calcule o valor de um financiamento a ser quitado atravs de seis pagamentos mensais de R$ 1.500,00, vencendo a primeira parcela 30 dias da libertao dos recursos, sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operao.

Dados: PV =?

n = 6 meses

i = 3,5% ao ms

PMT = R$ 1.500,00

PV = PMT

Soluo 1: algbrica

PV = 1.500 (1 + 0,035)6 1 (1 + 0,035)6 x 0,035

PV = 1.500 (1,035)6 -1 (1,035)6 x 0,035

PV = 1.500 1,22955... -1 (1,229255... x 0,035)

PV = 1.500 0,229255... 0,043024...

PV = 1,500 [5,328553...]

PV = R$ 7.992,83

72


1.1.4 Dado o Valor Presente (PV), Achar a Prestao (PMT)

Frmu

Capitalizacao Simples e Composta

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