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Capítulo -1

CONCEITOS

FUNDAMENTAIS

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Capítulo – 1 - Termodinâmica Aplicada - pág - 2

1 - CONCEITOS FUNDAMENTAIS 1.1 - Sistema Termodinâmico Sistema termodinâmico consiste em uma quantidade de matéria ou região para a qual nossa atenção está voltada. Demarcamos um sistema termodinâmico em função daquilo que desejamos calcular. Tudo que se situa fora do sistema termodinâmico é chamado MEIO ou VIZINHANÇA. O sistema termodinâmico a ser estudado é demarcado através de uma FRONTEIRA ou SUPERFÍCIE DE CONTROLE a qual pode ser móvel, fixa, real ou imaginária. Sistema Fechado - É o sistema termodinâmico no qual não há fluxo de massa através das fronteiras que definem o sistema. Volume de Controle - Ao contrário do sistema fechado, é o sistema termodinâmico no qual ocorre fluxo de massa através da superfície de controle que define o sistema.

Assim, dependendo da interação entre o sistema termodinâmico definido para estudo, e a vizinhança, chamaremos a essa região de Sistema Fechado (demarcado pela fronteira) ou Volume de Controle (demarcado pela superfície de controle) conforme se verifique as definições acima citadas. Exemplos de Sistema Fechado e Volume de Controle

A figura 1.1-1 é um sistema termodinâmico fechado, pois não há fluxo de massa através das fronteiras do sistema, embora haja fluxo de calor.

A figura 1.1-2, por sua vez, constitui um volume de controle pois temos fluxo de massa atravessando a superfície de controle do sistema.

Fig. 1.1-1 - Sistema fechado Fig. 1 .1-2 - Volume de controle Sistema Isolado - Dizemos que um sistema termodinâmico é isolado quando não existe qualquer interação entre o sistema termodinâmico e a sua vizinhança. (ou seja, através das fronteiras não ocorre fluxo de calor, massa, trabalho etc. )

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1.2 - Estado e Propriedades de uma Substância Se considerarmos uma massa de água, reconhecemos que ela pode existir sob várias formas. Se é inicialmente líquida pode-se tornar vapor após aquecida ou sólida quando resfriada. Assim nos referimos às diferentes fases de uma substância: uma fase é definida como uma quantidade de matéria totalmente homogênea; quando mais de uma fase está presente, as fases se acham separadas entre si por meio dos contornos das fases. Em cada fase a substância pode existir a várias pressões e temperaturas ou, usando a terminologia da termodinâmica, em vários estados. O estado pode ser identificado ou descrito por certas propriedades macroscópicas observáveis; algumas das mais familiares são: temperatura, pressão, volume, etc. Cada uma das propriedades de uma substância num dado estado tem somente um valor definido e essa propriedade tem sempre o mesmo valor para um dado estado, independente da forma pela qual a substância chegou a ele. De fato, uma propriedade pode ser definida como uma quantidade que depende do estado do sistema e é independente do caminho (isto é, da história) pelo qual o sistema chegou ao estado considerado. Inversamente, o estado é especificado ou descrito pelas propriedades.

Propriedades Termodinâmicas - As propriedades termodinâmicas podem ser divididas em duas classes gerais, as intensivas e as extensivas. Propriedade Extensiva - Chamamos de propriedade extensiva àquela que depende do tamanho (extensão) do sistema ou volume de controle. Assim, se subdividirmos um sistema em várias partes (reais ou imaginárias) e se o valor de uma dada propriedade for igual à soma das propriedades das partes, esta é uma variável extensiva. Por exemplo: Volume, Massa, etc. Propriedade Intensiva - Ao contrário da propriedade extensiva, a propriedade intensiva, independe do tamanho do sistema. Exemplo: Temperatura, Pressão etc. Propriedade Específica - Uma propriedade específica de uma dada substância é obtida dividindo-se uma propriedade extensiva pela massa da respectiva substância contida no sistema. Uma propriedade específica é também uma propriedade intensiva do sistema. Exemplo de propriedade específica:

Volume específico , νν , νν ==VM

Energia Interna específica , u, uUM

==

onde: M é a massa do sistema, V o respectivo volume e U é a energia interna total do sistema.

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1.3 - Mudança de Estado de um Sistema Termodinâmico Quando qualquer propriedade do sistema é alterada, por exemplo; Pressão, Temperatura, Massa, Volume, etc. dizemos que houve uma mudança de estado no sistema termodinâmico. Processo - O caminho definido pela sucessão de estados através dos quais o sistema passa é chamado processo. Exemplos de processos: - Processo Isobárico (pressão constante) - Processo Isotérmico (temperatura constante) - Processo Isocórico (isométrico) (volume constante) - Processo Isoentálpico (entalpia constante) - Processo Isoentrópico (entropia constante) - Processo Adiabático (sem transferência de calor) Ciclo Termodinâmico - Quando um sistema (substância), em um dado estado inicial, passa por certo número de mudança de estados ou processos e finalmente retorna ao estado inicial, o sistema executa um ciclo termodinâmico. Deve ser feita uma distinção entre ciclo termodinâmico, descrito acima, e um ciclo mecânico. Um motor de combustão interna de quatro tempos executa um ciclo mecânico a cada duas rotações. Entretanto o fluido de trabalho não percorreu um ciclo termodinâmico dentro do motor, uma vez que o ar e o combustível são queimados e transformados nos produtos de combustão, que são descarregados para a atmosfera. 1.4 - Lei Zero da Termodinâmica Quando dois corpos tem a mesma temperatura dizemos que estão em equilíbrio térmico entre si. Podemos definir a lei zero da termodinâmica como: " Se dois corpos estão em equilíbrio térmico com um terceiro eles estão em equilibrio térmico entre si ".

A lei zero da termodinâmica define os medidores de temperatura, os TERMÔMETROS.

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1.5 - Escalas de Temperatura Para a maior parte das pessoas a temperatura é um conceito intuitivo baseado nas sensações de "quente" e "frio" proveniente do tato. De acordo com a segunda lei da termodinâmica, a temperatura está relacionada com o calor ficando estabelecido que este, na ausência de outros efeitos, flui do corpo de temperatura mais alta para o de temperatura mais baixa espontaneamente. O funcionamento dos termômetros está baseada na lei zero da termodinâmica pois são colocados em contato com um corpo ou fluido do qual se deseja conhecer a temperatura até que este entre em equilíbrio térmico com o respectivo corpo. A escala do aparelho foi construída comparando-a com um termômetro padrão ou com pontos físicos fixos de determinadas substâncias. Quatro escalas de temperatura são hoje usadas para se referir à temperatura, duas escalas absolutas e duas escalas relativas; são elas respectivamente: Escala KELVIN (K) e RANKINE (°R) e escala Celsius (°C) e Fahrenheit (°F). A Fig. 1.5-1 mostra as quatro escalas de temperatura e a relação entre elas.

Figura 1.5-1 - As escalas de temperatura e sua inter-relação Tipos de Termômetros - Termômetro de Mercúrio em vidro (expansão volumétrica) - Termômetro de Alcool em vidro (expansão volumétrica) - Termômetro de Par Bimetálico (dilatação linear diferenciada) - Termômetro de Termistores (variação da resistividade) - Termômetro de Gás Perfeito (expansão volumétrica) - Termômetro de Termopar (força eletromotriz) - Pirômetro Ótico (cor da chama) - etc.

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Exemplo 1.5-1

Escreva a relação entre graus Celsius (oC) e Fahrenheit (oF) Solução - Considere-se a escala dos dois Termômetros, Celsius e Fahrenheit como mostrado na figura

Interpolando linearmente as escalas entre a referência de gelo fundente e a referência de vaporização da água temos:

O OC F−−−−

==−−−−

0

100 0

32

212 32 →

O OC F== −−5

932( )

1.6 - Pressão Pressão, uma propriedade termodinâmica, é definida como sendo a relação entre uma força e a área normal onde está sendo aplicada a força. A Fig. 1.6-1 ilustra a definição dada pela equação 1.6 -1

PA A

F

Ai

N== →→

lim

δδ δδ

δδδδ

(1.6 -1)

Figura 1.6-1 - Definição de Pressão

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Unidades de Pressão

Pascal, Pa = N

m 2 ,

Quilograma - força por metro quadrado, = kgfm 2

Psig = lbfin2 , (manométrica) Psia =

lbf

in2 (absoluta)

bar = 105 Pascal

As pressões abaixo da pressão atmosférica e ligeiramente acima e as diferenças de pressão (como por exemplo, ao longo de um tubo, medidas através de um orifício calibrado) são obtidas freqüentemente com um manômetro em U que contém como fluido manométrico: água, mercúrio, Alcool, etc. como mostra a Fig. 1.6-2

Figura 1.6-2 manômetro em U usado junto com um orifício calibrado

Pelos princípios da hidrostática podemos concluir que, para uma diferença de nível, L em metros, em um manômetro em U, a diferença de pressão em Pascal é dada pela relação :

∆∆P gL== ρρ onde g é a aceleração da gravidade, em m/s2, ρρ é a densidade do fluido manométrico, em kg/m3 e L é a altura da coluna de líquido, em m (metros) . OBS. A pressão atmosférica padrão é definida como a pressão produzida por uma coluna de mercúrio exatamente igual a 760 mm sendo a densidade do mercúrio de 13,5951 gm / cm3 sob a aceleração da gravidade padrão de 9,80665 m / s2 uma atmosfera padrão = 760 mmHg =101325 Pascal = 14,6959 lbf / in2

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Exemplo 1.6-1 Em uma análise para se obter o balanço térmico de um motor diesel é necessário medir-se a vazão de ar admitido pelo motor. Um orifício calibrado é montado em uma caixa de entrada junto com um manômetro em U na admissão do motor, como mostrado,

esquematicamente na figura. A vazão mássica do fluido escoando, m••

, em kg/m3 está

relacionada, em um orifício calibrado, pela seguinte expressão, m A C PD

••

== 2ρρ ∆∆ , onde ∆∆P

é a diferença de pressão no manômetro em U , em Pascal, A é a área do orifício calibrado, em metros quadrados, CD é o coeficiente de descarga do orifício, cujo valor particular, para este caso é 0,59, ρρ é a densidade do fluido em escoamento. Determinar a vazão de ar para os dados mostrados na figura. (Considere a aceleração gravitacional local igual a 9,81 m/s2 , a densidade do ar como sendo, ρρ = 1,2 kg/m3 e a densidade da água do manômetro igual a 1000 kg/m3)

Solução - Cálculo da diferença de Pressão indicada no manômetro em U:

∆∆P g L Pa== == •• •• ==ρρ 1000 9 81 0 260 2550 6, , , - Calculo da área do orifício calibrado. Dos dados da figura temos

Ad

m== ==••

==ππ 2 2

2

4

3 14159 0 045

40 00159

, ( , ),

- A vazão em massa de ar admitida pelo motor diesel, pela expressão será

mkgs

AR

••

== •• •• •• ==0 00159 0 59 2 1 2 2 550 6 0 0734, , , . , ,

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Exercícios 1-1) Um manômetro montado em um recipiente indica uma pressão de 1,25MPa e um barômetro local indica 96kPa. Determinar a pressão interna absoluta do recipiente em: a) MPa , b) kgf/cm2, c) Psia e d) em milímetros de coluna de mercúrio. OBS.: Adote para o mercúrio a densidade de 13,6gm/cm3 1-2) Um termômetro, de liquido em vidro, indica uma temperatura de 30 oC. Determine a respectiva temperatura nas seguintes escalas: a) em graus Fahrenheit (oF) , b) em graus Rankine (oR) e c) em Kelvin (K). 1-3) Um manômetro contém um fluido com densidade de 816 kg/m3. A diferença de altura entre as duas colunas é 50 cm. Que diferença de pressão é indicada em kgf/cm2? Qual seria a diferença de altura se a mesma diferença de pressão fosse medida por um manômetro contendo mercúrio (adote densidade do mercúrio de 13,60 gm/cm3) 1-4) Um manômetro de mercúrio, usado para medir um vácuo, registra 731 mm Hg e o barômetro local registra 750 mm Hg. Determinar a pressão em kgf/cm2 e em microns.

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Capítulo - 2

PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS

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Capítulo - 2 - Termodinâmica Aplicada - pág. - 2

2 - PROPRIEDADES DE UMA SUBSTÂNCIA PURA 2.1 - Substância Pura Substância pura é aquela que tem composição química invariável e homogênea. Pode existir em mais de uma fase, mas a sua composição química é a mesma em todas as fases. Assim água líquida e vapor d'água ou uma mistura de gelo e água líquida são todas substância puras, pois cada fase tem a mesma composição química. Por outro lado uma mistura de ar líquido e gasoso não é uma substância pura, pois a composição química da fase líquida é diferente daquela da fase gasosa. Neste trabalho daremos ênfase àquelas substâncias que podem ser chamadas de substância simples compressíveis. Por isso entendemos que efeitos de superfície, magnéticos e elétricos, não são significativos quando se trata com essas substâncias. Equilíbrio de Fase Líquido - Vapor - Considere-se como sistema 1 kg de água contida no conjunto êmbolo-cilindro como mostra a figura 2.1-1. Suponha que o peso do êmbolo e a pressão atmosférica local mantenham a pressão do sistema em 1,014 bar e que a temperatura inicial da água seja de 15 OC. À medida que se transfere calor para a água a temperatura aumenta consideravelmente e o volume específico aumenta ligeiramente (Fig. 2.1-1b) enquanto a pressão permanece constante.

Figura 2.1-1 - Representação da terminologia usada para uma substância pura à pressão P e

temperatura T, onde Tsat é a temperatura de saturação na pressão de saturação P. Quando a água atinge 100 OC uma transferência adicional de calor implica em uma mudança de fase como mostrado na Fig. 2.1-1b para a Fig. 2.1-1c, isto é,

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uma parte do líquido torna-se vapor e, durante este processo, a pressão permanecendo constante, a temperatura também permanecerá constante mas a quantidade de vapor gerada aumenta consideravelmente (aumentado o volume específico), como mostra a Fig. 2.1-1c. Quando a última porção de líquido tiver vaporizado (Fig. 2.1-1d) uma adicional transferência de calor resulta em um aumento da temperatura e do volume específico como mostrado na Fig. 2.1-1e e Fig. 2.1-1f Temperatura de saturação - O termo designa a temperatura na qual se dá a vaporização de uma substância pura a uma dada pressão. Essa pressão é chamada “pressão de saturação” para a temperatura dada. Assim, para a água (estamos usando como exemplo a água para facilitar o entendimento da definição dada acima) a 100 oC, a pressão de saturação é de 1,014 bar, e para a água a 1,014 bar de pressão, a temperatura de saturação é de 100 oC. Para uma substância pura há uma relação definida entre a pressão de saturação e a temperatura de saturação correspondente. Líquido Saturado - Se uma substância se encontra como líquido à temperatura e pressão de saturação diz-se que ela está no estado de líquido saturado, Fig.2.1-1b. Líquido Subresfriado - Se a temperatura do líquido é menor que a temperatura de saturação para a pressão existente, o líquido é chamado de líquido sub-resfriado (significa que a temperatura é mais baixa que a temperatura de saturação para a pressão dada), ou líquido comprimido, Fig. 2.1-1a, (significando ser a pressão maior que a pressão de saturação para a temperatura dada). Título (x) - Quando uma substância se encontra parte líquida e parte vapor, vapor úmido, Fig. 2.1-1c, a relação entre a massa de vapor pela massa total, isto é, massa de líquido mais a massa de vapor, é chamada título. Matematicamente:

xm

m m

m

mv

l v

v

t

=+

= (2.1-1)

Vapor Saturado - Se uma substância se encontra completamente como vapor na temperatura de saturação, é chamada “vapor saturado”, Fig. 2.1-1d, e neste caso o título é igual a 1 ou 100% pois a massa total (mt) é igual à massa de vapor (mv), (freqüentemente usa-se o termo “vapor saturado seco”) Vapor Superaquecido - Quando o vapor está a uma temperatura maior que a temperatura de saturação é chamado “vapor superaquecido” Fig. 2.1-1e. A pressão e a temperatura do vapor superaquecido são propriedades independentes, e neste caso, a temperatura pode ser aumentada para uma pressão constante. Em verdade, as substâncias que chamamos de gases são vapores altamente superaquecidos. A Fig. 2.1-1 retrata a terminologia que acabamos de definir para os diversos estados termodinâmicos em que se pode encontrar uma substância pura.

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Considerações importantes 1) Durante a mudança de fase de líquido-vapor à pressão constante, a temperatura se mantém constante; observamos assim a formação de patamares de mudança de fase em um diagrama de propriedades no plano T x v ou P x v, como mostrado na Fig. 2.2-1. Quanto maior a pressão na qual ocorre a mudança de Fase líquido-vapor maior será a temperatura.

2) Aumentando-se a pressão observa-se no diagrama que as linhas de líquido saturado e vapor saturado se encontram. O ponto de encontro dessas duas linhas define o chamado "Ponto Crítico". Pressões mais elevadas que a pressão do ponto crítico resultam em mudança de fase de líquido para vapor superaquecido sem a formação de vapor úmido.

Figura 2.2-1 diagrama T x v e diagrama P x v

3) A linha de líquido saturado é levemente inclinada em relação à vertical pelo efeito da dilatação volumétrica (quanto maior a temperatura maior o volume ocupado pelo líquido), enquanto a linha de vapor saturado é fortemente inclinada em sentido contrário devido à compressibilidade do vapor. A Fig. 2.2-1b mostra o diagrama P -V no qual é fácil visualizar as linhas de temperatura constante e o ponto de inflexão da isoterma crítica

Como exemplo, o ponto crítico para a água, é:

Pcrítica = 22,09 MPa Tcrítica = 374,14 OC Vcritico = 0,003155 m3 / kg

Ponto Triplo - Corresponde ao estado no qual as três fases (sólido, líquido e gasosa) se encontram em equilíbrio. A Fig. 2.3-1 mostra um diagrama de fases (P x T). Para qualquer outra substância o formato do diagrama é o mesmo.

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Uma substância na fase vapor com pressão acima da pressão do ponto triplo muda de fase (torna-se líquido) ao ser resfriada até a temperatura correspondente na curva de pressão de vapor. Resfriando o sistema ainda mais será atingida uma temperatura na qual o líquido irá se solidificar. Este processo está indicado pela linha horizontal 1→2→3 na Fig. 2.3-1.

Para uma substância na fase sólida com pressão abaixo da pressão do ponto triplo ao ser aquecida observe que, mantendo a pressão constante, será atingida uma temperatura na qual ela passa da fase sólida diretamente para a fase vapor, sem passar pela fase líquida, como mostrado na Fig. 2.3-1 no processo 4→5. Como exemplo a pressão e a temperatura do ponto triplo para a água corresponde a 0,6113 kPa e 0,01 OC respectivamente.

Figura 2.3-1 Diagrama de fases para a água (sem escala) 2.2 - Propriedades Independentes das Substâncias Puras Uma propriedade de uma substância é qualquer característica observável dessa substância. Um número suficiente de propriedades termodinâmicas independentes constituem uma definição completa do estado da substância. As propriedades termodinâmicas mais comuns são: temperatura (T), pressão (P), e volume específico (v) ou massa específica (ρ). Além destas propriedades termodinâmicas mais familiares, e que são diretamente mensuráveis , existem outras propriedades termodinâmicas fundamentais usadas na análise de transferência de energia (calor e trabalho), não mensuráveis diretamente, que são: energia interna específica (u), entalpia específica (h) e entropia específica (s). Energia Interna (U) - é a energia possuída pela matéria devido ao movimento e/ou forças intermoleculares. Esta forma de energia pode ser decomposta em duas partes: a - Energia cinética interna, a qual é devida à velocidade das moléculas e, b - Energia potencial interna, a qual é devida às forças de atração que existem entre as moléculas. As mudanças na velocidade das moléculas são identificadas macroscopicamente pela alteração da temperatura da substância (sistema), enquanto que as variações na posição são identificadas pela mudança de fase da substância (sólido, liquido ou vapor)

Entalpia (H) - na análise térmica de alguns processos específicos, freqüentemente encontramos certas combinações de propriedades termodinâmicas. Uma dessas combinações ocorre quando temos um processo a

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pressão constante, resultando sempre uma combinação (U + PV). Assim considerou-se conveniente definir uma nova propriedade termodinâmica chamada “ENTALPIA”, representada pela letra H, determinada matematicamente pela relação:

H = U + P V (2.2-1)

ou a entalpia específica,

h = u + P ν (2.2-2)

Entropia (S) - Esta propriedade termodinâmica representa, segundo alguns autores, uma medida da desordem molecular da substância ou, segundo outros, a medida da probabilidade de ocorrência de um dado estado da substância. Matematicamente a definição de entropia é

dSQT reversivel

==

δδ (2.2-3)

2.3 - Equações de Estado

Equação de estado de uma substância pura é uma relação matemática que correlaciona pressão temperatura e volume específico para um sistema em equilíbrio termodinâmico. De uma maneira geral podemos expressar de forma genérica essa relação na forma da Eq. (2.3-1)

f(P, v, T) = 0 (2.3 -1) Existem inúmeras equações de estado, muitas delas desenvolvidas para relacionar as propriedades termodinâmicas para uma única substância , outras mais genéricas, por vezes bastante complexas, com objetivo de relacionar as propriedades termodinâmicas de várias substâncias. Uma das equações de estado mais conhecida e mais simples é aquela que relaciona as propriedades termodinâmicas de pressão, volume específico e temperatura absoluta do gás ideal, que é;

P Tνν_

== ℜℜ (2.3-2)

onde P, é a pressão absoluta (manométrica + barométrica), em Pascal, νν_

, o volume molar específico, em m3/kmol, a constante universal do gás, que vale, ℜℜ = 8,314 kJ/kmol-K, e T a temperatura absoluta, em Kelvin. A Eq. (2.3-2) pode ser escrita de várias outras formas. Uma forma interessante é escreve-la usando o volume específico e a constante particular do gás, como na Eq. (2.3-3)

P RTνν == (2.3-3)

onde νν , é o volume específico do gás, em m3/kg e R é a constante particular do gás. O valor de R está relacionado à constante universal dos gases pela massa molecular da substância (M). Isto é:

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RM

==ℜℜ

(2.3-4)

Como sabemos, a Eq. (2.3-2) ou (2.3-3) só representa satisfatoriamente gases reais a baixas pressões. Para gases reais a pressões um pouco mais elevadas e gases poliatômicos os resultados obtidos com a equação do gás ideal não é satisfatório, sendo necessário, para gás real, lançar mão de equações mais elaboradas.

Exemplo 2.3-1

Considere o ar atmosférico como um gás ideal e determine o volume específico e a densidade para a pressão atmosférica padrão na temperatura de 20 oC. (adote a massa molecular do ar = 28,97 kg/kmol , ℜℜ = 8 314 J/ kmol-K)

Solução Para a hipótese de gás ideal temos:

P v RT vRTP

== ⇒⇒ ==

A constante particular do gás é dada por:

RM

==ℜℜ

⇒⇒ R == ⇒⇒8314

28 97, R

Jkg Ka r ≅≅

••287

logo, o volume específico será

a) vmkg

==++

≅≅287 273 15 20

1013250 8303

3. ( , ),

A densidade é o inverso do volume específico, assim;

b) ρρ == == ==1 1

0 83031 204 3v

kg

m,,

A equação de estado para gás real mais antiga é a equação de van der Waals (1873) e foi apresentada como uma melhoria semi-teórica da equação de gases ideais, que na forma molar é;

PT

b

a==

ℜℜ

−−−−

νν νν_ _ 2 (2.3-5)

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O objetivo da constante "b" na equação é corrigir o volume ocupado pelas

moléculas e o termo " a / νν_ 2

" é uma correlação que leva em conta as forças intermoleculares de atração das moléculas. As constantes "a " e "b " são calculadas a partir do comportamento do gás. Estas constantes são obtidas observando-se que a isoterma crítica (Fig. 2.2b) tem um ponto de inflexão no ponto crítico e portanto nesse ponto a inclinação é nula [2] Os valores das constantes " a " e " b " são determinados em função das propriedades do ponto crítico, pressão crítica , PC, e temperatura crítica, TC, para cada gás.

aT

PC

C

==ℜℜ27

64

2 2

, bT

PC

C

==ℜℜ8

(2.3-6)

Uma outra equação, considerada mais precisa que a equação de van der Waals e com o mesmo nível de dificuldade é a equação de Redlich - kwong (1949), que para propriedades molares é:

PT

b

a

b T==

ℜℜ

−−−−

++νν νν νν_ _ _

( )1

2

(2.3-7)

Esta equação é de natureza empírica, as constantes "a " e " b " valem;

aT

PC0 4278

2 52

, , bT

PC

C

==ℜℜ

0 08664, (2.3-8)

Constantes para as equações de estado de van der Waals e de Redlich- Kwong para algumas substâncias são dadas na tabela 2.3 -1.

As constantes dadas na tabela (2.3-1) são para pressão, P, em bar, volume

específico molar, νν_

, em m3 / kmol e temperatura, T, em Kelvin

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Tabela (2.3-1) van der Waals Redlich - Kwong Substâncias a bar

mkmol

, ( )3

2

bm

kmol,

3

a barm

kmolK, ( ) ,

32 0 5

bm

kmol,

3

Ar 1,368 0,0367 15,989 0,02541 Butano (C4H10) 13,860 0,1162 289,55 0,08060 Dióxido de carbono (CO2) 3,647 0,0428 64,43 0,02963 Monóxido de carbono (CO) 1,474 0,0395 17,22 0,02737 Metano (CH4) 2,293 0,0428 32,11 0,02965 Nitrogênio (N2) 1,366 0,0386 15,53 0,02677 Oxigênio (O2) 1,369 0,0317 17,22 0,02197 Propano (C3H8) 9,349 0,0901 182,23 0,06342 Refrigerante 12 10,490 0,0971 208,59 0,06731 Dióxido Sulfúrico (SO2) 6,883 0,0569 144,80 0,03945 Vapor Água (H2O) 5,531 0,0305 142,59 0,02111

Exemplo 2.3-2 Um tanque cilíndrico vertical contém 4,0 kg de monóxido de carbono gás à temperatura de -50 OC. O diâmetro interno do tanque é, D=0,2 m e o comprimento, L=1,0 m. Determinar a pressão, em bar, exercida pelo gás usando: a) O modelo de gás ideal, b) O modelo de van der Waals e c) O modelo de Redlich - Kwong

Solução Conhecemos: Tanque cilíndrico de dimensões conhecidas contendo 4,0 kg de monóxido de carbono, CO, a - 50 OC Determinar: A pressão exercida pelo gás usando três modelos diferentes. Hipóteses: 1) Como mostrado na figura ao lado o gás é adotado como sistema fechado 2) O sistema está em equilíbrio termodinâmico Análise: O volume molar específico do gás é necessário nos três modelos requeridos, assim

Vd L

m== == ==ππ 2 2

3

43 14159 0 2 1

40 0314

, .( , ) .,

o volume molar específico será:

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νν νν_

( ) ( )(,

,)( ) ,== == == ==M M V

mm

kmolkg

kmolm

kg280 0314

4 00 2198

3 3

A equação de estado para o gás ideal resulta

P T PT bar

Pabarνν

νν

_

_

( )( , )

,( ) ,== ℜℜ →→ ==

ℜℜ==

−− ++==

8314 50 27315

0 2198 1084 415

Para a Equação de estado de van der Waals as constantes " a " e " b " podem ser lidas diretamente da tabela 2.3-1, então;

a bar mkmol== 1 474

32, ( ) e b m

kmol== 0 03953

, ( ) substituindo,

PT

b

a barPa

bar==ℜℜ

−−−− ==

−− ++−−

−− ==νν νν_ _

( )( , )

( , , )( )

,

( , ),2 5 2

8314 50 27315

0 2198 0 0395 10

1 474

0 219872 3

Também, para a equação de estado de Redlich-Kwong da tabela 2.3-1

obtemos; a barm K

kmol== 17 22

6

2

12

, ( ) e bm

kmol== 0 02737

3

,

substituindo na respectiva equação temos;

PT

b

a

b T

bar

Pa==

ℜℜ

−−−−

++==

−− ++−−

−−νν νν νν_ _ _

( )

( )( , )

( , , )( )

,

( , )( , )( , )12

12

8314 50 27315

0 2198 0 02737 10

17 22

0 21980 0 24717 223155

P = 75,2 bar Observação:

Comparando os valores calculados de Pressão, a equação do modelo de gás ideal resulta em 11 % maior que a equação de van der Waals. Comparando o valor de Pressão obtido pela equação de van der Waals com dados obtidos do diagrama de compressibilidade (Shapiro [2]) este valor é 5% menor. O valor obtido pela modelo de Redlich-Kwong é 1% menor que o valor obtido no diagrama de compressibilidade. Um outro exemplo de equações de estado são as de Eq. (2.3-9) até (2.3-18) que são usada para relacionar as propriedades termodinâmicas dos refrigerantes hidrocarbonos fluorados (R-12, R-22,... etc.) [5]

PR T

v b=

−+ [

( / )

( )]

( / )

( ( )) ( )

A B T C EXP kT T

v b

A B T C EXP kT T

c EXP v EXP vi i i c

ii

c+ + −−

++ + −+=

∑2

56 6 6

1 α α (2.3-9)

19


u uG

iT T G

T T

A kT T C EXP kT T

i v bi

i

i i i C i ci

i

= + − − − ++ + −

− −=−

=∑ ∑0

1

4

0 50

12

51 1 1

1( ) ( ) [

( / ) ( / )

( )( )]( ) +

++ + −A kT T C EXP kT T

EXP vc c6 61( / ) ( / )

( )α α (2.3-10)

h u Pv= + (2.3-11)

s s G T TG

iT T

G

T Ti

i

i i= + +−

− − − +=

− −∑0 1 02

41

01 5

2021 2

1 1ln( / )

( )( ) ( )( ) ( )

+ −R v bln( ) −− −

− −−−

=∑ [

( / ) ( / )

( )( )]( )

B k T C EXP kT T

i v bi C i c

ii 1 1

2

5 B k T C EXP kT T

EXP vc c6 6− −( / ) ( / )

( )α α (2.3-12)

ln ln ( ) ln( )P FF

TF T F T F

T

TTsat = + + + +

−−1

23 4 5

γγ

(2.3-13)

dP

dTF

F F

T

F

T

F T

TP

satsat

= +

−− −

−

4

3 5 22

52

γ γln( ) (2.3-14)

H T vdP

dTlv lv sat= ( ) (2.3-15); sH

Tlvlv= (2.3-16)

ρl ii c

i

c c

DT

TD

T

TD

T

T= −

+ −

+ −

=

−

∑1

51

3

6

1

2

7

2

1 1 1 (2.3-17)

v v vlv v l= − (2.3-18)

onde Ai , Bi ,Ci ,Di , Fi , Gi ,c, k, b, γγ, αα e Tc ,são constantes que dependem da substância.

Muitos outros exemplos de Eqs. de estado, algumas mais simples outras mais complexas poderiam se apresentadas. Entretanto, dado a complexidade das equações de estado para correlacionar as propriedades termodinâmicas das substâncias reais seria interessante que tivéssemos um meio mais rápido para obter tais relações.

As tabelas de propriedades termodinâmicas, obtidas através das equações de estado, são as ferramentas que substituem as equações.

20


Exercícios

2-1) - Determine o Volume molar de um gás ideal nas condições normais de temperatura e pressão (as condições normais de temperatura e pressão, CNTP, são 0 OC e 101325 Pascal, respectivamente)

2-2) - Calcule a constante particular dos gases para o Oxigênio, Nitrogênio e para o ar seco.

2-3) - Um balão esférico tem raio de 3m. A pressão atmosférica local é de 1,0 kgf/cm2 e a temperatura é de 25 OC. a) Calcular a massa e o número de moles (ou kmoles) de ar que o balão desloca b) Se o balão estiver cheio com Hélio (He) com pressão de 1,0 kgf/cm2 e a temperatura for de 25 OC, qual o número de moles (ou kmoles) e a massa de hélio?

2-4) - Uma quantidade de ar está contida num cilindro vertical equipado com um êmbolo sem atrito, como mostrado na figura. A área seccional interna do cilindro é de 450 cm2 e o ar está inicialmente a 2,0 kgf/cm2 de pressão e temperatura de 430 OC. O ar é então resfriado como resultado da transferência de calor para o meio ambiente. (adote o ar como gás ideal) a) Qual a temperatura do ar no interior do cilindro quando o êmbolo atinge os limitadores, em OC b) Se o resfriamento prosseguir até a temperatura atingir 21 OC qual será a pressão no interior do cilindro.

2-5) - Considere 10 kg de vapor de água à temperatura de 400 OC no interior de um vaso de pressão cujo volume é de 1,512 m3. Determine a pressão exercida pelo vapor nestas condições. a) através da equação de gás ideal b) através da equação de van der Waals c) através da equação de Redlich-kwong d) Compare os resultados com dados da tabela de propriedades superaquecidas para o vapor de água.

21


2.4 - Tabelas de Propriedades Termodinâmicas Existem tabelas de propriedades termodinâmicas para todos as substâncias de interesse em engenharia. Essas tabelas são obtidas através das equações de estado, do tipo mostrado anteriormente. As tabelas de propriedades termodinâmicas estão divididas em três categorias de tabelas, uma que relaciona as propriedades do líquido comprimido (ou líquido subresfriado), outra que relaciona as propriedades de saturação (líquido saturado e vapor saturado) e as tabelas de vapor superaquecido. Em todas as tabelas as propriedades estão tabeladas em função da temperatura ou pressão e em função de ambas como pode ser visto nas tabelas a seguir. Para a região de liquido+vapor, (vapor úmido) conhecido o título, x, as propriedades devem ser determinadas através das seguintes equações:

u = uL + x(uv - uL) (2.4-1)

h = hL + x(hv - h L) (2.4-2)

v = vL + x(vv - vL) (2.4-3)

s = sL + x(sv - sL) (2.4-4) As tabelas de (2.4-1) até (2.4-12) são exemplos de tabelas de propriedades termodinâmicas de líquido comprimido, saturadas e superaquecidas de qualquer substância. Observe nessas tabelas que para condições de saturação basta conhecer apenas uma propriedade para obter as demais, que pode ser temperatura ou pressão, propriedades diretamente mensuráveis. Para as condições de vapor superaquecido e líquido comprimido é necessário conhecer duas propriedades para ser obter as demais. Nas tabelas de propriedades saturadas, aqui apresentadas, pode-se observar que para temperatura de 0,0 oC e líquido saturado (x = 0), o valor numérico de entalpia (h) é igual a 100,00 kcal/kg para os refrigerantes R-12, R-22, e R-717, sendo igual a 200,00 kJ/kg para o R-134a, e a entropia (S), vale 1,000 para todas as tabelas dadas independente das unidades usadas. Estes valores são adotados arbitrariamente como valores de referência e os demais valores de entalpia (h) e entropia (S), são calculados em relação a esses valores de referência. Outros autores podem construir tabelas dos mesmos refrigerantes com referências diferentes. Quando as referências são diferentes, como dissemos, as propriedades têm outros valores nessas tabelas, entretanto, a diferença entre mesmos estados é igual para qualquer referência adotada. Assim, o valor numérico da entalpia (h), e entropia (S) em diferentes tabelas podem apresentar valores completamente diferentes para o mesmo estado termodinâmico, sem contudo, modificar os resultados de nossas análises térmicas, bastando para tanto que se utilize dados de entalpia e entropia de uma mesma tabela, ou de tabelas que tenham a mesma referência. Para dados retirados de duas ou mais tabelas com referências diferentes estes devem ser devidamente corrigidos para uma única referência.

22


Exemplo 2.4-1 a) Determine o volume específico, a energia interna específica, a entalpia específica, e a entropia específica para líquido e vapor saturado da água na pressão de saturação de 2,5 MPa. b) Determine o volume específico, a entalpia específica e a entropia específica para a água com pressão de 10 bar e temperatura de 300 OC.

Solução a) Água Saturada Da tabela de propriedades da água saturada para P = 25 bar temos a correspondente temperatura de saturação, T = 224 OC

As demais propriedades são:

Vl = 0,001973 m3/kg, VV = 0,0800 m3/kg hl = 962,11 kJ/kg, hV = 2803,1 kJ/kg Ul = 959,11 kJ/kg UV = 2603,1 kJ/kg Sl = 2,5547 kJ/kg-K SV = 6,2575 kJ/kg-K] b) Água na pressão de 10 bar e Temperatura de 300 OC Da tabela de propriedades saturadas para P = 10 bar temos T = 179,9 OC. Logo, a água a 300 OC está superaquecida. Da tabela de propriedades da água superaquecida (2.4-2) temos

VV = 0,2579 m3/kg hV = 3051,2 kJ/kg SV = 7,1229 kJ/kg-K

Exemplo 2.4-2

Considere um sistema composto de 2 kg de água no estado líquido à temperatura de 80 OC e pressão de 50 bar. Determine o volume específico e a entalpia para o sistema.

a) através da tabela de propriedades comprimidas da água b) através da tabela de propriedades saturadas da água c) comente os desvios dos valores obtidos pelas duas formas. Solução a) Da tabela (2.4-3) de líquido comprimido para a água a 50 bar e

23


temperatura de 80 OC temos; (observe que a temperatura de satu- ração correspondente à pressão de 50 bar é de 263,99 OC)

V = 0,0010268 m3 /kg e h = 338,85 kJ/kg

b) Como podemos observar, a tabela disponível para propriedades saturadas, não tem a temperatura de 80 OC sendo necessário fazermos interpolações lineares, que resulta em:

V = 0,0010291 m3 / kg e h= 334,91 kJ /kg

C) Os desvios da tabela de líquido comprimido em relação à de saturação são:

δ νδ ν ==−−

== −−0 0010268 0 0010291

0 0010268100 0 22%

, ,

,,x

δδh x==−−

==338 85 334 91

338 85100 116%

, ,

,,

Comentários: Pelos resultados, observamos ser insignificantes os desvios dos valores das propriedades obtidas pela tabela correta (liquido comprimido) e na forma aproximada, como líquido saturado na temperatura em que se encontra a substância sem levar em conta a pressão.(a pressão de saturação a 80 OC é de 0,4739 bar, bem inferior aos 50 bar do líquido comprimido) Concluímos assim que, as propriedades de líquido comprimido são aproximadamente iguais às de líquido saturado na mesma temperatura para substâncias que podem ser admitidas como incompressíveis.(para qualquer substância incompressível)

Exemplo 2.4-3 Considere um cilindro de volume interno igual a 0,14 m3, contendo 10 kg de refrigerante R-134a. O cilindro é usado para fins de reposição de refrigerante em sistemas de refrigeração. Em um dado dia a temperatura ambiente é de 26 OC. Admita que o refrigerante dentro do cilindro está em equilíbrio térmico com o meio ambiente e determine a massa de refrigerante no estado líquido e no estado vapor no interior do cilindro.

Solução:

Conhecemos: tanque cilíndrico de dimensões conhecidas contendo 10 kg de refrigerante R-134a em equilíbrio térmico a 26 OC

determinar: massa no estado líquido e massa no estado vapor Hipótese: 1) O gás no interior do cilindro é o sistema termodinâmico fechado 2) O sistema está em equilíbrio termodinâmico

24


Análise: Se no interior do cilindro tivermos de fato as duas fases: líqui- do+vapor, então o sistema está na condição de vapor úmido

e podemos determinar o título, x, da mistura.

O volume específico da mistura, pela definição de volume específico é:

νν == == ==Vm

mkg

mkg

0140

10 00 014

3 3,

,,

da equação (2.4-3) , que relaciona volume específico com título temos;

νν νν νν νννν νν

νν νν== ++ −− →→ ==

−−

−−l v ll

v l

x x( )( )

( )

da tabela de propriedades saturadas para o refrigerante R-134a obtemos os valores de volume específico do líquido e do valor, que valem:

νν lm

kg== 0 00083

, νν vm

kg== 0 03003

,

substituindo na equação do título , obtemos;

x ==−−

−−

0 0140 0 0008

0 0300 0 0008

, ,

, , ⇒⇒ x == 0 452,

da definição de título, em que, xmm

v

t

== , obtemos

m x kgv == 0 452 10 0, , ⇒⇒ m kg de vaporv == 4 52,

pela conservação de massa

m m m m m m mt v l l t v l== ++ ⇒⇒ == −− ⇒⇒ == −− ⇒⇒10 0 4 52, , m kgl == 5 48, 2.5 - Diagramas de Propriedades Termodinâmicas As propriedades termodinâmicas de uma substância, além de serem apresentadas através de tabelas, são também apresentadas na forma gráfica, chamados de diagramas de propriedades termodinâmicas. Estes diagramas podem ter por ordenada e abcissa respectivamente T x ν (temperatura versus volume específico), P x h (pressão versus entalpia específica), T x s (temperatura versus entropia específica) ou ainda h x s (entalpia específica versus entropia específica). O mais conhecido desses diagramas é o diagrama h x s conhecido como diagrama de Mollier. Uma das vantagem do uso destes diagramas de propriedades é que eles apresentam numa só figura as propriedades de líquido comprimido, do vapor úmido e do vapor superaquecido como está mostrado esquematicamente nas figuras 2.5-1, 2.5-2 e 2.5-3.

25


Figura 2.5 - 1 - Diagrama Temperatura versus Entropia Específica Esses diagramas são úteis tanto como meio de apresentar a relação entre as propriedades termodinâmicas como porque possibilitam a visualização dos processos que ocorrem em parte do equipamento sob análise ou no todo. As três regiões características dos diagramas estão assim divididas: a) A região à esquerda da linha de liquido saturado (x=0) é a região de líquido comprimido ou líquido sub-resfriado (aqui estão os dados referentes às tabelas de líquido comprimido) b) A região compreendida entre a linha de vapor saturado (x=1) e a linha de líquido saturado (x = 0) é a região de vapor úmido. Nesta região, em geral os diagramas apresentam linhas de título constante como esquematizadas nas figuras. c) A região à direita da linha de vapor saturado seco (x = 1) é a região de vapor superaquecido. (nesta região estão os dados contidos nas tabelas de vapor superaquecido) Dado o efeito de visualização, é aconselhável, na análise dos problemas termodinâmicos, representar esquematicamente os processos em um diagrama, pois a solução torna-se clara. Assim, o completo domínio destes diagramas é essencial para o estudo dos processos térmicos.

Figura 2.5 - 2 - Diagrama Entalpia Específica versus Entropia Específica

26


Figura 2.5 - 3 - Diagrama Pressão versus Entalpia Específica As figuras 2.5-4 e 2.5-5 a seguir, são diagramas de Mollier para a água. Diagramas mais completos e diagramas T x s para a água podem ser encontrados na bibliografia citada. Para o estudo de sistemas de refrigeração é mais conveniente apresentar as propriedades em diagramas que tenham como ordenada a pressão absoluta e como abcissa a entalpia específica. A figura 2.5-6 é o diagrama para o refrigerante R-12, a Figura 2.5-7 é o diagrama para o refrigerante R-22, a figura 2.5-8 é o diagrama para o refrigerante R-134a e a figura 2.5-9 é o diagrama P x h para a amônia, que pela classificação da ASHRAE (American Society of Heating, Refrigerating, and Air-Conditioning Engineers.) é o refrigerante R-717.

27


Figura 2.5 - 4 - Diagrama de Mollier (h x s) para a água

28


Figura 2.5-5 Parte do diagrama de Mollier para a água

29


Figura 2.5-6 - Diagrama P x h para o refrigerante R-12

30


Figura 2.5-7 - Diagrama P x h para o refrigerante R-22

31


Figura 2.5 - 8 - Diagrama P x h para o refrigerante R-134a

32


Figura 2.5 - 9 Diagrama P x h (sem a parte central) para o refrigerante R-717 (Amônia)

33


Exemplo 2.5-1 Vapor de água inicialmente a 4,0 MPa e 300 oC (estado 1) está contido em um conjunto êmbolo - cilindro. A água é então resfriada a volume constante até sua temperatura alcançar 200 oC (estado 2). A seguir a água é comprimida isotermicamente até um estado onde a pressão é de 2,5 MPa (estado 3). a) Determine o volume específico nos estados 1, 2 e 3, em m3 / kg e o título no estado 2 se o estado 2 for de vapor úmido. b) Localize os estados 1, 2 e 3 e esquematize os processos em um diagrama T- v e P- v.

Solução: - Hipóteses: - O vapor de água é o nosso sistema termodinâmico

- Em cada estado o sistema está em equilíbrio termodinâmico Conhecido:

O estado inicial P= 40 bar e T= 300 oC e os processos subseqüentes a-1) da tabela de vapor saturado para a água na pressão de 40 bar a correspondente

temperatura de saturação é 250,4 oC. Assim a água a 40 bar e 300 oC está superaquecida. Da tabela de vapor superaquecido temos v1 = 0,05884 m3/kg

a-2) Para determinarmos o estado 2 temos o volume específico que é igual ao volume específico do estado 1, v2 = 0,05884 m3 /kg e a temperatura de 200 oC

da tabela de vapor saturado, para a temperatura de 200 oC, a respectiva pressão de saturação é 15,54 bar. O volume específico do líquido saturado vale; v2L = 0,0011565 m3/kg e do vapor saturado seco, v2v = 0,1274 m3/kg. Como o volume específico do estado 2 está entre o volume específico do líquido e do vapor saturado, então inferimos que o estado 2 é de vapor úmido. Nos dois diagramas, o processo de 1→→ 2 é indicado através de uma linha vertical desde o estado 1 até o estado 2 cuja temperatura é de 200 oC e a pressão é de 15,54 bar, na região de vapor úmido.

a-3) O estado 3 cuja pressão é de 25 bar a temperatura é a mesma do estado 2, 200 oC. Como a pressão, 25 bar é maior que a pressão de saturação correspondente podemos facilmente inferir do diagrama T x v que o estado é de líquido comprimido. O processo de 2 →→ 3 está indicado nas figuras do item b).

a-4) O volume do estado 1 e 2 são iguais, e seu valor lido da tabela de vapor superaquecido, é 0,05884 m3/kg. O volume específico do estado 3 deve ser obtido em uma tabela de líquido comprimido, cujo valor é, v3 = 0,0011555 m3/kg ou de forma aproximada, de uma tabela de saturação na temperatura de 200 oC, independentemente da pressão de saturação correspondente, que é v3 = 0,0011565 m3/kg.

a-5) O título no estado 2 é obtido usando as relações matemáticas entre título e volume específico, como já mostrado anteriormente, assim:

xv v

v vouL

v L2

2 2

2 2

0 05884 0 0011565

0 1274 0 00115650 457 45 7==

−−

−−==

−−

−−==

, ,

, ,, , %

b) Representação dos estados e dos processos nos planos T x v e P x v

34


Exemplo 2.5-2 Em um equipamento de refrigeração industrial, cujo fluido de trabalho é a amônia, (R-717) o dispositivo de expansão (válvula de expansão termostática) reduz a pressão do refrigerante de 15,850 kgf/cm2 e líquido saturado (estado1) para a pressão de 1,940 kgf/cm2 e título, X = 0,212 (estado 2). Determinar: a) O volume específico, a temperatura e a entalpia específica nos estados 1 e 2

b) Representar o processo de expansão na válvula nos diagramas h-s e P-h c) A que processo ideal mais se aproxima o processo de expansão na válvula de expansão termostática (isocórico, isotérmico, isentrópico, isentálpico, isobárico)

Solução: a-1) da tabela de saturação para a amônia obtemos as propriedades do

líquido saturado na pressão de 15,850 kgf/cm2 (estado 1) T1= 40 0C, V1= 0,0017257 m3/kg, h1=145,53 kcal/kg, S1=1,1539 kcal/kg-K a-2) As propriedades do estado 2 devem ser determinadas utilizando-se a

definição de título. Assim, para a pressão de 1,940 kgf/cm2 as propriedades de líquido e vapor saturado são: T = - 20 oC V2 = V2L + X2 (V2V - V2L); V2L = 0,0015037 m3/kg, V2V = 0,6237 m3/kg

V2 = 0,0015037 + 0,212 (0,6237 - 0,0015037) →→ V2 = 0,1334 m3/kg

h2 = h2L + X2 (h2V - h2L); h2L= 78,17 kcal/kg, h2V = 395,67 kcal/kg

h2 = 78,17 + 0,212 (395,67 - 78,17) →→ h2 = 145,48 kcal/kg

S2 = S2L + X2 (S2V - S2L); S2L = 0,9173 kcal/kg-k, S2V = 2,1717 kcal/kg-K

S2 = 0,9173 + 0,212 (2,1717 - 0,9173) →→ S2 = 1,1832 kcal/kg-K

b) Representação do processo e dos estados termodinâmicos 1 e 2

c) O processo ideal mais próximo é o processo ISENTÁLPICO. (em qualquer

processo de estrangulamento o processo ideal é o processo a entalpia constate, o fluido neste caso é acelerado, de forma que, o tempo de contato entre o fluido e a superfície envolvente é extremamente pequeno não havendo tempo suficiente para a troca de calor, então, h1 ≅≅ h2).

35


Exemplo 2.5-3 Uma turbina a vapor pode ser operada em condições de carga parcial estrangulando-se o vapor que entra na turbina através de uma válvula. (o processo de estrangulamento é um processo isentálpico) . As condições do vapor de água na linha de alimentação são P1=10 bar e T1=300 OC. O vapor deixa a turbina com pressão, P3 = 0,1 bar. Como hipótese simplificadora adotemos que a turbina é uma máquina adiabática reversível. (processo de expansão isentrópico). Pede-se indicar os processos em um diagrama h x S e obter os dados de h, s, x, T, para: a) Turbina operando a plena carga b) Turbina operando em carga parcial com pressão saindo da válvula de estrangulamento (V.R.P), P2 = 5,0 bar

SOLUÇÃO - Valores lidos do próprio diagrama de MOLLIER , portanto, valores aproximados.

36


Continuação do Exemplo 2.5-3 - Solução através das tabelas de propriedades. caso a) - Neste caso, turbina operando a plena carga, significa que a válvula controladora na entrada da turbina não opera (é o mesmo que não existir) estado 1, P1 = 10 bar e T1 = 300 oC como já sabemos, da solução anterior, este é um estado de vapor superaquecido, assim da tabela de vapor superaquecido, obtemos;

h1 = 3051,2 kJ / kg v1 = 0,2579 m3 /kg S1 = 7,1229 kJ /kg-K Estado 3 Processo isentrópico do estado 1 ao estado 3, então, S3 = S1 = 7,1229 kJ/kg-K (da solução anterior, também sabemos que o estado 3 é de vapor úmido (se não tivéssemos a solução gráfica direta no diagrama de Mollier, teríamos que verificar esta condição !) e pressão de P3 = 0,1 bar . Assim obtemos das tabelas de saturação os valores para vapor saturado e para líquido saturado, e com a equação que relaciona título com as demais propriedades na região de vapor úmido podemos calcular o título pois sabemos o valor da entropia. Assim;

hls = 191,83 kJ/kg, hvs = 2584,7 kJ/kg, vls = 0,0010102 m3/kg, vvs = 14,674 m3/kg

Sls = 0,6493 kJ/kg-K, Svs = 8,1502 kJ/kg-K

S3 = Sls + X3(Svs - Sls) → %3,86ou863,06494,01502,86493,01229,7

SSSS

Xlsvs

ls33 ==

−−

−−==

−−

−−==

logo: h3= 191,83 + 0,863 (2584,7 - 191,83) = 2 256,9 kJ/kg v3 = 0,0010102 + 0,863 (14,674 - 0,0010102) = 12, 664 m3/kg caso b) Aqui, antes de ocorrer a expansão na turbina, ocorre o estrangulamento na válvula controladora da pressão de 10 bar para 5 bar. Como o processo é isentálpico, a entalpia do estado 2 é igual à entalpia do estado 1, e como sabemos, o estado 2 é de vapor superaquecido. da tabela de vapor superaquecido para P2 = 5,0 bar e h2 = 3 051,2 kJ/kg, interpolando na tabela, obtemos: T2 = 293,6 oC , v2 = 0,5164 m3 /kg, S2 = 7,4344 kJ/kg-K O estado 3, como sabemos da solução anterior , é de vapor úmido, o procedimento para se obter os dados é o mesmo do item a)

resultando: para P3 = 0,1 bar e S3 = S2 X3 = 90,46 %, h3 = 2356,35 kJ/kg, v3 = 13,2738 m3/kg

Obs.

Assim, concluímos que a solução gráfica é bem mais rápida e significativa

37


Exercícios 2-6) Em que fase se encontra a água, contida em um recipiente de paredes rígidas, em que a temperatura é de 100 oC e a pressão é de a) 10 MPa, b) 20 kPa.

Obs.: Use a tabela de propriedades saturadas para inferir a resposta. 2-7) Em um gerador de vapor industrial a água entra com pressão de 10 bar e temperatura de 150 oC (estado 1). A água sai desse gerador após receber calor em um processo isobárico à temperatura de 250 oC, (estado 2). Pede-se: a) em que fase se encontram os estados 1 e 2 ? b) Represente esquematicamente o processo de aquecimento da água nos seguintes diagramas de propriedades: b-1) Coordenadas h x s (Entalpia versus Entropia) b-2) Coordenadas T x s (Temperatura versus Entropia) b-3) Coordenadas P x h (Pressão versus Entalpia 2-8) Um tanque, cujo volume é de 0,053 m3, contém freon 12, (R-12) a 40 oC. O volume inicial de líquido no tanque é igual ao volume de vapor. Uma quantidade adicional de Freon - 12 é forçada para dentro do tanque até que a massa total dentro do tanque atinja 45 kg. Pede-se; a) Qual o volume final de líquido no tanque admitindo-se que a temperatura seja de 40 oC? b) Que quantidade de massa foi adicionada ao tanque? 2-9) Em uma geladeira domestica, o condensador, que é um trocador de calor de convecção natural, (fica atrás da geladeira) é projetado para que o refrigerante saia deste no estado de líquido saturado. Em particular, em uma geladeira domestica cujo refrigerante é o R-134a, o condensador apresenta problemas e o refrigerante sai com pressão de 1682,76 kPa e título de 0,15. Determinar;

a) A temperatura e o volume específico do refrigerante neste estado. b) Esquematizar o processo de resfriamento do refrigerante se este foi

resfriado isobaricamente da temperatura de 90 oC até o estado final, em um diagrama P-h (Pressão - Entalpia)

2-10) O compressor de um sistema frigorífico deve sempre aspirar vapor

superaquecido. Determinar as propriedades termodinâmicas do R-22 quando a pressão de sucção for de 2,0 kgf/cm2 e estiver superaquecido de 15 oC

2-11) Determine as propriedades termodinâmicas do R-12 à pressão de 10

kgf/cm2 e temperatura de 34 oC. Em que região se encontra a substância

38

Capítulo 4 - Primeira Lei

PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA

Sistemas fechados

A estrutura da termodinâmica assenta em duas leis fundamentais. Estas leis não se podem demonstrar; são axiomas. A sua validade é estabelecida com base no facto de a experiência não a contradizer, nem contradizer as consequências que dela se podem deduzir.

A 1ª lei da termodinâmica é relativa ao princípio de conservação de energia aplicado a sistemas fechados onde operam mudanças de estado devido à transferência de trabalho e de calor através da fronteira.Permite calcular os fluxos de calor e de trabalho quando são especificadas diferentes variações de propriedades.

Exemplos:Trabalho necessário para comprimir uma dado fluido num compressor.Ciclo necessário para produzir vapor a uma dada pressão e temperatura numa caldeira

A 2ª lei da termodinâmica indica que quantidade de calor, geralmente produzida por uma turbina, pode ser convertida em trabalho (motor térmico, máquina térmica) ou indica que quantidade de trabalho deverá ser fornecida para se extrair uma dada quantidade de calor (máquina frigorífica)

Termodinâmica

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano4.1

39


Permite concluir que é impossível converter todo o calor fornecido a uma máquina térmica em trabalho; algum calor terá de ser rejeitado.

Propriedades

pressão (p)volume específico (v)temperatura (t)energia interna (u)entalpia (h) entropia (s)

Duas propriedades são seleccionadas para definir o estado do sistema em equilíbrio.As restantes quatro são consequência imediata e estão fixas.Nota: cuidado com a escolha das propriedades independentes.

Exemplo 1: a massa e volume específicos não são propriedades independentes; uma é o inverso da outra.

Exemplo 2: a pressão e a temperatura não são variáveis independentes. Deve utilizar-se outro par de propriedades para definir o estado, por exemplo, p e v.

Termodinâmica

4.2

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

40


Se se conhecer duas propriedades de um estado as restantes podem ser determinadas através de expressões analíticas ou de resultados experimentais.

Conhecendo, por exemplo, p e v, a terceira propriedade x, tal que x=f(p,v).Nalguns casos f é simples e conhece-se analiticamente (pv=RT). Noutros casos conhecem-se tabelas experimentais.

1ª Lei da Termodinâmica ou Princípio de Conservação de Energia.

A energia não pode ser criada ou destruída.

A energia pode ser: ArmazenadaTransformada de uma forma para outraTransferida de um sistema par outro (ou para a

vizinhança)

A energia pode atravessar a fronteira sob duas formas –

Calor ou Trabalho

Termodinâmica

4.3

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

41


Calor e trabalho

Só o trabalho e o calor podem mudar o estado. O trabalho atravessa a fronteira do sistema; transfere-se.

“Trabalho é algo que surge nas fronteiras quando o sistema muda o seu estado devido ao movimento de parte da fronteira por acção de uma força.”“Não se pode afirmar que o sistema tem um dado trabalho”.

Formas mecânicas de trabalho

Força F constante. Força F qualquer

Realiza-se trabalho pelo sistema na vizinhança se o único efeito sob algo externo ao sistema poder ser considerado como elevação de um peso.

W > 0 → trabalho realizado pelo sistemaW < 0 → trabalho realizado sobre sistema

Cálculo de W ⇒ saber como F varia ao longo de s

O valor do integral depende do processo.O trabalho W não é uma propriedade do sistema

Termodinâmica

4.4

∫→→

⋅=2

1dsFW

→→⋅= sFW

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

42


Potência – taxa de transferência de energia na forma de trabalho.

Unidades: J/s =W, kW, MW

Trabalho de expansão ou de compressão

Força: F = pA, onde p é a pressão na interface

Trabalho realizado pelo sistema δW= Fdx =pAdx = pdVδW = p dV

dV > 0 ⇒ δW > 0 (Expansão) dV < 0 ⇒ δW < 0 (Compressão)

onde δW não é um diferencial exacto

Termodinâmica

4.5

∫ ∫ ⋅==t2

t1

2

112 ,dtVFdtWW

rr&

W&

∫ ∫==2

1

2

112 ,pdVδWW

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

43


Trabalho de expansão ou de compressão - processo quasi-estático

Processo de quasi-equilíbrio –sucessão de estados de equilíbrio.

O valor das propriedades intensivas éuniforme

onde p é a pressão uniforme

Expansão: ∫>0 ⇒ W>0Compressão: ∫<0 ⇒ W<0

A relação entre p-v pode ser dada analiticamente

Processo politrópico → pvn = constanten = 0 → p = constante processo → processo isobáricon = ∞ → v = constante processo → processo isócoro

Termodinâmica

4.6

∫=2

112 pdV,W

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

44


Trabalho de aceleração – energia cinética

2ª Lei de Newton: F=ma

O ∫Fsds - trabalho da força - é igual à variação de energia cinética.

∆Ec= WFS. A energia cinética é uma propriedade.

Trabalho gravitacional – energia potencial

Conhecido z1 e z2 pode calcular a energia potencial Ep1e Ep2

A energia potencial é uma propriedade extensiva.O trabalho de todas as forças (excepto o peso) é igual àvariação de energia potencial + energia cinética

Termodinâmica

4.7

→→→+= sn FFF

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==⇒= ∫∫ 2

V2

VmmVdVdsFmVdVdsF2

12

22

1

2

1ss

dsdVmV

dtds

dsdVm

dtdVmFs ===

( )21

22

2

1c VVm

21EFdz −=∆=∫

gmRFrrr

−=

pc

z

z

2

1

z

zc

2

1∆E∆ERdz∆EmgdzRdzFdz

2

1

2

1

+=⇒=−= ∫∫ ∫∫

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

45


Fr aumenta z ou acelera o corpo ⇒ o W realizado étransferido como energia para o corpo

A energia total mantêm-se constante.

Referencial de Energia cinética e Potencial:

Ec = 0 se v =0 em relação à terra.Ep = 0 se o corpo se encontra num determinado nível de referência.

Somente interessam diferenças de energia entre dois estados

Trabalho de extensão de uma barra sólida

Termodinâmica

4.8

0∆EE 0 W 0R pcR =+∆⇔=⇒=

pcR ∆E∆EW +=

rBF FrB =⇔=

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

46


Trabalho e potência num veio velocidade angular ω

Espaço percorrido em n revoluções –

Potência transmitida

Trabalho de uma força elástica

Onde x1 e x2 são a posição inicial e final da mola

Termodinâmica

4.9

( )nr2s π=

rBF FrB =⇔=

( ) πnB2rn2rBFsW === π

ωB

n

B2πt

WW 2πωn ===⇒=

&

&& nn

( )21

22 xxk

21 kxdxW kx F

2

1

−−=−=⇒= ∫x

x

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

47


Transferência de calor

Calor - Modo de transferência de energia resultante da diferença de temperatura entre dois sistemas (ou um sistema e a vizinhança).

O calor, tal como o trabalho, é uma quantidade transiente que aparece na fronteira do sistema.Não existe calor no sistema antes ou depois de um estado.O calor atravessa a fronteira ⇒ a energia é transferida sob a forma de calor do sistema para a vizinhança ou vice-versa.

Sentido da transferência – do corpo de maior temperatura para o de menor temperatura – devido a um gradiente de temperaturas.

Convenção de sinais:Q > 0 calor transferido para o sistemaQ < 0 calor transferido do sistema para a vizinhança

Processo Adiabático: quando não ocorre transferência de energia sob a forma de calor entre o sistema e a vizinhança.

Sistema isolado termicamente do exterior.Sistema e vizinhança à mesma temperatura.

Termodinâmica

4.10

Sistema adiabático

Q=0

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

48


Transferência de energia sob a forma de calor entre dois estados

Q não é uma propriedade do sistema. Q depende do processo

Potência calorífica,

= constante ⇒

Fluxo de calor

A é a área da fronteira

Modos de transferência de calor

ConduçãoConvecção Radiação térmica

Termodinâmica

4.11

21

2

1Q-QQ nunca e δQQ == ∫

.Q

.Q

WQ de Unidade dt QQ2

1

t

t→→= ∫ &&

∫ ==2

1

t

t∆tQ dtQQ &&

2

AmWq de Unidade dA qQ →→= ∫ &&&

.q

49


Condução

Pode ocorrer em gases, líquidos ou sólidosTaxa de transferência de energia ou potência calorífica

k – condutibilidade térmica W/m ºCBons condutores: cobre, prata, alumínio Maus condutores ou isolantes: cortiça, lã, poliestireno, etc. ksólido >k líquido >k gases em geral

Radiação

Energia emitida por ondas electromagnéticas ou fotões. Não necessita de matéria para se propagar.Todas as superfícies sólidas, gases ou líquidos emitem, absorvem ou transmitem radiação térmicaTaxa de transferência de energia ou potência calorífica

ε – emissividade 0<ε< 1; A - área da superfície(m2)Tb – temperatura da superfície (K);σ – constante de Boltzmann = 5,669x10-8 W/m2K4

Termodinâmica

4.12

Q&

→−=

.

xx

dxdTkAQ& Lei de Fourier

→=.4

be TεAσQ& Lei de Stefan- Boltzmann

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

50


Convecção

Efeito combinado de condução de calor e movimentação de um fluido.Taxa de transferência de energia ou potência calorífica

h – coeficiente de convecção –W/m2 ºC

h não é uma propriedade e depende de:

- do fluido- do tipo de escoamento- do tipo de superfície

Convecção

Forçada – movimento do fluido provocado por forças exteriores -forças gravíticas, de pressão, etc.Natural – movimento do fluido provocado por forças de impulsão devido a diferenças de temperatura e consequentediferenças de densidade

Termodinâmica

4.13

( ) →= fb T -TAhQ& Lei de Newton

Natural

Forçada

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

51


Unidade clássica de Calor

“quantidade de calor que é necessário fornecer à unidade de massa da água para aumentar a sua temperatura de 1ºC, àpressão atmosférica padrão” (definição de caloria)

Conclui-se, posteriormente, que a quantidade de calor depende do ponto de temperatura escolhido.

kcal 14,4ºC - 15,5ºCBtu 1 lbm de 1ºFCelsius Heat Unit 1 lbm de 1ºC

Resumo

Nem o calor nem o trabalho são propriedades

Ambos são quantidades transientes que atravessam a fronteira quando há mudança de estado.

O calor e o trabalho podem ser utilizados para descrever um processo

Termodinâmica

4.14

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

52


Energia do Sistema

Primeira Lei da Termodinâmica:

Num sistema fechado o trabalho realizado, entre dois estados num processo adiabático depende somente do estado inicial e final e é independente dp processo adiabático escolhido

O trabalho é igual em todos os processos adiabáticos.Existe pelo menos uma propriedade

E – energia total. Só tem significado falar em variação de energia

E – energia total → cinética + potencial + outras formas energia.

Outras formas energia → energia interna UA energia interna U é uma propriedade extensiva.

A variação global de energia é dada por

Termodinâmica

4.15

( ) ( ) ( ) UEE E ou UUEEEEEE pc12p1p2c1c212 ∆+∆+∆=∆−+−+−=−

ad12 WEE −=−

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

53


Sistemas Fechados

Os sistemas fechados podem interagir com o exterior através de trabalho ou calor.

A experiência mostra que o trabalho realizado nos processos não adiabáticos é diferente dos processos adiabáticos.

A variação de energia no processo adiabático é igual à dos não adiabáticos

onde Q é a energia transferida sob a forma de calor.

Termodinâmica

4.16

B12A12ad12

adBadA

WEEWEE WEEWW WW

−≠−∧−≠−⇒−=−

≠≠

( ) WQEE WEEQ 1212 −=−⇔+−=

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

54


Balanço de Energia para Sistemas Fechados

O aumento ou redução de energia é igual ao saldo através da fronteira.

A transferência de energia através da fronteira origina um aumento de pelo menos uma das formas de energia: cinética, potencial ou interno

Diferentes Formas da Equação de Balanço de Energia.

Diferencial:

Equação de Balanço sob a forma de Potência

Termodinâmica

4.17

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

tempo deintervalo odeterminad um durante

trabalho de forma a sob fronteira da através sistema do exterior o para

atransferid energia de Quantidade

tempo deintervalo odeterminad um durante

calor de forma a sob fronteira da através sistema do interior o para

atransferid energia de Quantidade

tempo de intervalo odeterminad um

durante sistema do interiorno contida energia de

quantidade da Variação

WQUEE pc −=∆+∆+∆

δW-δQ dE =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ttt instante no trabalho de forma asob fronteira da através sistema

do exterior o para energia de ciatransferên de líquida Taxa

instante calorno de forma asob fronteira da através sistema

do interior o para energia de ciatransferên de líquida Taxa

instante no sistema do interior no contida

energia de quantidade da variação de Taxa

W-QdtdU

dtdE

dtdE

dtdE pc &&=++=

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

55


Simplificações para alguns processos (Revisão)

Processos isócoros (a volume constante)

Nestes processos tem-se W=0. Substituindo na equação de energia resulta (a menos de um trabalho negativo dissipativo).

Processos isobáricos (a pressão constante)

Sendo o processo reversível tem-se . Como p é constante, por integração resulta

Quando p é constante, tem-se

.

Termodinâmica

4.18

dupdvm

dQ=−

12 uumQ

−=

dupdvm

dQ=−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= oTTeRR11

0

β

⇔+=⇔

⇔=−

dupdvm

dQ

dupdvm

dQ

dhm

dQ=⇔

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

56


sendo

a entalpia especifica do estado

Integrando obtêm-se

Processos politrópicos

Em processos politrópicos reais verifica-se a seguinte relação

sendo n o índice de expansão (ou compressão) e p e v, valores médios do sistema.

Verifica-se que com:

n=0, reduz-se a p = const. (processo isobárico);

n=∞, reduz-se a v = const. (processo isócoro);

Termodinâmica

4.19

pvuh +=

12 hhmQ

−=

.constpv n =

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

57


Para processos politrópicos reversíveis tem-se:

Caso n=1

Caso n≠1

Termodinâmica

4.20

( )

( )

1)n com reversível opolitrópic

processo para energia de (eq. ln

lnlnln1

121

211

1

211121111

1111

2

1

2

1

=

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∗

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇔−===∗

=⇔=∗

∫∫

uuvvvp

mQ

vvvp

mWvvvpdv

vvppdv

mW

vvpppvvp

v

v

v

v

( )

( )

1)n com reversível opolitrópic

processo para energia de (eq. 1

1

111

121122

1122

1111

1222

11

12

1111

22112

1

2

1

≠

−=−−

−∗

−−

=⇔

⇔−−

=−−

===∗

⇔=∗−−−−

∫∫

uun

vpvpmQ

nvpvp

mW

nvvpvvp

nvvvpdv

vvppdv

mW

pvvpvpnnnnnn

nv

vn

nv

v

nnn

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1º Ano

58


Processos adiabáticos

Num processo adiabático reversível não se verificam trocas de calor através da fronteira do sistema, i.e., este estátermicamente isolado da vizinhança. Assim, como Q=0, a equação de energia resulta

Num processo adiabático reversível tem-se dQ=0 (neste processo s=const. e ds=0). Assim, conhecido o estado inicial de um dado processo, basta conhecer o valor de uma única propriedade do estado final para além da entropia (que é constante), para determinar o trabalho realizado ou a variação de energia interna do sistema.

Processos isótermicos (a temperatura constante)

Num processo isotérmico, o calor e o trabalho são transferidos de tal forma que a temperatura do sistema permanece constante.Como não há gradientes de temperatura, está implícita a reversibilidade do processo.

Nota: por vezes designam-se por isotérmicos processos irreversíveis em que apenas a temperatura média éconstante.

Termodinâmica

4.21

( )21 uum

W−=

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

59


Como em qualquer processo reversível,

ou

Também se verificam as relações e T=const , resultando

Pelo que o trabalho pode ser determinado a partir de

Nota Final

Em resumo tem-se para processos politrónicos

Processo isobárico (pressão constante): n=0;

Processo isotérmico (temperatura constante): n=1;

Processo isentrópico (entropia constante): n=γ;

Processo isócoro (volume constante): n=∞.

Outros processos podem ainda ser aproximados por um valor apropriado do expoente n da politrópica.

Termodinâmica

4.22

dupdvm

dQ=− ( )12

2

1

uupdvmQ v

v−=− ∫

( )12 ssTmQ

−=

Tdsm

dQ=

( )12

2

1

uupdvmQ v

v−=− ∫

.constpv n =

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(Nocturno)

1º Ano

60


Sistemas abertos (regime estacionário)

Massa no instante t Massa no instante t+∆t (mi=0)

Por conservação da massa

ou

Termodinâmica

4.23

( )tmmm vci += ( )ttmmm vce ∆++=

( ) ( ) eivcvc mmtmttm −=−∆+

( ) ( )ttmmtmm vcevci ∆++=+

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

61


Em termos de taxa de tempo, vem

ou a taxa instantânea

Vem

Para n entradas e saídas

ou por palavras

Termodinâmica

4.24

( ) ( )t

mt

mt

tmttm eivcvc∆

−∆

=∆

−∆+

( ) ( )dtmd

ttmttm vcvcvc

t=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

∆−∆+

→∆ 0lim

ii

tm

tm

&=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∆→∆ 0

lim

ee

tm

tm

&=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∆→∆ 0

lim

eivc mm

dtmd

&& −=

∑∑ −=e

ei

ivc mm

dtmd

&&

Taxa de variação da massa contida no interior do volume de controlo i

Caudal mássico total em todas as entradas no instante i

Caudal mássico total em todas as saídas no instante i-=

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

62


Diferentes formas da equação da conservação da massa

em termos das propriedades locais

Escoamento unidimensional

O escoamento é normal à fronteira nas secções de entrada e de saídaTodas as propriedades - incluindo velocidade e massa específica – são uniformes em cada secção de entrada ou saída

Termodinâmica

4.25

( ) ( )eA neiA niVvc dAVmdAVmdVm ∫∫∫ === ρρρ &&

V∆tVn∆tdA

( ) ( )∑ ∫∑ ∫∫ =ei

- A nA nV dAVdAVdVdtd ρρρ

vAVVAdAV

VVdAVm

Ann

A n ===⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=∫∫ ρρ

ρm &

&

- ∑∑∑∑ =−=e e

ee

i i

ii

ee

ii

vcvVA

vVAmm

dtmd

&&

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1º Ano

63


Escoamento unidimensional estacionário.

As propriedades num determinado ponto no interior do volume de controlo não variam com o tempo

Para que o escoamento de um fluido possa ser estacionário o caudal mássico deve ser constante e igual à entrada e saída, e as propriedades do fluido em qualquer ponto do sistema não devem variar no tempo, ou seja, todo o “elemento do fluido”(δm) numa dada posição possui sempre o mesmo estado mecânico e termodinâmico.

Quando o escoamento nas secções de entrada e saída é

unidimensional tem-se sendo A a área da secção e

V’ a velocidade do escoamento.

Considere a figura

Termodinâmica

4.26

0 =−= ∑∑e

ei

ivc mm

dtmd

&&

∑∑ =e

ei

i mm &&

AvVm '

=

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

64


No intante t

Entre os instantes t e t+∆t,mi entra no volume de controlome sai do volume de controlo

Durante este intervalo de tempo podem ocorrer trocas de Qe W

Substituindo valores virá:

Equação de balanço de energia para o volume de controlo

em termos de taxa de tempo, vem

Termodinâmica

4.27

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++∆+=∆+ e

eeevc gzVumttEttE

2

2

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= i

iiivc gzVumtEtE

2

2

( ) ( ) WQtEttE −=−∆+

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−=−∆+ e

2e

eei

2i

iivcvc gz2

Vumgz2

VumWQtEttE

( ) ( )t

gzVum

t

gzVum

tW

tQ

ttEttE e

eeei

iii

vcvc∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−∆

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+∆

−∆

=∆

−∆+ 22

22

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

( ) ( ) WQgzV

umtEgzV

umttE ii

iivcee

eevc −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++∆+

22

22

65


Ou para valore instantâneos

O trabalho na unidade de tempo pode ser dividido em 2parcelas

trabalho associado à pressão do fluido devido à entrada e saída de massa.

outras contribuições - - tais como veios rotativos, deslocamentos da fronteira, tensão superficial, etc

Trabalho associado à pressão do fluido:

Termodinâmica

4.28

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−= e

eeei

iii

vc gzVumgzVumWQdtEd

22

22&&&&

W&

vcW&

Taxa de transferência de energia por trabalho do volume de controlo na saída.

( ) eee VAp=

( ) ( ) iiiieeeeiiieeevc vmVAvmVAVApVApWW &&&& ==−+= ;

( ) ( )iiieeevc vpmvpmWW &&&& −+=

Eng. Ambiente

(Nocturno)

1º Ano

66


Formas da equação de balanço

Fazendo h=u+pv:

Para n entradas e saídas:

Em conclusão depende= sistemas fechados

transferência de energia associada à transferência de massaA equaA equaçção de energia pode ser escrita em termos de ão de energia pode ser escrita em termos de propriedades locaispropriedades locais

A equaA equaçção de balanão de balançço vemo vem

Termodinâmica

4.29

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++−= e

eeeeei

iiiiivc

vc gzVvpumgzVvpumWQdtEd

22

22&&&&

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−= e

eeei

iiivc

vc gzVhmgzVhmWQdtEd

22

22&&&&

∑∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−=

ee

eee

ii

iiivc

vc gzVhmgzVhmWQdtEd

22

22&&&&

dtEd vc

vc

vc

WQ&

&

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++== VVvc dVgzVudVeE

2

2ρρ

∑∫∑∫∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−=

e Ae

ni A

invcvcV dAVgzVhdAVgzVhWQdVe

dtd

ρρρ22

22&&

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67


Resumindo:Análise do volume de controlo em regime estacionário

Equação de balanço de energia

Para uma só entrada e uma só saída

Equação de balanço de energia

Ou energia por unidade de massa (kJ/kg)

Termodinâmica

4.30

∑∑ =e

ei

i mm && 0=dtEd vc

∑∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−==

ee

eee

ii

iiivc

vc gzVhmgzVhmWQdtEd

220

22&&&&

∑∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

ee

eeevc

ii

iii gzVhmWgzVhmQ

22

22&&&&

mmm &&& == 21

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−= 21

22

21

21 220 zzgVVhhmWQ vcvc &&&

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−= 21

22

21

21 220 zzgVVhh

mW

mQ vcvc

&

&

&

&

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68


Note-se que esta equação é válida se, se assumir que:

Caudais de massa, à entrada e saída são constantes e iguais;

Propriedades constantes no tempo (ou periódicas);Propriedades constantes nas secções de entrada e saída

(ou consideram-se os seus valores médios);Trocas de calor e trabalho que existam, dão-se a taxas

constantes (ou admite-se a média em vários ciclos).

Termodinâmica

4.31

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1º Ano

69


Tubeira ou Difusor:

Equação de balanço de Energia:

Turbina:


Turbina Adiabática:

Desprezando a variação de energia cinética.

Termodinâmica

4.32

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−+−= 21

22

21

21 220 zzgVVhh

mW

mQ vcvc

&

&

&

&

22

22

21

12VVhh −=−

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−+−= 21

22

21

21 220 zzgVVhh

mW

mQ vcvc

&

&

&

&

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

22

21

22

12VVhh

mWvc&

&

( )12 hhm

Wvc −=&

&

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1º Ano

70


Compressor:


Compressor Adiabática:

Desprezando a variação de energia cinética.

Termodinâmica

4.33

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−+−= 21

22

21

21 220 zzgVVhh

mW

mQ vcvc

&

&

&

&

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

22

22

21

21VVhh

mWvc&

&

( )21 hhm

Wvc −=&

&

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71


Permutadores de Calor:


Termodinâmica

4.34

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−+−= 21

22

21

21 220 zzgVVhh

mW

mQ vcvc

&

&

&

&

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1º Ano

72


Válvulas de laminagen:


Termodinâmica

4.35

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−+−+−= 21

22

21

21 220 zzgVVhh

mW

mQ vcvc

&

&

&

&

mmm &&& == 21

22

22

2

21

1VhVh +=+

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1º Ano

73

Capítulo - 4 - Fundamentos da Termodinâmica - pág. - 19

4.6 - Conservação de Massa Na seção anterior consideramos o primeiro princípio da termodinâmica para um sistema que sofre uma mudança de estado. Um sistema já foi definido como tendo uma quantidade fixa de massa. Surge agora uma pergunta: variará a massa do sistema quando houver variação de energia do sistema? Se isto acontecer, então a nossa definição de sistema como tendo uma quantidade fixa de massa não mais será válida, quando variar a energia do sistema. Da teoria da relatividade, sabemos que a massa e a energia estão relacionadas pela equação bastante conhecida

E m C== 2 (4.6-1)

onde C é a velocidade da luz, m a massa e E é a energia. Concluímos a partir dessa equação que a massa de um sistema varia quando sua energia varia. Calculemos a grandeza dessa variação de massa para um problema típico e determinemos se essa variação é ou não significativa. Consideremos um recipiente rígido que contém 1,0 kg de uma mistura estequiométrica de um hidrocarboneto combustível (por exemplo, gasolina, C8H18) e ar, que constitui o nosso sistema. Do nosso conhecimento do processo de combustão, sabemos que após a realização desse processo, será necessário transferir cerca de 2900 kJ de calor do sistema para o meio para que seja restabelecida a temperatura inicial do sistema. Do primeiro princípio 1 2 2 1 1 2Q U U W== −− ++ como, 1W2 = 0, e 1Q2 = - 2 900 kJ , concluímos que a energia interna do sistema decresceu de 2 900 kJ durante o processo de troca de calor. Calculemos, agora, a diminuição de massa durante o processo, utilizando a Eq. 4.6-1. A velocidade da luz é 2,9979x108 m/s. Portanto 2 900 000 (J) = m (kg) . (2,9979x108(m/s))2 → m = 3,23 x10 -11 kg Portanto, quando a energia do sistema varia de 2 900 kJ a redução de massa do sistema será de 2,23 x 10 -11 kg. Uma variação de massa dessa ordem de grandeza não pode ser detectada pela balança analítica de maior precisão. Certamente, uma variação relativa de massa dessa ordem de grandeza está além da precisão requerida essencialmente para todos os cálculos da engenharia. Portanto se usarmos as leis de conservação de massa e energia como leis independentes não introduziremos erros significativos na grande maioria dos problemas termodinâmicos, e nossa definição de sistema, tendo uma massa fixa, pode ser usado mesmo que haja variação de energia do sistema.

74


4.7 Conservação de Massa e o Volume de Controle Volume de controle é um espaço que nos interessa para um estudo ou análise particular, igualmente como foi definido anteriormente para o sistema termodinâmico. O espaço é demarcado pela superfície de controle, sendo esta uma superfície fechada. Como para o sistema, o volume de controle pode ter uma superfície de controle real ou imaginária, fixa ou móvel rígida ou flexível. Entretanto a superfície deve ser determinada em relação a algum sistema de coordenadas. A massa bem como o calor e o trabalho podem atravessar a superfície de controle, e a massa contida no interior do volume de controle, bem como suas propriedades, podem variar no tempo.

A Fig. 4.7-1 mostra o esquema de um volume de controle com transferência de calor, trabalho de eixo, acumulação de massa dentro do volume de controle e movimento de superfície. O princípio de conservação de massa para o volume de controle é introduzido usando-se a Fig. 4.7-2, a qual mostra um sistema (linha contínua) constituído de uma quantidade fixa de matéria , m, que ocupa diferentes regiões no tempo " t " e no tempo " t+dt ". No seu interior temos o volume de controle, (delimitado pelas linhas tracejadas). No tempo " t " a quantidade de massa dentro do sistema, m, sob consideração é a soma

m m t mVC e== ++( ) δδ (4.7-1)

onde mVC(t) é a massa contida dentro do volume de controle e δδme é a massa dentro da pequena região denominada " e " adjacente ao volume de controle como mostrado na Fig. 4.7-2a . Analisemos, agora, o que ocorre com a quantidade fixa de matéria " m " no decorrer do intervalo de tempo dt

Figura 4.7-2 - Ilustração usada para desenvolver o princípio da conservação de massa para o volume de controle a) tempo " t " b) tempo " t+dt "

Figura 4.7-1 diagrama esquemático de um volume de controle

75


No intervalo de tempo dt, toda massa na região " e " atravessa a superfície do volume de controle, enquanto um pouco de massa , chamada de δδms, inicialmente contida dentro do volume de controle, sai para encher a região denominada " s " adjacente ao volume de controle como mostra a Fig. 4.7-2b. No instante de tempo t+dt a quantidade de matéria sob consideração no sistema pode ser expressa pela equação:

m m t dt mVC S== ++ ++( ) δδ (4.7-2)

Observe que as quantidades de massa nas regiões " e " e " s " não são necessariamente iguais e que, a quantidade de matéria dentro do volume de controle pode ter variado. Embora o sistema sob consideração ocupe diferentes regiões no espaço em tempos diferentes, ele contém a mesma quantidade de massa. Assim,

m t m m t dt mVC e VC s( ) ( )++ == ++ ++δδ δδ ou rearranjando,

m t dt m t m mVC VC e s( ) ( )++ −− == −−δδ δδ (4.7-3)

A Eq. 4.7-3 é uma " contabilidade " do balanço de massa, a qual afirma que a variação de massa dentro do volume de controle durante o intervalo de tempo dt é igual à quantidade de massa que entra menos a quantidade de massa que sai do volume de controle. A Eq. 4.7-3 pode ser expressa na base de taxa. Primeiro dividindo-a por dt para obter:

m t dt m tdt

mdt

mdt

VC VC e s( ) ( )++ −−== −−

δδ δδ (4.7-4)

O lado esquerdo desta equação é a taxa média no tempo da variação de massa dentro do volume de controle durante o intervalo de tempo dt. Os termos do lado direito, envolvendo a massa que cruza a superfície de controle, são as taxas médias no tempo do fluxo mássico durante o mesmo intervalo de tempo dt. A equação para a taxa instantânea de massa é obtida tomando-se o limite de dt tendendo para zero na Eq. 4.7-4. No limite o volume de controle e o sistema coincidem. Assim, o limite do termo do lado esquerdo da Eq. 4.7-4 é:

lim( ) ( )

dt

VC VC VCm t dt m tdt

dmdt→→

++ −−

==

0

Onde, dmdt

VC é a taxa de variação de massa dentro do volume de controle no

tempo t. No mesmo limite, quando dt tende para zero, os termos do lado direito da Eq. 4.7-4 tornam-se respectivamente;

76


limdt

ee

mdt

m→→

••

==0

δδ, lim

dt

ss

mdt

m→→

••

==0

δδ

Nesta expressão me

••

e m s

••

, são as taxas instantâneas de escoamento de massa na entrada e saída, respectivamente, no volume de controle. Em resumo a Eq. 4.7-4 quando dt →→ 0 é,

dmdt

m mVCe s== −−

•• ••

(4.7-5)

Em geral podem existir várias localizações na superfície de controle através das quais a massa pode entrar ou sair. Assim, a Eq. 4.7-5 é reescrita introduzindo-se o somatório nos termos do lado direito da equação, como na Eq. 4.7-6

dm

dtm mVC

ee

ss

== −−•• ••

∑∑ ∑∑ ( 4.7-6)

A Eq. 4.7-6 constitui a expressão geral do balanço de massa para um volume de controle, admitindo-se a hipótese de escoamento uniforme dos fluxos de massa na entrada e saída do volume de controle.

Vamos considerar um outro aspecto do escoamento de massa através de uma superfície de controle. Para simplificar, admitamos que um fluido esteja escoando uniformemente no interior de um tubo ou duto como mostrado na Fig. 4.7-3. Desejamos examinar o escoamento em termos de quantidade de massa que cruza a superfície, A durante o intervalo de tempo dt.

Conforme se observa na Fig. 4.7-3, o fluido se move de uma distância dx durante esse intervalo, e portanto o volume de fluido que cruza a superfície A é Adx. Conseqüentemente a massa que atravessa a superfície A é dada por

dmAdx

==νν

onde νν, é o volume específico do fluido, se agora, dividirmos ambos os membros dessa expressão por dt e tomarmos o limite para dt→→ 0, o resultado será:

mAV••

==

r

νν (4.7-7)

onde r

V é a velocidade. Deve-se observar que este resultado, a Eq. 4.7-7, foi desenvolvido para uma superfície de controle estacionária A, e que, tacitamente admitimos que o escoamento era normal à superfície e uniforme através da superfície. Deve-se também considerar que a Eq. 4.7-7 se aplica a qualquer uma das várias correntes de escoamento que entra e sai do volume de controle , sujeito às hipóteses mencionadas.

Figura 4.7-3 - escoamento através de uma superfície de controle estacionária

77


Exemplo 4.7-1 Ar está escoando no interior de um tubo de 0,2 m de diâmetro à velocidade uniforme de 0,1 m/s. A temperatura e a pressão são 25 OC e 150 kPa. Determinar o fluxo de massa .

Solução

Da equação mAV••

==r

νν, e usando o modelo de gás ideal para o ar, temos:

νν νν==ℜℜ

==++

→→ ==M

TP

mkg

8314

28 97

25 27315

1500000 5704

3

,

( , ),

a área da seção transversal do tubo é: Ad

m== == ==ππ ππ2 2

2

4

0 2

40 0314

( , ),

portanto,

mx

kg s••

== ==0 0314 0 1

0 57040 0055

, ,

,, /

4.8 - Primeira Lei da Termodinâmica para o Volume de Controle Já consideramos a primeira lei da termodinâmica para um sistema, que consiste numa quantidade fixa de massa e mostramos que para um processo ela pode ser representada pela Eq. 4.2-3, isto é

1 2 2 1 1 2∑∑ ∑∑== −− ++Q E E W (4.2-3)

Vimos também que, dividindo por dt, ela pode ser escrita em termos de uma equação de fluxo médio num intervalo de tempo dt, como na Eq. 4.8-1

1 2 2 1 1 2Qdt

E Edt

Wdt∑∑ ∑∑==

−−++ (4.8-1)

A fim de escrever a primeira lei em termos de fluxo para um volume de

controle, procedemos de modo análogo ao usado para deduzir a equação da conservação da massa em termos de fluxo. Na Fig. 4.8-1 vemos um sistema e um volume de controle. O sistema é formado por toda a massa inicialmente contida no volume de controle mais a massa δδme.

78


Consideremos as mudanças que ocorrem no sistema e volume de controle durante o intervalo de tempo dt. Durante esse intervalo de tempo, dt a massa δδme entra no volume de controle através da área discreta Ae e a massa δδms sai através da área discreta As. Em nossa análise admitiremos que o incremento de massa δδme tem propriedades uniformes, o mesmo ocorrendo com δδms. O trabalho total realizado pelo sistema durante o processo, δδW, é o associado às massas δδme e δδms cruzando a superfície de controle, que é comumente chamado de trabalho de fluxo, e o trabalho Wv.c que inclui todas as outras formas de trabalho, tais como associadas com eixo que atravessa a fronteira, forças de cisalhamento, efeitos elétricos, magnéticos, ou superficiais, expansão ou contração do volume de controle. Uma quantidade de calor, δδQ, atravessa a fronteira do sistema durante dt.

Consideremos agora cada termo da primeira lei da termodinâmica escrita para sistema e transformemo-lo numa forma equivalente, aplicável ao volume de controle. Consideremos primeiramente o termo E2 - E1.

Seja Et = energia do volume de controle no instante t

Et+ dt = a energia no volume de controle no instante t+dt

Então

E1 = Et + eeδδme = a energia do sistema no instante t E2 = Et+ dt + esδδms = a energia do sistema no instante t+dt

Portanto,

E2 - E1 = Et+ δδt + esδδms - Et - eeδδme = (Et +δδt - Et) + (esδδms - eeδδme) (4-8-2) O termo (esδδms - eeδδme) representa o fluxo de energia que atravessa a superfície de controle durante o intervalo de tempo, dt, associado às massas δδms e δδme cruzando a superfície de controle. Consideremos com maior detalhe o trabalho associado às massas δδme e δδms que cruzam a superfície de controle. O trabalho é realizado pela força normal (normal à área A) que age sobre a δδme e δδms quando estas massas atravessam a superfície de controle. Essa força normal é igual ao produto da tensão normal - σσn, pela área A. O trabalho realizado é:

-σσn A dl = - σσnδδV = - σσnνν δδm (4.8-3)

Uma análise completa da natureza da tensão normal, σσn, para fluidos reais, envolve a pressão estática, e efeitos viscosos e está fora do objetivo deste texto. Admitiremos, neste texto, que a tensão normal, σσn, num ponto é igual à pressão

Figura 4.8-1 Diagrama esquemático para a análise de um volume de controle segundo a primeira lei mos- trando calor, trabalho e massa atravessando a superfície d e controle

79


estática, P, e simplesmente notaremos que esta hipótese é bastante razoável na maioria das aplicações e que conduz a resultados de boa precisão.

Com essa hipótese, o trabalho realizado sobre a massa δδme para introduzi-la no volume de controle é Peννeδδme e o trabalho realizado pela massa δδms ao sair do volume de controle é Psννsδδms. Chamaremos a esses termos TRABALHO DE FLUXO. Na literatura encontramos muitos outros termos, como escoamento de energia, trabalho de introdução e trabalho de expulsão.

Então, o trabalho total realizado pelo sistema durante, dt, será;

δδ δδ νν δδ νν δδW W P m P mv c s s s e e e== ++ −−. ( ) (4.8-4) dividamos, agora, as Eq. 4.8-2 e 4.8-4 por dt e substituamos na primeira lei Eq. 4.8-1. Combinando os termos e rearranjando,

δδ δδνν

δδνν

δδδδQdt

mdt

e PE E

dtmdt

e PWdt

ee e e

t t t ss s s

v c++ ++ ==−−

++ ++ ++++( ) ( ) . (4.8-5)

Cada um dos termos de fluxo mássico dessa expressão pode ser rescrito na forma:

e P u PV

gZ hV

gZ++ == ++ ++ ++ == ++ ++νν νν2 2

2 2 (4.8-6)

usando a definição de entalpia específica dada pela Eq. 2.2-2.

Deve ser ressaltado que o aparecimento da combinação (u + Pνν) sempre que há fluxo de massa através de uma superfície de controle é a principal razão para se definir a propriedade entalpia. A sua introdução antecipada relacionada com o processo a pressão constante, foi feita para facilitar o uso das tabelas de propriedades termodinâmicas naquela altura. Utilizando-se a Eq. 4.8-6 para as massas entrando e saindo do volume de controle, a Eq. 4.8-5 torna-se

δδ δδ δδ δδδδQdt

mdt

hV

gZE E

dtmdt

hV

gZWdt

ee

ee

t t t ss

ss

v c++ ++ ++ ==−−

++ ++ ++ ++++( ) ( ) .2 2

2 2 (4.8-7)

Para reduzir essa expressão a uma equação em termos de fluxo,

consideremos o que acontece a cada um dos termos da Eq. 4.8-7 quando dt tende para zero. Os termos de calor trocado e do trabalho tornam-se quantidades associadas à taxa de transferência, como no caso visto na seção 4.3. Analogamente as duas quantidades de massa tornam-se fluxos de massa, como na seção 4.7 e o termo de energia torna-se a taxa de variação de energia com o tempo, no volume de controle, de maneira análoga ao termo de massa na equação da conservação de massa. Adicionalmente admitimos originalmente propriedades uniformes de massa δme, que entra no volume de controle através da área Ae e fizemos uma hipótese análoga relativamente a δδms, que sai do volume de controle através da área As. Em conseqüência, ao tomarmos os limites acima mencionados as hipótese se reduzem à restrição de propriedades uniformes ao longo das áreas Ae e As num dado instante. Naturalmente as propriedades podem depender do tempo.

80


Ao se utilizar os valores limites para exprimir a equação do primeiro princípio para um volume de controle em termos de fluxo, novamente incluímos os sinais de somatório nos termos de escoamento para considera a possibilidade de haver correntes de fluxo adicionais entrando ou saindo do volume de controle e diversos pontos onde calor e trabalho são acrescidos ao volume de controle. Portanto o resultado é:

Q m h gZdE

dtm h gZ W

v c e eV

ev c

s sV

s v ce s

•• •• •• ••

∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑++ ++ ++ == ++ ++ ++ ++.

..( ) ( )

2 2

2 2 (4.8-8)

que é, para nossa finalidade, a expressão geral da primeira lei da termodinâmica. Em outras palavras essa equação diz que a taxa líquida de transferência de calor para o volume de controle, mais a taxa de energia que entra no mesmo como resultado da transferência de massa, é igual à taxa de variação da energia dentro do volume de controle mais a taxa de energia que sai deste como resultado da transferência de massa, e mais a potência líquida associada a eixo, cisalhamento, efeitos elétricos e outros fatores que já foram mencionados. A Eq. 4.8-8 pode ser integrada ao longo do tempo total de um processo para se obter a variação total de energia que ocorre naquele período. Entretanto para se fazer isto é necessário o conhecimento da dependência com o tempo dos vários fluxos de massa e dos estados das massas que entram e saem do volume de controle. Um outro ponto que deve ser observado é que se não houver fluxo de massa entrando ou saindo do volume de controle, aqueles termos da Eq, 4.8-8 simplesmente desaparecem da Eq. 4.8-8, que então se reduz à equação da primeira lei para sistema fechado, em termos de fluxo, já discutida na seção 4.3, ou seja,

QdEdt

W•• ••

∑∑ ∑∑== ++ (4.3-3)

Como a abordagem pelo volume de controle é mais geral, e se reduz à expressão usual da primeira lei para um sistema quando não há fluxo de massa através da superfície de controle, usaremos como expressão geral da 1a lei, a Eq, 4.8-8. 4.9 - O processo em Regime Permanente Nossa primeira aplicação das equações de volume de controle será no desenvolvimento de um modelo analítico adequado para operações em regime permanente de dispositivos como: Turbinas, Compressores, Bocais, Caldeiras, Trocadores Calor etc. , ou seja, um grupo muito grande de problemas de interesse na engenharia. Esse modelo não incluirá as fases transitória de entrada em operação e parada de tais dispositivos, abordando apenas o período de tempo de operação estável.

81


Consideremos um certo conjunto de hipóteses (além daquelas que levaram à equação da 1a lei) que conduzem a um modelo razoável para esse tipo de processo, ao qual nos referimos como processo em regime permanente.

1 - O volume de controle não se move em relação ao sistema de coordenadas.

- Esta hipótese significa que todas as velocidades medidas em relação aquele sistema são também velocidades relativas à superfície de controle, e não há trabalho associado com a aceleração do volume de controle.

2 - Quanto à massa no volume de controle, o estado da mesma em cada ponto do volume de controle não varia com o tempo. - Esta hipótese requer que

dmdt

v c. == 0 , e também, dE

dtv c. == 0

portanto, concluímos para o processo em regime permanente, que podemos escrever a equação da continuidade, Eq. 4.7-4 como:

m ms e

•• ••

∑∑ ∑∑== (4.9-1)

e a primeira lei da termodinâmica como:

Q m h gZ m h gZ Wv c e e

Ve s s

Vs V c

e s•• •• •• ••

∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑++ ++ ++ == ++ ++ ++. .( ) ( )

2 2

2 2 (4.9-2)

3 - Quanto à massa que escoa através da superfície de controle, o fluxo de

massa e o estado dessa massa em cada área discreta de escoamento na superfície de controle não varia com o tempo. As taxas na qual o calor e o trabalho cruzam a superfície de controle permanecem constantes. Isto requer que cada quantidade nas Eq. 4.9-1 e Eq. 4.9-2 sejam invariáveis com o tempo, isto significa que a aplicação das Eq. 4.9-1 e 4.9-2 à operação de tais dispositivos é independente do tempo.

Exemplo 4.9-1

Vapor de água a 0,5 MPa e 200 OC entra em um bocal termicamente isolado com uma velocidade de 50 m/s, e sai à pressão de 0,15 MPa e à velocidade de 600 m/s. Determinar a temperatura final do vapor se ele estiver superaquecido e o título se for saturado.

Solução

Hipóteses:

processo em regime permanente, d Edt

v c. == 0

volume de controle termicamente isolado, →→ não há transferência de calor pela superfície de controle, Qv.c = 0, e do problema físico, Wv.c= 0, do esquema para o problema podemos adotar para os fluxos mássicos que (EP)e ≅≅ (EP)s

82


Da 1a lei da termodinâmica, regime permanente resulta

h heV

sVe s++ == ++

2 2

2 2 as velocidades de entrada e saída são conhecidas, a entalpia de entrada pode ser determinada da tabela de propriedades superaquecidas para o vapor de água, →→ he = 2 855,4 kJ/kg. Assim substituindo os valores na 1a lei, temos

h hV V

s ee s= +

−

→

2 2

2

h kJkg

ms

kJJ

kJkg

kJkgS = +

−

= + −2855 4

50 600

2

1

10002855 4 178 75

2 2 22, ( ) ( ) , ( , )

h kJ kgs == 2 676 65, /

Do diagrama de mollier para a água a Ps = 0,15 MPa e com hs = 2 676,65 kJ, vemos que o estado 2 é de vapor úmido (hvs = 2693,6 kJ/kg, hls = 467,11kJ/kg ) assim,

Xh h

h hou Xs e

vs ls2 2

2676 65 467 11

2693 6 467 11

2209 54

2226 490 992 99 2==

−−−−

==−−

−−== == ==

( , , )

( , , )

,

,, , %

A temperatura é obtida da tabela de propriedades saturadas, para Ps = 0,15 MPa

a temperatura é, Ts = 111,4 OC

Exemplo 4.9-2

O fluxo de massa que entra em uma turbina a vapor d'água é de 1,5 kg/s e o calor transferido da turbina para o meio é de 8,5 kW. São conhecidos os seguintes dados para o vapor de água que entra e sai da turbina: Determinar a potência fornecida pela turbina. hipóteses: O volume de controle é como na figura ao lado

Regime permanente, dEdt

v c. == 0 , ΣΣ ΣΣm m me s

•• •• ••== ==

Modelo: Tabelas de Vapor d'água ou diagrama de Mollier Análise: Primeira lei da termodinâmica Solução

Condições de Entrada

Condições de Saída

Pressão 2,0 MPa 0,1 MPa Temperatura 350 OC ----------- Título --------- 100 % Velocidade 50 m/s 200 m/s Plano de referência 6 m 3 m aceleração da gravidade g= 9,8066 m/s2

83


Q m h gZ m h gZ W v cv c eV

e sV

se s

•• •• •• ••++ ++ ++ == ++ ++ ++. ( ) ( ) .

2 2

2 2 (1)

Dos dados do problema, Q v c kW••

== −−. ,8 5 Do diagrama de Mollier podemos ler os dados para as condições de entrada e saída da turbina he = 3137,0 kJ/kg, Se = 6,95 kJ/kg-K hs = 2675,5 kJ/kg, Ss = 7,36 kJ/kg-k Calculo dos termos de energia cinética e potencial dos fluxos mássicos

V x

xkJ

JkJ kge

2

2

50 50

2

1

10001 25== ==

( )

( ), / ; gZ x x

kJ

JkJ kge == ==9 8066 6

1

10000 059,

( )

( ), /

V x

xkJ

JkJ kgs

2

2

200 200

2

1

100020 0== ==

( )

( ), / ; gZ x x

kJJ

kJ kgs == ==9 8066 31

10000 029,

( )

( ), /

Substituindo os valores numéricos na equação (1) temos

−− ++ ++ ++ == ++ ++ ++••

8 5 1 5 3137 1 25 0 059 1 5 2675 5 20 0 0 029, , ( , , ) , ( , , , ) .W v c

portanto, W W kWv c T

•• ••

== == −− ++ −− ==. , , , ,8 5 4707 5 4043 3 655 7 Pode-se fazer mais duas observações em relação a esse exemplo. Primeiro, em muitos problemas de engenharia as variações de energia potencial (∆EP), são insignificantes, quando comparadas com as outras formas de energia. No exemplo acima a variação de energia potencial não afetou o resultado de modo significativo. Na maioria dos problemas onde a variação de altura é pequena, os termos de energia potencial podem ser desprezados Segundo, se as velocidades são pequenas, inferiores a cerca de 20m/s, em muitos casos a variação de energia cinética, (∆EC), também é insignificante quando comparado com os demais termos de energia. Como é a variação de energia cinética que é importante na equação da 1a lei os termos de energia cinética podem ser comumente desprezados quando não houver grandes diferenças entre a velocidade de entrada e saída do fluxo mássico no volume de controle. Assim em muitas aplicações da 1a lei deve-se julgar quais valores podem ser desprezados.

Exemplo 4.9-3 Considere uma instalação motora a vapor simples como mostrada na figura abaixo. Os dados na tabela referem-se a essa instalação.

Localização

Pressão

Temperatura ou Título

Saída do gerador de vapor 2,0 MPa 300 oC Entrada da turbina 1,9 MPa 290 oC Saída da turbina, entrada do condensador

15 kPa

90 %

Saída do condensador, entrada da bomba

14 kPa

45 oC

Trabalho da bomba = 4,0 kJ/ kg

Figura para o exemplo 5.5-4

84


Determinar as seguintes quantidades , por kg de fluido que escoa através da unidade. 1 - Calor trocado na linha de vapor entre o gerador de vapor e a turbina 2 - Trabalho da turbina 3 - Calor trocado no condensador 4 - Calor trocado no gerador de vapor. Existe evidente vantagem em indicar um número para os diversos pontos do ciclo. Por esse motivo os índices e e s na equação da energia para um processo em regime permanente, são freqüentemente substituídos por números apropriados, como na figura deste exemplo. Como existem diversos volumes de controle a serem considerados na resolução deste problema, consolidemos até um certo grau, o nosso procedimento neste exemplo.

Todos os processos: em regime permanente Modelo: Tabelas de vapor e/ou diagrama de Mollier para se obter as propriedades de todos os estados numerados na figura

Como nada foi dito sobre as velocidades dos fluxos mássicos e suas posições, as variações de energia cinética e potencial, são desprezadas, pelos critérios discutidos no exemplo 5.5-2

As propriedades dos estados 1,2 e 3 podem ser lidos no diagrama de Mollier, assim: h1 = 3023,5 kJ/kg S1 = 6,7664 kJ/kg-K h2 = 3002,5 kJ/kg S2 = 6,7508 kJ/kg-K h3 =2361,8 kJ/kg S3 = 7,2831 kJ/kg-K exemplo para interpolação linear de valores na tabela de propriedades (valor de S3 )

Da tabela de propriedades superaquecidas S P= 1,9, e T= 250 oC S P=1,9, e T = 300 oC T=250 oC T=300 oC

S P S P 6,6066 →→ 1,8 6,8226 →→ 1,8

S1,9 →→ 1,9 S1,9 →→ 1,9 6,5453 →→ 2,0 6,7664 →→ 2,0 interpolando S1 9 6 6066

6 6066 6 5453

1 9 18

1 8 2 0, ,

, ,

, ,

, ,

−−−−

==−−−−

S1 9 6 8226

6 8226 6 7664

1 9 18

18 2 0, ,

, ,

, ,

, ,

−−−−

==−−−−

S1 9 6 60661 9 1 8

1 8 2 06 6066 6 5453, ,

( , , )

( , , )( , , )== ++

−−−−

−− S1 9 6 82261 9 1 8

1 8 2 06 8226 6 7664, ,

( , , )

( , , )( , , )== ++

−−−−

−−

S1 9 6 57595, ,== S1 9 6 79450, ,==

ST=290 oC e P = 1,9 Mpa

85


S T

6,57595 250 (valor obtido na interpolação acima) S290 290

6,79450 300 (valor obtido na interpolação acima)

S

S290290

6 57595

6 79450 6 57595

290 250

300 2906 57595 6 79450 6 57595

290 250

300 2506 7508

−−−−

==−−−−

→→ == ++ −−−−−−

==,

, ,, ( , , ) ,

S kJ kg K290 6 7508== −−, /

As propriedades do estado 4 devem ser lidas da tabela de propriedades comprimidas ou de forma aproximada, da tabela de propriedades saturadas para a temperatura dada. Assim h4 = 188,5 kJ/kg S4 = 0,6387 kJ/kg-K Procedimento para obter os resultados específicos perguntados no problema: 1 - Calor trocado na linha de vapor entre o gerador de vapor e a turbina Aplicando-se a 1a lei por unidade de fluxo de massa temos

1 2 2 11 2

1 2 2 1 3002 5 3023 5 21 0Q m h hQ

mq h h kJ kg

•• ••••

••== −− →→ == == −− == −− == −−( ) ( ) , , , /

2 - Trabalho da turbina

Aplicando-se a primeira lei à turbina para fluxo unitário, temos

Q m h m h WV c V c

•• •• •• ••++ == ++. .2 3

Uma turbina é essencialmente uma máquina adiabática. Por tanto é razoável desprezar o calor trocado com o meio ambiente. Assim,

2 3 2 3 3002 5 2361 8 640 7w

W

mh h kJ kg

V C== == −− == −− ==

••

••

.( ) ( , , ) , /

3 - Calor trocado no condensador Neste caso, não há trabalho, assim,

Q m h m h qQ

mh hV c

V C•• •• ••

••

••++ == →→ == == −− == −−.. ( ) ( , , )3 4 3 4 4 3 188 5 2361 8

3 4 2 173 3q kJ kg== −− , /

86


4 - Calor trocado no gerador de vapor.

Neste caso não há realização de trabalho, e a primeira lei fica

Q m h m h qQ

mh hV C

V C•• •• ••

••

••++ == →→ == == −−.. ( )5 1 5 1 1 5

Na resolução, necessitamos do valor de h5, que pode ser obtido considerando um volume de controle na bomba do sistema A primeira lei aplicada à bomba, com a hipótese de que o processo é adiabático, (Q=0 ), não há transferência de calor da bomba para o meio ou vice-versa, resulta

h4 = h5 + 4w5 , portanto, h5 = h4 - 4W5 →→ h5 = 188,5 - (- 4,0) h5 = 192,5 kJ/kg Assim para o gerador, obtemos:

5 1 3023 5 192 5 2831q kJ kg== −− ==( , , ) /

A solução gráfica no diagrama de Mollier fica mais rápida, como mostrado na figura abaixo

Exercícios 4-7) - Um chuveiro elétrico, cuja potência elétrica é de 4400 W , aquece a água da temperatura de 20 OC até 35 OC. Determina o fluxo mássico de água que está sendo aquecido.

87

Capítulo - 6

ENTROPIA

88


6- ENTROPIA, UMA PROPRIEDADE DO SISTEMA Em nossa análise da 1a lei da termodinâmica, inicialmente, a estabelecemos para um ciclo, e a seguir definimos uma propriedade, A ENERGIA INTERNA, e com esta nova propriedade do sistema pudemos utilizar a 1a lei da termodinâmica quantitativamente para um processo qualquer. De modo semelhante estabelecemos a segunda lei para um ciclo (os dois enunciados, Kelvin - Planck e Clausius como vimos se referem a um sistema operando em um ciclo termodinâmico) e vamos agora verificar que ela conduz a uma outra propriedade que chamaremos ENTROPIA e será representada pela letra "S". Energia e Entropia são conceitos abstratos idealizados para auxiliar na análise de sistemas térmicos.

A TERMODINÂMICA PODE SER DEFINIDA COMO A CIÊNCIA DA ENERGIA E DA ENTROPIA

6-1 A Desigualdade de Clausius A desigualdade de Clausius nada mais é que uma conseqüência (corolário) da segunda lei da termodinâmica A desigualdade de Clausius pode ser mostrada através da análise de transferência de calor em um motor térmico e em um refrigerador. 6.1a) - Consideremos inicialmente um motor térmico reversível operando entre dois reservatórios térmicos a TH e TL com TH > TL, como mostrado na Fig. abaixo. para este motor podemos escrever:

δ Q Q QH L= − >∫ 0 (a1)

como todos os processos são reversíveis, a transferência de calor também o é, e portanto, da definição de temperatura absoluta, temos

Q

Q

T

TH

L

H

L

= (a2)

Assim, para o ciclo reversível do motor térmico, podemos escrever que:

δ Q

T

Q

T

Q

TH

H

L

L∫ = − = 0 > 0, < 0 ou = 0 ? (a3)

Analisando-se a Eq. a1) vemos que se TH tender para TL o trabalho tende para zero, isto é, δ Q∫ tende para zero, enquanto que δQ

T∫ continua zero.

Resumidamente, para uma motor térmico reversível, podemos escrever:

89


δQ ≥∫ 0 (6.1-1)

δQ

T∫ = 0 (6.1-2)

6.1b) Consideremos, agora, um motor térmico irreversível (não reversível) operando entre os mesmos reservatórios térmicos a TH e TL e recebendo a mesma quantidade de calor, QH, que recebia o motor térmico reversível, da fonte de calor a TH. Para este motor podemos escrever:

δ Q Q QH L∫ = − > 0 (b1)

ou, à medida que TH tende para TL esta integral tende também para zero como no caso do motor reversível. Ainda, para este ciclo podemos, também, escrever:

δQ

T

Q

T

Q

TH

H

L irr

L∫ = − (b2)

Aqui, como no motor reversível, o trabalho da máquina é dado pela expressão, com base na 1a lei.

Q Q WH L− = (b3)

portanto, para o motor irreversível, temos:

Q Q WH L irr irr− = (b4)

Como sabemos, da 2a lei da termodinâmica, o trabalho da máquina irreversível, trabalhando entre as mesmas temperaturas da máquina reversível produz um trabalho menor. Assim podemos escrever:

[( )] [( )]Q Q Q QH L rev H L irr irr− > − (b5)

Portanto, Q QL irr L> (b6)

Logo, do resultado da Eq. b6) comparando a integral δQ

T∫ , da máquina térmica

reversível com a da máquina térmica irreversível vemos que o valor da integral da Eq. b2) é menor que zero ou seja:

δQ

T

Q

T

Q

TH

H

Lirr

L∫ = − < 0 (b7)

Quanto mais irreversível for a máquina mais negativo será o resultado da integral.

Resumidamente, podemos escrever, para um motor térmico irreversível que:

90


Q ≥ 0 (6.1-3)

δ< 0 (6.1-

Logo para um motor qualquer, reversível ou irreversível, teremos:

motor térmico qualquer

δQ ≥∫ 0 -5)

δQ

T∫ ≤ 0 -6)

Para c

máquiainda, o que ocorre com um re

Podemos mostrar, de modo similar ao motor térmico, que para um refrigerador, qualquer: refrigerador qualquer

δ Q∫ ≤ 0 (6.1-7)

δ Q

T∫ ≤ 0 (6.1-8)

Assim, analisado as expressões 6.1-5, 6.1-6, 6.1-7 e 6.1-8, concluímos que

a integral cíclica do calor, δQ∫ , pode ser maior, menor ou igual a zero.

Entretanto, a integral cíclica do calor divido pela temperatura absoluta só pode resultar negativo ou nulo, isto é;

δQ

T∫ ≤ 0 (6.1-9)

Onde a expressão (6.1-9) é a desigualdade de Clausius válida para qualquer

máquina térmica que opere segundo um ciclo termodinâmico. Uma forma alternativa, e interessante, para escrever a desigualdade de Clausius é eliminar o sinal de menor ou igual, (≤), introduzindo o conceito de produção de entropia interna de um sistema, isto é:

91


δδσσ

QT FRONTEIRA

ciclo

== −−∫∫ (6.1-10)

onde σσ ciclo , a entropia produzida, é a medida do “tamanho “do efeito da irreversibilidade presente dentro do sistema operando sob um ciclo termodinâmico. Os valores possíveis para σσ ciclo , são; σσ ciclo = 0 para um ciclo reversível σσ ciclo > 0 existem irreversibilidades internas ao ciclo (processo não reversível) σσ ciclo < 0 impossível (violaria a segunda lei da termodinâmica)

Exemplo 6.1-1 Considere o ciclo simples de potência a vapor, como mostrado na figura ao lado. Esse ciclo é ligeiramente diferente do ciclo normal das instalações a vapor, porque a bomba opera com uma mistura de líquido e vapor em tal proporção que líquido saturado (X=0) sai da bomba e entra na caldeira. Admitamos que a pressão e o título nos vários pontos do ciclo sejam os valores dados na figura. Pergunta-se: Essa máquina operando nesse ciclo satisfaz a desigualdade de Clausius ?

Solução Calculando-se o somatório do calor dividido

pela respectiva temperatura termodinâmica, temos: δδ δδ δδQT

QT

QTcald cond

∫∫ ∫∫ ∫∫==

++

. .

como TCALD. e TCOND são constantes, teremos

δδ QT∫∫ == ++ ∫∫∫∫

1 1

TQ

TQ

caldcald

condcondδδ δδ == ++

QT

QT

cald

cald

cond

cond

das tabelas de vapor, obtemos q h h kcal kg e T T Ccald

o== −− == == ==3 2 3 2493 9 164 2, / , ,

q h h kcal kgcond == −− == −− == −−1 4 110 2 563 7 453 5, , , / , → T T Co4 1 53 6== == ,

portanto; δδ QT∫∫ =

+−

+493 9

164 24 273 15453 5

53 6 273 15,

( , , ),

( , , ) = − 0 258,

.kcalkg K

Assim este ciclo satisfaz a desigualdade de Clausius, significando que não

viola a 2a lei da termodinâmica.

92


6.2 - Definição de Entropia, (S) Como já vimos anteriormente, uma dada quantidade é uma propriedade se, e somente se, sua variação entre dois estados for independente do processo para ir de um para o outro estado. Por definição, entropia é

dsQ

T INT REV≡≡ ( ) . .

δδ (6.2-1)

ou de forma integrada

S SQT INT REV

2 1 1

2−− ==

∫∫

δδ

. .

(6.2-2)

Nas Eqs. 6.2-1 e 6.2-2 o índice INT. REV significa que a definição de variação de entropia é para um processo internamente reversível. O ponto a ser observado aqui é que, como a entropia é uma propriedade, a variação de entropia de uma substância, ao ir de um estado a outro, é a mesma para todos os processos tanto reversíveis como irreversíveis, entre estes dois estados. A Eq. 6.2-2 permite obter a variação de entropia somente através de um caminho reversíveis. Entretanto, uma vez determinada, essa variação será a mesma para qualquer processo entre esses estados. Embora a Eq. 6.2-2 nos permita determinar a variação de entropia, ela não nos informa nada a respeito dos valores absolutos de entropia. Entretanto, pela terceira lei da termodinâmica, que será discutida no curso de termodinâmica 2, conclui-se que a entropia de um cristal perfeito à temperatura de zero absoluto tem entropia zero.

Da terceira lei da termodinâmica, resulta valores absolutos de entropia importante quando estão envolvidas reações químicas. Quando não está envolvida nenhuma mudança de composição, é bastante adequado atribuir valores de entropia em relação a uma referência arbitrariamente escolhida como foi feito para a energia interna e para a entalpia. 6.3 - Variação de entropia em processos reversíveis. Tendo definido a propriedade entropia, S, vamos analisar agora o seu significado em alguns processos reversíveis, principalmente aqueles do ciclo de Carnot. Posteriormente será verificado a variação de entropia para um processo irreversível. Considere como sistema o fluido de trabalho de um motor térmico que opera segundo o ciclo de Carnot. O primeiro processo é o de transferência isotérmica de calor do reservatório de alta temperatura para o fluido de trabalho. Para esse processo podemos escrever:

S2 − =

∫S

Q

T REV1 1

2 δ

.

93


como este é um processo no qual a temperatura do fluido de trabalho permanece constante, resulta da integração:

S ST

QQ

TH H2 1 1

2 1 21− = =∫ δ

Esse processo é mostrado na figura 6.3-1a e a área abaixo da linha 1-2-b-a-1 representa o calor transferido ao fluido de trabalho durante o processo . O segundo processo do ciclo de Carnot é adiabático reversível. Da definição de entropia, temos;

dSQT REV

==

==δδ

0

é evidente que a entropia permanece constante em um processo adiabático (Q = 0) reversível (sem atrito). O processo a entropia constante é chamado de processo isoentrópico. A linha 2-3 representa esse processo, que termina no estado 3 onde a temperatura do fluido de trabalho atinge o valor TL. O terceiro processo é isotérmico reversível, no qual o calor é transferido do fluido de trabalho ao reservatório térmico de baixa temperatura. Para este processo podemos escrever:

S SQ

T

Q

TREV L4 3 1

2 3 4− =

=∫δ

Como durante esse processo o calor trocado é negativo (sai do sistema) a entropia do fluido decresce. Também como o processo final 4-1, que completa o ciclo é um processo adiabático reversível (isoentrópico) é evidente que a diminuição de entropia no processo 3-4 deve ser exatamente igual ao aumento de entropia no processo 1-2. A área abaixo da linha 3-4, área 3-4-a-b-3, representa o calor transferido do fluido de trabalho ao reservatório de baixa temperatura.

Como o trabalho líquido do ciclo é igual a troca líquida de calor (1a lei), é evidente que a área 1-2-3-4-1 representa o trabalho líquido específico do ciclo. O rendimento térmico do ciclo pode também ser expresso em função das áreas:

ηT

area

area b a=

− − − −− − − −

&

&

1 2 3 4 11 2 1

(6.3-1)

algumas afirmações efetuadas anteriormente sobre rendimento térmico podem ser agora compreendidas . Por exemplo, com o aumento de TH, permanecendo TL constante, há aumento do rendimento térmico. Diminuindo TL e ficando TH constante o rendimento térmico também aumenta. É também evidente que o

Fig. 6.3-1a - O ciclo Motor de Fig. 6.3-1b - O ciclo do refri- Carnot no diagrama T x S gerador de Carnot no diagrama T x S

94


rendimento térmico se aproxima de 100 % quando a temperatura absoluta na qual o calor é rejeitado tende para zero. Se o ciclo for invertido, temos um refrigerador ou uma bomba de calor ; o ciclo de Carnot para um refrigerador está mostrado na Fig. 6.3-1b. Observe que neste caso a entropia do fluido de trabalho aumenta à temperatura TL pois o calor é transferido ao fluido de trabalho e a entropia diminui à temperatura TH devido a transferência de calor do fluido de trabalho. Consideremos em seguida os processos reversíveis de troca de calor. Na realidade, estamos interessados aqui, nos processos que são internamente reversíveis, isto é, processos que não envolvem irreversibilidades dentro da fronteira do sistema. Para tais processos, o calor transferido para o sistema pode ser indicado como a área no diagrama temperatura-entropia. Por exemplo, consideremos a mudança de estado de liquido saturado para vapor saturado à pressão constante. Isto corresponde ao processo 1-2 no diagrama T x S da Fig. 6.3-2. (observe que a temperatura aqui é a temperatura absoluta), e a área 1-2-b-a-1 representa o calor trocado. Como este é um processo à pressão constante, o calor trocado por unidade de massa, é igual a hlv = (hvs - hls). Assim,

S S Sm

QT m T

Qq

T

h

Tlv

REV

lv2 1 1

21 2

1

21 1− = =

=⋅

= =∫ ∫δ

δ (6.3-2)

Essa relação fornece uma indicação para o cálculo de Slv apresentado nas tabelas de propriedades saturadas. Por exemplo, considere o vapor d'água saturado a 10 MPa. Das tabelas de vapor temos hlv = 1317,1 kJ/kg e temperatura de 311,96 oC. Portando o valor de Slv será

S kJ kg Klv ==++

==1317 1

311 96 273 152 2510

,( , , )

, / .

se for transferido calor ao vapor saturado, à pressão constante o vapor é superaquecido ao longo da linha 2-3 para este processo podemos escrever:

2 3 2

3

2

31q

mQ Tds== == ∫∫∫∫ δδ (6.3-3)

Como T não é constante, a expressão acima não pode ser integrada, a menos que se conheça a relação entre temperatura e entropia. Entretanto, verificamos que a área abaixo da linha 2-3, área 2-3-c-b-2 representa Tds

2

3

∫ , e portanto, representa o calor trocado durante esse processo

reversível. A conclusão importante a ser tirada aqui é que, para processo internamente reversível, a área abaixo da linha que indica o processo no diagrama temperatura -entropia representa a quantidade de calor trocado. Há muitas situações em que ocorrem processos essencialmente adiabáticos. Já observamos que em tais casos, o processo ideal, que é um processo adiabático reversível, é isentrópico. Verificaremos, também nas seções posteriores, que pela comparação do processo

Figura 6.3-2 - O processo no diagrama T x S

95


real com o processo ideal ou isentrópico, teremos uma base para definir a eficiência de determinada classe de máquinas. Exemplo 6.3-1 Consideremos um cilindro provido de um êmbolo contendo vapor saturado de freon-22 a -10 oC. O vapor é comprimido segundo um processo adiabático reversível até a pressão de 15,63708 kgf/cm2. Determinar o trabalho por kg de vapor, nesse processo.

Solução Sistema Freon - 22 Estado inicial: T1, vapor saturado - estado determinado Estado final: P2 e processo adiabático reversível - estado conhecido Modelo - tabelas ou diagrama de propriedades Análise: 1a lei para sistema fechado

1 2 2 1 1 2Q E E W== −− ++( )

Hipóteses: Volume de controle estacionário, então, EP = EC = 0, assim, a 1a lei para massa unitária fica

1q 2 = u2 - u1 + 1w 2, mas, 1q 2 = 0 (processo adiabático)

1w 2 = u1 - u2

e pela segunda lei - processo adiabático reversível S2 = S1 portanto conhecemos a entropia e a pressão no estado final o que é suficiente para determinar o estado 2. das tabelas de freon-22, temos; estado 1 - vapor saturado a -10 oC →→ P1 = 3,6127 kgf/cm2

h1 = 148,173 kcal/kg, v1 = 0,0653 m3/kg, S1 = 1,18335 kcal/kg K estado 2 P2 = 15,63708 kgf/cm2, S2 = S1 = 1,18335 kcal/kg K interpolando na tabela de vapor superaquecido, temos: T2 = 64,3 oC, v2= 0,0177 m3/kg, h2 = 157,020 kcal/kg

u1 = h1 - P1v1 = 148,173 (4,1868) - [ (3,6127 x 9,81 x 104) x 0.0653] x 10-3 u1 = 620,37 - 23,14 = 597,23 kJ/kg u2 = h2 - P2v2 = 157,020(4,1868) - [ 15,63708 x 9,81 x 104) x 0,0177] x 10-3 u2 = 657,41 - 27,15 = 630,26 kJ/kg

1w2 = 597,23 - 630,26 = - 33,03 kJ/kg

96


6.4 - Duas Relações Termodinâmicas Importantes

Considere uma substância pura simples compressível, como sistema, sofrendo um processo internamente reversível. Na ausência de outros efeitos de movimento e gravidade o balanço da 1a lei da termodinâmica, na forma diferencial, resulta:

( ) ( )δ δQ dU WINT. REV INT. REV

= + (6.4-1)

por definição de entropia

dSQ

T INT. REV

=

δ ⇒ ( )δ Q TdS

INT. REV=

o trabalho de uma substância simples compressível é dado por

( )δ W PdVINT. REV

=

substituindo estes dois valores na equação 6.4-1 obtemos a 1a relação procurada, chamada de equação “TdS "

TdS dU PdV= + ou Tds = du + Pdν (6.4-2) utilizando, agora, a definição da propriedade entalpia, onde

H U PV= + e diferenciando, obtemos:

dH dU PdV VdP= + + substituindo o valor de dU dado pela Eq. 6.4-2, obtemos

dH TdS PdV PdV VdP= − + + e, portanto

TdS dH VdP= − ou Tds = dh - νdP (6.4-3)

Que é a segunda relação procura. As equações TdS, embora, obtidas a partir do processo reversível são válidas para qualquer processo, uma vez que todos os termos da equação são compostos de propriedades termodinâmicas e portanto, não depende do caminho, e sim, somente dos estados inicial e final.

97


Exemplo 6.4-1 Um exercício ilustrativo do uso das equações TdS, pode ser mostrado considerando a mudança de estado de liquido saturado para vapor saturado a pressão constante

Solução:

sendo a pressão constante, da segunda equação TdS temos:

d sdhT

= ou integrando,

( )s sh h

T2 12 1− =

−

6.5- Variação de entropia de um sistema durante um processo irreversível Considere um sistema que percorra os ciclos mostrados na Fig. 6.5-1. O ciclo constituído pelos processos A e B é reversível. Portanto, para um ciclo reversível podemos escrever:

δδ δδ δδQT

QT

QTA B

∫∫ ∫∫ ∫∫==

++

==1

2

2

10 (6.5-1)

O ciclo constituído pelo processos reversível A e do processo irreversível C é um ciclo irreversível. Portanto, a desigualdade de Clausius pode ser aplicada para este ciclo, resultando

δδ δδ δδQT

QT

QTA C

==

++

<<∫∫ ∫∫ ∫∫1

2

2

1

0 (6.5-2)

Subtraindo a segunda equação da primeira e rearranjando temos (a 1a Eq. é igual a zero e a 2a é menor que zero, portanto a 1a é maior que a segunda !)

δδ δδQT

QTB C

>>

∫∫ ∫∫2

1

2

1 (6.5-3)

Como o caminho B é reversível, e como a entropia é uma propriedade do sistema, então;

δδQT

dS dSB

B C

== ==∫∫ ∫∫ ∫∫2

1

2

1

2

1 (6.5-4)

portanto,

Figura 6.5-1 Variação de entropia durante um processo irreversível

98


d SQTC

C2

1

2

1

∫∫ ∫∫>>

δδ (6.5-5)

para o caso geral podemos, então escrever:

dSQT

≥≥δδ

(6.5-6)

ou

S SQT2 1 1

2−− ≥≥ ∫∫

δδ (6.5-7)

Nessas equações a igualdade vale para processo reversível e a desigualdade para processo irreversível. Essa é uma das mais importantes equações da termodinâmica e é usada para desenvolver vários conceitos e definições. Essencialmente, essa equação estabelece a influência da irreversibilidade sobre a entropia de um sistema. Assim se uma quantidade de calor δδQ é transferida para o sistema à temperatura T segundo um processo reversível a variação de entropia será menor que se a mesma quantidade de calor, δδQ, for transferido através de um processo irreversível. A Eq. 6.5-7 é válida quando δδQ = 0, ou quando δδQ < 0, ou mesmo quando δδQ > 0. Se δδQ for negativo a entropia tenderá a decrescer devido à troca de calor. Entretanto, a influência das irreversibilidades é ainda no sentido de aumentar a entropia do sistema, e, do ponto de vista numérico, absoluto, podemos ainda escrever para δδQ < 0, que

dSQT

≥≥δδ

6.6 - Variação de Entropia de um Sólido ou Líquido

Já verificamos a variação de energia interna e de entalpia para sólidos e líquidas em seções anteriores, e verificamos que, em geral, é possível expressar ambas as propriedades de maneira simples, em termos de calor específico. Como sabemos o volume específico para um sólido ou líquido varia muito pouco, ou quase nada, com a variação de pressão. Assim, da equação Tds, Eq. 6.4-2, podemos escrever para um sólido ou líquido

dsduT

CT

dT≈≈ ≈≈ (6.6-1)

Ainda, como foi dito anteriormente, para muitos processos que envolvem um sólido ou líquido podemos admitir que o calor específico se mantém constante, e neste caso, a Eq. 6.6-1, pode ser integrada, obtendo-se:

99


S S CTT2 1

2

1

−− ≈≈ ln (6.6-2)

Se o calor específico não for constante, mas função da temperatura, T, a equação 6.6-1 pode ser integrada para determinar o valor da variação de entropia.

Exemplo 6.6-1 Um quilograma de água líquida é aquecida de 20 a 90 oC. Calcular a variação de entropia admitindo-se calor específico constante e comparar com o resultado obtido usando as tabelas de vapor. Solução: Da tabela 4.3-3 seção 4.3 o calor específico para a água a 25 oC é 4,184 kJ/kg K Assim da equação 6.6-2 temos

S S kJ kg K2 1 4 18490 2731520 27315

0 8959−− ==++++

==, ln( , )( , )

, / .

da tabela de liquido saturado a 20 oC, S1 = 0,2966 kJ/kg.k para a temperatura de 90 oC, S2 = 1,1925 kJ/kg.K

logo S2 - S1 = 1,1925 - 0,2966 = 0,8959 kJ/kg.k essencialmente o mesmo.

100


Exercícios 6-1)- Considere um motor térmico de Carnot que opera entre os reservatórios térmicos a 1000 oC e a 0 oC e recebe 1 000 KJ de calor do reservatório térmico de alta temperatura. a) Considerando o fluido de trabalho como sistema, mostrar o ciclo no diagrama T x S b) Calcular o trabalho líquido e o rendimento térmico do ciclo c) Calcular a variação de entropia do reservatório de alta e baixa temperatura. 6-2)- Uma bomba de calor de Carnot utiliza freon -12 como fluido de trabalho. Calor é transferido do fluido de trabalho a 40 oC e durante este processo o freon -12 muda de vapor saturado para líquido saturado. A transferência de calor para o freon -12 ocorre a 0 oC . a) Mostrar este ciclo no diagrama T x S e P x h b) Calcular o título no começo e fim dos processos isotérmicos c) Determine o coeficiente de desempenho, COP, do ciclo 6-3)- Um cilindro provido de um pistão sem atrito contém vapor de água a 300 oC e 2 MPa. Nesse estado o volume do cilindro é de 100 litros. O vapor se expande realizando trabalho contra o pistão até que a pressão final seja de 300 kPa. Qual é o trabalho realizado pelo vapor durante o processo, admitindo-se que seja adiabático ?. 6-4)- Água inicialmente como líquido saturado a 100 oC está contido dentro de um conjunto cilindro pistão. A água sofre um processo isobárico passando a vapor saturado, durante o qual o pistão se move livremente sem atrito dentro do cilindro. Se a mudança de estado causada pelo fornecimento de calor à água for internamente reversível, determine o trabalho e o calor transferido por unidade de massa, em kJ / kg. 6-5)- Refrigerante 134a é comprimido adiabaticamente em um compressor desde vapor saturado a 0 oC até a pressão final de 0,425 MPa. Determine o mínimo trabalho teórico requerido por unidade de massa de refrigerante 134a, em kJ/kg

Resposta 1W2 min = -16,34 kJ/kg

101


6.7 - Princípio do Aumento de Entropia Nesta seção examinaremos a variação total de entropia de um sistema e de seu meio, quando o sistema sofre uma mudança de estado. Este estudo conduz ao princípio do aumento de entropia.

Consideremos o processo mostrado na Fig. 6.7-1 no qual uma quantidade de Calor δδQ é transferida do meio à temperatura TO para o sistema à temperatura T; seja δδW o trabalho realizado pelo sistema durante esse processo. Para esse processo podemos aplicar a Eq. 6.5-6 ao sistema e escrever

dSQ

TSistema ≥δ

para o meio a quantidade de calor, δδQ é negativa e podemos escrever

dSQ

Tmeio =− δ

0

A variação líquida total de entropia é, portanto

dS dS dSQ

T

Q

TQ

T TLiquido Sistema MeioO O

= + ≥ − ≥ −

δ δδ

1 1

Como a temperatura do meio, TO é maior que a temperatura do sistema, T, a quantidade (1/T - 1/TO) é positiva e concluímos que:

dS dS dSLIQ Sistema Meio. = + ≥ 0 (6.7-1)

Se T > TO, o calor é transferido do sistema para o meio e tanto δδQ como a quantidade (1/T - 1/TO) são negativas, levando assim ao mesmo resultado.

Assim, concluímos que, para todos os processos possíveis de um sistema em um determinado meio que podem percorrer

dS dS dSLIQ Sistema Meio. = + ≥ 0 (6.7-2)

onde a igualdade vale para processo reversível e a desigualdade para processo irreversível. Essa é uma equação muito importante, não somente para a termodinâmica, mas também para o pensamento filosófico e é denominada de “Princípio do Aumento de Entropia”. O seu grande significado é que os únicos processos que podem ocorrer são aqueles nos quais a variação líquida de entropia, do sistema mais seu meio, aumenta (ou, no limite, permanece constante). O processo inverso, no qual tanto o sistema como o meio são trazidos de volta a seus estados originais, não pode ocorrer. Em outras palavras, a Eq. 6.7-1 impõe o sentido único em que qualquer processo pode ocorrer. Assim o princípio do aumento de entropia pode ser considerado como um enunciado geral quantitativo da segunda lei da termodinâmica sob o ponto de vista macroscópico e aplica-se à queima de combustíveis nos motores de nossos automóveis, ao resfriamento do nosso café e aos processos que ocorre no nosso corpo.

Fig. 6.7-1 - variação de entropia do sistema mais meio

102


Às vezes, esse princípio do aumento de entropia é enunciado em termos de um sistema isolado, no qual não há interação entre sistema e o meio. Nesse caso, não há variação de entropia do meio e conclui-se que

dSSistema Isolado ≥ 0 (6.7-3)

Isto é, para um sistema isolado, os únicos processos que podem ocorrer são aqueles que apresentam um aumento de entropia, associado ao próprio sistema.

Exemplo 6.7-1

Admitamos que 1,0 kg d'água a 100 oC seja condensado, obtendo-se líquido saturado a 100 oC, num processo à pressão constante, através da transferência de calor para o ar do ambiente que está a 25 oC. Qual é o aumento líquido de entropia do sistema mais a do meio ? Solução O sistema é a água: - para o sistema, das tabelas de vapor saturado da água obtemos:

∆∆S sistema = - Slv = - 1 x 6,0480 = - 6,0480 kJ/K

Considerando o meio

Q para o meio = m x h LV = 1 x 2257,0 = 2557,0 kJ

∆SQ

TkJ Kmeio

O

= =+

=2257

25 273 157 5700

( , ), /

Assim a variação líquida do sistema mais meio será

∆∆ ∆∆ ∆∆S S S kJ Kliquido meio sistema== ++ == ++ −− ==7 5700 6 0480 1 5220, ( , ) , /

Esse aumento de entropia está de acordo com o princípio do aumento de entropia e diz, do mesmo modo que a nossa experiência, que este processo pode ocorrer. É interessante observar como essa transferência de calor da água para o meio poderia acontecer reversivelmente (se existisse um motor reversível). Admitamos que um motor térmico que opere segundo um ciclo de Carnot, receba calor da água e rejeite calor para o meio, conforme mostrado no esquema da figura. Neste caso, como o motor é reversível, a diminuição da entropia da água é igual ao aumento de entropia do meio. Isto é,

∆S kJ KSistema = −6 0480, / ∆S kJ KMeio = 6 0480, /

Como a transferência de calor para o meio é reversível, então

Q T S x kJpara o meio O= = + =∆ ( , ) , ,25 273 15 6 0480 1803 2

trabalho de tal motor pode ser calculado e vale (Qsistema ≡≡ QH, e Qmeio ≡≡ QL) W Q Q kJCarnot Sistema Meio== −− == −− ==2557 1803 2 453 8, ,

Como esse ciclo é reversível o motor pode ser invertido e operar como bomba de calor, para a bomba de calor o trabalho será igual ao trabalho do motor, isto é, 453,8 kJ.

103


6.8 - Variação de Entropia para um Gás Ideal. Para um gás ideal, como vimos anteriormente tanto o calor específico a pressão constante como a volume constante são funções somente da temperatura.

Cdh

dTP = e Cdu

dTV = ,

ou dh C dTP= e du C dTV=

Da primeira equação TdS, temos

Tds du Pdv= + ou

dsduT

PT

dv= +

e da equação de estado para o gás ideal vem:

Pv RT= ⇒ PT

Rv

=

substituindo, e considerando o calor específico de um gás ideal, Cvo , temos;

ds CdTT

R dvvvo= +

integrando desde o estado 1 até o estado 2 vem

s s CdTT

Rvvvo2 1 1

22

1

− = +∫ ln (6.8-1)

de modo semelhante, considerando-se a segunda equação TdS

Tds dh vdP= −

substituindo a definição de calor específico a pressão constante CPO e a

equação de estado para o gás ideal na forma: vT

RP

=

resulta;

ds CdT

TR

dP

Ppo= − ,

que integrando resulta:

104


s s CdT

TR

P

Ppo2 12

11

2− = −∫ ln (6.8-2)

para integrar a equação 6.8-1 e 6.8-2 precisamos conhecer a relação entre

calor específico e a temperatura. A primeira possibilidade é admitir Cpo e Cvo constantes, a variação de entropia pode então ser calculada como:

s s CT

TR

P

Ppo2 12

1

2

1

− =

−

ln ln (6.8-3)

s s CT

TR

v

vvo2 12

1

2

1

− =

+

ln ln (6.8-4)

A segunda possibilidade relativa ao calor específico é utilizar uma equação analítica para o calor específico Cpo função somente da temperatura como aquelas dadas na seção 4, Eq.4.4-14. A terceira possibilidade é integrar os resultados dos cálculos da termodinâmica estatística, desde a temperatura de referência, To até qualquer outra temperatura T, e definir uma função do tipo

SC

TdTT

O PO

To

T== ∫∫ (6.8-5)

Esta função, que é função somente da temperatura, pode ser apresentada numa tabela de gás ideal de única entrada (temperatura) como a tabela 6.8-1 para o caso do ar, ou tabela de outros gases. Na tabela 6.8-1, Pr é a Pressão reduzida, Pr = P/PC e Vr o volume reduzido, Vr = V/Vc onde P e V são pressão e volume específico, respectivamente do gás e Pc e Vc são a pressão e volume específico do ponto crítico do gás. Os dados da tabela 6.8-1 foram obtidos para o seguinte estado de referência: Temperatura de 0 K e pressão de 1,0 atmosfera. A variação de entropia entre dois estados quaisquer 1 e 2 pode ser determinada da seguinte forma;

S S S S RP

PTO

TO

2 1 2 12

1

− = − −

( ) ln (6.8-5)

Devemos lembrar novamente que todos esses resultados são parte do modelo de gás ideal, que pode, ou não, ser adequados para um dado problema específico.

105


Tabela 6.8-1 - Integrais de Gás Ideal para o Ar

T [ K ] h [ kJ/kg] Pr u [ kJ/kg] ννr so [kJ/kg-K]

200 199,97 0,3363 142,56 1707,0 1,29559 220 219,97 0,4690 156,82 1346,0 1,39105 240 240,02 0,6355 171,13 1084,0 1,47824 260 260,09 0,8405 185,45 887,8 1,55848 280 280,13 1,0889 199,75 738,0 1,63279 300 300,19 1,3860 214,07 621,2 1,70203 320 320,29 1,7375 228,42 528,6 1,76690 340 340,42 2,149 242,82 454,1 1,82790 360 360,58 2,626 257,54 393,4 1,88543 380 380,77 3,176 271,69 343,4 1,94001 400 400,98 3,806 286,16 301,6 1,99194 420 421,26 4,522 300,69 266,6 2,04142 440 441,61 5,332 315,30 236,8 2,08870 460 462,02 6,245 329,97 211,4 2,13407 480 482,49 7,268 344,70 189,5 2,17760 500 503,02 8,411 359,49 170,6 2,21952 520 523,63 9,684 374,36 154,1 2,25997 540 544,35 11,10 389,34 139,7 2,29906 560 565,17 12,66 404,42 127,0 2,33685 580 586,04 14,38 419,55 115,7 2,37348 600 607,02 16,28 434,78 105,8 2,40902 620 628,07 18,36 450,09 96,92 2,44356 640 649,22 20,64 465,50 88,99 2,47716 660 670,47 23,13 481,01 81,89 2,50985 680 691,82 25,85 496,62 75,50 2,54175 700 713,27 28,80 512,33 69,76 2,57277 720 734,82 32,02 528,14 64,53 2,60319 740 756,44 35,50 544,02 59,82 2,63280 760 778,18 39,27 560,01 55,54 2,66176 780 800,03 43,35 576,12 51,64 2,69013 800 821,95 47,75 592,30 48,08 2,71787 820 843,98 52,59 608,59 44,84 2,74504 840 866,08 57,60 624,95 41,85 2,77170 860 888,27 63,09 641,40 39,12 2,79783 880 910,56 68,98 657,95 36,61 2,82344 900 932,93 75,25 674,58 34,31 2,84856 920 955,38 82,05 691,28 32,18 2,87324 940 977,92 89,28 708,08 30,22 2,89748 960 1000,55 97.00 725,02 28,40 2,92128 980 1023,25 105,2 741,98 26,73 2,94468 1000 1046,04 114,0 758,94 25,17 2,96770 1100 1161,07 167,1 845,33 18,896 3,07732 1200 1277,79 238,0 933,33 14,470 3,17888 1300 1395,97 330,9 1022,82 11,275 3,27345 1400 1515,42 450,5 1113,52 8,919 3,36200 1500 1635,97 601,9 1205,41 7,152 3,44516 1600 1757,57 791,2 1298,30 5,804 3,52364 1700 1880,1 1025 1392,7 4,761 3,5979 1800 2003,3 1310 1487,2 3,944 3,6684 1900 2127,4 1655 1582,6 3,295 3,7354 2000 2252,1 2068 1678,7 2,776 3,7994 2100 2377,4 2559 1775,3 2,356 3,8605 2200 2503,2 3138 1872,4 2,012 3,9191

Source: Adapted from K. Wark, Thermodynamics, 4th ed., McGraw-Hill, New York, 1983, as base on J. H. Keenan and J. Kaye “Gas Tables ", Wiley, New York, 1945

106


6.9 - Balanço de Entropia para um Sistema A Figura 6.9-1 representa um ciclo executado por um sistema fechado. O ciclo consiste do processo 1, durante o qual irreversibilidades internas podem ocorrer, e é completado pelo processo reversível 2. Para este ciclo a Eq. 6.1-2 toma a forma

δδ δδσσ

QT

QTFRONTEIRA INT REV

++

== −−∫∫ ∫∫1

2

2

1

.

(6.9-1))

Onde, o índice da primeira integral, FRONTEIRA, foi colocado para lembrar que a integral é sobre a fronteira do sistema. Na segunda integral não há necessidade por se tratar de um processo de transferência reversível de calor. Como no processo 2 não existe irreversibilidades associadas, o termo σσciclo da Eq. 6.1-2 refere-se, aqui, somente ao processo irreversível 1 e desta forma é escrito como σσ. Aplicando-se a definição de variação de entropia podemos escrever a segunda integral como:

S SQT INT REV

1 2 2

1

−− ==

∫∫

δδ

. .

Portanto a Eq. 6.9-1 pode ser escrita como

δδ

σσQT

S SFRONTEIRA

++ −− == −−∫∫ ( )11

2

2

Finalmente rearranjando esta equação o balanço de entropia para um sistema fechado resulta

S SQ

T FRONTEIRA2 1 1

2−− ==

++∫∫δδ

σσ (6.9-2)

onde: ( )S S2 1−− == variação de entropia interna ao sistema

δδ QT FRONTEIRA

==∫∫ entropia transferida com a transferência de calor

σσ == produção de entropia interna ao sistema

Se os estados inicial e final são conhecidos a variação de entropia do lado esquerdo da Eq. 6.9-2 pode ser determinado independentemente dos detalhes do processo. Entretanto, os dois termos do lado direito depende explicitamente da natureza do processo e não podem ser determinados somente com o conhecimento dos dois estados, inicial e final. O primeiro termo do lado direito da Eq. 6.9-2 está associado à transferência de calor do ou para o sistema durante o processo. Este termo pode ser interpretado como “a transferência de entropia que acompanha a transferencia de calor ". A direção da transferência de entropia é a mesma da

Figura 6.9-1 - Ciclo usado para desenvolver o balanço de entropia para um sistema fechado

107


transferência de calor e a mesma regra de sinal da transferência de calor é aplicada à entropia. Quando não há transferência de calor não há variação de entropia. A variação de entropia de um sistema não é somente causada pela transferência de entropia mas é em parte devido ao segundo termo do lado direito, representado por σσ, que como vimos é a entropia produzida dentro do sistema devido às irreversibilidades internas ao sistema. Como σσ é a medida do efeito da irreversibilidade presente dentro do sistema durante o processo, seu valor depende da natureza do processo e não somente dos estados inicial e final, Assim, σσ não é uma propriedade do sistema. O balanço de entropia pode ser expresso em várias formas, duas outras formas de escrever a Eq. 6.9-2 são:

S SQ

Tj

jj2 1−− == ++∑∑ σσ (6.9-3)

onde Qj /Tj é a quantidade de entropia transferida através da porção da fronteira à temperatura Tj A outra forma de balanço de entropia de interesse é na forma de taxa, como

dSdt

Q

Tj

jj

== ++

••••

∑∑δδ

σσ (6.9-4)

ou

δδσσ

Q

TdSdt

j

jj

••••

∑∑ == −− (6.9-5)

Onde ds/dt é a taxa de variação de entropia do sistema. O termo Q Tj j

••

/

representa a taxa de transferência de entropia através da porção da fronteira cuja

temperatura instantânea é Tj. O termo σσ••

, é a taxa de produção de entropia interna ao sistema devido às irreversibilidades.

108


Exemplo 6.9-1 Água inicialmente líquido saturado a 100 oC está contida em um conjunto êmbolo - cilindro. A água sofre um processo passando a vapor saturado, durante o qual o êmbolo move-se livremente no cilindro. Se a mudança de estado é obtida pela ação de uma hélice, como mostra a figura, determine o trabalho por unidade de massa, em kJ/kg, e a quantidade de entropia produzida por unidade de massa, em kJ/kg-K Solução - Hipóteses 1- a água dentro do conjunto êmbolo - cilindro é um sistema fechado 2 - Não há transferência de Calor para o meio 3 - O sistema está em equilíbrio nos estados inicial e final

Como o volume do sistema aumenta durante o processo há transferência de energia da hélice para o sistema durante a expansão. O trabalho líquido pode ser avaliado através da 1a lei da termodinâmica, que com as hipóteses 2 e 3 fica

=0 =0 =0 Q U Ec Ep W== ++ ++ ++∆∆ ∆∆ ∆∆

que por unidade de massa se reduz a Wm

u ug l== −− −−( )

da tabela de saturação para a água a 100 oC, obtemos, (u g - u l) = 2087,56 kJ/kg

logo Wm

kJ kg== −− 2087 56, /

O sinal negativo significa que o trabalho introduzido no sistema pelo eixo com a hélice é maior, em magnitude, que o trabalho realizado pela água na sua expansão.

A quantidade de entropia produzida é avaliada através do balanço de entropia. Como não há transferência de calor do sistema para o meio, o termo correspondente à transferência de energia na fronteira se anula, e o balanço de entropia resulta 0

∆∆SQT FRONTEIRA

==

++∫∫δδ

σσ1

2

por unidade de massa, obtemos σσm

S S Sg l gl== −− ==

da mesma tabela de propriedades saturadas, para T= 100 oC o valor de Sgl = 6,048 kJ/kg-k

assim σσm

kJkg K

== 6 048,.

Cada estado final e inicial estão em equilíbrio na mesma pressão e temperatura, mas não necessariamente através dos estados intermediários. Isto é afirmado pela indicação dos processos no diagrama P-v e T-s através de linhas descontinuas. As linhas descontinuas indicam que ocorre o processo mas que as área não estão associadas ao trabalho ou calor. Em particular o processo é adiabático, e portanto a área sob a linha no diagrama TxS não pode representar calor !!! . O mesmo para o diagrama P x v.

109


Exemplo 6.9-2 Durante a operação, em regime permanente, de uma caixa de engrenagens paralela que recebe 600 kW através de seu eixo de alta rotação. Devido ao seu próprio atrito e outras irreversibilidades, transmite para o eixo de baixa rotação somente 588 kW. A caixa de engrenagens tem sua superfície externa resfriada de acordo com a seguinte relação

Q A T TF

••

∞∞== −− −−αα ( ) , onde αα é o coeficiente de transferência de calor, A é a área externa da

caixa, TF é a temperatura uniforme externa da caixa de engrenagens, e T∞∞, a temperatura do meio ambiente a uma distância suficiente da caixa de engrenagens para não ser por esta afetada. Seja αα = 0,17 kW/m2.K, A = 1,8 m2 e T∞∞ = 293 K. Avaliar a taxa de geração de entropia,

σσ••

, em kJ/kg-K para

a) A caixa de engrenagens é o sistema fechado b) Um sistema envolvendo a caixa de engrenagens e uma quantidade suficiente do meio ambiente de forma que a transferência de calor para o meio ambiente ocorra à temperatura T∞∞

Solução a) Para se obter uma expressão para a taxa de produção de entropia comecemos com um balaço de entropia para um sistema na forma de taxa

QT

dS

dtF

••••

== −− σσ

como o sistema opera em regime permanente,

ds / dt = 0 ,logo, σσ••

••

== −−QTF

(1)

Para calcular σσ••

, precisamos conhecer o calor perdido pela caixa, Q••

e a temperatura da superfície externa da caixa de engrenagens, TF

Aplicando-se o balanço de energia ao sistema determinamos o calor perdido, para regime permanente e sistema estacionário temos = 0

QdEdt

W•• ••

== ++ , logo Q W•• ••

==

dos dados do problema Q kW kW kW••

== ++ −− == −−( ) ( )588 600 12

A temperatura da superfície pode ser obtida da equação de transferência de calor dada no problema, isto é

TQA

TF ==−−

++

••

∞∞αα = −− −−

++ ==( )

( , / . )( , )

12

0 17 1 8293 3322 2

kWkW m K m

K K

Finalmente substituindo os valores de calor e temperatura na expressão (1), temos

σσ••

== −−−−

==( )

( ), /

12

3320 0361

kWK

kW K

Solução b) - Para o sistema b) que inclui parte do meio ambiente, para que a transferência de calor possa ser considerado ocorrer à temperatura do meio, isto é, T∞∞ = 293 K, temos

σσ••

== −−−−

==( )

( ), /

12

2930 0410

kW

KkW K

110


Comentários - O valor da taxa de entropia do item a) inclui somente as irreversibilidades internas enquanto o item b) inclui também as irreversibilidades externas à caixa de engrenagem, por esse motivo maior que o do item a)

Exercícios 6 -6)- Uma barra de metal cuja massa é de 0,30 kg é removida de um forno à temperatura inicial de 927 OC e imersa em um tanque contendo uma massa de 9,0 kg de água com temperatura de 27 OC. Cada substância pode ser modelada como incompressível. Um valor apropriado para o calor específico da água é 4,184 kJ/kg.K e do metal é 0,42 kJ/kg.K. O calor transferido do tanque para o meio externo pode ser desprezado. Determinar a temperatura final de equilíbrio do sistema e quantidade de entropia produzida no processo. 6 -7)- Um sistema executa um ciclo de potência enquanto recebe 2 000 kJ de calor à temperatura de 1 000 K de um reservatório térmico a 1 000 K e rejeita energia à temperatura de 500 K para um outro reservatório térmico a 500 K. Não existem outras transferências de calor. Determinar a geração de entropia se: a) O ciclo for reversível b) Se o rendimento térmico for de 25% 6 -8)- Empregando o modelo de gás ideal determine a variação de entropia entre os estados indicados, em kJ/Kmol.K. Resolva de dois modos a) Usando a tabela 6.8-1 à página 124 b) Usando o calor específico a pressão constante para o ar a 300 K, que é igual a 1,005 kJ/kg.K

1) Ar, P1 = 100kPa, T1 = 20 oC, P2 = 100 kPa, T2 = 100 oC 2) Ar, P1 = 1 bar , T1 = 27 oC, P2 = 3 bar, T2 = 370 oC

6 -9)- Dois tanques bem isolados estão conectados por uma válvula. Um dos tanques contém inicialmente 0,5 kg de ar a 80 oC e 1,0 bar, o outro contém 1,0 kg de ar a 50 oC e 2 bar. A válvula é aberta e permanece aberta até que a mistura entre em equilíbrio. Empregando o modelo de gás ideal, determine a) A temperatura final, em OC b) A pressão final em bar c) A quantidade de entropia produzida 6 -10)- Uma caixa de engrenagens, operando em regime permanente recebe 0,1 kW de potência no eixo de entrada e libera 0,095 kW no eixo de saída. A temperatura externa da caixa é de 50 oC. Para a caixa de engrenagens determinar: a) A taxa de calor transferida ao meio ambiente, em kW b) A taxa de entropia produzida, em kW/K

111


6.10 - Taxa de Variação de Entropia para um Volume de Controle Até aqui a discussão do conceito de balanço de entropia estava restrito ao caso do sistema fechado. Agora vamos analisar o caso do volume de controle. Iniciamos pela observação de que o balanço da taxa de entropia pode ser obtido da mesma forma como foi feito para o balanço de energia e de massa no volume de controle a partir do balanço do sistema fechado. O presente desenvolvimento será menos formal que no caso da energia e iniciaremos argüindo que, como a massa e a energia, a entropia é uma propriedade extensiva e também pode ser transferida para ou do volume de controle através de uma corrente de matéria. Como esta é a principal diferença entre o sistema fechado e o volume de controle o balanço da taxa de entropia para o volume de controle pode ser obtido pela modificação da Eq. 6.9-4 ou 6.9-5 para considerar esta transferência de entropia devido aos fluxos mássicos. O resultado é

dSdt

Q

Tm S m SV C j

jje

ee s

ss v c

..== ++ −− ++

•••• •• ••

∑∑ ∑∑ ∑∑ σσ (6.10-1)

ou rearranjado para ficar em uma forma mnemônica com o balanço de energia

Q

Tm S

dSdt

m Sj

jj

e

ee

V Cs

ss v c

•••• •• ••

∑∑ ∑∑ ∑∑++ == ++ −−..σσ (6.10-2)

onde:

dS

dtv c. = representa a taxa de variação de entropia dentro do volume de controle

m S e m Se e s s

•• •• considera, respectivamente a taxa de entropia transferida do ou

para o volume de controle que acompanha o fluxo de massa. Os demais termos tem o mesmo significado descrito anteriormente

112


Exemplo 6.10-1 Vapor d'água entra na turbina com pressão de 3 MPa, temperatura de 400 oC e velocidade de 60m/s. Vapor saturado a 100 oC sai da turbina a 100m/s. Em regime permanente a turbina produz 540 kJ por kg de vapor que passa pela turbina. A turbina perde calor para o meio ambiente através de sua carcaça, cuja temperatura média é de 500 K. Determine a taxa de produção de entropia interna à turbina por kg de massa escoando, em kJ/kg.K. Despreze a variação de energia potencial entre entrada e saída da turbina.

Solução

A solução envolve o balanço de massa e o balanço de entropia para um volume de controle da conservação de massa, para regime

permanente , temos m m•• ••

==2 1 , e do balanço de entropia, resulta =0

Q

Tm S

dSdt

m Sj

jjv c

•••• •• ••

∑∑ ++ == ++ −−1 1 2 2 σσ .

rearrajando, para explicitar a taxa de entropia, e havendo uma temperatura única de superfície, obtemos

σσ••

••

•• ••

== −− ++ −−m

Q mT

S Sv c

F

. /( )2 1

(1)

Para determinar a taxa de transferencia de calor, aplicamos o balanço de energia, considerando as hipótese do problema, resultando,

Q

m

W

mh h

V Vv c v c

••

••

••

••== ++ −− ++−−. .

( )( )

2 122

12

2 (2)

das tabelas de vapor saturado e vapor superaquecido, obtemos os valores de h2 e h1 h1 = 3 230,9 kJ/kg e h2 = 2 676,1 kJ/kg

Substituindo os valores na Eq. 2 temos

Q

m

kJkg

kJkg

mS

kJ

Jv c

••

•• == ++ −−

++

−−

. ( , , )

( ) ( )540 2676 1 3230 9

100 160

2

1

1000

2 2 2

2

Q

mkJ kgv c

••

•• == −− −− == −−. , , , /540 554 8 7 8 22 6

das mesmas tabelas podemos obter o valor da entropia no estado 1 e 2, que valem respectivamente S1 = 6, 9212 kJ/kg.K e S2 = 7,3549 kJ/kg.K Substituindo na Eq. (1) obtemos a taxa de entropia gerada por unidade de fluxo de massa

σσ••

•• == −−−−

++ −−v c

m

kJ kgK

kJkg K

. ( , / )( , , )

.

22 6

5007 3549 6 9212 →→ σσ

••

•• ==v c

mkJ kg K

., / .0 4789

Comentários - Certamente a taxa de entropia gerada seria maior se incluíssemos uma parte do meio de modo que o calor da turbina para o meio fosse transferido à temperatura do meio, em geral adotada como 25 oC. Neste caso a taxa seria de 0,511 kJ/kg.K.

113


6.11- Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas Engenheiros tem necessidade de conhecer a eficiência dos diversos dispositivos de um sistema. Diferentes definições são empregadas para se estudar a eficiência de um equipamento. Nesta seção a Chamada "eficiência isoentrópica” de turbinas, bocais, compressores e bombas será apresentada. No capítulo 5 vimos que a segunda lei da termodinâmica conduz ao conceito de rendimento de um ciclo térmico ou à eficácia de um refrigerador. Eficiência isoentrópica envolve a comparação entre a performance real de um equipamento e a performance que poderia ser alcançada sob circunstâncias idealizadas para o mesmo estado de entrada e a mesma pressão de saída. Para considerar isto para uma turbina vamos nos referir à Fig. 6.11-1 que mostra a expansão do vapor em uma turbina no diagrama de Mollier. O estado da matéria entrando na turbina e a pressão de saída são fixados. A transferência de calor entre a turbina e o meio, se houver, são desprezados (processo adiabático) assim como a variação de energia cinética e potencial. Com estas hipóteses, para regime permanente e por unidade de fluxo de massa a potência produzida pela turbina, da primeira lei da termodinâmica, é,

W

mh h

v c

••

•• == −−.

1 2

Como o estado 1 está fixado, a entalpia específica h1 é conhecida. Assim, o valor do trabalho da turbina depende somente da entalpia específica, h2 e como vemos na figura com o aumento de h2 o trabalho diminui. O máximo trabalho da turbina corresponde ao menor valor possível para a entalpia específica saindo da turbina. Isto pode ser examinado usando a segunda lei da termodinâmica. O estado de saída permitido será, da Eq. 6.10-2

σσ••

•• == −− ≥≥v c

mS S

.

2 1 0

Como a taxa de produção de entropia, σσ•• ••

v c m. / não pode ser negativo, um estado com S2 < S1 não é possível em um processo de expansão adiabático. O único estado possível em um processo de expansão real é aquele onde S2 >S1. O estado marcado como 2s na figura 6.11-1 poderá ser obtido somente no limite quando as irreversibilidades tenderem para zero. Isto corresponde a um processo de expansão isoentrópico (adiabático reversível) através da turbina. Para uma pressão de saída fixada, a entalpia específica, h2 diminui com a diminuição da entropia S2. Desta forma, o menor valor permitido para h2 corresponde ao estado 2s, e o máximo valor do trabalho da turbina, por unidade de fluxo de massa será;

Figura 6.11-1 Comparação do processo de expansão real e ideal em uma turbina

114


W

mh h

v c

ISO

s

••

••

== −−.

1 2

Em uma expansão real através da turbina, h2 > h2s e assim o trabalho real é

menor que o trabalho máximo que poderia ser obtido. Esta diferença pode ser caracterizada pela eficiência isoentrópica da turbina definida como:

ηηIso T

Trabalho alTrabalho Ideal

==Re

, ou em termos de propriedades

ηISO T

v c

v c ISOS

W m

W m

h h

h h= =

−−

• •

• •.

.

/

( / )

1 2

1 2

(6.11-1)

O valor típico para a eficiência isoentrópica de uma turbina varia na faixa de 0,7 a 0,9, isto é de 70% a 90 % De forma similar pode-se definir uma eficiência isoentrópica para um bocal operando em regime permanente. A eficiência isoentrópica para um bocal é definida como a razão entre a energia cinética real do gás deixando o bocal, V2

2 2/ , pela energia cinética na saída que poderia ser obtida em uma expansão isoentrópica entre as mesmas condições de entrada e a mesma pressão de saída, isto é

ηηBOCALISO

VV

== 22

22

2

2

/

( / ) (6.11-2)

Eficiência de bocal de 95 % ou maiores são comuns, indicando que bocais bem projetados são dispositivos com pouca irreversibilidade. Para compressores, a eficiência isoentrópica é definida, como para a turbina, para um processo em regime permanente, desprezando-se as variações de energia cinética e potencial como,

ηCOMPTrabalho Ideal

Trabalho al=

Re (6.11-3)

A figura 6.11.-2 mostra o processo real e o processo ideal (isoentrópico) para o compressor. Para as hipóteses citadas acima o trabalho real é obtido de um balanço de energia, como

−− == −−

••

••

W

mh h

v c.

2 1

Figura 6.11-2 - Comparação entre a compressão real e isoentrópica

115


e o trabalho ideal (processo isoentrópico) resulta, também, do balanço de energia

W

mh h

v c

ISO

S

••

••

== −−

.

2 1

Substituindo o trabalho real e o trabalho ideal ma expressão 6.11-3 obtemos para a eficiência isoentrópica do compressor,

ηηCOMP

v c ISO

v c

SW m

W m

h hh h

== ==−−−−

•• ••

•• ••

( / )

/

.

.

2 1

2 1

(6.11-4)

Valores típicos de eficiência isoentrópica para compressores está na faixa de 75% a 85 %. A eficiência isoentrópica para bombas é definido de maneira similar ao do compressor, tendo a mesma expressão, a Eq. 6.11-4 Alguns comentários gerais referentes à entropia É bem possível que a esta altura o estudante possa ter uma boa compreensão do material que foi apresentado e que ainda tenha apenas uma vaga noção do significado de entropia. De fato, a pergunta — “O que é entropia ?“ é levantada freqüentemente pelo estudante, com a implicação que realmente ninguém conhece a resposta. Antes de tudo, lembramos que o conceito de energia surge da primeira lei da termodinâmica e o conceito de entropia surge da segunda lei da termodinâmica. É realmente bem difícil responder à pergunta — “Que é energia ? “— como o é responder à pergunta — "O que é entropia ? “— No entanto, como usamos regularmente o termo energia e podemos relacionar este termo a fenômenos que observamos todos os dias, a palavra energia tem um significado definido para nós e serve assim como um veículo efetivo para o pensamento e comunicação. A palavra entropia pode servir para o mesmo fim. Se quando observarmos um processo altamente irreversível (como o resfriamento do café, quando colocamos um cubo de gelo dentro do mesmo), dissermos — “Isto certamente aumenta a entropia “— logo estaremos familiarizados com a palavra entropia como estamos com a palavra energia. Uma segunda observação é que na termodinâmica estatística a propriedade entropia é definida em termos de probabilidade. Deste ponto de vista, o aumento líquido de entropia, que ocorre durante um processo irreversível, pode ser associado à mudança de um estado menos provável para outro mais provável. O comentário final a ser feito é que a segunda lei da termodinâmica e o princípio do aumento de entropia têm implicações filosóficas. Aplica-se a segunda lei da termodinâmica ao universo como um todo? Será que há processos desconhecidos por nós que ocorrem em algum lugar do universo, tais como, "criação contínua", aos quais está associado uma diminuição de entropia e que compensem o aumento contínuo de entropia que está associado aos processos naturais que conhecemos ? Se a segunda lei é válida para o universo, como ele chegou ao estado de entropia baixa? Na outra extremidade da escala, se a todo processo conhecido por nós está associado um aumento de entropia, qual é o futuro do mundo natural como o conhecemos? Obviamente, é impossível dar respostas conclusivas a essa perguntas com base apenas na segunda lei da termodinâmica. Entretanto, entendemos a segunda lei da termodinâmica como a descrição do trabalho anterior e contínuo de um criador, que também possui a resposta para o destino futuro do homem e do universo.

116


Exemplo 6.11-1

Uma turbina a vapor opera em regime permanente com condições de entrada P1= 0,5 MPa, T1 = 320 oC. O vapor deixa a turbina à pressão de 0,1 MPa . A perda de calor da turbina para o meio pode ser desprezada, assim como a variação de energia cinética e potencial. Se a eficiência isentrópica da turbina for de 75 % determine o trabalho desenvolvido pela turbina por unidade de massa escoando pela turbina, em kJ/kg. hipóteses: 1 - O volume de controle envolve a turbina, que está em regime permanente 2 - A expansão na turbina é admitida como adiabática, as variações de energia cinética e potencial são desprezíveis

Solução o trabalho da turbina pode ser obtido utilizando-se a Eq. 6.11-1, que define a eficiência isentrópica de uma turbina

W

m

W

m

v c

T

v c

ISO

••

••

••

••==

. .ηη

A figura ao lado mostra a solução no diagrama de Mollier

Das tabelas de vapor superaquecido ou do diagrama de Mollier obtemos o estado 1 h1=3105,6 kJ/kg e S1=7,5308 kJ/kg.K . Para o processo isoentrópico, requerido na definição da eficiência isoentrópica, temos que S2s = S1, e com a pressão de 1,0 bar obtemos o valor da entalpia, h2s=2,743,0 kJ/kg

substituindo os valores na equação, obtemos

W

mkJ kg

v c

••

•• == −− ==.

, ( , , ) , /0 75 3105 6 2743 0 271 95

Comentários: o efeito das irreversibilidades é uma penalização no trabalho realizado pela turbina. O trabalho é somente 75 % do que poderia ser produzido se o processo fosse isoentrópico. Isto está bem ilustrado em termos de diferença de entalpia no esquema do diagrama de Mollier, h-s.

117


Exercícios 6-11)- Vapor entra em um bocal que opera em regime permanente com P1 = 1,0 MPa, T1 = 320 oC. e com velocidade de 30 m/s. A pressão e a temperatura na saída são P2 = 0,3 MPa e T2 = 180 oC. O processo pode ser admitido como adiabático. A variação de energia potencial entre a entrada e a saída pode ser desprezado. Determinar a eficiência do bocal. 6-12)- Um compressor a ar operando em regime permanente recebe ar com P1 = 0,95 bar e T1= 22 oC. a razão de pressões entre a saída e a entrada é 6. A transferência de calor entre o compressor e o meio ambiente é pequena e pode ser desprezada. Sendo a eficiência isoentrópica do compressor de 85% determinar a temperatura do ar na saída do compressor. Use o modelo de gás ideal para o ar. 6-13)- Uma pequena turbina a ar, de alta velocidade, tem uma eficiência isoentrópica de 70 % e deve ser utilizada para produzir um trabalho de 70 kJ/kg. A temperatura do ar na entrada é de 25 oC e a exaustão da turbina dá-se para o meio ambiente. Qual é a pressão necessária na entrada e qual é a temperatura de saída. 6-14)- Água líquida entra em uma bomba a 25 oC e 100 kPa e sai à pressão de 5 MPa. Se a eficiência isoentrópica da bomba é 75 % determinar a entalpia da água na saída da bomba. 6 -15)- Ar entra num compressor isolado termicamente nas condições ambientes, 100 kPa e 25 oC e vazão de 1,0 kg/s e sai a 200 oC. a eficiência isoentrópica do compressor é de 70 %. Qual a pressão de saída ? Qual é a potência necessária para acionar o compressor?. 6 -16)- Um turbo - alimentador deve ser utilizado para aumentar a pressão de entrada de ar de um motor de automóvel. Esse dispositivo consiste de uma turbina movida a gás de escape, diretamente acoplada a um compressor de ar, como mostrado na figura. Para uma dada carga do motor, as condições são aquelas mostradas na figura. Admitindo-se que tanto a turbina como o compressor são adiabáticos reversíveis, calcular: a) A temperatura de saída da turbina e a potência produzida. b) A pressão e a temperatura na saída do compressor c) Repetir os itens a) e b) admitindo que a turbina tenha uma eficiência isoentrópica de 85 % e que o compressor tenha 80%.

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