Cálculo II - 1

Capítulo 1-Sistemas de Coordenadas

1 Sistema Unidimensional de Coordenadas

Para proceder a localização de pontos sobre uma reta é necessário determinar uma origem, uma escala e uma orientação para a reta.

Marca-se sobre a reta L um ponto O chamado de origem e adota-se uma unidade

de medida.

O ponto O divide a reta L em duas semirretas: Uma das semirretas é escolhida para determinar o sentido positivo e é

chamada de semirreta positiva.

A semirreta oposta à semirreta positiva é chamada de semirreta negativa e o

sentido oposto ao sentido positivo é denominado sentido negativo.

É usual marcar a semirreta positiva com uma flecha em sua ponta.

Ao ponto O associa-se o número zero.

Ao ponto U, localizado a uma unidade de medida do ponto O no sentido positivo da reta orientada associa-se o número um.

Assim, é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos

números reais e os pontos sobre a reta , da seguinte maneira:

Cada número real corresponde a um único ponto da reta.

Cada ponto P da reta corresponde a um único número real , chamado de

coordenada de P.

Conceito: Neste sistema, também chamado de Sistema Linear, um ponto pode se mover livremente sobre uma reta (ou espaço unidimensional).

P

Cálculo II - 2

Conjunto dos Números Reais

O conjunto das coordenadas de todos os pontos da escala numérica

é chamado de conjunto dos números reais .

Quando a cada ponto da reta tiver sido associada uma coordenada constitui-se um

sistema de coordenadas na reta e esta reta é então chamada de eixo de coordenadas, escala numérica ou reta numérica. É usual denominar o eixo horizontal

por eixo ou eixo de abscissas.

___________________________________________________________________________

Coordenada

A coordenada de um ponto representa a distância orientada entre os

pontos e . Diz-se que tem coordenada e escreve-se .

onde é a distância de a medida em termos da unidade adotada.

, quando o está no semieixo positivo

quando o ponto está no semieixo negativo

Cálculo II - 3

Exemplo:

Não é possível mostrar as coordenadas de todos os pontos na escala numérica de

modo explícito. No entanto, podemos imaginá-las dispostas ao longo da reta. Os números racionais podem ser obtidos por subdivisão dos segmentos

correspondentes. Os pontos associados a certos irracionais, como 2 , podem ser

obtidos por construções geométricas. Já para outros irracionais, como , podem ser

aproximado com o grau de precisão desejado.

| | | |

Distância entre dois pontos A e B

Sejam e dois pontos de um eixo de coordenadas.

Denomina-se distância entre os pontos e o número real dado por

.

Distância Orientada entre dois pontos A e B

Sejam e dois pontos de um eixo de coordenadas.

Denomina-se distância orientada entre os pontos e o número real

dado por

É a medida algébrica do segmento de origem em e extremidade em

Cálculo II - 4

Exemplos:

1) Considere o mapa representado na figura abaixo e seja uma pessoa localizada na esquina da Rua B com a Avenida P (ponto P). Inicialmente ela segue pela

Avenida P até a esquina da Rua E (ponto E). A seguir, ela retorna pela Avenida P até a Rua A (ponto A).

De acordo com os sistemas de coordenadas indicados, determine as coordenadas

dos pontos a distância total percorrida pela pessoa e a que distância de sua

posição inicial ela se encontra ao final do percurso.

a) Sistema de eixo de coordenadas constituído por uma reta paralela à Avenida P de

sentido positivo na direção Oeste-Leste, origem na esquina da Avenida P com a Rua B e unidade de medida uma quadra.

Origem do sistema: ,

O Ponto E está a 3 quadras do ponto no sentido positivo:

O Ponto A está a 1 quadra do ponto no sentido negativo:

Distância percorrida de até : | | | | | |

Distância percorrida de até : | | | | | |

Distância total percorrida: | | | |

Distância da posição de origem: | | | | | |

Cálculo II - 5

b) Sistema de eixo de coordenadas constituído por uma reta paralela à Avenida P de sentido positivo na direção Leste-Oeste, origem na esquina da Avenida P com a

Rua D e unidade de medida em metros (m). Considere 1 quadra=100 m.

Origem do sistema: ,

O ponto está a 200 m do ponto no sentido positivo do eixo: (200)

O ponto está a 100 m do ponto no sentido negativo:

O ponto está a 300 m do ponto no sentido positivo do eixo:

Distância percorrida de até : | | | | | |

Distância percorrida de até : | | | | | |

Distância total percorrida: | | | |

Distância da posição de origem: | | | | | |

2) Nos itens abaixo, considere um eixo de coordenadas com sentido positivo Leste-Oeste de acordo com a rosa dos ventos indicada.

a) Um corpo descola-se 3 metros na direção Leste até o ponto , a seguir desloca-

se 7 metros na direção Oeste até o ponto e depois mais 5 metros na direção

Leste até o ponto . Represente e dê as coordenadas dos pontos que descrevem

este movimento. Determine a posição final do corpo em relação à sua posição de origem.

Como a origem do sistema não foi estabelecida, podemos considerar que a posição

inicial do movimento do corpo coincide com a origem do sistema .

Inicialmente o corpo descola-se 3 metros na direção Leste até o ponto , ou seja, 3

metros no sentido contrário do eixo de coordenadas, então:

Distância orientada

Cálculo II - 6

A seguir desloca-se 7 metros na direção Oeste até o ponto , ou seja, 7 metros no

sentido positivo do eixo de coordenadas.

Distância orientada

Depois se desloca mais 5 metros na direção Leste até o ponto , ou seja, 5 metros no sentido oposto do eixo de coordenadas.

Distância orientada

No final do percurso, o corpo se encontra no ponto de coordenada . A

coordenada do ponto representa a distância orientada do ponto em relação à

origem do sistema de coordenadas. Como a origem do sistema coincide com a origem do movimento, a coordenada -1 significa que o corpo encontra-se a 1 metro

na direção Leste de sua posição de origem.

b) Outro corpo inicia seu movimento a partir da posição alcançada pelo corpo do item anterior (ponto C). Inicialmente descola-se 5 metros na direção Oeste até

um ponto , a seguir desloca-se 2 metros na direção Leste até um ponto e depois mais 6 metros na direção Oeste até um ponto F. Considerando o sistema de coordenadas do item anterior, determine a posição final do corpo em relação à

sua posição de origem e em relação à origem do sistema.

A distância orientada significa que no final do percurso (ponto ) o corpo está

a 9 metros de sua posição inicial (ponto ) no sentido positivo do eixo (direção Oeste). Como a posição inicial do movimento é :

A coordenada representa que o corpo está a 8 metros da origem do sistema de

coordenada , na direção oeste.

Cálculo II - 7

3) Considere um eixo de coordenadas para representar o tempo em anos. A

origem deste eixo é o ano do nascimento de Cristo e o sentido positivo indica os anos d.C (depois de Cristo).

a) Indique no eixo e determine as coordenadas dos pontos NA e MA que

representam, respectivamente, os anos de nascimento e de morte de uma pessoa A que nasceu no ano de 30 a.C. e morreu no ano 25 d.C. Calcule a idade que esta pessoa morreu.

Coordenada do ponto ,

Coordenada do ponto ,

Tempo de vida: | | | |

b) Indique no eixo e determine as coordenadas dos pontos e que

representam, respectivamente, os anos de nascimento e de morte de uma pessoa B que nasceu no ano de 20 a.C. e morreu no ano 10 d.C. Calcule a idade que esta pessoa morreu.

Coordenada do ponto ,

Coordenada do ponto ,

Tempo de vida: | | | |

c) Determine quem nasceu e quem morreu primeiro e por quantos anos as pessoas

A e B foram contemporâneas.

A pessoa A nasceu primeiro. A pessoa B morreu primeiro. As pessoas A e B foram contemporâneas no período entre o nascimento da

última a nascer até a morte da primeira a morrer

| | | |

Cálculo II - 8

2 Sistema Bidimensional de Coordenadas

2.1 Sistema Bidimensional de Coordenadas Cartesianas

Este sistema, também conhecido com sistema de coordenadas retangulares, é

representado por duas retas orientadas denominadas eixos coordenados,

perpendiculares entre si. Usualmente, representa-se um eixo na horizontal com

orientação positiva para a direita e o outro na posição vertical com sentido positivo

para cima.

O eixo horizontal ou mais comumente eixo x ou eixo dos x é denominado eixo

das abscissas e o eixo vertical ou mais comumente eixo y ou eixo dos y é

denominado eixo das ordenadas. O ponto de interseção entre os eixos

coordenados é denominado origem do sistema. Os eixos coordenados dividem o

plano em quatro quadrantes.

Ao ponto associam-se a coordenada zero, para o eixo dos x, e a coordenada zero,

para o eixo dos y. Sobre o eixo das abscissas, a partir da origem no sentido positivo

do eixo, marca-se o ponto , correspondente à unidade de comprimento do eixo e

associa-se a abscissa um. Analogamente, sobre o eixo das ordenadas, a partir da

origem no sentido positivo do eixo, marca-se o ponto , correspondente à unidade

de comprimento do eixo e associa-se a ordenada um. Os comprimentos e

,

que representam a escala utilizada, respectivamente, no eixo e no eixo não

necessitam ter exatamente o mesmo tamanho.

Conceito: Neste sistema, um ponto pode se mover livremente em todas as direções de um plano (ou espaço bidimensional).

Cálculo II - 9

Cada ponto do plano está associado a um único par ordenado , onde é a

abscissa de e a ordenada de . Abscissa e a ordenada são chamadas de

componentes da coordenada de . Em correspondência, um par ordenado de

números reais corresponde a um único ponto do plano . A abscissa

representa a distância orientada do eixo dos ao ponto . A ordenada representa a

distância orientada do eixo dos ao ponto .

Nesta correspondência biunívoca entre um ponto geométrico no plano e o par

ordenado de números reais a ele associado diz-se que:

tem coordenada e escreve-se ;

é a representação geométrica ou gráfica do par ordenado ;

A coordenada é a representação analítica de P;

e são as componentes da coordenada de ;

O plano cartesiano é a representação geometria do conjunto ou , lê-

se produto cartesiano de por .

( )

Projeção ortogonal de sobre o eixo dos

( ) Projeção ortogonal de sobre o eixo dos

( )

Projeção ortogonal de sobre o eixo dos

( ) Projeção ortogonal de sobre o eixo dos

Cálculo II - 10

Exemplos:

1) Considere o mapa representado na figura abaixo e sejam duas pessoas localizadas na esquina da Rua D com a Avenida P (ponto P). Uma destas pessoas deseja ir para a esquina da Avenida R com a Rua E (ponto A) e a outra deseja ir

para a esquina da Avenida Q com a Rua A (ponto B).

| | √

Distância entre dois pontos no plano cartesiano

Sejam e dois pontos no plano cartesiano .

Denomina-se distância entre os pontos e o número real dado por

.

Cálculo II - 11

a) Considere um sistema de coordenadas cartesiano com origem no ponto de

eixo horizontal com orientação Leste e eixo vertical de orientação Norte,

sendo a unidade de medida 1 metro (m). Considere 100 m=1 quadra. Com

base neste sistema determine quantos metros as duas pessoas andaram para

alcançarem o objetivo, as coordenadas da posição final e a distância que elas

se encontram do ponto de origem do percurso.

Percurso de até

100 metros na direção Leste (mesmo sentido do eixo dos ) até o ponto ,

mais 200 metros na direção Norte (mesmo sentido do eixo dos ).

Distância percorrida

| | | |

Distância do ponto de origem, medida direta de até

| | √ ( )

√

Percurso de até

300 metros na direção Oeste (sentido contrário ao do eixo ) até o ponto

, mais 100 metros na direção Norte (mesmo sentido do eixo dos ).

Distância percorrida

| | | | | | | |

Distância do ponto de origem, medida direta de até

| | √ ( )

√

Cálculo II - 12

b) Considere um sistema de coordenadas cartesiano com origem na esquina da

Avenida Q com a Rua C de eixo horizontal com orientação Oeste e eixo

vertical de orientação Norte, sendo a unidade de medida igual a 1 metro.

Considere 100 m = 1 quadra. Com base neste sistema determine quantos

metros (m) as duas pessoas andaram para alcançarem o objetivo, as

coordenadas da posição final e a distância que elas se encontram do ponto de

origem do percurso.

Inicialmente vamos determinar a coordenada do ponto que indica a posição

inicial das pessoas neste novo sistema. O ponto P está a 100 m do ponto de

origem do sistema na direção Sul (sentido contrário ao do eixo ) e a 100 m

na direção Leste (sentido contrário ao do eixo dos x), logo .

Percurso de até

100 metros na direção Leste (sentido contrário ao do eixo ) até o ponto

mais, 200 metros na direção Norte (mesmo sentido do eixo dos ).

Distância percorrida

| | | | | | | |

Distância do ponto de origem do percurso, medida direta de até

| | √ ( )

√( )

( )

Percurso de até

300 metros na direção Oeste (mesmo sentido do eixo ) até o ponto

mais, 100 metros na direção Norte (mesmo sentido do eixo dos ).

Distância percorrida

| | | | | | | |

Cálculo II - 13

Distância do ponto de origem do percurso, medida direta de até

| | √ ( )

√( )

( )

2) Se são três pontos no plano, então pertence ao segmento de reta

se, e somente se, | | |

| | |.

Utilize esta informação e determine se pertence ao segmento de reta :

a)

| | √ √ √

| | √ √ √

| | |

|

| | √ √ √

Então, | | |

| | |, logo pertence ao segmento de reta

3) Verifique se o triângulo de vértices ABC é isósceles, equilátero ou escaleno.

a) ( √ ) ( √ )

| | √( √ ) √ √

| | √ ( √ ) √ √

| | √( √ ) ( √ )

Triângulo isósceles (dois lados iguais)

| |

| |

| |

| |

| |

| |

Cálculo II - 14

Rotação de eixos

Se dois sistemas cartesianos de coordenadas têm a mesma origem

e os eixos coordenados não possuem as mesmas direções positivas,

então um sistema é obtido do outro por rotação de eixos.

Translação de eixos

Se dois sistemas cartesianos de coordenadas têm eixos

correspondentes que são paralelos e possuem as mesmas direções

positivas, então um sistema é obtido do outro por translação de

eixos.

{

{

{

ou

{

{

{

ou

Onde é o ângulo que o semieixo positivo faz com o semieixo

positivo .

Por convenção, o ângulo é considerado positivo quando a rotação do

sistema em relação à origem é no sentido anti-horário e negativo

quando a rotação é no sentido horário.

y

Cálculo II - 15

.

.

{

{

{

{

Cálculo II - 16

Exemplos:

1. Considere um sistema obtido por translação do sistema . O sistema foi

transladado 3 unidades no sentido contrário do eixo dos e 4 unidades no

sentido positivo do eixo dos . Para cada um dos pontos abaixo determine suas

coordenadas no sistema sendo conhecidas suas coordenadas no sistema .

a) Ponto origem do sistema

{

b) Ponto

{

c) Ponto

{

Cálculo II - 17

2. Considere um sistema obtido por translação do sistema . O sistema foi

transladado 4 unidades na direção positiva do eixo dos e 2 unidades na direção

negativa do eixo dos . Para cada um dos pontos abaixo determine suas

coordenadas no sistema sendo conhecidas suas coordenadas no sistema

a) Ponto origem do sistema

{

b) Ponto

{

c) Ponto

{

Cálculo II - 18

3. Considere um sistema obtido pela rotação de 225o do sistema . Para cada

um dos pontos abaixo determine suas coordenadas no sistema sendo

conhecidas suas coordenadas no sistema .

√

√

a) Ponto

{ √ ⁄

√ ⁄ √ √

b) Ponto

{ √ ⁄ √ ⁄

√ ⁄ √ ⁄ √

c) Ponto ( )

{ √ ⁄

√ ⁄ √ √

Cálculo II - 19

4. Considere um sistema obtido pela rotação de -30o do sistema . Para cada

um dos pontos abaixo determine suas coordenadas no sistema sendo

conhecidas suas coordenadas no sistema

√

a) Ponto ( √ )

{ √

√ √ ⁄ √

b) Ponto ( √ )

{ √ (√ ⁄ )

( √ ) √

c) Ponto √

{ (√ ⁄ ) √

√ √ ⁄

Cálculo II - 20

2.2 Sistema Bidimensional de Coordenadas Polares

O sistema de coordenadas polares no plano tem como referenciais um ponto fixo

denominado polo e uma semirreta orientada fixa com origem em denominada eixo

polar e um raio .

Considere um ponto genérico no plano e seja o raio r a distância entre o polo e o

ponto , assim | |. Se , então pertence a uma única semirreta

determinada com a origem em . Seja o ângulo formado entre o eixo polar e esta

semirreta, medido a partir do eixo polar. Como o ângulo tem vértice no pólo e o

seu lado inicial é o eixo polar ele é dito estar na posição padrão ou fundamental.

Assim, a semirreta constitui o lado terminal do ângulo na posição fundamental. Os

ângulos são geralmente medidos em radiano e são considerados positivos quando

medidos no sentido anti-horário.

A cada ponto do plano pode-se associar um par de números reais e

denominados coordenadas polares de . Denota-se , onde é a coordenada

radial (raio) de , que é a distância de em relação ao pólo, e é a coordenada

angular ou ângulo polar de .

As coordenadas polares ) estabelecem a posição do ponto em relação a uma

“grade” formada por círculos concêntricos com centro em e semirretas partindo de

. O valor de localiza P num círculo de raio , o valor de localiza numa

semirreta que é o lado terminal do ângulo na posição fundamental, e é

determinado pela interseção do círculo com a semirreta.

O eixo polar

O eixo polar

)

)

r

Lado terminal do

ângulo

Lado inicial do

ângulo

ângulo na posição fundamental

Cálculo II - 21

Diferentemente do sistema de coordenadas cartesianas, um ponto tem muitas

representações no sistema de coordenadas polar. Se um ponto tem o ponto

, coincide com o pólo independente do ângulo . As coordenadas

são coordenadas polares de um mesmo ponto, uma vez que

representa uma volta completa. Podemos generalizar dizendo que se n é um

número inteiro qualquer então .

Também é conveniente admitir negativo, convencionando que o ponto está

localizado a | | unidades do polo, mas numa semirreta oposta a de , isto é, no

sentido oposto do lado terminal do ângulo polar, ou seja, ponto sobre o raio .

Exemplos

Os pontos e R indicados na figura acima poderiam, entre outras formas, serem

representados pelas seguintes coordenadas polares:

(

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

)

Cálculo II - 22

Exemplos

1. Converta as coordenadas polares dadas para coordenadas cartesianas:

a) ⁄

⁄

⁄

b) ⁄ √

⁄ ⁄

⁄ ( √ ⁄ ) √

c) ⁄ √ ⁄

⁄ ⁄

⁄ (√ ⁄ ) √ ⁄

Conversão de Coordenadas

Para converter coordenadas polares em cartesianas , ou

vice-versa, é usual considerar o polo do sistema polar coincidente

com a origem do sistema cartesiano e o eixo polar do sistema polar

ao longo do eixo positivo . Assim, o eixo positivo é a semirreta

.

{

{

ou { √

⁄

Observações:

Se está na posição fundamental então √

Se ⁄ então ⁄ para

Cálculo II - 23

2. Converta as coordenadas cartesianas dadas para coordenadas polares. Considere

a representação do ponto cujo ângulo polar esteja em sua posição fundamental e

medido no sentido anti-horário:

{ √

⁄

a) √

√ √ √

{

Como o ponto está no primeiro quadrante , logo

b) ( √ )

√ (√ ) √

√

√ (√ ) {

Como o ponto está no terceiro quadrante , logo

c) ( √ )

√( √ ) √

√

√ (

√ ) {

⁄ ⁄ ⁄

Como o ponto está no quarto quadrante , logo ⁄

d)

√

{

⁄ ⁄

Como o ponto pertence ao eixo negativo logo ⁄

Cálculo II - 24

3 Sistema Tridimensional de Coordenadas Cartesianas

Este sistema, tem como referenciais três planos mutuamente perpendiculares que se

interceptam em três retas mutuamente perpendiculares e num ponto comum

Escolhamos três retas orientadas mutuamente perpendiculares e denotemos por O o ponto de interseção entre elas (chamado ponto de origem do sistema).

Estas retas, ditas eixos coordenados, são designadas como eixo dos (eixo das

abscissas), eixos dos (eixo das ordenadas) e eixos dos (eixo das cotas). Na forma

usual de representação, os eixos dos x e dos y formam um plano horizontal e o eixo dos z é ortogonal a este plano. No sistema de coordenadas dextrogiro, a direção do

eixo dos z é dada pela regra da mão direita.

Os planos que contêm os eixos coordenados são chamados de planos coordenados.

Plano contém os eixos dos x e dos y

Plano contém os eixos dos y e dos z

Plano contém os eixos do x e dos z

Sistema de Coordenadas Dextrogiro

Regra da Mão Direita: se curvar os dedos da mão direita em torno de z

rodando do sentido positivo do eixo dos x para o sentido positivo do eixo dos y, então o polegar indica o sentido positivo de z.

( )

Conceito

É um sistema no qual um ponto pode se mover livremente em todas as

posições do espaço (ou espaço tridimensional).

Cálculo II - 25

Estes planos dividem o espaço em 8 partes chamadas octantes.

Podemos representar um ponto P no espaço pelo terno ordenado , onde

a, b e c são chamadas de coordenadas do ponto P.

Nesta correspondência biunívoca entre um ponto geométrico no espaço e o terno ordenado de números reais a ele associado diz-se que:

tem coordenada e escreve-se ;

é a representação geométrica ou gráfica do terno ordenado ;

A coordenada é a representação analítica de P;

, e são as componentes da coordenada de ;

O espaço cartesiano é a representação geometria do conjunto ou

, lê-se produto cartesiano de por por (espaço euclidiano

tridimensional.

Coordenadas de um ponto P no espaço

OBS: Um terno ordenado de números reais está associado a um único ponto do sistema de coordenadas. Ao ponto de origem do sistema O

está associado o terno (0,0,0).

é a distância

orientada do ponto ao plano

é a distância

orientada do ponto ao plano

é a distância

orientada do ponto ao plano

Cálculo II - 26

Exemplos:

1. Localize os pontos dados no sistema de coordenadas cartesianas no espaço:

2. Represente a posição de um móvel em cada uma das etapas de sua trajetória

descrita abaixo. Considere que a posição inicial do móvel coincida com a origem

do sistema cartesiano. Determine as coordenadas da posição final do objeto.

A) Inicialmente o objeto se move no sentido positivo do eixo dos uma distância

de 3 unidades.

B) Depois se move 4 unidades no sentido contrário ao eixo dos .

C) Finalmente se move no sentido positivo do eixo dos uma distância de 2

unidades.

O

Cálculo II - 27

Exemplo:

1. Dado o ponto determine os pontos que representam as

projeções do ponto nos planos, e , respectivamente.

| | √

Distância entre dois pontos no espaço

Sejam e dois pontos no espaço .

Denomina-se distância entre os pontos e o número real dado por

.

Projeções do Ponto P nos Planos Coordenados

Seja

Se traçarmos uma reta perpendicular

do ponto ao plano , encontramos um ponto chamado projeção

de no plano

Se traçarmos uma reta perpendicular

do ponto ao plano , encontramos

um ponto chamado projeção

de no plano

Se traçarmos uma reta perpendicular

do ponto ao plano , encontramos um ponto chamado projeção

de no plano

Cálculo II - 28

Exemplo

1. Suponha que uma pessoa esteja em um determinado ponto de uma cidade e

caminhe 2 quadras para o Norte (ponto ), depois 3 quadras para Leste (ponto

) e depois suba até o 20º andar de um edifício (ponto ). Considere 1

quadra=100 metros e 1 andar = 3 metros.

Considere um sistema de coordenadas cartesiano cuja origem coincida com a

posição de inicial do movimento, o eixo dos tem sentido positivo na direção

Norte e o eixo dos tem sentido positivo na direção Oeste. Com base neste

sistema determine a coordenada da posição final desta pessoa, quantos metros

ela percorreu e a que distância ela se encontra do ponto de partida.

Percurso de até

2 quadras=200 na direção Norte (no sentido do eixo ) até o ponto

.

Percurso de até

3 quadras=300 na direção Leste (no sentido do contrário do eixo )

até o ponto .

Percurso de até

20 andares=20.3=60 para cima (no sentido positivo do eixo ) até o

ponto .

Distância percorrida

| | | | | |

Distância do ponto de origem do percurso, medida direta de até

| | √ ( )

( )

√

N

S

L

O

Cálculo II - 29

2. Considere um sistema cartesiano tridimensional com eixos representando a

longitude, a latitude e a altitude de um determinado ponto, nesta ordem

. A longitude e latitude estão em graus e a altitude

em metros. O ponto ,origem do sistema tem coordenadas , o eixo

“longitude” tem sentido positivo para Leste, o eixo “latitude” tem sentido positivo

para Norte e o sentido positivo do eixo altitude “indica” que o ponto está acima

do nível do mar.

O avião sai da cidade e sua rota é voar para Leste, para norte e subir 600 metros. O avião sai da cidade e sua rota é voar

para o Sul, para Oeste e subir 650 m. Determine as coordenadas no final da rota de cada avião e identifique os continentes. Com base nestas informações

verifique se houve acidente aéreo.

Avião A:

Origem: : América do Sul

Rota:

para Leste: sentido positivo da longitude (+ )

para Norte: sentido positivo da latitude (+ )

Subir : sentido positivo da altitude (+ )

Final da rota: , ,650) Europa

Avião B:

Origem: : Ásia Rota:

para Sul: sentido negativo da latitude ( )

para Oeste: sentido negativo da longitude ( )

Subir : sentido positivo da altitude (+ )

Final da rota: , ,850) Europa

Não houve acidente, pois embora os aviões estejam na mesma longitude e latitude

eles estão em altitudes diferentes.