Cálculo II- 1

Capítulo 5 – Derivadas Parciais e Direcionais

1. Conceitos

Sabe-se que dois problemas estão relacionados com derivadas:

Problema I: Taxas de variação da função. Problema II: Coeficiente angular de reta tangente.

Seja ( ) uma função a uma variável. A taxa de variação instantânea de

em relação a quando e o coeficiente angular ( ) da reta tangente ao

gráfico ( ) no ponto ( ), onde ( ) são problemas resolvidos

pelo cálculo do mesmo limite:

( ) ( )

( ) ( )

Este limite recebe a terminologia especial de DERIVADA.

Sejam ( ) uma função à duas variáveis independentes, e e

( ) um ponto sobre o gráfico de onde ( ) é um ponto do domínio

da função e ( ). Desejamos resolver os dois problemas relacionados

com derivadas: taxa de variação da função quando e e

coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto Sendo uma função à duas variáveis surgem as questões:

Deseja-se calcular taxa de variação da função em relação a qual direção de variação do ponto do domínio ( )?

Há infinitas retas em que tangenciam a superfície no ponto . Qual a

direção da reta que se deseja calcular o coeficiente angular?

( )

( )

( )

( )

Cálculo II- 2

Inicialmente, vamos estudar as taxas de variação da função apenas em

relação às variáveis independentes e . Estas taxas recebem a terminologia

de DERIVADAS PARCIAIS.

Notações:

( ) ( )

( ) ( )

O gráfico de uma função de duas variáveis ( ) é, em geral uma

superfície em . Considere: ( ) um ponto sobre o gráfico da função;

uma curva obtida pela interseção da superfície ( ) com o plano

e uma curva obtida pela interseção da superfície ( ) com o plano

.

A curva é uma curva plana contida no plano , paralelo ao plano , e

satisfaz às condições:

{ ( )

Assim, a curva representa o gráfico de uma função de uma variável na forma:

( ) ( )

Se o valor da variável é mantido constante e igual a , então a variação da função se dá apenas em relação à variação da variável independente .

Nestas condições há apenas uma reta contida no plano que tangencia

a superfície no ponto

( )

( )

( )

( )

Cálculo II- 3

A taxa de variação instantânea da função na direção de , quando e e o coeficiente angular ( ) da reta contida no plano e tangente

ao gráfico ( ) no ponto ( ) são problemas resolvidos pelo cálculo

do mesmo limite:

( )

( )

( ) ( )

que recebe a terminologia de DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A .

Analogamente, a curva está contida num plano paralelo ao plano no qual

todos os pontos têm coordenadas Esta curva representa o gráfico de uma função do tipo ( ) ( ). A variação da função se dá apenas

em relação à variação da variável independente e há apenas uma reta

contida no plano que tangencia a superfície no ponto

Se a taxa de variação instantânea de em relação a quando e

o coeficiente angular ( ) da reta contida no plano e tangente ao

gráfico da função ( ) no ponto ( ) são problemas resolvidos pelo

cálculo do mesmo limite:

( )

( )

( ) ( )

que recebe a terminologia de DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A .

2. Definição:

Derivadas parciais de funções a n variáveis

Seja uma função a n variáveis e ( ) um ponto do ao domínio de

, então a derivada parcial de em relação j-ésima variável é a função

( ) definida por:

( )

( ) ( ))

Se o limite existir.

Observe que no cálculo das derivadas parciais todas as variáveis

independentes, exceto a variável em relação a qual se deseja calcular a derivada parcial, são consideradas constantes. Porém, a função derivada depende dos valores a elas atribuídos. Assim a derivada parcial de uma

função a variáveis também é uma função a variáveis.

Cálculo II- 4

3. Revisão de Derivadas de Funções a uma Variável

( ) ( ) ( )

( ( )) ( )

Derivada da Função Co-Seno Combinada com a Regra da

Cadeia

( ) ( ) ( )

( ( )) ( )

Derivada da Função Seno Combinada com a Regra da Cadeia

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Derivada da Função Logarítmica Combinada com a Regra da Cadeia

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Derivada da Função Exponencial combinada com a Regra da Cadeia

( ) ( )

( )

Derivada da Função Potência combinada com a Regra da Cadeia

Cálculo II- 5

4. Técnicas para o cálculo das derivadas parciais

As derivadas parciais podem ser calculadas pelo uso das mesmas técnicas válidas para as funções ordinárias (funções a uma variável), exceto que

todas as variáveis independentes, que não aquela em relação a qual efetuamos a derivação parcial, são tomadas temporariamente como constantes.

1) Derivada de uma constante é zero

) ( )

) ( )

2) Derivada do produto de uma constante por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função

) ( )

( )

( )

( )

) ( ) √

( √ ) √

( ) √ ( ) √

( √ ) √

( ) √ √

( √ )

(√ ) (

)

√

3) Derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) das derivadas das funções

( ) ( ) ( )

) ( )

( ( ))

( )

( ( )) ( ) ( )

( ( ))

( )

( ( ))

Cálculo II- 6

) ( )

( )

( ( ))

( )

( )

( )

( )

( ( ))

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ( ))

( )

( ( ))

( )

( )

4) Derivada do produto de duas funções é a derivada da primeira multiplicada

pela segunda mais a derivada da segunda multiplicada pela primeira

( ) ( ) ( )

) ( ) ( ) ( )

( )

( ( )) ( ) [

( ) ( )

( ( )) ]

( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ( )) ( ) ( )

5) Derivada da divisão de duas funções é a derivada da função do numerador multiplicada pela função do denominador menos a derivada da função do

denominador multiplicada pela função do numerador, dividido pela função do denominador ao quadrado

( ) ( )

( )

Cálculo II- 7

) ( ) ( )

(

( )

)( ( )

)

( )

[

( ( ))

( ) ( )

( ) ]

( )

[

( )

] ( )

[

( )

]

( )

[

( ( ))

( ) ( )

( ) ]

( )

[ ( ) ( )

]

( ) ( )

( ) ( )

6) Transcrição direta da regra da cadeia

( ) ( ) ( ( ))

( )

a) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

b) ( ) √

( ) √

√

√

√

√

c) ( ) ( )

[ ( )]

( ) ( )

[ ( )]

( ) ( )

[ ( )]

( ) ( )

Cálculo II- 8

Exemplos:

1) Se ( ) , encontre ( ) e ( )

( )

( )

2) Se ( ) , encontre

,

( )

3) Se , encontre

,

4) Se ( ) ( ) ( ) , encontre

( ( ) )

( ( ) )

( ( )) ( )

( )

[

( ) ( )

( ( )) ] ( )

( ) ( ) ( )

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

[

( ) ( )

( ( )) ] [ ( ) ( ) ]

( ) ( )

( ( ) )

( ( ) ) ( )

( )

( )

Cálculo II- 9

5) A pressão ( ), o volume ( ) e a temperatura ( ) de 1 mol de

gás ideal estão relacionados pela equação:

a) Determine a taxa de variação da pressão em relação à temperatura

quando o volume do gás for de e a temperatura de .

( )

( )

Quando o volume do gás confinado é de 150 e a temperatura é de

se a temperatura aumentar de a pressão aumentará de

.

b) Determine a taxa de variação da pressão em relação ao volume, quando o

volume for de 150 e a temperatura de .

( )

( )

Quando o volume do gás confinado é de 150 e a temperatura é de

se o volume do gás aumentar de , a pressão diminuirá de

.

c) Determine a taxa de variação do volume em relação à pressão, quando o

gás a temperatura de 400 K está sujeito a uma pressão 100

( )

( )

O volume de um gás, a 400 K sujeito a uma pressão de 100 , diminui de

0,332 litros para cada 1 de aumento de pressão.

Cálculo II- 10

6) Encontre as equações das retas tangente às curvas de interseção entre a superfície e os planos e no ponto ( ).

a) Interseção entre a superfície e o plano :

A equação da curva formada pela interseção do plano com a superfície é:

A curva de interseção é uma parábola no plano . A reta tangente a esta parábola no ponto ( ) ( )) está, então, contida no plano e

sua equação é dada na forma: ( )

O coeficiente angular ( ) da reta tangente é o valor de

quando e

.

( )

( )

( ) ( ) ( )

Equação da reta:

b) Interseção entre a superfície e o plano

A curva formada pela interseção do plano com a superfície é a parábola no plano . O coeficiente angular ( ) da reta

tangente a esta parábola no ponto (1,2,8) é o valor de

quando e

.

( )

( )

A reta tangente está contida no plano e sua equação é da forma

( ) ( )( )

Equação da reta:

7) Encontre a equação da reta contida no plano e tangente à curva

obtida pela interseção do gráfico de com o plano no ponto

(2,2,8).

a) Coeficiente angular da reta tangente à curva de interseção entre a

superfície e o plano

( )

b) Equação da reta: ( ) ( )

Cálculo II- 11

5. Derivadas de ordem superior

Se é uma função a duas variáveis, as suas derivadas parciais também

são funções a duas variáveis. Assim podemos considerar as derivadas

( ) ( ) ( ) ( )

que são chamadas derivadas parciais de segunda

ordem da função f.

Se ( ), temos as notações

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

A notação significa que primeiro diferenciamos em relação a e depois em

relação a A notação significa que primeiro diferenciamos em relação a

e depois em relação a .

De forma análoga, podemos definir derivadas parciais de terceira ordem,

quarta ordem e assim por diante, por exemplo:

[

(

)]

Igualdade das derivadas parciais mistas de segunda ordem

Em termos gerais, se as derivadas de primeira ordem de uma função

existirem e forem contínuas, a ordem na qual sucessivas derivadas parciais

são tomadas quando forem derivadas de ordem superior é irrelevante (Teorema de Clairaut). Exemplos

Cálculo II- 12

Exemplos:

1) Calcule as derivadas de segunda ordem da função:

( )

( )

( )

( )

( )

2) Calcule onde ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ( )) ( )

( ) ( )

( ( )) ( )

( )

( )

( ( ))

( ( ))

[

( ) ( )

( ( )) ]

[ ( ) ( ) ( ( )

( ) ) ]

[ ( ) ( ( ) ) ]

( ) ( )

3) Seja ( ) ( ), calcule:

( )

( ) ( )

( ( )) ( )

( )

( )

( ( )) ( )

( )

( )

Cálculo II- 13

6. Primeira Regra da Cadeia

Suponha que ( ) seja uma função a duas variáveis e que sejam

funções a uma outra variável , ou seja, ( ) ( ). Então, ( )

pois ( ) ( ( ) ( )) ( ). Assim, a derivada de em relação à

variável é:

Generalização da Primeira Regra da Cadeia

Se é uma função a variáveis, ou seja, ( ) e cada uma

dessas variáveis é, por sua vez, função de uma variável , então

( ) e

Exemplos: Utilize a regra da cadeia para determinar as derivadas indicadas:

) √

(( ) )

( )

( )

√

(( ) )

( )

( )

√

√

√

Cálculo II- 14

) ( )

( ) (

)

( )

( ( ) )

) (

) ( ) ( )

(

)

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( ) ( )

( )( ( ))

( ) ( )

4) A pressão ( ), o volume ( ) e a temperatura ( ) de 1 mol de

gás ideal estão relacionados pela equação: . Encontre a taxa de

variação da pressão em relação ao tempo, quando a temperatura é de

e está aumentando numa taxa de e o volume é de e

está aumentando numa taxa de

( )

Cálculo II- 15

A temperatura é e está aumentando na taxa:

O volume é e está aumentando na taxa:

( )

Para

( )

A pressão decresce de aproximadamente de a cada 1 segundo.

5) A voltagem ( ) de um circuito elétrico diminui com o tempo ( ) numa taxa de devido ao desgaste da bateria enquanto a resistência ( ) aumenta numa taxa de devido ao

aquecimento do resistor. Use a lei de Ohm para encontrar a taxa de variação da corrente ( ) em relação ao tempo, no instante em que

e

( )

( )

Quando

( )

( )

A corrente decai de 0,000031 a cada segundo.

Cálculo II- 16

7. Segunda Regra da Cadeia

Suponha que ( ) com ( ) e ( ). Então, ( ) pois

( ) ( ( ) ( )) ( ). Assim, possui derivadas parciais em

relação a e em relação a dadas por:

Generalização da Segunda Regra da Cadeia

Se é uma função a variáveis, ou seja, ( ) e cada uma

dessas variáveis é, por sua vez, função a outras variáveis, ou seja,

( ). Então ( ) e

Exemplos:

Utilize a regra da cadeira para determinar as derivadas indicadas:

)

⁄ ⁄

(

)

( ) (

) ( )

Cálculo II- 17

) ( ) ⁄

( )

( )( ) ( )( ) ( )( ( ))

) ( ) ⁄ ⁄

( )

|

|

Cálculo II- 18

8. Diferencial

Sejam ( ) uma função derivável a uma variável, uma variação na

variável independente e a variação da função, devido à variação .

Onde e ( ) ( ).

O diferencial de , denotado por , é o valor da variação da variável

independente.

O diferencial de , denotado por , representa a variação da ordenada da

reta tangente ao gráfico da função no ponto ( ( )) devido à variação

.

( )

A variação pode ser vista como uma aproximação linear para . O valor

estará mais próximo do valor real da variação da função quanto menor

for a variação da variável independente .

Podemos dizer que se for bem pequeno, tem-se . Assim, a

aproximação linear da função em é dada por:

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Cálculo II- 19

Sejam ( ) uma função a duas variáveis, e as variações nas

direções e , respectivamente, e a variação da função devido aos

incrementos e

Onde , e ( ) ( ).

O diferencial de , denotado por é o valor da variação . O diferencial de

, denotado por é o valor da variação

O diferencial de , denotado por , também chamado de diferencial total,

representa a variação da cota do plano tangente ao gráfico da função no ponto ( ) quando e y sofrem variações de e de ,

respectivamente:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

A equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto ( ) é:

( ) ( ) ( ) ( )

A variação pode ser vista como uma aproximação linear para . Quanto

menores forem os incrementos e , mais próximo do valor real da

variação da função será a aproximação dada por . Podemos dizer que se

e forem bem pequenos, tem-se . Assim, a aproximação

linear da função em ( ) é dada por:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ( ))

( ))

Cálculo II- 20

Exemplos:

1) Encontre o diferencial total das funções:

a) ( )

( )

( )

b) ( )

( )

( )

( )

( )

2) Seja ( )

a) Encontre o diferencial total

( ) ( )

Generalizando

Seja uma função real a variáveis reais ( ) o diferencial

total é dado por:

Cálculo II- 21

9. Diferenciação Implícita

Dizemos que uma função é explícita quando ela é expressa por uma equação na qual é possível isolar de um lado a variável dependente e do outro lado da

equação a expressão da função. Caso isto não ocorra dizemos que a função é implícita.

Exemplos:

, dizemos que é uma função explícita de

( ) , dizemos que é uma função implícita de

O objetivo da diferenciação implícita é determinar a derivada de funções sem

que haja a necessidade de explicitar a variável dependente.

A técnica de diferenciação implícita utilizada para funções a uma variável,

normalmente estudada em Cálculo I, consiste em diferenciar ambos os lados da equação e utilizar a regra da cadeia, pois a variável dependente implícita é função da variável independente.

Exemplo do Método de diferenciação implícita utilizado em Cálculo I:

Calcule a derivada

sendo uma função implícita de dada pela equação:

( ) ( )

( ( ))

( )

( )

( )

( ) [

]

( ) [

]

( )

( )

( )

( )

Cálculo II- 22

O processo de diferenciação implícita pode ser formulado com maior rigor e pode ser generalizado pelo uso das derivadas parciais.

Suponha uma equação na forma ( ) que define implicitamente como

uma função de , ou seja, ( ). Assim, ( ) ( ( )) para todo

no domínio de .

Se as funções e forem diferenciáveis, podemos usar a Primeira Regra da

Cadeia para diferenciar a equação ( ) e encontrar a derivada de

.

( )

( ( ))

( )

⁄

⁄

Exemplos:

1) Seja a equação ( ) com ( ), encontre

, utilizando o

método generalizado.

Equação na forma ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

Cálculo de

( ( ) ) ( )

( ) ( )

( ( ) ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

Cálculo II- 23

2) Dada a equação implícita , onde é função de , calcule

utilizando o método generalizado das derivadas parciais.

Equação na forma ( )

( )

Cálculo de

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Podemos utilizar esta técnica em funções a mais de uma variável.

Suponha uma equação na forma ( ) que define implicitamente como

uma função de , ou seja, ( ). Assim, ( ) ( ( ))

para todo ( ) no domínio de .

Se as funções e forem diferenciáveis, podemos usar a Segunda Regra da

Cadeia para diferenciar a equação ( ) e determinar as derivadas

parciais de ,

e

.

Cálculo de

( )

( ( ))

( )

⁄

⁄

Cálculo II- 24

Cálculo de

( )

( ( ))

( )

⁄

⁄

Exemplos:

1) Seja ( ) dada implicitamente por . Encontre

as derivadas parciais de z.

Equação na forma ( )

( )

Cálculo de

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Cálculo II- 25

Cálculo de

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2) Seja ( ) dado implicitamente pela equação ( ) .

Encontre as derivadas parciais de .

Equação na forma ( )

( ) ( ) ( )

Cálculo de

( ( ) )

( )

( )

Cálculo de

( ) ( )

( )

( )

( )

Cálculo II- 26

( )

(

) (

( )

)

Cálculo de

( ( ))

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ( ) )

3) Encontre as derivadas parciais de , sendo ( ) dado implicitamente

pela equação √ :

( )

⁄

(

⁄ ) ( )

(

⁄ ) (

)

⁄ (

)

⁄ (

√ )

(

⁄ )

(

⁄ ) ( )

(

√ )

( )

√ ( )

( )

( )

( )

Cálculo II- 27

10. Derivadas Direcionais

Considere uma função diferenciável de duas variáveis dada pala equação

( ) e seja ( ), ( ) um ponto desta superfície.

A derivada parcial

é a taxa de

variação instantânea da função obtida quando, para um

determinado valor fixo de ,

houver uma variação ( ) da

variável independente na

direção positiva do eixo .

Geometricamente, a derivada parcial de em relação a é o

coeficiente angular da reta

contida no plano e

tangente ao gráfico da função no

ponto ( ).

A derivada parcial

é a taxa de

variação instantânea da função

obtida quando, para um

determinado valor fixo de ,

houver uma variação ( ) da

variável independente na

direção positiva do eixo . Geometricamente, a derivada

parcial de em relação a é o

coeficiente angular da reta

contida no plano e tangente ao gráfico da função no

ponto ( ).

A derivada direcional ( ) é a

taxa de variação instantânea da

função obtida quando houver variação das variáveis indepen-

dentes e em uma direção

qualquer . Geometricamente, a

derivada direcional é o coeficiente angular da reta

paralela ao vetor e tangente ao

gráfico da função no ponto

( ).

Cálculo II- 28

Derivada Direcional

Sejam ( ) ( ) um vetor que indica a direção na qual se deseja

calcular a taxa de variação de uma função ( ) e ( ) um vetor

unitário na direção de .

A derivada direcional de na direção de , consequentemente, na direção de

é dada por

( )

Define-se um vetor denominador por gradiente de e denota-se ou ,

o vetor em cujas componentes escalares são as derivadas parciais de .

(

)

Assim, a derivada direcional ( ) pode ser calculada pelo produto escalar do

gradiente de ( ) e o vetor unitário na direção de .

( ) (

) ( )

Maximização das Derivadas Direcionais

Muitas vezes em problemas de engenharia interessa saber a direção na qual a

taxa de variação da função é máxima.

Sabemos que a taxa de variação instantânea da função na direção de um

vetor unitário qualquer é calculada pela derivada direcional:

( ) | | | | ( ) | | ( )

onde | | e é o menor ângulo formado entre os vetores .

Como o valor de ( ) varia de -1 a 1, a derivada direcional ( ) terá um

valor máximo quando ( ) , ou seja, quando . Isto significa que o

vetor gradiente indica a direção na qual a derivada direcional é máxima e

pode ser calculada por:

( ) | |

Em outras palavras: o gradiente de um campo escalar é um vetor cuja direção

indica a direção na qual o campo escalar aumenta mais rapidamente.

Dado o mapa de contorno de uma função podemos identificar a direção da

maior variação da função, ou seja, a direção do gradiente. Considere o mapa

de contorno da figura abaixo onde é um vetor unitário tangente a isocurva

no ponto . Lembrando que a isocurva representa pontos de mesmo valor da

Cálculo II- 29

função, a taxa de variação da função ao longo de uma isocurva é nula,

portanto a derivada direcional na direção de é nula. Assim,

( ) | || | ( )

Isto significa que está a 90° do vetor , ou seja, o vetor é perpendicular

à isocurva e indica a direção da maior variação da função.

Exemplos:

1) Calcule o gradiente das funções abaixo:

) ( ) ( ) ( )

(

)

( ) ( )

( )

( ( ) ( )

( ))

) ( ) ( )

(

)

( )

( )

( )

( ( ) ( ) ( ) )

x

y

Cálculo II- 30

-3

4

x

y

2) Dada a função, calcule e desenhe no sistema cartesiano o gradiente da função no ponto indicado

) ( ) ( )

(

) ( ) (

( )

( ))

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( )

3) Calcule a derivada direcional de ( ) na direção do vetor

(√

) no ponto (1,2):

( ) (

) (

| |

| |)

Cálculo do vetor unitário na direção dada

| | √(√

)

(

)

√

Como é um vetor unitário (√

)

Cálculo do vetor gradiente

( )

( )

( )

Cálculo da derivada direcional

( ) ( ) (√

)

( ) ( )(√

) ( ) (

)

Cálculo da derivada direcional quando e

( ( )) ( ) (√

) ( ) (

)

( ( )) ( )(√

) ( ) (

)

√

√

Cálculo II- 31

4) Encontre a derivada direcional de ( ) √ na direção do vetor

( ) no ponto (3 , 4):

( ) (

) (

| |

| |)

Cálculo do vetor unitário na direção dada

| | √( ) ( ) √

| | (

)

Cálculo do vetor gradiente

( √ ) √

( √ ) (

√ )

√

(

) ( √

√ )

Cálculo da derivada direcional

( ) ( √

√ ) (

) ( √ ) (

) (

√ ) (

)

√

√

Cálculo da derivada direcional quando e

( ( )) √

√

5) Encontre a derivada direcional de ( ) ( ) ⁄ na direção do

vetor ( ) no ponto (1 , 1, 2):

Cálculo do vetor unitário na direção dada

| | √( ) ( ) ( ) √ √

| | (

√

√

√ )

Cálculo do vetor gradiente

(( )

) (

) ( )

(

) ( )

(( )

) (

) (( )

) ( )

Cálculo II- 32

(( )

) (

) ( )

(

) ( )

(

) ((

) ( )

( )

(

) ( )

)

Cálculo da derivada direcional

( ) ((

) ( )

( )

(

) ( )

) (

√

√

√ )

( ) ( ( )

√ ( )

√ ( )

)

( ) ( ) (

√

√ ) ( )

(

√ )

( ) ( ) (

√ )

Cálculo da derivada direcional quando , e

( ( )) ( ) (

√ )

√

√

√

6) Encontre a derivada direcional de ( ) ( ) na direção do

vetor ( ) no ponto (1 ,3, 0):

| | √( ) ( ) ( ) √ √

| | (

√

√

√ )

(

)

( ( ) )

( )

( ( ) )

( )

( ( ) )

( )

( )

( ) ( ( ) ( ) ( )) (

√

√

√ )

( ) ( )

√

( )

√

( )

√

( ( )) ( )

√

( )

√

( )

√

√ ( )

√

Cálculo II- 33

x

y

LO

N

S

7) Suponha que uma pessoa esteja numa montanha cuja altura em metros

é dada pela equação onde e são as distâncias,

em metro, no plano horizontal. Considere que a posição ( ) desta

pessoa seja ( ). Sendo o plano horizontal representado por um

sistema cartesiano de eixo apontando para leste e de eixo apontado

para o norte, responda

a) Se a pessoa andar para o sul, irá descer ou subir? Em que taxa?

Vetor unitário na direção do movimento:

( ) | |

Taxa de variação da função

( ) onde (

)

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

Taxa de variação da função quando e

( )

Conclusão: Como a taxa é positiva para cada metro que a pessoa andar para

o sul ela subirá 3,2m.

Cálculo II- 34

x

y

LO

N

S

45

b) Se a pessoa andar para o noroeste, irá descer ou subir? Em que taxa?

Vetor unitário na direção do movimento:

( ( ) ( ))

( √

√

) | |

Taxa de variação da função

( ) onde (

)

( )

( ) ( ) ( √

√

)

( ) √ √

Taxa de variação da função quando e

( ) √ √

( ) √ √ √ √ √

Conclusão: Como a taxa é negativa, para cada metro que a pessoa andar na

direção noroeste ela descerá 1,55 m.

Cálculo II- 35

x

y

LO

N

S

30

c) Se a pessoa andar para L 30° S, irá descer ou subir? Em que taxa?

Vetor unitário na direção do movimento:

( ( ) ( )) (√

)

| | √(√

)

(

)

√

Taxa de variação da função

( ) onde (

)

( )

( ) ( ) (√

)

( ) √

Taxa de variação da função quando e

( ) √

( ) √ √

Conclusão: Como a taxa é positiva, para cada metro que a pessoa andar na

direção L 30° S ela subira 0,734 .

Cálculo II- 36

d) Determine e represente graficamente a direção que a pessoa deve seguir

para fazer a descida mais íngreme possível. Qual a taxa de variação da função

encontrada nesta direção?

Sabe-se que a direção do gradiente indica a direção de maior acréscimo da

função, ou seja, a pessoa subirá da forma mais íngreme possível.

( )

Quando e

( ) ( )

A maior taxa de variação da função é:

| | √( ) ( )

Para cada metro que a pessoa andar na direção do gradiente ela subirá

3,35m.

Para que a pessoa faça a descida da forma mais íngreme possível ela deverá

seguir a direção oposta do gradiente, isto é, na direção do vetor ( ) e a

taxa de variação da função é de - Esta taxa significa que para cada

metro que a pessoa andar na direção do vetor ( ) ela descerá .

1

3,2