Capítulo 10 – Testes Não paramétricos – pg 273 · condições de peso (dentro ou fora das...

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Capítulo 10 – Testes Não paramétricos – pg 273

O teste qui-quadrado são de grande aplicação devido ao fato dos mesmos não

dependerem de parâmetros populacionais e nem de suas estimativas. Esses testes não

exigem que a variável em análise seja numérica nem pressuposição a respeito da

distribuição dessa variável.

1 – Teste de Aderência - Dada uma amostra de tamanho n que pode ser dividida em

eventos E1, E2, ..., Ek. Sejam Fe1, Fe2, ..., Fek, as frequências esperadas e Fo1, Fo2, ...,

Fok, as frequências observadas. O teste visa comprovar a concordância entre freqüências

observadas e esperadas para um certo fenômeno. A realização do teste qui-quadrado:

1a) Enunciar as hipóteses

Ho: Não há discrepâncias entre as freq. observadas e esperadas.

H1: Há discrepâncias entre as freq. observadas e esperadas.

2a) Estabelecer o nível de significância .

Valor crítico: A variável teste adotada é (2 ) com grau de liberdade k – 1, onde k é

o número de eventos.

3a) Cálculo da variável teste. Avaliar as freqüências esperadas com base na hipótese

nula. Para facilitar esta avaliação convém distribuir as freqüências num quadro, da

seguinte forma:

Eventos E1 E2 E3 ... Ek Total

Freq. Observadas Fo1 Fo2 Fo3 ... Fok n

Freq. Esperadas Fe1 Fe2 Fe3 ... Fek n

k

i k

kk

i

ii

calFe

FeFo

Fe

FeFo

Fe

FeFo

Fe

FeFo

1

2

2

2

22

1

2

11

2

2 )(...

)()()(

Observação: Caso não existam eventos que não satisfaçam à condição Fe 5, estes

deverão ser somados aos eventos adjacentes, originando-se novas categorias.

4a) Conclusão: Se 22

cal

Rejeita-se Ho, isto é, as frequências observadas

diferem das esperadas ao nível de significância .

2. ANÁLISE DE ASSOCIAÇÃO - pg 287

Existe associação entre duas variáveis qualitativas quando as probabilidades de

eventos de uma delas são alteradas conforme a categoria da outra. O teste qui-quadrado

de independência serve para avaliar a significância de uma associação. O teste qui-

quadrado de homogeneidade verifica se diferentes populações apresentam as mesmas

proporções com respeito a variável qualitativa.

2

2a Teste de Independência - A finalidade deste teste é verificar se duas variáveis, que

podem ser divididas em categorias ou eventos, são estatisticamente independentes.

Consideram-se duas variáveis x e y que se dividem nos eventos x1, x2,..., xk e y1, y2,...,

yh, respectivamente, tem-se uma tabela de dupla entrada chamada de “Tabela de

Contingência LxC”, onde as freqüências observadas (F0) ocupam L- linhas e C-

colunas, ou seja:

EVENTO X

EVENTO Y X1 X2 ... Xk Totais

Y1 F011 F012 ... F01k L1

Y2 F021 F022 ... F02k L2

... ... ... ... ... ...

Yh F0h1 F0h2 ... F0hk Lh

Totais C1 C2 ... Ck n

Este teste é de 2 se baseia na comparação entre as (Fo) e as (Fe), cujas etapas

são:

1a) As hipóteses: Ho: As variáveis são independentes

H1: As variáveis não são independentes. As variáveis tem algum grau

de associação entre si.

2a) Nível de significância e Estabelecer os valores críticos:

Neste caso, a variável teste a ser adotada será a “ 2 ” com (L – 1).(C –1 ) graus de

liberdade.

3a) Cálculo da variável teste

L

i

C

j ij

ijij

calFe

FeFo

1 1

2

2)(

ij

ijij

Fe

FeFo

Fe

FeFo2

11

2

1111)(

...)(

F011 Fe11 = n

xCL 11 ; F012 Fe12 = n

xCL 21 ; ........... generalizando

F0ij Feij = n

TotalCxLTotal ji )()(

4a) Conclusão:

Se 22

cal Rejeita-se Ho ao nível de significância e conclui-se que as

variáveis são dependentes e apresentam algum grau de associação.

Correção de Yates Caso não existam eventos que não satisfaçam à condição Fe 5 ou

graus de liberdade igual a 1, aplicar o teste com correção de Yates ou optar pelo teste

Exato de Fisher.

h

i

k

j ij

ijij

calFe

FeFo

1 1

2

2)5,0(

3

O Coeficiente de Contingência - Quando a hipótese nula é rejeitada, conclui-se que as

variáveis são dependentes e apresentam algum grau de associação que pode ser medida

pelo coeficiente de contingência de Pearson (C), que é dado pela fórmula:

%100.n

C2

cal

2

cal

.

O Coeficiente de Contingência (C) possui intervalo de variação de: 0 < C < 1,

que é interpretado da seguinte forma:

- quanto mais próximo de “1” estiver o valor de C maior será o grau de dependência

entre as variáveis.

- quanto mais próximo de “0” estiver o valor de C menor será o grau de dependência

entre as variáves.

Teste de Homogeneidade - Este teste é aplicado para verificar se uma população se

distribui de forma homogênea em uma outra população. A metodologia deste teste é

semelhante ao do teste de independência, porém considerando as seguintes hipóteses:

Ho: A população X é homogênea em Y

H1: A população X não é homogênea em Y.

ATIVIDADE 10 A - Teste qui-quadrado 1) pg 275 - Determinado veículo está sofrendo críticas dos proprietários, com relação à grande freqüência de defeitos no pneu traseiro esquerdo. Para defender-se de indenizações, o fabricante

coletou 152 ocorrências de defeitos, classificando-as por posição de pneu. Sendo alfa 5%, há

razão para acreditar que a probabilidade de defeito é diferente para alguma posição?

Tabela 1 – Ocorrências de defeitos por posição do pneu de um veículo utilitário

Posição pneu Diant esq Diant. dir Tras. esq Tras dir Total

frequencia 35 32 57 28 152

2) pg 285- Uma empresa possui três laboratórios de pesquisa (A,B,C), cujos computadores estão

conectados a um servidor para onde enviam pacotes de dados para serem analisados em um

programa estatístico. Os usuários do laboratório A pediram prioridade ao gerente de rede, pois costumam enviar mais pacotes ao servidor. O gerente observou 500 pacotes de dados enviados e

classificou-os de acordo com origem, conforme a tabela a seguir:

Tabela 2 – Número de pacotes de dados analisados nos 3 laboratórios

Laboratórios A B C Total

Número de pacotes 165 179 156 500

Os dados constituem evidência suficiente para corroborar o pedido do laboratório A? Alfa 1%.

3) pg 287 - Determinado posto de qualidade de um laticínio retira uma amostra dos pesos dos

litros de leite produzidos em um dia, classificando-os de acordo com seu tipo ( B,C, UHT), e

condições de peso (dentro ou fora das especificações). A tabela abaixo mostra a distribuição de frequências conjunta de 6.850 unidades de leite, disposta numa tabela de contingência.

a) Testar se há associação entre tipo de leite e condições de peso, com alfa 5%.

b) Caso haja associação, encontre o coeficiente de contingência.

4

Tabela 3 - Distribuição de frequências conjunta do tipo de leite e condição do peso.

Condição peso Tipo de leite Total

B C UHT

Dentro 500 4500 1500 6500

Fora 30 270 50 350

Total 530 4770 1550 6850

4) pg 292 - Há dúvidas sobre os desempenhos dos alunos, na disciplina de Estatística, de alguns

cursos de Engenharia. O argumento é que, dependendo do curso, a proporção de aprovação

pode ser diferente, mesmo que a disciplina tenha o mesmo programa.

Tabela 4 - Distribuição de frequências de aprovados e reprovados nos cursos de engenharia

Situação Curso

Eng. Civil Eng Química Eng. Mecânica Total

Aprovados 44 26 35 105

Reprovados 11 26 15 52

Total 55 52 50 157

Considerando nível de significância de 5%, testar se as proporções de aprovação e reprovação

podem ser consideradas iguais?

5) pg292- Uma metalúrgica produz grandes quantidades de parafusos, trabalhando em 3 turnos.

O setor de qualidade deseja verificar se o desempenho dos turnos é semelhante, o que poderia ser avaliado através das proporções de peças aprovadas, direcionadas a retrabalho ou rejeitadas.

Como parte do controle estatística de processos, amostras aleatórias de parafusos são coletadas

de cada turno. Uma dessas amostras, com as classificações de peças, esta na tabela abaixo:

Tabela 5 - Situação das peças produzidas nos três turnos.

TURNOS

Situação

das peças

Matutino Vespertino Noturno Total

Aprovadas 432 456 424 1312

Retrabalho 185 190 180 555

Rejeitadas 45 48 39 132

Total 662 694 643 1999

É possível considerar semelhante o desempenho dos turnos? Adote alfa 1%

6) pg293- Uma rede local de computadores tem 5 clientes que enviam pacotes de dados

(gerados por um aplicativo) ao servidor. Os pacotes podem ser considerados completos, incompletos, mas aproveitáveis e inaproveitáveis. Suspeita-se que pode haver problemas com

clientes, o que poderia ser evidenciado por diferentes percentuais de pacotes completos,

aproveitáveis e inaproveitáveis. Um estudo foi realizado, fazendo com que cada cliente enviasse certo número de pacotes ao servidor, donde os pacotes foram observados. Os resultados foram:

Tabela 6 - Distribuição de frequências da situação de pacotes enviados a um sevidor

Cliente Situação Total

Completos Aproveitáveis Inaproveitáveis

1 485 10 5 500

2 768 24 8 800

3 624 20 6 650

4 522 40 18 580

5 650 3 17 670

Total 3049 97 54 3200

A suspeita tem fundamento? Adote o nível de confiança de 97,5%.

5

TESTES PARA DUAS POPULAÇÕES

I - TESTE DOS SINAIS POR POSTOS – Teste de Wilcoxon pg298

O teste dos sinais por postos de Wilcoxon deve ser aplicado aos dados pareados.

Este teste é, portanto, uma alternativa ao teste t de Student no caso de amostras

dependentes, mas só deve ser aplicado quando as pressuposições exigidas pelo teste t

estiverem seriamente comprometidas. Trata-se de uma extensão do teste dos sinais e

deve ser aplicado aos dados pareados. É mais interessante que o teste do sinal, pois leva

em consideração a magnitude da diferença para cada par.

1a. Procedimento para pequenas amostras n≤ 20:

a) Determinar para cada par à diferença (di) entre os dois escores. b) Atribuir postos

(colocar em ordem crescente) todos os “dis”, desconsiderando-se os

sinais. No caso de empate, retire o par da análise e o tamanho da amostra se reduz.

c) Identificar cada posto pelo sinal “+” ou “-” do “di” que ele representa.

d) Definir a estatística s+ = soma dos postos das diferenças positivas.

e) Abater do “n” o número de zeros, isto é, di = 0.

Regra de decisão do teste de sinais por postos – “Wilcoxon”

Hipótese H1 Regra de decisão

Unilateral à direita P( S+ sc) = 1 - . Se s+ sc, rejeita-se Ho

Unilateral à esquerda P( S+ sc) = . S e s+ sc, rejeita-se Ho

Bilateral

P( S+ sc1 ) = /2.

P( S+ sc2) = 1 - /2.

Se s+ sc1 ou s+ sc2, rejeita-se Ho.

1b. Para grandes amostras - para n > 20

Para n > 20 a distribuição de S+ é aproximadamente igual a uma distribuição normal,

com média e variância especificadas.

ETAPAS:

1a - As hipóteses:

Ho: Não há diferença entre os grupos. A soma dos postos “+” não difere dos postos ”-“.

H1: Há diferença entre os grupos.

2a - Estabelecer o nível de significância .

Valores críticos – (Para grandes amostras) Quando H0 é verdadeira, os valores de Z

calculado têm distribuição assintoticamente normal com média zero e variância um.

Com auxílio da tabela normal padrão, determinam-se as regiões críticas.

3a - Cálculo da estatística teste

4a - Conclusão: Regra de decisão utilizando a distribuição normal padrão

4

24.

)1n2)(1n(n

)1n(ns4Zcal

6

Empates – 10 tipo- Caso os dois escores de algum par são iguais, di = 0 (não houve

diferença entre dois tratamentos), tais pares são retirados da análise e o tamanho n da

amostra é reduzido.

20 tipo - Dois ou mais d’s podem ser de mesma magnitude. Atribui-se o empate no

mesmo posto. O novo posto será a média dos postos que teriam sido atribuídos se os d i’s

tivessem diferido.

II - O Teste de Mann-Whitney - O teste de Mann-Whitney é utilizado para comparar a

posição central de duas populações. Esse teste é, portanto, uma alternativa para o teste t

no caso de amostras independentes. Mas você só deve aplicar o teste de Mann-Whitney

se sua amostra for pequena e/ou as pressuposições exigidas pelo teste t, estiverem

seriamente comprometidas.

2a. Para amostras pequenas n1, n2 ≤ 20

Considerar n1 = número de elementos da amostra 1 e n2 = número de elementos

da amostra 2. Considere todos os dados dos dois grupos e coloque-os em ordem

crescente. Atribua primeiro ao escore que algebricamente for menor e prossiga até N =

n1 + n2. As observações empatadas atribuir à média dos postos correspondentes:

Calcular W1 = soma dos postos do grupo n1, W2 = soma dos postos do grupo n2.

Verificar se W1 + W2 = 2

)1)(( 2121 nnnn

Para n1 e n2 ≤ 20 a tabela fornece valores críticos para U, para construir a regra de

decisão, em função da hipótese alternativa e do nível de significância alfa.

Regra de decisão do teste de Mann-Whitney

Hipótese H1 Regra de decisão

Unilateral direita H1: 21 P(U uc) = 1 - . Se u uc, rejeita-se Ho

Unilateral esquerda H1: 21 P(U uc) = . Se u uc, rejeita-se Ho

Bilateral H1: 21 P( U uc1) = /2.

P( U uc2) = 1 - /2.

Se u uc1 ou u uc2, rejeita-se Ho.

2b. Para grandes amostras - quando n1, n2 > 20.

ETAPAS:

1a - As hipóteses

Ho: Não há diferença entre os grupos.

H1: Há diferença entre os grupos.

2a - Estabelecer o nível de significância .

Valores críticos – (Para grandes amostras) - Quando H0 é verdadeira, os valores de Z

calculado têm distribuição assintoticamente normal com média zero e variância um.

Com auxílio da tabela normal padrão, determinam-se as regiões críticas.

7

3a - Cálculo da estatística teste

U = W1 -

2

)1n(n 11

4a - Conclusão: Regra de decisão utilizando a distribuição normal padrão

ATIVIDADE 10 B - Teste de Wilcoxon, Mann-Whitney

Teste dos Sinais por postos –Wilcoxon (Pequenas amostras) – pg298

1) pg 295- Um sistema de alarme possui grande número de componentes. Há interesse em saber

se houve ou não aumento no tempo de falha dos componentes após a implementação de um

programa de manutenção. Usualmente, o tempo de falha segue distribuição exponencial. Observou-se uma amostra de dez componentes, antes e depois do programa de manutenção, e o

resultados (em horas) abaixo:

Tabela 1 – Tempo de falha de 10 componentes após o programa de manutenção

Comp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Antes 400 360 450 390 430 386 452 470 400 340

Depois 395 350 556 480 405 500 547 462 500 480

Sinal -5 -10 +106 +90 -25 +114 +95 -8 +100 +140

Testar se há diferença entre a mediana do tempo de falha dos dois momentos. Alfa 5%

Teste dos Sinais por postos - Wilcoxon (Grandes amostras)

2) pg 297- Uma empresa quer observar a viabilidade de utilizar um novo tipo de calibrador,

eletrônico, ao invés do modelo atual, mecânico, para medir dimensões de peças automotivas. Após treinamento, forma sorteados 26 funcionários para medir as peças, com calibrador

eletrônico e mecânico. Os tempos gastos em segundos foram registrados. Somente será viável a

introdução do novo calibrador se o tempo mediano de medição for menor do que obtido mecânico. Faça um teste unilateral com alfa 5%.

Tabela 2 – Tempo gasto (segundos) para medir dimensões de calibradores

Operário Eletrônico Mecânico Sinal Operário Eletrônico Mecânico Sinal

1 27 27 0 14 22 29 -7.0

2 25 30,1 -5.1 15 16 16 0

3 22 28 -6.0 16 22 20,6 +1.4

4 34 34 0 17 29,5 25 +4.5

5 23 24,5 -1.5 18 36 33 +3.0

6 22 28 -6.0 19 35 41 -6.0

7 25 28 -3.0 20 35 35 0

8 32,3 30 +2.3 21 27,5 28 -0.5

9 34 36 -2.0 22 29 31,8 -2.8

10 23,5 29 -5.5 23 27 28 -1.0

11 34,2 39 -4.8 24 24,3 29,3 -5.0

12 31,8 30 +1.8 25 30,1 30,8 -0.7

13 28,4 20 +8.4 26 29,3 35,6 -6.3

;

12

)1nn(n.n

2

n.nU

Z2121

21

cal

8

3) pg 309-Um banco pretende trocar os terminais que seus caixas usam para atender ao público,

com intuito de conseguir diminuir o tempo de atendimento. Para avaliar se vale a pena a

mudança, foi realizado um estudo em que os mesmos caixas atendiam a clientes com terminal atual e com terminal novo (após treinamento), e os tempos médios de atendimento (em minutos)

de cada caixa.

Tabela 3 - Tempos médios de atendimento (em minutos) no terminal atual e novo

Caixa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Atual 1,6 3,5 0,8 1,1 7,1 8,4 4,8 5,9 2,4 5,5

Novo 0,5 0,3 5,9 1,6 1,7 2,2 1,0 1,4 1,0 2,1

O terminal novo reduz o tempo de atendimento? Use o teste de Wilcoxon com alfa 5%.

4) pg-310- Em um processo de moldagem de peças plásticas, é preciso escolher quais dos dois

métodos atualmente utilizados é o que obtém menor desperdício, que é mensurado pelo peso em gramas, do polímero que escapa o molde. O engenheiro selecionou 25 operadores (treinados em

ambos métodos) e mediu os valores desperdiçados em cada método. Os valores (em gramas)

foram:

Tabela 4 - Valores desperdiçados (gramas) de polímeros que escapa do molde

Op Método 1 Método 2 Op Método 1 Método 2

1 0 0.642 14 0.001 0

2 0.247 0.106 15 0.182 19.657

3 0.678 0 16 0.073 0

4 1.577 0.142 17 0.314 8.651

5 0.002 0.001 18 0.001 0

6 0.041 1.025 19 5.890 1.324

7 0.593 0 20 0.016 0

8 0 0.322 21 0.190 8.346

9 4.078 0 22 0.366 0.007

10 0.049 3.635 23 0.010 0

11 1.010 24.113 24 0.002 7.858

12 0.066 0.338 25 2.566 0

13 0 19.746

Adote o teste de Wilcoxon com nível de significância 5%.

Teste de Wann-Whitney – pequenas amostras

5) pg 305 – Um fabricante de vergalhões de ferro para estruturas afirma que seu novo produto apresenta resistência à tração superior ao modelo atualmente vendido, o que justificaria um

preço maior. Fez-se um teste para avaliar a afirmação do fabricante. Analisou-se 15 vergalhões

de cada tipo. Os vergalhões foram submetidos à tração, em Kgf, até o rompimento. Testar a resistência mediana do vergalhão novo ser superior ao do vergalhão atual, com nível de

significância 5 %. Os resultados estão a seguir.

Tabela 5 – Resistência de vergalhões (Kgf) até o rompimento

Vergalhão novo (1) Vergalhão atual (2)

276 380 237 119 696 240

231 127 143 461 298 246

144 234 260 473 327 566

151 165 237 380 293 232

195 198 174 287 199 108

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Teste de Mann-Whitney – grandes amostras

6) pg 307- Um administrador de rede tem recebido insistentes reclamações de usuários de que os tempos de processamento dos dois servidores da rede são diferentes, no que tange ao acesso

às correspondências eletrônicas. Intrigado, não haveria razão para diferenças (considerando as

configurações iguais), coletou-se dados dos 2 servidores, registrando o tempo de acesso ( em segundos) de 30 usuários em cada servidor. Não há hipótese a priori sobre qual servidor é mais

rápido. Use o nível de significância de 5%.

Tabela 6 – Tempo de processamento (segundos) de dois servidores

Servidor 1 Servidor 2

5,83 3,78 6,79 2,27 6,24 2,44

0,99 1,40 2,70 7,41 4,73 4,17

6,07 5,88 3,05 3,21 9,34 5,01

6,53 3,52 2,44 7,76 4,33 16,68

0,04 3,42 3,74 2,24 4,63 2,97

4,96 0,99 2,66 1,93 3,97 13,45

6,86 1,72 3,09 6,07 4,61 5,35

2,55 4,05 2,03 3,80 5,02 1,80

2,63 1,70 4,65 2,93 6,40 2,97

1,97 6,48 4,26 9,04 4,51 10,75

7) pg 313 -No processo de produção de papel, a degradação de lignina (enzima) é um

aspecto fundamental, e precisa ser feito rapidamente, exigindo a utilização do cloro,

danoso ao meio ambiente. Em pesquisas avaliaram a viabilidade de degradação da

lignina através da ação dos fungos, em bio-reatores, para preservação do meio ambiente.

Logo testaram duas espécies de fungo, medindo o tempo de degradação num pequeno

cubo de madeira de eucalipto. A espécie 1 deve degradar a lignina em menos tempo.

Testar se a espécie 1 é mais rápida que a espécie 2. Use o nível de significância de 5%.

Tabela 7 – Tempo de degradação da lignina pela ação de fungos.

Espécie 1 Espécie 2

6.5 11 51.5 22.5

16 13.5 17.5 16

13 16.5 46.5 32

28.5 6 5.5 14

7 10 15.5 38.5

6 7.5 36.5 46

17.5 10.5 17 13

14.5 15 19 34.5

16 4 20 59.5

10.5 27.5 14.5 20.5

5.5 8.5 12 66

37 25 e 19 29.5 59 e 19

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CAPÍTULO 11 - CORRELAÇÃO E REGRESSÃO -pg 316

O conceito de correlação refere-se a uma associação numérica entre duas

variáveis, não implicando numa relação de causa e efeito. Geralmente o estudo de

correlação é um passo intermediário na análise de um problema.

1. Diagrama de dispersão – È um gráfico para visualizar se as duas variáveis em

estudo estão correlacionadas. Os valores das variáveis são apresentados por pontos, num

sistema cartesiano.

2. Coeficiente de correlação linear (R)

O coeficiente de correlação linear tem por objetivo medir o grau de relação entre

duas variáveis (x, y) e é definido pela fórmula:

])(].[)([ 2222 yynxxn

yxyxnr ou

SYYSXX

SXYr

.

Onde -1 r 1. Se r = 1, a correlação é positiva perfeita;

Se r = - 1, a correlação é negativa perfeita;

Se r = 0, a correlação é nula.

3. Coeficiente de correlação populacional – pg321

A medida descritiva de correlação entre duas variáveis amostrais, pode-se testar

a correlação, em termos probabilísticos, o parâmetro correlação entre duas variáveis

aleatórias, X e Y. Dada uma amostra simples (x1,y1); (x2, y2);..... (xn, yn) de n

observações do par de variáveis aleatórias (x, y), o coeficiente (r) pode ser uma

estimativa do verdadeiro e desconhecido .

i) Testar as hipóteses: Ho: =0 vs H1: 0 ; >0; <0.

ii) Nível de significância

distribuição t para teste bilateral t (n-2; alfa)

iii) A estatística teste: t = 2r1

2n.r

iv) Conclusão. Sob a distribuição t de Student com (n-2) graus de liberdade, rejeita-se

adotando a regra habitual.

ATIVIDADE 11 A - CORRELAÇÃO

1) No processo de queima de massa de cerâmica para pavimento, corpos de prova foram analisados por 3 variáveis: X1: retração linear (%); X2: resistência mecânica (Mpa) X3:

absorção de água (%). Encontre a correlação entre as variáveis e construa o diagrama de

dispersão. Os resultados de 18 ensaios são apresentados a seguir:

11

Tabela 1 – Três variáveis do processo de queima de massa de cerâmica para pavimento

Ensaio X1 X2 X3 Ensaio X1 X2 X3

1 8.70 38.42 5.54 10 13.24 60.24 0.58

2 11.68 46.93 2.83 11 9.10 40.58 3.64

3 8.30 38.05 5.58 12 8.33 41.07 5.87

4 12.0 47.04 1.10 13 11.34 41.94 3.32

5 9.50 50.9 0.64 14 7.48 35.53 6.0

6 8.58 34.10 7.25 15 12.68 38.42 0.36

7 10.68 48.23 1.88 16 8.76 45.26 4.14

8 6.32 27.74 9.92 17 9.93 40.7 5.48

9 8.20 39.20 5.63 18 6.5 29.66 8.98

2) pg 323 – Sejam X= nota na prova do vestibular de matemática e Y = nota final na

disciplina de cálculo. Foram observados 20 alunos, ao final do primeiro período letivo

de um curso de engenharia. Os dados estão a seguir:

Tabela 2 - Nota de 20 alunos na prova de matemática e cálculo

X Y X Y X Y X Y X Y

39 65 43 78 21 52 64 82 65 88

57 92 47 89 28 73 75 98 47 71

34 56 52 75 35 50 30 50 28 52

40 70 70 50 80 90 32 58 67 88

a) Calcule o coeficiente de correlação. Interprete.

b) Construa o diagrama de dispersão. Verifique se há algum aluno outlier.

c) Retire este aluno e refaça a correlação. Interprete.

d) Faça o teste para a verdadeira correlação (item c), com alfa 5%.

3) Os dados abaixo se referem ao desempenho (medido em milhas percorridas por galão

MPG, de gasolina) de 32 carros em uma autoestrada em função do deslocamento do

pistão do motor (polegadas cúbicas - in3). Montgomery (2001, pg570)

Automóvel desempenho em milhas/galão deslocamento (pol/cubic in)

Apollo 18.90 350

Omega 17.00 350

Nova 20.00 250

Monarch 18.25 351

Duster 20.07 225

Jenson Conv. 11.20 440

Skyhawk 22.12 231

Monza 21.47 262

Scirocco 34.70 89.7

Corolla SR-5 30.40 96.9

Camaro 16.50 350

Datsun B210 36.50 85.3

Capri II 21.50 171

Pacer 19.70 258

Babcat 20.30 140

Granada 17.80 302

Eldorado 14.39 500

12

Automóvel desempenho em milhas/galão deslocamento (pol/cubic in)

Imperial 14.89 440

Nova LN 17.80 350

Valiant 16.41 318

Starfire 23.54 231

Cordoba 21.47 360

Trans AM 16.59 400

Corolla E-5 31.90 96.9

Astre 29.40 140

Mark IV 13.27 460

Celica GT 23.90 133.6

Charger SE 19.73 318

Cougar 13.90 351

Elite 13.27 351

Matador 13.77 360

Corvette 16.50 350

Calcular a correlação entre as variáveis Y e X; e testar a correlação (T. bilateral).

__________________________________________________________________

Regressão Linear simples - Pg - 324

O objetivo principal da análise de regressão é predizer o valor de uma variável (a

variável dependente Y), dado que seja conhecido o valor de uma variável associada (a

variável independente X).

a- Se há relação entre as variáveis e, caso afirmativo, se é fraca ou forte;

b- Se a relação existir, estabelece um modelo que interprete a relação funcional entre as

variáveis;

c- Que, construindo o modelo, usá-lo-emos para fins de estimativas, previsão ou análise.

4. Métodos dos Mínimos Quadrados

Quando se faz um estudo de uma determinada variável em função de uma outra,

se faz uma análise de regressão que tem por objetivo descrever através de um modelo

matemático, a relação entre duas variáveis, partindo de n observações.

Considere a equação de regressão linear simples:

y = a + bx + e, onde a e b são os parâmetros e e é o erro experimental.

diferença entre os valores observados e os preditos é chamada de resíduo ei = (yi - y^

)

Como trabalha com uma amostra então usa a equação estimada da reta ou equação de

regressão:

xbay

5. Estimativa dos parâmetros - Resolvendo o sistema de equações obtêm-se os

parâmetros ^^

bea , tal que: n

xbya

e

22 )x(xn

yxyxnb

13

6. Análise de variância do modelo - Uma maneira de testar a existência de regressão é

pela ANÁLISE DE VARIÂNCIA, que estuda o comportamento das variações totais

explicadas e residuais, cujo método é o seguinte:

i) Hipóteses: Ho: = 0 e H1: 0

ii) Nível de significância. Distribuição F [1; n-2; α]

iii) Variável teste Fcalc

FV GL SQ QM Fcal Ftab

Regressão 1 SQReg QMR = SQReg QMReg / QME [1; n – 2]

Erro n - 2 SQE QME = SQE / n-2 ... ...

Total n – 1 SQTo ... ...

A soma dos desvios satisfazem à equação:

()yy( 2

i y^

y )2 + 2y( )y

^

i

SQ total = SQReg + SQ Erro

Variação total = variação explicada + variação não explicada pela equação

ou SQTotal = ∑y2 – (∑y)

2∕n

SQReg = β1. Sxy

iv) Conclusão: Se (Fcal < Ftab), aceita-se Ho ao nível de significância e concluí-se que

não existe regressão, caso contrário, (Fcal > Ftab), concluí-se que existe regressão linear. 7. Coeficiente de determinação (R

2)

È uma medida descritiva da proporção da variação de Y que pode ser explicada por variações em X segundo o modelo especificado.

R2 =

TotSQ

gReSQ

8. Inferência sobre os parâmetros do modelo

Inferência sobre Coeficiente Angular ( b) Estimativa do desvio padrão dos resíduos

Se = 2n

xybyay2

Inferência sobre Coeficiente Escalar ( a) Estimativa do desvio padrão dos resíduos

Se = 2n

xybyay2

Estimativa do erro padrão de b

Sb = Se

22 )x(xn

n

Estimativa do erro padrão de a

Sa=Se

22

2

)(

)(

1

xxn

n

x

n

Teste de hipótese 0:10 Hvs

t =

b

0

s

b t (n-2; alfa) teste bilateral

Teste de hipótese 0:10 Hvs

t =

a

0

s

a t (n-2; alfa) teste bilateral

Intervalo de confiança para o coeficiente angular ( b )

IC (b) = [ b )

2,2(

nt Sb ]

Intervalo de confiança para o coeficiente escalar ( a )

IC (a) = [ a )

2,2(

n

t Sa ]

14

9. Análise de resíduo

A análise de resíduos desempenha papel fundamental na avaliação do ajuste de um

MRLS, investiga a adequação do modelo quanto às suposições básicas do modelo, bem como:

i) independência das variáveis erros, ei;

ii) homogeneidade das variâncias de ei;

iii) normalidade dos erros ei, i=1,2,.....n

iv) relação linear das variáveis x e y;

e assim, avalia-se a falta de ajuste do modelo proposto. Além dos testes de significância e

adequação, a análise de resíduo vem complementar o elenco de procedimentos que devem ser

realizados após o ajuste de qualquer modelo.

Tipos de resíduos

Resíduos padronizados são escalonados para reduzir uma variável aleatória a ter

esperança com média zero e seus desvios padrão seja aproximadamente igual a um.

Consequentemente di > 3 indica outliers.

di = 2ˆRe

ii e

sQM

e com i=1,2,....,n

Resíduo na forma de Student (Estudentizado) – os resíduos padronizados e estudentizado

são parecidos, mas em algumas situações os resíduos estudentizado é mais sensível para detectar

pontos influentes, dada por: ri = )1(ˆ 2

ii

ii

h

e

onde hii = (

xx

i

S

xx

n

2)(1 )

9.1 Gráficos de resíduos

Para o modelo de regressão, os termos dos erros ei são assumidos serem variáveis

aleatórias normais e independentes, com média zero e variância 2 . Se o modelo é adequado

para os dados, os resíduos observados, devem refletir as propriedades assumidas para os erros e.

Esta é a idéia básica da análise de resíduos, uma maneira útil de examinar a adequação de um

modelo estatístico. Análise gráfica é muito eficiente para verificar a adequação do modelo, e

checar violações do modelo (não independência dos erros, normalidade dos erros, variância

constante dos erros).

a. Gráfico dos Zi’s versus variável regressora ou valores estimados.

No gráfico plota-se os resíduos padronizados (Zi’s) no eixo das ordenadas e a variável

regressora (xi) ou o valor estimado da variável resposta no eixo das abscissas. Ambas os

gráficos nos dará mesmas informações. A característica do gráfico é que a faixa de variação dos

resíduos ao longo dos valores de X é constante, ou ainda, os pontos devem estar espalhados

aleatoriamente, não demonstrando nenhuma tendência. Isso indica a não violação do modelo.

15

b- Presença de Outliers

“Outliers” são observações extremas. Outliers residuais podem ser identificados no

gráfico de gráfico de caixa dos resíduos. O gráfico de resíduos padronizados é particularmente

útil, pois permite distinguir observações afastadas, uma vez que se torna fácil identificar

resíduos que se encontram muitos desvios padrão do zero. Embora a presença de outliers possa

criar dificuldades, só é recomendável retirá-lo da análise se há evidência direta que representa

um erro de coleta, um cálculo mal feito ou circunstância similar.

c- Normal Probability Plot

Pequenos afastamentos da normalidade não criam sérios problemas, o que não é

verdadeiro para grandes afastamentos. Uma forma de analisar a normalidade dos resíduos é

análise gráfica através do gráfico Normal Probability. Neste caso cada resíduo é plotado contra

seu valor esperado de normalidade. Um gráfico aproximadamente linear sugere concordância

com a normalidade, enquanto um gráfico que se afasta substancialmente da linearidade sugere

que a distribuição dos resíduos não seja aproximadamente normal.

Sempre é conveniente realizar um teste que verifique estatisticamente esta suposição. Dentre os

mais utilizados, citamos o de Shapiro-Wilk; Kolmogorov ou Lilliefors (Barbetta 2008).

ATIVIDADE 11 B - REGRESSÃO

1) Exemplo 11.2 - pg 325 - Considere um experimento em que se analisa a octanagem

(pureza/qualidade) da gasolina (Y) em função da adição de um novo aditivo (X). para

isso, foram realizados ensaios com os percentuais de 1,2,3,4,5,6% de aditivo. Os

resultados estão na tabela abaixo. Pede-se:

Tabela 1 – Octanagem da gasolina em função do aditivo

X Aditivo Y Octanagem

1 80,5

2 81,6

3 82,1

4 83,7

5 83,9

6 85,0

a) Diagrama de dispersão

b) Coeficiente de correlação linear entre as variáveis e testar a correlação

c) Ajuste o modelo de regressão

d) Trace a reta estimada no diagrama de dispersão

e) Estimar a octanagem da gasolina, quando o aditivo novo 3,5 %.

f) Estimar a porcentagem de aditivo, se a octanagem foi de 80,9.

g) Coeficiente de determinação, discuta.

h) testar a significância do modelo. Alfa 5%

i) qual a variância residual do modelo?

j) testar a hipótese e construir os intervalos de confiança dos parâmetros

k) realize uma análise de resíduo

16

2) pg 345 - Um estudo foi desenvolvido para verificar o quanto o comprimento de um

cabo serial de microcomputadores influencia na qualidade de transmissão de dados,

medida através do número de falhas em 10.000 lotes de dados transmitidos (taxa falha).

Os resultados foram:

Tabela 2 - Comprimento do cabo serial e taxa de falha na transmissão de dados.

Comp. Cabo (m) Taxa de falha Comp. Cabo (m) Taxa de falha

8 2,2 12 9,8

8 2,1 12 8,7

9 3,0 13 12,5

9 2,9 13 13,1

10 4,1 14 19,3

10 4,5 14 17,4

11 6,2 15 28,2

11 5,9

a) Determine o coeficiente de correlação linear de Pearson.

b) Testar a correlação com nível de significância de 5%

c) Estabeleça o modelo de regressão.

d) Determine o coeficiente de determinação e discuta.

e) Diagrama de dispersão

f) Ajustar a reta no diagrama de dispersão.

g) Testar a significância do modelo de regressão

h) Testar a hipótese e construir os intervalos de confiança dos parâmetros

i) Estimar a taxa de falha quando o comprimento do cabo for 20.

j) Estimar o comprimento do cabo, quando a taxa de falha for de 10,0.

k) Qual a variância residual do modelo?

l) realize uma análise de resíduo

#######################################################

#ATIVIDADE 10 A - TESTE QUI-QUADRADO - ADERÊNCIA

########################################################

# Exercício 1 - Pg 275

# Defeitos nos pneus traseiro esquerdo

##############-------------------------

# 1- Hipóteses: H0: Não há discrepância entre as fo e fe

H1: Há discrepância entre as fo e fe

# 2- alfa- 5%

# 3- qui-quadrado tabelado

qtab=qchisq(c(0.05), df=3,lower.tail=F);qtab

17

#-----------------------

# 4- Estatística teste

#-----------------------

X=c(35,32,57,28)

chisq.test(X)

sum(X)

chisq.test(X)$expected

barplot(X, xlab="Frequencias de defeitos no pneu T.E.", ylab="freq")

# 5- Conclusão: Rejeita-se H0

#---------------------

#Gráfico de caixas

#---------------------

pneus = c("DE","DE","DE","DE","DE","DE","DE","DE","DE","DE",

"DE","DE","DE","DE","DE","DE","DE","DE","DE","DE",

"DE","DE","DE","DE","DE","DE","DE","DE","DE","DE",

"DE","DE","DE","DE","DE",

"DD","DD","DD","DD","DD","DD","DD","DD","DD","DD",



"DD","DD",

"TE","TE","TE","TE","TE","TE","TE","TE","TE","TE",





"TE","TE","TE","TE","TE","TE","TE",

"TD","TD","TD","TD","TD","TD","TD","TD","TD","TD",

"TD","TD","TD","TD","TD","TD","TD","TD","TD","TD",

"TD","TD","TD","TD","TD","TD","TD","TD")

t1= table(pneus); t1

barplot(t1, xlab="Posição do Pneu", ylab="freq",

col=c("cyan","cornsilk","purple","violetred1"))

###############---------------------------------

# Exercicio 2 - Pg 285

# Pacotes de dados enviados para 3 laboratórios

###############---------------------------------

# 1- Hipóteses: H0: Não há discrepância entre as fo e fe

H1: Há discrepância entre as fo e fe

# 2- alfa- 1%

# 3- qui-quadrado tabelado

18


# 5- Conclusão: Aceita-se H0

##################-----------------------------------

# Exercício 3 - pg 287 - Tabelas de Contigência

# TESTE QUI-QUADRADO - INDEPENDÊNCIA

##################------------------------------------

# 1- Hipóteses: H0: As variáveis são independentes

H1: As variáveis são dependentes

# 2- alfa- 5%

# 3- Qtab

qtab=qchisq(c(0.05), df=2,lower.tail=F);qtab


Y=matrix(c(500,30,4500,270,1500,50),nc=3);Y

chisq.test(Y)

chisq.test(Y)$expected

# 5- Conclusão- Rejeita-se H0

#----------------------------------------------------------------------------------------------------

# COEFICIENTE DE CONTIGÊNCIA: # MEDE O GRAU DE ASSOCIAÇÃO

#-----------------------------------------------------------------------------------------------------

qcalc = 14.66; qcalc

n = 6850; n

denom = n+qcalc; denom

num = qcalc; num

CC= (num/denom)^0.5; CC

###############------------------------------------------

# Exercício 4 - situação final x cursos de engenharia

###############-----------------------------------------

# 1- Hipóteses: H0:As variáveis são homogêneas

H1: As variáveis não são dependentes

# 2- alfa- 5%

# 3- qui-quadrado tabelado com gl=2 e alfa 5%


# 5- Conclusão: Rejeita-se H0.

19

###############-----------------------------------------

# Exercício 5 - pg 292 - Situação da peças x turnos

###############-----------------------------------------

# 1- Hipóteses

# 2- alfa- 1%

# 3- Qtab; gl = 2 e alfa = 1%

qtab=qchisq(c(0.01), df= 2 , lower.tail=F);qtab

# 4 - Qcalc

M = matrix(c(432,185,45,456,190,48,424,180,39),nc=3);M

chisq.test(M)$expected

chisq.test(M)

# 5 - CONCLUSÃO:

##############----------------------------------------------

# Exercício 6 - pg 293 - Cliente x Situação dos pacotes

#############-----------------------------------------------

# 1- Hipóteses: H0:

H1:

# 2- alfa-

# 3- Qtab; gl = 8 e alfa =2.5%

# 4 - Qcalc

# 5 - CONCLUSÃO:

###################

# ATIVIDADES 10B

###################------------------------------------------------------------------

# Exercício 1 - TESTE DE WILCOXON - 2 AMOSTRAS PAREADAS n<20

# Tempo de falha de 10 componentes após o programa de manutenção

#----------------------------------------------------------------------------------------------

A = c(400,360,450,390,430,386,452,470,400,340)

D = c(395,350,556,480,405,500,547,462,500,480)

n= length(D); n # n= 10 componentes

20

wilcox.test(D,A, paired=TRUE, alternative = "greater",

exact = FALSE, correct = TRUE,conf.level = 0.95)

# S+= 45 (soma dos postos positivos)

###############-----------------------------------------------------------------------------

# Exercício 2 - TESTE DE WILCOXON - 2 AMOSTRAS PAREADAS - n>20

##############-------------------------------------------------------------------------------

# Tempo gasto(segundos) para medir dimensões de peças com

# calibradores eletronicos e mecânicos

#------------------------------------------------------------------------

Ele = c(27,25,22,34,23,22,25,32.3,34,23.5,34.2,31.8,28.4,22,

16,22,29.5,36,35,35,27.5,29,27,24.3,30.1,29.3)

Mec = c(27,30.1,28,34,24.5,28,28,30,36,29,39,30,20,

29,16,20.6,25,33,41,35,28,31.8,28,29.3,30.8,35.6)

n= length(Ele); n #n= 26 operários

wilcox.test(Ele,Mec, paired=TRUE, alternative = "less",

exact = FALSE, correct = TRUE,conf.level = 0.95)

# S+= 62.5 (soma dos postos positivos)

#################

# Exercício 3

#################--------------------------------------------------------

# TESTE DE WILCOXON - 2 AMOSTRAS PAREADAS

# Tempos médios de atendimento (em minutos) no terminal atual e T. novo

#------------------------------------------------------------------------

Atual=c(1.6,3.5,0.8,1.1,7.1,8.4,4.8,5.9,2.4,5.5)

Novo =c(0.5,0.3,5.9,1.6,1.7,2.2,1,1.4,1,2.1)

# resolver

21

##############

# Exercício 4

##############-----------------------------------------------------------------

# TESTE DE WILCOXON - 2 AMOSTRAS PAREADAS

# Valores desperdiçados (gramas) de polímeros que escapa do molde

#-----------------------------------------------------------------------------------

M1=c(0,0.247,0.678,1.577,0.002,0.041,0.593,0,4.078,0.049,1.01,0.066,

0,0.001,0.182,0.073,0.314,0.001,5.890,0.016,0.19,0.366,0.01,0.002,2.566)

M2=c(0.642,0.106,0,0.142,0.001,1.025,0,0.322,0,3.635,24.113,0.338,19.746,

0,19.657,0,8.651,0,1.324,0,8.346,0.007,0,7.858,0)

# resolver

############

# Exercício 5

#############------------------------------------------------------------------------------

# TESTE DE MANN WHITNEY - 2 AMOSTRAS INDEPENDENTES

# Resistência de vergalhões (Kgf) até o rompimento - Vergalhões novo e atual

#----------------------------------------------------------------------------------------------

VN =c(276,380,237,231,127,143,144,234,260,151,165,237,195,198,174)

VA =c(119,696,240,461,298,246,473,327,566,380,293,232,287,199,108)

wilcox.test(VN,VA,paired=F,alternative="two.sided",conf.level = 0.95)

wilcox.test(VA,VN,paired=F,alternative="two.sided",conf.level = 0.95)

##############

# Exercício 6

##############-----------------------------------------------------------


# Tempo de processamento (segundos) de dois servidores S1 e S2

#------------------------------------------------------------------------

# S1: Servidor 1 e S2: Servidor 2

S1 =c(5.83,0.99,6.07,6.53,0.04,4.96,6.86,2.55,2.63,1.97,

3.78,1.40,5.88,3.52,3.42,0.99,1.72,4.05,1.70,6.48,

6.79,2.70,3.05,2.44,3.74,2.66,3.09,2.03,4.65,4.26)

S2 =c(2.27,7.41,3.21,7.76,2.24,1.93,6.07,3.80,2.93,9.04,

6.24,4.73,9.34,4.33,4.63,3.97,4.61,5.02,6.40,4.51,

2.44,4.17,5.01,16.68,2.97,13.45,5.35,1.80,2.97,10.75)

22

boxplot(S1,S2)

# valor crítico Ztab= ??

ztab= qnorm(c( ?? ), mean=0, sd=1, lower.tail=TRUE); ztab

wilcox.test(S1,S2,paired=F,alternative="two.sided",conf.level = 0.95)

##############

# Exercício 7

##############------------------------------------------------------------


# Tempo de degradação da lignina pela ação de 2 espécies de fungos

#------------------------------------------------------------------------

Esp1 = c(6.5,11,16,13.5,13,16.5,28.5,6,7,10,6,7.5,17.5,10.5,

14.5,15,16,4,10.5,27.5,5.5,8.5,37,25,19)

Esp2 = c(51.5,22.5,17.5,16,46.5,32,5.5,14,15.5,38.5,36.5,46,17,13,

19,34.5,20,59.5,14.5,20.5,12,66,29.5,59,19)

boxplot(Esp1, Esp2)

# X: (tempo gasto para degradação de um cubo de madeira)

#1) Ho: Esp1 = Esp2

# Tempo mediano de degradação da espécie 1 é igual ao Tempo mediano

# de degradação da espécie 2

# H1: Esp1 < Esp2

# Tempo mediano de degradação da espécie 1 é menor ao Tempo mediano

# de degradação da espécie 2

#2) valor crítico Ztab= ??

# 3) Estatística teste

# 4) conclusão

23

#################################

# CAPÍTULO 11 - ATIVIDADE 11A -

#################################

#---------------------------------------------------------------------------------------------

# Exercício 1 - dados: X1 e X2 - Pedro Barbetta pg 317

# variáveis x1:retração linear, x2:resitencia mecânica, x3:absorção de água

#---------------------------------------------------------------------------------------------

rm(list=ls())

x1 = c(8.7,11.68,8.3,12,9.5,8.58,10.68,6.32,8.2,13.24,9.1,8.33,11.34,

7.48,12.68,8.76,9.93,6.5)

x2 = c(38.42,46.93,38.05,47.04,50.9,34.1,48.23,27.74,39.2,60.24,40.28,

41.07,41.94,35.53,38.42,45.26,40.7,29.66)

x3=c(5.54,2.83,5.58,1.1,0.64,7.25,1.88,9.92,5.63,0.58,3.64,5.87,3.32,6,0.36,

4.14,5.48,8.98)

#----------------------------------------------------------

# a1 - Gráfico de dispersão - pontos de x1 e x2

#--------------------------------------------------------

par(mai=c(1,1,0.2,0.2))

plot(x2~x1, las=1, bty='l', pch=19, col='blue',

xlab='RL(%)', ylab='Resistencia')

#-------------------------------------------------

# b1 - Cálculo do Coeficiente de Correlação

# e o teste de hipótese da correlação

#-------------------------------------------------

n=18

cor(x1,x2)

cor.test(x1,x2)

#valor tabela t de Student

gl = n-2; gl

ttab = qt(c(0.025, 0.975), df=gl, lower.tail=T); ttab

#--------------------------------------------------------


#--------------------------------------------------------

#-------------------------------------------------



#-------------------------------------------------

24

#-------------------------------------------------


#-------------------------------------------------

#-------------------------------------------------



#-------------------------------------------------

##############------------------------------

# Exercicio 2 - pg 323- Barbetta

##############------------------------------

x = c(39,57,34,40,43,47,52,70,21,28,35,80,64,75,30,32,65,47,28,67)

y = c(65,92,56,70,78,89,75,50,52,73,50,90,82,98,50,58,88,71,52,88)

#-------------------

# a - correlação

#-------------------

cor.test(x,y)

cor.test(x,y,method="pearson",alternative="two.sided")

#--------------------------------

# b- diagrama de dispersão

#--------------------------------

plot(x,y)

# cálculos

sum(x)

sum(y)

sum(x^2)

sum(y^2)

sum(x*y)

length(x)

# r= 0,69

# tcalc= 4,09; gl=18 p=0,00068

#-------------------------------------------------------

# c- Retirando o ponto (Sem Outlier:(70,50))

#-------------------------------------------------------

rm(list=ls())

x=c(39,57,34,40,43,47,52,21,28,35,80,64,75,30,32,65,47,28,67)

y=c(65,92,56,70,78,89,75,52,73,50,90,82,98,50,58,88,71,52,88)

25

length(x)

#------------------------

# nova correlação

#-----------------------

cor(x,y)

plot(x,y)

#----------------------------------

# d- teste da correlação

#----------------------------------

cor. test(x,y)

####################

# EXERCÍCIO 3

####################-------------------------------------------

# Y- Desempenho em milhas percorridas de 32 automóveis em função

# do X- deslocamento do pistão do motor em (polegadas cúbicas)

#--------------------------------------------------------------

rm(list=ls())

Y = c(18.90,17.00,20.00,18.25,20.07,11.20,22.12,21.47,34.70,30.40,

16.50,36.50,21.50,19.70,20.30,17.80,14.39,14.89,17.80,16.41,23.54,21.47,

16.59,31.90,29.40,13.27,23.90,19.73,13.90,13.27,13.77,16.50)

X = c(350,350,250,351,225,440,231,262,89.7,96.9,350,85.3,171,258,140,302,

500,440,350,318,231,360,400,96.9,140,460,133.6,318,351,351,360,350)

cbind(X)

sort(X)

ex2=as.data.frame(cbind(Y,X)); ex2

attach(ex2)

names(ex2)

dim(ex2)

cor(ex2)

#-------------------------------------------------

# Gráfico de dispersão - pontos de X e Y

#-------------------------------------------------

par(mai=c(1,1,0.2,0.2))

plot(Y~X, las=1, bty='l', pch=19, col='blue',

xlab='Deslocamento do motor', ylab='Desempenho em milhas')

#-------------------------------------------------

# Cálculo do Coeficiente de Correlação


#-------------------------------------------------

26

########################

#ATIVIDADE 11 B

########################

#-----------------------------------------------------------------------

# Exercício 1 - ANÁLISE DE REGRESSÃO - pg 328 -

# Porcentagem de Aditivo (X) e Octanagem da gasolina (Y)

#------------------------------------------------------------------------

x = c(1,2,3,4,5,6)

y = c(80.5,81.6,82.1,83.7,83.9,85)

#------------------------------------------

# a- Diagrama de dispersão

#-----------------------------------------

plot(y~x,col='blue',xlab='Aditivo',ylab='Octanagem')

#----------------------------------------------

# b - Correlação e Teste para Correlação

#---------------------------------------------

cor(x,y)

cor.test(x,y)

#cálculos

sum(x)

sum(y)

sum(x^2)

sum(y^2)

sum(x*y)

length(x)

#-------------------------------------------------------------------------------

# c1 - ESTIMAÇÃO DOs PARÂMETROS - tipo I forma matricial

#Alguns cálculos matriciais (%*% - Multiplica matrizes)

#---------------------------------------------------------------------------------

n = length(x); n

X = as.matrix(cbind(1,x)); X #Matriz X

Y = as.matrix(cbind(y)); Y #Matriz Y

XtX = t(X)%*%X ; XtX #(X'X)

XtY = t(X)%*%Y ; XtY # X'Y

YtY = t(Y)%*%Y ; YtY # Y'Y

INV = solve(XtX) ; INV # inversa da matriz(X'X)

(Betas = INV%*%XtY) #Coeficientes Bj

27

#-----------------------------------

# c2 -Modelo de Regressão

#-----------------------------------

model=lm(y~x); model

#----------------------

# e - Estimar Y=?

#----------------------

#----------------------

# f- Estimar X=?

#-----------------------

#-----------------------------------------------------------------

# g- Coeficiente de determinação

#-----------------------------------------------------------------

summary(model)

#-----------------------------------------------------------------

# h - testar a hipótese da significância

#-----------------------------------------------------------------

anova(model)

#-----------------------------------------------------------------

# i - estimativa da variância residual - QMRes

#-----------------------------------------------------------------

anova(model)

#------------------------------------------------------------------------------

# j - Teste de hipótese e Intervalos de confiança dos parâmetros

#------------------------------------------------------------------------------

summary(model2)

confint(model2, conf.level=0.95)

#-----------------------------------------------------------------

# ANÁLISE DE RESÍDUOS

#-----------------------------------------------------------------------

# Tipos de residuos

#-------------------------------------------------------------------------

residuos = model$residuals #Resíduos Brutos

QMRes= 0.088

# Residuo padronizado dividido pelo Raiz do QMRes

respad = residuos / sqrt(QMRes); respad

28

cbind(respad) #Resíduos padronizados

# Restudent= residuos dividido pela Raiz do QMRes*(1-hii)

restudent = rstandard(model); restudent #Residuos estudentizados

#--------------------------------------------------------------------------------------------

# Figura 2.1 -

# ou o gráfico dos Resíduos Padronizados versus variáveis regressoras(X)

# ou o gráfico dos Resíduos Padronizados versus valores estimados

#------------------------------------------------------------------------------------------

par(mai=c(1,1,.2,.2))

plot(respad~x, las=1, pch=19, col='red', ylab='Resíduos Padronizados',

xlab='Concentrações', bty='l')

abline(h=0)

#ou

estimados=model$fitted.values; estimados

names(model)

par(mai=c(1,1,.2,.2))

plot(respad~estimados, las=1, pch=19, col='red', ylab='Resíduos Padronizados',

xlab='Valores Estimados',bty='l')

abline(h=0)

#-------------------------------------

# Figura 2.2 -

# Box plot dos resíduos padronizados

#-------------------------------------

par(mai=c(1,1,.2,.2))

boxplot(respad, horizontal=T, col='LightYellow', xlab='Resíduos Padronizados')

boxplot(respad, horizontal=F, col='LightYellow', xlab='Resíduos Padronizados')

#-----------------------------------------------------------------

# Figura 2.3 - Não Normalidade dos Erros

# Gráficos dos Resíduos Esperados com os Resíduos Ordenados

#-----------------------------------------------------------------

qqnorm(x)

qqline(x)

shapiro.test(residuos)

#-----------------------------------------------------------------

# Figura 2.4 - Resumindo todos gráficos

#-----------------------------------------------------------------

par(mfrow=c(2,2))

plot(model, which=c(1:4), pch=16, add.smooth=FALSE)

29

#################----------------------------------------------

# Exercício 2 - ANÁLISE DE REGRESSÃO - pg 345

#################-----------------------------------------------

rm(list=ls())

CA = c(8,8,9,9,10,10,11,11,12,12,13,13,14,14,15)

TF = c(2.2,2.1,3,2.9,4.1,4.5,6.2,5.9,9.8,8.7,12.5,13.1,19.3,17.4,28.2)

#--------------------------------------

# a; b - correlação e teste

#------------------------------------

#---------------------------------

# c- Modelo de regressão

#--------------------------------

#ou

#--------------------------------------------------------------------------------

# ESTIMAÇÃO DOA PARÂMETROS - tipo I forma matricial

#Alguns cálculos matriciais (%*% - Multiplica matrizes)

#------------------------------------------------------------------------------

#------------------------------------------------

# d- Coeficiente de determinação

#----------------------------------------------

#------------------------------------

# e- diagrama de dispersão

#-----------------------------------

#-------------------------

# g - Anova

#-------------------------

#-----------------------------

# h1 - Teste de hipóteses

#-----------------------------

30

#-----------------------------------

# h2 - Intervalos de confiança

#-----------------------------------

#-------------------

# i - Estimar Y=?

#-------------------

#-------------------

# j- Estimar X=?

#--------------------

#-------------------

# k- QMRes

#--------------------

#-----------------------------------------------------------------

# l - ANÁLISE DE RESÍDUOS

#-----------------------------------------------------------------

#-----------------------------------------------------------------------

# Tipos de residuos

#-------------------------------------------------------------------------

#-----------------------------------------------------------------------

# Figura 2.1 -

# ou o gráfico dos Resíduos Padronizados versus variáveis regressoras(X)

# ou o gráfico dos Resíduos Padronizados versus valores estimados

#-------------------------------------------------------------------------

#-------------------------------------

# Figura 2.2 -

# Box plot dos resíduos padronizados

#-------------------------------------

31

#-----------------------------------------------------------------

# Figura 2.3 - Não Normalidade dos Erros

# Gráficos dos Resíduos Esperados com os Resíduos Ordenados

#-----------------------------------------------------------------

#-----------------------------------------------------------------

# Figura 2.4 - Resumindo todos gráficos

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######################### FIM DO CURSO ##########################

Capítulo 10 – Testes Não paramétricos – pg 273 · condições de peso (dentro ou fora das...

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