CAPÍTULO 18 CAPÍTULO 18

MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE MÚLTIPLOS GRAUS DE LIBERDADE

18.1 PARÂMETROS CONCENTRADOS

18.1.1 SISTEMAS COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE

Aplicativo (1):Aplicativo (1):

Figura 1

Diagrama de corpo livreDiagrama de corpo livre

Figura 2

Aplicando a segunda lei de Newton

txmxxcxxkxcxktf

txmxxcxcxxkxktf

xmF

221221223232

121211212111

tftxctxktxcctxkktxm

tftxctxktxcctxkktxm

212122322322

122221211211

ou

Matricialmente: em forma compacta

fxccc

cccx

kkk

kkkx

m

m

322

221

322

221

2

1

0

0

Aplicativo (2):Aplicativo (2):

Figura 3

DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

Figura 4

EQUILÍBRIO DE FORÇAS segunda lei de Newton

txmlxclxklxclxktf 22221111

EQUILÍBRIO DE MOMENTOS segunda lei de Newton

tIllxcllxktMllxcllxk d 222222111111

Em relação a “G”

Matricialemente:

tfqlklklklk

lklkkkq

lclclclc

lclcccq

I

m

d

211

2221122

112221

211

2221122

112221

0

0

tM

tftf

t

txq

COEFICIENTE DE INFLUÊNCIACOEFICIENTE DE INFLUÊNCIA

RIGIDEZ: O esforço provocado pela rigidez é dado como vimos em um sistema de múltiplos graus de liberdade por:

n

jjiji qkQ

1

supondo que qs=1 e qj s =0 (a)

(igualdade numérica) (b)isi kQ Este procedimento permite determinar a matriz [k].

COEFICIENTES DE AMORTECIMENTO VISCOSO

COEFICIENTE DE INÉRCIA

Desprezando os efeitos de rigidez e amortecimento

Exemplo 1:

 Aplicar os coeficiente de influencia no exemplo (2) do carro

112221212211

21111121

00

00

lklkkklklkM

kkkkkkF

A

vertica

12 1 1 2 2

12 2 2 1 1

1 1 1 2 2 2 22

2 222 1 1 1 2

0 .1 .1 0

0 0

vertica

A

F k k l k l

k k l k l

M k l l k l l k

k k l k l

2

112221122

112221

lklklklk

lklkkkk

AMORTECIMENTO VISCOSOAMORTECIMENTO VISCOSO

INÉRCIAINÉRCIA::

mmqmmFv 11111 0

00 2121 mmM A

00 1212 mmFv

GGGA ImImqImM 2222222 00

Exemplo 2:

02

123

212

11

221

311

IE

lk

IE

lk

IE

lk

IE

lk

221

311

6

12

l

IEk

l

IEk

023

12

222

312

222

12

IE

lk

IE

lk

IE

lk

IE

lk12 2

22

6

4

E Ik

lE I

kl

lIE

lEI

lEI

lEI

k 46

612

2

23

INÉRCIAINÉRCIA

INÉRCIAINÉRCIA

EQUAÇÃO DINÂMICA:EQUAÇÃO DINÂMICA:

 

tm

tf

q

q

lIE

lEI

lEI

lEI

q

q

meIme

mem

G 2

1

2

23

2

12 46

612

COEFICIENTE DE INFLUENCIA DE RIGIDEZCOEFICIENTE DE INFLUENCIA DE RIGIDEZ

Para sistemas mecânicos, o calculo da matriz de rigidez, através dos coeficientes de influencia de rigidez, requer da aplicação dos princípios de estabilidade e resolução do sistema de equações formado. Isto leva a uma solução com um custo computacional muitas vezes excessivo.Pode-se calcular K, por outro lado, através da sua inversa A=K-1, matriz de flexibilidade Se F = K q, pré multiplicando pela matriz A=K-1 a ambos lados da equação anterior

ou

A F A K q qFA

ou

Sendo qj as componentes de q e fj de F

1 1

n n

j ji i ji ii i

q f a f

Como determinar a matriz de rigidez do seguinte sistema?

de tabelas, com (x) igual à função degrau,

81

4

2363

2

6

11

162

5

232

36

1

3

2

36

11

3

2

81

1

23

3631

3

266

11

3233

31

32

33

21

323

11

233

EI

LLLLL

EILx

IE

LLLLL

IELx

L

IE

LLL

IE

Lx

xa

xaxax

IExy

81

141

23

2

336

11

81

81

23

2

3

2

63

21

3

2

162

51

23

3

2

631

3

3233

32

3

23

22

3

23

12

LIE

LLLL

IELx

LIE

LLL

IE

Lx

LIE

LLL

IE

Lx

3

11

26

1

81

141

23

2

63

21

3

2

81

41

23

631

3

323

33

3

23

23

3

23

13

LIE

LL

L

IELx

LIE

LL

L

IE

Lx

LIE

LL

L

IE

Lx

fqAqM 1

Assim,

31

8114

814

8114

818

1625

814

1625

811

3

EI

LA 1K A