N Graus de Liberdade

porChedasSampaioJaneiro2014

NGrausdeLiberdade

NGrausdeLiberdade

ESTRUTURADAAPRESENTAO

Introduo

Frequnciasnaturaisemodos

Coordenadas

Vibraolivre

Vibraoforada

NGrausdeLiberdade

INTRODUO

NGrausdeLiberdade

O nmero de graus de liberdade de um sistema determinado pelo nmero de partes mveis e pelo nmerode direces que cada parte pode moverse.

Mais de 1 gdl significa mais de uma frequncia natural, o quefaz aumentar a probabilidade de ocorrncia da ressonncia.

Tambm significa mais direces (modos) de vibraosegundo as quais o sistema susceptvel de ser excitado.

Introduo

NGrausdeLiberdade

O conhecimento destas frequncias naturais ecorrespondentes modos de vibrao permitirnos decidircomo alterar o sistema para obter o comportamentodesejado.

Introduo

NGrausdeLiberdade

ento necessrio discretizar o sistema em N graus deliberdade:

)()()()( tftxKtxCtxM

1m 2m

Nm2k

1k3k

Nk

2c1c

3cNc

3m

Introduo

NGrausdeLiberdade

Introduo

A equao de equilbrio dinmico de um sistema de N GDLcom amortecimento viscoso :


aplicadas foras de vector -

sacelerae vector -

locidades vector ve-

tosdeslocamen vector -

rigidez matriz -

viscosontoamortecime matriz -

massa matriz -

onde

(t)f

(t)x

(t)x

(t)xKCM

NGrausdeLiberdade

Introduo

A matriz de rigidez inclui as propriedades de cada elementoestrutural, incluindo as dimenses, o 2 momento de rea eas constantes elsticas. Esta matriz permite definir as forasde restituio elstica em cada grau de liberdade e determinada a partir da formulao da energia dedeformao:

XKXU T

2

1

aconsiderad frequncia todeslocamen de amplitudes de vector - X

NGrausdeLiberdade

XMXT T

2

1

Introduo

A matriz de massas inclui a propriedade massa especfica paraalm das dimenses da seco. Esta matriz permite definir asforas de inrcia que actuam em cada grau de liberdade. determinada a partir da formulao da energia cintica:

aconsiderad frequncia e velocidadde amplitudes de vector - X

NGrausdeLiberdade

Introduo

A matriz de amortecimento permite definir as forasdissipadoras que actuam em cada grau de liberdade. Comono existe nenhum mtodo que defina rigorosamente oamortecimento de cada elemento estrutural, esta muitasvezes assumida, mais por razes de anlise terica, comoproporcional matriz de rigidez e/ou matriz de massa.

NGrausdeLiberdade

Introduo

Estas trs matrizes constituem omodelo espacial.

As suas dimenses so NxN e so simtricas. Os vectores dedeslocamentos, de velocidades, de aceleraes e de forasso invariveis no tempo e contm os termos respectivos detranslao segundo as direces ux, uy e uz e de rotaosegundo x, y e z.

NGrausdeLiberdade

EXEMPLO 1: o modelo da vibrao transversal de um edifciode dois andares (desprezando o amortecimento)


Introduo

NGrausdeLiberdade


Introduo

NGrausdeLiberdade

1m

2m tx2

tx1 2k

1k

12222

1221111

NewtondeLei 2 a Aplicando

xxkxmxxkxkxm

ou

0

0

221222

2212111

xkxkxmxkxkkxm



Introduo

NGrausdeLiberdade

1m

2m tx2

tx1 2k

1k

finalmente

0

0

0

0

2

1

22

221

2

1

2

1

xx

kkkkk

xx

mm


0

0

221222

2212111

xkxkxmxkxkkxm

EXEMPLO 2: o modelo da vibrao vertical de um automvel(desprezando o amortecimento)

Introduo

NGrausdeLiberdade

Introduo

NGrausdeLiberdade


Um automvel tem muitos graus deliberdade. Mas se s estivermos interessadosna comodidade dos passageiros e nos efeitosque a vibrao vertical translacional erotacional tem na mesma, podemossimplificar e considerar esses dois graus deliberdade, x e , no movimento da carroaria.

Introduo

NGrausdeLiberdade


Os amortecedores do automvel fornecem rigidez e amortecimento. Ospneus tambm mas, uma vez que as frequncias a que estes vibram nocontacto com as rugosidades da estrada so muito superiores sfrequncias naturais da carroaria, podemos desprezlos.


Introduo

NGrausdeLiberdade

0

0ou

222

2112211

221121

222111

2211

LkLkxLkLkJ

LkLkxkkxm

LLxkLLxkJLxkLxkxm

Do diagrama de corpo livre e da 2 Lei de Newton obtemse:


Introduo

NGrausdeLiberdade

0

0

0

02

222

112211

221121

x

LkLkLkLkLkLkkkx

Jm

ou

FREQUNCIASNATURAISEMODOS

NGrausdeLiberdade

NGrausdeLiberdade

Vejamos agora o sistema de 2 gdl, no amortecido e livre, ecalculemos a sua resposta x(t):

0

0

2

1

2221

1211

2

1

2221

1211

txtx

kkkk

txtx

mmmm

cuja soluo conhecida como sendo:

tj

tj

eXeX

txtx

2

1

2

1


NGrausdeLiberdade

Derivando duas vezes:

tj

tj

eXeX

txtx

22

12

2

1

E substituindo na equao matricial:

0

0

2

1

2221

1211

2

1

2221

12112

tj

tj

tj

tj

eXeX

kkkk

eXeX

mmmm


NGrausdeLiberdade

Pondo em evidncia o vector deslocamento:

E como nunca zero, a igualdade verificase se:

0

0

2

1

2221

1211

2221

12112 tjeXX

kkkk

mmmm

tje

0

0

2

1

2221

1211

2221

12112

XX

kkkk

mmmm

Da soluo do sistema s ser possvel obter a direco dovector X e no a sua amplitude, uma vez que X tambm soluo qualquer que seja a constante . Assim, a soluoser um vector de amplitude arbitrria.


NGrausdeLiberdade

Para que o vector X, que representa os deslocamentosmximos de cada uma das massas, seja diferente de zero(soluo trivial), pois a soluo em que h vibrao, a matrizquadrada no pode ter inversa.Para uma matriz no ter inversa necessrio que o seudeterminante seja nulo, logo:

0det2221

1211

2221

12112

kkkk

mmmm

KM 2


NGrausdeLiberdade

Resolvendo o determinante, obtemse uma equaopolinomial de grau 4 em ou de grau 2 em 2:

cuja soluo :

2112221122111221211222112211222114 kkkkkmmkmkmkmmmm

211222112112221121122211

22211122121122211

21122211

221112212112221122

21

2

4

2,

mmmmkkkkmmmmkmmkmkmk

mmmmkmmkmkmk


NGrausdeLiberdade

Logo:

0det2221

1211

2221

12112

kkkk

mmmm

0)1(21 XMK 0)2(22 XMK

Ou seja, obtemos duas frequncia naturais (e quatrosolues):

21 e Temos ento quatro solues que satisfazem a equao:


NGrausdeLiberdade

Substituindo:

0)1(

22222

121212

1

12122

111112

1

Xkmkmkmkm

0)2(

22222

221212

2

12122

211112

2

Xkmkmkmkm

que nos permitir obter o vector X para cada frequncianatural.


NGrausdeLiberdade

Como a equao linear, aplicando o princpio dasobreposio, a soluo geral igual soma das quatrosolues obtidas:

tjtjtjtj eXdeXceXbeXatx 2211 2211


Onde a, b, c e d so constantes de integrao a determinarcom as condies iniciais. Aplicando a frmula de Euler temse:

tXjdtXdtXjctXc

tXjbtXbtXjatXatx

22

22

22

22

11

11

11

11

sincossincos

sincossincos

ou

tdcjXtdcXtbajXtbaXtx

22

22

11

11

sin

cossincos

NGrausdeLiberdade

obtemse:

22221111 sinsin tAXtAXtx


Sabendo que sincoscossinsin e considerando que

NGrausdeLiberdade

As constantes A1 e A2 e os ngulos 1 e 2 calculamseentrando com as condies iniciais, deslocamentos evelocidades das massas 1 e 2 no instante 0:

222

2

21

1112

11

20

10

2

1 sinsin0

0 AX

XA

X

Xxx

xx

2222

2

21

11112

11

20

10

2

1 coscos0

0 AX

XA

X

Xxx

xx


NGrausdeLiberdade

22221111 sinsin tAXtAXtx A equao acima permite concluir que cada massa vibra sfrequncias e .

Estas frequncias so designadas de frequncias naturais.Tambm possvel concluir que, com as condies iniciaisadequadas, as massas podero vibrar s frequncia (casode A2 =0) ou s frequncia (caso de A1 =0). No primeirocaso, a posio relativa das massas dada pelo vector X(1) e,no segundo caso, pelo vector X(2). Ao primeiro habitualdesignarse de primeiro modo de vibrao e ao segundo desegundo modo de vibrao.

1 2

12


NGrausdeLiberdade

EXEMPLO 3:


11xk

122 xxk 1m

2m

tx1 2k

1k

tx2 2m

1m

11, xx

22 , xx

Calcular as frequncias naturais, os modos de vibrao e aresposta livre de um sistema fsico aproximado por ummodelo de dois graus de liberdade com as seguintespropriedades:

kgm 91 kgm 12 mNk /241 mNk /32

NGrausdeLiberdade

EXEMPLO 3:


As equaes so dadas por

0

0

221222

2212111

xkxkxmxkxkkxm

0

0

0

0

2

1

22

221

2

1

2

1

txtx

kkkkk

txtx

mm

ou

NGrausdeLiberdade

EXEMPLO 3:


As frequncias naturais obtmse da resoluo dodeterminante:

ou0

0

0det

22

221

2

12

kkkkk

mm

21

21212

2112

21

211222

21 2

4

2,

mmkkmmkmkm

mmkmkm

NGrausdeLiberdade

EXEMPLO 3:


Logo:

Os modos obtmse das equaes:

221 422

0

01

2

11

222

12

22112

1

X

Xkmk

kkkm

0

02

2

21

222

22

22112

2

X

Xkmk

kkkm

NGrausdeLiberdade

EXEMPLO 3:


Substituindo na primeira equao (primeiro modo):

Como as equaes do sistema anterior no so linearmenteindependentes s conseguimos obter a relao dedeslocamentos ou seja:

0

0

13

391

2

11

X

X

03

0391

21

1

12

11

XX

XXou

3

11

2

11 XX

NGrausdeLiberdade

EXEMPLO 3:


Substituindo na segunda equao (segundo modo):

Obtendose:

ou

0

0

13

392

2

21

X

X

03

0392

22

1

22

21

XX

XX

3

12

2

21 XX

NGrausdeLiberdade

EXEMPLO 3:


Se normalizarmos unidade os deslocamentos da massa 1obtemos

matriz

3

11

2

11

X

X 3

12

2

21

X

X

33

112

21

2

21

11

XXXX

chamamos matriz modal.

NGrausdeLiberdade

EXEMPLO 3:


Graficamente:

1m

2m

1m

2m

NGrausdeLiberdade

Calculemos a resposta livre para as seguintes condiesiniciais:

110 x 020 x 010 x 020 x

2222

21111

2

2222

11111

1

2

1

sinsin

sinsin

tAXtAX

tAXtAXtxtx

txVimos que dada por:

E que:

33

112

21

2

21

11

XXXX 221 422

EXEMPLO 3:


NGrausdeLiberdade

Logo:

2211

2211

2

1

2sin32sin3

2sin2sin

tAtA

tAtAtxtx

tx

Que para resolver necessitamos das condies iniciais:

0

1

sin3sin3

sinsin

0

00

2211

2211

2

1

AAAA

xx

x

0

0

cos6cos23

cos2cos2

0

00

2211

2211

2

1

AA

AAxx

x

EXEMPLO 3:


NGrausdeLiberdade

De que resulta no seguinte sistema de equaes, dondepretendemos calcular os A e os :

Se neste caso relativamente fcil resolver o sistema deequaes nolineares, para sistemas de gdl superior a 2 jno verdade.

0cos6cos23

0cos2cos2

0sin3sin3

1sinsin

2211

2211

2211

2211

AA

AA

AAAA

EXEMPLO 3:


NGrausdeLiberdade

Multiplicando a 3 equao por 3e somando a 4:

Donde se conclui que:

0cos6cos23

0cos2cos2

0sin3sin3

1sinsin

2211

2211

2211

2211

AA

AA

AAAA

0cos26 11 A

21

Substituindo este valor na 4 equao: 0cos6

2cos23 221

AA

Concluise que:

22

EXEMPLO 3:


NGrausdeLiberdade

Substituindo os valores obtidos na1 e 2 equaes obtemse:

02

sin32

sin3

12

sin2

sin

21

21

AA

AA

Finalmente:

0cos6cos23

0cos2cos2

0sin3sin3

1sinsin

2211

2211

2211

2211

AA

AA

AAAA

2

12

1

2

1

A

A

EXEMPLO 3:


NGrausdeLiberdade

Substituindo na soluo j obtida:

22sin

2

3

22sin

2

3

22sin

2

1

22sin

2

1

2

1

tt

tt

txtx

tx

EXEMPLO 3:


NGrausdeLiberdade

Soluo x(t)

(MathCad RespostaLivre2gdl.xmcd)

EXEMPLO 3:


NGrausdeLiberdade

1modo 2modo(MathCad RespostaLivre2gdl.xmcd)

EXEMPLO 3:


NGrausdeLiberdade

AnimaoeresoluoemSolidWorks

EXEMPLO 3:


NGrausdeLiberdade

Calculemosagoranumericamenteasoluox(t).Relembremosaequaodiferencial:

0)()( txKtxM

Podemos reescrevla como:

)()( 1 txKMtx

Faamos a seguinte mudana de variveis (representao emEspaoEstado):

)()(

)()(

2

1

txtu

txtu

EXEMPLO 3:


NGrausdeLiberdade

Substituindo na equao diferencial obtmse o sistema:

ou

tuKMtu

tutu

11

2

21

tutu

KMtu

tu

2

1

1

2

1

0

10

que est na forma de:))(,()( tutftu

EXEMPLO 3:


NGrausdeLiberdade

E agora aplicar um mtodo numrico de soluo deequaes diferenciais, como o Euler, Runge, RungeKutta,etc Apliquemos o RungeKutta de 4 ordem usando oMathCad (RespostaLivre2gdl.xmcd):

Que como podemos observar reproduz muito bem assolues analticas (exactas).

EXEMPLO 3:


NGrausdeLiberdade

O Mtodo de Holzer um mtodo iterativo que permitecalcular as frequncias naturais e os modos de vibrao deum sistema de N GDL semidefinido. Um sistema semidefinido um sistema sem condies de fronteira (livre).

So exemplos: um comboio, um avio em voo, o veio de umnavio.

MtododeHolzerFrequnciasnaturaisemodos

NGrausdeLiberdade

Consideremos o seguinte sistema de 3 gdl semidefinido:MtododeHolzer


Aplicando a 2 Lei de Newton:

322233

3222211122

211111

xkxkxmxkxkxkxkxm

xkxkxm

NGrausdeLiberdade



Sabendo que a soluo do tipo:

e substituindo nas equaes anteriores

a segunda derivada

tjtjtj

tjtjtjtjtj

tjtjtj

eXkeXkeXmeXkeXkeXkeXkeXm

eXkeXkeXm

322232

3

3222211122

2

211112

1

tjXetx tjXetx 2

NGrausdeLiberdade



ou (como nunca 0)

somando todas as equaes32223

23

3222211122

2

211112

1

XkXkXmXkXkXkXkXm

XkXkXm

03

1

2i

iiXm

tje

NGrausdeLiberdade

Podemos generalizar este resultado a N GDL:MtododeHolzer


Na prtica este mtodo um mtodo tabular que procura asfrequncias (frequncias naturais) e os deslocamentos Xi(modos de vibrao) que anulam a funo.

A metodologia estimar uma frequncia , calcular osdiversos Xi comeando por fixar o deslocamento X1 em 1 eterminar calculando o somatrio. Depois estimase outrafrequncia e repetese o procedimento at o somatriomudar de sinal.

01

2i

N

iiXm

NGrausdeLiberdade

Podemos generalizar este resultado a N GDL:MtododeHolzer


Mudando de sinal sabemos que estamos perto da frequncianatural. Nesta altura estimase uma frequncia entre as duasanteriores.

O procedimento repetese at obtermos uma estimativasatisfatria de cada uma das frequncias naturais. Nessaaltura os Xi calculados representam o modo respectivo.

01

2i

N

iiXm

COORDENADAS

NGrausdeLiberdade

CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoOs sistemas de equaes dos exemplos anteriores consistemem duas equaes diferenciais ordinrias de segunda ordemacopladas. Dizemse acopladas porque cada equao envolvemais de uma coordenada independente.

Fisicamente o acoplamento significa que o movimento deuma massa afecta o movimento da outra, e vice versa.

NGrausdeLiberdade

0

0

221222

2212111

xkxkxmxkxkkxm

0

0

222

2112211

221121

LkLkxLkLkJ

LkLkxkkxm

Coordenadas

CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoQuando as equaes de um sistema so acopladas nenhumadelas pode ser resolvida independentemente da outra e, porisso, tm de ser resolvidas simultaneamente.

Dizse que um acoplamento esttico quando ascoordenadas envolvidas so deslocamentos. O acoplamentodizse amortecido ou de velocidade quando as coordenadasenvolvidas so velocidades e dizse de massa ou de inrciaquando as coordenadas envolvidas so aceleraes. Quandoo acoplamento envolve tanto velocidades como aceleraesdizse dinmico.

NGrausdeLiberdade

Coordenadas

CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoA forma geral das equaes do movimento de um sistema de2 graus de liberdade sem amortecimento e livre :

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

0

0

2

1

2221

1211

2

1

2221

1211

xx

kkkk

xx

mmmm

Seguidamente iremos demonstrar que um sistema vibratriopode ser descrito por mais de um conjunto independente decoordenadas espaciais, a que chamamos coordenadasgeneralizadas.

Da escolha dessas coordenadas depender o tipo deacoplamento.

CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoA forma geral das equaes do movimento de um sistema de2 graus de liberdade sem amortecimento e livre :

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

0

0

2

1

2221

1211

2

1

2221

1211

xx

kkkk

xx

mmmm

Tambm demonstraremos que possvel obter um conjuntode coordenadas sem acoplamento, a que chamaremoscoordenadas principais.

CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoConsideremos os 3 conjuntos possveis de coordenadas:

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

sabendo que em (b) x2 e foram escolhidos de tal forma que:

4231 LkLk


Coordenadas

NGrausdeLiberdade

Vejamos em primeiro lugar as coordenadas x1 e :

221211111

2121111

LLxkLLxkJLxkLxkxm


Coordenadas

NGrausdeLiberdade

ou:

0

0

0

0 12

222

112211

2211211

1 x

LkLkLkLkLkLkkkx

Jm


Coordenadas

NGrausdeLiberdade

ou:

0

0

0

0 12

222

112211

2211211

1 x

LkLkLkLkLkLkkkx

Jm

Nestecasooacoplamentoocorresnamatrizderigidez(esttico)


Coordenadas

NGrausdeLiberdade

Analisemos agora as coordenadas x2 e . Uma fora estticaaplicada em 2 faz deslocar a barra em translao sem rodar.Esta observao faznos antecipar que no existiracoplamento esttico.


Coordenadas

NGrausdeLiberdade

Por outro lado, durante a vibrao, a fora de inrciaem cg criar um momento em 2 que tender a rodar abarra na direco .

2xm exm 2


Coordenadas

NGrausdeLiberdade

Ora a rotao em torno de 2 gera um deslocamentoem cg e, portanto, uma fora na direco de x2 .

eme


Coordenadas

NGrausdeLiberdade

E assim:

2442233212

4223212 xmeLLxkLLxkJ

meLxkLxkxm


Coordenadas

NGrausdeLiberdade

ou:

0

0

0

0 22

422

31

212

2 x

LkLkkkx

Jmemem

Nestecasooacoplamentoocorresnamatrizdemassa(inrcia)


Coordenadas

NGrausdeLiberdade

Finalmente analisemos as coordenadas x3 e :

31323

132313

0

xmLLLxkJ

mLLxkxkxm


Coordenadas

NGrausdeLiberdade

ou: Nestecasooacoplamentoocorreemambasasmatrizes(esttico+inrcia)

0

0 32

22

2213

31

1

x

LkLkLkkkx

JmLmLm

CoordenadasgeneralizadaseacoplamentoPodemos ento concluir que:

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

1. A escolha das coordenadas uma mera convenincia2. O sistema vibrar s suas frequncias naturais e

respectivos modos de vibrao independentementedas coordenadas escolhidas

3. O acoplamento das equaes no uma propriedadeintrseca do sistema tal como o so as frequnciasnaturais

CoordenadasprincipaisOs exemplos anteriores mostram que talvez seja possvelescolher um conjunto de coordenadas que resulte numsistema desacoplado. A vantagem seria que a soluo poderiaser facilmente obtida resolvendo cada equaoindependentemente.

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

CoordenadasprincipaisSuponhamos que temos um sistema desacoplado e, portanto,descrito por coordenadas principais p:

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

cujo sistema de equaes :

0

0

0

0

0

0

2

1

2

1

2

1

2

1

pp

kk

pp

mm

0

0

2222

1111

pkpmpkpm

CoordenadasprincipaisRecordando os sistemas de 1 gdl, a soluo de cada equaodo sistema:

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

:

0

0

2222

1111

pkpmpkpm

2222

1111

tsenPtptsenPtp

onde:

2

222

1

121 e m

kmk

CoordenadasprincipaisOu seja:

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

Recordemos a soluo de um sistema com coordenadasgeneralizadas:

222

111

2

1

tsenPtsenP

tptp

tp

ou 22221111 sinsin tAXtAXtx

2222

21111

2

2222

11111

1

2

1

sinsin

sinsin

tAXtAX

tAXtAXtxtx

tx

CoordenadasprincipaisNote que se fizermos:

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

22

11

PAPA

Podemos obter a transformao de coordenadas:

22

11

tptp

XXXX

tPtP

XXXX

tPXtPX

tPXtPXtxtx

tx

2

1

22

12

21

11

222

111

22

12

21

11

2222

21111

2

2222

11111

1

2

1

sin

sin

sinsin

sinsin

CoordenadasprincipaisE de:

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

tptp

XXXX

txtx

2

1

22

12

21

11

2

1

Finalmente:

txtx

XXXX

tptp

2

1

1

22

12

21

11

2

1

Concluise que as coordenadas principais so o produto dainversa da matriz modal pelo vector das coordenadasgeneralizadas.

CoordenadasprincipaisEXEMPLO 4:

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

Vejamos como se resolve o exemplo 3 pelas coordenadasprincipais. Sabemos que a soluo em coordenadas principais:

Lembrando os sistemas de 1 gdl livre no amortecidos:

222

111

2

1

sin

sin

tPtP

tptp

tp

20

2202

2

2

20220

10

1101

2

1

10210

2

1

atansin

atansin

pptpp

pptpp

tptp

tp

0

0

222222

111111

pkpmpkpm


Coordenadas

NGrausdeLiberdade

Como vimos anteriormente:

logo:

txtx

XXXX

tptp

2

1

1

22

12

21

11

2

1

5.0

5.0

0

1

33

11

0

0

33

11

0

01

2

1

1

2

1

xx

pp

0

0

0

0

33

11

0

0

33

11

0

01

2

1

1

2

1

xx

pp


Coordenadas

NGrausdeLiberdade

Substituindo:

ou

0

25.0tan2sin

2

05.0

0

25.0tan2sin

2

05.0

12

2

1

2

2

2

1

t

t

tptp

tp

22sin5.0

22sin5.0

2

1

t

t

tptp

tp


Coordenadas

NGrausdeLiberdade

Mas como:

temos

22sin5.0

22sin5.0

33

11

2

1

t

t

txtx

tx

tptp

XXXX

txtx

2

1

22

12

21

11

2

1


Coordenadas

NGrausdeLiberdade

Finalmente:

ou

22sin5.0

22sin5.0

33

11

2

1

t

t

txtx

tx

22sin

2

3

22sin

2

3

22sin

2

1

22sin

2

1

2

1

tt

tt

txtx

tx

SimetriaNos exemplos anteriores as matrizes massa e rigidez sosimtricas. Ser que sero sempre simtricas?

Veremos que no. Na verdade a simetria assegurada se asdeflexes so medidas a partir de uma posio fixa no espao.

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

SimetriaConsideremos o seguinte sistema de 2 gdl:

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

SimetriaCuja equao matricial :

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

tFtF

xx

kkkkkk

xx

cccccc

xx

mm

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

0

0

No caso de ser no amortecido e livre:

0

0

0

0

2

1

2

1

2

1

2

1

xx

kkkkkk

xx

mm

SimetriaSuponhamos que vamos escolher as coordenadas q tais que:

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

122

11

xxqxq

cuja relao pode traduzirse por:

2

1

2

1

11

01

xx

qq

ou:

2

1

2

1

11

01

qq

xx

SimetriaSubstituindo na equao matricial:

Coordenadas

NGrausdeLiberdade

obtemse o mesmo sistema mas descrito pelas coordenadasq:

que, como podemos ver, no possui matrizes massa e rigidezsimtricas.

0

0

0

0

2

1

2

1

2

1

2

1

xx

kkkkkk

xx

mm

0

00

2

1

22

1

2

1

22

1

qq

kkkkk

qq

mmm

VIBRAOLIVRE

NGrausdeLiberdade

Vibraolivre

A soluo da equao homognea representa a vibrao daestrutura quando perturbada da sua situao de equilbrio edeixada a vibrar sem solicitaes externas (vibrao livre):

0)()()(

txKtxCtxM

NGrausdeLiberdade

Vibraolivre.SemamortecimentoVibraolivre

Consideremos a equao com amortecimento nulo:

0)()( txKtxM

NGrausdeLiberdade

0)()( txKtxM

A soluo deste tipo de equao (diferencial, 2 ordem,homognea) bem conhecida:

tjeXtx )(

sendo as suas derivadas:tjeXjtx )( tjeXtx 2)(


Substituindo na equao:

02 tjtj eXKeXM

NGrausdeLiberdade

0)()( txKtxM

e pondo em evidncia a exponencial:

02 tjeXMK como: 0tje para qualquer instante ttemos que: 02 XMK conhecido como um problema generalizado de valores evectores prprios.


Desta equao:

NGrausdeLiberdade

0)()( txKtxM

evidente que a existir

A equao para ter uma soluo diferente da trivialno pode admitir a existncia da inversa:o mesmo dizer: 0det 2 MK que uma equao algbrica, conhecida como equaocaracterstica do sistema, e que tem N solues reaispossveis conhecidas como frequnciasnaturais.

02 XMK Xtambm ser soluo comX

zero de diferente constante0 X 12 MK

222

21 ,...,, N


Substituindo cada uma destas frequncias naturais naequao

NGrausdeLiberdade

0)()( txKtxM

e resolvendo o sistema de N equaes obtmse N possveisvectoresconhecidos por modos ou vectores prprios.

)..1( )( NrX r 02 XMK

Da soluo deste sistema de equaes s ser possvel obtera direco dos vectores X e no a sua amplitude uma vez queX tambm soluo qualquer que seja a constante . Assim,a soluo sero vectores X de amplitude arbitrria.


A soluo completa da vibrao livre muitas vezes expressaem duas matrizes NxN (Modelo Modal):

NGrausdeLiberdade

0)()( txKtxM

2

22

21

00

0...0

0...0

N

)()2()1( ,...,, N

Matriz espectral

Matriz modal

Notese que esta matriz no nica uma vez que tambm soluo.


0)()( txKtxM

NGrausdeLiberdade

00

00

00

rT mM

00

00

00

rT kK

A matriz constituda pelos vectores prprios coluna uma matriz ortogonal, ou seja: )( 0)()( srsTr Se pr e ps multiplicarmos as matrizes massa e rigidez:

Obtmse duas matrizes diagonais conhecidas por matrizmassa modal e matriz rigidez modal, respectivamente. Notese que estas matrizes variam os seus valores com a matrizmodal.


0)()( txKtxM

NGrausdeLiberdade

No entanto, qualquer que seja a matriz modal , verificase aigualdade:

2r

r

r

mk

Como no h soluo nica para a matriz modal, uma vez quecada modo que se obtem constitudo por amplitudesrelativas, costumase normalizar esta matriz. Uma dasnormalizaes mais usuais a normalizao unidade queconsiste em dividir todos os elementos de cada vector pelomaior elemento do respectivo vector.


Outra normalizao a normalizao de massa de tal modoque:

NGrausdeLiberdade

0)()( txKtxM

IMT que neste caso se costuma representar por : IMT A matriz modal com normalizao de massa pode obtersede:

rrTr

r

rTrr

rr

Trr

rTr

mM

MMM

IM

11

1

que sabendo

)()(

)()(2)()()()(

T

logo:

)()( 1 r

r

r

m


0)()( txKtxM

NGrausdeLiberdade

IMT

00

00

002r

T K

Se pr e ps multiplicarmos as matrizes massa e rigidez pelamatriz modal com normalizao de massa:

Matriz espectral


0)()( txKtxM

NGrausdeLiberdade

As propriedades de ortogonalidade da matriz modal podemser aproveitadas para se obter a soluo da equao:

0)()( txKtxM

Fazendo a transformao de coordenadas:

e substituindo na equao: tptx

se prmultiplicarmos pela transposta da matriz modal: 0)( tpKtpM 0)( tpKtpM TT


0)()( txKtxM

NGrausdeLiberdade

Logo:

obtendose assim um sistema de N gdl transformado em Nsistemas independentes de 1 gdl que pode ser resolvidousando as solues estudadas nos sistemas de 1 gdl.

De notar que um caso particular do desacoplamento dasequaes o caso da matriz modal ser a matriz comnormalizao de massa:

0)(\\\\ tpktpm rr

0)(\2\ tptp r


0)()( txKtxM

NGrausdeLiberdade

Em qualquer dos casos este sistema de equaes desacoplado e constitudo por equaes de sistemas de 1gdl. Logo, a equao r :

cuja soluo vimos ser:

0)(2 tptp rrr

0

0atan

00

2

2

r

rrr

r

rrr p

ptsenpptp


0)()( txKtxM

NGrausdeLiberdade

A este mtodo de clculo da resposta do sistema chamaseMtodo da Anlise Modal que no mais que fazer uso datransformao de coordenadas generalizadas emcoordenadas principais.

tptx

Para obtermos as condies iniciais em coordenadas p(t)temos de fazer a transformao de coordenadas:

tx 00 1xp

Depois de calcularmos p(t) obtemosatravs da transformao de coordenadas:

00 1xp


0)()( txKtxM

NGrausdeLiberdade

Calculemos a resposta x(t) do sistema do exemplo 3 pelomtodo da anlise modal. Usemos o MathCad(RespostaLivre2gdl.xmcd):

EXEMPLO 5:


0)()( txKtxM

NGrausdeLiberdade

EXEMPLO 5:Clculo dos valores prprios

Clculo dos vectores prprios

Reordenao da matriz dos vectores prprios (para garantirque as colunas so os modos por ordemcrescente)


0)()( txKtxM

NGrausdeLiberdade

EXEMPLO 5:Clculo das condies iniciais em coordenadas principais

Clculo das respostas em coordenadas principais


0)()( txKtxM

NGrausdeLiberdade

EXEMPLO 5:Clculo das respostas nas coordenadas iniciais

E como podemos verificar a soluo coincide com a soluoexacta:

Vibraolivre.AmortecimentoviscosoproporcionalVibraolivre

0)()()(

txKtxCtxM

NGrausdeLiberdade

Consideremos agora a soluo da equao:

0)()()(

txKtxCtxM

A anlise modal, em geral, no pode ser usada para resolveresta equao a no ser que se verifique a relao:

CKMKCM 11 Ora se

MKC com e constantes reaisa relao verificase e chamase amortecimento proporcional.


0)()()(

txKtxCtxM

NGrausdeLiberdade

Fazendo a mudana de varivel tptx obtemse

Logo 0)()()( txKtxMKtxM

0)()()( \\\\\\\\ tpktpmktpm rrrr Substituindo e prmultiplicando por T

Este sistema de N equaes constitudo por equaesindependentes de sistemas de 1 GDL cuja equao r :

0)(2 2 tptptp rrrr


0)()()(

txKtxCtxM

NGrausdeLiberdade

onde ou

e cuja soluo no caso de

22 rrrr

rr

22

10 r

:

00

10atan1sin

1

000e

22

2

2

2- r

rrrr

rrrrr

rr

rrrrr

tr pp

ptppptp r

O modelo modal ento constitudo por

e -1 2 rrrr

Vibraolivre.AmortecimentoviscosoVibraolivre

0)()()(

txKtxCtxM

NGrausdeLiberdade

Em geral o amortecimento no proporcional e, por isso, omtodo de soluo anterior no se aplica uma vez que no seconseguem obter as N equaes desacopladas.

Em muitas situaes, quando o amortecimento pequeno,podem desprezarse os termos fora da diagonal da matriz C eassim obterse uma soluo aproximada pelo mtodo daanlise modal.


0)()()(

txKtxCtxM

NGrausdeLiberdade

Quando no possvel uma aproximao, a forma correcta deresolver a equaoconsiste em transformar o problema enunciado numproblema espaoestado. Comecemos por definir o vector:

0)()()(

txKtxCtxM

tx

txtu

e reescrevamos a nossa equao

0

0

0

0

0tu

MK

tuM

MC


0)()()(

txKtxCtxM

NGrausdeLiberdade

ou mais simplesmente

A soluo desta equao do tipo:

1212221222 0 NNNNNNN tuBtuA

teUtu derivando teUtu e substituindo na equao acima, sabendo queobtemse 0 UBA

0te


0)()()(

txKtxCtxM

NGrausdeLiberdade

ora um problema generalizado de valores e vectores prprioscuja soluo so 2N valores prprios pares conjugadoscomplexos e 2N vectores prprios pares conjugadoscomplexos.

Podemos dizer que h N valores e vectores prprioscomplexos e outros N valores e vectores prprios complexosconjugados dos primeiros.

0 UBA


0)()()(

txKtxCtxM

NGrausdeLiberdade

Cada valor prprio pode escreverse como:

jrrrrr21

onde r aproximadamente a frequncia natural do sistema noamortecido.

A matriz modal tambm neste caso tem propriedades deortogonalidade, ou seja, pode desacoplar as equaes dosistema: 0 tuBtuA


0)()()(

txKtxCtxM

NGrausdeLiberdade

Assim, se fizermos a mudana de varivel:

0 tpBtpA tptu

e substituirmos na equao:

se agora prmultiplicarmos por T 0 tpBtpA

obtemse 0\\\\ tpbtpa rr


0)()()(

txKtxCtxM

NGrausdeLiberdade

O sistema de equaes desacoplado que se obtem

abba

bPePeaPetp

PPetptbptpa

tt

t

t

logo ,0 seja,ou

0 dosubstituin

derivando

cte, tipodo soluo a

0

um sistema cuja soluo de cada equao independente :

0\\\\ tpbtpa rr


0)()()(

txKtxCtxM

NGrausdeLiberdade

A soluo ento

entrando com a condio inicial p(0) obtemse o valor daconstante P:

tabPetp

0ou 0 0 pPPep finalmente, a equao r ter ento a soluo:

tabrr rr

eptp 0


0)()()(

txKtxCtxM

NGrausdeLiberdade

Podemos concluir que o sistema livre com amortecimentoviscoso no proporcional:

para as condies iniciais

tptx tem a soluo:

0)()()(

txKtxCtxM 0x 0x

VIBRAOFORADA

NGrausdeLiberdade

VibraoforadaharmnicaVibraoforada


NGrausdeLiberdade

A soluo desta equao diferencial do tipo

Derivando e substituindo na equao obtmse:

tjeFtxKtxMKtxM )()()(

tjeXtx )(

FXMMKjK 2

Consideremos agora a soluo do sistema forado por umafora harmnica:


NGrausdeLiberdade

ou

matriz () dse o nome de receptncia e constitui omodelo de resposta deste sistema. Cada elemento da matrizreceptncia, ou FRF, representa a resposta na coordenada i auma fora unitria aplicada na coordenada j.

12 MMKjK

ji,



NGrausdeLiberdade

Da observao da figura podemos ver as frequncias deressonncia do sistema, ou seja, onde se verificam as amplitudesde resposta mximas. Tambm vemos que algumas frequncias deressonncia podem no ser excitadas. Isto acontece quando oponto de aplicao da fora num nodo do modo respectivo ouquando se mede num nodo desse modo.

ji,



NGrausdeLiberdade

Por exemplo, na figura seguinte so apresentados os primeiros 3modos flexo de uma viga livrelivre.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

21

1

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

21

1

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

21

1

2

0.09446m

FRFdavigalivrelivreparaumaforaaplicadaemx=0.4emedidaemx=0m

FRFdavigalivrelivreparaumaforaaplicadaemx=0.09446memedidaemx=0m


Nesta ltima figura a fora foi aplicada num nodo do 3 modo.

Vibraoforadaharmnica.SemamortecimentoVibraoforada


NGrausdeLiberdade


Derivando e substituindo na equao obtmse:

tjeFtxKtxM )()(

tjeXtx )(

FXMK 2

Consideremos agora a soluo do sistema no amortecidoforado por uma fora harmnica:



NGrausdeLiberdade

A inverso da matriz no o melhor mtodo para calcular areceptncia.

Vejamos o seguinte:

Se pr e ps multiplicarmos pela matriz modal comnormalizao de massa:

Logo: 12 MK

MKTT 21 MK 21



NGrausdeLiberdade

ou

e

Obtemse: IrT 2\2\1 \22\1 rT

Tr 1\22\ finalmente:

N

r r

kririk

122

Respostaemiparaumaforaunitriaemk



NGrausdeLiberdade

ou

N

r r

kririk

122

constantemodalkririk

r A

N

r r

ikr

ikA

122



NGrausdeLiberdade

Para calcularmos a resposta txfazemos a transformao de coordenadas:

e substituindo na equao: tptx

se prmultiplicarmos pela transposta da matriz modal: tftpKtpM )(

tftpKtpM TTT )(



NGrausdeLiberdade

obtemos:

cuja equao r :

cuja soluo j conhecemos.

tftpktpm Trr )(\\\\ tjrrr eftpktpm )(

Vibraoforadaharmnica.ComamortecimentoVibraoforada


NGrausdeLiberdade

onde:

tjeFtxKtxCtxM )()(No caso de amortecimento viscoso proporcional:

MKC podese demonstrar que :

N

r rrr

kririk j1 22 2

VibraoforadaTransmissibilidade

NGrausdeLiberdade

VibraoforadaExcitaoharmnicadabaseMuitas vezes as mquinas so excitadas harmonicamente atravs dosseus apoios elsticos. Por exemplo, um edifcio excitadoharmonicamente pela passagem prxima de um comboio ou umveculo. Neste caso, a equao diferencial dada por:


NGrausdeLiberdade

)cos()( tYty

00

0 11

2

1

22

221

2

1

22

221

2

1

2

1 tyctyktxtx

kkkkk

txtx

ccccc

txtx

mm

onde:

VibraoforadaExcitaoharmnicadabase


NGrausdeLiberdade

e substituindo pelas matrizes:


Derivando e substituindo na equao obtemse:

tjeXtx )(

0

112 YcjYkXMCjK

011

1

22

2222

22212

121

2

1 YcjYkcjmkcjk

cjkccjmkkXX

sabendo que:

dcbaacbd

dcba

det

1



NGrausdeLiberdade

temos:

0det

11

22

2222

22212

121

212

12122

2222

22

2

1 YcjYk

cjmkcjkcjkccjmkkccjmkkcjk

cjkcjmk

XX



NGrausdeLiberdade

logo, as transmissibilidades sero:

22

2222

22212

121

1122

221

detcjmkcjk

cjkccjmkkcjkcjmk

YX

22

2222

22212

121

11222

detcjmkcjk

cjkccjmkkcjkcjk

YX



NGrausdeLiberdade

em grfico X1/Y:

1

11 m

k2

22 m

k11

11 2 m

c22

22 2 m

c

1

YX1



NGrausdeLiberdade

aumentemos o amortecimento c2:

1

YX1



NGrausdeLiberdade

em grfico X2/Y:

2

YX 2



NGrausdeLiberdade

aumentemos o amortecimento c1:

2

YX 2



NGrausdeLiberdade

1

2

Na mais diversa bibliografia, especialmente quando se pretenderesolver problemas de optimizao, comum apresentaremse asequaes em funo dos seguintes parmetros:

razodefrequnciasnaturais

1

2

mm razodemassas

12

ou

rr razodefrequncias

Nota:nadeduoquefaremosutilizaremosaprimeirarazodefrequncias,ouseja:

2r



NGrausdeLiberdade

Assim, se escrevermos as matrizes massa, rigidez e amortecimento emfuno destes parmetros obtemos:

22

222

2

22

222

22

2

2

22

221

222222

222222122

22

221

2

2

2

1

22

222

0

00

0

mm

mmm

kkkkk

mm

mmm

ccccc

m

m

mm



NGrausdeLiberdade

Substituindo na equao:

0

112 YcjYkXMCjK

0

2

22

22

2

1222

2

2

1

222222

222222

22

2222

221222222

2222

22

22

2

1

mYjYm

jmmmjmm

jmmjmmmmmXX

obtemse:



NGrausdeLiberdade

aps algumas manipulaes (vid documentos anexos de MathCad),temos:

22321312232221222224222

112

222

2122

1

2222241

441

rrrrrrrrrrrrrrr

YX

22321312232221222224222

1222

212

2

2222241

441

rrrrrrrrrrrrr

YX



NGrausdeLiberdade

Tambm se podem calcular as seguintes transmissibilidades relativas:

r

YX

txtxtwrYW

tytxtzrYZ

)()()( doconsideran

)()()( doconsideran

12



NGrausdeLiberdade

No caso de: )()()( doconsideran tytxtzrYZ

0)(0

0 11

2

1

22

221

2

1

22

221

2

1

2

1 tyctyktytztytz

kkkkk

tytztytz

ccccc

tytztytz

mm

substitumos a varivel x(t) e suas derivadas por z(t)+y(t):

tyktyktyctyctymtyktyktyktyctyctyctymtyctyk

tztz

Ktztz

Ctztz

M

tyctyktytztytz

Ktytztytz

Ctytztytz

M

22222

221221111

2

1

2

1

2

1

11

2

1

2

1

2

1

)(0

0)(

ou:

)(2

1

2

1

2

1

2

1

tymtym

tztz

Ktztz

Ctztz

M



NGrausdeLiberdade

Finalmente:

)(0

0

2

1

2

1

22

221

2

1

22

221

2

1

2

1

tymtym

tztz

kkkkk

tztz

ccccc

tztz

mm

Assim, se escrevermos as matrizes massa, rigidez e amortecimento emfuno dos parmetros anteriormente referidos obtemos:

tym

tym

tymtym

mm

mmm

kkkkk

mm

mmm

ccccc

m

m

mm

2

2

2

1

22

222

2

22

222

22

2

2

22

221

222222

222222122

22

221

2

2

2

1

)( e

22

222 0

00

0



NGrausdeLiberdade

o que, aps as manipulaes adequadas, temos:

223213122322212222242222222

232

1

2222241

)1()1(2

rrrrrrrrrrrrrr

YZ

22321312232221222224222

2213222222

2

2222241

)(2)1(

rrrrrrrrrrrrrr

YZ



NGrausdeLiberdade

No caso de: )()()( doconsideran 12 txtxtwrYW

substitumos a varivel x2(t) e suas derivadas por w(t)+x1(t):

ou:

00

0 11

1

1

22

221

1

1

22

221

1

1

2

1 tyctyktxtw

txkkkkk

txtwtx

ccccc

txtwtx

mm

000

0 111

2

2211

2

2211

22

1 tyctyktwtx

kkkk

twtx

cccc

twtx

mmm



NGrausdeLiberdade

Escrevendo as matrizes massa, rigidez e amortecimento em funo dosparmetros j referidos obtemos:

0

2

0 e

00

20

220

00

122

2

2211

22

2

22

22

2

2

2

21

222

222122

2

21

22

2

22

1

tymtymtyctyk

m

mm

kkk

m

mm

ccc

mm

m

mmm



NGrausdeLiberdade

o que, aps as manipulaes adequadas, temos:

22321312232221222224222

134

2222241

2

rrrrrrrrrrrrr

YW



NGrausdeLiberdade

No caso de: rYX

logo:

rYX

rYX

rYX

2

22321312232221222224222

112

222

2122

21

2222241

441

rrrrrrrrrrrrrrr

YX

22321312232221222224222

1222

212

22

2222241

441

rrrrrrrrrrrrr

YX

como queremos relaes adimensionais podemos definir asseguintes transmissibilidades:

rYX

rrY

X2

22

r

YX

rrY

X22

21

e

Refernciasbibliogrficas

EngineeringVibration,2nded.2001,PrenticeHall,DanielInman

MechanicalVibrations,3rded.1995,AddisonWesley,SingiresuS.Rao

NGrausdeLiberdade

TheoreticalandExperimentalModalAnalysis,ResearchStudiesPressLtd.,1997Maia,Silva,He,Lieven,Lin,Skingle,ToandUrgueira

IdentificaodeDanoEstruturalatravsdeTcnicasdeAnliseDinmica,Tesededoutoramento,2003Sampaio,R.P.C.

Refernciasbibliogrficas

NGrausdeLiberdade

ShockandVibrationHandbook,4thed.1995,McGrawHill,CyrilM.Harris

Vehicledynamics:theoryandapplications,2008,SpringerRezaN.Jazar

FIM

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