1 Cálculo II -

Capítulo 3 - Geometria Analítica

1. Gráficos de Equações

Exemplo

O gráfico da equação é:

Um ponto no espaço

euclidiano

unidimensional

Uma reta no espaço

euclidiano

bidimensional

Um plano no espaço

euclidiano tridimensional

Generalizando:

Na geometria analítica unidimensional ( ), o gráfico de uma equação

envolvendo representa um ponto na reta .

Na geometria analítica bidimensional ( ), o gráfico de uma equação

envolvendo e representa uma curva no plano .

Na geometria analítica tridimensional ( ), o gráfico de uma equação

envolvendo , e representa uma superfície no espaço .

Conceito:O gráfico de uma equação é o conjunto de todos os pontos e somente estes pontos, cujas coordenadas satisfazem a equação.

Assim, o gráfico de uma equação depende do espaço euclidiano

que ela esteja definida ou

2 Cálculo II -

Exemplos:

1) Que superfícies em são representadas pelas equações:

Plano paralelo a Plano paralelo a { ( | { ( |

2) Desenhe o gráfico de em e explicite a interseção destes

planos:

3) Escreva um par de equações simultâneas cujo gráfico é uma reta

perpendicular ao plano e que contém o ponto (

x=-3

z

(

y=2

-3 Reta paralela a z passando pelo ponto (-3,2,1)

{ (

1

y

2

x

y

x

1

y=1

z=0

Reta paralela a passando pelo ponto (0,1,0)

{ (

(

z

3 Cálculo II -

2. Geometria Bidimensional

As seções cônicas, ou simplesmente cônicas, são assim chamadas, pois são

curvas obtidas por cortes de cones circulares por planos.

Círculo Elipse

Parábola Hipérbole

-4-2

0 2

4

x

-4-2

0 2

4y

-4-2 0 2 4

z

-4-2

0 2

4x

-4-2

0 2

4y

-4-2 0 2 4

z

-4-2

0 2

4x

-4-2

0 2

4y

-4-2 0 2 4

z

-4-2

0 2

4x

-4-2

0 2

4y

-4-2 0 2 4

z

{

{

Gráficos de uma Equação no Plano

4 Cálculo II -

Equação Geral de 2º grau em duas variáveis

Se há rotação de eixos. Se e/ou há translação de eixos.

3. Reta

A Inclinação de uma reta ( é o ângulo formado entre o eixo das

abscissas ( e a reta, considerado positivo se medido no sentido anti-

horário.

O Coeficiente Angular ou declividade de uma reta não perpendicular ao eixo das abscissas é o valor real ( obtido no cálculo da tangente

trigonométrica do ângulo .

(

Na trigonometria, define-se tangente de um ângulo ( ( como sendo o

quociente entre o cateto oposto a e o cateto adjacente a .

Como ( tem-se:

Se então

Se então

Se ou então

Se então

𝜃

𝑥

𝑦

𝑟

5 Cálculo II -

Equação da Reta na forma reduzida:

A equação da reta na forma reduzida é uma equação linear do tipo:

Onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear.

A equação de uma reta pode ser estabelecida se forem conhecidos:

Um ponto sobre a reta e o valor de seu coeficiente angular

Dois pontos sobre a reta

a) Equação da reta dados um ponto sobre ela e o seu coeficiente angular

Considere conhecidas as coordenadas de um ponto ( sobre uma

reta. Imagine outro ponto qualquer ( , também sobre a reta, de forma

que a coordenada de difere da coordenada de por uma quantidade

e que a coordenada de difere da coordenada de por uma

quantidade . Então a coordenada de é e a coordenada de é

.

Considere conhecida a inclinação da reta ou o seu coeficiente angular

( . Então,

( (

𝑃 (𝑥 𝑦

𝑃(𝑥 𝑦 𝑃(𝑥 𝑥 𝑦 𝑦

𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥

𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦

𝑃

𝑃

𝜃 𝑥

𝑦

𝜃

𝑥

𝑦

𝑥 𝑥 𝑥

𝑦

𝑦 𝑦

6 Cálculo II -

b) Equação da reta dados dois pontos sobre ela

Se as coordenadas de dois pontos ( e ( sobre uma reta são

conhecidas, podemos facilmente encontrar o seu coeficiente angular ( . Uma vez conhecido o coeficiente angular e a coordenada de um ponto sobre a reta, podemos determinar a equação da reta utilizando o procedimento

descrito anteriormente. Assim,

( (

Equação da Reta na forma Pontos Interceptos:

Se uma reta não for vertical nem horizontal, ela deve interceptar o eixo dos em algum ponto ( e deve interceptar o eixo dos em algum ponto

( .

Dicas para reconhecer a equação de uma reta:

As duas variáveis caso existam estão em primeira potência.

é a abscissa do ponto de interseção da reta com o eixo .

é a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo .

𝑏 𝑃 ( 𝑏

𝜃

𝑥 𝑂

𝑃 (𝑎

𝑦

𝑎

(

7 Cálculo II -

Exemplos

1. Dadas as coordenadas de dois pontos e , determine a equação da

reta que passa por eles. Encontre o coeficiente angular da reta e os

pontos que ela intercepta o eixo dos e dos .

a) ( (

(

(

( ( ( (

Reta horizontal, coeficiente angular zero.

Corta o eixo no ponto ( , não corta o eixo .

b) ( (

(

(

Reta vertical, coeficiente angular infinito

Corta o eixo em no ponto ( , não corta o eixo .

c) ( (

(

(

( (

(

Reta inclinada de coeficiente angular - 9/5.

Corta o eixo no ponto (

) Corta o eixo no ponto (

8 Cálculo II -

Retas Paralelas

Duas retas são paralelas se, e somente se, possuem a mesma

inclinação.

Retas Perpendiculares

Duas retas não-verticais são perpendiculares se, e somente se, o coeficiente angular de uma das retas é o simétrico do inverso do

coeficiente angular da outra.

(

)

( )

𝜃 𝑥

𝑦

𝑂

𝜃

𝑅

𝑅

𝜃 𝑥

𝑦

𝑂

𝜃

𝑅

𝑅

9 Cálculo II -

Exemplos:

1. Determine a equação geral da reta que é perpendicular à , no ponto (

( (

(

(

Equação Geral da reta

2. Determine a equação e os pontos interceptos da reta que contém o

ponto ( e é paralela à reta . A reta é uma reta que passa pelos pontos ( e ( .

Reta

(

( ( )

Reta

(

(

A reta intercepta no ponto ( e intercepta no ponto ( .

Retas Concorrentes

Se duas retas distintas no plano não são paralelas, então elas se

interceptam em um único ponto ( .

Como o ponto pertence às duas retas simultaneamente, suas

coordenadas e satisfazem as equações de e de .

𝑦

𝑂

𝑅 𝑅

𝑥

𝑃 (𝑥 𝑦

𝑥

𝑦

10 Cálculo II -

3. Determine a equação da reta de coeficiente angular 5 que passa pelo

ponto ( . Encontre os pontos interceptos dessa reta.

(

(

A reta intercepta no ponto (

)e intercepta no ponto ( .

4. Determine o ponto que as retas e

se interceptam.

Seja ( este ponto. Então estas coordenadas satisfazem ambas as

equações:

{

Resolvendo o Sistema:

Substituindo na primeira equação

(

Logo (

5. Determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da

função ( no ponto de coordenadas ( . Reta tangente

Sabe-se que o coeficiente angular da reta tangente à curva de uma função num determinado ponto é igual ao valor da derivada da função

neste ponto. ( (

A reta tangente passa pelo ponto (

(

A reta tangente intercepta no ponto (

) e intercepta no ponto

( . Reta Normal

A reta normal é perpendicular à reta tangente.

A reta normal passa pelo ponto (1,1)

(

A reta normal intercepta no ponto ( e intercepta no ponto (

).

11 Cálculo II -

4. Círculo

Dicas para reconhecer a equação de um círculo no plano :

As duas variáveis ( e ) estão na segunda potência

Os coeficientes de e são números iguais e positivos

Definição

Um círculo é o conjunto de todos os pontos ( no plano tais que a

distância de até um ponto fixo ( , chamado centro, é

constante e igual ao raio .

( (

Equação Canônica do Círculo com centro em ( e raio

Por translação de eixos:

| |

𝑃

𝑟

𝐶

𝑥

𝑦

𝑂 𝑥

𝑦

12 Cálculo II -

Exemplos:

1) Determine as coordenadas do centro e o raio do círculo cuja equação é:

( (

( ( ( (

( Círculo de centro ( e raio 5

( (

( (

)

) (

)

( (

)

) (

)

( (

Círculo de centro ( e raio 3

( (

[ (

)

] [ (

)

] (

)

(

)

( (

( (

( Círculo de centro ( e raio 5

2) Encontre a equação do círculo que satisfaz as

condições dadas

a) Raio= 3 e centro (

( ( ) (

( ( (forma canônica)

(forma geral)

5. Elipse

13 Cálculo II -

Definição

Uma elipse é o conjunto de todos os pontos ( no plano tais que

a soma das distâncias de a 2 pontos fixos e , chamados focos, é constante.

(

(

(

(

( ( ( (

Equação da Elipse com centro em (

Eixo Maior paralelo ao eixo dos Eixo Maior paralelo ao eixo dos

Por translação de eixos:

( (

( (

| | |

|

| |

| |

| |

14 Cálculo II -

Dicas para reconhecer a equação de uma elipse na forma canônica

As duas variáveis ( e ) estão na segunda potência

Os coeficientes de e são positivos

Se o denominador de for maior do que o denominador de então é

uma elipse de eixo maior paralelo ao eixo dos .

Se o denominador de for maior do que o denominador de então é

uma elipse de eixo maior paralelo ao eixo dos .

Exemplos

1) Encontre a equação geral da elipse que satisfaz as condições dadas

Elipse com centro em (-2, 5) semieixo maior paralelo a y (a=5) e

semieixo menor paralelo a x (b=2).

( ( )

(

(

(

Elipse com centro em (4, 0) semieixo maior paralelo a x (a=4) e

semieixo menor paralelo a 4 (b=1).

(

(

(

15 Cálculo II -

2) Identifique, descreva e esboce o gráfico das equações abaixo:

(

(

√ √

( ( ( (

( (

( (

)

) ( (

)

) (

)

(

)

( (

(

(

Elipse com eixo maior paralelo ao eixo

dos com centro (

Semieixo maior paralelo a y (a=2)

Semieixo menor paralelo a x (a=1)

(

(

Denominadores diferentes

Elipse com eixo maior paralelo ao eixo

Centro (0,0)

Semieixo maior paralelo a y = 9

Semieixo menor paralelo a x = 6

16 Cálculo II -

( (

( (

)

) ( (

)

) (

)

(

)

( (

( (

(

(

⁄

(

(

Elipse com eixo maior paralelo ao

eixo dos com centro (

Semieixo maior // a x = 7

Semieixo maior // a y = 3

17 Cálculo II -

6. Hipérbole

Dicas para reconhecer a equação de uma hipérbole na forma canônica

As duas variáveis ( e ) estão na segunda potência

Os coeficientes de e de têm sinais contrários.

O eixo real ou transverso da hipérbole, onde estão os focos, é

homônimo à variável de coeficiente positivo.

O fato de ter eixo real coinciente com o eixo dos ou dos independe

na magnitude de . Na hipérbole pode-se ter Por

exemplo:

Definição

Uma hipérbole é o conjunto de todos os pontos ( no plano tais

que o valor absoluto da diferença das distâncias de a dois pontos

fixos, chamados focos é constante e igual a

|| | |

||

| |

| |

| |

Eixo real ou transverso:

Eixo imaginário ou conjugado:

Distância focal:

Excentricidade:

Assíntotas:

2 c

18 Cálculo II -

Exemplos:

1) Encontre a equação geral da elipse que satisfaz as condições dadas

Hipérbole com centro em (-2, -4) eixo real paralelo a (a=2) e eixo

imaginário paralelo a x (b=4).

( ( )

(

( ( )

(

(

(

(

Hipérbole com centro em (0, 3) eixo real paralelo a (a=3) e eixo

imaginário paralelo a (b=1).

( ( )

(

( ( )

(

(

√

(

(

(

(

Equação da Hipérbole com vértice ( e eixos de simetria

paralelos aos eixos coordenados

Eixo real paralelo ao eixo dos x Eixo real paralelo ao eixo dos y

Por translação de eixos:

19 Cálculo II -

2) Dada a equação da hipérbole na forma canônica, determinar as

coordenadas do centro e dos vértices.

(

(

(

(

( (

Completando os quadrados

( (

( (

)

) ( (

)

)

(

( (

(

(

(

(

(

Coeficiente de negativo e de positivo: Hipérbole com eixo

transverso paralelo ao eixo dos com centro (

√

(

( (

20 Cálculo II -

7. Parábola

Definição

Uma parábola é o conjunto de todos os pontos ( no plano tais

que a distância de a um ponto fixo , chamado foco, é igual à

distância de a uma reta fixa D, chamada diretriz.

( ( (

(

(

(

(

(

Equação Canônica da Parábola no plano com vértice (

Simetria Vertical

| | | |

| | | |

| |

| |

distância do vértice ao foco

p p

21 Cálculo II -

Dicas para reconhecer a equação de uma parábola no plano com simetria

horizontal ou vertical

Uma variável está em primeira potência e a outra na segunda

potência

O eixo de simetria da parábola é homônimo à variavél de primeiro

grau. Isto é: Se está em primeira potência o eixo da parábola é

paralelo ao eixo dos . Se y está em em primeira potência o eixo da parábola é paralelo ao

eixo dos y.

Se a parábola é voltada para o sentido positivo de seu eixo de

simetria.

Se a parábola é voltada para o sentido negativo de seu eixo de

simetria.

( ( (

(

(

(

(

(

Equação Canônica da Parábola no plano com vértice (

Simetria Horizontal

22 Cálculo II -

Exemplos:

1) Identifique e esboce o gráfico das equações abaixo:

positivo

(

(

negativo

(

( (

( (

Parábola com simetria vertical

voltada para o sentido positivo de

Parábola com simetria horizontal

voltada para o sentido negativo de

Parábola com simetria horizontal

voltada para o sentido negativo de

23 Cálculo II -

(

)

(

)

(

( ( (

(

2) Determine a equação da parábola que satisfaz as condições dadas:

parábola com simetria horizontal, vértice ( voltada para o sentido

positivo e distância focal .

( (

( ( ( ) ( (

parábola com simetria vertical, vértice ( voltada para o sentido

negativo e distância focal .

( ( ( ( ( )

Parábola com simetria vertical

voltada para o sentido positivo de

24 Cálculo II -

8. Geometria Tridimensional

8.1 Retas no Espaço Tridimensional

Equação da Reta que Liga os Pontos

( (

Forma Normal

Forma Paramétrica

8.2 Plano

Equação Geral do Plano

Equação do Plano em Relação a suas

Interseções

onde são as interseções nos eixos

, respectivamente

Equação do Plano que contém os pontos

( ( (

[

]

25 Cálculo II -

8.3 Superfície Cilíndrica ou Cilindro

Superfície obtida pela translação de

uma reta, chamada geratriz, ao longo de uma curva, chamada diretriz.

Exemplo:

Curva Geratriz Paralela ao Eixo e

Curva Diretriz no Plano

( ( (

8.4 Superfície de Revolução

Superfície obtida pela rotação de uma

curva plana (curva diretriz) em torno

de uma reta (eixo de revolução), que

pertence ao plano da curva.

Exemplo:

Curva Diretriz no Plano rotacionada

em torno do eixo

( (

( √ ) (

8.5 Esfera

Todos os traços são círculos

Curva

Geratriz

Curva

Diretriz

Eixo de

Revolução

Curva

Diretriz

26 Cálculo II -

8.6 Elipsóide

Todos os traços são elipses ou círculos

Se o elipsóide é uma esfera

8.7. Hiperbolóide de uma folha

Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são hipérboles e nos planos perpendiculares

ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos

8.8. Hiperbolóide de duas folhas

.

Os traços nos planos perpendiculares a

dois dos eixos coordenados são hipérboles e nos planos perpendiculares

ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos

27 Cálculo II -

8.9. Cone

Equação Tipo II

Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são

hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos.

8.10. Parabolóide Elíptico

Equação Tipo III

Os traços nos planos perpendiculares a dois dos eixos coordenados são parábolas e nos planos perpendiculares

ao outro eixo coordenado são elipses ou círculos.