CAPÍTULO 4 CRIAÇÃO DE UM AMBIENTE...

CAPÍTULO 4

CRIAÇÃO DE UM AMBIENTE HIDROINFORMÁTICO PARA

APLICAÇÃO EM ZONAS COSTEIRAS

4.2 Ambiente hidroinformático

125

CAPÍTULO 4

CRIAÇÃO DE UM AMBIENTE HIDROINFORMÁTICO PARA APLICAÇÃO

EM ZONAS COSTEIRAS

4.1 Aspectos gerais

No presente capítulo procede-se à caracterização do ambiente hidroinformático criado

neste trabalho de investigação, tendo como objectivo a modelação integrada da

hidrodinâmica e da qualidade da água em zonas costeiras, apresentado-se os programas

que serviram de base ao trabalho, as principais adaptações neles efectuadas e as

inovações introduzidas, bem como os programas novos desenvolvidos. A apresentação

destes programas é feita com a descrição de exemplos de aplicação por forma a

demonstrar a sua adequabilidade na resolução de problemas de engenharia ambiental,

contemplando escalas espacio-temporais diversas, adequadas a cada um deles.


4.2.1 Generalidades

O sucesso na aplicação de um modelo numérico depende, entre outros factores, da

facilidade de integração num ambiente comum de diferentes tipos de software que

executam tarefas distintas. De facto, com a crescente acessibilidade a uma quantidade

cada vez maior de recursos hidroinformáticos, designadamente através da World Wide

Web, o desenvolvimento de um modelo adaptado a um determinado sistema natural

deverá ser precedido de uma pesquisa criteriosa, tendo em vista a inventariação e

selecção dos recursos disponíveis. Consegue-se assim, muitas vezes, uma economia

apreciável no esforço associado à construção ab initio de um modelo bem como uma

Capítulo 4

126

maior eficácia resultante da utilização de ferramentas informáticas de muito maiores

capacidades.

Procurou-se que o ambiente hidroinformático desenvolvido apresentasse uma grande

versatilidade, quer em termos de hardware (foram utilizados computadores pessoais e

estações de trabalho), quer em termos de sistemas operativos (foram utilizados meios de

cálculo com diferentes sistemas operativos: WINDOWS95, WINDOWSNT, UNIX e LINUX). A

linguagem de programação de utilização preferencial foi o FORTRAN, tendo-se também

procedido à criação de diversas ferramentas codificadas em linguagem C, C++ e Lisp.

4.2.2 Software utilizado

A modelação da hidrodinâmica de zonas costeiras, no ambiente hidroinformático

criado, é realizada recorrendo-se aos programas bidimensionais no plano horizontal

(2DH) TELEMAC2D e RMA2 e aos programas quasi-3D POM e POM-UMH. Este

último modelo integra a adaptação desenvolvida no programa POM no âmbito deste

trabalho (a extensão UMH quer significar Universidade do Minho-Hidrodinâmica) e

que consistiu na inclusão de um método de elementos finitos no cálculo do modo

externo, com o objectivo de aumentar o seu desempenho para condições de fronteira

específicas e para problemas de geometria complexa.

A modelação da qualidade da água em zonas costeiras apresenta dificuldades

decorrentes da complexidade dos processos biogeoquímicos verificados nos diferentes

ecossistemas. O desconhecimento e/ou a dificuldade da quantificação e caracterização

das relações entre os vários elementos de um ecossistema implica uma criteriosa

selecção das formulações a adoptar, por forma a representar adequadamente os

processos determinantes do comportamento de constituintes indicadores do estado da

qualidade da água.

Neste trabalho desenvolveu-se o programa PROCESSOS para simular, de forma o mais

abrangente e aberta possível, os processos biogeoquímicos mais relevantes de um

determinado sistema. Este programa pode funcionar autonomamente ou integrado em

programas hidrodinâmicos.


127

A qualidade da água de zonas costeiras é simulada, no ambiente hidroinformático

criado, através da utilização do programa PROCESSOS, dos programas bidimensionais

no plano horizontal RMA4 e RMA4-UMQ (a extensão UMQ identifica a versão

desenvolvida na Universidade do Minho para resolução de problemas de qualidade da

água) e do programa quasi-3D POM-UMQ.

A estruturação do ambiente hidroinformático criado é justificada pela necessidade de

disponibilizar ferramentas informáticas diversificadas e versáteis adequadas à resolução

de problemas bidimensionais e quasi-3D característicos de zonas costeiras.

HHIIDDRROODDIINNÂÂMMIICCAA//QQUUAALLIIDDAADDEE DDAA ÁÁGGUUAA

PPRRÉÉ EE PPÓÓSS--PPRROOCCEESSSSAAMMEENNTTOO

Figura 4.1 – Ambiente hidroinformático: software utilizado.

Nos pontos subsequentes são apresentados os detalhes do software utilizado, assim

como as características de cada um dos programas.

Se as formulações matemáticas e os correspondentes métodos numéricos utilizados no

desenvolvimento de um modelo apresentam uma importância determinante para a

fiabilidade das simulações efectuadas, a capacidade de organização e visualização da

grande quantidade de dados e de resultados obtidos é também de importância primordial

para uma correcta interpretação e análise dos cenários estabelecidos. Por outro lado, a

preparação de dados para um determinado modelo é, sem dúvida, uma das tarefas que

Capítulo 4

128

requer mais arte e engenho por parte do modelador. Assim, considerou-se pertinente a

utilização simultânea de diversos programas para a realização das tarefas de pré e

pós-processamento e criaram-se metodologias, quer de geração condicionada de malhas

não estruturadas, quer de integração da informação em Sistemas de Informação

Geográfica (SIG).

As tarefas de preparação de dados e a apresentação de resultados foram realizadas na

sua maioria com o programa Surface Modelling System (SMS) (BOSS SMS, 1996). Este

programa permite efectuar a preparação de dados, a geração de malhas para diversos

programas de cálculo da hidrodinâmica e a representação espacial de campos escalares e

vectoriais. Permite ainda definir novas variáveis, para todo o domínio, calculadas a

partir de outras variáveis existentes.

A criação de SIG é realizada recorrendo-se ao software ARCVIEW (ESRI, 1996), sendo

a digitalização da informação necessária à implementação dos modelos efectuada

através de técnicas usuais, utilizando-se o programa AUTOCAD.

Na metodologia apresentada para a geração condicionada de malhas não estruturadas foi

utilizado o programa de geração de malhas triangulares TRIANGLE (Shewchuk, 1997).

As observações das elevações da superfície livre oceânica com recurso a instrumentos

de medição colocados a bordo de satélites, como foi referido no Capítulo 2, constituem

a base para a quantificação (com um erro reduzido) das elevações a impor nas fronteiras

abertas de um determinado modelo. O programa SR95 (JPL, 1996) utiliza a informação

das observações atrás referidas para quantificar as elevações da superfície oceânica em

qualquer ponto do planeta durante o período de 1960 a 2020.

Os programas GRIDGEN e CSLICE, desenvolvidos em linguagem de programação

MATLAB, são produtos expressamente desenvolvidos para a realização de tarefas de pré

e pós-processamento de apoio ao programa POM. O primeiro permite realizar a geração

de malhas de diferenças finitas e o segundo destina-se à apresentação de resultados.

A grande quantidade de informação associada a um modelo numérico necessita de ser

organizada e estruturada de forma a permitir um acesso rápido e eficaz, quando


129

necessário. As ferramentas de gestão de bases de dados são o meio mais adequado para

a organização e gestão de dados, tendo sido utilizado o programa Microsof ACCESS.

A integração e a troca de informação entre os diferentes programas obrigou à criação de

um conjunto significativo de ferramentas utilitárias (interfaces) que permitem efectuar a

leitura, a transformação e a escrita de dados de acordo com formatos pré-estabelecidos.

Na Figura 4.1 apresenta-se, de forma esquemática, o ambiente hidroinformático

construído, sendo destacados os programas criados e os que sofreram adaptações

inovadoras. No Quadro 4.1 apresenta-se uma listagem com a designação, função, autor

e sistema operativo de cada um dos programas utilizados.

Quadro 4.1 - Programas utilizados na construção do ambiente hidroinformático.

PROGRAMA FUNÇÃO AUTOR SISTEMA OPERATIVO

TELEMAC2D Hidrodinâmica – 2DH EDF1 UNIX

RMA2 Hidrodinâmica – 2DH WES-HL2 UNIX ou WINDOWS

POM Hidrodinâmica – quasi-3D G. Mellor UNIX ou WINDOWS

RMA4 Qualidade da água – 2DH WES-HL2 UNIX ou WINDOWS

RMA4-UMQ Qualidade da água – 2DH J. Pinho UNIX ou WINDOWS

POM-UMH Hidrodinâmica – quasi-3D J. Pinho UNIX ou WINDOWS

POM-UMQ Qualidade da água – quasi-3D J. Pinho UNIX ou WINDOWS

PROCESSOS Qualidade da água J. Pinho UNIX ou WINDOWS

SMS Pré e Pós-processamento Brigham Young Univ. WINDOWS

ARCVIEW Sistemas de Informação

Geográfica

ESRI3 WINDOWS

AUTOCAD Desenho assistido por computador Autodesk WINDOWS

TRIANGLE Geração de malhas triangulares J. R. Shewchuck UNIX

SR95 Previsão de marés Schrama – Ray UNIX

GRIDGEN Geração de malhas de DF Rich Signely WINDOWS

CSLICE Pós-processamento POM Rich Signely WINDOWS

1-EDF- Eléctricité De France, 2-WES-HL – Waterways Experiment Station Hydraulic Laboratory, 3-ESRI – Environmental

Systems Research Institute.

Capítulo 4

130

4.3 Modelos hidrodinâmicos

4.3.1 Programa TELEMAC2D

4.3.1.1 Características gerais

O programa TELEMAC2D aplica-se na resolução de problemas de hidráulica marítima e

fluvial que envolvam o cálculo de escoamentos com superfície livre. Este programa

resolve as equações 2.75 a 2.77 utilizando quer o método dos elementos finitos quer o

método de diferenças finitas. As variáveis dependentes consideradas são a altura de

água e as componentes horizontais da velocidade média em cada ponto do domínio

considerado.

As equações atrás referidas, escritas em termos de coordenadas cartesianas, poderão

também ser tratadas em coordenadas esféricas. As diversas parcelas são tratadas em

dois passos de tempo intermédios (EDF, 1988): no primeiro passo são tratados os

termos advectivos das variáveis consideradas e no segundo passo os restantes termos.

No primeiro passo é utilizado o método das características e no segundo passo os

cálculos são efectuados seguindo-se uma discretização espacial por um método de

elementos finitos (Formulação de Galerkin) e uma discretização temporal

semi-implícita.

Este modelo permite ainda efectuar a definição do coeficiente de viscosidade turbulenta

a partir de um modelo do tipo k-ε (k – energia cinética turbulenta, ε - dissipação

viscosa). Os métodos numéricos utilizados são compatíveis com a modelação de

escoamentos super-críticos (EDF, 1991). As malhas de discretização espacial poderão

ser compostas por elementos triangulares ou quadrangulares lineares.

4.3.1.2 Exemplo de aplicação

O programa TELEMAC2D encontra-se instalado no Departamento de Engenharia Civil

da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra (DEC-FCTUC). A

versão aí instalada inclui o módulo de cálculo hidrodinâmico e o pós-processador


131

RUBENS (EDF, 1996). Para a realização das tarefas de preparação de dados,

necessárias a uma determinada aplicação, optou-se pela utilização dos programas de

pré-processamento disponíveis no Laboratório de Hidráulica e Recursos Hídricos do

Departamento de Engenharia Civil da Universidade do Minho (LHRH-DEC-UM)

(Figura 4.1 e Quadro 4.1), sendo as simulações efectuadas remotamente. Apresenta-se

seguidamente uma breve descrição das principais fases e procedimentos da construção

de um modelo hidrodinâmico no programa TELEMAC2D, utilizando-se, a título

ilustrativo, um modelo desenvolvido para a Foz do Rio Douro.

Na primeira fase procede-se à digitalização do contorno e da batimetria a partir das

cartas disponíveis e, eventualmente, com o auxílio de fotografias aéreas da área de

estudo, utilizando-se uma ferramenta de desenho assistido por computador (no exemplo

apresentado o programa AUTOCAD). A informação vectorial resultante da digitalização

é posteriormente transformada para formatos compatíveis com o pré-processador SMS

(formato DXF-Drawing eXchange Format - no caso do contorno, e formato XYZ –

coordenadas em código ASCII - no caso dos pontos que definem a batimetria). Na

Figura 4.2 apresentam-se o contorno e o fundo do exemplo ilustrativo utilizado nesta

descrição.

Figura 4.2 – Pré-processamento - programa TELEMAC2D: definição do contorno e da batimetria (azul escuro correspondente a maiores profundidades).

Capítulo 4

132

A geração da malha de elementos finitos em que é discretizado o domínio é realizada no

programa SMS. Na Figura 4.3 apresenta-se uma malha composta por elementos

triangulares lineares.

Figura 4.3 – Pré-processamento - programa TELEMAC2D: malha de elementos finitos gerada no programa SMS.

A informação relativa à malha de elementos finitos gerada no programa SMS é

transformada para um formato de leitura do programa TELEMAC2D. O programa

utilitário em que é efectuada a transformação cria também um ficheiro com a

informação necessária à definição dos nós das fronteiras e tipo de condições fronteira a

impor nesses nós. Os valores das variáveis nas fronteiras abertas são estabelecidos

através de palavras-chave ou são programadas em subrotinas específicas. Nesta fase

estão preparados os ficheiros correspondentes à geometria, condições de fronteira e

caracterização do fundo. Resta apenas definir, com o auxílio de um processador de

texto, um ficheiro com a definição das palavras-chave, através das quais são

estabelecidos os valores de parâmetros necessários ao funcionamento do modelo,

incluindo, entre outros: os nomes dos ficheiros envolvidos, as condições iniciais, o

passo de tempo, a duração da simulação, os instantes de escrita dos resultados e as


133

variáveis que se pretendem analisar. Após a transferência dos ficheiros de dados do

LHRH-DEC-UM para o DEC-FCTUC procede-se à execução do programa. Finalizada a

execução, os resultados poderão ser analisados no DEC-FCTUC, utilizando-se o

pós-processador aí instalado (RUBENS), ou procedendo à conversão e transferência do

ficheiro de resultados, de forma a que seja possível o seu processamento no programa

SMS. Esta conversão é realizada por um dos programas utilitários desenvolvidos no

âmbito deste trabalho. Na Figura 4.4 são apresentados, a título ilustrativo, resultados do

campo de velocidades, do módulo da velocidade e de linhas de corrente num

determinado instante da simulação efectuada no programa TELEMAC2D.

Figura 4.4 – Pós-processamento – programa TELEMAC2D: a) campo de velocidades; b) módulo da velocidade; c) linhas de corrente.

c)

a)

b)

Capítulo 4

134

4.3.2 Programa RMA2


O programa RMA2 (WES-HL, 1996), baseado num método de elementos finitos,

permite a obtenção de soluções em regime permanente ou variável, com o

estabelecimento de condições de fronteira variáveis ao longo do tempo. As soluções são

obtidas num determinado número de instantes, nos pontos nodais da malha de

elementos finitos. Apresenta como principal limitação a impossibilidade de resolução de

escoamentos super-críticos. Esta limitação advém do método numérico empregue na

resolução das equações de continuidade e conservação da quantidade de movimento.

As Eq.s 2.75 a 2.77 são resolvidas por um método de elementos finitos, usando-se a

técnica dos resíduos pesados de Galerkin. Os elementos para a discretização espacial

poderão ser triangulares e/ou quadrangulares de seis e oito nós, respectivamente. As

funções de forma são quadráticas no caso das velocidades e lineares para a

profundidade. A integração espacial é efectuada pelo método de Gauss. As derivadas

temporais são discretizadas por uma aproximação de diferenças finitas. O método é

totalmente implícito, sendo os sistemas de equações resolvidos pelo método de

Newton-Raphson.

4.3.2.2 Exemplos de aplicação

A preparação de dados para a aplicação de modelos utilizando o programa RMA2 é

auxiliada pelo programa SMS. Este pré-processador permite a utilização directa de

informação cartográfica digitalizada através da sua importação em formato DXF, como

foi referido anteriormente. A definição do contorno e da batimetria necessários à

implementação de um determinado modelo torna-se assim muito simples no caso dessa

informação se encontrar disponível no formato indicado. As condições a impor nas

fronteiras abertas, correspondentes a simulações de regimes permanentes ou variáveis,

são introduzidas utilizando-se um interface gráfico disponível no programa SMS.


135

A discretização espacial de domínios de geometria complexa, torna-se mais simples no

caso de utilização conjunta de diferentes tipos de elementos. O programa RMA2

apresenta esta possibilidade permitindo, como já foi referido, a utilização simultânea de

elementos triangulares e quadrangulares numa mesma malha. Este programa permite

ainda a modelação de regiões intertidais, ou de uma forma geral, zonas ou situações

cuja hidrodinâmica implique a ocorrência de regiões que apenas se encontram

inundadas em determinados períodos de tempo (regiões normalmente designadas por

regiões cobre-descobre).

Apresentam-se a seguir dois exemplos que ilustram as diversas fases de

desenvolvimento de um modelo hidrodinâmico utilizando o programa RMA2. Em

ambos os exemplos as condições hidrodinâmicas implicam a ocorrência de regiões

cobre-descobre. O primeiro exemplo (Figura 4.5) refere-se a um trecho do Rio Este

(afluente do rio Ave), em que se procede à simulação das condições de escoamento em

situação de cheia. O domínio foi discretizado utilizando uma malha de elementos

triangulares, sendo impostas como condições de fronteira a entrada de um caudal a

montante e o nível da superfície livre a jusante.

Figura 4.5 – Pré-processamento - programa RMA2: definição do contorno, batimetria e malha de elementos finitos num trecho do Rio Este.

CONTORNO E BATIMETRIA MALHA DE ELEMENTOS FINITOS

Capítulo 4

136

O contorno apresentado delimita toda a região cuja topografia foi levantada. O facto de

a correspondente malha de elementos finitos apresentar um número de elementos

excessivo (ver resultados a seguir apresentados) não torna o cálculo desnecessariamente

dispendioso, uma vez que só os elementos inundados são considerados activos durante

as simulações efectuadas.

Na Figura 4.6 são apresentados, a título ilustrativo alguns dos resultados obtidos para

áreas inundadas e módulos das velocidades usando o pós-processador SMS.

Figura 4.6 – Pós-processamento – programa RMA2: áreas inundadas e módulos da velocidade para diferentes caudais de cheia num trecho do Rio Este.

Caudal de cheia 225 m3/s – Área inundada Caudal de cheia 500 m3/s – Área inundada

Caudal de cheia 225 m3/s–Velocidade (módulo) Caudal de cheia 500 m3/s–Velocidade (módulo)


137

No segundo exemplo, referente à foz do Rio Cávado, o domínio apresenta uma

geometria complexa, tendo a sua discretização sido realizada com uma malha composta

por elementos triangulares e quadrangulares. As condições de fronteira impostas foram

as elevações da superfície livre na fronteira oceânica e o caudal do Rio Cávado a

montante. Na Figura 4.7 apresentam-se o contorno, a batimetria e a malha utilizada.

Figura 4.7 – Pré-processamento - programa RMA2: definição do contorno, batimetria e malha de elementos finitos na zona de jusante do estuário do Rio Cávado.

Na Figura 4.8 são apresentados alguns dos resultados obtidos com o programa SMS

para a simulação hidrodinâmica efectuada. Para além da representação dos campos

escalares e vectoriais referidos nos exemplos ilustrativos, o programa SMS permite

ainda a apresentação da evolução temporal de variáveis escalares (incluindo

componentes das velocidades) sob a forma gráfica. Este programa permite também a

produção de animações, que se revelam muito úteis na análise de simulações da

hidrodinâmica em regimes variáveis.

MALHA DE ELEMENTOS FINITOS CONTORNO E BATIMETRIA

Capítulo 4

138

Figura 4.8 – Pós-processamento – programa RMA2: velocidades, superfície livre e linhas de corrente na zona de jusante do estuário do Rio Cávado.

VELOCIDADE (Enchente) VELOCIDADE (Vazante)

LINHAS DE CORRENTE ELEVAÇÃO DA SUPERFÍCIE LIVRE


139

4.3.3 Programa POM


O programa POM (Princeton Ocean Model) foi desenvolvido para a modelação de

estuários e zonas costeiras, envolvendo escalas espaciais com desenvolvimentos da

ordem de 1 a 100 km e escalas temporais com durações entre um período de maré até

algumas dezenas de dias. A descrição geral do programa é apresentada em Mellor

(1998), estando os detalhes relativos aos esquemas de diferenças finitas utilizados

contidos no seu código FORTRAN.

O programa resolve uma versão simplificada das equações 2.117 a 2.123 utilizando

coordenadas sigma na direcção vertical e coordenadas ortogonais curvilíneas na

direcção horizontal (com um arranjo do tipo Arakawa C), conforme se apresenta na

Figura 4.9. A simplificação atrás referida é efectuada na definição dos termos

correspondentes aos gradientes de pressão e nos termos correspondentes à difusão

horizontal. No programa POM, a formulação utilizada para os referidos termos

apresenta a seguinte forma:

∫

∂∂

∂∂

−∂∂

+≡0

0

2

1 σσ

σρσρ

ρ∂∂η

dxH

HxgH

xgHDP

(4.1)

∫

∂∂

∂∂

−∂∂

+≡0

0

2

2 σσ

σρσρ

ρ∂∂η

dyH

HygH

ygHDP

(4.2)

∂∂

+∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

≡xv

yu

hAyx

uAh

xDF MM21

(4.3)

∂∂

∂∂

+

∂∂

+∂∂

∂∂

≡yv

Ahyx

vyu

hAx

DF MM 22 (4.4)

Capítulo 4

140

O programa inclui um sub-modelo de turbulência para o cálculo dos coeficientes de

difusão turbulenta verticais (Mellor e Yamada, 1982). Os coeficientes de difusão

turbulenta horizontais são calculados a partir da fórmula de Smagorinsky:

21

222

2

∂∂

+

∂∂

+∂∂

+

∂∂

∆∆=yv

yu

xv

xu

yxCAM (4.5)

Os valores do coeficiente de Smagorinsky, C, adoptados variam entre 0,10 e 0,20. As

vantagens de utilização desta fórmula relacionam-se com o facto de C ser adimensional

e dos coeficientes AM diminuírem à medida que aumenta a resolução e diminuem os

gradientes de velocidade.

O método de discretização temporal na direcção horizontal é explícito, enquanto que na

direcção vertical é implícito. Assim, é possível a utilização de resoluções elevadas junto

das fronteiras na direcção vertical sem qualquer restrição em termos de passo de tempo.

O algoritmo de cálculo do programa utiliza a separação de modos. O modo externo

corresponde a um modelo bidimensional, integrado na vertical, com o passo de tempo

limitado pela condição de estabilidade de Courant-Friedrich-Lewy (CFL), sendo

utilizado para o cálculo das elevações da superfície livre e das componentes horizontais

da velocidade média na vertical (associadas à propagação de ondas gravíticas

superficiais de elevada celeridade).

A formulação matemática do modelo bidimensional (2DH) é traduzida pelas equações a

seguir apresentadas, as quais assumem uma forma idêntica às das equações 2.75 a 2.77

e resultam da integração vertical das equações fundamentais da Mecânica dos Fluidos

em coordenadas sigma.

0=++y

VHx

UHt ∂

∂∂

∂∂∂η

(4.6)


141

( ) ( )

∫ ∫−

∂∂

∂∂

−∂∂

−

−+−+−=+−−++

0

1

0

0

2

10~

σσσ

σρ

σρ

ρ

∂∂η

∂∂

∂∂

∂∂

ddxH

xH

gH

Gwuwux

gHfVHFy

UVHxHU

tUH

xx

(4.7)

( ) ( )

∫ ∫−

∂∂

∂∂

−∂∂

−

−+−+−=+−−++

0

1

0

0

2

10~

σσσ

σρ

σρ

ρ

∂∂η

∂∂

∂∂

∂∂

ddyH

yH

gH

Gwvwvy

gHfUHFyHV

xUVH

tVH

yy

(4.8)

Os termos ( )0wu e ( )0wv correspondem às componentes das tensões induzidas pelo

vento e os termos ( )1−wu e ( )1−wv representam as tensões no fundo.

As parcelas xF~ e yF~ representam as componentes da difusão horizontal, sendo dadas

por:

∂∂

+∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=xV

yU

Ahyx

UAh

xF MMx 2~

(4.9)

∂∂

∂∂

+

∂∂

+∂∂

∂∂

=yV

Ahyx

VyU

Ahx

F MMy 2~ (4.10)

As barras representam médias verticais das respectivas variáveis.

Os termos xG e yG , normalmente designados por termos dispersivos, são quantificados

de acordo com as seguintes expressões:

xxx FyHuv

xHu

Fy

UVHxHU

G +∂

∂−

∂∂

−−∂

∂+

∂∂

=22 ~

(4.11)

yyy FyHv

xHuv

FyHV

xUVH

G +∂

∂−

∂∂

−−∂

∂+

∂∂

=22 ~

(4.12)

Capítulo 4

142

As parcelas xF e yF são calculadas a partir de expressões análogas às das equações

4.9 e 4.10, respectivamente mas envolvendo as variáveis tridimensionais u, v, e AM. No

caso dos coeficientes AM serem constantes segundo a vertical, as parcelas “F” nas Eq.s

4.11 e 4.12 anulam-se. No entanto, é considerada a variabilidade vertical da difusão

horizontal, que poderá ocorrer quando, como é o caso, os coeficientes de difusão são

quantificados a partir da expressão de Smagorinsky (Eq. 4.5).

No modo interno são calculadas as variáveis tridimensionais, sendo portanto mais

exigente em termos computacionais mas utilizando um passo de tempo menos restritivo

do que o utilizado no modo externo (limitado pela condição de estabilidade de CFL).

x

y∆x∆y

H, η(I,J)V(I,J)

U(I,J)

1

2

3

K

K+1

w(I,J,K)T,S,ρ(I,J,K)

σ = 0

σ = -1

v(I,J,K)

u(I,J,K)τx(I,J,K)

τy(I,J,K)

τbx τby

KB

Figura 4.9 – Malha de diferenças finitas e localização das variáveis – Programa POM .

Na Figura 4.10 apresenta-se um esquema que ilustra a técnica de integração temporal

utilizada nos modos externo e interno.


143

Considere-se que todas as variáveis são conhecidas nos instantes tn-1 e tn. Os integrais

que envolvem os termos advectivos e baroclínicos, assim como os valores das tensões

no fundo calculados no modo interno, são fornecidos ao modo externo, sendo o seu

valor mantido constante durante o intervalo de tempo tn<t<tn+1.

MODO EXTERNO

t

Ν ∆t

tn-1 tn tn+1

∆t

MODO INTERNO

Figura 4.10 – Representação do esquema de integração dos modos externo e interno do programa POM.

No modo externo prossegue-se com a integração, utilizando o passo de tempo ∆t até se

atingir o instante tn+1. No modo externo são calculadas as médias temporais (no

intervalos tn-1<t<tn e tn<t<tn+1) das componentes da velocidade média vertical. Como os

dois modos apresentam erros de truncatura diferentes, os integrais verticais das

velocidades no modo interno podem divergir ligeiramente das componentes da

velocidade média calculadas no modo externo em cálculos que envolvam longos

períodos de integração. Por esta razão, as componentes horizontais da velocidade do

modo interno são ajustadas de forma a que o seu integral vertical coincida com as

médias temporais calculadas no modo externo. Os gradientes da elevação da superfície

livre utilizados no modo interno são definidos a partir da média dos valores médios

temporais das elevações da superfície livre, calculados no modo externo durante os

intervalos tn-1<t<tn e tn<t<tn+1. Conforme se apresentará mais adiante, o procedimento

anterior permite que o passo de tempo a utilizar no modo interno seja limitado pela

condição de Courant-Friedrich-Lewy associada à celeridade baroclínica que é menos

restritiva que a correspondente condição imposta pela celeridade barotrópica. O cálculo

Capítulo 4

144

das variáveis tridimensionais (modo interno) é separado em dois passos de tempo: num

são considerados os termos relativos à advecção e à difusão horizontal e no outro é

considerada a difusão vertical. Este último é calculado com um esquema implícito,

enquanto que o primeiro é calculado de acordo com um esquema explícito.

Considerando uma equação genérica de transporte de um escalar φ , tem-se:

( ) ( )

∂∂

∂∂

++−=∂

∂σφ

σφφ

φVK

HDifAdv

tD 1

(4.13)

Adv(φ ) e Dif(φ ) representam os termos advectivos e difusivos, respectivamente.

Assim, de acordo com a metodologia referida, a solução é obtida em dois passos

distintos. No primeiro passo os termos advectivos e difusivos são diferenciados de

acordo com a expressão:

( ) ( )1111

2

~−

−−+

+−=∆

− nnnnn

DifAdvt

HHφφ

φφ

(4.14)

sendo o segundo passo, correspondente ao termo de difusão vertical, diferenciado de

acordo com:

∂

∂∂∂

=∆− +

+

+++

σφ

σφφ 1

1

111 12

~ n

Vn

nnn

KHt

HH

(4.15)

Os detalhes dos cálculos relativos à última expressão são apresentados em Mellor

(1998). Na técnica de diferenciação temporal utilizada (Leap frog) é normal que os

resultados em passos de tempo ímpares divirjam ligeiramente dos resultados

correspondentes a passos de tempo pares. Para atenuar este efeito, é aplicada uma

suavização temporal aos resultados encontrados. Essa suavização é efectuada em todos

os passos de tempo, utilizando-se a seguinte expressão:

( )11 22

−+ +−+= nnnS φφφ

αφφ

(4.16)


145

onde Sφ é o valor da variável após aplicação do filtro anterior. A constante α é

normalmente considerada igual a 0,05. Com o objectivo de ilustrar o efeito da aplicação

do filtro anteriormente referido apresenta-se na Figura 4.11, sob a forma de gráfico, a

solução da equação ( )21 tydtdy −+= com um valor inicial y(0)=0.5, obtida com um

esquema de diferenças finitas do tipo leap frog. São representadas, para além da solução

analítica, a solução numérica sem aplicação do filtro e a mesma solução com a

aplicação de um filtro do tipo anteriormente apresentado.

0,80

0,83

0,85

0,88

0,90

0,25 0,26 0,27 0,28 0,29 0,30

t

y

Leap frog s/ suavização Sol. analítica Leap frog c/ suavização

0,00

0,04

0,08

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00t

Err

o ab

solu

to

Leap frog s/ suavização Leap frog c/suavização

Figura 4.11 – Soluções da equação diferencial ( )21 tydtdy −+= com um valor inicial y(0)=0.5. Efeito da aplicação de um filtro de suavização temporal: a) soluções

numéricas e solução analítica; b) erro absoluto das soluções numéricas com e sem suavização.

a)

b)

Capítulo 4

146

A condição de estabilidade de CFL das equações do modo externo traduz-se na seguinte

limitação para o passo de tempo (∆te):

21

22max

112

1−

++

≤∆yxUgh

te δδ

(4.17)

em que Umax é a velocidade máxima esperada e δx e δy são os espaçamentos (mínimos),

segundo a direcção x e y, respectivamente, na malha de diferenças finitas.

O modo interno, como já foi referido, apresenta uma limitação menos restritiva para o

passo de tempo (∆ti), definida pela seguinte expressão:

21

22max

112

1−

++

≤∆yxUc

ti δδ

(4.18)

em que c é a celeridade das ondas gravíticas internas. Em condições típicas de zonas

costeiras a relação ∆ti/∆te situa-se no intervalo 40 a 80.

Existem outros limites para o passo de tempo a utilizar no modo interno, impostos pelas

condições de difusão horizontal da quantidade de movimento, de escalares e pelos

termos de Coriolis, não sendo estes, todavia, tão restritivos como os que são obtidos

pelas expressões anteriormente apresentadas.

A sequência de cálculo no programa POM encontra-se representada pelo fluxograma da

Figura 4.12, onde se indicam as principais subrotinas de cálculo. No programa

principal é efectuada a inicialização de todas as variáveis e parâmetros, sendo ainda

estabelecidas as condições iniciais. Segue-se o ciclo de integração temporal

correspondente ao modo interno. Para cada um dos ciclos de integração (II=1,IEND), a

sequência dos cálculos é a seguinte:

- Na subrotina ADVCT são calculados os termos advectivos e os termos relativos à

difusão horizontal das componentes horizontais da velocidade. Os termos calculados


147

são integrados na vertical e posteriormente utilizados no início dos ciclos de

integração do modo externo. Estes termos são calculados em cada um dos ciclos do

modo interno e actualizados durante o ciclo de integração do modo externo. Nesta

subrotina são calculados a partir dos valores das velocidades médias (na vertical). A

actualização não necessita de ser efectuada em todos os ciclos do modo externo. A

subrotina ADVAVE, onde são calculados os termos similares no modo externo,

poderá ser chamada em intervalos de tempo (múltiplos de ∆te) previamente

definidos, mantendo-se o cálculo estável.

- Os cálculos dos integrais verticais (baroclínicos), envolvendo a massa volúmica, são

realizados na subrotina BAROPG.

- Segue-se o ciclo de integração associado ao modo externo, cuja sequência de

cálculo será apresentada mais adiante, onde se calculam as velocidades médias

(verticais) e as elevações da superfície livre, utilizando-se os valores da massa

volúmica calculada no modo interno. O número de passos de integração neste ciclo

é definido pelo quociente ∆ti/∆te (ISPLIT), que deverá ser um número inteiro.

- As componentes horizontais da velocidade obtidas no modo interno são ajustadas de

forma a que o integral vertical dessas componentes coincida com as médias

temporais das componentes da velocidade calculadas no modo externo.

- Na subrotina VERTVL é efectuada a integração da equação de continuidade, de

forma a calcular a componente vertical da velocidade em coordenadas sigma. Esta

velocidade vertical transformada é normal às superfícies definidas por coordenadas

sigma constantes. Após este cálculo são estabelecidas as condições de fronteira para

a componente vertical da velocidade, através de chamada à subrotina BCOND.

- A subrotina ADVQ calcula a Eq. 4.14 para as quantidades q2 e q2l do sub-modelo de

turbulência utilizado para a quantificação dos coeficientes de difusão verticais. Na

subrotina PROFQ é resolvida a Eq. 4.15 para as mesmas quantidades, efectuando-se

Capítulo 4

148

seguidamente a quantificação das condições de fronteira, na subrotina BCOND, para

as grandezas do modelo de turbulência.

- Os cálculos que se seguem, referentes aos escalares temperatura e salinidade, são

efectuados nas subrotinas ADVT (resolução da Eq. 4.14) e PROFT (resolução da Eq.

4.15). As condições de fronteira para as grandezas anteriores são mais uma vez

estabelecidas na subrotina BCOND.

- Finalmente, são chamadas as subrotinas ADVU e ADVV, onde se efectuam os

cálculos dos termos advectivos (incluindo ainda os termos de Coriolis e de

curvatura) e de difusão horizontal da velocidade, e as subrotinas PROFU e PROFV

onde se calculam os termos relativos à difusão vertical. Na subrotina BCOND são

definidas as condições de fronteira das componentes horizontais da velocidade no

modo interno.

O modo externo apresenta a seguinte sequência de cálculos:

- Inicia-se com o cálculo das elevações da superfície livre, sendo posteriormente

definidas as condições de fronteira relativas a esta variável, calculadas na subrotina

BCOND.

- Os termos advectivos, juntamente com os termos de difusão horizontal calculados a

partir das velocidades médias horizontais, são actualizados na subrotina ADVAVE

em intervalos de tempo múltiplos do passo de integração do modo externo, como foi

referido anteriormente.

- Segue-se o cálculo das velocidades médias horizontais e das correspondentes

médias temporais.

- O ciclo de cálculos do modo externo finaliza com a definição das condições de

fronteira relativas às velocidades médias na subrotina BCOND.

O programa é finalizado após a escrita de resultados.


149

ADVUADVV

PROFUPROFV

BCOND(3)

-Vel. vertical (σ)

-Cond. fronteira: w

BCOND(1)

ADVCTBAROPG

VERTVLBCOND(5)

ADVQ(Q2)ADVQ(Q2L)

PROFQBCOND(6)

ADVT(T)ADVT(S)

PROFT(T)PROFT(S)BCOND(4)

ADVAVE

BCOND(2)

INÍCIO

FIM

DEFINIÇÃO DE PARÂMETROSMALHA

CONDIÇÕES INICIAIS

CICLOMODO INTERNO

II=1, IEND

RESULTADOS

-Adv. e difusão: u e v

-Massa volúmica

CICLOMODO EXTERNO

IE=1, ISPLIT

AJUSTA u e v(Integral vertical de u e v = médiada velocidade do modo externo)

ELEVAÇÃO DA SUPERFÍCIELIVRE

VELOCIDADES U E V

MÉDIAS TEMPORAIS DEU E V

-Adv. e dif. hor.: Q2 e Q2L-Dif. vert.:Q2,Q2L-Cond. fronteira Q2 e Q2L

-Adv. e dif. hor.:T-Adv. e dif. hor.:S-Dif. vert.:T-Dif. vert.:S-Cond. front.: T,S

-Adv. e dif. hor.:u-Adv. e dif. hor.:v-Dif. vert.:u-Dif. vert.:v-Cond. front.: u,v

-Cond. fronteira: Elevação dasuperfície livre

-Adv. e difusão: U e V

-Cond. fronteira: U e V

Figura 4.12 – Fluxograma do algoritmo do programa POM (adaptado de Mellor, 1998).

Capítulo 4

150


Uma das dificuldades de utilização do programa POM, em aplicações reais, prende-se

com a preparação de dados e a análise de resultados. A malha de diferenças finitas, os

parâmetros relativos a cada um dos modelos, assim como as respectivas condições de

fronteira, deverão ser directamente definidos no código FORTRAN. Existem, no

entanto, algumas ferramentas desenvolvidas em ambiente MATLAB que auxiliam a

execução das tarefas atrás mencionadas. Para a geração da malha de diferenças finitas

poderá utilizar-se o programa GRIDGEN. A sequência de preparação da malha de

diferenças finitas, para a aplicação do programa à Foz do Rio Douro, é ilustrada na

Figura 4.13. Numa primeira fase deverão ser definidas duas matrizes: uma com um

conteúdo correspondente às coordenadas dos pontos da linha de costa e a outra com as

coordenadas dos pontos que permitam definir a batimetria da região a modelar. Estes

dados são guardados num formato adequado para posterior leitura em ambiente

MATLAB (o contorno é definido pela linha azul da Figura 4.13-b) e a batimetria é

conhecida no interior do rectângulo representado na mesma figura). Seguidamente

define-se o contorno da malha e o número de divisões segundo cada uma das direcções

(Figura 4.13 - c), d)). O programa permite ainda adaptar o espaçamento de forma a

criar zonas em que a malha se apresente mais refinada (Figura 4.13 – e)). Finalmente, o

programa determina, por interpolação da batimetria fornecida, a profundidade em cada

um dos nós e define um ponteiro que indica se os pontos se localizam na água ou em

terra (Figura 4.13-f)).

A informação com a geometria da malha é guardada num ficheiro que poderá ser lida

posteriormente no programa POM. O pós-processamento de resultados poderá ser

efectuado utilizando-se duas ferramentas distintas: o programa SMS e o programa

CSLICE.

Foram desenvolvidos alguns programas utilitários para permitir efectuar a análise de

resultados através do programa SMS. Na Figura 4.14 apresentam-se alguns resultados

relativos ao modelo da Foz do Rio Douro.


151

Figura 4.13 – Geração de malhas de diferenças finitas – Programa GRIDGEN.

a) – Foz do Rio Douro b) – Linha de costa e batimetria

c) – Contorno da malha d) – Malha de DF

e) – Adaptação dos espaçamentos f) – Profundidades nos nós da malha

Capítulo 4

152

Velocidades – Enchente (camada superficial)

Velocidades – Vazante (camada superficial)

Velocidades – Enchente (corte vertical)

Velocidades – Vazante (corte vertical)

Figura 4.14 – Resultados do programa POM processados pelo programa SMS.

O programa CSLICE permite efectuar a representação em planta e em cortes verticais

das variáveis escalares e efectua também a representação dos campos vectoriais em

planos horizontais. Para utilização deste pós-processador, o programa POM sofreu os

desenvolvimentos necessários de forma a que os resultados sejam guardados num

formato que permita a sua leitura no programa CSLICE. Na Figura 4.15, apresentam-se

alguns dos resultados de velocidades para diferentes profundidades num caso de teste (é


153

considerado um canal rectangular de fundo plano, com um escoamento no sentido

Oeste-Este).

Figura 4.15 – Representação da velocidade a diferentes profundidades num canal de fundo plano obtida com o programa CSLICE.

Esta ferramenta de pós-processamento apresenta contudo, algumas limitações, pelo que

se optou por efectuar o tratamento de resultados no programa SMS, tendo sido, como foi

referido, desenvolvidas as ferramentas necessárias de interface entre os dois programas.

4.3.4 Avaliação comparativa de desempenho dos programas RMA2 e TELEMAC2D

Tendo como objectivos a selecção do programa de hidrodinâmica a aplicar na

modelação de problemas 2DH e a validação do programa RMA2 (o programa

TELEMAC2D tem sido aplicado com sucesso a diversos casos de estudo com condições

hidrodinâmicas muito distintas), procedeu-se a uma análise comparativa de desempenho

dos dois programas. Para tal, recorreu-se à simulação de um caso de teste que, para

condições de fronteira específicas e admitindo-se diversas hipóteses simplificativas,

Profundidade: 1,0 m Profundidade:50,0 m

Profundidade:57,5 m Profundidade:59,5 m

Capítulo 4

154

apresenta uma solução analítica conhecida. Posteriormente, procede-se à comparação da

solução analítica com as soluções numéricas obtidas pelos dois programas.

4.3.4.1 Caracterização do caso de teste - bacia rectangular fechada numa extremidade

Pretendeu-se determinar as elevações e o campo de velocidades resultante numa bacia

rectangular fechada numa das extremidades e sujeita a uma elevação da superfície livre

(função periódica) na extremidade oposta, conforme se apresenta na Figura 4.16.

Planta

x=0

Nó Oeste Nó intermédio Nó Este

Alçado

Lb= 800,0 m

h=5,0 m T= 1000 s , a = 0,1 m

a

( )t cosa ωη =

Figura 4.16 - Geometria da bacia rectangular - caso de teste.

A solução analítica deste problema poderá ser obtida, desde que se verifiquem as

seguintes condições:

- A amplitude da onda seja pequena quando comparada com a profundidade;

- A profundidade seja pequena em relação ao comprimento de onda

(profundidade/comprimento de onda < 0,05);


155

- As acelerações verticais sejam desprezáveis e, portanto, a distribuição de

pressões possa ser considerada hidrostática;

- As forças de atrito internas e superficiais, assim como as acelerações de Coriolis

e de inércia convectivas, sejam desprezáveis.

Nestas condições, as equações da quantidade de movimento e da continuidade poderão

ser escritas da seguinte forma, admitindo que o movimento ocorre apenas segundo a

direcção x:

( )0=+

+xu

ht

h∂∂

∂η∂

(4.19)

( )0=

++

xh

gtu

∂η∂

∂∂

(4.20)

A solução analítica do sistema de equações anterior é dada por:

( )( ) ( )[ ]αωη += tkkx

cosLbcos

cosa

(4.21)

( )( ) ( )[ ]αω += tkkx

hu sin

Lbcossinac

(4.22)

com as seguintes condições:

tu 0para 0 == (4.23)

( ) Lb= para cosa xtωη = (4.24)

onde, η é a elevação da superfície livre [m];

a é a amplitude da função periódica na fronteira aberta [m];

T é o período da função periódica na fronteira aberta [s];

ω π= 2 T é a frequência angular da função periódica na fronteira aberta [s-1];

gH=c é a celeridade [m s-1];

Capítulo 4

156

k = ω c é o número de onda [m-1];

α é o atraso da função periódica [s];

h é a profundidade da água em equilíbrio [m].

4.3.4.2 Condições de simulação

Para se conseguir uma aproximação razoável entre as condições impostas para a

obtenção da solução analítica e as condições em que se obtêm as soluções numéricas,

foram considerados coeficientes de viscosidade nulos ou muito pequenos.

Adicionalmente poder-se-iam, no caso do programa TELEMAC2D, desprezar os termos

convectivos (este programa tem como opção a consideração ou não de vários conjuntos

de parcelas que figuram nas equações a resolver). Esta possibilidade não é no entanto

considerada razoável, já que não é possível linearizar simultaneamente a equação da

continuidade. Por outro lado, desta forma, são resolvidos os mesmos modelos

matemáticos pelos dois programas em análise. Salienta-se ainda o facto de a amplitude

adoptada para a função periódica da fronteira aberta ser pequena, o que diminui a

importância dos termos de aceleração convectiva do modelo global.

Uma vez que não é possível utilizar o mesmo tipo de elemento nos dois modelos optou-

se pela discretização do domínio em elementos quadrangulares de dimensões

semelhantes. A diferença na discretização implicará necessariamente a obtenção de

resultados ligeiramente diferentes.

Apresentam-se na Figura 4.17 as malhas de elementos finitos correspondentes à

discretização do domínio em análise para cada um dos programas. Os cálculos para

obtenção da solução numérica em cada um dos dois programas analisados, foram

efectuados a partir da situação de repouso (condições iniciais: cota da superfície livre

constante e velocidades nulas em todo o domínio). Nestas condições pode avaliar-se o

efeito das condições iniciais no desenvolvimento do cálculo. O período de simulação

considerado em cada um dos programas tem uma duração que permite ultrapassar a

situação transitória. O valor da amplitude considerada para a função periódica imposta

na extremidade aberta da bacia foi de 0,1 m e o período 1000 s. O passo de tempo


157

adoptado nos dois programas foi de 25 s (a este intervalo de tempo correspondem

valores do número de Courant inferiores a 2).

Malha de elementos finitos: Programa TELEMAC2D ELEMENTOS: 16 NÓS: 27

ELEMENTOS: 16 NÓS: 69Malha de elementos finitos: Programa RMA2

Nó Oeste Nó Intermédio Nó Este

Nó Oeste Nó Intermédio Nó Este

Figura 4.17 - Malhas de elementos finitos da bacia rectangular – caso de teste.

4.3.4.3 Análise de resultados

Os resultados obtidos para as elevações da superfície livre no nó Oeste são apresentados

na Figura 4.18. Estes resultados correspondem às elevações obtidas entre os 15 000 s e

os 20 000 s do tempo de cálculo. Pode considerar-se que a solução numérica obtida

pelos dois modelos apresenta uma aproximação razoável à solução analítica. As

assimetrias existentes revelam a influência dos termos não lineares considerados nas

equações dos modelos numéricos. Estas assimetrias são ainda mais visíveis nos

resultados que se apresentam na Figura 4.19, para os módulos das velocidades no nó

Este. Embora não seja muito significativa a diferença de resultados obtidos entre os dois

programas, o melhor desempenho revelado pelo programa RMA2 prende-se com o facto

de utilizar elementos de 8 nós. Esta diferença no tipo de funções de forma utilizadas em

cada um dos modelos implica um custo adicional em termos de tempo gasto no cálculo

(tempo de CPU), que poderá ser significativamente mais elevado no caso do programa

RMA2. Neste exemplo, com um número de elementos baixo (16), a diferença não é

muito significativa; contudo esta diferença acentuar-se-á no caso de problemas de maior

dimensão.

Capítulo 4

158

P r o g r a m a R M A 2

- 0 , 2 0

- 0 , 1 5

- 0 , 1 0

- 0 , 0 5

0 , 0 0

0 , 0 5

0 , 1 0

0 , 1 5

0 , 2 0

1 5 0 0 0 1 5 5 0 0 1 6 0 0 0 1 6 5 0 0 1 7 0 0 0 1 7 5 0 0 1 8 0 0 0 1 8 5 0 0 1 9 0 0 0 1 9 5 0 0 2 0 0 0 0

T e m p o ( s )

E l e v a ç ã o ( m )

E l e v a ç õ e s - s o l u ç ã o n u m é r i c a E l e v a ç õ e s - s o l u ç ã o a n a l í t i c a

Prog . T E L E M A C 2 D

- 0 , 2 0

- 0 , 1 5

- 0 , 1 0

- 0 , 0 5

0 , 0 0

0 , 0 5

0 , 1 0

0 , 1 5

0 , 2 0

1 5 0 0 0 1 5 5 0 0 1 6 0 0 0 1 6 5 0 0 1 7 0 0 0 1 7 5 0 0 1 8 0 0 0 1 8 5 0 0 1 9 0 0 0 1 9 5 0 0 2 0 0 0 0

Tempo ( s )

E l e v a ç ã o ( m )

E l e v a ç õ e s - s o l u ç ã o n u m é r i c a E l e v a ç õ e s - s o l u ç ã o a n a l í t i c a

Figura 4.18 – Elevações da superfície livre (Nó Oeste) – Resultados

Programa R M A 2

0 , 0 0

0 , 0 5

0 , 1 0

0 , 1 5

0 , 2 0

0 , 2 5

1 5 0 0 0 1 5 5 0 0 1 6 0 0 0 1 6 5 0 0 1 7 0 0 0 1 7 5 0 0 1 8 0 0 0 1 8 5 0 0 1 9 0 0 0 1 9 5 0 0 2 0 0 0 0

Tempo ( s )

Módulo da velocidade (m/s)

Velocidade - solução numérica Velocidade - solução analítica

Programa T E L E M A C 2 D

0 , 0 0

0 , 0 5

0 , 1 0

0 , 1 5

0 , 2 0

0 , 2 5

1 5 0 0 0 1 5 5 0 0 1 6 0 0 0 1 6 5 0 0 1 7 0 0 0 1 7 5 0 0 1 8 0 0 0 1 8 5 0 0 1 9 0 0 0 1 9 5 0 0 2 0 0 0 0

Tempo (s)


Velocidade - solução numérica Velocidade - solução analítica

Figura 4.19 - Módulos das velocidades (nó Este)- Resultados


159

Os resultados apresentados anteriormente foram obtidos, como foi referido, impondo

como condição de fronteira a função representada pela Eq. 4.24. Trata-se portanto de

uma função dinâmica imposta em termos de elevações da superfície livre.

Procedeu-se ainda à resolução do mesmo problema por ambos os programas impondo

uma condição de fronteira em termos de velocidades, expressa pela Eq. 4.22 com x=Lb,

ou seja:

( ) ( )[ ] Lb= para )Lbtanac

xtsenkh

u αω += (4.25)

Programa RMA2

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000Tempo (s)

Elevação(m)

Elevações - solução numérica Elevações - solução analítica

Programa TELEMAC2D

-0,20

-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000Tempo (s)

Elevação (m)

Elevações - solução numérica Elevações - solução analítica

Figura 4.20 - Elevações (nó Oeste)- Resultados

Capítulo 4

160

Nas Figuras 4.20 e 4.21 apresentam-se os resultados das elevações no nó Oeste e de

módulos das velocidades no nó intermédio para um período com início no repouso e de

duração igual a 6000 s. Estes evidenciam uma rápida convergência para a solução

estacionária e uma melhor aproximação à solução analítica, quer em termos de

elevações da superfície livre quer em termos de velocidades.

Programa RMA2

0,000

0,025

0,050

0,075

0,100

0,125

0,150

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tempo (s)


Velocidades - solução numérica Velocidades - solução analítica

Programa TELEMAC2D

0,000

0,025

0,050

0,075

0,100

0,125

0,150

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

Tempo (s)


Velocidades - solução numérica Velocidades - solução analítica

Figura 4.21 - Módulos das velocidades (nó Intermédio)- Resultados


161

4.3.5 Desenvolvimento do módulo hidrodinâmico do programa POM

Neste ponto procede-se a uma análise de desempenho do programa POM na simulação

do caso de teste apresentado no ponto anterior e apresenta-se um desenvolvimento do

programa que consiste na inclusão da possibilidade de cálculo do modo externo pelo

método dos elementos finitos (programa RMA2). Caracterizam-se os desenvolvimentos

efectuados no programa original, avaliam-se as condições em que tal substituição se

poderá justificar e quantificam-se os custos que acarreta em termos de tempo de cálculo.

4.3.5.1 Modelos numéricos considerados na análise comparativa

Conforme se constatou através da análise efectuada no ponto anterior, num modelo

hidrodinâmico, as condições de fronteira a impor em fronteiras artificiais abertas

deverão ser preferencialmente definidas em termos das componentes da velocidade. No

entanto, na generalidade dos problemas reais, é habitual encontrarem-se apenas

disponíveis as elevações da superfície livre (podendo ser facilmente quantificadas

através da utilização de modelos desenvolvidos com base em observações efectuadas a

partir de satélites), sendo mais raros aqueles em que se dispõem simultaneamente, de

medições da velocidade. Assim, o desempenho de um determinado modelo dependerá,

entre outros factores, do desempenho do programa quando as referidas condições de

fronteira são impostas em termos de elevações da superfície livre.

Tendo como objectivo a avaliação do desempenho do modo externo do programa POM,

para as condições de fronteira impostas em termos de elevações da superfície livre (ver

Eq. 4.24), procedeu-se a uma análise comparativa correspondente ao caso de teste

caracterizado na Figura 4.16, considerando um modelo implementado no programa

POM e outro modelo numérico implementado no programa RMA2. Na implementação

do modelo no programa POM foi considerada uma malha de diferenças finitas com

espaçamento constante, segundo as duas direcções horizontais, igual a 25,0 m. A malha

de elementos finitos utilizada no programa RMA2 é constituída por 256 elementos

quadrangulares de oito nós (Figura 4.22). As simulações foram efectuadas utilizando-se

um passo de tempo de 1,0 s no programa POM (para cumprimento da limitação de CFL,

expressa pela Eq. 4.17) e um passo de tempo de 25 s no caso do programa RMA2. Foi

Capítulo 4

162

considerada nos dois modelos a situação inicial de repouso e um intervalo de integração

com uma duração de, aproximadamente, 6 períodos da função periódica imposta na

fronteira.

IM=35

JM=11

Lb=800 m

Nó intermédio Nó EsteNó Oeste

Nº DE ELEMENTOS: 256 Nº DE NÓS: 849

Lb=800 m

Nó intermédioNó EsteNó Oeste

Figura 4.22 – Malhas utilizadas na implementação dos modelos no programa POM e no programa RMA2 - caso de teste.

4.3.5.2 Análise dos resultados obtidos pelos programas RMA2 e POM no caso de teste

Os diversos resultados obtidos nas simulações efectuadas pelos dois modelos

evidenciam um melhor desempenho do programa RMA2 relativamente ao programa

POM (modo externo) (Figura 4.23). Comparando os somatórios das diferenças

(módulo) entre as velocidades obtidas pelos modelos numéricos e a solução analítica,

este somatório reduz-se em cerca de 30% no caso do programa RMA2, durante o

período de simulação considerado (6000 s). O modelo implementado neste último

programa apresenta ainda um menor período de transição entre a situação inicial

(repouso) e a situação não transiente.


163

POM (modo externo) - Nó intermédio

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0 1500 3000 4500 6000

Tempo (s)

U (m/s)

Solução numérica Solução analítica

RMA2 - Nó intermédio

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0 1500 3000 4500 6000

Tempo (s)

U (m/s)



-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0 1500 3000 4500 6000

Tempo (s)

η (m)

Solução analítica Solução numérica

RMA2 - Nó intermédio

-0,15

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

0,15

0 1500 3000 4500 6000

Tempo (s)

η (m)

Solução analítica Solução numérica

Figura 4.23 – Soluções numéricas e solução analítica para o nó intermédio do caso de teste.

Capítulo 4

164

Salienta-se, no entanto, que os resultados anteriores foram obtidos impondo-se como

condições de fronteira as elevações na superfície livre. Os resultados poderão ser

significativamente melhorados (como foi evidenciado pelos resultados apresentados na

análise comparativa efectuada entre os programas TELEMAC2D e RMA2, apresentada

anteriormente) em modelos em que se conheçam as leis de variação da velocidade nas

fronteiras. Na Figura 4.24 apresentam-se os resultados numéricos, para o mesmo caso

de teste, numa simulação efectuada com o modelo implementado no programa POM

(modo externo) mas em que a condição de fronteira imposta é baseada numa condição

de radiação da forma:


-0,100

-0,075

-0,050

-0,025

0,000

0,025

0,050

0,075

0,100

0 500 1000 1500 2000

Tempo (s)

U(m/s)



-0,15

-0,10

-0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0 500 1000 1500 2000

Tempo (s)

η (m)


Figura 4.24 – Soluções numérica e analítica para a elevação e velocidade no nó intermédio do caso de teste.


165

( )**,ηη UfrghhU =− (4.26)

em que ( )**,ηUfr é uma função estabelecida a partir dos valores conhecidos das

elevações e das velocidades na fronteira.

Os resultados da solução numérica apresentam-se praticamente coincidentes com os

resultados da solução analítica sendo muito mais curto o período de transição entre a

situação de repouso e a situação estável. O melhor desempenho do programa RMA2 na

determinação das componentes horizontais da velocidade média e das elevações da

superfície livre, evidenciado quer pelos resultados anteriormente apresentados quer por

outros de simulações efectuadas em diferentes modelos, motivaram o desenvolvimento

de uma versão do programa POM (denominada daqui em diante de POM-UMH) em que

a determinação das variáveis do modo externo é efectuada a partir do método de cálculo

implementado no programa RMA2.

4.3.5.3 Tempos de cálculo nos programas POM e RMA2

Antes de se proceder à caracterização dos desenvolvimentos efectuados no programa

POM, procurou-se avaliar os custos computacionais que a substituição do método de

cálculo do modo externo original pelo método dos elementos finitos apresenta em

termos de tempo de cálculo (tempo CPU). O tempo de cálculo no programa POM

dispendido na realização de uma determinada simulação depende essencialmente do

hardware utilizado e dos passos de tempo definidos no modo externo e no modo interno

(limitados superiormente pelas condições expressas pelas equações 4.17 e 4.18,

respectivamente). Os tempos de cálculo abaixo apresentados referem-se a versões dos

programas compilados num computador pessoal (PC) com um processador Pentium 500

Mhz. O passo de tempo do modo externo depende da resolução espacial horizontal da

malha de diferenças finitas, da profundidade de água e da velocidade máxima do

escoamento. No gráfico da Figura 4.25 apresentam-se diversas rectas que permitem

analisar a variação do passo de tempo do modo externo para espaçamentos da malha

entre 100 m e 1000 m, considerando-se uma velocidade máxima do escoamento de 2,0

Capítulo 4

166

m s-1. Como resulta da análise da CFL, os menores espaçamentos na malha e as regiões

de maiores profundidades obrigam à utilização de passos de tempo mais restritivos.

U max =2,0 m/s

0

10

20

30

40

50

60

70

100 250 400 550 700 850 1000

δ x =δ y (m)

t e (

s)

H=2,0 m

H=10,0 m

H=20,0 m

H=50,0 m

H=100,0 m

Figura 4.25 – Passo de tempo do modo externo do programa POM em função da resolução da malha de DF e da profundidade da água.

Fixada uma determinada resolução espacial é possível determinar o passo de tempo

máximo a utilizar no modo interno. Os valores deste passo de tempo, para valores do

espaçamento horizontal fixos, serão tanto menores quanto maiores forem os valores da

celeridade das ondas internas (c) e da velocidade máxima da corrente (Umax), conforme

se constata pela análise dos gráficos apresentados na Figura 4.26. Nestes gráficos

representam-se as curvas de variação do quociente ∆ti/∆te com a profundidade, para

diferentes valores de Umax e c. Considera-se um espaçamento da malha igual segundo as

direcções horizontais de 250 m.

A quantificação dos tempos de cálculo foi realizada utilizando-se um caso de teste em

que é considerada uma bacia rectangular (dimensões 30 km x 10 km) com um fundo

plano apresentando uma profundidade de 20 m. Foram considerados diferentes modelos

do caso de teste em que se variou a resolução espacial (horizontal e vertical). No caso

do modo externo do programa POM consideraram-se diferentes malhas de DF com


167

espaçamentos constantes segundo as duas direcções de 250 m, 300 m, 350 m, 400 m,

500 m e 750 m. Nos modelos implementados no programa RMA2 foram consideradas

malhas de elementos finitos com idênticas resoluções.

U max = 1 m/s

0

10

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100H (m)

t i/

t e

c=0,2 m/s

c=0,5 m/s

c=1,0 m/s

c=2,0 m/s

C = 1 m/s

0

10

20

30

40

50

0 20 40 60 80 100H (m)

t i/

t e Umax=0,1 m/s

Umax=0,5 m/s

Umax=2,0 m/s

Umax=5,0 m/s

c

Figura 4.26 – Quociente ∆ti/∆te em função da profundidade da água para diversos valores de c e de Umax.

Capítulo 4

168

Estabelecidas as características das malhas foram quantificados os passos de tempo ∆ti e

∆te limitados pelas condições de CFL a utilizar em cada um dos modelos. O passo de

tempo utilizado no programa RMA2 foi considerado igual a ∆ti. Embora este programa

não apresente um limite para o passo de tempo decorrente do método numérico nele

implementado (o método é implícito) no caso da sua utilização para substituição do

modo externo do programa POM, o passo de tempo deverá respeitar a condição de CFL

associada ao modo interno.

No Quadro 4.2 apresentam-se as principais características de cada um dos modelos

(espaçamentos das malhas, passos de tempo ∆ti e ∆te e número de divisões IM e JM das

malhas) e os tempos de cálculo correspondentes a um dia de integração.

Quadro 4.2 – Tempos de cálculo do programa RMA2 e do modo externo do programa POM para diferentes resoluções espaciais.

δx=δy ∆te ∆ti IM JM Tempo de cálculo Modo externo POM

Tempo de cálculo RMA2

(m) (s) (s) (min)/dia integração (min)/dia integração

250 4,0 80,0 121 41 16,0 120,0 300 6,0 120,0 101 33 7,0 48,0 350 7,5 150,0 86 29 4,0 20,5 400 9,0 180,0 76 26 2,0 12,0 500 10,0 200,0 61 21 1,4 6,0 750 15,0 300,0 41 15 0,5 2,0

O programa RMA2 revela-se mais dispendioso (como seria de esperar, dadas as

características dos métodos numéricos envolvidos), demorando de quatro a

aproximadamente oito vezes mais tempo que o modo externo do programa POM

quando o espaçamento da malha se reduz de 750 m para 250 m.

Quantificados os tempos de cálculo do modo externo do programa POM e do programa

RMA2, interessa avaliar o agravamento que a substituição em análise provoca no tempo

de cálculo do programa POM (modelos tridimensionais). Para tal, implementaram-se

diversos modelos, para o mesmo caso de teste apresentado anteriormente, com

diferentes resoluções espaciais. Nas direcções horizontais foram considerados

espaçamentos das malhas de 250 m e de 500 m. Na direcção vertical foram consideradas


169

cinco resoluções: 2, 4, 6, 10 e 20 camadas (correspondentes a valores de KB iguais a 3,

5, 7, 11, e 21, respectivamente).

O modo interno, mais exigente em termos de esforço computacional, apresenta tempos

de cálculo crescentes com o número de camadas considerado. No Quadro 4.3

apresentam-se os tempos de cálculo do programa POM e os valores estimados para o

tempo de cálculo esperado para o programa POM-UMH tendo por base os valores

apresentados no Quadro 4.2. A estimativa foi realizada considerando-se os tempos

obtidos com os modelos implementados no programa POM subtraídos do tempo de

cálculo do modelo correspondente ao modo externo (POM) e adicionados dos tempos

de cálculo obtidos com o programa RMA2.

Quadro 4.3 – Tempos de cálculo dos programas POM e POM-UMH para diferentes resoluções espaciais.

δx=δy=250 m δx=δy=500 m

KB Tempo de cálculo

POM (1) Tempo de cálculo

POM-UMH (2)

[(2)-(1)]/(1) Tempo de cálculo

POM (3) Tempo de cálculo

POM-UMH (4)

[(4)-(3)]/(3)

(min)/dia integração (min)/dia integração (min)/dia integração (min)/dia integração

3 24,0 128,0 4,33 2,6 7,2 1,77 5 48,0 152,0 2,17 4,0 8,6 1,15 7 64,0 168,0 1,63 7,0 11,6 0,66

11 108,0 212,0 0,96 12,0 16,6 0,38 21 270,0 374,0 0,39 24,0 28,6 0,19

A substituição do método de cálculo do modo externo do programa POM pelo método

utilizado no programa RMA2 apresenta agravamentos nos tempos de cálculo que variam

entre 19,0%, para espaçamentos horizontais das malhas de 500 m e um número de 20

camadas na direcção vertical, a quase quintuplicando para espaçamentos de malhas de

250 m e considerando duas camadas segundo a direcção vertical.

Um dos procedimentos (aparecendo como consequência dos resultados apresentados

nos quadros anteriores) que poderá ser adoptado com o objectivo de diminuir os

agravamentos nos tempos de cálculo, ou mesmo conseguir a redução do tempo de

cálculo relativamente aos tempos associados à versão original do programa, será o de

utilizar malhas de elementos finitos com resolução inferior à utilizada na malha de

diferenças finitas. Neste caso, as variáveis do modo externo necessárias em pontos da

Capítulo 4

170

malha de diferenças finitas durante os cálculos do modo interno poderiam ser obtidas

por interpolação dos valores obtidos na malha de elementos finitos. A adopção deste

procedimento conduziria, no caso de se utilizar um espaçamento de 500 m no modo

externo, um espaçamento de 250 m no modo interno e considerando um modelo com 10

camadas (KB=11), a um tempo de cálculo no programa POM-UMH da ordem de 100

min/dia integração. Na versão do programa POM-UMH implementada optou-se, no

entanto, por considerar que as malhas utilizadas apresentam sempre resoluções

horizontais idênticas em ambas as direcções.

4.3.5.4 Programa POM-UMH

Como já foi referido anteriormente, o programa POM-UMH, corresponde a um

desenvolvimento numérico cuja formulação matemática de base é idêntica à do

programa POM, mas em que o modo externo é calculado de acordo com a metodologia

utilizada no programa RMA2. A versão do presente programa é válida para aplicações

em que os termos baroclínicos (envolvendo gradientes verticais de massa volúmica) e

os termos dispersivos (Gx e Gy) nas equações de conservação da quantidade de

movimento integradas na vertical possam ser desprezados. Na Figura 4.27 apresenta-se

o fluxograma do programa onde se incluem as etapas fundamentais do cálculo.

Relativamente ao modo externo são consideradas as duas opções de cálculo (ME=1 ou

2). Este modo é chamado em todos os ciclos do modo interno e apresenta as seguintes

principais fases de cálculo:

- Leitura das condições impostas nas fronteiras abertas;

- Cálculo das componentes da velocidade média e das profundidades de água

para o instante corrente, segundo o método não linear de discretização

temporal adoptado, a partir dos valores calculados no instante anterior e

utilizando os valores das derivadas temporais das variáveis;

- Ciclo iterativo (método de Newton-Raphson) para a determinação das

variáveis nos nós da malha de elementos finitos. O sistema de equações é

formado e resolvido nas subrotinas LOAD e FRONT. Segue-se a aplicação

das correcções determinadas, a actualização das derivadas temporais e a

verificação do critério de convergência (definido a partir da variação da

profundidade).


171

O passo de tempo utilizado (∆ti), cujo valor resulta da verificação da condição de CFL

para o modo interno, é o mesmo para os dois modos.

PREHYD

ADVUADVV

PROFUPROFV

BCOND(3)

-Vel. vertical (σ)

-Cond. fronteira: w

ADVCTBAROPG

VERTVLBCOND(5)

ADVQ(Q2)ADVQ(Q2L)

PROFQBCOND(6)

ADVT(T)ADVT(S)


LOADFRONT

INÍCIO

FIM

DEFINIÇÃO DE PARÂMETROSMALHA DF


CICLOMODO INTERNO

II=1, IEND

RESULTADOS

-Adv. e difusão: u e v

-Massa volúmica

CICLOPROCESSO ITERATIVO


VELOCIDADES U e VPROFUNDIDADES




-Cond. fronteira: U, V, SL

- Sistema deequações

SE ME=2 í MALHA EF ME=?CICLO

MODO EXTERNOIE=1, ISPLIT

ME=2

MODO EXTERNO – POM(ver Figura 4.12)

ME=1

CORRECÇÕESDERIVADAS TEMPORAIS

CONVERGÊNCIA

Figura 4.27 – Fluxograma do algoritmo do programa POM-UMH.

Na quantificação das tensões no fundo e na superfície livre são adoptadas formulações

semelhantes no modo interno e no modo externo. As médias verticais dos valores dos

coeficientes de viscosidade determinados no modo interno, tal como os valores das

tensões no fundo, são fornecidos ao modo externo, em cada um dos passos de

Capítulo 4

172

integração. A transferência dos valores das variáveis entre as duas malhas utilizadas é

efectuada, na presente versão do modelo, através da definição de ponteiros que

permitem associar a localização dos nós da malha de elementos finitos com as células

da malha de diferenças finitas.


O programa POM-UMH foi verificado utilizando diversos casos de teste com condições

de fronteira bem determinadas e com geometrias simplificadas. Um dos casos de teste

desenvolvido refere-se a um escoamento com profundidade constante (5,0 m) numa

faixa de um canal de fundo plano e com uma inclinação igual a 0,1‰. Nestas

condições, a velocidade média do escoamento tridimensional deverá coincidir com a

velocidade média obtida a partir da fórmula de Manning-Strickler (considerou-se um

coeficiente de 20 m1/3 s-1). Os coeficientes de atrito no fundo foram definidos de forma a

que a superfície livre do escoamento fosse paralela ao fundo, verificando-se assim as

condições de um escoamento uniforme. Na Figura 4.28 apresenta-se o perfil vertical de

velocidade (foram consideradas 20 camadas no cálculo tridimensional) numa secção P

do domínio rectangular em planta (1000 m x 100 m) modelado com o programa

POM-UMH. Os resultados obtidos noutros pontos do domínio são semelhantes aos que

se apresentam na figura anterior. A velocidade média obtida é de 0,58 m s-1.

1000 m

100 m

i

i=0,1 ‰ KM-Strickler=20 m1/3 s-1

5 m

Planta

Perfil longitudinal

P

Profundidade (m)

-5.0

-4.5

-4.0

-3.5

-3.0

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7U (m/s)

Secção P

Figura 4.28 – Exemplo de aplicação do programa POM-UMH: canal de fundo plano.


173

Alguns dos modelos de sistemas reais poderão ser criados com sucesso admitindo-se a

hipótese de homogeneidade vertical. Nestes casos, um modelo bidimensional (2DH),

menos exigente em termos computacionais, poderá ser suficiente para a caracterização

das correntes na generalidade do domínio. Em zonas em que, devido à existência de

alguma singularidade, seja necessária a quantificação das três componentes da

velocidade, poderá ser construído um modelo tridimensional cujo domínio corresponda

a uma sub-região da zona a estudar.

No segundo exemplo, em que se procede à simulação do escoamento em duas bacias

ligadas por um canal, ilustram-se as potencialidades do programa POM-UMH na

construção de modelos em que seja necessária a caracterização tridimensional em

sub-regiões do domínio. Considera-se que a fronteira Oeste da bacia da esquerda

(Figura 4.29) é uma fronteira aberta, na qual são impostas as elevações da superfície

livre. Estas são quantificadas considerando que se trata de uma onda sinusoidal de

amplitude 1,0 m e com um período de 15 min.

500 1000 1500 2000 2500

N

S

W E

500

1000

1500

2000

2500

y [m]

x [m]

3000

21,0

20,0

19,0

18,0

17,0

16,0

15,0

14,0

13,0

12,0

11,0

Profundidade (m)

Figura 4.29 – Exemplo de aplicação do programa POM-UMH: bacias ligadas por um canal.

Capítulo 4

174

Na bacia da direita existe uma elevação do fundo. Nesta região é considerado um

modelo tridimensional por forma a que seja possível a quantificação do campo de

velocidades tridimensional. Na Figura 4.30 apresenta-se a malha de elementos finitos

em que foi discretizado o domínio, destacando-se a zona em que é utilizado um modelo

tridimensional cuja malha de diferenças finitas é constituída por 9 células em cada uma

das direcções horizontais e 20 camadas segundo a direcção vertical.

500 1000 1500 2000 2500

N

S

W E

500

1000

1500

2000

2500

y [m]

x[m]

3000

Figura 4.30 – Exemplo de aplicação do programa POM-UMH – malha de elementos finitos.

Os cálculos do modo interno são efectuados em cada passo de tempo numa malha que

abrange a sub-região destacada na Figura 4.30, enquanto que o modo externo é

calculado para o domínio total, fornecendo os valores das elevações da superfície livre

na sub-região necessários para o cálculo tridimensional. Com o modelo apresentado, e

para as condições de fronteira estabelecidas, é possível caracterizar o escoamento em

termos bidimensionais em todo o domínio e conhecer o campo de velocidades

tridimensional na região onde existe a elevação do fundo.


175

Na Figura 4.31 apresentam-se alguns dos resultados obtidos durante uma simulação

com uma duração de 30 minutos. Os resultados apresentados referem-se aos instantes

em que ocorrem as velocidades máximas.

500 1000 1500 2000 2500

N

S

W E

500

1000

1500

2000

2500

x [m]

y [m]

3000

1 m/s

500 1000 1500 2000 2500

N

S

W E

500

1000

1500

2000

2500

x [m]

y [m]

3000

1 m/s

2000 2500

N

S

W E

1500

0,1 m/s

1000

x [m]

y [m] KB=10

2000 2500

N

S

W E

1500

0,1 m/s

1000

x [m]

y [m] KB=10

Figura 4.31 – Exemplo de aplicação do programa POM-UMH – campos de velocidades máximas instantâneas.

Os resultados foram processados no programa SMS, depois de serem organizados em

formatos compatíveis com este programa, utilizando-se para tal diversos programas

desenvolvidos para o efeito. Nestes programas é efectuada a transformação da

componente vertical da velocidade em coordenadas sigma para coordenadas cartesianas.

Os resultados constantes da Figura 4.32 representam a projecção do campo de

Capítulo 4

176

velocidades em planos verticais (segundo alinhamentos Oeste-Este e Sul-Norte). Na

direcção vertical é aplicado um factor de escala.

2000 2500

W E

0

20x [m]

H [m] J=5

u=10 cm/s

w=1 cm/s

2000 2500

W E

0

20x [m]

H [m] J=5

u=10 cm/s

w=1 cm/s

1000 1500

S N

0

20y [m]

H [m] I=5

u=10 cm/s

w=1 cm/s

1000 1500

S N

0

20y [m]

H [m] I=5

v=10 cm/sw=1 cm/s

Figura 4.32 – Exemplo de aplicação do programa POM-UMH - campos de velocidades máximas instantâneas em planos verticais.

4.4 Modelos de qualidade da água

177


Para a modelação conjunta da hidrodinâmica e da qualidade da água em zonas costeiras

é indispensável o desenvolvimento de uma estrutura comum que permita a resolução

quer das equações que regem a física dos escoamentos nestas zonas (equação da

continuidade e equações de conservação da quantidade de movimento), quer as

equações de transporte de massa (em cada um dos processos são normalmente

seleccionadas as variáveis consideradas preponderantes, estabelecendo-se as

correspondentes equações para cada uma dessas variáveis) que permitem caracterizar a

distribuição dinâmica de variáveis indicadoras do estado de qualidade da água

(equações de advecção-difusão-reacção de substâncias dissolvidas na água). Se,

relativamente às primeiras, as formulações matemáticas conhecidas actualmente são

aceites de forma quase unânime (com excepção para os aspectos relacionados com a

modelação da turbulência), a modelação dos processos biogeoquímicos apresenta-se

muito menos consensual, dadas as simplificações efectuadas, sobretudo no que se refere

à caracterização das reacções onde não existem normalmente leis universais para a sua

definição. Assim, no estado actual de conhecimentos, o estabelecimento das leis que

regem os processos a que determinadas substâncias estarão sujeitas em meio hídrico,

deverá ser sempre questionada e se possível comprovada, com base em dados de campo

disponíveis ou através de estudos desenvolvidos propositadamente com esse fim.

Neste capítulo serão apresentados e caracterizados diferentes processos definidos tendo

em vista o estudo e análise de cenários de qualidade da água com importância para as

zonas costeiras.

Procede-se à caracterização do programa RMA4, que utiliza as soluções hidrodinâmicas

do programa RMA2, para calcular as distribuições de substâncias conservativas e do

programa PROCESSOS, que é utilizado na modelação de processos biogeoquímicos em

condições hidrodinâmicas simplificadas.

São ainda apresentados o programa RMA4-UMQ (2DH), que constituí uma nova versão

do programa RMA4 desenvolvida com o objectivo de modelar substâncias não

Capítulo 4

178

conservativas, e o programa POM-UMQ que permite a modelação física e biológica

tridimensional de sistemas costeiros.

4.4.1 Caracterização de processos para avaliação da qualidade da água

Os diferentes processos biogeoquímicos com interesse para o estudo das zonas costeiras

apresentam uma diversidade muito grande, tendo-se optado neste trabalho por definir

um quadro, o mais abrangente possível, relativo a problemas com interesse do ponto de

vista da engenharia, e que engloba quer processos simples (como por exemplo a

modelação de descargas acidentais de poluentes conservativos), quer processos de

maior complexidade, como é o caso dos modelos de produção primária nas zonas

costeiras.

4.4.1.1 Substâncias conservativas

Nos processos envolvendo substâncias conservativas considera-se apenas o transporte

de uma determinada substância no meio hídrico através de advecção e difusão.

As descargas acidentais de poluentes em zonas costeiras são infelizmente uma realidade

cada vez mais frequente. A avaliação das extensões e durações destas descargas poderá

ser efectuada recorrendo-se a um modelo em que a descarga acidental é modelada por

uma substância conservativa. A equação que permite determinar a distribuição dinâmica

da concentração da substância (designada por B) é dada, em coordenadas cartesianas,

por:

2

2

2

2

2

2

zB

AyB

xB

AzB

wyB

vxB

utB

zh ∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂

−∂∂

−=∂∂

(4.27)

Para além das situações de descargas acidentais, estes modelos simples têm também

interesse prático para a quantificação dos tempos de residência dos sistemas costeiros e

para a análise do efeito de diferentes condições hidrodinâmicas nas condições de

mistura desses sistemas.


179

4.4.1.2 Substâncias não conservativas

A generalidade dos elementos e substâncias nos meios marinhos apresentam reacções

com outros elementos e/ou substâncias, resultando na sua transformação (diminuição ou

aumento de concentração). Estes processos designam-se por processos de substâncias

não conservativas. A contaminação bacteriana resultante de descargas de águas

residuais domésticas em meio marinho, por exemplo, poderá ser modelada

adoptando-se um decaimento de 1ª ordem. O comportamento de muitas outras

substâncias (ou espécies) pode ser razoavelmente aproximado através da consideração

de decaimentos ou crescimentos de 1ª ordem, tais como: carência bioquímica de

oxigénio (CBO), algas, etc.. Os coeficientes (kB) das leis de 1ª ordem deverão ser

estabelecidos preferencialmente a partir dos dados de campo disponíveis ou de análises

laboratoriais. Para fazer reflectir matematicamente este comportamento, o processo

pode ser descrito pela Eq. 4.27 com a introdução do correspondente termo de

crescimento/decaimento. No caso de uma lei de variação de 1ª ordem tem-se:

BkzB

AyB

xB

AzB

wyB

vxB

utB

Bzh −∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂∂

−∂∂

−=∂∂

2

2

2

2

2

2

(4.28)

Os coeficientes de muitas das reacções em condições naturais aumentam com a

temperatura, podendo a dependência da temperatura ser considerada através de uma

equação de correcção derivada da equação de Arrhenius. Assim, uma vez que é prático

determinar os coeficientes a uma temperatura de 20 ºC, o valor dos coeficientes à

temperatura ambiente (T) poderão ser calculados a partir da seguinte expressão:

2020 −= T

BBTB kk θ (4.29)

em que Bθ é o coeficiente de temperatura do constituinte bioquímico B. Aquele

coeficiente apresenta normalmente valores constantes para cada um dos processos

considerados.

Capítulo 4

180

4.4.1.3 Oxigénio dissolvido

O oxigénio dissolvido (OD) é um dos parâmetros ambientais mais utilizado para

caracterizar a qualidade da água em sistemas hídricos. A zona costeira é frequentemente

utilizada como local preferencial para a rejeição final de águas residuais (sujeitas ou não

a tratamento). A análise do impacto provocado por estas descargas poderá ser efectuada

quantificando-se os efeitos, em termos das variações das concentrações de oxigénio

dissolvido na coluna de água, devidos à decomposição da matéria orgânica contida nos

efluentes rejeitados.

Os dois mecanismos primários que governam a distribuição da concentração de OD

num meio hídrico que recebe efluentes são: decomposição da matéria orgânica (a

matéria orgânica biodegradável presente num efluente é normalmente quantificada pela

CBO, que representa a quantidade total de oxigénio necessário para se realizar a

decomposição dessa matéria orgânica pela acção de micro-organismos aeróbios) e

rearejamento (devido essencialmente à transferência de oxigénio realizada na coluna de

água através da interface água-atmosfera, sendo tanto maior quanto maior for o deficit

relativamente à concentração de saturação – OS – e da actividade fotosintética das algas

presentes na coluna de água).

Admitindo-se que as reacções envolvidas neste processo seguem leis de 1ª ordem,

podem escrever-se as equações que definem o balanço de CBO (BCBO) e OD (BOD) na

coluna de água, onde se omite a interacção da interface água-sedimento em termos de

trocas de oxigénio:

CBOdCBO

z

CBOCBOh

CBOCBOCBOCBO

Bkz

BA

yB

xB

Az

Bw

yB

vx

Bu

tB

−∂

∂+

+

∂

∂+

∂∂

+∂

∂−

∂∂

−∂

∂−=

∂∂

2

2

2

2

2

2

(4.30)

( )ODaCBOd

ODz

ODODh

ODODODOD

BOSkBk

zB

AyB

xB

Az

Bw

yB

vx

Bu

tB

−+−

−∂

∂+

∂

∂+

∂∂

+∂

∂−

∂∂

−∂

∂−=

∂∂

2

2

2

2

2

2

(4.31)


181

em que,

kd é o coeficientes de desoxigenação [dia-1];

ka é o coeficiente de rearejamento [dia-1].

A quantificação de kd poderá ser efectuada em laboratório, existindo na literatura uma

gama de valores e expressões (que são função das características hidrocinemáticas do

sistema) permitindo a definição de um intervalo de variação para o seu valor. A

quantificação do coeficiente de rearejamento apresenta maiores dificuldades e, na

ausência de dados de campo suficientes, o recurso a expressões propostas por diversos

autores constitui uma via possível para a sua quantificação. A dependência da

temperatura poderá ser introduzida através de expressões do tipo representado pela Eq.

4.29.

4.4.1.4 Cadeia alimentar

O conhecimento das relações tróficas nos meios hídricos da zona costeira revela-se de

importância crucial para o sucesso das políticas de gestão ambiental destes sistemas. De

facto, como já foi referido no Capítulo 2, é nas zonas costeiras que crescem e se

desenvolvem a quase totalidade dos recursos biológicos dos ecossistemas marinhos. O

estudo das variações sazonais de produção primária, a influência dos factores

ambientais nos ciclos produtivos, a introdução de substâncias tóxicas na cadeia

alimentar e a influência dos regimes hidrodinâmicos nos ciclos produtivos são assuntos

que têm vindo a ser investigados e onde a modelação matemática começa a tornar-se

uma ferramenta muito valiosa.

Na Figura 4.33 apresentam-se as variáveis de um modelo de cadeia alimentar e as

correspondentes relações tróficas (representadas pelas linhas de ligação) que serão

caracterizadas de seguida.

Capítulo 4

182

ZOOPLANCTON C.

ZOOPLANCTON H.

ALGAS FÓSFORO

NITRATOS AMÓNIA

CARBONO

ORGÂNICO

DISSOLVIDO

CARBONO

ORGÂNICO

PARTICULADO

Figura 4.33 – Cadeia alimentar – Cinética processual.

No Quadro 4.4 apresentam-se as variáveis consideradas no presente modelo, assim

como os símbolos e as respectivas unidades utilizadas para a sua representação.

Quadro 4.4 – Cadeia alimentar: variáveis de estado

Variável Símbolo Unidades

Cadeia alimentar: 1. Algas

a

mg m-3

2. Zooplâncton herbívoro zh gC m-3 3. Zooplâncton carnívoro zc gC m-3 Carbono orgânico: 4. Particulado

cp

gC m-3

5. Dissolvido cd gC m-3 Nutrientes: 6. Amónia

na

mgN m-3

7. Nitratos nn mgN m-3 8. Fósforo solúvel ps mgP m-3

As algas, o carbono orgânico e os nutrientes poderão ser descritos pelas seguintes

equações:

( )8,7,6,5,4,1

2

2

2

2

2

2

=

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

−−∂∂

−∂∂

−=∂

∂

i

RzB

AyB

xB

AzB

wwyB

vxB

ut

Bi

iz

iih

isB

iiii

(4.32)


183

em que wsBi representa a velocidade de sedimentação da espécie biológica i. Salienta-se

que esta velocidade poderá ser considerada nula, com excepção das velocidades de

sedimentação relativas às algas e carbono orgânico particulado. As parcelas Ri, dizem

respeito às reacções (transformação de constituintes). Utiliza-se o índice i para

identificação de cada uma das variáveis utilizadas.

As algas apresentam um crescimento que é função da temperatura, da concentração de

nutrientes do meio hídrico e da radiação solar. O seu decaimento deve-se a perdas por

respiração/excreção, predação e sedimentação. Pode-se então estabelecer a seguinte

equação:

( ) ( ) ( ) azaTCaTkaIpnTkR hghrastga ,, ,,, −−= (4.33)

onde,

( )IpnTk stg ,,, é a taxa de crescimento das algas [dia-1];

( )Tkra é a taxa de respiração e excreção das algas [dia-1];

( )hgh zaTC ,, é a taxa de predação das algas, [dia-1];

nt é o azoto total inorgânico [mgN m-3];

As taxas de crescimento e de predação dependem de diversos factores ambientais. Estas

dependências poderão ser estabelecidas por relações funcionais.

No Quadro 4.5 apresentam-se as relações funcionais mais comuns utilizadas em

modelos de produção primária.

Capítulo 4

184

Quadro 4.5 – Formas funcionais mais comuns de modelos de produção primária. Todas as formas são apresentadas como processos de decaimento da variável de estado X. Os parâmetros são: k, taxa de decaimento; k2, constante de semi-saturação; Iv, constante de Ivlev; Xmin, concentração de “refúgio”.

Modelo de comportamento Função

Constante ( )XkdtdX −= ...

Linear ( )XkXdtdX −= ...

Rectilínea ( )XkXdtdX −= ... ou ( )Xk

dtdX −= ...

Michaelis-Menten

( ) XXk

kXdtdX

+

−=2

...

Sigmoid

( ) XXk

kXdtdX

+

−= 222

2

...

Ivlev { }( )( )XXIkdtdX

v−−−= exp1...

Ivlev com refúgio ( ){ }( )( )XXXIkdtdX

v minexp1... −−−−=

A dependência da taxa de crescimento de algas em relação à temperatura, intensidade de

luz e disponibilidade de nutrientes, é dada pela relação:

( ) ( )

++= −

ssp

s

tsn

tTagstg pk

pnk

nIFkIpnTk ,min,,, 20

20, θ (4.34)

em que,

kg,20 é a taxa máxima de crescimento de algas [dia–1];

θa é a factor de temperatura – algas;

F(I) é a função de dependência da intensidade de luz;


185

ksn é a constante de semi-saturação – azoto [mgN m-3];

ksp é a constante de semi-saturação – fósforo [mgP m-3].

I intensidade da luz [w m-2]

A quantificação do efeito da luz no crescimento de algas apresenta-se bastante

complicada devido à necessidade de se integrar o efeito de diferentes factores, como

sejam: a variação diurna da intensidade da luz, a atenuação da luz à medida que penetra

na coluna de água e a dependência da taxa de crescimento em relação à intensidade da

luz. Embora possa ser utilizada uma função do tipo Michaelis-Menten, a expressão de

Steele é a mais utilizada, uma vez que permite traduzir a diminuição da taxa de

crescimento quando a intensidade da luz ultrapassa o valor óptimo. Esta expressão é

definida por:

( )1+−

= sII

s

eII

IF (4.35)

em que I é a intensidade de luz e Is é a intensidade de luz óptima (intensidade de luz que

permite uma taxa máxima de crescimento de algas, normalmente determinada

experimentalmente).

A intensidade média da luz durante o dia (Ia) pode ser calculada a partir da seguinte

expressão:

=

π2

ma II (4.36)

onde Im é a intensidade máxima da luz.

A variação da intensidade de luz com a profundidade pode ser modelada pela lei de

Beer-Lambert:

( ) zkeeIzI −= 0 (4.37)

Capítulo 4

186

em que I0 é a intensidade de luz à superfície e ke é um coeficiente de extinção da luz.

Este último coeficiente pode ser relacionado com outras grandezas, como por exemplo a

concentração de algas na coluna de água:

32' 054.0 0088.0 aakk ee ++= (4.38)

A constante 'ek pode ser determinada directamente ou relacionada com outras variáveis.

Finalmente, poderemos definir a função F(I) substituindo a Eq. 4.37 na expressão de

Steele (Eq. 4.35):

( )1+−−

−

= s

zeka

eIeI

s

zka e

IeI

IF

(4.39)

Voltando novamente à Eq. 4.33, a taxa correspondente à respiração poderá sofrer uma

correcção de temperatura de acordo com uma expressão do tipo já anteriormente

utilizada para outras variáveis:

( ) 2020,

−= Trarara kTk θ (4.40)

sendo raθ o factor de temperatura para a respiração de algas.

A taxa de predação das algas apresenta uma dependência em relação à temperatura e

relativamente à concentração de algas (relação funcional do tipo Michaelis-Menten, o

que corresponde a considerar que a taxa de predação se mantém em patamar para

valores elevados de concentração de algas):

( ) hTghg

sahgh zC

aka

zaTC 20,, −

+= θ

(4.41)


187

em que ksa é a constante de semi-saturação para algas (mgChla m-3), θgh é o factor de

temperatura do zooplâncton herbívoro e Cg é a taxa de ingestão de algas pelo

zooplâncton herbívoro (L mgC-1 dia-1).

Parte das algas ingeridas é transformada em zooplâncton herbívoro. Por sua vez, o

zooplâncton herbívoro diminui devido à actividade dos seus predadores (zooplâncton

carnívoro) e por perdas por respiração e excreção. A equação de reacção é dada por:

( ) ( ) ( ) hrhhcgchghhcaz zTkzzTCazaTCaRh

, ,, −−= ε (4.42)

onde,

caa é a razão de conversão da clorofila-a das algas em carbono do

zooplâncton [gC mgChla-1];

hε é a eficiência de predação de algas;

( )cgc zTC , é a taxa de predação de zooplâncton carnívoro [dia-1].

A taxa por predação de zooplâncton carnívoro será dada por:

( ) cTgcgccgc zCzTC 20, −= θ (4.43)

em que θgc é o factor de temperatura do zooplâncton carnívoro.

Parte do zooplâncton herbívoro é transformado em zooplâncton carnívoro. Este último,

por sua vez, sofre perdas por respiração/excreção e devido à mortalidade provocada por

outros predadores da cadeia alimentar. A equação de reacção é então definida por:

( ) ( ) ( ) cdccrchcgccz zTkzTkzzTCRc

, −−= ε (4.44)

sendo krc e kdc as taxas de respiração e mortalidade respectivamente. Estas são

dependentes da temperatura ambiente, pelo que se utilizam factores de correcção de

temperatura análogos aos anteriormente apresentados.

Capítulo 4

188

O carbono orgânico particulado resulta da fracção ineficiente de predação assim como

da morte do zooplâncton carnívoro. Os sumidouros deste constituinte resultam de uma

reacção de dissolução. Assim:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ppcdchcgcchghhcac cTkzTkzzTCazaTCaRp

, 1 ,, 1 −+−+−= εε (4.45)

em que kp representa a taxa de dissolução, do carbono orgânico.

O carbono orgânico dissolvido, por sua vez, é transformado por hidrólise (a uma taxa

kh):

( ) ( ) dhppc cTkcTkRd

−= (4.46)

Os nutrientes considerados na cadeia alimentar são o azoto e fósforo inorgânicos. O

primeiro é dividido em amónia e nitrato. A equação de reacção para a amónia vem:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) anstgnaam

crcnchrhncranadhncn

nTkaIpnTkaF

zTkazTkaaTkacTkaRa

,,,

−−

−+++=

(4.47)

em que kn é uma taxa de nitrificação e Fam é a fracção de azoto da quantidade de amónia

existente que é consumida pelas algas, sendo dada por:

aam

aam nk

nF

+=

(4.48)

A constante de semi-saturação de preferência da amónia é representada por kam; anc e ana

são coeficientes de conversão de azoto para carbono e clorofila, respectivamente.

As equações de reacção de nitrato e fósforo são as seguintes:

( ) ( ) aIpnTkaFnTkR stgnaamanni ),,,( 1 −−= (4.49)


189

( ) ( ) ( ) ( ) ( )aIpnTkazTkazTkaaTkacTkaR stgpacrcpchrhpcrapadhpcp ,,, −+++=

(4.50)

apc e apa são coeficientes de conversão de fósforo para carbono e clorofila-a,

respectivamente.

Utilizando as cinéticas definidas pelas equações 4.33 a 4.50, a produção primária em

zonas costeiras poderá ser modelada desde que se disponha de ferramentas que

permitam efectuar a integração do sistema de equações definido pelas referidas

equações.

4.4.2 Programa PROCESSOS

4.4.2.1 Características Gerais

Os processos definidos no ponto anterior, quando o campo de velocidades é nulo,

podem ser descritos matematicamente por um sistema de equações diferenciais

ordinárias. Existem diversos métodos numéricos para efectuar a integração de sistemas

de equações diferenciais ordinárias (Thomas, 1995), situando-se os métodos de

Runge-Kutta entre os mais eficientes. O programa PROCESSOS, desenvolvido no

âmbito deste trabalho, utiliza um método de Runge-Kutta de 4ª ordem para integrar

sistemas de equações do tipo:

( ) ( ) NiyyytRdtyd

Nii ,..,1 ,...,,, 21 ==

(4.51)

em que yi são as variáveis dependentes, t o tempo e N o número total de variáveis.

Neste programa, as derivadas temporais de cada uma das equações foram previamente

programadas em função do processo a modelar, sendo este definido pelo utilizador do

programa. O método de Runge-Kutta está implementado numa subrotina independente,

permitindo a integração de sistemas de equações diferenciais definidos de acordo com o

processo seleccionado.

Capítulo 4

190

Na Figura 4.34 apresenta-se o fluxograma do programa, estando representadas as

etapas fundamentais de cálculo.

Numa primeira fase são definidos todos os coeficientes que permitem a quantificação

dos segundos membros das equações, os valores iniciais das variáveis dependentes e o

intervalo de integração.

INÍCIO

SELECCÇÃO DO PROCESSO

DEFINIÇÃO DE PARÂMETROS

CICLO DE INTEGRAÇÃO

TINICIAL, TFINAL

RUNGE-KUTTA

RESULTADOS (TFINAL)

FIM

Figura 4.34 – Fluxograma do programa PROCESSOS.

4.4.2.2 – Exemplo de Aplicação

A título ilustrativo, apresenta-se um exemplo correspondente a uma versão simplificada

de um modelo de uma cadeia alimentar em que apenas são consideradas duas variáveis:

algas e zooplâncton (herbívoro). Este modelo corresponde a uma das diferentes versões

dos modelos gerais do tipo predador-presa e que são normalmente conhecidos por

modelos de Lotka-Volterra (Chapra, 1997). As equações de balanço de massa para as

duas variáveis são dadas por:

( ) azCakkdtda

gzrag −−= (4.52)


191

( ) zkazCadtdz

dzgzca −= ε (4.53)

em que os parâmetros têm o significado anteriormente apresentado e cujos valores

numéricos, considerados no presente exemplo, são apresentados no Quadro 4.6.

Quadro 4.6 – Interacção algas-zooplâncton: valores dos parâmetros considerados num exemplo de aplicação do programa PROCESSOS.

Parâmetros Valor a0 1 mgChla m-3

z0 0.05 gC m-3 aca 0.04 gC mgChla-1 Cgz 1.5 m3 gC-1 dia-1 ε 0.6 kg-kra 0.3 dia-1 kdz 0.1 dia-1

Os resultados obtidos para as concentrações de algas e zooplâncton (ambos expressos

em mgC L-1, de forma a tornar possível a sua comparação com a biomassa total), para

um período de 80 dias, são apresentados na Figura 4.35.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 10 20 30 40 50 60 70 80Tempo (dias)

mgC/L

Fitoplâncton Zooplâncton Total

Figura 4.35 – Interacção algas-zooplâncton: resultados obtidos por aplicação do programa PROCESSOS.

Capítulo 4

192

4.4.3 Programa RMA4 - UMQ


O programa RMA4, na sua versão original, efectua a resolução de equações de

transporte de escalares (temperatura, salinidade, poluentes, etc.) utilizando a solução

hidrodinâmica calculada no programa RMA2. Sendo os domínios espaciais os mesmos,

as malhas de elementos finitos terão que ser coincidentes. As fontes de constituintes são

definidas através dos valores das suas cargas mássicas ou concentrações. Os resultados

obtidos correspondem às concentrações dos constituintes modelados nos pontos nodais

do domínio analisado.

Para tornar possível a modelação de processos biogeoquímicos foram efectuadas as

seguintes inovações à versão original do programa, passando a versão modificada a

designar-se de RMA4-UMQ:

- alterações necessárias para a modelação simultânea de mais de seis

constituintes;

- desenvolvimento e integração de uma subrotina para definição das reacções a

que cada uma das variáveis está sujeita, sendo o seu resultado contabilizado em

cada passo de tempo da integração ou com uma periodicidade definida pelo

utilizador;

- adaptação da saída de resultados.

4.4.3.2 Exemplo de Aplicação

O exemplo apresentado no ponto anterior relativo à interacção algas – zooplâncton foi

adoptado como caso de teste para verificação e validação das modificações

introduzidas, considerando-se uma bacia quadrada (10 km x 10 km) em que a água

apresenta uma profundidade de 3 m e se encontra em repouso. Nestas condições, os

resultados obtidos terão que coincidir com os resultados calculados pelo programa

PROCESSOS, uma vez que serão desprezáveis os efeitos da advecção e da difusão

turbulenta na distribuição resultante para a concentração de algas.


193

O domínio foi discretizado numa malha de 256 elementos quadrangulares de oito nós.

Na Figura 4.36 apresentam-se os resultados obtidos num dos pontos nodais ao longo do

tempo de integração, semelhantes aos obtidos para os restantes pontos do domínio e

coincidentes com os que foram obtidos no exemplo apresentado em 4.4.2.2.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Tempo (horas)

Concentração (mgC/L)

Fitoplâncton Zooplâncton

Figura 4.36 – Interacção algas-zooplâncton: resultados obtidos por aplicação do programa RMA4-UMQ.

4.4.4 Programa POM-UMQ


O programa POM-UMQ foi desenvolvido de forma a possibilitar a modelação conjunta

das condições hidrodinâmicas e de processos biogeoquímicos de sistemas costeiros.

Os principais desenvolvimentos consistiram na inclusão de mais uma equação de

transporte por cada uma das variáveis de estado consideradas na modelação de um

determinado processo e na criação de uma subrotina que permite a consideração das

reacções entre constituintes que foram acrescentados ao conjunto de variáveis do

modelo.

Capítulo 4

194

ADVUADVV

PROFUPROFV

BCOND(3)

-Vel. vertical (σ)

-Cond. fronteira:w

BCOND(1)

ADVCTBAROPG

VERTVLBCOND(5)

ADVQ(Q2)ADVQ(Q2L)

PROFQBCOND(6)

ADVT(T)ADVT(S)


ADVAVE

BCOND(2)

INÍCIO

FIM

DEFINIÇÃO DE PARÂMETROSMALHA


CICLOMODO INTERNO

II=1, IEND

RESULTADOS

-Adv. e difusão:u e v

-Massa volúmica

CICLOMODO EXTERNO

IE=1, ISPLIT


ELEVAÇÃO DA SUPERFÍCIELIVRE

VELOCIDADES U E V

MÉDIAS TEMPORAIS DEU E V




-Cond. fronteira:Elevação da

superfície livre

-Adv. e difusão: U e V

-Cond. fronteira: U e V

QUALIDADE DA ÁGUAPARÂMETROS


ADVECÇÃO+DIFUSÃOCONSTITUINTES

CONDIÇÕES FRONTEIRA

PROCESSOS

Figura 4.37 – Algoritmo do programa POM-UMQ com indicação das inovações introduzidas no programa POM.

O método de resolução das equações relativas a cada uma das novas equações é análogo

ao que o modelo utiliza para a resolução das equações relativas ao transporte da

temperatura e salinidade. Os desenvolvimentos efectuados no algoritmo original são

apresentados na Figura 4.37.


195

4.4.4.1 Exemplo de aplicação

A zona costeira é muitas vezes utilizada como meio de rejeição final de águas residuais

produzidas por agregados populacionais litorais, permanentes ou temporários,

nomeadamente através de soluções técnicas em que se recorre à utilização de emissários

submarinos. As ferramentas de modelação matemática, conjuntamente com a realização

de campanhas de monitorização do estado de qualidade da água, poderão constituir um

elemento de análise muito útil quer na fase de projecto quer na fase de operação daquele

tipo de infra-estruturas.

No presente exemplo, tendo como objectivo mostrar as potencialidades do programa

POM-UMQ, considera-se um modelo hidrodinâmico e de qualidade da água referente a

uma zona costeira onde, através das simulações efectuadas, se pretende avaliar o

impacto da descarga de um exutor submarino (Figura 4.38). Consideram-se dois

cenários hidrodinâmicos independentes: uma corrente constante na direcção Sul-Norte

(impõe-se uma velocidade de 0,20 ms-1 na fronteira Sul) e uma maré do tipo

semi-diurno com uma amplitude de 1,5 m. O indicador escolhido para a caracterização

do estado de qualidade da água é a concentração em coliformes totais. Esta variável

apresenta um comportamento não conservativo, que poderá ser modelado por uma lei de

1ª ordem. A taxa de decaimento (kB) apresenta um intervalo de variação muito amplo (0

a 84 dia-1, segundo Thomann e Mueller, 1987). Assim, foram efectuadas simulações

para os dois cenários hidrodinâmicos considerando-se dois valores distintos para a taxa

de decaimento: 1 e 10 dia-1. Finalmente, foram considerados dois comprimentos para o

exutor: 2000 m e 2500 m. Em ambos os casos mantém-se constante o comprimento do

difusor. A descarga é simulada admitindo-se que a concentração de coliformes na zona

junto do difusor (após a diluição inicial) se mantém constante e igual a

10000 NMP/100 mL, desprezando-se o caudal das águas residuais.

Apresentam-se a seguir diversos resultados, relativos às simulações efectuadas, devendo

ser interpretados apenas do ponto de vista qualitativo, dadas as hipóteses simplificativas

consideradas na formulação do problema em análise. Pretende-se realçar as

potencialidades da aplicação do programa desenvolvido na resolução de problemas

práticos de engenharia.

Capítulo 4

196

1000 2000 3000 4000 5000

N

S

W E

2000

4000

6000

8000

10000

x [m]

y [m]

20,0

19,0

18,0

17,0

16,0

15,0

14,0

13,0

Profundidade (m)

EXUTORL= 2500 m

DIFUSOR – 500 m

EXUTORL= 2000 m

DIFUSOR – 500 m

LINHADE

COSTA

Figura 4.38 – Exemplo de aplicação do programa POM-UMQ: geometria e localização do exutor.

Os resultados apresentados nas Figuras 4.39 e 4.40 evidenciam a forte sensibilidade da

extensão afectada pela descarga ao valor definido para o coeficiente de decaimento dos

coliformes totais. A área afectada pela descarga do exutor (considerando a área no

interior da qual a concentração é igual ou superior a 2000 NMP/100 mL) duplica quando

o coeficiente de decaimento passa de 10 dia-1 para 1 dia-1. O sucesso numa determinada

aplicação da modelação matemática depende muito da quantidade e qualidade de

informação disponível sobre o problema em análise. Assim, em problemas reais, a

quantificação dos parâmetros utilizados no modelo deverá ser realizada a partir de

dados de campo ou, na impossibilidade de realização de campanhas para a sua

quantificação, os resultados apresentados deverão conter sempre análises de

sensibilidade aos valores adoptados para os parâmetros mais importantes.


197

1000 2000 3000 4000 5000

N

S

W E

2000

4000

6000

8000

10000

x [m]

y [m]

1000 2000 3000 4000 5000

2000

4000

6000

8000

10000

x [m]

y [m]

1000 2000 3000 4000 5000

2000

4000

6000

8000

10000

x [m]

y [m]

1000 2000 3000 4000 5000

2000

4000

6000

8000

10000

x [m]

y [m]

Concentração(NMP/100 mL)

2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

0,0

200

kB=10 dia-1 kB=10 dia-1


Figura 4.39 – Exemplo de aplicação do programa POM-UMQ: resultados da concentração de coliformes totais à profundidade de 9 m, um dia após o início da descarga, considerando a acção da maré do tipo semi-diurno (amplitude 1,5 m).

Capítulo 4

198

1000 2000 3000 4000 500020

0

x [m]

H [m]

1000 2000 3000 4000 500020

0

x [m]

H [m]


2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

0,0

200


W E

1000 2000 3000 4000 500020

0

x [m]

H [m]

1000 2000 3000 4000 500020

0

x [m]

H [m]kB=10 dia-1 kB=10 dia-1

W E

Figura 4.40 – Exemplo de aplicação do programa POM-UMQ: resultados da concentração de coliformes totais num plano vertical, um dia após o início da descarga,

considerando a acção da maré do tipo semi-diurno (amplitude 1,5 m).

As simulações realizadas permitem ainda efectuar a avaliação de desempenho das

diferentes soluções alternativas consideradas (diferentes comprimentos do exutor). Os

modelos numéricos, após uma correcta calibração e validação, constituem uma

ferramenta poderosa quer para o estabelecimento de variáveis de projecto (neste

exemplo o comprimento do exutor) quer como meio auxiliar à concepção de soluções

técnicas eficazes de correcção de sistemas com funcionamento deficiente.

Nas Figuras 4.41 e 4.42 são apresentados resultados relativos às simulações realizadas

para o cenário hidrodinâmico caracterizado pela actuação de uma corrente forte com

uma direcção predominantemente dirigida de Sul para Norte. A extensão e configuração

da pluma resultante é completamente distinta da situação anterior, sendo no entanto

mais uma vez evidente o efeito da consideração de distintos valores para o coeficiente

de decaimento. Estes resultados são reveladores da importância da caracterizar

correctamente a hidrodinâmica da região de implantação de obras do tipo em análise

para o sucesso do seu funcionamento futuro. As possibilidades de simulação de

escoamentos reais, resultantes da acção conjunta da maré, do vento e de gradientes de

massa volúmica, conjuntamente com as potencialidades desenvolvidas para a

modelação de processos que permitem a avaliação da qualidade da água, tornam o


199

programa adaptado uma ferramenta especialmente vocacionada para análises de

problemas complexos em zonas costeiras.

1000 2000 3000 4000 5000

N

S

W E

5500

7500

9500

11500

13500

x [m]

y [m]

1000 2000 3000 4000 5000

5500

7500

9500

11500

13500

x [m]

y [m]


2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

0,0

200


3500 3500

Figura 4.41 – Exemplo de aplicação do programa POM-UMQ: resultados da concentração de coliformes totais à profundidade de 9 m, seis horas após o inicio da

descarga, considerando uma corrente no sentido Sul-Norte.

5500 7500 9500 11500 13500y [m]

H [m]


2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

0,0

200

kB=1 dia-1

3500

0

10

NS

5500 7500 9500 11500 13500y [m]

H [m]

kB=10 dia-1

3500

0

10

Figura 4.42 – Exemplo de aplicação do programa POM-UMQ: resultados da concentração de coliformes totais num plano vertical, seis horas após o inicio da

descarga, considerando uma corrente no sentido Sul-Norte

Capítulo 4

200

4.5 Ferramentas de pré e pós-processamento

Para além das adaptações efectuadas nas versões originais dos programas de

hidrodinâmica e de qualidade da água necessárias à realização do pós-processamento

dos seus resultados no programa SMS, são apresentadas neste ponto metodologias

desenvolvidas para integração da informação relevante produzida pelos modelos

numéricos em Sistemas de Informação Geográfica. Complementarmente, é apresentado

um método de geração condicionada de malhas não estruturadas de elementos finitos.

4.5.1 Metodologia de criação dos Sistemas de Informação Geográfica

Os dados obtidos a partir das campanhas de amostragem e os resultados dos modelos

utilizados estão referidos, no primeiro caso, aos pontos de amostragem e, no segundo

caso, aos nós de malhas utilizadas para a discretização do domínio espacial. Assim, a

representação espacial de uma determinada variável implica a utilização de uma

transformação do tipo ponto-para-área. Esta transformação deverá ser bi-direccional

para permitir o estabelecimento, por exemplo, das condições iniciais a utilizar numa

determinada simulação (a partir da interpolação de um campo escalar obtido através das

campanhas de amostragem para a malha de elementos finitos utilizada, correspondendo

neste caso a uma transformação do tipo área-para-ponto). Existem diversos métodos de

conversão de variáveis pontuais para áreas dividindo-se em dois grandes grupos de

conversões: transformações com interpolação e transformações sem interpolação

(Bonham-Carter, 1993).

Embora existam diversos trabalhos sobre a integração de modelos dinâmicos em

ambientes de SIG (como por exemplo em estudos de análise de evolução da ocupação

do solo (Mikula et al, 1996)), neste trabalho a evolução temporal de uma determinada

variável é efectuada recorrendo-se à visualização de mapas referentes a instantes

distintos. Assim, a ferramenta de SIG utilizada não utiliza funções específicas para a

análise temporal. A metodologia de integração da informação georeferenciada, relativa

aos modelos hidrodinâmicos e de qualidade da água, ilustrada na Figura 4.43, apresenta

as seguintes fases principais:


201

- Consideram-se constantes os valores das variáveis no interior do domínio

definido pelos elementos da malha de elementos finitos (o valor único por

elemento é considerado igual à média dos valores nodais em cada um dos

elementos), ou das células da malha de diferenças finitas. Assim, na

primeira fase, a geometria dos elementos/células é organizada num ficheiro

cujo formato é compatível com o software de CAD (neste trabalho, foi

desenvolvido um programa que cria os referidos ficheiros, em formato

DXF, a partir dos ficheiros de geometria das malhas utilizadas nos

modelos);

N N

ID F1 F2 F3 F4 F5

Figura 4.43 – Metodologia de integração de resultados dos modelos em SIG.

- Na segunda fase são criados temas do tipo polígono no software SIG a

partir das entidades gráficas organizadas em formato DXF;

- Seguidamente, os resultados obtidos a partir dos modelos numéricos,

considerados mais relevantes, são organizados em bases de dados;

- Finalmente, é realizada a associação entre os temas SIG e as bases de dados

que contêm os resultados dos modelos numéricos.

Uma das maiores potencialidades dos SIG resulta da possibilidade de organização e

análise de diferentes tipos de informação numa plataforma comum. Consegue-se, assim,

apresentar e analisar no mesmo sistema resultados de modelos numéricos, resultados de

campanhas de monitorização, etc.. Na Figura 4.44 apresenta-se o mapeamento da

profundidade, da elevação da superfície livre e do módulo da velocidade, para um dos

Capítulo 4

202

instantes da simulação realizada no programa RMA2, coincidente com a enchente no

estuário do Rio Cávado. Complementarmente evidenciam-se as zonas em que,

simultaneamente, se verificam as seguintes condições: módulo da velocidade superior a

0,5 m s-1 e profundidade superior a 1,0 m.

N N

N N

Figura 4.44 – Resultados de modelos hidrodinâmicos processados e analisados em ambiente de SIG.


203

A representação espacial de dados resultantes de campanhas de amostragem poderá ser

realizada recorrendo-se a um método (sem interpolação) baseado na definição de

polígonos de Thissen (também conhecido por diagrama de Voronoi). A cada um dos

pontos de amostragem é associada uma área de influência, conforme se apresenta na

Figura 4.45 a). Desta forma, pode-se realizar o mapeamento de qualquer parâmetro

medido (admitindo-se a hipótese simplificativa de que o valor pontual é representativo

dos valores em todo o polígono) e, utilizando as potencialidades de análise dos SIG,

proceder ao cálculo de novos parâmetros. No exemplo apresentado (Figura 4.45 b)),

estima-se o valor da massa de P1 em cada um dos dez pontos a partir dos valores das

concentrações medidas, das áreas de cada um dos polígonos e da profundidade média

(Figura 4.44) calculada pelo modelo hidrodinâmico. Os valores das massas calculadas

no SIG são apresentados no Quadro 4.7.

#þ

#þ#þ

#þ#þ

#þ

#þ

#þ

#þ

#þ

1

2

3

4

5

67

8

9

10

N

þ

1,57 – 2,30

2,30 – 4,25

4,25 – 5,01

5,01 – 7,13

7,13 – 8,59

Concentração – P1[mg/L]

Ponto de amostragem

Massa de P1[2328 kg]

a) b)

Figura 4.45 – Resultados de modelos hidrodinâmicos processados e analisados em ambiente de SIG.

Capítulo 4

204

Quadro 4.7 – Estimativa dos valores das massas de um parâmetro P1, realizada a partir dos valores de concentrações medidas pontualmente e dos volumes calculados num SIG.

POLÍGONO CONCENTRAÇÃO - P1 PROFUNDIDADE MÉDIA

ÁREA MASSA – P1

[mgL-1] [m] [m2] [kg] 1 7,060 1,36 243178 2328 2 8,592 1,57 203620 2739 3 7,130 0,91 161798 1053 4 7,846 1,54 168647 2039 5 2,303 1,29 117982 350 6 1,565 1,97 122245 377 7 5,014 1,92 95236 917 8 4,253 1,85 94131 740 9 3,526 1,45 159074 814

10 3,993 1,56 61017 381

4.5.2 Geração condicionada de malhas não estruturadas

4.5.2.1 Generalidades

Uma malha é uma discretização de um domínio geométrico em formas simples, como

triângulos e quadriláteros em duas dimensões ou em tetraedros e hexaedros em três

dimensões. As malhas têm aplicações em muitas áreas diferentes. Em geografia e

cartografia, as malhas são utilizadas na modelação de terrenos. Em computação gráfica,

muitos objectos são reduzidos a malhas antes de serem efectuadas operações de

coloração (para representar superfícies desses objectos). Finalmente, as malhas

revelam-se de crucial importância na resolução numérica de sistemas de equações às de

derivadas parciais, associados a muitos problemas físicos. Neste ponto concentra-se a

atenção nos algoritmos de geração de malhas para a última aplicação enumerada.

Uma das tarefas iniciais do desenvolvimento e aplicação de um modelo hidrodinâmico

consiste na discretização do domínio de interesse. Assim, apresenta-se a metodologia

desenvolvida para a geração de malhas e posterior refinamento condicionado por um

critério global para o domínio.


205

4.5.2.2 Tipos de domínios geométricos

A primeira distinção entre domínios é efectuada de acordo com a sua dimensão:

bidimensionais ou tridimensionais. Distinguem-se quatro tipos de domínios planos,

como se apresenta na Figura 4.46. Um polígono simples inclui a sua fronteira e o seu

interior. Um polígono com ilhas é basicamente um polígono simples subtraído do

interior de outros polígonos simples; a sua fronteira contém mais do que um contorno

fechado. Um domínio múltiplo é ainda mais genérico, permitindo-se neste caso a

existência de fronteiras internas. Os domínios múltiplos são utilizados na modelação de

objectos formados por mais do que um material. Domínios curvos permitem a existência

de fronteiras curvas. Tal como no primeiro tipo de domínio apresentado, os domínios

curvos poderão ou não conter ilhas e fronteiras internas.

a) b) c) d)

Figura 4.46 - Tipos de domínios bidimensionais em planta: a) polígono simples; b) polígono com ilhas; c) domínio múltiplo; d) domínio curvo.

Os domínios tridimensionais podem ser discretizados em diferentes tipos análogos aos

apresentados para os domínios bidimensionais.

4.5.2.3 Tipos de malhas

Uma malha estruturada é uma malha em que todos os vértices interiores são

topologicamente similares. De acordo com as designações da teoria de gráficos, uma

malha estruturada é um subgráfico de um gráfico periódico infinito tal como uma

grelha. Uma malha não estruturada é uma malha em que os vértices apresentam um

conjunto local arbitrário de vértices vizinhos. Uma malha estruturada por blocos ou

Capítulo 4

206

malha híbrida é formada por um número reduzido de malhas estruturadas, organizadas

numa configuração de forma não estruturada.

Geralmente, as malhas estruturadas apresentam uma forma simples de definição dos

dados que as constituem, enquanto que as malhas não estruturadas apresentam maiores

facilidades em termos de adaptabilidade (aumento/diminuição de resolução baseadas

numa malha inicial), permitindo uma melhor adaptação a domínios complexos. As

malhas híbridas conjugam as vantagens dos dois tipos de malhas anteriores, mas a sua

geração não é ainda possível através de processos totalmente automáticos. Neste ponto

discutem-se com maior profundidade as malhas não estruturadas, uma vez que é este o

tipo de malha utilizado pelos modelos hidrodinâmicos.

À divisão entre malhas bidimensionais estruturadas e não estruturadas associa-se

normalmente um outro tipo de divisão relacionado com o tipo de elemento utilizado:

malhas estruturadas utilizam normalmente quadriláteros e malhas não estruturadas

utilizam triângulos. Não existe contudo nenhuma razão para que tal aconteça. De facto,

é sempre possível subdividir os elementos por forma a converter triângulos em

quadriláteros e vive-versa (ver Figura 4.47).

a) b)

Figura 4.47 - a) triangulação de quadriláteros; b) Divisão de triângulos para formar quadriláteros

As variadas técnicas para a geração de malhas são apresentadas em extensa bibliografia,

não sendo possível ser exaustivo na explicação das respectivas particularidades.

Existem muitas publicações sobre geração de malhas estruturadas (Castillo, 1991;


207

George et al., 1990; Mavriplis, 1996) e geração de malhas não estruturadas (Bern e

Eppstein, 1995; George, 1991; Mavriplis, 1995; Thompson e Weatherill, 1993;

Mavriplis, 1996). Existem também vários sites na WWW (Owen, 1995; Schneiders,

1995; Shewchuck, 1995; Young e MacPhedran, 1995) com informação actualizada

sobre geração de malhas.

4.5.2.4 Forma dos elementos

A forma dos elementos constituintes de uma malha condiciona fortemente o

desempenho dos métodos numéricos utilizados na resolução de um determinado

problema. Neste trabalho define-se relação de forma de um elemento como sendo a

razão entre a máxima e a mínima dimensões do elemento.

Geralmente, devem evitar-se elementos com valores elevados da relação de forma, pois

podem conduzir a matrizes mal condicionadas, piorando a velocidade e a fiabilidade das

aplicações numéricas em que são utilizados. Além disso, mesmo admitindo que o

método de resolução numérica utilizado permita obter soluções exactas, valores

elevados de relações de forma poderão conduzir a erros de interpolação.

4.5.2.5 Metodologia utilizada na geração de malhas

As malhas utilizadas na modelação (através do MEF) da hidrodinâmica de zonas

costeiras deverão seguir as seguintes regras principais: serem formadas por elementos

(triângulos ou quadriláteros) não distorcidos e os ângulos internos serem superiores a

um valor mínimo (20º é um valor limite aceitável).

Das várias técnicas de geração de malhas bidimensionais triangulares, a triangulação de

Delaunay é a mais conhecida. A triangulação de Delaunay, D, de um conjunto de

vértices, V, é um gráfico definido da seguinte forma: a duas dimensões, uma

triangulação de um conjunto de vértices V é um conjunto de triângulos T cujos vértices

coincidem com V, que não se intersectam entre si e cuja união preenche completamente

o domínio definido pela envolvente convexa do conjunto de vértices V. Diz-se que um

Capítulo 4

208

círculo é vazio se não contiver no seu interior qualquer vértice do conjunto V (no caso

dos vértices coincidirem com pontos da circunferência que limita o círculo a designação

de círculo vazio mantém-se). Considerando-se dois vértices, vu e vv, pertencentes a V, o

lado vuvv pertencerá à triangulação de Delaunay, se e só se existir um circulo vazio que

passe por vu e vv. A triangulação forçada de Delaunay de um domínio plano definido

pela sua fronteira (linha poligonal planar) é similar à triangulação de Delaunay, com a

condição adicional de que todos os segmentos da fronteira são forçados a pertencer,

como lados, à triangulação.

Existem muitos algoritmos para a realização de triangulações de Delaunay, cujo

desempenho tem sido avaliado em diversos trabalhos. Estas avaliações revelam uma

grande paridade em termos de desempenho entre três desses algoritmos: o incremental

insertion algorithm, o divide-and-conquer algorithm e o plane-sweep algorithm.

Shewchuck, 1995, desenvolveu o programa TRIANGLE que inclui aplicações dos

algoritmos anteriores e de um quarto algoritmo para refinamento de malhas triangulares

(Ruppert, 1995). Este algoritmo apresenta quatro etapas principais: numa primeira

etapa efectua a triangulação de Delaunay dos vértices da fronteira do domínio, na

segunda etapa procede à triangulação forçada de Delaunay, na terceira etapa procede à

eliminação dos triângulos pertencentes a ilhas e/ou concavidades do domínio, na quarta

fase efectua o refinamento da malha, através da inserção de vértices adicionais, até que

se verifiquem as restrições impostas para o ângulo interior mínimo e a área máxima de

cada um dos triângulos da malha.

Para além das questões geométricas (com implicações no rigor dos métodos numéricos),

no processo de geração de malhas de elementos finitos, o objectivo final do modelo

hidrodinâmico em que vão ser utilizadas deverá ser considerado de forma a que o

tratamento e análise dos resultados se possa efectuar de forma adequada. Assim, as

necessidades de resolução no domínio em análise deverão ser ponderadas tendo em

consideração a utilização final dos resultados a obter.


209

4.5.2.6 Principais fases do processo de geração de malhas

A metodologia adoptada, para a geração de malhas a utilizar no ambiente

hidroinformático desenvolvido neste trabalho, apresenta as quatro fases principais

apresentadas na Figura 4.48.

ESTABELECIMENTO DA FRONTEIRA DO DOMÍNIO

AUMENTO/DIMINUIÇÃO DA RESOLUÇÃO DA FRONTEIRA

TRIANGULAÇÃO FORÇADA DE QUALIDADE DE DELAUNAY

REFINAMENTO CONDICIONADO DA MALHA

Figura 4.48 – Fases do processo de geração de malhas.

A implementação de um modelo hidrodinâmico baseado no MEF inicia-se com a

representação (e eventual simplificação geométrica) do domínio de interesse. Nesta fase

deverão ser estabelecidas duas propriedades do modelo numérico: o número (ou área) e

forma dos elementos da malha. Estas propriedades devem ser estabelecidas de acordo

com as capacidades do hardware/software utilizados e com a resolução espacial

requerida. Quando se utiliza a triangulação forçada de Delaunay, o número total de

elementos está relacionado com a resolução da fronteira do domínio.

Uma resolução elevada da fronteira poligonal resultará num refinamento excessivo

junto da referida fronteira e consequentemente num número elevado de elementos.

Dever-se-á, portanto, dar especial atenção à definição da resolução da fronteira do

domínio. A distância média entre vértices da linha poligonal que constitui a fronteira

poderá ser estimada admitindo-se que a malha será constituída por triângulos

equiláteros com áreas iguais. Para a realização destas tarefas foram criados neste

Capítulo 4

210

trabalho diversos programas utilitários com o objectivo de modificar a resolução de

linhas poligonais.

Na Figura 4.49 são apresentadas três malhas com restrições no ângulo interior mínimo

(20 º) e na área máxima (1 000 m2) de cada um dos elementos, mas em que a poligonal

da fronteira apresenta resoluções distintas.

a)

b)

c)

d)

Figura 4.49 - Malhas geradas com diferentes resoluções da linha poligonal da fronteira. a) contorno. Distância média entre vértices: b) 24,1 m; c) 54,7 m; d) 74,5 m.

No Quadro 4.8 encontram-se sintetizadas as características das diferentes malhas. É

visível um refinamento excessivo junto da fronteira na malha b), correspondendo a este

caso uma distância média entre vértices de 24,1 m.


211

Quadro 4.8 – Características das malhas geradas com diferentes resoluções da poligonal de fronteira

Malha Distância média entre vértices [m] Nº total de elementos Nº total de pontos

b) 24,1 2635 1807

c) 54,7 996 709

d) 74,5 710 503

O procedimento geral apresentado anteriormente garante a geração de uma malha em

que quer o ângulo interior mínimo quer a área de cada um dos elementos sejam, no

primeiro caso, superiores ao valor imposto e, no segundo, inferior ao valor máximo

definido. No entanto, em muitas aplicações, a malha deverá ser gerada com variações

espaciais (refinamentos locais) do tamanho dos elementos de acordo com os gradientes

locais das variáveis a modelar.

O objectivo geral na quarta e última fase do processo de geração da malha é o de definir

uma função no domínio espacial que possa relacionar-se com o tamanho máximo dos

elementos. As técnicas de estimativa de erro (a priori ou posteriori) associadas aos

métodos numéricos utilizados tornam-se muito complexas, estando directamente

relacionadas com as técnicas específicas do MEF utilizado. Por isso, esta possibilidade

de estabelecimento da função espacial de definição do tamanho dos elementos no

domínio não foi utilizada. Em alternativa, estabeleceu-se uma metodologia simples,

envolvendo três passos:

1º passo: definição de uma função espacial de controlo do tamanho máximo

dos elementos baseada num critério geral (tal como profundidade da água,

gradientes da velocidade, gradientes de concentrações de poluentes, etc.) e

definição do novo número total de elementos;

2º passo: cálculo dos áreas máximas para cada um dos elementos da malha

inicial;

3º passo: refinamento da malha inicial utilizando as restrições de área

calculadas no 2º passo.

Na Figura 4.50 apresenta-se um exemplo ilustrativo da metodologia desenvolvida,

aplicada à geração de uma malha, para a modelação do transporte de uma substância,

Capítulo 4

212

num canal com escoamento permanente, proveniente de uma fonte pontual. Os

gradientes de concentração resultantes da distribuição da substância no canal são

utilizados para efectuar o refinamento da malha inicial.

Na Figura 4.51 apresentam-se malhas utilizáveis na modelação da hidrodinâmica e de

qualidade da água na Foz do Rio Cávado. O número total de elementos quintuplica

quando a restrição relativa ao ângulo interior mínimo de cada um dos triângulos passa

de 0º a 30º, como pode ser observado nas malhas a) a c) e no Quadro 4.9.

5.20

4.94

4.42

3.90

3.38

2.86

2.34

1.82

1.30

0.78

0.26

mg/L

a)

b)

c)

Figura 4.50 – Refinamento condicionado de uma malha – transporte de uma substância num canal com escoamento permanente: a) malha inicial; b) campo escalar

(concentração de substância); c) malha refinada de acordo com o gradiente de concentração da substância.

A malha d) da Figura 4.51 foi gerada impondo um ângulo interior mínimo de 30º e uma

área máxima de 2000 m2, resultando numa malha com 1572 elementos. Esta malha foi

utilizada no cálculo das correntes geradas pela acção da maré e do vento. De forma a

aumentar o rigor dos resultados obtidos, procedeu-se ainda à geração de uma malha

resultante do refinamento da malha d) condicionado por dois critérios distintos: no

primeiro considera-se a profundidade média, no segundo a função de controlo é definida

a partir da proximidade a um ponto fixo no interior do domínio, variando segundo uma

lei exponencial (Figura 4.52).


213

Quadro 4.9 – Características das malhas – Consideração de diferentes restrições

Malha Distância média entre vértices [m] Nº total de elementos Nº total de pontos a) 79,2 144 147 b) 79,2 338 254 c) 79,2 738 469 d) 79,2 1572 915

a) b)

c) d)

Figura 4.51 – Malhas de elementos finitos utilizadas no estudo da Foz do Rio Cávado: a) ângulo interno mínimo: não considerado, área máxima: não considerada; b) ângulo

interno mínimo: 20º, área máxima: não considerada; c) ângulo interno mínimo: 30º, área máxima: não considerada; d) ângulo interno mínimo: 30º, área máxima: 2000 m2.

Capítulo 4

214

Figura 4.52 – Refinamento condicionado. Função de controlo do tamanho máximo dos elementos: a) batimetria; b) proximidade a um ponto fixo.

a)

b)

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