Capítulo 4 Resposta em frequência - Autenticação · – Uma entrada na forma de coseno gera na...

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27Sistemas e Sinais - LEIC - 2005/2006 - 1º Semestre - João P. Neto

Capítulo 4Resposta em frequência

4.1 Noção do domínio da frequência4.2 Séries de Fourier e propriedades4.3 Resposta em frequência dos SLITs4.4 Análise da composição de sistemas através da resposta

em frequência4.5 Transformadas de Fourier e propriedades4.6 Filtragem4.7 Amostragem e reconstrução de sinais


4.3 Resposta em frequência dos SLITs

– Modelos de espaço de estados são precisos e concisos, mas não tão potentes como a resposta em frequência

– Para um SLIT a resposta em frequência revela bastante acerca da relação entre o sinal de entrada e o sinal de saída

– Os SLITs podem ser descritos por modelos de espaço de estados, através de equações à diferença e equações diferenciais

– Mas modelos de espaço de estados podem descrever também sistemas que não são SLITs

– Portanto modelos de espaço de estados são mais poderosos, mas com inferiores técnicas de desenho e de análise

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– Dada uma sinusóide na entrada, a saída do SLIT é uma sinusóide com a mesma frequência mas possivelmente com uma fase e amplitude diferentes

– Dado um sinal de entrada que é descrito como uma soma de sinusóides de certas frequências, a saída pode ser descrita como uma soma de sinusóides com a mesma frequência mas com a fase e amplitudes possivelmente modificadas em cada frequência

– Se a entrada para um SLIT contínuo é ejωt então a saída é H(ω)ejωt, onde H(ω) é uma constante que depende da frequência ω da exponencial complexa.

– Quando a saída do sistema é apenas uma versão escalada da entrada, a entrada é denominada de função própria (eigenfunction)



– Quando na entrada temos ∀ t∈Reais, x(t)=ejωt

– A saída é definida por∀ t∈Reais, y(t)=H(ω )ejωt

– A função H:Reais → Complexos é denominada resposta em frequência

– Define a resposta de um SLIT a uma entrada exponencial complexa numa dada frequência

– Define a ponderação que o sistema impõe nessa exponencial complexa

3



– No caso dos sistemas discretos é semelhante– Quando na entrada temos

∀ n∈Inteiros, x(n)=ejωn

– A saída é definida por∀ n∈Inteiros, y(n)=H(ω )ejωn

– A função H:Reais → Complexos é denominada resposta em frequência

– Existe uma diferença fundamental entre o discreto e o contínuoejωn =ej(ω+2π)n = ej (ω+4π) n

logo∀ ω∈Reais, H(ω)= H(ω+2Kπ)

– Define a resposta em frequência de um SLIT discreto como sendo periódica com período 2π



• Exemplo:– Considere um sistema discreto definido pela equação às diferenças

∀ n∈Inteiros, y(n)=(x(n)+x(n-1))/2– Assumindo que a entrada é dada por

∀ n∈Inteiros, x(n)=ejωn

e que a saída tem a forma∀ n∈Inteiros, y(n)=H(ω )ejωn

obtemosH(ω)ejωn =(ejωn+ ejω(n-1))/2

– Resolvendo em ordem a H(ω) obtemos∀ ω∈Reais, H(ω)=(1+ e-jω)/2

4



• Exemplo:– Considere um sistema contínuo com entrada x e saída y

relacionadas pela equação diferencial∀ t∈Reais, RC dy(t)/dt + y(t)=x(t)

– Assumindo que a entrada é dada por ∀ t∈Reais, x(t)=ejωt

e que a saída tem a forma∀ t∈Reais, y(t)=H(ω )ejωt

obtemosRCjωH(ω )ejωt+H(ω )ejωt =ejωt

ou seja,∀ ω∈Reais, H(ω)=1/(1+jRCω)



• Equação às diferenças linear – Considere um sistema descrito por uma equação às diferenças linear

∀ n∈Inteiros, a0y(n)+a1y(n-1)+...+aNy(n-N)=box(n)+b1x(n-1)+...+bMx(n-M)

– Os coeficientes podem ser reais ou complexos– Assumindo que a entrada é dada por x(n)=ejωn e que a saída tem a

forma y(n)=H(ω )ejωn

obtemosa0 H(ω )ejωn+a1 H(ω )ejω(n-1)+...+aN H(ω )ejω(n-N)

=bo ejωn+b1ejω(n-1)+...+bMejω(n-M)

ou seja,

ωω

ωωωω jN

Nj

jMM

j

eaeaaebebbHReais −−

−−

++++++

=∈∀......)(,

10

10

5



• Equação diferencial– Considere um sistema descrito por uma equação diferencial

– Os coeficientes podem ser reais ou complexos– Assumindo que a entrada é dada por x(t)=ejωt e que a saída tem a

forma y(t)=H(ω )ejωt

obtemosaN(jw)NH(ω)ejωt+...+a1(jw)H(ω)ejωt+a0H(ω)ejωt

=bM(jw)Mejωt+...+b1(jw)ejωt+b0ejωt

ou seja,

01

01

)(...)()(...)()(,

ajajabjbjbHReais N

N

MM

++++++

=∈∀ωωωωωω

)()(...)()()(...)(, 0101 txbtdtdxbt

dtxdbtyat

dtdyat

dtydaReaist M

M

MN

N

N +++=+++∈∀



– Pode-se exprimir uma relação entre sinusóides e a exponencial complexa

cos(ωt)=(ejωt+ e-jωt)/2– Se for este o sinal de entrada para um SLIT com resposta em

frequência H(ω) então a saída seráy(t)=(H(ω)ejωt+ H(-ω)e-jωt)/2

– Quando a entrada é real normalmente a saída de um SLIT étambém real, o que implica que

H(ω)= H*(-ω)– Esta propriedade é denominada de simetria conjugada

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– A resposta em frequência de um sistema real (cujos sinais de entrada e de saída são reais) é simétrica conjugada

– Quando a entrada for x(t)=cos(ωt) a saída será∀ t∈Reais, y(t)=Re{H(ω)ejωt}

– Escrevendo H(ω) na forma polar

permite-nos obter a saída como

– H(ω ) consiste de um ganho |H(ω)| e de uma fase ∠H(ω) que o sinal de entrada sinusoidal de frequência ω sofre.

)()()( ωωω HjeHH ∠=

))(cos()()(, ωωω HtHtyReaist ∠+=∈∀



• Exemplo:– Considere um sistema, que realiza um atraso T, definido como

y(t)=x(t-T)– Assumindo que a entrada é dada por ∀ t∈Reais, x(t)=ejωt

e que a saída tem a forma ∀ t∈Reais, y(t)=H(ω )ejωt

obtemosH(ω)=e-jωT

em que |H(ω)|=1 e ∠H(ω)= -ωT– Uma entrada na forma de coseno gera na saída um coseno da

mesma amplitude e com um deslocamento de fase– Um filtro com uma resposta em amplitude unitária e constante é

denominado filtro passa-tudo

7



• Exemplo:– Considere o sistema discreto definido pela equação às diferenças

∀ n∈Inteiros, y(n)=(x(n)+x(n-1))/2– A resposta em frequência H(ω) é dada por

∀ ω∈Reais, H(ω)=(1+ e-jω)/2

– A resposta de frequência em amplitude é dada por

|H(ω)|=|(1+ e-jω)/2|– Este sistema tem um

comportamento de um filtro passa-baixo



– A resposta em frequência diz-nos tudo o que precisamos saber sobre um sistema

– Podemos passar a representar um SLIT através da sua resposta em frequência, em lugar da representação entrada/saída, modelo de espaço de estados, da resposta impulsiva, ...

8



• Exemplo– Suponha-se que a resposta em frequência H de um SLIT discreto é

dada por H(ω)=cos(2ω)

– Consideremos o sinal de entrada

que pode escrito como x(n)=cos(πn)– A saída é dada por

– Ou seja o sistema não altera a entrada

⎩⎨⎧−

=ímparn

parnnx

11

)(

)()cos())(cos()()( nxnHnHny ==∠+= ππππ





– Consideremos o sinal de entrada x(n)=5

que pode escrito como x(n)=5cos(0n)– A saída é dada por

– Ou seja o sistema não altera a entrada

)(5))0(0cos(5)0()( nxHnHny ==∠+=

9





– Consideremos o sinal de entrada x(n)=cos(πn/2)

– A saída é dada por

– Ou seja o sistema inverte a entrada

)()2/cos()2/cos())2/(2/cos()2/()( nxnnHnHny −=−=+=∠+= ππππππ





– Consideremos o sinal de entrada x(n)=cos(πn/4)

– A saída é dada por

– Ou seja o sistema anula a entrada

0))4/(4/cos()4/()( =∠+= πππ HnHny

10



• Resposta em frequência para séries de Fourier– No caso das séries de Fourier representámos o sinal de entrada como

onde ω0=2π/p– A saída do SLIT para a entrada periódica é representada por

– Para um SLIT, se a entrada é dada pela soma de exponenciais complexas, a saída é dada pela soma das mesmas exponenciais, cada uma escalada pela resposta em frequência, avaliada na frequênciacorrespondente

∑∞+

−∞==∈∀

k

tjkkeXtxReaist 0)(, ω

∑∞+

−∞==∈∀

k

tjkkeXkHtyReaist 0)()(, 0

ωω



– Todas as componentes de frequência da saída estão na entrada

– A saída consiste das mesmas componentes em frequência da entrada em que cada componente aparece escalada

– Os SLITs podem ser usados para ampliar ou suprimir certas componentes de frequência, operação denominada de filtragem

– A resposta em frequência caracteriza quais as frequências que são ampliadas ou suprimidas e também quais os deslocamentos de fase impostos pelo sistema nas componentes individuais

11






4.4 Análise da composição de sistemas através da resposta em frequência

– A composição de sistemas permite-nos obter sistemas mais complexos

– Ao interligarmos SLITs, o sistema composto resultante também éum SLIT

– Conhecendo a resposta em frequência de cada SLIT podemos determinar a resposta em frequência do sistema composto

– Isto permite-nos construir sistemas complexos e interessantes através da interligação de blocos de componentes simples

– Esta composição aplica-se de modo idêntico a sistemas discretos e contínuos

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• Ligação em série ou cascata

– Sistema S1

• Resposta impulsiva h1(t)• Resposta em frequência H1(ω)

– Sistema S2


– Sistema S resultante• Resposta impulsiva h(t)=h1(t)*h2(t)• Resposta em frequência H(ω)=H1(ω).H2(ω)



• Ligação em paralelo

– Sistema S1


– Sistema S2


– Sistema S resultante• Resposta impulsiva h(t)=h1(t)+h2(t)• Resposta em frequência H(ω)=H1(ω)+H2(ω)

x y

y1

y2

S1

S2

+

S

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• Ligação com retroacção– Sistema S1


– Sistema S2


– Sistema S resultante• Não é possível calcular a resposta impulsiva de uma forma directa• Resposta em frequência

)()(1)()(

21

1

ωωωωHH

HH−

=



• Exemplo:– Considere um sistema discreto com

retroacção como na figura– Considere S1 definido como y(n)=0.9 x(n)– Considere S2 definido como y(n)=x(n-1)– H1(ω)=0.9 e H2(ω)=e-jω

– A resposta em frequência do sistema é dada por

ωω jeH −−

=9.019.0)(

14



• Exercício:– Determine a resposta em frequência do seguinte sistema

)()()(1)()()(1

)()(1

)(1)()(

)(

212

21

2

21

2

21

ωωωωωω

ωω

ωωω

ω

HHHHHH

HH

HHH

H

−−=

=

−−

−=





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4.5 Transformadas de Fourier e propriedades

– As séries de Fourier descrevem um sinal periódico como uma soma de exponenciais complexas

– Se a entrada do SLIT é uma soma de exponenciais complexas, então a resposta em frequência do SLIT descreve a resposta a cada uma das componentes exponenciais

– Podemos calcular a resposta do sistema a qualquer sinal de entrada periódico combinando as respostas aos componentes individuais

– A resposta de um SLIT a qualquer sinal de entrada pode ser obtida como a convolução do sinal de entrada e a resposta impulsiva

– A resposta impulsiva e a resposta em frequência dão-nos a mesma informação acerca do sistema mas em formas diferentes

– Vamos ver agora que a resposta impulsiva e a resposta em frequência estão relacionadas através da Transformada de Fourier



– Vimos anteriormente que sendo a entrada dada por x(n)=ejωn

a saída tinha a forma y(n)=H(ω )ejωn

– Um SLIT com resposta impulsiva h(n) apresenta como saída y(n)correspondente ao sinal x(n)

– Se colocarmos na entrada deste sistema x(n)=ejωn obtemos

– Comparando as duas expressões obtemos

∑∞

−∞=−=∗=∈∀

mmnxmhnxnhnyInteirosn )()()()()(,

∑∑∞

−∞=

−∞

−∞=

− ==∗=∈∀m

mjnj

m

mnj emheemhnxnhnyInteirosn ωωω )()()()()(, )(

∑∞

−∞=

−=∈∀m

mjemhHReais ωωω )()(,

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• Transformada de Fourier Discreta

• A resposta em frequência H(ω) é a Transformada de Fourier da resposta impulsiva– A resposta em frequência pode ser descrita como a soma

ponderada de exponenciais complexas, cujos pesos são as amostrasda resposta impulsiva

∑∞

−∞=

−=∈∀n

njenhHReais ωωω )()(,



– Se h(n) é real então H(ω)=H*(- ω)

que é a propriedade da simetria conjugada– Isto implica que

|H(- ω)| = |H(ω)|que significa que para qualquer SLIT com uma resposta impulsiva real, uma exponencial complexa com frequência ω sofre a mesma alteração de amplitude que uma exponencial complexa com frequência -ω

– Note também que ∀ ω∈Reais, H(ω+2π)= H(ω)

ou seja que a Transformada de Fourier Discreta é periódica com período 2π

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• Exemplo– Considere um sistema que provoca um atraso de M amostras– A resposta impulsiva deste sistema é dada por

∀ n∈ Inteiros, h(n)=δ(n-M)– Podemos obter a resposta em frequência calculando a TF

– Este resultado mostra-nos que |H(ω)|=1 , dado que um atraso não muda a amplitude apenas altera a fase do sinal de entrada

Mjm

mj

m

mj

e

eMm

emhHReais

ω

ω

ω

δ

ωω

−

∞

−∞=

−

∞

−∞=

−

=

−=

=∈∀

∑

∑

)(

)()(,



– Vimos anteriormente que sendo a entrada dada por x(t)=ejωt

a saída tinha a forma y(t)=H(ω )ejωt

– Um SLIT com resposta impulsiva h(t) apresenta como saída y(t)correspondente ao sinal x(t)

– Se colocarmos na entrada deste sistema x(t)=ejωt obtemos

– Comparando as duas expressões obtemos

∫∞

∞−

−=∈∀ ττωω ωτdehHReais j)()(,

∫∞

∞−

−=∗=∈∀ τττ dtxhtxthtyReaist )()()()()(,

∫∫∞

∞−

−∞

∞−

− ==∗=∈∀ ττττ ωτωτω dehedehtxthtyReaist jtjtj )()()()()(, )(

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• Transformada de Fourier Contínua

• A resposta em frequência é a Transformada de Fourier da resposta impulsiva

∫∞

∞−

−=∈∀ dtethHReais tjωωω )()(,



• Exemplo– Considere um sistema que provoca um atraso de T segundos– A resposta impulsiva deste sistema é dada por

∀ t∈ Reais, h(t)=δ(t-T)– Podemos obter a resposta em frequência calculando a TF

– Este resultado mostra-nos que |H(ω)|=1 , dado que um atraso não muda a amplitude apenas altera a fase do sinal de entrada

Tj

tj

tj

e

dteTt

dtethHReais

ω

ω

ω

δ

ωω

−

∞

∞−

−

∞

∞−

−

=

−=

=∈∀

∫

∫

)(

)()(,

19



• Exemplo– Considere o seguinte rectângulo discreto

– A Transformada de Fourier é dada por

4)0(11

)()(

4

3

0

=−−

=

=

=

−

−=

−

∞

−∞=

−

∑

∑

Xee

e

emxX

j

jm

mj

m

mj

ω

ω

ω

ωω



• Exemplo– Considere o seguinte rectângulo contínuo

– A Transformada de Fourier é dada por

( )

1)0(2/

)2/sin(

1

)1(1

)()(

2/

2/2/2/

1

0

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−=

−−==

=

−

−−

−−

∞

∞−

−

∫

∫

X

e

eeejw

ej

dte

dtetxX

j

jjj

jtj

tj

ωω

ω

ω

ω

ωωω

ωω

ω

20



• Transformadas inversas– Inversa da Transformada de Fourier discreta

– Inversa da Transformada de Fourier contínua

∫∞

∞−

= ωωπ

ω deXtx tj)(21)(

∫=π

ω ωωπ

2

0)(

21)( deXnx nj



• Cálculo da transformada inversa– Através da definição– Divisão em fracções simples– Através da equivalência relativa a sinais básicos– Através das propriedades

21





22


- Tempo discreto- Frequência

Periódica

- Tempo contínuo- Frequência não

periódica

Não periódico no tempoFrequência contínua

Periódico no tempoFrequência discreta


∫∞

∞−

−= dtetxX tjωω )()(

∑∞

−∞=

−=n

njenxX ωω )()(

∑∞+

−∞==

k

tjkkeXtx 0)( ω

∑−

==

1

0

0)(p

k

njkkeXnx ω

∫ −=p

tjmm dtetx

pX

0

0)(1 ω

∑−

=

−=1

0

0)(1 p

m

jmkk emx

pX ω

∫∞

∞−

= ωωπ

ω deXtx tj)(21)(

∫=π

ω ωωπ

2

0)(

21)( deXnx nj


23



• Exercício:– Calcule a Transformada de Fourier de:

• x(t)=e-2tu(t)• x(n)=(1/2)nu(n)

– Calcule a Transformada de Fourier inversa de

•

•

ωω

ω

ω2

81

411

311

)(jj

j

ee

eX

−−

−

−−

−=

127)(1)( 2 ++

=ωω

ωjj

X



• Transformada de Fourier de sinais finitos– Considere um sinal discreto y(n) que é finito– Defina-se um sinal periódico x(n) como

onde

– O sinal x(n) é periódico e portanto pode ser representado através da série de Fourier

– O sinal y’(n) é um sinal discreto genérico e portanto tem transformada de Fourier

∑∞+

−∞=−=∈∀

mmpnynxInteirosn )(')(,

⎩⎨⎧ −∈

=∈∀casosoutros

pnsenynyInteirosn

0]1,0[)(

)(',

24



∑

∑−

=

−

∞

−∞=

−

=

=∈∀

1

0)(

)(')(',

p

n

nj

n

nj

eny

enyYReais

ω

ωωω

∑

∑−

=

−

−

=

−

=

=∈∀

1

0

1

0

0

0

)(

)(,

p

n

jnk

p

n

jnkk

eny

enxXInteirosk

ω

ω

)(', 0ωkYXInteirosk k =∈∀



• Transformada de Fourier para sinais de fala

25





26





• Transformada de Fourier de sinais periódicos– A transformada de Fourier vai ser baseada em funções delta– A série de Fourier permite-nos trabalhar numa representação no

domínio da frequência de um sinal periódico sem lidar com as funções delta de Dirac

– Suponha-se que um sinal x(t) tem transformada de Fourier∀ ω∈Reais, X(ω)= 2πδ(ω-ω0)

– Usando a Transformada de Fourier Inversa obtemos

– A série de Fourier para x(t) é

tjtj edetxReaist 0)(221)(, 0

ωω ωωωπδπ

=−=∈∀ ∫∞

∞−

⎩⎨⎧ =

=∈∀outrosm

XInteirosm m 011

,

27



– Supondo agora que x(t) tem múltiplos deltas de Dirac na sua transformada de Fourier, cada um com diferentes pesos

resulta através da Transformada de Fourier Inversa

– Esta equação relaciona para sinais periódicos a Transformada de Fourier e as Séries de Fourier

∑∞

−∞=−=∈∀

mm mXXReais )(2)(, 0ωωδπωω

∑∞+

−∞==∈∀

m

tjmmeXtxReaist 0)(, ω



• Exemplo– Considere o sinal x(t) dado por

– Por inspecção da Tabela verificamos que

– Existem apenas dois coeficientes da Série de Fourier não nulos

)cos()(, 0ttxReaist ω=∈∀

⎩⎨⎧ =

=∈∀outrosm

XInteirosm m 01||2/1

,

)()()(, 00 ωωπδωωπδωω −++=∈∀ XReais

28



• Exemplo– Considere a seguinte onda quadrada

– Os coeficientes da Série de Fourier são

⎪⎩

⎪⎨

⎧≠

==∈∀

ímparmjmmeparm

mXInteirosm m

)/(100

02/1,

π



• Exercício– Calcule a Transformada de Fourier do seguinte sinal

t

x(t)

1

2

1 2 30-1

......

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