Capítulo 5ldinis/cap5placas.pdf · Placas Circulares 5.2 Figura 5.1: Placas Diversas. a posição...

Placas Circulares 5.1

Capítulo 5

Placas Circulares

5.1 Introdução

O cálculo analítico das placas circulares é possível, no caso de existir simetria das

condições de contorno e das condições de solicitação em relação ao eixo normal à

superfície média passando pelo centro da placa, eixo de simetria. Nestas condições a

integração analítica da equação de equilíbrio é simples e será objecto de estudo neste

capítulo.

No caso de não existir simetria geométrica e/ou simetria axial das condições de

contorno e/ou simetria de solicitação a integração analítica da equação de equilíbrio das

placas circulares deixa de ser possível e tem de recorrer-se a métodos aproximados. É o

caso, por exemplo, das placas perfuradas utilizadas nos permutadores de calor, das placas

apoiadas num número discreto de pontos ao longo da fronteira, de placas reforçadas

diametralmente, de placas sujeitas a carregamentos não simétricos, etc., como se representa

na figura 5.1.

Para o estudo das placas circulares é conveniente utilizar-se um sistema de referência em

coordenadas cilíndricas, sendo a origem das coordenadas coincidente com o centro da placa

antes da deformação. O sistema de eixos coordenados que vamos considerar é tal que


Figura 5.1: Placas Diversas.

a posição de um ponto P da placa circular fica inteiramente definido, como se representa na

figura 5.2, pelas coordenadas seguintes:

z - distância do ponto P ao plano médio

r - distância do ponto P ao eixo de simetria

θ - ângulo formado pela direcção definida pelo ponto correspondente ao centro da placa

com a projecção do ponto P no plano médio e uma direcção previamente definida no

plano médio.

Podem obter-se as equações relevantes para a análise de placas circulares através de

uma mudança de coordenadas do sistema de eixos Ox1, x2, x3 para o sistema de eixos Orθz

das equações obtidas no Capítulo 2, é no entanto mais interessante deduzi-las directamente

no sistema de eixos Orθz. As componentes independentes do tensor das tensões em coordenadas cilíndricas, de

acordo com a figura 3.3, são:

zr ,, σσσ θ - tensões normais; θθ τττ zrzr ,, - tensões tangenciais

No caso de existir simetria geométrica, simetria de solicitação e simetria das

condições de contorno, algumas das componentes do tensor das tensões referidas são nulas.

Nas secções planas rz as tensões tangenciais τθr e τθz são nulas pela simetria existente e as tensões σθ estão igualmente distribuídas. Nas secções formadas por superfícies


P x3

x1

x3

r

Px1θ

=z

r

Pdθ

= z

Figura 5.2: Sistema de Eixos Coordenados.

r

dθ dr

σr

σz

σθ

τrz

τrθ τrθ

τrz τθz

Figura 5.3: Tensor das Tensões em Coordenadas Cilíndricas.

Cilíndricas cujo eixo de revolução seja o eixo das zz, as tensões tangenciais τrθ são nulas e

as tensões tangenciais τrz e normais σr estão igualmente distribuídas em toda a secção.

Admitindo que são válidas as hipóteses de Kirchhoff para placas finas referidas no

capítulo anterior a tensão normal σz, para placas circulares de espessura suficientemente

pequena, é desprezável quando comparada com os valores dos outros elementos do tensor

das tensões, {σr σθ τrz}. Nestas condições o tensor das tensões toma a forma seguinte:


τσ

τσ

θ0000

0

zr

rzr 5.2

As tensões actuando num elemento de volume dv de dimensão dr, rdθ e dz, estão

representadas na figura 5.4. Atendendo à simetria existente, as tensões são independentes

do ângulo θ e dependem apenas da distância r ao centro da placa.

As equações de equilíbrio estabelecem-se mais facilmente em termos dos esforços unitários

Mr, Mθ e T que são respectivamente os momentos radial e circunferencial por unidade de

comprimento e esforço transverso por unidade de comprimento, figura 5.4. Estes esforços

unitários definem-se a partir das tensões, do seguinte modo:

dzTedzzM,dzzM rz2

e

2e

2e

2er

2e

2er τ=σ=σ= ∫∫∫ −θ−θ−

5.3

As dimensões dos esforços unitários Mr e Mθ são as dimensões de um momento por

unidade de comprimento, N.m/m e as do esforço cortante T são as dimensões de uma força

por unidade de comprimento, N/m. Nas expressões 5.3 a integração processa-se ao longo

espessura da placa que é designada por e.

r

dθ dr

σr σθτrz

r

dθ dr

T

T

Mr Mθ

Figura 5.4: Tensor das tensões.


5.2 Equação de Equilíbrio. Placas Circulares Submetidas a Solicitações normais ao

Plano Médio

5.2.1 Definição das Deformações

A origem do sistema de eixos coordenados é considerada no centro da placa antes da

deformação. Os pontos igualmente distantes do centro da placa sofrem deslocamentos

iguais sendo portanto suficiente estudar o comportamento de um ponto P a um distância r,

variável entre o e R, do centro da placa, sendo R o raio da placa.

Designa-se por {u} o vector deslocamentos que é constituído por três

deslocamentos, um deslocamento radial ur, um deslocamento circunferencial uθe

deslocamento transversal ω, ou seja:

{ }

=

ωθu

uu

r

5.4

Pela simetria radial existente no caso das placas circulares a componente uθ do

deslocamento é nula e portanto só tem de considerar-se os deslocamentos radial ur e

transversal ω, sendo portanto o vector {u} definido por:

{ }

=ω

ruu 5.5

Atendendo às hipóteses de Kirchhoff válidas para placas finas os pontos normais à

superfície média antes da deformação permanecem normais ao folheto médio deformado

após a deformação, figura 5.5. o deslocamento radial ur, sofrido por um ponto P a uma

distância z do ponto médio, é portanto proporcional à distância z, ou seja:

φtangzu r −= 5.6


φ

dr

ω

φ

φ

P

P

u r

zx3 =

Figura 5.5: Deslocamento Radial.

Atendendo a que os deslocamento transversais, ω, admissíveis são pequenos quando

comparados com a espessura, e, da placa, é legítimo afirmar que:

drdtang ω

φφ =≅ 5.7

Substituído a expressão (5.7) em (5.6) o deslocamento radial é definido por:

drdzu rω

−= 5.8

Note-se que se pode considerar a derivada total uma vez que ω só depende de r.

As extensões εr e εθ podem definir-se em termos dos deslocamentos ur e uθ do

seguinte modo:


ruu

r1e

ru rr

r +∂

∂=

∂∂

=θ

εε θθ 5.9

Atendendo a que o deslocamento uθ é nulo e o deslocamento ur é definido pela

equação 5.8, as expressões 5.9, transformam-se em:

drd

rze

rddz 2

2

rω

εω

ε θ −=−= 5.10

O estado de deformação num ponto P fica perfeitamente determinado se for

conhecida a equação da deformada ω = ω (r), a distância do ponto ao eixo de revolução, r, e

a distância do ponto à superfície média, z.

5.2.2 Relações entre Tensões e Deformações

As tensões σr e σθ estão relacionadas com as extensões εr e εθ através da lei de

Hooke do seguinte modo:

( ) ( )r2r2r 1Ee

1E

ενεν

σενεν

σ θθθ +−

=+−

= 5.11

onde E é módulo de Young e ν o coeficiente de Poisson

Substituindo εr e εθ pelos respectivos valores em função dos deslocamentos que são

definidos pelas equações 5.10, as equações 5.11 transformam-se em:

+

−−=

drd

rrddz

1E

2

2

2rωνω

νσ

+

−−= 2

2

2 rdd

drd

r1z

1E ωω

νσθ 5.12


As tensões variam linearmente ao longo do eixo dos zz, sendo nulas no plano médio e

atingindo o valor absoluto máximo nas superfícies inferiores e superiores que

correspondem a z = ± e/2.

Atendendo às leis de equivalências Estática, 5.3 e à lei Hooke 5.12, podem relacionar-

se os esforços unitários Mr e Mθ com o deslocamento transversal ω, do seguinte modo:

dzzdrd

rrdd

1EM 22/e

2/e2

2

2r ∫

+

−−= −

ωνων

dzzrd

ddrd

r1

1EM 22/e

2/e2

2

2 ∫

+

−−= −

ων

ωνθ 5.13

ou seja:

+−=

+−=

2

2

2

2

r

rdd

drd

r1DM

drd

rrddDM

ων

ω

ωνω

θ

5.14

onde ( )2

3

112eED

ν−= é usualmente designado por Módulo de rigidez à flexão de placas

como já foi referido anteriormente.

O momento radial por unidade de comprimento, Mr, actua ao longo das secções

cónicas da placa deformada e o momento circunferencial por unidade de comprimento,

Mθ actua ao longo de secções diametrais da placa. Estes esforços unitários ocorrem para

uma distância r ao centro da placa. As equações (5.14) para os esforços unitários não têm

em conta o efeito de forças corte e de pressão lateral, sendo portanto aproximadas na

maioria dos casos e exactas no caso particular da superfície flectida ser esférica. O erro

introduzido não é significativo para o caso de placas finas submetidas a cargas não

concentradas.


5.2.3 Equação de Equilíbrio

Considere-se um elemento infinitesimal de volume de dimensões rdθ, dr e dz como se

representa na figura 5.7, os esforços unitários que devem considerar-se neste elemento de

volume são na secção cilíndrica de raio r, Mr e T e na secção cilíndrica de raio r + dr são

drdr/dTTedrdr/MdM rr ++ . Nas secções planas que contêm o centro da placa e são

normais ao plano médio, os esforços actuantes são Mθ.

As equações de equilíbrio a serem consideradas são:

- Equilíbrio de momentos no plano r z;

- Equilíbrio de forças segundo o eixo dos zz.

dθ

Mrr dθ

dθ/2

dθ/2

dr

dr

Trd θ

dr

prdrd θ

Mθdr

Mθdr

Figura 5.7: Esforços Unitários num Elemento Infinitesimal.

Os momentos resultantes no plano r z são:

- Mr r dθ - momento resultante do esforço unitário Mr

( ) θddrrdrrd

MdM rr +

++ -momento resultante do esforço unitário dr

drMM r

r∂

+

( ) θ+

∂

∂+ ddrr

rMM r

r

( ) θ+

∂∂

+ ddrrdrrTT


- Mθ dr dθ - momento resultante dos momentos Mθ

Tr dθ dr - momento resultante das forças devidas ao esforço cortante

Trdθ e ( ) θ+

+ ddrrdr

drdTT .

A equação de equilíbrio de momentos é:

( ) 0drdTrddrMdrMddrrdrrd

MdM rr

r =+−−+

+ θθθθ θ 5.15

a qual desprezando os infinitésimos de ordem superior à primeira se transforma em:

0TrMrrd

MdM r

r =+−+ θ 5.16

Atendendo às equações (5.14), que relacionam os esforços com os deslocamentos

transversais ω, a equação de equilíbrio de momentos (5.16), pode reescrever-se do

seguinte modo:

DT

drdr

drd

r1

drd

=

ω

5.17

Para a determinação do esforço transverso, T, é necessário considerar o equilíbrio de

forças segundo o eixo dos zz.

As forças existentes segundo o eixo dos zz são:

- p (r) r dr dθ - resultante da força exterior distribuindo por unidade de superfície.

- Tr dθ − resultante do esforço unitário T.

- ( ) θ+

+ ddrrdr

drdTT

resultante dos esforços unitários

drdTT + na secção. A

equação de equilíbrio de forças segundo o eixo dos z z é:

( ) ( ) 0ddrrrpdTrddrrdrdrdTT =−−+

+ θθθ 5.18


Desprezando os infinitésimos de ordem superior à primeira a equação de equilíbrio

de forças escreve-se do seguinte modo:

( ) ( )rpTrdrd

r1

= 5.19

A integração da equação (5.17) não oferece dificuldades desde que conheçamos o

esforço transverso T em função do raio r. A obtenção de T faz-se por integração da equação

de equilíbrio de forças (5.19). O valor de T em função do raio r e da carga exterior vai

depender da função p(r) considerada.

As equações de equilíbrio foram obtidas considerando o equilíbrio de forças no

sistema de eixos Orθz mas podiam ter sido obtidas considerando as equações de equilíbrio

no sistema de eixos Oxyz e considerando a mudança de coordenadas de Oxyz em Orθz.

5.3 Placas Submetidas a uma Carga Uniformemente Distribuída

O esforço transverso T como se representa na figura 5.8, determina-se por integração

da equação (5.19), atendendo a que p(r) é constante e igual à intensidade da carga

uniformemente distribuída p e que no centro da placa o esforço transverso é nulo, ou por

equilíbrio directo de forças no interior da secção cilíndrica de raio r, isto é:

prTr2 2π=π

ou seja 2rpT = 5.20

substituindo este valor de T na equação (3.17) obtém-se:

D2rp

drdr

drd

r1

drd

=

ω 5.21

Por integração desta equação obtém-se as equações seguintes:

rC

2rC

D16rp

drd 21

3

++=ω 5.22


32

21

4

CnrC4rC

D64rp

+++=ω

TT

r

p p

R

a)

b)

Figura 5.8: Placas submetidas a uma carga uniformemente distribuída.

As constantes de integração C1, C2 e C3 são calculadas a partir das condições de

contorno e das condições no centro da placa que são conhecidas por condições de fronteira.

5.3.1 Placa Encastrada no Bordo Exterior

Neste caso as condições de fronteira são:

para r = 0 é dω / dr = 0 e para r = R é

==

00dr/d

ωω

5.23

onde R é o raio do contorno exterior da placa.

Substituindo as condições (5.23) nas equações (5.22), obtém-se:

0r

C2

rCD16rp

0r

213

=

++

=

02

rCD16rp

Rr

13

=

+

=


0CD32

rpD64

rp

Rr3

44

=

+−

=

5.24

Por resolução das equações anteriores, obtém-se as seguintes constantes:

D64RpCe

D8RpC,0C

4

3

2

12 =−== 5.25

Tendo em conta os valores das constantes, (5.25), a equação da superfície flectida,

(5.22), transforma-se em:

D64Rp

D32rRp

D64rp 4224

+−=ω ou seja ( )222 rRD64

p−=ω 5.26

O deslocamento transversal máximo ocorre no centro da placa e é:

D64Rp 4

max =ω 5.27

A inclinação é:

( )22 RrrD16

pdrd

−=ω 5.28

As curvaturas principais da superfície flectida, são:

( ) D16/r3Rpdr/d 2222r −=−= ωχ ; ( ) D16/rRp

drd

r1 22 −=−=

ωχθ 5.29

Os momento flectores Mr e Mθ obtém-se a partir das expressões (5.14) e (5.29), e são:

( ) ( )[ ] 16/3r1RpM 22r νν +−+=

( ) ( )[ ] 16/31r1RpM 22 ννθ +−+= 5.30


Os momentos no centro da placa são:

( ) ( ) ( ) 16/Rp1MMM 20r0rrc νθ +=== == 5.31

Os momentos no encastramento são:

( ) ( ) 8/RpMe8/RpM 2Rr

2Rrr νθ −=−= == 5.32

O momento máximo é o momento Radial no encastramento (5.32), ao qual

corresponde a tensão máxima:

2

2r

e4Rp3

±=σ 5.33

p

R

σr , σθ

r=Rr=0

σc=3 (1+ν) pR2

8e2

σc

σθ = −3

4ν pR2

e2

σr= - 34

pR2

e2

σr

σθ

Figura 5.9: Deformada e tensões para uma Placa Encastrada nos Extremos.

O sinal a considerar na expressão (5.33) depende da face em que pretendemos

determinar a tensão, por exemplo, a face inferior, estar em tracção ou compressão. Assim

se a carga aplicada tiver o sentido correspondente ao sentido positivo do eixo dos zz, de

acordo com a figura 5.8, a face superior está em compressão pelo que o sinal a usar na

expressão (5.33) é o sinal (-) e a face inferior está em tracção e o sinal a usar é o sinal (+).


A forma aproximada da deformada e a variação das tensões τr e τθ na direcção radial

estão representadas na figura 5.9.

5.3.2 Placa Simplesmente Apoiada no Bordo Exterior

As constantes C1, C2 e C3 da equação (5.22) determinam-se atendendo às condições de

contorno que são:

Para r = 0 dω / dr = 0 e para r = R

==0

0M r

ω 5.34

R

p

Figura 5.10: Placa simplesmente apoiada.

Donde:

( ) 0Cou0r/C2/rCD16/prdrd

20r213

0r

==++=

==

ω

( ) ( ) 02/CD16/Rp2/CD16/Rp3M 12

12

Rrr =+++== ν

ou seja: ( )( )

21 Rp

1D83C

+

+−=

νν


( ) ( ) ( ) 0C1D32/Rp3D64/Rp 344

Rr =+++−== ννω

ou seja:

++

=νν

15

D64RpC

4

3

5.35

Substituindo as constantes C1, C2 e C3 acabadas de determinar, (5.35), na equação

(5.22) obtém-se a equação da superfície flectida que é:

( ) ( )( )

−

++−

= r1R5

D64rRp 2

222

νν

ω 5.36

A inclinação num ponto qualquer é:

( ) ( )( ) D16/pr1/R3rdr/d 22 ννω ++−= 5.37

O deslocamento transversal máximo ocorre no centro da placa e é:

( ) ( ) D641/Rp5 4max ννω ++= 5.39

Comparando este valor para o deslocamento máximo da placa simplesmente apoiada

com o deslocamento máximo para a placa encastrada verificamos que este valor é

significativamente maior para as mesmas condições geométricas e de carregamento. Para

valores de ν entre 0 e 0.5 este deslocamento (5.39), é de 5 a 3,5 vezes maior que o

deslocamento máximo (5.27) correspondente à placa encastrada ao longo do contorno

exterior.

Os momentos flectores Mr e Mθ são:

( ) ( ) 16/rRp3M 22r −+= ν

( ) ( )[ ] 16/r31R3pM 22 ννθ +−+= 5.40


O momento máximo ocorre no centro da placa e é dado por:

( ) ( ) 16/Rp3MMM 20rrc νθ +=== = 5.41

A tensão máxima ocorre no centro da placa e é:

( ) ( ) e8/Rp33e/M6 222cmaxr νσ +== 5.42

p

R

σr , σθ

σc

σc=3 (3+ν)

8pR2

e2

σθ =3 (1−ν)

4

pR2

e2

σr =3 (3+ν)

8p(R2 - r2)

e2

Figura 5.11: Deformada e Tensões.

Os momentos no contorno são:

( ) ( ) ( ) 22Rr

2r e4/Rp13ou8/Rp1Me0M νσν θθ −=−== = 5.43

O andamento da deformada conjuntamente com a variação de tensões na direcção

radial está representado na figura 5.11.


5.4 Placas Circulares Submetidas a uma carga Pontual no Centro da Placa

As hipóteses de Kirchhoff referidas no parágrafo 2.1 são válidas neste caso, porém

próximo do ponto de aplicação da carga não podemos dizer que τxz = 0 e estas hipóteses só

são válidas para pontos afastados do centro da placa. A uma distância, r, do centro da placa

o esforço transverso total é do 2π rT e deve equilibrar a carga aplicada P, pelo que o

esforço unitário T é:

P

Figura 5.12: Placa Encastrada Sujeita a uma Solicitação Pontual

T = P / 2 π r 5.44

A equação diferencial de equilíbrio é:

Dr2P

drdr

drd

r1

drd

πω

=

5.45

integrando 5.45 obtém-se:


( ) r/C2/rCD8/1nr2Prdr/d 21 −−−= πω

5.46

( ) 322

12 CnrC4/rCD8/1nrPr +−−−= πω

As constantes C1, C2 e C3 determinam-se atendendo às condições no contorno e no

centro da placa.

5.4.1 Placa Encastrada

As condições de contorno de uma placa encastrada ao longo do contorno exterior são:

para r = 0 dω / dr = 0 e para r = R

==

00dr/d

ωω

5.47

donde se obtém:

0C2 =

( ) D4/1nR2PC1 π−= 5.48

D16/PRC 23 π=

A equação da superfície flectida é:

−−=

rRnr2rR

D16P 222

πω 5.49

e a inclinação é:

=

Rrnr

D4P

drd

πω 5.50


e os momentos flectores correspondentes são:

( )

−+= 1

rRn1

4PM r νπ

( )

−+= υν

πθ rRn1

4PM 5.51

No encastramento os momentos são:

πν

π θ 4PMe

4PM r −== 5.52

O deslocamento transversal máximo ocorre no centro e é:

D16Rp 2

máx πω = 5.53

As expressões (5.51) para os momentos flectores são válidas para pontos da placa não

muito próximos do ponto de aplicação da carga. Para pontos muito próximos do ponto de

aplicação da carga as tensões τxz já não podem desprezar - se quando comparadas coma as

tensões de flexão e neste caso temos de considerar a placa como um sólido tridimensional

perto do ponto de aplicação da carga, com um eixo de simetria. O estado de tensão próximo

do ponto de aplicação da carga foi determinado por Nadai2 e por Woinowski-Krieger1 . O

valor da tensão no centro da placa, obtido por Woinowski-Knieger, devido à flexão é

aproximadamente:

( )

++= 52,0

eRn485,01

eP

2máx νσ 5.54

1 Woinowsky-Krieger, Ingr.-Arch.,Vol 4, pag. 305 2Nádai , Elastische Platten, pag. 308


As expressões obtidas para o deslocamento transversal, (5.49) e (5.53), recorrendo à

teoria elementar das placas circulares podem ser consideradas mesmo para pontos próximos

do ponto de aplicação da carga, embora o erro cometido seja elevado.

Para a determinação das dimensões de uma placa circular carregada por uma carga

pontual no centro da placa pode-se utilizar a expressão (5.54), embora para as espessuras

relativamente elevadas a tensão σz possa tornar-se predominante e nesse caso a tensão

máxima não é de flexão.

5.4.2 Placa Simplesmente Apoiada

As condições de fronteira no caso da placa estar simplesmente apoiada ao longo do

contorno exterior, figura 5.13, são:

R

P

Figura 5.13: Placa Simplesmente Apoiada.

Para r = 0 dω/dr = 0 e para r = R

==0

0M r

ω 5.55

Portanto:

0C2 =

( ) ( ) ( )[ ] ( )νπνν +++−+= 1D8/31Rn22P2C1 5.56

( ) ( ) D116/PR3C 23 πνν ++=

Consequentemente a inclinação e a deformada são respectivamente:


( )

+

+−=νπ

ω1

1r/RnD4

Prdr/d 5.57

( )( ) ( )

+−

++

= R/rnr2rR13

D16P 222

νν

πω 5.58

O deslocamento transversal máximo, a flecha no centro da placa, é:

( )( )ν

νπ

ω++

=13

D16RP 2

max 5.59

e a inclinação no contorno é:

( )νπω

+−

=1D4

PRdr/d 5.60

Os momentos flectores são:

( )rRn1

4PM r νπ

+=

( ) ( )

−++= νν

πθ 1rRn1

4PM 5.61

No centro da placa é Mr = Mθ = ∞ e portanto as expressões (3.60), deixam de ser

válidas no centro da placa.

A tensão máxima ocorre no centro da placa e de acordo com Woinowski-Krieger1 é

dada por:

1 Woinowski-Krieger, Ingr.-Arch.,Vol 4, pag. 305


( )

+

++= 48.052.0

eRn485.01

eP

2max ντ 5.62

Esta tensão refere-se à face inferior da placa que se encontra à tracção e é uma tensão

devida à flexão da placa.

No caso de se tratar de placas espessas a tensão τxz pode ter um valor superior às

tensões σr.

4.5 Placas de Forma Anular Simplesmente Apoiadas no Contorno Exterior

4.5.1 Placa Submetida a Momentos Flectores nos Bordos Interior e Exterior

Para a placa de forma anular representado na figura 5.14, de raios interior Ri e

exterior Re, submetida a momentos flectores Mi e Me nos bordos interior e exterior

respectivamente, o esforço cortante T é nulo, em qualquer ponto da placa e a equação de

equilíbrio é:

0drdr

drd

r1

drd

=

ω 5.63

Ri

Re

MeMeMi Mi

Figura 5.14: Placa Submetida a Momentos Flectores nos Bordos Interior e Exterior.

Integrando a equação de equilíbrio 5.61 obtém-se para a inclinação:

r/C2/rCdr/d 21 −−=ω 5.64


e para a deformada:

3e22

1 CR/rnC4/rC +−−=ω 5.65

As constantes de integração determinam-se a partir das condições de fronteira que

são as seguintes:

para r = Ri Mr = Mi

para r = Re Mr = Me

para r = Re ω = 0 5.66

no caso da placa simplesmente apoiada ao longo do contorno exterior.

O sistema de equações obtido por imposição destas condições de fronteira é:

( ) ( )i2

i21 M

R1C

21CD =

−−

+ νν

( ) ( )e2

e21 M

R1C

21CD =

−−

+ νν 5.67

0C4

RC 3

2

1 =+−

donde se obtém as constantes de integração seguintes:

( ) ( ) ( )2i

2ei

2ie

2e1 RR1D/MRMR2C −+−= ν

( ) ( ) ( )2i

2eie

2i

2e2 RR1D/MMRRC −−−= ν 5.68

( ) ( ) ( )2i

2ei

2ie

2e

2e3 RRD12/MRMRRC −+−= ν

A deformada e a inclinação, são respectivamente

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) e

2i

2e

ei2i

2e2

e2

2i

2e

e2ei

2i

Rrn

RR1DMMRR

RrRR1D2

MRMR−−

−+−

−+−

=νν

ω


( ) ( )( )

( ) ( ) r1

RR1DMMRR

rRR1D

MRMRdrd

2i

2e

ie2i

2e

2i

2e

e2ei

2i

−−−

−−+

−=

ννω 5.69

As inclinações nos contornos exterior e interior são respectivamente:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )2

i2e

2

2iei

2i

2eee

Rr RR1DRRM2R1R1RM

dr/de −−

−++−−== ν

ννω 5.70

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )2

i2e

2

2e

2iiii

2ee

Rr RR1DR1R1RMRRM2

dr/di −−

+++−== ν

ννω 5.71

No caso particular de ser Me = 0, a inclinação e a deformada são:

( ) ( )

+−

+−−

= 2e

2i

2e

i2i

2e

Rr

11

r1.

RR1DMRR

dr/dνν

νω a)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e2i

2e

i2i

2e22

e2i

2e

i2i

Rrn

RRD1MRR

rRRRD12

MR−−

+−−+

−=

ννω

No caso de o apoio simples existir no bordo interior e não no bordo exterior, as constantes

de integração C1 e C2, teriam de ser determinadas, atendendo a que para r = Ri seria ω = 0.

5.5.2 Placa Submetida a Uma Carga Uniformemente Distribuída no Bordo Interior

A placa representada na figura 5.15 está submetida a uma carga uniformemente

repartida segundo o contorno interior de intensidade To. Os raios interior e exterior são

respectivamente Ri e Re. O esforço cortante T numa secção cilíndrica de raio r, é:

T = 2π Ri To / 2π r 5.72


Ri

Re

To To

Figura 5.15: Placa com orifício.

Designando por P a resultante da carga distribuída ao longo do contorno

interior, TR2P oiπ= , o esforço cortante T é:

T = P / 2π r 5.73

A equação do equilíbrio toma a forma seguinte:

Dr2/Pdrdr

drd

r1

drd

πω

=

5.74

Integrando obtém-se:

rC

2rC1

Rrn2

D8Prdr/d 2

1e

−−

−=

πω

3e

2

2

1e

2

CRrnC

4rC1

Rrn

D8Prw +−−

−=

π 5.75

As condições de fronteira são:

para r = Ri Mr = 0

para r = Re Mr = 0 5.76


para r = Re ω = 0

Estas condições dão origem ao sistema de equações:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) πνπννν 8/P14/R/RnP1RC1D2/C1D ei2i21 −++=−−+

( ) ( ) ( ) πννν 8/P1RC1D2/C1D 2e21 −=−−+

0C4/RCD8/RP 32e1

2e =+−− π 5.77

As constantes C1, C2, e C3 obtidas, por resolução do sistema de equações anterior,

são:

D4/RR

nRR

R211PC

e

i2i

2e

2i

1 πνν

−

−+−

=

( )( ) e

i2i

2e

2i

2e

2 RR

nRR

RR.

D41P1C

−−+

−=πν

ν 5.78

−

−+−

+=e

i2i

2e

2i

2e

3 RRn

RRR

11

211

D8RP

Cνν

π

As equações da deformada ω e do momento flector Mr são respectivamente:

+

−

−+−

−

−=

e

i2i

2e

2i

2

e

2

RRn

RRR2

11

D16Pr1

Rrn

D8Pr

νν

ππω

( )( ) +

−−

++

ee

i2i

2e

2i

2e

Rrn.

RR

n.RR

RRD41

P1πν

ν

( )( )

−

−+−

++e

i2i

2e

2i

2e

RRn

RRR

11

211

D8RP

νν

π 5.79


( )( )

−+

−+

=i

e2

2i

2e

i

2i

e2e2

i2e

r RR

nr

RRRrnR

rR

nRRR4P1M

πν

O deslocamento transversal ω no contorno interior é dado por:

( )

−−

++

−++

= 2i

2e

ie22

e2i

2i

2e

2i

i RRR/RnR

11

21

RRR

13

81

D2RP

νν

νν

πω 5.80

e a inclinação no contorno interior é:

−+

+−

++−

−−=

= νν

νν

πω

11

RR

1RR

nRR

R2

111

RR

n2D8

RPdrd

2i

2e

e

i2i

2e

2i

e

ii

Rr i

5.81

A inclinação para r = Re determina-se a partir da equação da deformada 5.79 derivando em

ordem a r e fazendo r = Re.

3.5.3 Placa Anular Uniformemente Carregada

A placa anular representada na figura 3.16 está submetida a uma carga

uniformemente distribuída e está simplesmente apoiada ao longo do contorno exterior, as

condições de fronteira são:

para r = Re ω = 0

para r = Re Mr = 0

para r = Ri Mr = 0

O esforço transverso T é:

T = pr/2 + P/2π r 5.82


p

Ri

Re

Figura 5.16: Placa Anular Uniformemente Carregada.

onde P = -p π 2iR

A equação de equilíbrio toma portanto a forma seguinte:

+=

r2P

2pr

D1

drdr

drd

r1

drd

πω 5.83

Integrando obtêm-se:

−−−+=

rC

2rC

8Prrn

4Pr

16pr

D1

drd 2

1

3

ππω 5.84

ω = 1D

pr4

64 + Pr2

8πln r - 1 - C1

r2

4 - C2 ln r + C3

O momento flector Mr é:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 221

2

r rC1D

2C1D

8P1rn

4P1

16pr3M νν

πν

πνν −−++−−+−+−= 5.85

As constantes C1, C2 e C3, determinam-se a partir do sistema de equações seguinte:


( ) ( ) ( ) ( ) ( )π

πν

ππ

νννν8

Rp1Rn4

Rp116Rp

3RC1D

2C1D

2i

e

2i

2e

2e

21 −−+−+=−−+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )π

πν

ππ

νννν8

Rp1Rn4

Rp116Rp3

RC1D

2C1D

2i

i

2i

2i

2i

21 −−+−+=−−+

( ) 0CRnC4

RC1Rn

8Rp

64Rp

D1

3e2

2e

1e

4e

4e =+−−

−+

π 5.86

As constantes C1 e C2, são:

( )D

R4p

11

RR

RnRRnRD2Rp

RRD8p

13C

2i

2i

2e

i2ie

2e

2i2

i2e1 υ+

υ−−

−

−−+

υ+υ+

=

2i

2e

ie2i

2e

2i

2i

2e

2RR

R/RnRRD4Rp

11

D16RRp

13C

−υ−υ+

−υ+υ+

= 5.87

e a constante C3, é:

( )

−+−+= 1Rn

8Rp

64Rp

D1RnC

4R

CC e

2e

2e

e2

2e

13 π 5.88

Substituindo as constantes C1, C2 e C3 nas expressões 5.84 e 5.85, obtém-se as

equações da deformada, inclinação e momento flector Mr.

5.5.4 Placa Encastrada no Bordo Interior

A placa representada na figura 5.17 está submetida a uma carga P sob a acção da qual

se geram os momentos de reacção Mi ao longo do contorno interior da placa.

O problema reduz-se à consideração de uma placa anular simplesmente apoiada ao

longo do contorno exterior e submetida a uma distribuição do momento Mi ao longo do

contorno interior, caso 5.5.1 com Me = 0, e a uma carga uniformemente distribuída ao

longo do contorno interior de resultante P. Os momentos de reacção Mi que são


desconhecidas, determinam-se tendo em conta que na secção de encastramento a inclinação

dω/dr é nula.

P

Re

Ri

Mi

Figura 5.17: Placa Encastrada no Bordo Interior.

A inclinação devida à existência da carga P uniformemente distribuída ao longo do

contorno interior é:

−+

+−

++−

−−=νν

νν

πω

11.

RR

1RR

nRR

R2111

RR

n2D8

Rpdrd

2i

2e

e

i2i

2e

2i

e

ii 5.89

e a inclinação produzida pelo momento Mi é:

( ) ( )2i

2e2

e

i

ii

2e

2i RR1D/

RR

11

R1MRR

drd

−−

+−

+= νννω 5.90

Somando as duas inclinações e igualando a zero, obtém-se:

( )( ) ( )

++

−−

−++

=i

e2i

2e

2i

2e

2i

2e

i RR

nRR

121RR

1.1

RR

14

PM νν

ννπ

5.91


Conhecido o momento de reacção Mi, a deformada obtém-se por aplicação do

Princípio da Sobreposição de efeitos, sobrepondo os efeitos do caso 3.5.2 (carga P) e do

caso 5.5.1. (carga Mi).

5.6 Placa Carregada ao Longo de uma Circunferência Concêntrica Com a Placa

5.6.1 Placa Simplesmente Apoiada


repartida, ao longo da secção cilíndrica do raio r = Ri, To. A placa em questão pode ser

estudada por sobreposição de efeitos, considerando os dois casos seguintes:

1 - Placa circular de raio Ri submetida a uma distribuição uniforme de momento M, caso

5.5.1 com Mi = 0 e Re = Ri.

2 - Placa anular de raio exterior Re e interior Ri submetida a uma carga uniformemente

distribuída, To ao longo do contorno interior e a uma distribuição uniforme de

momento M, sobreposição dos casos 5.5.1 e 5.5.2.

O esforço cortante numa secção cilíndrica tal que r > Ri é:

T = P / 2 π r

onde P = 2 π Ri To. Numa secção tal que r < Ri é:

T = 0

O momento Mi, determina-se atendendo a que a placa é contínua, portanto a inclinação

devida à existência dos momentos Mi no caso 1, para r = Ri deve ser igual à inclinação

devida a To e Mi, no caso 2, para R = Ri.

A inclinação no caso 1) é dada pela expressão 3.68 sendo Ri = 0, Re = Ri, Me = Mi e Mi =0,

ou seja:


T0T0

Ri

Re

Figura 5.18: Placa Simplesmente Apoiada.

( )( ) ( )νω +−== 1D/RMdr/d ii1

Rr i 5.94

A inclinação no caso 2) é dada pela expressão

( )( )

( ) ( ) +

+−

+−−

== 2e

i

i2i

2e

i2i

2e2

Rr RR

11

R1

RR1DMRR

dr/d1 ν

νν

ω

−+

+−

++−

−−+νν

νν

π 11

RR

1RR

nRR

R2111

RR

n2D8

RP2i

2e

e

i2i

2e

2i

e

ii 5.95

Igualando as inclinações 5.94 e 5.95 e resolvendo em ordem a Mi:

( ) ( ) ( ) ( )π

νπ

ν4

R/Rn1PR8

RR1PM ei

2e

2i

2e

i+

−−−

= 5.96

O deslocamento transversal em secções cujo raio seja r > Ri, é:

( ) ( )

++

−+−

+−=e

22i2

e

2i

2e22

e RrnrR

RRR

11

211rR

D8P

νν

πω 5.97


O deslocamento transversal em secções cujo raio seja r < Ri, é:

( ) ( ) ( ) ( )( )

+

−−−−++= 2

e

22e2

i2e

e

i22i R12

r1R3RR

RR

nrRD8

Pν

ννπ

ω 5.98

Os momentos Mr são agora facilmente determinados recorrendo às expressões 5.97,

5.98 e 5.14.


A placa representada na figura 5.19 a) está submetida a uma carga uniformemente

distribuída ao longo de uma secção cilíndrica de raio r = Ri , a equação da deformada pode

obter-se por sobreposição de efeitos considerando os dois casos seguintes:

1 - Placa simplesmente apoiada ao longo do contorno exterior e submetida a uma carga

uniformemente distribuída T0 ao longo da secção r = Ri. Caso 5.61 que corresponde à

figura 5.14 b).

2 - Placa simplesmente apoiada submetida a uma distribuição uniforme de momentos Me,

como se representa na figura 5.14 c), ao longo do contorno exterior, caso 5.5.1 com o

momento Mi = 0 e com o raio interior Ri = 0.

A distribuição uniforme de momentos, Me, ao longo do contorno exterior determina-

se atendendo a que a inclinação no bordo exterior deve ser nula pelo facto da placa ser

encastrada.

A inclinação no caso 1) é:

( )

e

2i

2e

1

Rr RRR

11

D4P

drd

e

−+

−=

= νπω 5.99


=

= +

T0T0

T0 T0

Ri

Ri

Re

Re

Me

Me

Figura 5.19: Placa Encastrada.

A inclinação no caso 2) é:

( )

( )νω

+=

= 1DRM

drd ee

2

Rr e

5.100

somando e igualando a zero, obtém-se:

2e

2i

2e

e RRR

4PM

−=

π 5.101

onde P = 2 π Ri T0

O deslocamento transversal para r < Ri, é:

( ) ( ) ( )

−+++= 2

e

2i

2e

22e

e

i22i R2

RRrRRR

nrRD8

Pπ

ω 5.102


e para r > Ri é:

( ) ( )

++

+−=

e

22i2

e

2i

2e22

e RrnrR

R2RR

rRD8

Pπ

ω 5.103

A inclinação e o momento-flector são facilmente obtidos a partir das expressões

5.102 e 5.103 e 5.14

5.7 Placas submetidas a uma carga uniformemente distribuída num circulo

concêntrico com o contorno exterior da placa

5.7.1 Placa simplesmente apoiada


distribuída num círculo de raio Ri. Esta solicitação pode considerar-se como uma infinidade

de cargas distribuídas ao longo de secções cilíndricas de raio x, variável entre 0 e Ri,

secções essas concêntricas com o contorno exterior da placa.

O deslocamento transversal ω (r), no interior de uma secção cilíndrica de raio Ri = x,

provocado por uma carga uniformemente distribuída ao longo de uma secção cilíndrica de

raio x, é:

( ) ( ) ( ) ( )( )

+

−−+−++= 2

e

22e22

ee

22

R12r1R3

xRRxnrx

D8P

ννν

πω 5.104

No caso de P ser as resultante das cargas distribuídas ao longo de um elemento

infinitesimal dx a expressão anterior transforma-se em:

( ) ( ) ( ) ( )( )

+

−−+−++= 2

e

22e22

ee

22

R12r1R3

xRRxnrx

D8dxpx2

υυυ

ππ

ω 5.105


xdx

Ri

Re

Figura 5.20: Placa com carga concêntrica e simplesmente apoiada.

O deslocamento transversal total obtém-se por integração do deslocamento

transversal para a placa sujeita a uma carga na secção cilíndrica de raio r = x, isto é, para ω

definido pela expressão 5.105, considerando x a variar entre 0 e Ri admitindo que r é

constante, ou seja:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) dx

R12r1R3

xRRxnrxx

D4pr 2

e

22e22

ee

22iR0

+

−−+−++∫=

υυυ

ω 5.106

integrando obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

−−

+

−−+−++= r4

RR12

r1R3rR2

Rrnr2R

D16Rp

r 22i

2e

22e22

ee

22i

2i

ν

ννω 5.107

Para r = 0, obtém-se o deslocamento transversal máximo que é:


( )

+

+−+

++

= 2i

e

i2i

2e

2i

máx R14

37RRnRR

13

D16Rp

νν

νν

ω 5.108

A deformada para pontos exteriores à secção cilíndrica de raio Ri, isto é, para r > Ri,

obtém-se de modo análogo recorrendo à expressão 5.97, substituindo Ri, por x e P pela

resultante das cargas actuando num elemento infinitesimal dx e integrando, considerando x

a variar entre 0 e Ri sendo r constante. Este deslocamento transversal é:

( ) ( )

−+

−−++−

++

= 2e

22e

i

2i

i

222e

2i

RrR

121

RrnR

Rrnr2rR

13

D16Rp

νν

νν

ω 5.109

O deslocamento máximo ocorre no centro da placa e é:

( ) ( )

−−++= 2

e

2i

i

e2i

máx R4R11

RR

n14Rp υ

υω 5.110

Os momentos, Mr para r > Ri são:

( ) ( )

−

−+

+= 2

e2

4ie

2i

r R1

r1

16Rp1

rR

n4

Rp1M

νν 5.111

As expressões acabadas de obter são válidas para valores Ri superiores a n vezes a

espessura da placa e. Um valor aceitável para n é o valor 5. No caso de Ri < n e a carga

deve considerar-se como sendo uma carga concentrada.


A determinação da deformada pode ser feita do mesmo modo que no caso anterior

recorrendo às expressões definidas em 5.6.2, tendo em conta as notações na figura 5.2.1.


p

Ri

Re

Figura 5.21: Placa Encastrada.

O deslocamento transversal para pontos no interior da secção cilíndrica de raio r =

Ri, é:

( ) ( ) ( )dxx

R2xRrR

Rxnrx

D4p

2e

22e

22e

e

22R0

i

−+++∫=ω 5.112

ou seja:

( ) ( ) ( )

−++−−+= 2

e

2i

2e

22e2

2i

e

i22i

2i

R2RR2rR

r4

RRR

nr2RD16

Rpω 5.113

O deslocamento transversal máximo ocorre para r = 0 e vem dado por:

+−= 2

e

2i

e

i2i

2i

máx R4R3

RR

nRD16

Rpω 5.114

Para pontos da placa exteriores à secção cilíndrica de raio r = Ri, a deformada obtém-

se do seguinte modo:

( ) ( ) dxxRrnrx

R2xR

rRD4p

e

222e

22e22

eR0

i

++

+−∫=ω 5.115


ou seja:

( ) ( ) ( )

++

+−=

e

22i2

e

2i

2e

22e

2i

Rrnr2R

R2RR2rR

D16Rp

ω 5.116

A determinação dos momentos flectores Mr e Mθ faz-se recorrendo às expressões

5.14 e 5.113 para pontos no interior da secção cilíndrica r = Ri e às expressões 5.14 e 5.116

para pontos exteriores a essa secção.

Para pontos exteriores à secção cilíndrica de raio r = Ri, os momentos flectores Mr e

Mθ são:

( ) ( ) ( )

−−+−−+

++= υννν 26

Rrn44

rR

1R

RR21

16Rp

Me

2

2i

2e

2i

2e

2i

r

( ) ( ) ( )

−−−−

+−+

++= 26

Rrn44

rr2R

1R

RR21

16Rp

Me

2

22i

2e

2i

2e

2i ννννθ

As expressões acabadas de obter só são válidas no caso de o raio Ri ser

suficientemente elevado para não se poder considerar a carga como concentrada.


Problemas

1 - Considere a placa representada na figura seguinte e determine uma expressão para o

momento-flector Mr, no ponto A da placa circular.

br

a

p

A

2 - Considere a placa circular representada na figura de raio exterior b e simplesmente

apoiada ao longo da secção de raio a. Determine:

a) A expressão ou expressões da deformada.

b) O momento radial no centro da placa.

p

a

b

3. Considere a placa simplesmente apoiada ao longo do contorno exterior sujeita a uma

distribuição de carga ar

pp 0= , como se representa na figura, e determine:

a)A expressão da Deformada

b)Os momentos flectores MeMr θ .


R

p

4. Considere a placa encastrada ao longo do contorno exterior sujeita a uma distribuição de

carga

=

ar

pp2

0 , como se representa na figura, e determine:



R

5. Considere a placa circular anular simplesmente apoiada ao longo do contorno exterior

sujeita a uma distribuição de carga RR

rp

RRRpp

ie0

ie

e0 −

−−

= , como se representa na

figura, e determine:




Re

p

Ri

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