Capitulo 6 2011-2

IT 144 – Hidráulica Aplicada Outubro/2011

Prof. Daniel Fonseca de Carvalho

73

6. ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS

6.1 Considerações Gerais

Tendo em vista a pressão de funcionamento, os condutos hidráulicos podem se

classificar em:

a) Condutos forçados: nos quais a pressão interna é diferente da pressão atmosférica.

Nesse tipo de conduto, as seções transversais são sempre fechadas e o fluido

circulante as enche completamente. O movimento pode se efetuar em qualquer sentido

do conduto;

b) Condutos livres: nestes, o líquido escoante apresenta superfície livre, na qual atua a

pressão atmosférica. A seção não necessariamente apresenta perímetro fechado e

quando isto ocorre, para satisfazer a condição de superfície livre, a seção transversal

funciona parcialmente cheia. O movimento se faz no sentido decrescente das cotas

topográficas.

6.1.1 Equação de Bernoulli aplicada aos fluidos reais

Na dedução deste teorema, fundamentada na Equação de Euler, foram

consideradas as seguintes hipóteses:

a) o fluido não tem viscosidade;

b) o movimento é permanente;

c) o escoamento se dá ao longo de um tubo de fluxo; e

d) o fluido é incompressível.

A experiência mostra que, em condições reais, o escoamento se afasta do

escoamento ideal. A viscosidade dá origem a tensões de cisalhamento e, portanto,

interfere no processo de escoamento. Em conseqüência, o fluxo só se realiza mediante

uma “perda” de energia, que nada mais é que a transformação de energia mecânica

em calor e trabalho.



74

A equação de Bernoulli, quando aplicada a seções distintas da canalização,

fornece a carga total em cada seção. Se o líquido é ideal, a carga ou energia total

permanece constante em todas as seções. Porém, se o líquido é real, para ele se

deslocar da seção 1 para a seção 2 (Figura 71), o mesmo irá consumir energia para

vencer as resistências ao escoamento entre as seções 1 e 2. Portanto, a carga total em

2 será menor do que em 1 e esta diferença é a energia dissipada sob forma de calor.

Como a energia calorífica não tem utilidade no escoamento do líquido, diz-se que esta

parcela é a “perda” de carga ou “perda” de energia, simbolizada comumente por fh . É

possível observar na Figura 71 que, independente da forma como a tubulação se

encontra instalada, sempre haverá dissipação de energia quando o líquido estiver em

movimento.

Analisando as Figuras, além do plano de referência, é possível identificar três

planos:

- PCE � Plano de carga efetivo: é a linha que demarca a continuidade da altura da

carga inicial, através das sucessivas seções de escoamento;

- LP � Linha piezométrica: é aquela que une as extremidades das colunas

piezométricas. Fica acima do conduto de uma distância igual à pressão existente, e é

expressa em altura do líquido. É chamada também de gradiente hidráulico; e

- LE � Linha de energia: é a linha que representa a energia total do fluido. Fica,

portanto, acima da linha piezométrica de uma distância correspondente à energia de

velocidade e se o conduto tiver seção uniforme, ela é paralela à piezométrica. A linha

piezométrica pode subir ou descer, em seções de descontinuidade. A linha de energia

somente desce.

Nas Figuras, f21 hEE =− ou f21 hEE +=

Como zp

g2v

E2

+γ

+= , tem-se que: f22

22

11

21 hz

pg2

vz

pg2

v ++γ

+=+γ

+

que é a equação de Bernoulli aplicada em duas seções quaisquer de um escoamento

de fluido real.



75

a

b

c

Figura 71 - Escoamento de um líquido real em um conduto forçado, mostrando a carga

total em duas seções de escoamento: a) tubulação em nível; b) tubulação

em aclive; c) tubulação em declive.

g2v2

1

γ1P

z2

z1

γ2P

g2

v22

hf 1-2

PCE

LE

LP

z2

γ1P

hf 1-2

z1

g2v2

1

γ2P

g2v2

2

PCE

LE

LP

g2v2

1

γ1P

z2 z1

γ2P

g2v2

2

hf 1-2

PCE

LE

LP



76

Quando existem peças especiais e trechos com diâmetros diferentes, as linhas de

carga e piezométrica vão se alterar ao longo do conduto. Para traçá-las, basta

conhecer as cargas de posição, pressão e velocidade nos trechos onde há

singularidades na canalização. A instalação esquematizada na Figura 72 ilustra esta

situação.

Figura 72 – Perfil de uma canalização que alimenta o reservatório R2, a partir do

reservatório R1, com uma redução de diâmetro.

Do reservatório R1 para R2 existe uma perda de carga global “ht”, igual à

diferença de nível entre os mesmos. Esta perda de carga é devida à:

ha1 - perda localizada de carga na entrada da canalização;

hf1 - perda contínua de carga no conduto 1 de maior diâmetro;

ha2 - perda localizada de carga na redução do conduto, representada pela

descontinuidade da linha de carga;

hf2 - perda contínua de carga no trecho de diâmetro D2;

ha3 - perda de carga na entrada do reservatório.

Para traçar esta linha de carga é necessário calcular as cargas logo após a

entrada da canalização, imediatamente antes e após a redução de diâmetro e na

entrada do reservatório. Em seguida, bastas traçar estes pontos por retas.

g2V21

g2V22

ha1

ha2

ha3

hf1

hf2 D1

D2

R1

R2



77

Exercício: Qual a energia consumida para vencer as resistências ao escoamento em

um trecho do conduto de 100 mm. A pressão no início é de 0,2 MPa e no final 0,15

MPa. A velocidade média de escoamento é de 1,5 m/s. Tomando como referência a

Figura 71 c, considere uma diferença de nível na tubulação de 1 m. Resposta: 6,0 mca

6.1.2 Regimes de movimento

Os hidráulicos do século XVIII já observavam que dependendo das condições

de escoamento, a turbulência era maior ou menor, e consequentemente a perda de

carga. Osborne Reynolds (1842 – 1912) fez uma experiência para tentar caracterizar o

regime de escoamento, que a princípio ele imaginava depender da velocidade de

escoamento (Figura 73). A experiência consistia em fazer o fluido escoar com

diferentes velocidades, para que se pudesse distinguir a velocidade de mudança de

comportamento dos fluidos em escoamento e caracterizar estes regimes. Para

visualizar mudanças, era injetado na tubulação o corante permanganato de potássio,

utilizado como contraste.

Figura 73 – Esquema da experiência de Reynolds

Inicialmente, usando pequenas velocidades, ele observou que o líquido escoava-se

ordenadamente, como se lamínulas do líquido se deslizassem uma em relação às

outras, e a este estado de movimento, ele denominou laminar. Logo que a velocidade

foi sendo aumentada gradativamente, ele observou que o líquido passou a escoar de

forma desordenada, com as trajetórias das partículas se cruzando, sem uma direção



78

definida. A este estado de movimento, ele chamou de turbulento ou desordenado. A

Figura 74 apresenta os resultados de testes demonstrando a experiência de Reynolds.

O material completo está disponível no endereço:

http://www.escoladavida.eng.br/mecflubasica/Apostila/Unidade%203/Simulacao%20de

%20Reynolds%20un%203.pdf

a b

Figura 74 – Resultados obtidos em um teste de laboratório: (a) laminar e (b) turbulento.

Tentando repetir a sua experiência, em sentido contrário, começando de uma

velocidade maior (regime turbulento) e, gradativamente reduzindo a velocidade, ele

observou que o fluido passou do regime turbulento para o laminar, porém a velocidade

que ocorreu nesta passagem era menor que aquela em que o regime passou laminar a

turbulento. Ficou, portanto, uma faixa de velocidade onde não se pôde definir com

exatidão qual o regime de escoamento. A esta faixa, chamou de zona de transição.

Ele distinguiu inicialmente também duas velocidades:

• Velocidade crítica superior: é aquela onde ocorre a passagem do regime laminar

para o turbulento.

• Velocidade crítica inferior: é aquela onde ocorre a passagem do regime turbulento

para o laminar.

Repetiu-se a experiência de Reynolds fazendo-a para várias combinações de

diâmetros e fluidos e concluiu-se que não só a velocidade é importante para

caracterizar o regime de escoamento, mas também o diâmetro da canalização e o

fluido escoante. Chegou-se a uma expressão que caracteriza o regime de escoamento:



79

ν= DV

Re

em que:

Re = é conhecido como número de Reynolds, adimensional;

V = a velocidade média de escoamento, m s-1;

D = o diâmetro da canalização, m; e

ν = a viscosidade cinética do fluido, m2 s-1 (ν água = 1,02 x 10-6 m2 s-1)

Para definir o regime, basta calcular o número de Reynolds e caracterizá-lo

pelos limites.

Se eR ≤ 2.000 - regime laminar

Se eR ≥ 4.000 - regime turbulento

Se 2.000 < eR < 4.000 - zona de transição

Na zona de transição não se pode determinar com precisão a perda nas canalizações.

De modo geral, por causa da pequena viscosidade da água e pelo fato da

velocidade de escoamento ser sempre superior a 0,4 ou 0,5 m s-1, o regime dos

escoamentos, na prática, é turbulento.

Exercício: Com os dados do exercício anterior, calcule o número de Reynolds

do escoamento, considerando ν água = 1,02 x 10-6 m2 s-1. Resposta: 147.058,82

6.1.3 Perda de carga

A princípio acreditava-se que a perda de energia ao escoamento era resultado

do atrito da massa fluida com as paredes da tubulação. Todavia, essa conceituação é

errônea, pois independente do tipo de escoamento, existe uma camada de velocidade

igual a zero junto às paredes (camada limite), indicando que a massa fluida em

escoamento não atrita com as paredes do conduto. Se chamarmos de ”β” a espessura

dessa camada ou película, a mesma pode ser calculada pela fórmula de Prandtl:



80

fRe

D5,32=β

em que f é um fator de atrito e dependente do regime de escoamento e da rugosidade

interna da parede do tubo (ε). Também deve-se definir como rugosidade relativa do

material a razão entre ε e o diâmetro do tubo (Dε

). A Tabela 1 apresenta a rugosidade

dos materiais mais comumente utilizados.

Tabela 1 - Valores da rugosidade média (ε) dos materiais empregados em condutos forçados

Tipo de material ε ( mm )

Ferro fundido novo 0,26 - 1 Ferro fundido enferrujado 1 - 1,5 Ferro fundido incrustado 1,5 - 3 Ferro fundido asfaltado 0,12 - 0,26 Aço laminado novo 0,0015 Aço comercial 0,046 Aço rebitado 0,092 - 9,2 Aço asfaltado 0,04 Aço galvanizado 0,15 Aço soldado liso 0,1 Aço muito corroído 2,0 Aço rebitado, com cabeças cortadas 0,3 Cobre ou vidro 0,0015 Concreto centrifugado 0,07 Cimento alisado 0,3 - 0,8 Cimento bruto 1 - 3 Madeira aplainada 0,2 - 0,9 Madeira não aplainada 1,0 - 2,5 Alvenaria de pedra bruta 8 - 15 Tijolo 5 Plástico 0,06 Alvenaria de pedra regular 1

Pela equação anterior é possível verificar que quanto maior o Re, menor a

espessura da camada limite. Se β for suficiente para cobrir as rugosidades (ε) o

escoamento é dito turbulento de parede lisa. Se β for da mesma ordem de grandeza de

ε, o escoamento passa a ser chamado de turbulento de parede intermediária ou

turbulento de transição. Caso β seja menor que ε, o escoamento é dito turbulento de

parede rugosa ou francamente turbulento.



81

É interessante notar que β decresce com aumento de Re. Por isso um tubo pode

se comportar como liso para um fluido e rugoso para outro. Ainda para o mesmo fluido,

pode se comportar como liso nas baixas velocidades e rugoso nas altas velocidades.

Concluindo, pode-se dizer que no regime laminar, a perda de carga deve-se

unicamente à resistência oferecida pela camada mais lenta àquela mais rápida que lhe

é adjacente, ou seja, a energia hidráulica é transformada em trabalho na anulação da

resistência oferecida pelo fluido em escoamento em função da sua viscosidade. A

resistência é função das tensões tangenciais que promovem a transferência da

quantidade de movimento.

No regime turbulento, além do fenômeno descrito acima, existe ainda perda de

energia nos choques moleculares oriundos do movimento desordenado das partículas.

A perda de carga está diretamente relacionada com a turbulência que ocorre

no conduto. Com esta ponderação, é possível imaginar que, em uma tubulação

retilínea, a perda de carga seja menor se comparada com uma tubulação semelhante,

mas com uma série de peças especiais, tais como curvas, cotovelos, etc. As peças

especiais provocam perdas localizadas pela maior turbulência na região da peça, pois

alteram o paralelismo das linhas de corrente.

Para efeito didático vamos separar as perdas localizadas da perda de carga ao

longo de uma canalização retilínea, ou perda contínua de carga.

6.2 Cálculos dos condutos forçados: perda contínua de carga

Desde o século XVIII, os hidráulicos vêm estudando o comportamento dos

fluidos em escoamento. Darcy, hidráulico suíço, e outros concluíram, naquela época,

que a perda de carga ao longo das canalizações era:

- diretamente proporcional ao comprimento do conduto;

- proporcional a uma potência da velocidade;

- inversamente proporcional a uma potência do diâmetro;

- função da natureza das paredes, no caso de regime turbulento;

- independente da pressão sob a qual o líquido escoa; e

- independente da posição da tubulação e do sentido de escoamento.



82

Naquela época, surgiram numerosas fórmulas para o dimensionamento das

canalizações. A maioria delas era específica para as condições de trabalho de uma

dada região. Hoje, o número de fórmulas utilizadas é bem menor. Serão abordadas

neste estudo as fórmulas de Hazen-Williams, Flamant e Darcy-Weisbach ou Universal.

6.2.1 Fórmulas práticas

a) Fórmula de Hazen-Williams Essa fórmula talvez seja a mais utilizada nos países de influência americana.

Ela originou-se de um trabalho experimental com grande número de tratamentos

(vários diâmetros, vazões e materiais) e repetições. Ela deve ser utilizada para

escoamento de água à temperatura ambiente, para tubulações com diâmetro maior ou

igual a 2” ou 50 mm e para regime turbulento. Ela possui várias apresentações:

54,063,0 J D C 355,0V = ou 54,063,2 J D C 279,0Q = ou 87,4852,1

852,1

D C

Q646,10J = ou

LD C

Q646,10hf

87,4852,1

852,1=

em que:

V - velocidade, m s-1;

D - diâmetro da canalização, m;

Q - vazão, m3 s-1;

hf – perda contínua de carga, m;

J - perda de carga unitária, m m-1;

C – coeficiente que depende da natureza das paredes e estado de

conservação de suas paredes internas. A Tabela 2 apresenta alguns valores para o

coeficiente C.

b) Fórmula de Flamant A fórmula de Flamant deve ser aplicada também para água à temperatura

ambiente, para instalações domiciliares e tubulações com diâmetro variando de 12,5 a



83

100 mm. Inicialmente foram desenvolvidas as equações para ferro fundido e aço

galvanizado. Posteriormente, foi obtido o coeficiente para outros materiais

75,4

75,1

D

QKeJ = ou L

D

QKehf

75,4

75,1=

em que “Ke” assume os seguintes valores:

PVC Ferro fundido e aço novos

Ferro fundido e aço usados

Cimento amianto

Chumbo

0,000824 0,001133 0,0014 0,00095 0,00086

Tabela 2 - Valores do coeficiente C da fórmula de Hazen-Williams

Tipo de conduto C Aço corrugado 60 Aço com juntas “loc-bar”, novas 130 Aço galvanizado 125 Aço rebitado, novo 110 Aço rebitado, usado 85-90 Aço soldado, novo 130 Aço soldado, usado 90-100 Aço soldado com revestimento especial 130 Aço zincado 140-145 Alumínio 140-145 Cimento-amianto 130-140 Concreto, com bom acabamento 130 Concreto, com acabamento comum 120 Ferro fundido, novo 130 Ferro fundido, usado 90-100 Plástico 140-145 PVC rígido 145-150 Vidro 140

c) Fórmula de Darcy-Weisbach ou Universal

Esta fórmula é de uso geral, podendo ser aplicada tanto para escoamento em

regime turbulento quanto para o laminar, e é também utilizada para toda faixa de

diâmetros.

52

2

Dg

Qf8J

π= ou L

Dg

Qf8hf

52

2

π=



84

O coeficiente “f” depende do material e estado de conservação das paredes. Na

hipótese de regime laminar, f é independente da rugosidade relativa e é unicamente

função do número de Reynolds:

Re64

f =

No regime turbulento, o valor de f pode ser encontrado pela expressão de

Colebrook e White:

)fRe

51,271,3D(log2-

f

1 +ε

=

A equação anterior pode ser aplicada para três situações distintas:

� escoamento turbulento de parede lisa (104 ≤ Re ≤ 3,6x106): nesta região f depende

de Re e independe de Dε

. Assim, pode-se desprezar da equação anterior o primeiro

termo entre parênteses:

8,0-)f(Relog2f

1 =

� escoamento turbulento de parede intermediária (14 < Dε

Re f < 200): nesta região f

depende de Re e de Dε

. Assim, utiliza-se a fórmula completa de Colebrook e White.

� escoamento de parede rugosa ou francamente turbulento: nesta região f depende de

Dε

e independe de Re. Assim, pode-se desprezar da equação de Colebrook e White, o

segundo termo entre parênteses:

14,1)De

(log2f

1 +=

Para simplificar a solução das equações anteriores, Moody elaborou um

diagrama que recebeu o seu nome (Diagrama de Moddy), conforme apresentado na

Figura 75.



85

Figura 75 - Diagrama de Stanton, segundo Moody, para determinação de valores do

coeficiente f, em função do número de Reynolds e da rugosidade relativa.



86

d) Análise complementar

Em todas as equações apresentadas, a perda de carga é unitária, ou seja, é a

perda de carga que ocorre em um metro de canalização retilínea. A perda de carga ao

longo de toda a extensão da canalização é dada por:

L.Jh f =

em que L – comprimento total da canalização retilínea, m.

Todas as equações têm muito em comum, principalmente se forem tomadas

aquelas que são apresentadas com o parâmetro vazão. Para simplificar vamos

generalizá-las por:

m

n

D

Q.J β=

em que:

87,4m

85,1nC

641,1085,1

==

=β

Para equação de Hazen-Williams;

75,4m

75,1n

000824,0

===β

Para a equação de Flamant, para condutos de plástico; e

5m

2n

g.

f.82

==

π=β

Para a equação de Darcy-Weisbach.

Exercícios:

- Com base no esquema abaixo, determine a perda de carga na tubulação de

ferro fundido novo, com 500 m de comprimento, diâmetro de 150 mm e que transporta

uma vazão de 25,0 L s-1 (resolver pelas três equações).



87

Resposta: a) H-W �� hf = 7,19 m; b) Flamant �� hf = 7,30 m; c) D-W �� hf = 8,5 m

(considerando e = 0,3 mm)

- Em um tubo de diâmetro constante igual a 100 mm, por onde escoa água, há

dois medidores de pressão instalados, distanciados entre si de 125,0 m. Em um

determinado instante, as leituras dos mesmos são iguais a 20 psi (esquerda) e 230 kPa

(direita). Sabendo que o tubo é de ferro fundido (C = 130), determine a vazão que

escoa nesta tubulação, considerando o esquema abaixo:

Resposta: Q = 0,0199 m 3 s-1.

6.3 Cálculos de condutos forçados: perda localizada de carga

A perda localizada de carga é aquela causada por acidentes colocados ou

existentes ao longo da canalização, tais como as peças especiais. Em tubulações com

longo comprimento e poucas peças a turbulência causada por essas passa a ser

desprezível. Porém em condutos com muitas peças e menor comprimento, este tipo de

perda tem uma importância muito grande, como no caso de instalações prediais. Pode-

se desconsiderar as perdas localizadas quando a velocidade da água é pequena, V < 1

m/s, quando o comprimento é maior que 4.000 vezes o diâmetro, e quando existem

poucas peças no conduto.

3,0 m 5,0 m

∆H = 30,0 m

Fonte d´água



88

No projeto, as perdas localizadas devem ser somadas à contínua. Considerar

ou não as perdas localizadas é uma atitude que o projetista irá tomar, em face das

condições locais e da experiência do mesmo.

a) Expressão de Borda-Belanger

A expressão que calcula as perdas partiu do teorema de Borda-Berlanger.

g2V

Kha2

=

em que :

ha - perda de carga causada por uma peça especial, m;

K - coeficiente que depende de cada peça e diâmetro, (Tabela 3).

Tabela 3 - Valor do coeficiente K, para cálculos das perdas de carga localizadas, em função do tipo de peça, segundo J. M. Azevedo Neto.

Tipo da peça K Ampliação gradual 0, 30 Bocais 2,75 Crivo 0,75 Curva de 90° 0,40 Curva de 45° 0,20 Entrada normal de canalização 0,50 Junção 0,04 Medidor Venturi 2,50 Redução gradual 0,15 Registro de ângulo, aberto 5,00 Registro de gaveta, aberto 0,20 Registro de globo, aberto 10,00 Saída de canalização 1,00 Tê, passagem direita 0,60 Tê, saída de lado 1,30 Tê, saída bilateral 1,80 Válvula de pé 1,75

Válvula de retenção 2,50 O valor de K depende do regime de escoamento. Para escoamento plenamente

turbulento, eR > 50.000, o valor de K para as peças especiais é praticamente

constante, dependente apenas do tipo de peça.



89

b) Método dos comprimentos virtuais

Ao se comparar a perda de carga que ocorre em uma peça especial, pode-se

imaginar que esta perda também seria oriunda de um atrito ao longo de uma

canalização retilínea. Pergunta-se: que comprimento de uma canalização provocaria a

mesma perda? Para saber, basta igualar a equação de perda localizada de carga, com

a perda contínua de carga. Portanto:

Perda contínua: Lg2.D

V.fh

2

f =

Perda localizada: g2

VKh

2=∆

Como um se iguala ao outro, temos:

g2V

KLg2.D

V.fhh

22f =→∆=

Simplificando: DfK

L =

A Tabela 4 contém os valores do comprimento retilíneo, equivalentes a cada

peça especial.

Este método, portanto, consiste em adicionar ao trecho retilíneo real da

canalização, um trecho retilíneo fictício (Lf), gerando um comprimento virtual maior que

o real. Este comprimento virtual (Lv) é o que deve ser usado na fórmula de perda

contínua de carga total.

LLfLv +=

O valor de carga por este procedimento já inclui as perdas localizadas.

c) Método dos diâmetros equivalentes



90

Este método é uma particularidade do método anterior. Observando-se o

anterior, nota-se que o comprimento vai depender do diâmetro e de uma relação K/f.

Esta razão depende do número de Reynolds, tal como K e f. Porém, em regimes

plenamente turbulentos, K e f passam a ficar constantes com o número de Reynolds.

Tabela 4 - Comprimento fictício em metros das principais peças especiais, para os diâmetros comerciais mais usados.

Tipo de Peça

Diâmetros comerciais (mm) 50 63 75 100 125 150 200 250 300 350

Curva 90 0,6 0,8 1,0 1,3 1,6 1,9 2,4 3,0 3,6 4,4 Curva 45 0,4 0,5 0,6 0,7 0,9 1,1 1,5 1,8 2,2 2,5

Entr.normal 0,7 0,9 1,1 1,6 2,0 2,5 3,5 4,5 5,5 6,2 Entr. borda 1,5 1,9 2,2 3,2 4,0 5,0 6,0 7,5 9,0 11,0

Reg. gav. ab. 0,4 0,4 0,5 0,7 0,9 1,1 1,4 1,7 2,1 2,4 Reg. gl. ab. 17,0 21,0 26,0 34,0 43,0 51,0 67,0 85,0 102 120

Tê pass. direta 1,1 1,3 1,6 2,1 2,7 3,4 4,3 5,5 6,1 7,3 Tê saída de lado 3,5 4,3 5,2 6,7 8,4 10,0 13,0 16,0 19,0 22,0 Tê saída bilater. 3,5 4,3 5,2 6,7 8,4 10,0 13,0 16,0 19,0 22,0

Válv. pé/cr. 14,0 17,0 20,0 23,0 30,0 39,0 52,0 65,0 78,0 90,0 Saída de canal. 1,5 1,9 2,2 3,2 4,0 5,0 6,0 7,5 9,0 11,0 Válvula retenção 4,2 5,2 6,3 8,4 10,0 13,0 16,0 20,0 24,0 28,0

Portanto a relação K/f fica dependente apenas da rugosidade de cada material.

Em termos práticos e como as perdas localizadas são pequenas em relação às

contínuas, pode-se considerar que K e f constantes. Por conseguinte, o comprimento

fictício a ser adicionado ao comprimento real poderá ser expresso em um número de

diâmetro: nfK = (constante), ou seja, L = n.D, em que n expressa o comprimento

fictício de cada peça em números de diâmetros (Tabela 5).

Nos problemas de condutos forçados, são quatro os elementos hidráulicos:

Q – vazão

V – velocidade de escoamento

J – perda de carga unitária

D – diâmetro da canalização

Na solução dos problemas, têm-se disponível duas equações :

Equação da continuidade:



91

V.AQ =

Equação genérica de perda de carga:

m

n

D

QJ β=

Tabela 5 - Diâmetros equivalentes das principais peças especiais

Tipo da peça n° de diâmetros

Ampliação gradual 12 Curva de 90° 30 Curva de 45° 15

Entrada normal 17 Entrada de Borda 35

Junção 30 Redução gradual 6

Registro de gaveta, aberto 8 Registro de globo, aberto 350

Saída de canalização 35 Tê, passagem direta 20

Tê, saída bilateral 65 Válvula de pé com crivo 250

Válvula de retenção 100

A existência de peças especiais, bem como o seu número, além do material

constituinte da tubulação deverá ser de conhecimento prévio do projetista. Nos

problemas práticos, a vazão Q é quase sempre um elemento conhecido. Se for água

que vai ser conduzida, deve-se saber, a priori, a sua utilidade e seu valor. Normalmente

o diâmetro é a variável desconhecida e seu valor deve ser minimizado, pois reflete

diretamente nos custos da canalização. Por outro lado, se o escoamento não é por

gravidade, um menor diâmetro provocará uma maior perda de carga que implicará em

um maior consumo de energia. Valores práticos de velocidade existem e podem

orientar o projetista na definição do melhor diâmetro.

A literatura cita limites e valores de velocidade média recomendados para as

mais diferentes situações:

• água com material em suspensão..........................................V > 0,60 m/s

• para instalações de recalque.......................................0,55 < V < 2,50 m/s

mais usual.......................................1,00 < V < 2,00 m/s



92

Exercícios :

- Calcular a perda de carga total (continua + localizada) em um trecho de uma

canalização de alumínio, que conduz 20,0 L s-1 numa extensão de 800 m. O diâmetro

da canalização é de 150 mm e ao longo do trecho tem-se as seguintes peças

especiais, com suas respectivas quantidades:

Curva de 90o 4 Curva de 45o 3

Válvula de retenção 2 Registro de gaveta 2

Resposta: Perda contínua adotando H-W �� hf = 6,63 m;

Perda localizada �� a) Borda-Belanger: ∆h = 0,496 m;

b) Comprimentos virtuais: ∆h = 0,314 m;

c) Diametros equivalentes: ∆h = 0,474 m

- Calcule a perda localizada de carga provocada pelo registro parcialmente

fechado, no esquema a seguir (h1 = 1,20 m; h2 = 1,05 m; h3 = 0,35 m; L1 = 1,0 m; L2 =

1,9 m; L3 = 1,3 m).

Resposta: ∆h = 0,22 m

6.4 Condutos Equivalentes

Conceito: Um conduto é equivalente a outro ou a outros quando escoa a mesma

vazão sob a mesma perda de carga total.



93

Pode-se ter uma gama de condutos equivalentes, porém se apresentará os

condutos equivalentes em série e em paralelo.

6.4.1. Condutos em série ou misto

São os condutos constituídos por trechos de tubulação, com mais de um

diâmetro diferente, conforme ilustra a Figura 76.

Desconsiderando as perdas localizadas:

3f2f1ff hhhh ++= ...

em que:

fh = a perda de carga total no conduto

1fh = a perda contínua de carga no trecho de diâmetro 1D e comprimento L1 ;

2fh = idem para diâmetro D2 e comprimento L2

3fh = idem para diâmetro 3D e comprimento 3L

Figura 76 - Conduto misto com 2 diâmetros.

Usando a fórmula genérica de perda de carga tem-se:



94

3m3

n

32m2

n

21m1

n

1eme

n

e

eme

n

efe3m3

n

3f2m2

n

2f1m1

n

1f

LD

QL

D

QL

D

QL

D

Q

LD

Qh;L

D

Qh;L

D

Qh;L

D

Qh

321

β+β+β=β

β=β=β=β=

Para uma condição de mesma rugosidade,

321e β=β=β=β

E como a vazão deve ser a mesma, condição de ser equivalente, a equação

simplifica-se:

m3

3m

2

2m

1

1m

e

e

D

L

D

L

D

L

D

L++=

que é a expressão que traduz a regra de Dupuit.

A aplicação prática desta regra se faz presente no dimensionamento dos

condutos, e normalmente são encontrados diâmetros não comerciais. Como, por

exemplo, cita-se um caso: D = 133 mm. Se for escolhido o diâmetro comercial 125 mm,

este não irá fornecer a vazão desejada ou a perda ultrapassará o limite de projeto. Se

for escolhido 150 mm, que é o imediatamente superior, a vazão será maior que a de

projeto ou a perda de carga será menor que a projetada. Nesse caso, o problema pode

ser resolvido com a colocação de um registro para aumentar a perda de carga total e

consequentemente reduzir a vazão até o projetado. Porém, esta saída não é a mais

econômica, pois o custo das tubulações cresce exponencialmente com o diâmetro.

Então, a melhor solução técnica e econômica é fazer uma associação em série, ou

seja, colocar um trecho do conduto com o diâmetro comercial imediatamente superior,

e um trecho com o diâmetro comercial imediatamente inferior, de tal forma que este

conduto misto seja equivalente ao projetado. Porém, quais os comprimentos de cada

diâmetro? Suponha que o comprimento total seja L e os comprimentos de cada trecho

sejam 1L e 2L , de tal forma que:



95

21 LLL += ;

e que

2f1ff hhh +=

Como genericamente

L.Jh f =

Tem-se

2211 L.JL.JL.J +=

Fazendo

22211

2221

21

L.JL.JL.JL.J

L.J)LL(JL.J

LLL

+−=+−=

−=

Rearranjando

L)JJ(

)JJ(L)JJ(L)JJ(L

12

121122 −

−=→−=−

em que

L2 = comprimento do trecho de diâmetro D2;

J = perda de carga unitária no conduto de diâmetro não comercial;

J1 = perda de carga unitária no conduto de diâmetro comercial D1;

J2 = perda de cara unitária no conduto de diâmetro comercial D2; e

L = o comprimento total da canalização.

Exercícios:

- Com base no esquema da Figura abaixo, considere todos os trechos da

tubulação de mesmo material. Desprezando as perdas localizadas nas mudanças de

diâmetro, pede-se:

a) comprimento equivalente de uma rede de diâmetro único de 40 cm;

b) o diâmetro equivalente para uma canalização de 3600 m de comprimento.



96

Respostas: a) L = 4.242,77 m; b) D = 0,3867 m

- Calcule a diferença de nível H, sabendo que a vazão escoada é de 5,0 L s-1, a

tubulação é de ferro fundido (C = 130), os diâmetros D1 e D2 são, respectivamente, 75

e 50 mm, e os comprimentos L1 e L2 são, respectivamente, 30 m e 40 m. Considere

comprimentos fictícios de 1,1 m (entrada de canalização); 0,4 m (redução) e 1,5 m

(saída de canalização);

Resposta: H = 7,05 m.

6.4.2. Condutos em paralelos ou múltiplos

São os condutos que têm as extremidades comuns, ou seja, a pressão no

início de todos é a mesma. Também a pressão no final é comum a todos os condutos.

Observa-se pela Figura 77 que no ponto A, a vazão total Q se divide nas

vazões .QeQ,Q 321 Na extremidade final, ponto B, estas vazões voltam a se somar,

voltando-se novamente à vazão Q, portanto:

321 QQQQ ++=

Pela equação genérica de perda de carga tem-se que:

R1

R2

H



97

n1

mf

L.

D.hQ

β=

Figura 77 - Esquema de três condutos em paralelo.

Partindo-se desta equação:

n1

33

m3f

n1

22

m2f

n1

11

m1f

n1

ee

mef

L.

D.h

L.

D.h

L.

D.h

L.

D.h

β+

β+

β=

β

Considerando a mesma rugosidade para todos os condutos e como fh deve

ser igual em todos, condição de ser equivalente, tem-se:

n1

3

nm

3

n1

2

nm

2

n1

1

nm

1

n1

e

nm

e

L

D

L

D

L

D

L

D++=

Se todos os comprimentos forem iguais, a equação acima torna-se:

nm

3nm

2nm

1nm

e DDDD ++=

Generalizando:

.DDk

1in

min

me ∑

==

Sendo K o número de condutos em paralelo. Se também os diâmetros forem iguais a

D:

D.KD

D.KD

mn

e

nm

nm

e

=

=



98

A aplicação prática deste tipo de conduto está na expansão de uma área ou de

um projeto hidráulico. Se vai haver expansão, basta projetar o conduto para atender ao

projeto global que deverá ficar em paralelo.

Exercício: A perda de carga entre os pontos A e D no sistema da figura abaixo é de

50,0 m. Sabendo que a vazão no trecho AB é de 25,0 L s-1, e adotando-se a fórmula de

Hazen-Williams, com C = 120 para todos os trechos, calcular: a) as vazões nos trechos

2 e 3; b) o(s) diâmetro(s) comercial(is) e o(s) comprimento(s) correspondente(s) da

tubulação 3, sabendo que os diâmetros disponíveis no mercado são 75, 100, 150, 200

mm. (desprezar as perdas localizadas).

Respostas:

a) Q2 = 0,020 m3 s-1 e Q3 = 0,005 m3 s-1

b) D3 = 0,110 m (não comercial) �� L1 = 1.011 m (150 mm) e

L2 = 1.369 m (100 mm)

6.5 Sifão

É um conduto fechado que levanta o líquido a uma cota mais alta que aquela da

superfície livre e o descarrega numa cota mais baixa. Para que o sifão funcione é

necessário que se proceda a escorva do mesmo, ou seja, que o ar de seu interior seja

substituído pelo fluido.

Uma vez que no ponto ”b” (Figura 78) ocorre pressão absoluta inferior à

atmosférica, percebe-se que o sifão tem seu funcionamento limitado. Com a diminuição

da pressão em ”b” (maior altura do ponto “b” em relação ao ponto “a”) o fluxo tende a

diminuir.

L1 = 4050 m

D1 = 200 mm

L2 = 3395 m

D2 = 200 mm

L3 = 2380 m

D3 = ?

L4 = 1450 m

D4 = 150 mm A D B C



99

A

B

Figura 78 – Sifão trabalhando livre (A) e afogado (B).

Teoricamente, a diferença de nível entre “a” e “b” poderia corresponder ao

valor local da pressão atmosférica; todavia, a pressão de vaporização e as perdas de

energia fazem com que esta altura, na prática, seja inferior à pressão barométrica.

Admitindo-se o caso normal de funcionamento do sifão, em que o tubo esteja

completamente cheio de líquido, formando uma coluna contínua, a aplicação da

equação da energia entre o nível d´água no canal (a) e a saída da tubulação fornece:

g2V

DL

fg2

VK

g2V

h222

++= ou )DL

fK1(g2

Vh

2

++=

Resolvida a equação anterior, pode-se calcular o valor da pressão em b pela

aplicação da equação da energia entre os pontos a e b:

g2

VD´L

fg2

V´Kh

Pg2

V0

22

bb

2

+++γ

+= ou

)D´L

f´K1(g2

Vh

P 2

bb ++−−=γ

onde L´ é a extensão da tubulação até b.

hb



100

Observa-se que a pressão efetiva é negativa e diminui com o aumento da altura

hb e da velocidade do escoamento. Se a equação anterior fornecer uma pressão

inferior à pressão de vapor do líquido, evidencia-se a vaporização do mesmo e a vazão

obtida pela equação não corresponde à realidade.

Os tubos utilizados como sifões são geralmente de alumínio, ferro ou plástico,

com diâmetros que variam de ½ a 12 polegadas.

A vazão no sifão depende do diâmetro, do comprimento, do material que

constitui o tubo e da carga sob a qual o sifão está trabalhando. Uma vez escolhido o

tipo de sifão, a vazão dependerá exclusivamente da carga hidraúlica, que deve ser

considerada na condição de descarga livre ou afogada (“h” da Figura 78). A escolha do

diâmetro vai depender da vazão que se deseja medir. A Tabela 6 apresenta a vazão

média de sifões com ¾, 1, 1 ½ , 1 ¾ e 2 polegadas de diâmetro operando sob cargas

que variam de 5 a 50 cm, para sifões de plástico com 1,5 m de comprimento.

A Figura 79 ilustra uma aplicação do sifão no fornecimento de água para os

sulcos de irrigação.

Figura 79 – Aplicação de sifão na irrigação por sulcos.

Exercício: A Figura seguinte representa um sifão que conduz água do reservatório R1

até o ponto B, onde atua a pressão atmosférica. Determinar a vazão escoada e a

pressão no seu ponto mais alto sabendo que a tubulação é de PVC (f = 0,032) e tem

diâmetro de 150 mm. Considere que a ponta da tubulação esteja 0,5 m dentro do

reservatório R1.

Respostas: a) Q = 0,065 m 3.s-1; b) P = - 6,92 mca



101

Tabela 6 - Vazão (L s-1) e altura de carga (cm) para diferentes diâmetros de sifão

Carga h (cm)

Vazão (L/s) de sifão com diâmetro de 2” 1 ¾ ” 1 ½ ” 1 ” ¾ ”

4 1,12 0,62 0,48 0,24 0,10 6 1,38 0,77 0,60 0,29 0,13 8 1,59 0,89 0,69 0,34 0,15 10 1,78 1,00 0,78 0,38 0,18 12 1,95 1,10 0,85 0,42 0,20 14 2,11 1,19 0,93 0,45 0,22 16 2,26 1,28 0,99 0,48 0,23 18 2,40 1,36 1,05 0,51 0,25 20 2,53 1,44 1,11 0,54 0,27 22 2,65 1,51 1,17 0,57 0,28 26 2,89 1,65 1,27 0,62 0,31 28 3,00 1,71 1,32 0,64 0,33 30 3,10 1,78 1,37 0,66 0,34 32 3,21 1,84 1,42 0,68 0,35 34 3,31 1,90 1,46 0,71 0,36 36 3,40 1,95 1,51 0,72 0,38 40 3,59 2,06 1,59 0,77 0,40 42 3,68 2,12 1,63 0,78 0,41 44 3,77 2,17 1,67 0,80 0,43 46 3,85 2,22 1,71 0,82 0,44 48 3,93 2,27 1,75 0,84 0,45 50 4,02 2,32 1,79 0,86 0,46



102

6.6 Perfis de encanamentos

A posição do encanamento em relação à linha de carga tem influência decisiva

no seu funcionamento. No caso geral de escoamento de líquidos, são considerados

dois planos de carga estático: (PCE), referente ao nível de montante e que na Figura

80 coincide com o nível de água do reservatório R1, e o da carga absoluta (PCA)

situado acima do anterior, da altura representativa da pressão atmosférica.

Tendo em vista a posição relativa enunciada, podem ocorrer os casos

apresentados a seguir:

1o Caso - A tubulação AB está inteiramente abaixo da linha de carga efetiva:

Figura 80 – Linhas e planos de carga em uma tubulação.

Na Figura anterior:

LCA = linha de carga absoluta;

LCE = linha de carga efetiva;

Para um ponto E, qualquer ao longo do eixo do conduto, definem-se:

EE4 = carga estática absoluta;

EE3 = carga dinâmica absoluta;

EE2 = carga estática efetiva;

EE1 = carga dinâmica efetiva;



103

Tomando como origem das medidas de pressões atmosféricas, vemos que, em

todos os pontos do conduto, tal como E, pE /γ > 0, ou seja, em um piezômetro instalado

neste ponto, a água subiria à altura EE1. Em condutos como este, o escoamento será

normal e podemos ter garantia de vazão para a qual foi calculado. Esta é a situação

que o engenheiro deve preferir, conduzindo seus projetos, sempre que possível, para

situações semelhantes.

2o Caso - A tubulação AB tem seu desenvolvimento segundo a linha de carga MN, isto

é, acompanha a linha de carga efetiva.

Em qualquer ponto, p0 /γ = 0. A água não subirá em piezômetro instalado em

qualquer ponto da tubulação. Mesmo tendo o contorno fechado, o funcionamento é de

conduto livre (Figura 81).

Figura 81 – Tubulação conforme segundo caso.

3o Caso - É mostrado na Figura 82, onde vemos a tubulação AB com trecho EFG

situado acima da linha de carga efetiva, porém abaixo da linha de carga absoluta.

Nesta parte da tubulação, p /γ < 0, ou seja, a pressão é inferior à atmosférica. A

depressão reinante neste trecho torna o ambiente favorável ao desprendimento do ar

em dissolução no fluido circulante e à formação de vapor.



104

Figura 82 – Tubulação conforme terceiro caso.

A mistura do vapor com o ar tende a acumular-se em F, formando uma bolsa como a

indicada na Figura 83.

Figura 83 – Aparecimento da bolsa de ar na tubulação.

Se esta bolsa gasosa não for removida, poderá crescer até que a pressão no

interior do tubo se iguale à atmosférica. À medida que a bolha cresce, a vazão vai

diminuindo até assumir o valor compatível com a situação criada. A partir deste

momento, o trecho AEF, de comprimento L1, trabalhará cheio, transportando a vazão

Q1 com perda de carga h1=J1L1, sendo MF a linha de carga correspondente (Figura 84).

A partir de F, o fluido circulará à pressão atmosférica, no trecho de comprimento

L2, sem encher o conduto, até o ponto G' , que obtemos traçando G'N paralelo a MF.

Isto significa que, no trecho G', de comprimento L3, o conduto funcionará

completamente cheio, transportando a mesma vazão Q1 com a perda total h3= J1L3.



105

Figura 84 – Mudança de comportamento da linha de carga.

Em caso de adutoras enterradas, quando, no trecho EFG, a pressão for inferior à

atmosférica, pode ocorrer contaminação da água que circula no interior do conduto, se

houver defeitos nas juntas dos tubos. É um acidente possível nas redes de distribuição

com funcionamento intermitente.

Para contornar os inconvenientes causados por essa situação, podemos dividir o

encanamento em dois trechos. O primeiro, AEF, de comprimento L1 e perda de carga

total h1. O outro, FGB, de comprimento L - L1 e perda de carga total hf - h1. A linha de

carga do primeiro trecho será MF e a do segundo, FN. Como as perdas totais em cada

trecho são diferentes, os diâmetros serão também diferentes, podendo ser interligados

por peça de redução. Em F, será adaptada uma ventosa para permitir a saída dos

gases.

4o Caso - A tubulação corta a linha de carga absoluta, mas fica abaixo do plano de

carga efetivo.

Esta situação é a anterior, em condições piores. A vazão, além de reduzida, é

imprevisível. Os dois trechos, AEF e FGB, podem ser interligados por uma caixa de

passagem localizada em F, com o objetivo de minimizar os inconvenientes decorrentes

da situação.



106

Figura 85 – Tubulação conforme quarto caso.

5o Caso - A tubulação tem o trecho EFG acima da linha de carga e do plano de cargas

efetivas, mas abaixo da linha de carga absoluta (Figura 86). Nesta situação o

escoamento só será possível se a tubulação for previamente escorvada e funcionará

como sifão. No trecho EFG, a pressão efetiva é negativa e as condições de

funcionamento são piores do que no caso anterior.

Figura 86 – Tubulação conforme quinto caso.

6o Caso - O trecho EFG do conduto está acima da linha de carga absoluta, mais

abaixo do plano de carga absoluta.

Trata-se de um sifão funcionando nas piores condições possíveis.



107

Figura 87 – Tubulação conforme sexto caso.

7o Caso - Temos o trecho EFG acima do plano de carga absoluta.

O escoamento pela ação da gravidade é impossível. A água somente circulará

(Figura 88) se for instalada uma bomba capaz de impulsioná-la acima do ponto em que

o conduto corta o plano de carga efetiva. No próximo capitulo será estudado o

bombeamento ou recalque da água.

Figura 88 – Tubulação conforme sétimo caso.

Capitulo 6 2011-2

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