Capitulo 6 Medidas Eletricas Fabiobleao

Captulo 6 Medidores de Grandezas Eltricas Peridicas Prof. Fbio Bertequini Leo / Srgio Kurokawa

1

Captulo 6 - Medidores de Grandezas Eltricas Peridicas

6.1 Introduo Neste captulo ser estudado o princpio de funcionamento dos instrumentos utilizados para medir grandezas (tenses e correntes) peridicas. Em circuitos cujas tenses e correntes so variveis no tempo e peridicas, necessrio conhecer os valores eficazes (ou RMS) destas grandezas. Basicamente existem dois tipos de medidores de valor RMS de grandezas eltricas (correntes e tenses) que so: - Medidores de Falso Valor RMS; - Medidores de Verdadeiro Valor RMS. Os medidores de Falso Valor RMS so construdos a partir de medidores DC e somente fornecem o valor RMS de grandezas senoidais, enquanto que os medidores de Verdadeiro Valor RMS podem ser utilizados para medir o valor RMS de qualquer grandeza peridica.

6.2 Valor RMS de Correntes e Tenses Considere um circuito resistivo, alimentado por uma tenso peridica v(t) genrica, conforme mostra a Figura 6.1.

Figura 6.1: Circuito com resistncia R.

A corrente i(t) no circuito mostrado na Figura 6.1 dada por:

( )( ) v ti tR

= (6.1)

A potncia instantnea p(t) fornecida para a resistncia R dada por:

( ) ( ) ( )p t v t i t= (6.2)

A potncia mdia fornecida para a resistncia R calculada como sendo:

i(t)

R v(t)


2

0 0 0

1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )T T T

v tP p t dt v t i t dt v t dtT T T R

= = =

2

0

1 1 ( )T

P v t dtR T

=

(6.3)

Em (6.3) T o perodo da tenso v(t). A expresso (6.3) pode ser escrita, resumidamente, como sendo:

2RMSVPR

= (6.4)

Em (6.4) o termo VRMS denominado Root Mean Square ou valor RMS ou valor eficaz da tenso v(t). Este termo escrito como:

2

0

1 ( )T

RMSV v t dtT= (6.5)

O valor RMS de v(t) dado por (6.5) pode ser definido como uma tenso constante que causaria uma dissipao de potncia P no resistor R igual causada por um valor constante de tenso dado por v(t)=V volts. A potncia p(t) tambm pode ser escrita como sendo:

2( ) ( )p t R i t= (6.6)

Calculando a potncia mdia fornecida para a carga a partir de (6.6) teremos:

2

0 0

1 1( ) ( )T T

P p t dt R i t dtT T

= =

2

0

1 ( )T

P R i t dtT

=

(6.7)

A expresso (6.7) pode ser escrita, resumidamente, como sendo:


3

2RMSP R I= (6.8)

Em (6.8) o termo IRMS denominado Root Mean Square ou valor RMS ou valor eficaz da corrente i(t). Este termo escrito como:

2

0

1 ( )T

RMSI i t dtT= (6.9)

As equaes (6.4) e (6.8) mostram que os valores RMS de v(t) e i(t) so necessrios para que seja possvel calcular a potncia mdia ou potncia ativa fornecida por uma carga. Deste modo, torna-se necessrio o desenvolvimento de instrumentos capazes de medir o valor RMS das tenses e correntes variveis no tempo.

6.3 Anlise de um Galvanmetro submetido a uma Corrente Varivel no Tempo e Peridica Considere um galvanmetro inserido em um circuito, conforme mostra a Figura 6.2. Considerando que a tenso v(t) uma tenso peridica genrica, a mesma pode ser representada por meio de uma srie de Fourier, ou seja:

( ) ( )1

( ) cos seno n o n on

v t V a n t b n t

=

= + + (6.10)

Sendo: Vo: Valor mdio de v(t); an e bn: Coeficientes de Fourier;

2o

radT spi

=

: Frequncia angular da fundamental;

Rm

G

Ri(t)

v(t) Galvanmetro

Figura 6.2: Circuito resistivo com a insero do galvanmetro.


4

Na equao (6.10) Vo dado por:

0

1 ( ) ( )ToV v t d tT= (6.11)

Sendo: T: Perodo da fundamental da funo v(t).

A corrente i(t) no circuito mostrado na Figura 6.2 dada por:

( )( ) v ti tR Rm

=

+ (6.12)

Sabe-se que a posio angular do ponteiro de um galvanmetro de bobina mvel descrito por meio da seguinte equao diferencial:

2

2( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )r

n a

a

T tT tT t T t

t t SJ D S t i tt t K

+ + =

(6.13)

Sendo: Tn(t): Torque resultante no ncleo; Ta(t) Torque produzido devido ao atrito do ncleo do galvanmetro com o ar; Tr(t): Torque restaurador produzido pela mola; T(t): Torque devido a interao entre o campo magntico e a corrente na bobina; J: Momento de inrcia do ncleo do galvanmetro; Da: Coeficiente de arrasto do ar; S: Constante da mola;

SKN B L W

=

: Coeficiente do instrumento sendo LW=rea da bobina;

Substituindo (6.12) em (6.13) teremos:

( )2

2( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )r

n a

a

T tT t T t

t t S v tJ D S tt t K R Rm

+ + = +

(6.14)

Aplicando a Transformada de Laplace em (6.14), temos:


5

( )2 ( ) ( ) ( ) ( )a

SJ s s D s s S s v sK R Rm

+ + = +

( ) ( )2( ) ( )aS

s v sK R Rm J s D s S

= + + +

(6.15)

Na expresso (6.15) v(s) a Transformada de Laplace de v(t) e escrita como sendo:

( ) ( )2 22 21( )o o

n n

n o o

V s nv s a b

s s n s n

=

= + + + +

(6.16)

Substituindo (6.16) em (6.15) vem:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 21( ) o on nna o oS V s n

s a bsK R Rm J s D s S s n s n

=

= + + + + + + +

(6.17)

Sabemos que a posio angular do ponteiro, em regime permanente, pode ser obtida por meio do teorema do valor final, ou seja:

0lim ( ) lim ( )

t sss t s s

= = (6.18)

Sendo:

ss : Valor de em regime permanente. Aplicando o teorema do valor final na equao (6.17) temos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 22 2 20 1

2

2 22 2 20 1

lim

lim

o on n

sna o o

oo n n

sna o o

S V s nss s a b

sK R Rm J s D s S s n s n

S s s nss V a b

K R Rm J s D s S s n s n

Sss

K R Rm

=

=

= + + + + + + +

= + + + + + + +

=

+

( )1

o oV VS K R Rm

= +

1 oVssK R Rm

= + (6.19)


6

Na expresso (6.19) Vo o valor mdio da tenso v(t). Portanto o termo oVR Rm +

o

valor mdio da corrente que circula no galvanmetro. Ento a equao (6.19) pode ser escrita como sendo:

1oss IK

= (6.20)

Sendo Io o valor mdio da corrente que circula no galvanmetro dado por:

0

1 ( ) ( )ToI i t d tT= (6.20-a)

A expresso (6.20) mostra que quando um galvanmetro submetido a uma corrente peridica i(t), o ponteiro do instrumento ir sofrer um deslocamento angular que proporcional ao valor mdio da corrente que percorre o instrumento (Figura 6.3).

Figura 6.3: Representao da bobina e deslocamento do ponteiro do galvanmetro para uma corrente i(t) peridica.

Portanto, conclui-se que o galvanmetro mostra o valor mdio da corrente que circula no mesmo. Consequentemente, um ampermetro de bobina mvel ir mostrar o valor mdio da corrente que circula no mesmo e um voltmetro de bobina mvel mostrar o valor mdio da tenso aplicada em seus terminais.


7

6.4 Medidores de Falso Valor RMS 6.4.1 Ampermetro de Falso Valor RMS

Considere um ampermetro de bobina mvel ideal, acoplado a um retificador de onda completa, conforme mostra a Figura 6.4.

Figura 6.4: Ampermetro de bobina mvel acoplado a um retificador de onda completa.

Considere agora o circuito mostrado na Figura 6.5.

( )( )v t Vp sen t=

Figura 6.5: Circuito resistivo com tenso senoidal.

A corrente i(t) na Figura 6.5 dada por:

( )( )( ) ( )v t Vpi t i t sen tR R

= = (6.21)

A Figura 6.6 ilustra a forma de onda da corrente i(t) na resistncia R.


8

i(t)VpR

pi

2pi t

VpR

T

Figura 6.6: Corrente i(t) na resistncia R.

Inserindo o conjunto ampermetro/retificador no circuito mostrado na Figura 6.5 temos a Figura 6.7.

Figura 6.7: Conjunto ampermetro retificador inserido no circuito da Figura 6.5.

No semiciclo positivo de v(t) da Figura 6.7 teremos: - Diodos D1 e D4 conduzindo; - Diodos D2 e D3 bloqueados. Portanto, no semiciclo positivo o circuito mostrado na Figura 6.7 torna-se:


9

Figura 6.8: Circuito da Figura 6.7 no semiciclo positivo de v(t).

No semiciclo negativo de v(t), D2 e D3 esto conduzindo, enquanto D1 e D4 esto bloqueados. Ento no semiciclo negativo, teremos o circuito mostrado na Figura 6.9.

Figura 6.9: Circuito da Figura 6.7 no semiciclo negativo de v(t).

Observando as Figuras 6.8 e 6.9 verifica-se que a corrente na carga (resistncia R) positiva no semiciclo positivo e negativa no semiciclo negativo de v(t) (observe a Figura 6.6). Quanto a corrente iA(t) no ampermetro, verifica-se que a mesma est sempre entrando no ponto C ou seja, possui sempre o mesmo sentido. A Figura 6.10 mostra a forma de onda da corrente retificada iA(t) no ampermetro.


10

VpR

pi

2pi

Figura 6.10: Forma de onda de i(t) retificada.

Com base nas Figuras 6.6 e 6.10 conclui-se que: - A presena do conjunto retificador/ampermetro no altera a corrente i(t) na carga; - O ampermetro ficar submetido corrente da carga. No entanto esta corrente retificada pela ponte de diodos. A anlise foi feita para uma corrente senoidal. No entanto, independente da forma de onda de i(t), o ampermetro estar submetido corrente i(t) retificada.

Uma vez que um ampermetro de bobina mvel mostra o valor mdio da corrente i(t) que circula em sua bobina, conclui-se que na Figura 6.7 o ampermetro ir mostrar o valor mdio de i(t) retificada.

Se o valor mostrado pelo ampermetro da Figura 6.4 for multiplicado pelo Fator de Forma da corrente que circula no mesmo, o conjunto retificador/ampermetro pode ser utilizado como um ampermetro que mede o valor RMS da corrente que circula no mesmo. Denomina-se fator de forma da corrente iA(t) no ampermetro, seguinte relao:

RMSIFI

= (6.22)

Sendo:

RMSI : Valor RMS da corrente iA(t);

I : Valor mdio da corrente iA(t).

Da equao (6.22) obtemos:

RMSI F I= (6.22-a)


11

Devido ao fato de que este instrumento mede o valor RMS a partir da definio do Fator de Forma da corrente que circula no ampermetro, e no da definio de valor RMS, o mesmo denominado Ampermetro de Falso Valor RMS.

A Figura 6.11 mostra a representao esquemtica de um ampermetro de falso valor RMS.

Figura 6.11: Representao esquemtica de um ampermetro de falso valor RMS.

Observe que ILIDO ser o valor RMS de iA(t) no ampermetro. No entanto, sabe-se que os valores RMS de i(t) e iA(t) so iguais (observe as Figuras 6.6 e 6.10 e a equao 6.9). Deste modo podemos afirmar que o valor ILIDO na Figura 6.11 corresponde ao valor RMS de i(t). Um instrumento de Falso Valor RMS geralmente construdo para medir grandezas senoidais, cujo

Fator de Forma 2 2

F pi= .

Exemplo 1: Determine o valor mostrado pelo ampermetro da Figura 6.7, considerando v(t) como sendo:

a) ( )( ) ov t V sen t= b) A seguinte forma de onda:

oV

2o

t

2oV

5 ot


12

Exemplo 2: Considere o circuito mostrado a seguir:

( )( ) ov t V sen t=

a) Calcule o valor RMS da corrente i(t); b) Determine o valor mostrado por um ampermetro de Falso Valor RMS que utilizado

para medir a corrente i(t). Considere que o instrumento ideal.

Exemplo 3: Repita o exemplo 2, considerando que v(t) dada por:

v(t)

oV

2o

tt5 ot 7 ot

T

A partir dos exemplos 2 e 3 voc deve chegar as seguintes concluses: a) Um ampermetro de Falso Valor RMS mostra o valor RMS de correntes senoidais; b) Para o caso de correntes no senoidais, o instrumento retifica esta corrente, em

seguida calcula o valor mdio da corrente retificada e, para finalizar, multiplica o

valor mdio obtido pelo Fator de Forma da onda senoidal (2 2

F pi= ).


13

6.4.2 Voltmetros de Falso Valor RMS Um voltmetro de Falso Valor RMS construdo partir do circuito mostrado na Figura 6.12.

Figura 6.12: Voltmetro de bobina mvel acoplado a um retificador de onda completa.

Aplicando uma tenso ( )( ) ov t V sen t= nos pontos A e B do circuito da Figura 6.12 e considerando que a tenso medida pelo voltmetro DC v1(t) temos as formas de onda das tenses v(t) e v1(t) apresentadas nas Figuras 6.13(a) e 6.13(b), respectivamente.

oV

pi

2pi

oV

pi

2pi

oV

Figura 6.13: a) Forma de onda da tenso v(t) sem retificao; b) forma de onda da tenso v1(t) (v(t) retificada).

Portanto possvel concluir que a tenso no voltmetro a tenso v(t) retificada. Deste modo, o voltmetro ir mostrar o valor mdio de v(t) retificada. Analogamente ao que foi estudado no item 6.4.1, pode-se obter um Voltmetro de Falso Valor RMS a partir do conjunto mostrado na Figura 6.12 considerando a Figura 6.11 para tenso. Desta forma, se v(t) for uma

tenso senoidal, VLIDO ser o valor mdio de v(t) retificado multiplicado por 2 2

F pi= .


14

Exemplo 4: Considere o circuito mostrado em seguida:

( )( ) ov t V sen t=

a) Calcule o valor RMS de v2(t); b) Mea a tenso v2(t) utilizando um voltmetro de Falso Valor RMS ideal.

Exemplo 5: Repita o exemplo 4 considerando v(t) dado pela forma de onda a seguir:

oV

2o

t 3 ot


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6.5 - Medidores De Valor RMS Verdadeiro 6.5.1 - Intrumentos de ferro mvel Um instrumento de ferro mvel , basicamente, constitudo de uma bobina fixa, de um ncleo de ferro que pode mover-se no interior da bobina e de uma mola cuja funo fornecer o torque restaurador. A Figura 6.14 mostra um instrumento de ferro mvel.

Figura 6.14: Instrumento de ferro mvel

Quando uma corrente i percorre a bobina fixa do sistema mostrado na Figura 6.14, o campo magntico produzido pela bobina fixa armazena uma energia W dada por:

212

W Li= (6.23)

Nestas condies, o ncleo de ferro fica submetido a uma fora f

e sofrer um

deslocamento angular para o interior da bobina at que o torque produzido pela fora f

seja igual ao torque restaurador produzido pela mola.

O torque T devido ao da fora f

dado por:

212

W LT T i

= =

(6.24)


16

Um instrumento de ferro mvel possui caractersticas construtivas tais que o termo

L

seja constante. Deste modo, a equao 6.24 torna-se:

21T iK

= (6.25)

Na posio de equilbrio, teremos:

2 21 1RT T i S iK K S

= = =

(6.26)

A expresso (6.26) mostra a posio angular instantnea do ponteiro quando uma corrente i percorre a bobina do instrumento. Considerando que a corrente i uma funo peridica, sabe-se que o ponteiro ir

estacionar em uma posio angular que corresponde ao valor mdio de e a partir de (6.26) temos:

2

0 0

1 1 1T TAV AVdt i dtT K S T

= =

(6.27)

Na equao (6.27) o termo 20

1 T i dtT corresponde a IRMS

2, sendo que IRMS o valor

RMS da corrente i. Ento, conclui-se que:

( )21AV RMSIK S = (6.28)

A equao (6.28) mostra que o deslocamento angular do ponteiro do sistema mostrado na Figura 6.14 proporcional ao valor RMS da corrente i elevado ao quadrado. Observe que esta afirmao pode ser feita independentemente da forma de onda da corrente i. Portanto, o sistema mostrado na Figura 6.14 pode ser utilizado para construir ampermetros e voltmetros que medem o valor RMS de qualquer forma de onda peridica.


17

Portanto quando uma corrente peridica i(t) circula em um ampermetro de ferro mvel, o mesmo mostrar o seguinte valor:

2

0

1 ( )

T

LidoI i t dtT= (6.29)

Na equao (6.29) ILido o valor mostrado pelo ampermetro e T o perodo da corrente i(t). Analogamente, quando uma tenso v(t) peridica aplicada nos terminais de um voltmetro de ferro mvel, o valor mostrado pelo instrumento ser:

2

0

1 ( )

T

LidoV v t dtT= (6.30)

Na equao (6.30) VLido o valor mostrado pelo voltmetro e T o perodo da tenso v(t).

Exemplo 6: Considere o circuito e a forma de onda mostrados em seguida:

( )v t

oV

3 ot 5 ot 8 ot

a) Mea a tenso sobre R2, utilizando um voltmetro de ferro mvel ideal; b) Mea a corrente i(t) utilizando um ampermetro de ferro mvel ideal.


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Reviso do Captulo

Valor Mdio de Potncia e Valor Eficaz ou RMS de Correntes e Tenses

2

0 0 0 0

1 1 1 ( ) 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T T

v tP p t dt v t i t dt v t dt v t dtT T T R R T

= = = =

2RMSVPR

=2

0

1 ( )T

RMSV v t dtT = 2

0

1 ( )T

RMSI i t dtT =

2RMSP R I=

( )v t

Ampermetros e Voltmetros de Bobina Mvel

0

1 1 ( ) ( )Tss i t d tK T

=

(constante)SKN B L W

=

0

1 1 ( ) ( )Tss v t d tK T

=

Ampermetros e Voltmetros de Falso Valor RMS

A FEscala ou

Display

i(t) iA(t) I LIDOI

Retificador/AmpermetroFator de Forma

de iA(t)

Ampermetro de Falso Valor RMS

(Fator de Forma)RMSIFI

= (Ondas puramente senoidais)2 2

F pi=

Nota: Devido ao fato de que este instrumento mede o valor RMS a partir da definio do Fator de Forma da corrente que circula no ampermetro, e no da definio de valor RMS, o mesmo denominado ampermetro/voltmetro de Falso Valor RMS.

Ampermetros e Voltmetros de Ferro Mvel ou Valor RMS verdadeiro (True RMS)

( )220

1 1 1( )T

RMSss i t dt IK S T K S = =

1 1 (constante)

2L

K

=

( )220

1 1 1( )T

RMSss v t dt VK S T K S = =


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Anexos

Tabela de Transformadas de Laplace

TABELA: Derivadas, Integrais

e Identidades Trigonometricas

Derivadas

Sejam u e v funcoes derivaveis de x e n con-stante.1. y = un y = nun1u.2. y = uv y = uv + vu.3. y = uv y = u

vvuv2

.4. y = au y = au(ln a) u, (a > 0, a 6= 1).5. y = eu y = euu.6. y = loga u y = u

u loga e.

7. y = lnu y = 1uu.8. y = uv y = v uv1 u + uv(lnu) v.9. y = sen u y = u cos u.10. y = cos u y = usen u.11. y = tg u y = u sec2 u.12. y = cotg u y = ucosec2u.13. y = sec u y = u sec u tg u.14. y = cosec u y = ucosec u cotg u.15. y = arc sen u y = u

1u2 .

16. y = arc cos u y = u1u2 .

17. y = arc tg u y = u1+u2

.18. y = arc cot g u u

1+u2.

19. y = arc sec u, |u| > 1 y = u|u|u21 , |u| > 1.

20. y = arc cosec u, |u| > 1 y = u|u|u21 , |u| > 1.

Identidades Trigonometricas

1. sen2x+ cos2 x = 1.2. 1 + tg2x = sec2 x.3. 1 + cotg2x = cosec2x.4. sen2x = 1cos 2x2 .5. cos2 x = 1+cos 2x2 .6. sen 2x = 2 sen x cos x.7. 2 sen x cos y = sen (x y) + sen (x+ y).8. 2 sen x sen y = cos (x y) cos (x+ y).9. 2 cos x cos y = cos (x y) + cos (x+ y).10. 1 sen x = 1 cos (pi2 x).

Integrais

1.du = u+ c.

2.undu = u

n+1

n+1 + c, n 6= 1.3.

duu = ln |u|+ c.

4.audu = a

u

ln a + c, a > 0, a 6= 1.5.eudu = eu + c.

6.sen u du = cos u+ c.

7.cos u du = sen u+ c.

8.tg u du = ln |sec u|+ c.

9.cotg u du = ln |sen u|+ c.

10.sec u du = ln |sec u+ tg u|+ c.

11.cosec u du = ln |cosec u cotg u|+ c.

12.sec u tg u du = sec u+ c.

13.cosec u cotg u du = cosec u+ c.

14.sec2 u du = tg u+ c.

15.cosec2u du = cotg u+ c.

16.

duu2+a2

= 1aarc tgua + c.

17.

duu2a2 =

12a ln

uau+a + c, u2 > a2.18.

duu2+a2

= lnu+u2 + a2+ c.

19.

duu2a2 = ln

u+u2 a2+ c.20.

dua2u2 = arc sen

ua + c, u

2 < a2.

21.

duuu2a2 =

1aarc sec

ua

+ c.

Formulas de Recorrencia

1.sennau du = senn1au cos auan

+(n1n

) senn2au du.

2.cosn au du = sen au cos

n1 auan+(n1n

) cosn2 au du.

3.tgnau du = tg

n1aua(n1)

tgn2au du.

4.cotgnau du = cotgn1aua(n1)

cotgn2au du.

5.secn au du = sec

n2 au tg aua(n1)+(n2n1

) secn2 au du.

6.cosecnau du = cosecn2au cotg aua(n1)

+(n2n1

) cosecn2au du.

Medidas Eltricas Material complementar ao captulo 6 1

1 Introduo O conhecimento do princpio de funcionamento do galvanmetro em regime permanente til mas no representa um completo entendimento do instrumento, uma vez que para que tenhamos uma viso completa do mesmo devemos analisar tambm o seu comportamento em regime transitrio.

2 Equaes diferenciais do galvanmetro Considere o circuito mostrado na figura 1, onde mostrado um galvanmetro de bobina mvel, cuja resistncia interna Rm, alimentado atravs de uma fonte de tenso constante de valor E. A resistncia R tem a funo de limitar a corrente no galvanmetro.

Figura 1 Circuito para anlise da resposta transitria do galvanmetro

Na figura 1, inicialmente a chave est aberta e o ponteiro do galvanmetro est em repouso na posio angular = 0. No tempo t = 0 a chave fechada e uma corrente comea a circular no circuito, fazendo com que o ponteiro alcance uma posio final s em regime permanente. Para que possamos descrever matematicamente o movimento angular do ponteiro do galvanmetro em regime transitrio, devemos inicialmente obter as equaes diferenciais do instrumento e em seguida procurar solues para estas equaes. As equaes diferenciais sero obtidas a partir das leis da mecnica clssica e das leis bsicas de circuitos eltricos. A equao bsica de um corpo rgido escrita como sendo:

=

=

n

kk dt

)t(dH)t(T1

(1)

Na equao 1 Tk(t) um dos n torques externos que atuam no corpo rgido e H(t) o movimento angular deste corpo. Uma vez que o galvanmetro possui somente um grau de liberdade, o momento angular calculado como sendo:

dt)t(dJ)t(H = (2)

Na equao 2 J o momento de inrcia do ncleo do galvanmetro e (t) a posio angular do ponteiro (em funo do tempo) que est preso ao ncleo. O torque externo que atua no ncleo pode ser decomposto em 3 componentes que so:

a) Torque T, resultante da iterao entre o campo magntico, produzido pelo im permanente, e a corrente que circula na bobina. No caso do galvanmetro de campo radial, foi mostrado no captulo 2 que o torque no ncleo dado por:

)t(iABN)t(T = (3)

Na equao 3 N o nmero de espiras da bobina, B a intensidade do campo magntico do im permanente e A a rea da bobina que est inserida no campo magntico do im.

b) Torque restaurador Tr produzido pela mola, que descrito atravs de:

)t(S)t(Tr = (4)

Na expresso 4 S a constante da mola.

c) Torque Ta produzido pelo atrito do ncleo do galvanmetro com o ar, sendo que este torque escrito como sendo:

dt)t(dD)t(T aa

= (5)

Portanto, o torque resultante no ncleo expresso como sendo:

dt)t(dH)t(T)t(T)t(TT ar

kk ==

=

3

1

(6)

Substituindo as expresses 3-5 na equao 6 obtm-se:

dt)t(dH

dt)t(dD)t(S)t(iABN a =

(7)

Captulo 6 - Dinmica do galvanmetro

Medidas Eltricas Material complementar ao captulo 6 2

Substituindo a expresso 2 na equao 7, temos:

2

2

dt)t(dJ

dt)t(dD)t(S)t(iABN a

=

(8)

No captulo 2 foi mostrado que:

ABNKS

= (9)

Substituindo a expresso 9 na equao 8 obtm-se:

2

2

dt)t(dJ

dt)t(dD)t(S)t(i

KS

a

=

(10)

Manipulando a expresso 10, temos:

)t(iKS)t(S

dt)t(dD

dt)t(dJ a =+

+

2

2

(11)

A equao 11 relaciona a posio angular (t) e a corrente i(t) que circula na bobina do galvanmetro. Portanto, devemos determinar tambm uma equao diferencial para a corrente i(t). A partir da soluo da equao (11), pode-se verificar que movimento do ponteiro poder ser sobreamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido, conforme mostra a Figura 2. O tipo de movimento desenvolvido pelo ponteiro funo das constantes J, Da, S e K do instrumento.

Figura 2 - Movimento angular do ponteiro do galvanmetro

De acordo com a Figura 2, o movimento angular do ponteiro, antes de alcanar a posio de regime permanente s pode ser do tipo:

a) Lento e gradual (movimento sobreamortecido); b) Rpido, de modo que o ponteiro no ultrapasse a

posio s (movimento criticamente amortecido);

c) Oscilatrio, de modo que o ponteiro oscile durante um intervalo de tempo em torno da posio de regime permanente s (movimento subamortecido).

A figura 2 mostra que independentemente do tipo de movimento que o ponteiro descreve (a, b ou c) o mesmo alcanar em regime permanente a posio s e, nesta condio, a corrente Is que circular na bobina do galvanmetro pode ser obtida diretamente do circuito mostrado na figura 1 como sendo:

ms RR

EI+

= (12)

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Capitulo 6 Medidas Eletricas Fabiobleao

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