Capítulo 6 – Utilizando a entropia

6.1 – A desigualdade de Clausius

0T

Q

b

CICLObT

Q

0CICLO Irreversibilidades internas são nulas

0CICLO

produzidaEntropiaCICLO

Irreversibilidades internas presentes

0CICLO Impossível

6.2 – Variação de entropia

REVINT

2

112 T

QSS

REVINTT

QdS

6.3 – Valores de entropia

REVINT

y

xxy T

QSS

Sx = Valor de referência para a entropia

s = entropia específica [J/kg.K]

Valores de saturação:

)s.xs).x1(s gl

)ss.(xss lgl

6.3.1 – Considerações gerais

Gráficos de entropia (T x s) :

T [K]

s [J/kg.K]

s1

s2

Processo isoentrópico

Gráficos de entropia (h x s) :

h [J/kg]

s [J/kg.K]

s1

s2

Processo isoentrópico

Equações T.dS :

REVINTREVINT )W(dUQ

dV.p)W( REVINT

dS.TQT

QdS REVINT

REVINT

V = volume

dV.pdUdS.T [J]

Equações T.dS :

V.pUH Entalpia:

diferenciando: )V.p(ddUdH

dp.VdV.pdUdH

dV.pdUdp.VdH

dV.pdUdS.T dp.VdHdS.T

dv.pduds.T dp.vdhds.T

[J]

[J/kg]

vd.pudsd.T dp.vhdsd.T [J/kmol]

Exemplo de aplicação: Mudança de fase

líquido saturado para vapor saturado > pressão constante

T [K]

s [J/kg.K]

s1 s2

dp.vdhds.T [J/kg]

0dp

T

dhds

T

hhss lg

lg

6.3.2 – Variação de entropia de um gás ideal

dv.pduds.T dp.vdhds.T [J/kg]

dv.T

p

T

duds dp.

T

v

T

dhds

dT).T(cdu vGás ideal:

dT).T(cdh p RTpv

v

dv.R

T

dT).T(cds v

p

dp.R

T

dT).T(cds p

v

dv.R

T

dT).T(cds v

p

dp.R

T

dT).T(cds p

R)T(c)T(c vp

1

22

1 v1122 v

vln.R

T

dT).T(c)v,T(s)v,T(s

1

22

1 p1122 p

pln.R

T

dT).T(c)p,T(s)p,T(s

T

0

po dT.T

)T(c)T(s

1

2T

T p1122 pp

ln.RTdT

).T(c)p,T(s)p,T(s2

1

Entropia específica é zero em um estado onde a T = 0

K e pressão é 1 atm

Estado e valor de referência:

)T(so Entropia específica a uma temperatura T e pressão de 1 atm

122

1

T

0

pT

0

pT

T

p dT.T

)T(cdT.

T

)T(cdT.

T

)T(c

1

21

o2

o1122 p

pln.R)T(s)T(s)p,T(s)p,T(s

6.4 – Variação de entropia em processos internamente reversíveis

REVINTT

QdS

dS.TQ REVINT

2

1REVINT dS.TQ

s

T

1

2

Ciclo de Carnot

s

T

1

2

4

3

Ciclo de potência(sentido horário)

s

T

1

2

4

3

Ciclo de refrigeração(sentido anti-horário)

2ba32Área

14321Área

Q

W

entra

ciclo

6.5 – Balanço de entropia para sistemas fechados

6.5.1 – Desenvolvendo o balanço

REVINT

1

2b

2

1 T

Q

T

Q

R

I

2

1

REVINT

1

221 T

QSS

)SS(

T

Q21

b

2

1

b

2

112 T

QSS

Variação de entropia = transferência de entropia + geração de entropia

j j

j12 T

QSS [J/K]

j j

j

T

Q

dt

dS [W/K]

6.5.2 – Formas do balanço de entropia - sist. fechados

6.5.3 – Avaliando geração e transferência de entropia

6.5.4 – Exemplos

6.5.5 – Princípio do Aumento de Entropia

6.6 – Balanço de entropia para volumes de controle

VCe s

sseej j

jVC smsmT

Q

dtdS

[W/K]

taxa de variação de entropia no V.C.

taxa de transferência de entropia para o V.C.

taxa de geração de entropia no V.C.

j j

j

T

Q

dt

dS [W/K]

6.6.1 – Análise de V.C. em regime permanente

se mm

Várias entradas - Várias saídas

s/kg

)gz2Vh(m)gz2Vh(mWQ0 s2ssse

2eeeVC W

VCe s

sseej j

j smsmT

Q0

[W/K]

6.6.2 – Exemplos

6.7 – Processos isoentrópicos

Processo isoentrópico

T [K]

s [J/kg.K]

s1

s2

s3

h [J/kg]

s [J/kg.K]

6.7.1 - Considerações gerais

6.7.2 - Modelo de gás ideal

1

21

o2

o1122 p

pln.R)T(s)T(s)p,T(s)p,T(s

1

21

o2

o

pp

ln.R)T(s)T(s0

1

21

o2

o

pp

ln.R)T(s)T(s

R)T(s)T(s

exppp 1

o2

o

1

2

R)T(s)T(s

exp.pp 1o

2o

12

1r

2r

1o

2o

1

2

pp

]R/)T(sexp[]R/)T(sexp[

pp

pr = "pressão relativa"

Tab A-22 e A-23 = propriedades do ar como gás ideal

RTpv p/RTv 1

1

2

2

1

2

RTp

.pRT

vv

Uma relação entre os volumes específicos e as temperaturas do ar em dois estados que possuam a mesma entropia específica pode ser desenvolvida:

1r

2r

1

2

pp

pp

2r

1r

1

2

1

1r

2r

2

1

2

pp

.RTRT

RTp

.pRT

vv

)ss(vv

vv

212r

1r

1

2

Admitindo calores específicos constantes

1

22

1 v1122 v

vln.R

T

dT).T(c)v,T(s)v,T(s

1

22

1 p1122 p

pln.R

T

dT).T(c)p,T(s)p,T(s

Processo isoentrópico:

1

2

1

2v v

vln.R

TT

ln.c0

1

2

1

2p p

pln.R

TT

ln.c0

1kR

)T(c1k

kR)T(c vp

v

p

c

ck

1k

2

1

1

2

vv

TT

k)1k(

1

2

1

2

pp

TT

k

2

1

1

2

vv

pp

Processo politrópico: pvn = cte

p

v

n=0

n=1 T=cte

n=k s=cten=±

v

p

c

ck

k

2

1

1

2

vv

pp

ctevpvp k

22k11

T

s

n=1

n=kn=±

n=0 p=cte

v=cte

6.8 – Eficiência isoentrópica

Processo isoentrópico

p1

p2h [J/kg]

s [J/kg.K]

T11

2s

(h1-h2s)

2

(h1-h2)

Processo real

Eficiência isoentrópica de turbinas

21VC hh

mW

s21

s

VC hhmW

s21

21

sVC

VCt hh

hh

W

W

%90a80t

p1

p2

h [J/kg]

s [J/kg.K]

T11

2s

(h1-h2s)

2

(h1-h2)

Processo real

Eficiência isoentrópica de bocais

s21

21

s2

2b hh

hh2

VV

%95a90t

2)VV()hh(0 2s2

21s21

2)VV()hh(0 22

2121

0V21

V1 V2s

)hh(2V s21s2

)hh(2V 212

V2

Processo isoentrópico

p2 p1

h [J/kg]

s [J/kg.K]

1

2s

(h2s-h1)

2

(h2-h1)

Processo real

Eficiência isoentrópica de compressores

(bombas)

1s2

s

VC hhmW

12

VC hhmW

12

1s2

VC

sVCc hh

hh

W

W

%85a75t

6.9 – Calor e trabalho em processos reversíveis (regime permanente)

Calor transferido

VCe s

sseej j

j smsmT

Q0

[W/K]

0

isotérmico e reversível (uma entrada e uma saída)

)ss(mT

Q0 21

VC

[W/K]

s

T

1

2

2

1revint

VC dS.TmQ

Trabalho (transferido)

[W])]zz(g2)VV()hh[(mWQ es2e

2sesVC

)zz(g2)VV()hh(mW

mQ

es2e

2ses

VCVC

)zz(g2)VV()hh(mQ

mW

2122

2121

VCVC

)zz(g2)VV()hh(ds.TmW

2122

2121

2

1revint

VC

Reversível:

)zz(g2)VV()hh(ds.TmW

2122

2121

2

1revint

VC

vdpdhds.T 2

112

2

1vdp)hh(ds.T

)zz(g2)VV(vdpmW

2122

21

2

1revint

VC

2122

21 zzVV

2

1revint

VC vdpmW

v

p

1

2

2

1revint

VC vdpmW

)pp(v

mW

12

revint

VC

)zz(g2)VV(vdpmW

2122

21

2

1revint

VC

0)zz(g2)VV(vdp 1221

22

2

1

Equação de Bernoulli - Escoamento compressível

Escoamento incompressível (por exemplo: Bombas hidraúlicas)

2

1 n/1n/12

1revint

VC

pdp

)cte(vdpmW

Trabalho em processos politrópicos pvn = cte

)1n()vpvp(1n

nmW

1122

revint

VC

)1n()p/pln(.vpmW

1211

revint

VC

Caso do gás ideal :

)1n()TT(1n

nRmW

12

revint

VC

n)1n(

1

2

1

2

pp

TT

)1n(1pp

1nnRT

mW

n)1n(

1

21

revint

VC

)1n()p/pln(.RTmW

121

revint

VC

Sexta lista de exercícios

6.28 - 6.51 - 6.69 - 6.91 - 6.100 - 6.114 - 6.153