Capítulo 7

Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões

2ª Edição© Gerson Lachtermacher,2005

Programação Não Linear

Capítulo 7

Conteúdos do Capítulo

Programação Não Linear Aplicações Solução Gráfica Resolução no Excel

Controle de Estoque Modelo do Lote Econômico

Problemas de Localização Caso LCL Telecom S.A.

Capítulo 7

Programação Não Linear

De forma geral um problema de programação não linear tem a seguinte forma:

Nenhum algoritmo resolve todos os problemas que podem ser incluídos neste formato.

),...,,(= onde 0

,...,2,1 para )(

)( ou

21 n

ii

xxx

mibgst

fMinMax

xx

x

x

Capítulo 7

Programação Não LinearAplicações

Problemas de Mix de Produtos em que o “lucro” obtido por produto varia com a quantidade vendida.

Problemas de Transporte com custos variáveis de transporte em relação à quantidade enviada.

Seleção de Portfolio com Risco

Capítulo 7

Considere o Problema de Programação Linear e sua solução gráfica

1

Max Z x x 3 51 2

1

2x 122

3x x 2 18 1 2

s r x 4. .

x x 0 01 2,

Programação Não LinearSolução Gráfica

x2

x1

(0;6)(2;6)

(0;0)(4;0)

(4;3)SoluçãoViável

Capítulo 7

Considere o Problema e sua solução gráfica.

Max Z x x 3 51 2

1s.t. x 4

x x 0 01 2,

9 5 21612

22x x

Programação Não LinearSolução Gráfica

0

x2

1 2 3 4

4

2

6

0 x1

SoluçãoViável

(2;6)

Capítulo 7

A solução ótima: é a mesma do problema

linear. continua na fronteira do

conjunto de soluções viáveis.

não é mais um extremo do conjunto de soluções viáveis, mas poderia ainda ocorrer em um ponto extremo.

Não existe a simplificação (enumeração) existente em Programação Linear

Programação Não LinearSolução Gráfica

0

x2

1 2 3 4

4

2

6

0 x1

SoluçãoViável

(2;6)

Capítulo 7

1

2x 122

3x x 2 18 1 2

s r x 4. .

x x 0 01 2,

MaxZ= x x x x 126 9 182 131 12

2 22

Programação Não LinearSolução Gráfica

x2

x1

(0;6)(2;6)

(0;0)(4;0)

(4;3)SoluçãoViável

Capítulo 7

A função objetivo é uma equação quadrática.

Programação Não LinearSolução Gráfica

Z= x x x x

Z x x x x

Z x x

Para x x

Para

126 9 182 13

9126

1813

182

269

126

9

126

1813

182

13

182

26

441 637 9 7 13 7

9 7 13 7

1 12

2 22

2 2

12

1

2

22

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

Z = 907 171 =

Z = 857

221 =

Z = 807 =

9 7 13 7

271 9 7 13 7

1

2

2

2

1

2

2

2

x x

Para x x

Capítulo 7

Max Z = x x x x = 857 126 9 182 131 12

2 22

2

4

4

6

2 x 1

x2

SoluçãoViável

Z = 907

Z = 807Z = 857

Programação Não LinearSolução Gráfica

Capítulo 7

1

2x 122

3x x 2 18 1 2

s r x 4. .

x x 0 01 2,

Max Z= x x x x 54 9 78 131 12

2 22

Programação Não LinearSolução Gráfica

x2

x1

(0;6)(2;6)

(0;0)(4;0)

(4;3)SoluçãoViável

Capítulo 7

A função objetivo é uma equação quadrática

Z= x x x x

Z x x x x

Z x x

Para x x

Para

54 9 78 13

954

1813

78

269

54

9

54

1813

78

13

78

26

81 117 9 3 13 3

9 3 13 3

1 12

2 22

2 2

12

1

2

22

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

Z = 198 0 =

Z = 189

9 9 3 13 3

36 9 3 13 3

1

2

2

2

1

2

2

2

=

Z = 162 =

x x

Para x x

Programação Não LinearSolução Gráfica

Capítulo 7

Solução no interior doconjunto de soluçõesviáveis e não mais na fronteira do conjunto

4

2

6

2 4 x1

x2

SoluçãoViável

3

3

Z = 162Z = 189

Z = 198

222

211 1378954198 xxxx=ZMax

Programação Não LinearSolução Gráfica

Capítulo 7

Programação Não Linear

A solução ótima de um problema de programação não linear(NLP), diferentemente de um problema de LP, pode ser qualquer ponto do conjunto de soluções viáveis.

Isso torna os problemas de NLP muito mais complexos, obrigando os algoritmos de solução a pesquisar todas as soluções viáveis.

Capítulo 7

Programação Não LinearExcel

O Excel utiliza o algoritmo GRG (generalized reduced gradient) para chegar à solução para um dado problema.

O algoritmo não garante que a solução encontrada é uma solução global.

O Solver às vezes tem dificuldades de achar soluções para problemas que tenham condições iniciais para as variáveis iguais a zero. Uma boa medida é começar a otimização com valores diferentes de zero para as variáveis de decisão.

Capítulo 7

Programação Não LinearExcel

Uma maneira prática para tentar minorar o problema de

máximos e mínimos locais é começar a otimização de

diversos pontos iniciais, gerados aleatoriamente.

Se todas as otimizações gerarem o mesmo resultado,

você pode ter maior confiança, não a certeza, de ter

atingido um ponto global.

Capítulo 7

Programação Não Linear Controle de Estoque

Um dos modelos mais simples de controle de estoque é

conhecido como Modelo do Lote Econômico.

Esse tipo de modelo assume as seguintes hipóteses A demanda (ou uso) do produto a ser pedido é praticamente

constante durante o ano.

Cada novo pedido do produto deve chegar de uma vez no

exato instante em que este chegar a zero.

Capítulo 7

Programação Não Linear Controle de Estoque

Determinar o tamanho do pedido e a sua periodicidade dado os seguintes custos: Manutenção de Estoque – Custo por se manter o capital no

estoque e não em outra aplicação, rendendo benefícios financeiros para a empresa.

Custo do Pedido – Associado a trabalho de efetuar o pedido de um determinado produto.

Custo de Falta – Associado a perdas que venham a decorrer da interrupção da produção por falta do produto.

Capítulo 7

Demanda Anual =100Lote=25,Pedido= 4Estoque Médio = 12,5

3 6 9 12meses

25

12,5

25

Demanda Anual =100Lote=50, Pedidos = 2Estoque Médio = 25

6 12meses

50

Programação Não Linear Controle de Estoque

Capítulo 7

Variável de DecisãoQ – Quantidade por Pedido

Função Objetivo =

Onde:D = Demanda Anual do Produto

C = Custo Unitário do Produto

S = Custo Unitário de Fazer o Pedido

Cm= Custo unitário de manutenção em estoque por ano

Programação Não Linear Controle de Estoque

mC2

QS

Q

DCDTotal Custo

Constante

Capítulo 7

Caso LCL Computadores

A LCL Computadores deseja diminuir o seu estoque de

mainboards. Sabendo-se que o custo unitário da

mainboard é de R$50,00, o custo anual unitário de

manutenção de estoque é de R$20,00 e o custo unitário

do pedido é de R$10,00, encontre o lote econômico

para atender a uma demanda anual de 1000

mainboards.

Capítulo 7

Caso LCL Computadores

Capítulo 7

Caso LCL Computadores

Capítulo 7

Caso LCL Computadores

Capítulo 7

Caso LCL Computadores

Na solução apresentada do lote econômico, a quantidade de pedidos por ano é fracionário, já que

Isso não representa um problema

25,3132

1000

º

LotedoTamanho

AnualDemandalotesden

Capítulo 7

Programação Não LinearProblemas de Localização

Um problema muito usual na área de negócios é o de localização de Fábricas, Armazéns, Centros de distribuição e torres de transmissão telefônica.

Nesses problemas devemos Minimizar a distância total entre os centros consumidores e o centro de distribuição, reduzindo assim teoricamente o custo de transporte ou perdas de transmissão.

O usual é se colocar um eixo cartesiano sobre um mapa e determinar a posição dos centro consumidores em relação a uma origem aleatória.

Capítulo 7

Caso LCL Telefonia Celular S.A.

Localidade X Y

Nova Iguaçu -5 10

Queimados 2 1

Duque de Caxias 10 5

O Gerente de Projetos da LCL Telefonia Celular S.A., tem que localizar uma antena de retransmissão para atender a três localidades na Baixada Fluminense. Por problemas técnicos a antena não pode estar a mais de 10 km do centro de cada cidade. Considerando as localizações relativas abaixo, determine o melhor posicionamento para a torre.

Capítulo 7

Caso LCL Telefonia Celular S.A.

Nova Iguaçu(-5,10)

Queimados (2,1)

Duque deCaxias(10,5)

X

Y

Capítulo 7

Caso LCL Telefonia Celular S.A.

3

1

22 )()(i

ii YyXxMin

Variáveis de Decisão X – Coordenada no eixo X da torre de transmissão Y – Coordenada no eixo Y da torre de transmissão

Função-objetivo

Capítulo 7

Caso LCL Telefonia Celular S.A.

10)()(

10)()(

10)()(

23

23

22

22

21

21

YyXx

YyXx

YyXx

Restrições de Distância

Capítulo 7

Caso LCL Telefonia Celular S.A. Modelo no Excel

=SOMA(D2:D4)

Capítulo 7

Caso LCL Telefonia Celular S.A.Parametrização

Capítulo 7

Caso LCL Telefonia Celular S.A. Solução