Capítulo I - Vetores

Anlise Multivariada - Victor Gouva

Captulo 1

VETORES

1.1 - Vetores Livres

Sejam P e Q dois pontos no espao. Ns definiremos como segmento orientado o

segmento de linha comeando em P e terminando em Q.

Um segmento orientado tambm chamado de vetor livre.

Dois vetores livres AA e BB so iguais se forem paralelos tiverem o mesmo

comprimento e a mesma direo.

No nosso exemplo AA = BB = CC = DD e se tivermos um ponto M, o vetor livre

MM = M+AA tambm ser igual a AA.

Se ns fixarmos o ponto O no espao e dissermos que todo vetor tem que comear em O

vetor j no mais to livre. Ns chamaremos de vetor v o vetor cuja origem (ponto de

incio) O. Todo ponto do espao pode ser visto como um vetor e vice versa, j que para

todo ponto P existe um e somente um vetor com incio em O e terminando em P.

1


2

possvel definir a soma de dois vetores da seguinte maneira:

Se tivermos dois vetores v e w a gente chama de soma de dois vetores o vetor obtido do

seguinte modo:

e chamo de v+w o vetor comeando no incio de v e terminando no fim de w. a

chamada regra do paralelogramo porque eu poderia ter feito o contrrio, isto , w+v ao

invs de v+w.

Um vetor zero aquele em que o incio coincide com o final. Vou chama-lo de O

(como era de se esperar). Neste caso, v + O = v.

O negativo de um vetor v, chamado de -v vetor com o mesmo tamanho, comeando

onde o outro termina e com direo contrria.


3

Ou, o que d no mesmo, AB = -BA

Assim, posso somar v com -w para obter a diferena v-w. bvio que v-v = O porque

v-v comea e termina no mesmo ponto. Todo este raciocnio vale para vetores livres

porque se todos os vetores comearem na origem o vetor zero a prpria origem O.

Alm da operao de soma posso tambm multiplicar o vetor v por um nmero real

qualquer k.

Se k > 1 o vetor kv resultante tem a mesma direo e a mesma origem de v mas

maior.

Se 0 < k < 1 o vetor kv tem a mesma origem e a mesma direo que v mas menor.

Se k for negativo ento o vetor kv tem direo oposta direo de v.

A multiplicao por um escalar (nmero real) associativa no sentido de que se

k=k1k2 ento kv = k1(k2v) = (k1k2)v. E distributiva no sentido de que se k = k1 + k2, kv = (k1 + k2)v = k1v + k2v.

Mais que isso, se v = v1 + v2 teremos:

kv = (k1 + k2)(v1 + v2) = k1v1 + k1v2 + k2v1 + k2v2

Agora nos vamos no s colocar uma origem como tambm dois eixos ortogonais,

seguindo a tradio cartesiana (atualmente cartesiano sinnimo de bvio mas na poca

foi um achado do Descartes juntar lgebra e geometria). Voltando vaca fria:


Neste caso, o ponto P no s pode ser visto como o ponto de coordenadas x e y como

tambm como o vetor OP.

Por exemplo, suponha que o ponto P , no sistema cartesiano o ponto (3,2). Teremos:

como existe uma correspondncia biunvoca entre ponto e vetor, a gente, talvez por

abuso de linguagem, fala no vetor (3,2). Na verdade, o mais usual escrever na vertical

v =

32

o que a gente chama de vetor coluna. E usa a notao v' = (3,2) (vetor linha) mas d no

mesmo.

Repare que um vetor tem comprimento dado pelo teorema de Pitgoras: xy

|v|2 = x2 + y2 ou v x y= +2 2 No caso de dois pontos P=(x1,x2) e Q=(y1,y2) a distncia achada fazendo-se:

222

211 )xy()xy(PQ +=

j que PQ hipotenusa de um tringulo com catetos y1-x1 e y2-x2 .

4


A generalizao para um espao n dimensional que, dados dois pontos,

P = (x1, x2, ...,xn) e Q = (y1, y2, ...,yn)

a distncia entre eles :

PQ y x y x y xn n= + + + ( ) ( ) ... ( )1 1 2 2 2 2 2 e, em particular o comprimento dos vetores OP e OQ so:

==

==n

1i

2i

n

1i

2i )x()0x(OP e OQ yi

i

n=

= ( )2

0

1.2 - ngulo entre dois vetores

Outra noo importante para quem pretende navegar no espao a de ngulo entre

dois vetores.

Para achar o ngulo preciso usar a regra do coseno da geometria elementar: |QP|2 = |OQ|2 + |OP|2 - 2|OP| |OQ| cos (y1-x1)

2 + (y2-x2)2 = (y1

2 + y12) + (x1

2 + x12) - 2|OP| |OQ| cos

fazendo as contas:

-2 x1 y1 - -2 x2 y2 = -2|OP| |OQ| cos donde:

cos = +x y x yOP OQ

1 1 2 2

o que se parece sobremaneira (gostaram do sobremaneira?) com a frmula do coeficiente

de correlao:

5


yx

)Y,X(Covr =

o que tem tudo a ver como veremos daqui a pouco.

O numerador da equao do cos x1 y1 + x2 y2 que chamado de produto interno ou produto escalar.

E se os dois vetores OP e OQ tiverem comprimento igual a 1? Neste caso o coseno do

ngulo daria x1 y1 + x2 y2 .

Um vetor que tem comprimento igual a um chamado de vetor unitrio. Em

particular dois vetores unitrios so importantes: o que corresponde ao primeiro eixo

(abcissas) e outro ao segundo eixo (ordenadas). So eles (1,0) e (0,1).

evidente que qualquer ponto P = (x1 , x2) pode ser visto como:

xx

x x12

1 210

01

=

+

A gente diz que e formam uma base para todos os outros pontos. a chamada

base cannica. Todo ponto do espao pode ser obtido por combinao linear dos vetores

da base. Dois vetores u e v formam uma base no espao bidimensional se qualquer ponto

P pode ser obtido fazendo-se P = au + bv onde a e b so constantes. A base mais bvia

a cannica (e por isso que se chama cannica).

10

01

Repare que o ngulo entre os dois dado por: cos = x1 y1 + x2 y2 = 10 + 01 = 0 Portanto = 90o

6


Suponhamos agora que eu tenha um vetor unitrio e outro no. Digamos, v = (4,3) e

u=(1,0).

O comprimento de v |v| = 4 3 252 2+ = = 5

Qual o ngulo que os dois fazem?

cos = + =1 4 0 35

45

isto , =36,9o Uma relao importante que a coordenada do ponto no eixo 4 = 5cos. Em outras palavras:

Produto escalar = comprimento do vetor x coseno do ngulo = coordenada do ponto no

eixo.

Se o eixo no estiver bonitinho no lugar que a gente espera, por exemplo se a situao

for:

chamando-se de u o vetor unitrio do eixo E, a projeo do vetor OP sobre o eixo E :

OP OP= cos = produto escalar entre OP e u, em que u o vetor unitrio do eixo E. Repetindo: se eu quiser a coordenada de um vetor sobre um eixo tenho que achar o

produto escalar do vetor com o unitrio do eixo.

7


Num espao de dimenso n a base cannica dada por:

1

00

0

10

0

01

MLMM

A Generalizao da frmula do coseno para o espao n-dimensional tambm bvia:

)yyy)(xxx(

yxyxyxcos

2n

22

21

2n

22

21

nn2211

++++++++=

LLL

==

==n

1i

2i

n

1i

2i

n

1iii

)y()x(

yx

A relao disto com o coeficiente de correlao que se voc tem o resultado de duas

amostras, (x1, x2, ...,xn) e (y1, y2, ...,yn) , ambas com mdia zero, isto , 0Ye0 ==X teremos,

Cov(X,Y) = EXY -E(X)E(Y)=E(XY)-00 = E(XY) = n

yxn

1iii

=

e Var(X) = E(X2)-(E(X))2 = E(X2) -0 = E(X2) = n

xn

1i

2i=

e do mesmo modo, Var(Y) = n

yn

1i

2i

= e como,

==

==

==

=

==

= cos)y()x(

yx

n)y(n)x(

nyx)y,x(Covr

n

1i

2i

n

1i

2i

n

1iii

n

1i

2i

n

1i

2i

n

1iii

yx

A exigncia de que as mdias sejam zero parece restringir muito mas no verdade

porque se as mdias forem YeX , ao invs de tomarmos (x1, x2, ...,xn) e (y1, y2, ...,yn)

usaremos

(x1- X ), (x2- X ), ..., (xn- X ) e (y1- Y ), (y2- Y ), ... , (yn- Y )

8


que tem mesma varincia mas tem mdia zero (a soma dos desvios em relao mdia e

igual a zero).

S que em termos de Clculo Vetorial esta centralizao na mdia uma mudana de

origem, o que se chama de mudana de coordenadas.

1.3 - Mudanas de Coordenadas

Quando n tnhamos vetores livres, coloquei uma origem e dois eixos ortogonais.

Mas, quem disse que a origem era naquele ponto do papel e no noutro qualquer?

Quem disse que estavam nesta posio e no em outra?

Nos casos 1 e 2 estou mudando apenas a posio da origem. No caso 3 alm de

mudar a origem estou mudando tambm a posio dos eixos (provavelmente porque

achei que estavam tortos).

1o caso: Mudana de origem.

9


O ponto P nos dois referenciais tem coordenadas (x,y) e (x',y'). Chamando-se de xo' e

yo' as coordenadas da nova origem O'no velho sistema de eixos (O,x,y) temos que:

x' = x - xo' e y' = y - yo'

Em particular, temos o caso em que xo' = X e yo' = Y . o que chamamos de uma

translao. A translao no afeta nem varincia nem covarincia.

2o caso: No segundo caso temos uma rotao.

As vezes importante mudar o sistema de referncia para que isto leve a uma melhor

anlise do problema que estamos estudando. Particularmente na tcnica de Anlise

Multivariada conhecida como Anlise Fatorial. Uma mudana que frequentemente

usada a rotao dos eixos. Considere o ponto P da figura. Suponha que ele tem

coordenadas x1 e x2 nos eixos originais e y1 e y2 nos eixos depois de rodados de um

ngulo no sentido anti-horrio. Na figura temos:

y1 = AO +AB = + tgycosx

21 e portanto x1 =y1cos -y2sen

Do mesmo modo , +=+= tgxcosy

ACPAx 12

2

o que leva a:

xy

y y y y y y22

1 2 1 22

1 21= + = + = +

cos( cos sen ) sen sen

cossen cos

Ou, inversamente,

10


y x xy x x

1 1 2

2 1 2

= += +

cos sensen cos

Ou, escrito matricialmente:

yy

xx

1

2

1

2

=

cos sensen cos

se a gente chamar de A a matriz teremos y = Ax.

Do mesmo modo temos a operao inversa:

xx

yy

1

2

1

2

=

cos sensen cos

e chamando a matriz de B teremos x = By

Note-se que B a transposta de A e que alm disso,

AB =

=

cos sensen cos

cos sensen cos

1 00 1

Isto , B a matriz inversa de A. A transposta de A portanto a inversa de A. A gente

chama a este tipo de matriz de matriz ortogonal.

Se a matriz no for ortogonal no teremos uma rotao fixa dos eixos e sim um

resultado distorcido.

E a gente nota o seguinte: A matriz

cos sensen cos

tem a propriedade de pegar um vetor e mudar ele de lugar. O eixo que estava numa

posio vai mudar graus. Se ns tivermos dois vetores u e v sendo que v tem o dobro do tamanho de u quando ns rodarmos os vetores u' e v' obtidos mantm a proporo (v'

o dobro de u'). Se a gente rodar u+v ele se transforma em u'+v' que a soma de u' e v'.

Estas transformaes que mantm a proporcionalidade e as somas so chamadas de

aplicaes lineares. Assim, se ns tivermos um vetor e multiplicarmos pela matriz xx

1

2

a aa a

11 12

21 22

ficaremos com:

yy

a aa a

xx

a x a xa x a x

1

2

11 12

21 22

1

2

11 1 12 2

21 1 22 2

=

=

++

A transformao linear pega o vetor e joga noutro ponto do espao.

11


Exemplo: suponha que eu tenha os dois eixos cartesianos e no meio a reta que faz 450

com os dois eixos (acho que se chama bissetriz ou Beatriz, alguma coisa deste tipo).

O ponto P est de um lado. Qual a transformao linear que transforma P no seu

"espelho", isto , o ponto a mesma distncia da reta s que do outro lado? Digamos, qual

a transformao linear que transforma (3,2) em (2,3)?

a aa a

11 12

21 22

32

23

=

Resposta: 0 11 0

Como que eu soube? Pensei: x1 e x2 tem que trocar de lugar e portanto basta

escrever a matriz da de cima.

0 11 0

32

23

=

em geral,

0 11 0

1

2

2

1

=

xx

xx

Repare que para esta transformao, dois tipos de vetores continuam na mesma linha:

os que esto na linha do meio do primeiro e terceiro quadrantes e os que esto na linha

que passa no meio do segundo e quarto quadrantes.

12


Se um ponto est em L1 fica onde est, como por exemplo para e 22

11

0 11 0

22

22

=

e

0 11 0

11

11

=

Se est em L2 vai parar l no outro quadrante. Por exemplo, vai para

22

22

Uma transformao linear transforma uma linha em outra linha.

13


No grfico, cada um dos pontos da linha onde est v pode ser obtido multiplicando-se

por uma constante que s vai encurtar ou ampliar v ou mudar a sua direo. Como a transformao linear no muda as proporcionalidades temos A(v) = w o que significa que todos os pontos da linha onde se encontra w podem ser obtidos por transformao

linear dos que se encontram na linha de v. Existe exceo. Sempre existem duas linhas

em que a transformao no sai dela prpria como no caso da transformao "espelho".

Estas linhas so chamadas de direes principais. Os vetores que esto sobre elas so

chamados de auto vetores ou vetores prprios. S que se manter na mesma linha no

significa ficar no mesmo lugar. Depois da transformao, o vetor multiplicado por uma

constante . Assim, v dito auto vetor de A se Av = v. Dada a transformao A o valor de fixo e chamado de autovalor ou valor prprio.

Em geral, a gente quer apenas o vetor unitrio da linha por causa daquela propriedade

de projeo que ns j vimos.

Exerccio:

Seja . Ache os autovalores e auto vetores de A. A =

3 12 2

Av vxx

xx

=

=

3 12 2

1

2

1

2

da fico com duas equaes:

3x1 + x2 =x1 2x1 + 2x2 =x2

14


ou,

(3-)x1 + x2 = 0 3x1 + (2-)x2 = 0

Mas, o fato de que,

3 12 2

00

1

2

=

xx

implica que o determinante nulo (ver livros de lgebra linear).

(3-)(2-) - 12 = 0 da, 6 - 5 + 2 -2 = 0, isto , 2 - 5 + 4 = 0.

= = 5 25 4 42

5 32

da tenho 1 = 4 e 2 = 1 Usando a primeira equao com = 4, tenho: (3-)x1 = -x2 , e portanto x1 =x2 , isto , x1 =x2

Segue-se que auto vetor relativo a = 4. Ser? 11

3 12 2

11

44

411

=

=

(A v = v)

Do mesmo modo para = 1, 2x1 = -x2 e portanto auto vetor relativo a =1. 12

3 12 2

12

12

112

=

=

Assim, temos v1 = auto vetor relativo ao autovalor = 4 e v11 2 = auto vetor

relativo ao autovalor =1.

12

Mas, em geral, o que a gente quer o vetor unitrio. O unitrio pode ser obtido

dividindo-se o vetor pelo seu comprimento. O comprimento de v1 :

15


| |v x x1 12

22 1 1 2= + = + =

u1

12

12

=

auto vetor unitrio relativo ao autovalor =4.

. O comprimento de v2 | | ( ) ( )v22 21 2= + = 5

e u2

1525

=

auto vetor unitrio relativo ao autovalor = 1.

No exemplo da transformao linear "espelho" qualquer vetor que se encontrar sobre

as direes principais auto vetor. Assim,

e so auto vetores da transformao relativos aos autovalores 11

11

0 11 0

= 1 e = -1 respectivamente., j que, 0 11 0

11

11

111

0 11 0

11

11

11

1

=

=

=

=

e

Os vetores unitrios dos eixos L1 e L2 do exemplo so portanto:

u1

12

12

=

e u2

12

12

=

1.4 - O teorema espectral

O teorema espectral para matrizes simtricas diz que:

"Se u1, u2. ..., un so auto vetores unitrios de uma matriz A (simtrica) relativos aos

autovalores 1, 2, ..., n ento " 'nnn'222'111 uu...uuuuA +++= Segue-se que ns podemos recompor a matriz A a partir dos seus autovalores e auto

vetores. Uma tal decomposio chamada de decomposio espectral.

Por exemplo: a matriz simtrica e os auto vetores so

0110

16


u1

12

12

=

e u2

12

12

=

relativos a 1 =1 e 2 = -1 donde,

+

=

+

=

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

)1(2

12

1

212

1

10110

J a matriz no simtrica. No simtrica em relao mtrica euclidiana

usual. Teramos:

2213

u1

12

12

=

auto vetor relativo a 1 = 4 e u2

1525

=

auto vetor unitrio relativo ao

autovalor = 1. Donde,

=

+

=

+

106

108

108

1011

54

52

52

51

2222

52

51

525

1

12

12

1

212

1

4

que no tem nada a ver com

2213

Vamos tentar com outra mtrica:

212

1

u1

= e u2

1525

=

s seriam ortogonais se o produto escalar fosse igual a

zero, isto , se u o que no o caso usando a distncia euclidiana comum. Agora

se a mtrica fosse:

0u2'1 =

=

2/1001

M a o produto escalar seria

17


0101

101

525

1

221

21

525

1

21001

21

21uMu 2

'1 ==

=

=

a gente diz ento que u1 e u2 so ortogonais pela mtrica M. No caso particular em que M

a matriz identidade a mtrica chamada de euclidiana ou cannica. O problema que

com a nova mtrica os vetores no so mais unitrios.

4/341

21

212

1

221

21

212

1

21001

21

21uMu 1

'1 =+=

=

=

53

52

51

525

1

51

51

525

1

21001

52

51uMu 2

'2 =+=

=

=

Dividindo o primeiro (u1) por 23

43 = e o segundo (u2) por

53 teremos os

unitrios com a mtrica M:

323

1

u

626

2

u 21

=

=

Conferindo para ver se so unitrios:

162

64

626

2

61

62

626

2

21001

62

62uMu 1

'1 =+=

=

=

132

31

323

1

31

31

323

1

21001

32

31uMu 2

'2 =+=

=

=

O teorema espectral com esta mtrica ficaria:

18


M)uu...uuuu(

Muu...MuuMuuA'nnn

'222

'111

'nnn

'222

'111

+++=+++=

e no nosso exemplo,

=

=

+

=

+

=

2213

2/1001

4223

2/1001

34

32

32

31

38

38

38

38

2/1001

32

31

323

1

16

26

2

626

2

4A

19

Capítulo I - Vetores

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