CAPITULO II DINÂMICA DE MÁQUINAS Órgãos de Máquinas I DEMGi - Departamento de Engenharia...

CAPITULO II

DINÂMICA DE MÁQUINAS

Órgãos de Máquinas I

DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial

SUMÁRIO DO CAPITULO 2

Momentos de inércia de massa

Teorema dos eixos paralelos

Introdução

Equações do movimento de translação e rotação de um corpo rígido

Equações do movimento plano geral

DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO: FORÇA E ACELERAÇÃO

Objectivos

DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO:TRABALHO E ENERGIA

Introdução

Energia cinética de um corpo rígido

Trabalho de uma força e de um binário

Objectivos

Princípio do trabalho e energia

Conservação da energia



Associar as forças envolvidas com possíveis falhas das máquinas e métodos de manutenção

aplicados.

DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO: FORÇA E ACELERAÇÃO

OBJECTIVOS:

Apresentar os procedimento utilizados para determinar o momento de inércia de massa de um

corpo

Desenvolver as equações de movimento da dinâmica no plano de um corpo rígido.

Discutir as aplicações dessas equações a corpos em translação, em rotação em torno de um

eixo fixo e com movimento plano geral.



A máquina é um conjunto de elementos utilizados nas mais diversas funções, nomeadamente para suportar componentes rotativos e/ou transmitir potência, movimento rotativo ou axial. Os elementos constituintes da máquinas trabalham em condições extremamente variáveis de ambiente e carregamento. Assim o conhecimento do comportamento dinâmico, individual ou em conjunto dos elementos da máquina (mecanismo) é essencial a projectistas e/ou responsáveis pela manutenção.

INTRODUÇÃO

As possíveis falhas dos elementos de máquinas solicitados por carregamentos dinâmicos são:

Desgaste na região dos mancais

Falha por fadiga

Torção

Falha devido a sobre tensões originadas por esforços de:

Esforços combinados

Tracção

Compressão

Flexão



MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA MASSA

• A aceleração angular da massa infinitesimal Δm em torno do eixo AA` devido à aplicação de um momento, é proporcional a r2 Δm.

r2 Δm = momento da inércia da massa Δm relativamente ao eixo AA’

• Raio de giração, k : m

IkmkI 2

• Para um corpo de massa m a resistência à rotação em torno do eixo AA' é:

ae uma mass Inércia dMomento dedmr

mrmrmrI

2

23

22

21



• Momento de inércia relativamente ao eixo coordenado y é:

dmxzdmrI y 222

• Similarmente, para o momento da inércia relativamente aos

eixos x e z:

dmyxI

dmzyI

z

x

22

22

MOMENTO DE INÉRCIA DE UMA MASSA

• Em unidades SI:

]m[kg 22 dmrI



TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS

22 zymII xx

22

22

yxmII

xzmII

zz

yy

dmzydmzzdmyydmzy

dmzzyydmzyI x

22

2222

2222

• Para eixos rectangulares com origem em O e eixos centroidais paralelos,

• Generalizando para um eixo qualquer AA ':

2mdII



MOMENTOS DE INÉRCIA DE PLACAS FINAS

• Para uma placa fina com espessura uniforme t e material homogéneo

de densidade ρ, o momento de inércia da sua massa relativamente ao

eixo AA ' da placa é:

areaAA

AA

It

dArtdmrI

,

22

• Similarmente, para o eixo perpendicular BB ' da placa:

areaBBBB ItI ,

• Para o eixo CC’ perpendicular à placa:

BBAA

areaBBareaAAareaCCC

II

IItJtI

,,,



• Para eixos centroidais principais em uma placa rectangular:

21213

121

, mabatItI areaAAAA

2121 3

121

, mbabtItI areaBBBB

22121

,, bamIII massBBmassAACC

MOMENTOS DE INÉRCIA DE MASSA PARA PLACAS FINAS

• Para os eixos centroidais em uma placa circular:

2414

41

, mrrtItII areaAABBAA

221 mrIII BBAACC



Momentos de inércia de massa para formas geométricas comuns

Barra esbelta

Placa rectangular fina

Prisma rectangular

Disco delgado

Cilindro circular

Cone circular

Esfera



CENTRO DE GRAVIDADE PARA SÓLIDOS HOMOGÉNEOS

ii

iii

G m

xmx

).(

ii

iii

G m

ymy

).(

ii

iii

G m

zmz

).(



EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO RECTILÍNEA

Na translação rectilínea, todas as partículas de um corpo se movem ao longo de trajectórias rectilíneas paralelas.

Traj

ectó

riaRec

tilín

ea

3F

4F

1F

2FG

gF1M

2M

AG

A

dGa

m

0 GM

yy mF )(a G

Ponto de referência G

xx mF )(a G

Ponto de referência A

damMM GAdA )()(

yy mF )(a G

xx mF )(a G



EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA

Na translação curvilínea, todas as partículas de um corpo se movem ao longo de trajectórias curvas.

3F

4F

1F

2F

t̂

n̂

G

gF

1M

2M

B

Trajectória

Curvilínea

t̂

n̂

G

B

hnGam )(

tGam )(

e

nn mF )(a G

tt mF )(a G0 GM


nn mF )(a G

])(a [ ])(a [ )( GG ntBDB mhmeMM

tt mF )(a G

Ponto de referência B



3F

4F

1F

2F

2M

1M

O

tGa )(

nGa )(Gr

G

w3F

4F

1F

2F

2M

1M

OF

O

G

gF

MOVIMENTO ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO

2GGO mrI I Teorema dos eixos paralelos:


GnGn rm w)m (aF 2

αIM GG

GtGt rm )m (aF

Ponto de referência O

αIMM OOdO )(

GnGn rm w)m (aF 2

GtGt rm )m (aF



EXEMPLO DE MOVIMENTO DE ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO

ox

oy

o gF

M

F

G

tm )a( G

tm )a( G

nm )a( G

IG

O

G

A manivela da bomba de petróleo sofre uma

rotação em relação a um eixo fixo causada pelo

momento motriz M do motor.


GnGn rm w)m (aF 2

αIM GG

GtGt rm )m (aF

2mdI I GO Teorema dos eixos paralelos:


αIMM OOdO )(

GnGn rm w)m (aF 2

GtGt rm )m (aF



EQUAÇÕES DE MOVIMENTO: PLANO GERAL


xGx )m (aF

αIM GG yGy )m (aF


xGx )m (aF

odo MM )(

yGy )m (aF

3F

4F

1F

2F

2M

1M

G

gF

w

x

y3F

4F

1F

2F

G

GI

yGam )(

xGam )(

Gam

O



EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA

A placa fina de 8 kg de é mantida em equilíbrio estático através das barras de ligação AE, DF

e o fio BH como mostra a figura. Desprezando a massa das barras de ligação, determine

imediatamente após cortar o fio BH:

(a) aceleração da placa;

(b) a força em cada uma das barras de ligação.

Exemplo de aplicação



Depois do fio cortado, todas as partículas da placa se movem ao longo de trajectórias circulares paralelas de raio 150 mm. A placa encontra-se em translação curvilínea.

SOLUÇÃO

ttdtt maFFF )(

2m/s 66.8ta 30cos tmamg

N 9.47

030sin801815.0030sin 80

AE

AEAEDFAE

F

FFFF

0 )( ndnn FFF

0 )( GdGG MMM

AEDFDF

DFAEAE

FFF

senFFsenF

1815.00º30 cos *1.0

º30 *25.0º30 cos * 1.0 º30 *25.0

TFAE N9.47 CFDF N70.8 2m/s 66.8a



Exercício de Aplicação

O mecanismo mostrado na figura é um modelo idealizado do eixo de manivela de um motor a

combustão. Sabendo-se que LAB = 150 mm, LBC = 750 mm e que no instante mostrado = 60° a

barra AB possui uma velocidade angular wAB = 500 rpm no sentido anti-horário e as massas da

barra BC e do pistão são respectivamente iguais a: mBC = 10 kg, e mP = 15 kg, determine:

a) a velocidade angular da barra BC; b) a velocidade do pistão C; c) as acelerações do sistema; d) as forças actuantes nas conexões B e C;

e) as tensões actuantes nos pinos (dP =10 mm) das articulações B e C.



Dinâmica plana de um corpo rígido: Trabalho e Energia (cinética)

OBJECTIVOS:

Desenvolver e aplicar na resolução de problemas de dinâmica plana do corpo rígido:

Aplicar na resolução de problemas de dinâmica de máquinas o princípio do trabalho e

energia.

Formulações matemáticas relacionadas com as diferentes formas de

manifestação da energia e do trabalho.

Aplicar o principio da conservação da energia na solução de problemas de dinâmica plana

de corpos rígidos.



Energia cinética: movimento plano geral

A energia cinética de um corpo rígido é constituída por energia cinética de

translação (referida á velocidade do seu cento de massa) e de rotação

(determinada a partir do conhecimento do momento de inércia do corpo em

relação ao seu centro de massa) …

Os diagramas cinemáticos das velocidades podem ser úteis na determinação

das variáveis vG e ou para estabelecer relações entre estas duas variáveis.



2 21 1

2 2C G GE m v I

G

Gv

Gr

G

vvG

Energia cinética: movimentos de translação e de rotação (eixo fixo)

Translação: Sempre que um corpo rígido de massa m está sujeito a um movimento de translação rectilínea ou curvilínea, a energia cinética de rotação é nula pois = 0:

Rotação em torno de um eixo fixo: Quando um corpo rígido roda em torno de um eixo fixo, o corpo apresenta energia cinética de translação (em G) e de rotação.

2

1

2C OE I

2 2 21 1

2 2O G G C G GI I m r E m v I

2 2 21 1

2 2C G Gx GyE m v m v v



pois

Energia cinética: movimento de rotação em relação a um eixo móvel



P P

O O O

2 2O O OG O

2 2O OG O OG O O

1

2

12

2

1 1

2 21 1

2 2

m

m

m

y x

Ec dEc

v v dm

v v v r r r dm

mv v r m I

mv m x v y v I

P

P Ov v r

r

x

y

Ov

2 2O O

1 1

2 2Ec mv I Logo

(!)

Trabalho de uma força

Introdução

Os métodos do trabalho e da energia são utilizados para analisar o movimento plano de

corpos rígidos.

O princípio do trabalho e da energia é utilizado na solução de problemas de movimento

plano de corpos rígidos que envolvam forças, deslocamentos e velocidades.

Pontos de análise do trabalho de uma força:

- Uma força realiza trabalho quando se move segundo a sua linha de acção.

- Graficamente o trabalho é igual à área sob a curva Força - Deslocamento.

- O sinal positivo para o trabalho de uma força é definido pelos sentidos dos vectores força/momento e deslocamento.

- O diagrama de corpo livre deve considerar todas as forças e momentos que

realizam trabalho ao longo da trajectória do corpo rígido.



Forças que actuam em corpos rígidos sem realizar trabalho

Forças aplicadas a pontos fixos ou perpendiculares à direcção do deslocamento:

- Reacções em pinos de dimensões desprezáveis, em relação aos quais o corpo se move.

- Reacção normal quando actua sobre um corpo que se move sobre uma superfície fixa.

- Força gravítica quando o seu centro de gravidade se move num plano horizontal.

- Força de resistência ao rolamento de um corpo roliço quando rola sem deslizar sobre uma superfície rugosa (isto porque a força actua em um ponto do corpo com velocidade nula (C.I)).





Simpificações:

i Gi im a F

análise estática

Gia g

210 m/s o peso do componente é irrelevante

Seja Fi uma qualquer força relevante p/a o funcionamento do sistema e aGi a aceleração do centro de massa do componente i

Os esforços de atrito em articulações são usualmente desprezados (quando se trata da determinação de reacções e esforços internos)

Trabalho realizado Formulação Matemática Observações

Força variável

Força constante

Força gravítica

Força exercida por uma mola

Binário de momento variável

Binário de momento constante

F tsW F ds

(FC)t representa a componente tangencial da força (segundo a direcção do movimento).

CF C t

W F s

1: deformação inicial da mola

2: deformação final da mola

2 22 1

1 1( )2 2kW k k

O sinal para W é definido pelos sentidos dos vectores força e deslocamento.

gF gW F h

2

1

dMW

M

M

W M

Trabalho realizado por diferentes forças



(F)t representa a componente tangencial de F.

O princípio do trabalho e energia pode ser aplicado na solução de problemas que envolvam

mecanismos constituídos por diversos elementos (corpos rígidos). O principio, deve ser

aplicado a cada um dos elementos isoladamente.

21 21 CC EWE

Quando vários corpos são interligados por pinos, conectados por cabos indeformáveis ou

interligados entre si sem a utilização de elementos flexíveis o principio do trabalho e energia

pode ser aplicado a todo o sistema de corpos interligados.

Princípio do trabalho e energia

Esta equação estabelece que a variação da energia cinética do corpo (de translação e de

rotação), entre os instantes inicial e final, é igual ao trabalho realizado por todas as forças e

momentos externos que nele actuam.



Potência

A potência mecânica (P) de uma máquina quantifica a sua capacidade de trabalho por unidade de tempo.

Assim, se uma máquina é capaz de aplicar a um corpo rígido:

• uma força Ft sobre um ponto com velocidade v,

P [w]t

t

F dsdWF v

dt dt

[w] P M

dt

dM

dt

dW



• um momento M à velocidade angular ,

7000N.m @ 2700rpm



Para realizar o mesmo trabalho sobre o comboio, a locomotiva mais recente precisará de mais tempo do que o que a outra máquina porque é menos potente.

Mas…

SD80MAC (USA, 1994)

PRR S1 (USA, 1938)

Alfred Bruce, The Steam Locomotive in America [p.386], Bonanza Books, New York 1952.

Diesel-Electric Locomotive SD80MAC with Three-Phase Drive, Siemens Technical Information, Transportation Systems Group, Siemens AG

potência disponível p/a tracção

Conceito de potência




Estime a) o declive que o camião pode vencer à velocidade constante de 60km/h, na última relação de transmissão, e b) o seu consumo, em patamar, para uma velocidade de 80 km/h.

i) =1400 rpm v=85 km/h

FR = resistência ao movimento do conjunto (expressão empírica):

[v]=[km/h]; [m]=[ton]

iv) A eficiência da transmissão é de ~88%.

2

[kN]14 2460R

m vF ii)

iii) O consumo específico do motor é de 190 g/kwh.

Potência e Binário do motor

TM - Transporte Mundial, Motorpress-Ibérica, nº 45, [p.39], 07/1999.



Caso de estudo: Rolamento de um corpo rígido

mg

N

Fa

v = R

21 21 CC EWE

Um corpo roliço (com uma forma qualquer) rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal, acabando por imobilizar-se ao fim de algum tempo. A força responsável pela desaceleração do corpo é naturalmente a força de atrito de rolamento Fa.

No entanto, de acordo com o princípio do trabalho e energia, já enunciado,

como justifica a imobilização do corpo se nenhuma das forças representadas realiza trabalho nesse período (note que Fa actua no C.I.R. e que o peso e a normal são perpendiculares a v)?

Procure a resposta, estudando o mecanismo de rolamento de um corpo rígido…

O método dos trabalhos virtuais baseia-se no princípio da conservação da energia.

Permite conhecer as condições de equilíbrio de um sistema mecânico sem que seja necessário estudar cada corpo do sistema.

O trabalho de uma força (F) correspondente um deslocamento infinitesimal (dr), ou deslocamento virtual, é definido como a quantidade



dsFrdFdW t

dMdW

dt

dEc

dt

dWdEcdW

e designa-se de trabalho virtual. Analogamente, para o movimento de rotação, tem-se

Assim, para um sistema articulado de corpos rígidos, sendo desprezável o atrito, pelo princípio do trabalho e energia tem-se que

iiGiGiiGtiiitii IvamvFM

Forças (tangenciais) e momentos exteriores aplicados ao corpo i

ou



Dados:DP = 70mmR = 50mmL = 200mmmP = 500g (incluindo a massa da cavilha D)mB = 800g

Nota: Despreze o atrito e os pesos próprios do pistão e da biela.

R

L

p = 2,5 bar


Um compressor volumétrico usa o mecanismo biela - manivela representado para accionamento do

pistão D (com diâmetro nominal DP e massa mP). Determine para uma velocidade angular de

1500rpm (constante e com sentido anti-horário), e para o ângulo = 45º, o momento aplicado ao

braço AB da cambota. Considere ainda: 2

BD 4289 rad/s

2P 877 m/sa

m/s 55.6Pv

rad/s 2.28BD

Momentos de inércia de massa para formas geométricas comuns

Barra esbelta

Placa rectangular fina

Prisma rectangular

Disco delgado

Cilindro circular

Cone circular

Esfera



DINÂMICA PLANA DE UM CORPO RÍGIDO:TRABALHO E ENERGIA

OBJECTIVOS:

Desenvolver e aplicar na resolução de problemas de dinâmica plana do corpo

rígido:

Aplicar na resolução de problemas de dinâmica de máquinas o princípio do

trabalho e energia.

Formulações matemáticas relacionadas com as diferentes formas de

manifestação da energia e do trabalho.

Aplicar o principio da conservação da energia na solução de problemas de dinâmica

plana de corpos rígidos.



ENERGIA CINÉTICA

A energia cinética de um corpo rígido é constituída por duas partes: energia cinética de

translação (referida á velocidade do seu cento de massa) e de rotação (determinada a partir do

conhecimento do momento de inércia do corpo em relação ao seu centro de massa)

INTRODUÇÃO

A energia cinética de um corpo rígido é constituída por duas partes: energia cinética de

translação (referida á velocidade do seu cento de massa) e de rotação (determinada a partir do

conhecimento do momento de inércia do corpo em relação ao seu centro de massa)

A energia cinética está relacionada com o movimento dos corpos.

Os diagramas cinemáticos das velocidades podem ser úteis na determinação das variáveis

vG e w ou para estabelecer entre estas duas variáveis.



G

Gv

Gr

G

vvG

ENERGIA CINÉTICA

TRANSLAÇÃO: sempre que um corpo rígido de massa m está sujeito a um movimento de translação rectilínea ou curvilínea, a energia cinética de rotação é nula pois w = 0:

ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO: quando um corpo rígido roda em torno de um eixo fixo, o corpo apresenta energia cinética de translação e rotação.

22 2

1

2

1wIvmE GGC

2 2

1wIE OC

2 dmII GO

2 2

1GC vmE



ENERGIA CINÉTICA

MOVIMENTO PLANO GERAL: quando um corpo rígido está sujeito a um movimento plano

geral, encontra-se animado de uma velocidade angular w e o seu centro de massa tem uma

velocidade angular vG. Assim, o corpo possui energia cinética de translação e energia

cinética de rotação em torno do seu centro de massa.

22 2

1

2

1wIvmE GGC

w



TRABALHO DE UMA FORÇA

INTRODUÇÃO

Os métodos do trabalho e da energia são utilizados para analisar o movimento plano de

corpos rígidos.

O princípio do trabalho e da energia é utilizado na solução de problemas de movimento plano

de corpos rígidos que envolvam forças, deslocamentos e velocidades.

- Uma força realiza trabalho quando se move na sua direcção.

- Graficamente, o trabalho é igual à área sob a curva Força - Deslocamento.

Pontos de análise do trabalho de uma força:

- O sinal positivo para o trabalho de uma força é definido pelos sentidos dos vectores força/momento e deslocamento.

- O diagrama de corpo livre deve considerar todas as forças e momentos que

realizam trabalho ao longo da trajectória do corpo rígido.



Forças que actuam nos corpos rígidos e não realizam trabalho

Forças aplicadas a pontos fixos:

- Reacções em pinos de apoio em relação aos quais o corpo se move.

Forças que actuam numa direcção perpendicular ao seu deslocamento:

- Reacção normal quando actua sobre um corpo que se move sobre uma superfície fixa.

- Força gravítica quando o seu centro de gravidade se move num plano horizontal.

- Força de resistência ao rolamento de um corpo roliço quando rola sem deslizar sobre uma superfície rugosa. Isto ocorre, porque durante qualquer intervalo de tem a força actua em um ponto do corpo com velocidade nula (C.I). Isto é, o ponto de contacto não é deslocado na direcção da força durante esse instante.



Trabalho realizado Formulação Matemática Observações

Força variável

Força constante

Força gravítica

Força de uma mola

Binário de momento variável

Binário de momento constante

, representa o ângulo entre a extremidade do vector força e e o deslocamento diferencial

sF dsFW cos

FC COS , representa o módulo da componente da força na direcção da força.

SFW CFC cos


) 2

1

2

1( 2

122 skskWs


gF FWg ∆h

2

1

dMW

M

) ( 12 MWM

Tabela resumo da formulação matemática do trabalho realizado por diferentes forças



O princípio do trabalho e energia pode ser aplicado na solução de problemas que envolvam

mecanismos constituídos por diversos elementos (corpos rígidos). O principio, deve ser

aplicado a cada um dos elementos isoladamente.

21 21 CC EWE

Quando vários corpos são interligados por pinos , conectados por cabos indeformáveis ou

interligados entre si sem a utilização de elementos flexíveis o principio do trabalho e energia

pode ser aplicado a todo o sistema de corpos interligados.

PRINCÍPIO DO TRABALHO E ENERGIA

Esta equação estabelece que a energia cinética de translação e rotação inicial do corpo,

somada ao trabalho realizado por todas as forças e momentos externos que actuam no corpo

quando ele se move da sua posição inicial até à sua posição final, é igual à energia cinética de

translação e rotação final do corpo.



CONSERVAÇÃO DA ENERGIA

Quando sobre um sistema actuam apenas forças conservativas o princípio do trabalho e energia pode ser substituído na resolução de problemas pelo teorema da conservação da energia.

Energia potencial gravitacional

GP ygmEg

A convenção de sinais utilizada para a energia potencial gravitacional é a mesma que a apresentada para o trabalho realizado pela força gravítica.

Energia potencial elástica 2s

2

1kE

eP

A energia potencial elástica é considerada positiva quando os vectores força elástica e deslocamento têm o mesmo sentido. É negativa quando os sentidos dos vectores referidos é oposto.



CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA

ENERGIA MECÂNICA

22. 11 )2( PCFPC EEWEE

consnão

PCm EEE )1( com: RT CCC EEE

eg PPP EEE

O termo da equação 2, WF não cons. representa o trabalho realizado pelas forças não

conservativas como a força de atrito. Se este termo for nulo então a equação 2, vem:

212211 mmPCPC EEEEEE Teorema da conservação da energia mecânica



POTÊNCIA

Potência: é o trabalho realizado num determinado intervalo de tempo

• Para um corpo rígido sujeito a uma força F e se move com velocidade v:

[w]

P vFdt

dsF

dt

dW

[w] P M

dt

dM

dt

dW

• Para um corpo rígido submetido a um binário de momento M e se move

com velocidade angular w:



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