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CAPITULO 3

Esforços Internos e Método das Secções

Resistência dos Materiais

DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial


Esforço interno normal

Esforço interno cortante

Esforço interno flexão

Esforço interno torção

Método dos Nós

Método das Secções

Sumário: Classificação dos Esforços Internos e Método das Secções

Competências: No final do capítulo os alunos deverão ser capazes de identificar

os esforços internos numa secção do corpo em função do tipo de carregamento.

Aplicar os métodos dos nós e das secções a um corpo deformável de modo a

determinar os esforços internos devidos a um determinado carregamento.





As solicitações aplicáveis a um corpo podem ser classificadas em solicitações simples ou compostas. Nas primeiras incluem-se os esforços do tipo tracção, compressão, corte, torção e flexão que produzem esforços unidimensionais. A área das solicitações compostas é formada por

combinação de esforços simples e conduzem a estados de tensão duplos ou triplos.

Esforços Internos - Introdução

Tracção

Compressão

Flexão

Torção

Corte



Classificação dos Esforços Internos e Método das Secções

O projecto de qualquer elemento estrutural ou mecânico requer uma investigação

das cargas actuantes no seu interior de modo a garantir que o material do qual é

feito possa resistir à carga imposta. Esses esforços internos podem ser

determinados através da utilização do método das secções.

Esforço cortante

Esforço normal

Esforço flexãoEsforços cortantes

Esforços flexão

Esforço normal

Esforço torção




O método das secções é utilizado para determinar as resultantes dos esforços internos.

Determinar as forças reactivas nos apoios.

Manter todas as forças, momentos e cargas distribuídas sobre o corpo.

- Passar uma linha imaginária pelo ponto do corpo onde os esforços internos devem ser determinados.

- Construir o diagrama de corpo livre de uma das partes seccionadas e indicar as incógnitas N, V, M e T.

Forças externas

N

MV

Momentos

T

- Aplicar as equações de equilíbrio.

Procedimento de análise:



Método das Secções - Exemplo de aplicação a uma viga

Método das Secções - Exemplo de aplicação a uma treliça



Exercício Resolvido 1 - Uma barra é fixa através de uma das da suas extremidades e carregada conforme mostrado na figura 1-(a). Determine os esforços internos normais nos pontos B e C.

Parte DC:Figura 1

Reacções nos apoios: O diagrama de corpo livre da barra é mostrado na figura 1-(b).

Diagrama de corpo livre: Os esforços internos em B e C são obtidos utilizando os diagramas de corpo livre da barra seccionada mostrados na figura 1-(c). São escolhidas as partes AB e DC por terem uma menor quantidade de forças aplicadas.

Equações de equilíbrio:

Parte AB:



Exercício Resolvido 2 - Um eixo circular está sujeito ao carregamento indicado na figura 2-(a). Determine os esforços de torção internos nos pontos B e C.

Figura 2

Reacções nos apoios: O diagrama de corpo livre do eixo é mostrado na figura 2-(b).

Diagrama de corpo livre: Os esforços internos em B e C são obtidos utilizando os diagramas de corpo livre do eixo seccionado mostrados na figura 1-(c). São escolhidos os segmentos AB e CD por terem uma menor quantidade de forças aplicadas.


Parte CD:

Parte AB:



Exercício Resolvido 3 - Uma viga suporta o carregamento mostrado na figura 3-(a). Determine os esforços internos actuantes nas secções transversais que passam pelos pontos B e C da viga.

Figura 3

Reacções nos apoios: O diagrama de corpo livre da viga é mostrado na figura 3-(b).

Diagrama de corpo livre: Os esforços internos em B e C são obtidos utilizando os diagramas de corpo livre da viga seccionada mostrados na figura 1-(c) e 1-(d). São escolhidos os segmentos AB e AC por terem uma menor quantidade de forças aplicadas.


Segmento AC:

Segmento AB:



Exercício Resolvido 4 - Determine os esforços internos que actuam no ponto E da estrutura carregada conforme indicado na figura 4-(a).

Reacções nos apoios: Análise do equilíbrio no pino C tal como indicado na figura 4-(b).

Diagrama de corpo livre: Os esforços internos em E são obtidos utilizando o diagramas de corpo livre do segmento CE mostrado na figura 4-(c).


Figura 4



Exercício Resolvido 5 - O painel sinalizador mostrado na figura 5-(a) tem uma massa de 650 kg e é suportado por uma coluna fixa. As normas de projecto indicam que o carregamento uniforme máximo esperado por acção do vento, que ocorre na área onde o painel está localizado, é de 900 Pa. Determine os esforços internos gerados em A por acção deste carregamento.

Diagrama de corpo livre: O modelo idealizado para o sistema é mostrado na figura 5-(b). Nesta figura são indicadas as dimensões necessárias para a resolução do problema. Pode-se considerar o diagrama de corpo livre da parte acima do ponto A, indicado na figura 5-(c), pois desta forma não se envolvem as reacções no apoio.

Figura 5



Equações de equilíbrio: Uma vez que o problema é tridimensional, será efectuada uma análise vectorial.

Esforços internos no ponto A:

Esforço normal:

Esforço cortante:

Esforço de torção:

Esforços de flexão:

P



Exercício 1 - Para o carregamento indicado e considerando que a coluna tem

uma massa de 200 kg/m, determine os esforços internos que actuam na secção

transversal que passa pelo ponto A.



Exercício 2 - Para o carregamento indicado e considerando que os apoios

A e B permitem ao eixo girar livremente, determine os esforços internos que

actuam nas secções transversais que passam pelos pontos C e D.



Exercício 3 - Para o carregamento indicado, determine os esforços internos

que actuam nas secções transversais que passam pelos pontos C e D.



Exercício 4 - Determine os esforços internos resultantes que actuam nas

secções transversais que passam pelos pontos D e E.

670 N

0,3 m

2,4 m 1,2 m0,9 m



Exercício 5 - Determine os esforços internos resultantes que actuam na secção

transversal que passa pelo ponto B.

Análise de Estruturas - Treliças

elemento sujeito a duas forças nónó

• Uma treliça é uma estrutura composta por elementos rectos unidos em nós, localizados nas extremidades de cada elemento.

• Os elementos são delgados e incapazes de suportar cargas transversais.

• Todas as cargas devem ser aplicadas nas junções.

• Uma treliça deve ser assumida como uma estrutura composta por nós e elementos sujeitos a duas forças.

A

B

C

• Uma treliça rígida não deve sofrer grandes deformações ou entrar em colapso sob acção de pequenas cargas.

• Uma treliça triangular composta por três elementos e três nós pode ser considerada uma treliça rígida.



A

B

C

D• Uma treliça obtida pela adição de dois novos elementos à treliça básica triangular, ligados entre si por um novo nó (D), continuará a ser rígida.

• Treliças obtidas repetindo este procedimento são camadas de treliças simples.

• O número total de elementos é m = 2n - 3, onde n é o número total de nós.



Treliças Simples



Tipos de Treliças em Aço

Fase 1 – diagrama do corpo livre;

Fase 2 – cálculo das reacções;

Fase 3 – utilização de um dos métodos;

Fase 4 – estado final dos elementos da treliça.

• Métodos analíticos (método dos nós e das secções)

AB

C

D

E

G

P1 P2 P3

n

n

• Condição necessária mas não suficiente para

uma treliça rígida, completamente restringida e

estaticamente determinada:

m + r = 2n

m – número de elementos;

r – número de reacções nos apoios

desconhecidas;

n – número de nós.



Análise de Treliças

X

Y

A B

E

C

DPP

P

L/2

L/2

L/2

• 1º Determinação das reacções

0

0

y

x

F

F

• 2º Equilíbrio num ponto (nó)

Estruturas 2D Estruturas 3D

0

0

0

z

y

x

F

F

F

RAy

RAx

RC

RAx=-P N RAy=P/2 N RC=3/2P N



Método dos Nós

Pergunta: Qual o primeiro nó onde se deve aplicar o equilíbrio num ponto?

Resposta: O nó que apresente o mesmo número de incógnitas e equações.

FAD

FAB

P

P/2

Equilíbrio no ponto A:

0)(.2/

0)(.

0

0

SinFP

FCosFP

Fy

Fx

AD

ABAD

] P 1,25F

] P 0,56F

AB

AD

N

N

Estado dos elementos: AD em compressão e AB em tracção.



Método dos Nós (Escolha do nó)

AB

C

D

E

G

P1 P2 P3

n

n

O método das secções é habitualmente preferido em relação ao método dos nós quando apenas se deseja determinar a força num dos elementos da treliça (ou num número reduzido de elementos).

Para determinar a força no elemento BD da treliça mostrada, secciona-se através dos membros BD, BE e CE, removem-se esses membros e estuda-se a porção ABC da treliça como um corpo livre.

AB

C E

P1 P2

FBD

FBE

FCENota: O método deve ser utilizado de modo a obter no máximo três forças desconhecidas, ou seja, cortar no máximo três elementos. Assim, pode ser utilizado igual número de equações de equilíbrio para resolver o problema.




X

Y

A B

E

C

DPP

P

L/2

L/2

L/2

• 1º Determinação das reacções

RAy

RAx

RC

RAx=-P N RAy=P/2 N RC=3/2P N

• 2º Equilíbrio de uma das partes da treliça seccionada

RAy

RAx

FED

FBD

FBA

0

0

6

1

6

1

i

FD

i

iM

F

04/.2/2/.2/.

0)(.2/

0)(.

LPLPLF

SinFPP

PFCosFF

BA

BD

BABDED

P 1,25F

P -0,56F

0F

BA

BD

ED




RAy

RAx

0

0,56P

1,25PA

D

B

E

• 3º Determinação do estado dos elementos

elemento estado

DE nenhum

DB compressão

AB tracção






Exercício Resolvido (Método dos Nós)

- Determine as forças nos elementos FG, EG e GD da treliça simples.



Exercício Resolvido (Método das Secções)

- Determine as forças nos elementos DE, DI e EI da treliça simples.

EI

Método dos nós – normalmente mais eficiente para a determinação da

capacidade de carga em todos os elementos da treliça.

Método das secções – normalmente mais eficiente para a determinação do

estado particular de um elemento da treliça.



Análise de Treliças - Conclusão

AB C

D

F

G

2 m

12.5 kN

2 m 2 m

12.5 kN 12.5 kN 12.5 kN

2.5 m

E

Exercício 1 - Utilizando o método dos nós, determine a força em cada elemento

da treliça mostrada.



D

E

F

G

1.5 kN

3 m

A

B

C

3 m 3 m 3 m 3 m 3 m

H

J

I K

L

3 kN

3 kN

3 kN

6.75 m

3 kN

3 kN

1.5 kN



Exercício 2 - Utilizando o método das secções, determine a força nos elementos

FH, FI e GI da treliça Pratt representada.

50 kN 35 kN

1 m 1 m 2 m



Exercício 3: A barra de aço AB (E1 = 210 GPa) com diâmetro d0 = 50 mm e as barras maciças em liga de

alumínio BC (E2 = 70 GPa) e latão CD (E3 = 105 GPa), ambas com diâmetro d = 20 mm, formam o sistema

composto por três segmentos representado na figura. determine:

a) o diagrama de esforços internos normais;

b) as tensões normais máximas em cada um dos segmentos;

N [kN]N1=15 kN N2=15 kN

N3= -35 kN

x

[MPa]1=7.64 MPa

2= 47.75MPa

3=-111.4 MPa

1=7.64 MPa

x



Exercício 4: Considere uma viga com geometria de secção transversal representada na figura . Para o carregamento indicado:a) Determine as reacções nos apoios A e B.b) Construa os diagramas de esforços cortantes e de momentos flectores.

8 kN/m

m = 500 kg

12 kN

1 m 2 m 1m

C D z

y

Capitulo 5 - Página 297



Exercício 5 – Um painel de propaganda é suportado por uma treliça, tal como

representado na figura, e encontra-se submetido a uma carga horizontal

provocada pelo vento de 4 kN. A análise isolada do painel mostra que 5/8 desta

carga é suportada no ponto central C e o restante dividido igualmente entre D e B.

Calcule as forças nas barras BE e BC. (Solução: BE=2,8 kN T; BC=1,5 kN T)



Apêndice - Trigonometria

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