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ELEMENTOS DE MÁQUINAS CAPÍTULO III

61

CAPÍTULO III PROJETO DE EIXOS DE TRANSMISSÃO E ACOPLAMENTOS RADIAIS E AXIAIS 3.1. EIXOS DE TRANSMISSÃO

3.1.1 Introdução

O termo eixo refere-se, geralmente, a um componente de seção transversal circular,

cujo comprimento axial supera o diâmetro da área de seção transversal, e que possui rotação

em torno de seu eixo de simetria, transmitindo rotação e torque, ou ainda, potência.

Componentes como engrenagens, polias, cames, volantes e outros, são normalmente

fixados axial e/ou radialmente ao eixo através de chavetas, retentores ou anéis de fixação, e

são normalmente denominados de "elementos associados". Acoplamentos (rígidos e

elásticos), juntas universais e juntas homocinéticas, são considerados elementos responsáveis

pela união axial de um ou mais eixos a uma fonte de potência ou de carregamento. Um eixo

que não possui rotação é considerado um elemento estacionário ou de suporte, como uma

viga.

Os eixos podem ser submetidos a várias combinações de carregamentos: axial,

transversal, flexional ou torsional, que podem ser estáticos ou dinâmicos.

Normalmente, um eixo rotativo transmitindo potência (em regime), está sujeito à ação

de um momento torsor constante, que produz uma tensão de cisalhamento estática, e um

momento fletor orientado, que por sua vez, produz uma tensão normal alternada simétrica (as

fibras de uma região do eixo são sucessivamente submetidas à tração e à compressão, devido

à rotação e deflexão do eixo), solicitando este elemento em fadiga. Portanto, para satisfazer os

critérios de falha associados aos conceitos de resistência dos materiais, os eixos devem ser

projetados de forma que suas deflexões permaneçam dentro de limites aceitáveis. Uma

deflexão lateral excessiva em um eixo pode comprometer o funcionamento de engrenagens e

cames, causando ruído excessivo. A deflexão angular, por sua vez, pode ser destrutiva quando

atuando em mancais de rolamento não autocompensadores. A torção pode afetar a precisão de


62

um came ou de um trem de engrenagens. Além das condições citadas, vale lembrar que,

quanto maior a flexibilidade do eixo, tanto mais baixa será a velocidade crítica

correspondente, a qual pode então se posicionar anteriormente à rotação operacional do eixo.

Neste caso, a cada acionamento do sistema, o eixo deve ultrapassar sua condição de

ressonância, até atingir seu regime de operação, o que demanda energia (ou torque de

acionamento) suficientemente elevada para superar esta região crítica de funcionamento da

máquina.

Muitas vezes, os elementos associados são parte integral do eixo. Normalmente, são

construídos separadamente e montados sobre o mesmo através de elementos de fixação como:

• Pinos: encaixe simples para transmissão de carregamentos leves. Os principais

tipos são: pino reto, pino cônico, pino elástico e pino ranhurado.

• Chavetas: utilizadas para taxas mais pesadas de serviço ou operação. Principais

tipos: chaveta de seção quadrada, retangular, redonda, chavetas em montagem

dupla a 90°, chaveta woodruff (meia pastilha), chavetas com cabeça e, ainda, as

parafusadas.

• Anel de fixação axial ou retentores: método excelente e de baixo custo para

posicionamento e fixação axial em eixos. Os tipos convencionais são montados

em ranhuras, enquanto que os tipos sob pressão não necessitam das mesmas. Em

ambos os casos, os anéis podem ser externos (montados sobre os eixos) ou

internos (montados na caixa ou equivalente).

• "Splines" ou eixos ranhurados ou estriados: normalmente permitem uma conexão

axial mais resistente para altas taxas de transmissão de torque.


63

Tabela 3.1 - Nomenclatura e Simbologia.

Símbolos Variáveis Unidades ips Unidades SI

A área in2 2m

c distância da fibra externa à linha

neutra in m

d diâmetro in m

e excentricidade in m

G módulo de cisalhamento psi Pa

E módulo de Young psi Pa

I momento de área in 4 4m

J momento polar de área in4 4m

Cf coeficiente de flutuação adimensional adimensional

Ek , Ep energia cinética e energia potencial in-lb Joule

F força ou carregamento lb N

Fl flutuação (em velocidade angular) rad/sec rad/sec

fn freqüência natural em Hz Hz Hz

Ny fator de segurança em escoamento adimensional adimensional

Nf fator de segurança em fadiga adimensional adimensional

g aceleração da gravidade 2secin 2secm

k constante de mola lb / in N / m

Kf , Kfm fator de concentração de tensão em

fadiga adimensional adimensional

Kt , Kts fator de concentração de tensão

geométrico (estático) adimensional adimensional

m massa lb sec / in2− kg

l comprimento in m

M momento fletor lb-in N-m

P potência hp watts

p pressão psi Pa

r raio in m

T torque ou momento torsor lb-in N-m

W peso lb N

α aceleração angular 2secrad 2secrad

δ deflexão in m

ν coeficiente de Poisson adimensional adimensional


64

θ deflexão angular rad rad

γ densidade de peso lb in3 3mN

σ tensão normal psi Pa

σ’ tensão de Von Mises psi Pa

τ tensão de cisalhamento psi Pa

ω velocidade angular em rad/sec rad / sec rad / sec

ωn freqüência natural em rad/sec rad / sec rad / sec

ζ fator de amortecimento adimensional adimensional

Se limite de resistência à fadiga corrigido psi Pa

Sf resistência à fadiga corrigido psi Pa

Sy limite de resistência ao escoamento psi Pa

Sut máxima resistência à tração psi Pa

3.1.2 Materiais para eixos

No sentido de minimizar deflexões, o aço é a escolha lógica como material para

fabricação de um eixo, devido ao seu alto módulo de elasticidade, embora o ferro fundido ou

o ferro nodular sejam, algumas vezes, também usados, especialmente se engrenagens ou

outros acessórios forem fundidos juntamente com o eixo. Materiais como bronze ou aço

inoxidável podem ser também utilizados em equipamentos marinhos ou em equipamentos

expostos a outros tipos de ambientes corrosivos. Em casos onde o eixo atua como munhão,

deslocando-se no interior de um mancal, a dureza torna-se uma característica necessária ao

material. Neste caso, a dureza do aço pode ser a melhor opção de escolha como material do

eixo.

A maioria dos eixos de transmissão de máquinas é constituída de aço baixo-médio

carbono, que podem ser tanto laminados a quente quanto a frio, embora as ligas de aço sejam

também utilizadas onde a característica de elevada resistência seja necessária, ou ainda, onde

ocorrem maiores solicitações. Essas mesmas ligas, quando laminadas a frio, apresentam

propriedades mecânicas mais elevadas em relação às ligas laminadas a quente, devido às

propriedades do trabalho a frio. Porém, apresentam também a desvantagem da ocorrência de

tensões superficiais residuais, devido a este processo de fabricação. O aço laminado a frio é

mais usado para eixos de reduzido diâmetro (menores que 3 in ou 8 mm), podendo ser

aplicados sem necessidade de usinagem prévia, a não ser em casos onde acessórios são

acoplados ao eixo, exigindo, assim, uma superfície de melhor precisão e qualidade. Os aços

laminados a quente são aplicados para os eixos de maior diâmetro, e devem ter toda a sua


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superfície usinada, de modo a remover toda a camada carbonizada pelo processo. Em eixos

onde foram usinados rasgos de chaveta, ranhuras ou variações de diâmetro (como para eixos

escalonados) caracterizam-se as regiões de incremento ou concentração de tensões, o que

pode vir a causar urdimento do eixo. Eixos de aço pré-endurecidos (30 HRC) e com precisão

da própria laminação, podem ser obtidos em pequenas dimensões e podem, igualmente, ser

usinados com ferramentas de carboneto. Eixos laminados de elevada dureza (60 HRC) podem

ser obtidos, porém, não podem ser usinados.

3.1.3 Potência Transmitida pelo Eixo

A potência transmitida por um eixo é obtida através de princípios simples. Em

qualquer sistema rotativo, a potência instantânea é obtida pelo produto do torque pela

velocidade angular (Capítulo I):

P = T . ω (3.1)

No qual ω é a velocidade angular em radianos por segundo.

Qualquer que seja a unidade de medida usada para os cálculos, a potência é,

geralmente, convertida em unidades do Sistema Inglês ips (HP) ou do Sistema Internacional

SI (KW). Tanto o torque como a velocidade angular, pode variar com o tempo, embora a

maioria das máquinas rotativas seja projetada para operarem a uma velocidade constante, ou

aproximadamente constante, por um longo período de tempo. A potência média é, então,

obtida a partir de:

PAVG = TAVG. ωAVG (3.2)

3.1.4 Solicitações do Eixo

O caso mais comum de solicitação do eixo está na aplicação de momento torsor e

momento fletor alternados cíclicos e combinados. Podem ocorrer solicitações axiais, no caso

de eixos verticais, ou no caso de existirem elementos acoplados, como hélices ou turbinas,

que, em operação, geram uma componente normal de força. Um eixo deve ser projetado de

modo a minimizar a ação dessas tensões axiais, apoiando-o em mancais axiais nas regiões

mais próximas aos pontos de aplicação destas cargas. Tanto o momento torsor, quanto o


66

momento fletor, podem variar no tempo, conforme visto no Capítulo II, apresentando,

portanto, componentes alternadas variáveis e componentes médias constantes.

A combinação do momento fletor e do momento torsor em um eixo rotativo gera, no

mesmo, um estado de tensão múltipla (Capítulo II). Se as cargas são assíncronas ou dispostas

aleatoriamente, então ocorrerá um caso complexo de tensões multiaxiais. Porém, o estado

multiaxial de tensões pode ocorrer mesmo se momentos torsor e fletor atuam em fase (ou

defasados de 180º). O fator crítico para definir um estado simples ou complexo de tensões

multiaxiais, é a direção da tensão principal alternada, num dado elemento do eixo. A maioria

dos eixos rotativos, submetidos aos momentos fletores e torsores, encontra-se na categoria de

estado combinado de tensões. Combinando os efeitos de flexão e cisalhamento, para

visualização gráfica no Círculo de Mohr, obtém-se um estado de tensão principal alternada,

que varia de direção. Uma exceção é o caso de momento torsor constante, superposto a um

momento fletor que varia no tempo. Desde que o momento torsor constante não apresente

uma componente alternada, para variar a direção da tensão principal alternada, este se torna

um caso simples de esforço multiaxial. Entretanto, se existirem concentrações de tensões

presentes, como rasgos de chavetas ou ranhuras no eixo, por exemplo, incrementos de tensão

locais são introduzidos, e requerem uma complexa análise de fadiga multiaxial.

Assume-se, portanto, que a função distribuição do momento fletor ao longo do eixo é

conhecida numa dada situação, e que esta distribuição apresenta tanto uma componente média

Mm, como uma componente alternada Ma. Da mesma maneira, assume-se que o momento

torsor é conhecido, e que este apresenta tanto uma componente média quanto alternada, Tm e

Ta. Então, o procedimento de análise para esta situação é o mesmo introduzido no Capítulo II

para solicitação em fadiga. Em qualquer ponto do eixo, surgirão momentos e torques

(especialmente em combinação com pontos de concentração de tensões), que devem ser

analisados por critérios de falha por fadiga, assim como por uma análise dimensional da seção

e/ou das propriedades do material, de modo a serem ajustados convenientemente.

3.1.5 Análise de Tensões no Eixo

Para compreender como as seguintes equações foram obtidas, para múltiplos pontos do

eixo, e seus efeitos multiaxiais combinados também considerados, deve-se, primeiramente,

obter as tensões aplicadas em todos os pontos de interesse. As diversas componentes de

tensões alternadas e médias, devido à flexão na superfície do eixo, são obtidas a partir de:


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σa = Kf . Ma . c / I σm = K fm . Mm. c / I (3.3)

No qual Kf e Kfm são os fatores de concentração de tensão em fadiga, devido ao

momento fletor, para as componentes alternadas e médias, respectivamente. Sendo um eixo de

seção constante e sólida, podemos substituir C e I por:

c = r = d / 2 I = π . d4 / 64 (3.4)

Substituindo (3.4) em (3.3), obtem-se:

σa = K f . 32. Ma / π . d3 σm = K fm . 32. Mm / π . d3 (3.5)

As componentes alternada e média das tensões de cisalhamento devido ao momento

torsor, são obtidas a partir de:

τa = K fs . Ta . r / J τm = K fsm . Tm . r / J (3.6)

No qual Kfs e Kfsm são os fatores de concentração de tensão em fadiga, devido ao

momento torsor, para as componentes alternadas e médias, respectivamente.

Para um eixo de seção constante e sólida, pode-se substituir R e J por:

r = d/2 J = π . d4 / 32 (3.7)

Assim:

τa = K fs .16. Ta / π . d3 τm = K fsm . 16. Tm / π . d3 (3.8)

Se uma carga FZ, que produz uma tensão axial, estiver presente, produzirá apenas uma

componente média, obtida a partir de:

σm axial = Kfm . FZ / A = Kfm . 4 .FZ / π . d2 (3.9)


68

3.1.6 Testes de Falhas para Eixos Submetidos a Carregamentos Combinados

Extensivos estudos de falhas por fadiga, tanto para aços dúcteis, quanto para ferro

fundido frágil, submetidos à torção e flexão, foram originalmente realizados nos anos 30 por

Davies e por Gough e Pollard. Os resultados destes estudos encontram-se na Figura 3.1,

obtida da norma ANSI/ASME Standard B106.1M-1985 para Design of Transmission Shafting

(Projeto de Eixos de Transmissão). A combinação de torção e flexão para materiais dúcteis

em fadiga, portanto, foi obtida através da equação geral, apresentada na Figura 3.1. Para

materiais frágeis, os resultados (não apresentados), foram obtidos a partir do critério de

máxima tensão principal. Estes resultados são similares aos obtidos para um estado de tensão

combinada de torção e flexão, para carregamentos alternados simétricos.

3.1.7 Projeto de Eixos

Tanto as deflexões quanto as tensões devem ser consideradas no projeto de um eixo.

Muitas vezes, a deflexão pode se tornar o fator crítico, desde que excessivas deflexões podem

causar um rápido desgaste dos mancais nos quais o eixo está apoiado. Engrenagens, correias

ou correntes de acionamento, podem também sofrer com o desalinhamento que as excessivas

deflexões do eixo produzem. Note que as tensões podem ser calculadas localizadamente para

diversos pontos ao longo do eixo, baseando-se no conhecimento das cargas e da seção

considerada. Porém, os cálculos de deflexão requerem que toda a geometria do eixo seja

definida.

Assim, geralmente, o eixo é projetado inicialmente sob as considerações da análise de

tensões e, então, a partir do cálculo das deflexões, a geometria é totalmente definida. A

relação entre as freqüências naturais do eixo, tanto em torção como em flexão, e a freqüência

das funções de torque e de força de excitação, variáveis no tempo, pode ser crítica se as

funções de excitação apresentam freqüências próximas à freqüência natural do eixo,

provocando um estado de ressonância e, consequentemente, gerando elevados níveis de

vibrações, tensões e deflexões.


69

(a) (b)

Figura 3.1 - Resultados de testes de fadiga em Aços sujeitos a Flexão e Torção Combinada, (a) Tensão de flexão alternada simétrica e Tensão de cisalhamento constante e (b) Tensões de flexão e de cisalhamento alternadas

simétricas.

3.1.8 Considerações Gerais

Algumas normas gerais para o projeto de eixos são apresentadas a seguir:

1. Para minimizar tanto as tensões quanto as deflexões, o comprimento do eixo deve

ser o menor possível, assim como o número de apoios.

2. Na possibilidade de se escolher entre uma viga biapoiada e uma viga em balanço,

é mais conveniente utilizar a viga biapoiada, com o intuito de minimizar as

deflexões, uma vez que a viga em balanço apresenta deflexões mais acentuadas. O

uso de vigas em balanço só deve ser feito quando detalhes de montagem exigirem

seu uso.

3. Um eixo tubular apresenta uma menor relação massa/rigidez (rigidez específica) e,

portanto, freqüências naturais mais elevadas, quando comparado a um eixo sólido.

Porém, pode ser mais caro e necessitar de um diâmetro externo maior.

4. As regiões de incremento de tensões devem ser localizadas o mais distante

possível das regiões de maior concentração de momentos fletores, minimizando

seus efeitos com maior diâmetro da seção em questão.

5. Se a prioridade é a de minimizar as deflexões, o aço baixo-carbono pode ser a

melhor opção de material, pois a sua rigidez é tão elevada quanto à de aços mais

aço

aços Aço carbono

aço


70

caros. O eixo projetado para pequenas deflexões apresentará níveis de tensões

mais baixos.

6. As deflexões geradas pela fixação de engrenagens ao eixo não podem ultrapassar

o valor de 0.005 in (130µm). A deflexão angular do eixo, neste caso, não pode

ultrapassar o valor de 0.03°.

7. Na presença de mancais hidrodinâmicos, as deflexões do eixo, nas seções

próximas aos mancais, devem ser menores que a espessura do filme de óleo do

mancal.

8. Se o mancal de rolamento empregado não for autocompensador, as deflexões

angulares do eixo, próximas ao mancal, devem ser inferiores a 0.04°.

9. Se o eixo estiver submetido a carregamentos axiais, mancais axiais devem ser

empregados de modo a impedir o deslocamento axial do eixo. Porém, esses

mancais não devem ser posicionados distantes um do outro, pois o intervalo entre

eles pode sofrer uma dilatação térmica que, por sua vez, virá a comprometer o

trabalho dos mancais.

10. Sempre que possível, a primeira freqüência natural do eixo deve ser, no mínimo,

o triplo da maior freqüência de excitação esperada em operação.

3.1.9 Projeto para Flexão Alternada Simétrica e Torção Constante

Esta é uma situação particular do caso geral de carregamento em torção e flexão

flutuantes e, devido à ausência da componente alternada do momento torsor, é considerado

um caso simples de fadiga multiaxial. Porém, a presença de tensões locais concentradas pode

causar um estado de tensão multiaxial complexo. A norma para projeto de eixos de

transmissão da ANSI/ASME está publicada como B106.1M-1985. Esta norma apresenta uma

aproximação simplificada para o projeto de eixos. A aproximação da ASME assume que o

carregamento gera tensão normal de flexão alternada simétrica (componente média nula) e

momento torsor constante (componente alternada nula), a ponto de criar tensões abaixo da

resistência ao escoamento torsional do material. A norma classifica os casos de diversos eixos

de máquinas nesta categoria. Utilizando a curva da figura 3.1(a), o limite de resistência à

fadiga por flexão é descrito no eixo de σa , enquanto que o limite de resistência ao escoamento

por cisalhamento, no eixo de τm. A substituição do limite de escoamento em tração pelo limite

de escoamento por cisalhamento é justificada pelas relações de Von Mises. As derivações de


71

equações de eixos da norma ASME são apresentadas a seguir, onde da elipse para critério de

falha da figura 3.1(a), tem-se:

1

22

=

+

ys

m

e

a

Ss

τσ (3.10)

Introduzindo o fator de segurança Nf .

1

22

=

+

ys

mf

e

af

sN

sN

τσ (3.11)

Relembrando a relação de Von Mises para SYS .

3

y

ys

SS = (3.12)

Substituindo (3.12) na equação (3.11):

Ns

Nsf

a

ef

m

y

σ τ

+

=

2 2

3 1 (3.13)

Substituindo as expressões para σa e τm , das equações (3.5) e (3.8), respectivamente,

tem-se:

KM

d

N

SK

T

d

N

Sfa f

efsm

m f

y

32 16 31

3

2

3

2

π π

+

= (3.14)


72

Quando resolvida para o diâmetro d, a equação (3.14) fica:

dN

KM

SK

T

Sf

fa

efsm

m

y

=

+

32 3

4

2 212

13

π (3.15)

A norma utiliza ainda a aproximação de reduzir a resistência de fadiga Sf pelo fator de

concentração de tensões em fadiga Kf. Entretanto, as normas da ASME assumem que o fator

de concentração de tensões, para componente média de tensões de cisalhamento, seja sempre

unitário em todos os casos, o que resulta em:

dN

KM

S

T

Sf

fa

e

m

y

=

+

32 3

4

2 212

13

π (3.16)

É importante aplicar a equação (3.16) somente em situações onde as cargas assumidas

sejam exatamente como as consideradas na dedução da expressão, isto é, com momento torsor

constante e momento fletor alternado simétrico.

A Figura 3.2 apresenta o diagrama elíptico de falha de Gough, superposto com a

parábola de Gerber, e as linhas de Sodenberg e Goodman modificadas. Note que a elipse de

Gough se aproxima da parábola de Gerber a esquerda da linha de escoamento, divergindo,

porém, a partir da interseção com a mesma. A elipse de Gough tem a vantagem de considerar

um possível escoamento antes da fadiga, sem a necessidade de envolver a linha de

escoamento. Entretanto, a elipse de Gough, enquanto bom critério de falha, é menos geral que

a combinação das linhas de Goodman e de escoamento, comumente utilizadas como critérios

de falha.


73

Figura 3.2 - Principais Linhas e Curvas de Falha por Fadiga.

3.1.10 Projeto para Flexão e Torção Flutuantes

Quando o torque não é constante, sua componente alternada irá criar um estado

complexo de tensões multiaxiais no eixo. A aproximação utilizada considera as componentes

de Von Mises médias e alternadas, através das equações (3.17).

′ = + − +

′ = + − +

σ σ σ σ σ τ

σ σ σ σ σ τ

a xa ya xa ya xya

m xm ym xm ym xym

2 2 2

2 2 2

3

3 (3.17)

Um eixo rotativo, submetido à torção e flexão combinadas, apresenta um estado de

tensões biaxial, que faz com que a equação 3.17 apresente duas componentes:

( )′ = +σ σ τa a a2 23 e ( )′ = + +

σ σ σ τm m m maxial

2 23 (3.18)

As tensões de Von Mises podem, agora, fazer parte do diagrama modificado de

Goodman, para um determinado material, para obter seu respectivo fator de segurança.

Para projetos onde o diâmetro é a incógnita a ser obtida, as equações (3.5), (3.8) e

(3.18) devem ser trabalhadas a partir de um processo iterativo, para a obtenção do diâmetro,

dados como conhecidos o carregamento e as propriedades do material. Isso não representa

σa

σm Sy Sut

Sy

Se ou Sf

Linha de Escoamento

Linha de Goodman

Elipse de Gough

Parábola de Gerber

Linha de Soderberg


74

grandes dificuldades quando pacotes computacionais, como o TKSolver, por exemplo, são

utilizados. Entretanto, o trabalho manual com estas equações é extremamente oneroso, devido

a sua forma. Se um caso particular de falha é assumido, a partir do diagrama de Goodman

modificado, as equações podem ser manipuladas para se obter uma equação similar à equação

(3.15), para o diâmetro do eixo na secção de interesse. Considerando o caso particular de falha

onde as componentes alternadas e médias apresentam uma razão de variação constante, a

falha ocorrerá no ponto onde o fator de segurança é definido como:

1N S Sf

a

e

m

ut

= +σ σ (3.19)

No qual Nf é o fator de segurança desejado, Se é o limite de fadiga corrigido para um

determinado ciclo de vida, e Sut é o limite de resistência à ruptura do material. Considerando

carga axial no eixo nula, e substituindo as expressões correspondentes na equação (3.19),

obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( )d

NK M K T

S

K M K T

Sf

f a fs a

e

fm m fsm m

ut

=+

++

323

4

3

4

2 2 2 2

13

π (3.20)

A equação (3.20) pode ser usada para se obter o diâmetro do eixo para qualquer

combinação de flexão e torção, considerando-se carga axial nula e componentes alternadas e

médias do carregamento variando a uma relação constante ao longo do tempo.

3.1.11 Verificação da Deflexão do Eixo

O eixo é uma viga de seção circular, que sofre uma deflexão transversal, sendo, ao

mesmo tempo, uma barra em torção, que sofre uma deflexão angular. Ambos os modos de

deflexão devem ser analisados.


75

a) Deflexão Transversal de Eixos.

Sabe-se que, em coordenadas cartesianas, a curvatura da linha elástica é dada pela

equação diferencial fundamental:

1

1

2

2

23

2ρ=

+

d y

dx

dy

dx

(3.21)

Sendo ρ o raio de curvatura do eixo, y a deflexão transversal e x a coordenada axial do

eixo.

A grandeza dy / dx representa a declividade angular da linha elástica, sendo, portanto,

um valor muito pequeno. Assim, desprezando-se o quadrado da declividade na equação

(3.21):

1 2

2ρ= d y

dx (3.22)

Como 1 / ρ = M / EI, a expressão (3.22) torna-se:

d y

dx

M

EI

2

2= (3.23)

Portanto, a expressão geral para deflexão transversal do eixo, é dada pela integral

dupla:

δ

θ

= + +

= +

∫∫

∫

M

EIdx C x C

M

EIdx C

1 2

1

(3.24)

O único fator de complexidade é a presença de variações de seção transversal, por

exemplo, em um eixo escalonado, cujas propriedades geométricas da seção analisada variam

ao longo de seu comprimento. A integração das funções M / EI torna-se, então, mais


76

complexa, devido ao fato de que, tanto o momento fletor (M) quanto o momento de área (I),

variam ao longo do eixo. Se os carregamentos e momentos variarem no tempo, então seus

valores de amplitude máxima deverão ser usados para calcular a deflexão. A função deflexão

irá depender do carregamento e das condições de contorno relativas ao tipo de apoio ou

vínculo utilizado.

b) Deflexão Angular de Eixos

A deflexão angular θ (em radianos) para um eixo de comprimento L, módulo de

cisalhamento G, e momento polar J, com torque transmitido T é:

θ = T L

G J

.

. (3.25)

Do qual se pode obter a expressão para a constante elástica torsional:

KT G J

LT = =θ

. (3.26)

Se o eixo é escalonado, as mudanças da seção circular dificultam os cálculos para a

deflexão torsional, pois estes irão variar com o momento polar de inércia da seção.

O conjunto de seções adjacentes de um eixo, com diferentes diâmetros, pode ser

analisado como um conjunto de molas em série, com pequenas deflexões angulares, desde que

estas deflexões se somem, e que o torque transmitido através das diferentes seções permaneça

constante. Uma rotação constante pode ser obtida para cada seção do eixo, como também os

momentos polares de inércia, com o intuito de obter as deflexões angulares relativas entre

cada seção. Para um eixo com três seções distintas, definem-se J1, J2 e J3 de cada seção, com

os seus correspondentes comprimentos L1, L2 e L3. A deflexão angular total será a soma das

deflexões de cada uma das seções. Assim:

θ θ θ θ= + + = + +

1 2 3

1

1

2

2

3

3

T

G

L

J

L

J

L

J (3.27)


77

A constante de mola torsional efetiva, para um eixo de três seções diferentes, é dada

por:

1 1 1 1

1 2 3K K K KTeff T T T

= + + (3.28)

Estas expressões podem ser estendidas para qualquer número de segmentos de um

eixo escalonado.

3.1.12 Pinos, Chavetas, Eixos Estriados e Interferência

3.1.12.1 Pinos

A norma da ASME define um pino ou uma chaveta como uma peça desmontável que,

quando assentada a um rasgo, produz a transmissão de torque entre o eixo e o elemento

associado por esta conexão radial. Pinos e chavetas encontram-se normalizados sob tamanhos

e perfis diversos.

O pino circular reto apresenta diâmetro constante ao longo de seu comprimento. O

pino cônico apresenta seção circular, porém seu diâmetro varia linearmente ao longo de seu

comprimento. O pino elástico apresenta-se como um elemento tubular com um rasgo de uma

extremidade à outra de seu comprimento, o qual permite seu ajuste por pressão no interior do

furo passante nas peças a serem conectadas. O mesmo efeito elástico está presente em pinos

ranhurados de seção de base circular (Figura 3.3).

Figura 3.3 - Tipos de Pinos – acoplamento radial.

Pino Reto Pino Cônico

Pino Elástico Pino Estriado

d

D


78

a) Esforços em Pinos

A capacidade de carga de um pino, em relação ao torque, é limitada pela resistência

deste elemento ao duplo cisalhamento, em ambas as extremidades do pino. Para um pino

sólido de diâmetro d e resistência ao escoamento por cisalhamento Sys, a capacidade máxima

de torque será:

Dd

SD

FT ys 422

2π== (3.29)

Algumas vezes, pinos em cisalhamento, aplicados a transmissão de torque, são

utilizados como dispositivos de segurança para o eixo de transmissão, sendo manufaturados

com dimensões inferiores às mínimas necessárias, e/ou de materiais pouco resistentes, de

forma a romper antes de o eixo estar submetido à carga máxima de torque transmitido.

3.1.12.2 Chavetas

Uma chaveta reta é aquela que apresenta seção retangular e cujas dimensões não

variam ao longo do seu perfil. A chaveta inclinada apresenta largura constante, porém a altura

varia linearmente ao longo do seu perfil, em uma razão de 1/8 in de altura por unidade de

comprimento. A cabeça desse tipo de chaveta pode ser plana ou perfilada, de modo a facilitar

a sua remoção. A chaveta Woodruff apresenta seção semicircular e dimensões constantes ao

longo de seu perfil. É assentada em rasgos semicirculares usinados no próprio eixo por

pastilhas de perfil circular. A chaveta inclinada também serve para posicionar axialmente o

acessório ao eixo, porém, as chavetas retas e as chavetas Woodruffs necessitam de outros

tipos de fixação, que possam garantir o posicionamento axial, tais como anéis de fixação e

grampos.

Figura 3.4 - Tipos de Chavetas – acoplamento radial.

Chaveta Reta

H

L

Chaveta Chanfrada com Cabeça Chaveta Woodruff


79

a) Chavetas Retas

As chavetas retas são as mais comumente utilizadas. As normas da ANSI definem

particulares dimensões de seções de chavetas e, dimensões do assento destas, como uma

função do diâmetro do eixo no posicionamento da chaveta. Uma reprodução parcial dessas

especificações é encontrada na Tabela 3.2, para eixos de pequenos diâmetros. Para eixos de

maiores dimensões, deve-se consultar a norma. Chavetas quadradas são indicadas para eixos

de diâmetro superior a 6,5 in, enquanto que para eixos de diâmetro inferior a 6,5 in,

recomenda-se o uso de chavetas retangulares. As chavetas são montadas entre o eixo e o

elemento associado, com metade de sua altura assentada no eixo e a outra metade, no

acessório, conforme mostrado na Figura 3.4.

As chavetas retas são, geralmente, feitas de aço laminado a frio, com tolerância

negativa, isto é, suas dimensões nunca podem ser superiores à sua tolerância nominal,

somente inferiores (caso contrário ocorreria interferência na montagem). A tolerância positiva

pode acontecer em alguns casos, onde seja necessário que a chaveta se ajuste ao rasgo com

interferência.

A fixação da chaveta é importante quando abordada sob o ponto de vista dos esforços

ao qual o eixo está submetido. Quando o torque alterna entre positivo e negativo para cada

ciclo, a chaveta é submetida a esforços que causam impactos e, conseqüentemente, fadiga. A

norma também prevê que, no sentido de minimizar esforços sobre as chavetas, estas devem

apresentar um comprimento de, no máximo, 1,5 vezes o diâmetro do eixo (Lchaveta = 1,5Deixo),

de modo a evitar que seu comprimento venha a interferir na deflexão do eixo. Caso seja

necessário um maior comprimento de chaveta, podem-se utilizar duas chavetas, defasadas de

90o entre si.

b) Chavetas Inclinadas

As larguras para chavetas inclinadas, dado um eixo de diâmetro específico, são as

mesmas que para chavetas retas. A conicidade e a cabeça deste tipo de chaveta são

especificadas na norma. A conicidade é capaz de travar axialmente o elemento associado ao

eixo, devido ao surgimento de uma força de atrito entre o contato da superfície da chaveta

com a superfície do acessório. As chavetas inclinadas com cabeça são utilizadas em

montagens onde, devido às pequenas dimensões, a retirada da chaveta seria de difícil acesso.

Chavetas inclinadas tendem a criar excentricidades entre o eixo e o acessório, por

concentrarem as folgas radiais de um único lado.


80

c) Chavetas Woodruff (Meia-Pastilha)

As chavetas Woodruff são comumente utilizadas em eixos pequenos. São auto-

alinháveis, sendo preferencialmente aplicadas em eixos afunilados. A montagem desta

chaveta no elemento associado ao eixo, corresponde à metade da sua altura.

Tabela 3.2 Medidas Padronizadas para Chavetas Retas.

Diâmetro do Eixo (in) Largura Nominal da

Chaveta (in)

437.0312.0 ≤< d 0.093

562.0437.0 ≤< d 0.125

875.0562.0 ≤< d 0.187

250.1875.0 ≤< d 0.250

375.1250.1 ≤< d 0.312

750.1375.1 ≤< d 0.375

250.2750.1 ≤< d 0.500

750.2250.2 ≤< d 0.625

250.3750.2 ≤< d 0.750

750.3250.3 ≤< d 0.875

500.4750.3 ≤< d 1.000

500.5500.4 ≤< d 1.250

500.6500.5 ≤< d 1.500

O rasgo feito no eixo, para o assentamento deste tipo de chaveta, apresenta perfil

semicircular, o que evita a existência de cantos e, consequentemente, pontos de concentração

de tensões. A relação entre a largura da chaveta Woodruff e o diâmetro do eixo é a mesma

apresentada na Tabela 3.2. As outras dimensões da chaveta Woodruff são especificadas pela

norma ANSI, e o corte dos assentos, previamente verificados para estas dimensões. A Tabela

3.3 apresenta um exemplo da norma para as dimensões das chavetas. Cada medida encontra

uma especificação numérica para o tipo de chaveta presente na norma. Os dois últimos dígitos

fornecem o diâmetro nominal da chaveta, em oitavos de polegada, e os dígitos precedentes,


81

fornecem a largura nominal da chaveta, em trinta e dois avos de polegada. Por exemplo, uma

chaveta de número 808 define um chaveta de tamanho 8/32 x 8/8.

Tabela 3.3 - Medidas Padronizadas para Chavetas Woodruff (ANSI).

Número da Chaveta Largura / Comprimento(in) Altura H (in)

202 0.062x0.250 0.106

303 0.093x0.375 0.170

404 0.125x0.500 0.200

605 0.187x0.625 0.250

806 0.250x0.750 0.312

707 0.218x0.875 0.375

608 0.187x1.000 0.437

808 0.250x1.000 0.437

1208 0.375x1.000 0.437

610 0.187x1.250 0.545

810 0.250x1.250 0.545

1210 0.375x1.250 0.545

812 0.250x1.500 0.592

1212 0.375x1.500 0.592

Existem dois modos de falha em chavetas: por cisalhamento e por compressão. A falha

por cisalhamento ocorre quando a chaveta se rompe ao longo de seu comprimento, na

interface entre eixo e elemento associado. A falha por compressão ocorre quando a chaveta é

submetida a uma compressão violenta em ambos os lados, sofrendo esmagamento.

FALHA POR CISALHAMENTO: a tensão de cisalhamento, atuando na interface

eixo-elemento associado, é definida por:

τ xys

F

A= (3.30)


82

No qual F é a força aplicada e AS é a área submetida à tensão de cisalhamento. No caso

da chaveta, AS é dada pelo produto da largura W pelo comprimento da chaveta L. A força que

atua na chaveta pode ser obtida pela razão do torque T ao qual o eixo está submetido, e o raio

do eixo r = D / 2. Se o torque for constante ao longo do tempo, a força também o será, e o

fator de segurança N pode ser obtido por comparação entre o valor da tensão de cisalhamento

τ e da resistência ao escoamento por cisalhamento do material Sys da chaveta. Se o torque

variar no tempo, então existe a possibilidade da chaveta falhar por fadiga. Uma aproximação

está em considerar as componentes médias e alternadas da tensão de cisalhamento e usá-las

para obter as componentes média e alternada da tensão efetiva de Von Mises. Estes valores

podem, então, ser utilizados no diagrama modificado de Goodman, para obtenção do fator de

segurança.

FALHA POR COMPRESSÃO: a tensão de compressão, na superfície lateral da

chaveta, é definida por:

σ x

F

A= (3.31)

No qual F é a força aplicada, e A é a área lateral de contato entre a chaveta e o eixo, ou

entre a chaveta e o acessório. Para uma chaveta reta A = L*H . Uma chaveta Woodruff

apresenta diferentes áreas de contato para o acessório e para o eixo. A área de contato entre o

acessório e a chaveta Woodruff é bem menor, quando comparada a sua área de contato com o

eixo, falhando assim, na superfície em contato com o acessório. Os esforços por compressão

devem ser calculados com o uso do maior valor, em módulo, da força aplicada, seja esta

constante ou variável no tempo. Considerando-se que a tensão de compressão não causa falha

por fadiga, esta tensão de compressão pode ser considerada estática. O fator de segurança N é

obtido por comparação entre a máxima tensão de compressão σ e o limite de escoamento por

compressão do material Sy.

Comparando a resistência ao cisalhamento e a resistência à compressão, para uma

chaveta reta de seção retangular, tem-se:

d / 8

d / 4


83

a) Capacidade de Torque do Eixo:

2

32 : ,

4 Dre

DJonde

J

Tr === πτ

τ lim .= =S Sys y0577

16577.0

2

32577.0

34 DS

D

DS

r

JST yy

ys ππ ===

b) Cisalhamento na Chaveta:

8577.0

24

2LDS

DLDSrFT yyss ===

DLLD

SD

ST yy 57.18

577.016

577.023

=⇒== π

c) Compressão na Chaveta:

1628

2LDS

DDLSrFT yyc ===

DLLD

SD

ST yy 82.11616

577.023

=⇒== π

Devido ao fato das chavetas estarem submetidas ao cisalhamento, materiais dúcteis são

usados em sua confecção. O aço baixo-carbono é a escolha mais adequada, a não ser que se

trate de um ambiente corrosivo, que requer o uso de materiais como latão ou aço inoxidável.

Chavetas retas são laminadas a frio e, então, cortadas em seu comprimento. Chavetas cônicas

e do tipo Woodruff são, geralmente, laminadas a quente.

São poucas as variáveis a serem analisadas no dimensionamento e projeto de chavetas.

O diâmetro do eixo, onde será assentada a chaveta, determina o valor da largura da mesma. A

altura da chaveta (ou o quanto a mesma se encaixa no acessório) é proporcional a sua largura.

Resta apenas o comprimento de cada chaveta e o número de chavetas que serão usadas por

acessório. A chaveta cônica pode apresentar o mesmo comprimento do acessório. A chaveta


84

Woodruff pode ser definida em função do diâmetro, que corresponde a sua altura, e ao quanto

este se encaixa no acessório.

Em projeto de chavetas é comum considerar um estado de tensão aonde a chaveta que

venha a falhar primeiro, e não o seu assento, o que acarretaria a troca do eixo e de um maior

número de elementos associados. Tal consideração se deve ao fato de que uma chaveta é um

elemento barato e de fácil reposição. Isso justifica também o uso de materiais dúcteis em sua

confecção, o que fará com que a falha ocorra na chaveta e não venha a prejudicar o sistema.

Neste caso, a chaveta funcionaria como um dispositivo de segurança.

Considerando-se que as chavetas apresentam, geralmente, bordas de raio pequeno

(cantos praticamente vivos), os seus rasgos também o apresentam, o que provoca uma

significativa concentração de tensão nesta região. Os rasgos são brochados no cubo, correndo

ao longo de seu comprimento, enquanto que no eixo, o rasgo deve ser usinado com grande

precisão geométrica, de modo a minimizar as interferências. Se os cantos usinados, para o

rasgo em um eixo, apresentarem cantos vivos (como é o perfil de chavetas retas e cônicas),

estes serão pontos de acúmulo de tensão, que devem ser minimizados com o arredondamento

dos mesmos.

Peterson demonstrou, experimentalmente, o acúmulo de tensões nos cantos vivos de

rasgos, para eixos submetidos tanto à torção quanto à flexão. Estes estão reproduzidos nas

curvas da Figura 3.5. Os fatores de concentração de tensão, nestas regiões, oscilam entre 2 e 4,

dependendo da razão entre o raio da ferramenta e o diâmetro do eixo.

Figura 3.5 - Fator de Concentração de Tensão em Flexão Kt e Torção Kts.


85

3.1.12.3 Eixos Estriados, Ranhurados ou Splines

Quando um torque a ser transmitido por um eixo excede o valor limite suportado por

uma chaveta, estrias sobre o eixo podem ser usadas. Estrias são como que chavetas usinadas

na superfície externa do eixo e na superfície interna do acessório, de modo que seus perfis se

encaixem. Algumas estrias apresentam dentes de seção quadrada, ou mais comumentes em

forma de envolvente, conforme Figura 3.6. A forma envolvente de estrias apresenta,

praticamente, as mesmas características (posição, ângulos e alturas) que as engrenagens, e as

técnicas de corte de engrenagens são também aplicadas na manufatura das estrias. A vantagem

do corte de estrias envolventes, em relação às estrias quadradas, é que esta última minimiza a

concentração de tensões. A norma da SAE define as especificações, tanto para estrias

quadradas quanto para as envolventes, enquanto que a norma da ANSI define as

especificações apenas para estrias envolventes. A norma para estrias envolventes define um

ângulo de pressão de 30 graus e uma altura correspondente à metade da altura definida para

dentes de engrenagens. O tamanho do dente é definido pela fração, cujo numerador é o

diâmetro primitivo (que define a largura do dente) e o denominador é a altura do dente.

Passos diametrais normalizados são 2.5; 3.0; 4.0; 5.0; 6.0; 8.0; 10.0; 12.0; 16.0; 20.0;

24.0; 32.0; 40.0 e 48.0. Estrias padronizadas podem apresentar de 6 a 50 dentes. Estrias

podem ter a raiz plana ou filetada, como mostra a Figura 3.6.

Figura 3.6 - Geometria da Estria Envolvente.

Algumas das vantagens do uso de estrias é a resistência máxima da raiz, devido a sua

forma curvilínea, o que evita o acúmulo de tensões; bem como sua fácil usinagem através de

ferramentas específicas. A maior vantagem das estrias sobre as chavetas é a de possibilitar

uma grande acomodação axial entre o eixo e o acessório, enquanto ocorre a transmissão de

di

dr

do

dp

Diâmetro Primitivo


86

torque. São usadas para conectar a saída da transmissão do eixo para a barra de direção em

automóveis e caminhões, onde o movimento da suspensão causa esforços axiais entre os

membros. Também são usadas em transmissões não-automáticas e não-sincrométricas de

caminhões, para acoplar axialmente as engrenagens de câmbio aos seus respectivos eixos.

Além disso, o torque do motor é, geralmente, transmitido através de eixos estriados, que

conectam a embreagem ao eixo de transmissão, permitindo o esforço axial necessário para

desacoplar o volante da embreagem.

A carga que atua nas estrias é puramente torsional, sendo de natureza tanto estática

quanto dinâmica. Assim como as chavetas, dois tipos de falhas podem ocorrer nas estrias:

cisalhamento e compressão. Assim como nas chavetas, alguns dentes da estria podem sofrer

cisalhamento devido ao carregamento. O ideal é que o comprimento L da estria seja tão longo

quanto necessário, de modo que, em cada dente, a resistência ao cisalhamento do dente seja

igual à resistência ao cisalhamento torsional em todo o eixo. Se a estria for feita corretamente,

sem variações no tamanho dos dentes ou no espaçamento entre eles, o esforço se distribuirá

igualmente em todos os dentes. Entretanto, a realidade da manufatura das estrias impossibilita

essa condição ideal. A norma da SAE afirma que, na prática, as falhas na manufatura do

espaçamento e na forma dos dentes permitem que apenas 25% dos dentes estejam em contato

ideal e que, devido a este fato, uma boa aproximação para o comprimento L da estria em um

eixo é dada pela expressão:

L

dd

d

d

ri

r

p

≅−

34

4

2

1

(3.32)

No qual dr é o diâmetro da raiz, di é o diâmetro interno do eixo (se este for tubular) e

dp é o diâmetro primitivo da estria (Figura 3.6).

A variável L representa o comprimento do dente da estria, e deve ser considerada

como o valor mínimo necessário para apresentar a resistência necessária para cada dente, para

um eixo de diâmetro equivalente.

A tensão de cisalhamento é calculada a partir do diâmetro primitivo da estria, e a área

de cisalhamento é dada por:


87

Ad L

S

p=π . .

2 (3.33)

A tensão de cisalhamento pode ser calculada, considerando a afirmativa da SAE de

que apenas 25% dos dentes do eixo estriado apresentam contato perfeito e, conseqüentemente,

sofre mais intensamente o cisalhamento. Para isso, basta considerar 1/4 da área de

cisalhamento. Assim:

τπ

≅ = = =4 4 8 16

2

F

A

T

r A

T

d A

T

d LS p S p S p. . . . (3.34)

No qual T é o torque ao qual o eixo está submetido. Qualquer tensão de compressão na

estria, deve ser calculada, e devidamente combinada com o cisalhamento. Se a carga

corresponde simplesmente à torção estática pura, então a tensão de cisalhamento, obtida

através da equação (3.34), é comparada com o limite de escoamento por cisalhamento do

material Sys, de modo a obter o fator de segurança N. Se o carregamento é flutuante, ou a

compressão está presente, a tensão aplicada deve ser convertida para tensão de Von Mises, e

convenientemente comparada no diagrama modificado de Goodman.

3.1.12.4 Montagem por Interferência

Outro modo comum de acoplar radialmente acessórios aos eixos é através de pressão

ou ajuste por interferência. O ajuste por pressão é obtido através da usinagem do orifício do

acessório com uma diferença mínima entre seu diâmetro e o diâmetro do eixo, como é

mostrado na Figura 3.7. As duas partes são, então, forçadas lentamente para o encaixe,

usando, de preferência, um lubrificante aplicado na junção. A deflexão elástica, tanto no eixo

quanto no acessório, atua gerando uma elevada força normal e de atrito entre as partes. A

força de atrito transmite o torque do eixo para o acessório, como também resiste aos esforços

axiais. A “American Gear Manufactures Association” (AGMA) publicou a norma AGMA

9003-A91, Flexible Couplings-Keyless Fits, na qual define expressões para o cálculo do ajuste

por interferência.

Somente diâmetros relativamente pequenos podem ser acoplados por pressão, sem que

a força necessária exceda o limite que a peça suporta. Para peças maiores, o ajuste por

interferência pode ser feito pelo aquecimento do acessório, provocando a expansão de seu


88

diâmetro interno, e/ou através do resfriamento do eixo, de modo a reduzir o seu diâmetro. As

partes quente e fria podem, então, ser acopladas através de um leve esforço axial e, quando

alcançarem o equilíbrio térmico com o ambiente, suas variações de dimensões criarão a

interferência ou o contato por atrito desejado. Outro método consiste em expandir o acessório

hidraulicamente com óleo pressurizado, através de dutos em contato interno com o acessório.

Esta técnica é também utilizada para desacoplar o acessório do eixo.

A interferência necessária para se alcançar uma junção adequada, varia com o

diâmetro do eixo. Aproximadamente 0,001 a 0,002 unidades de interferência diametral, por

unidade de diâmetro do eixo, é a opção típica para os mais diversos tamanhos de eixo. Por

exemplo, a interferência para um eixo de 2 in de diâmetro pode ser algo em torno de 0.004 in.,

mas um eixo de 8 in de diâmetro permite uma interferência entre 0.009 a 0.010 in. Outra regra

simples é utilizar 0,001 in de interferência para diâmetros próximos a 1 in, e 0,002 in de

interferência para diâmetros entre 1 e 4 in.

Figura 3.7 - Montagem com Interferência.

A fixação por interferência gera um estado de tensão semelhante a um eixo submetido

a uma distribuição uniforme de pressão em sua superfície. O cubo, ou elemento associado,

sofre o mesmo estado de tensão que um cilindro sob pressão distribuída internamente. As

equações para o estado de tensão em cilindros sob pressão interna dependem das pressões

aplicadas e do raio do elemento. A pressão P, criada pelo ajuste por pressão, pode ser obtida

pela deformação do material, causada pela interferência:

Pr

E

r r

r r

r

E

r r

r ri

o

o

oo

i

i

i

=+−

+

+ +

−−

052 2

2 2

2 2

2 2

. δ

ν ν

(3.35)

EIXO

CUBO

ri

r r

ro

∆r


89

No qual δ=2∆r é a interferência diametral total entre as partes, r é o raio nominal da

interface entre as partes, r i é o raio interno do eixo (se o mesmo for tubular) e ro é o raio

externo relativo ao cubo do acessório, como mostra a Figura 3.7. E e ν são o Módulo de

Young e o Coeficiente de Poisson dos materiais de ambas as partes, respectivamente.

O torque máximo a ser transmitido por um ajuste por interferência, pode ser definido

em função da pressão P na interface, a qual cria uma força de atrito em relação ao raio do

eixo.

PLrT µπ 22= (3.36)

No qual L é o comprimento do cubo do elemento acoplado radialmente ao eixo, r é o

raio do eixo, e µ é o coeficiente de atrito entre o eixo e o cubo. A norma da AGMA sugere

valores para µ entre 0,12 e 0,15, para acessórios expandidos hidraulicamente; e entre 0,15 e

0,20, para acessórios montados sob pressão. A norma AGMA assume (e recomenda) uma

superfície de rugosidade igual a 32 µin rms (1,6 µm Ra), a qual requer um bom acabamento

das partes. As equações 3.35 e 3.36 podem ser combinadas, para fornecer a expressão que

define o torque obtido a partir de uma particular interferência, coeficiente de atrito e

geometria:

TLr

E

r r

r r E

r r

r ri

o

o

oo

i

i

i

=+−

+

+ +

−−

π µδ

ν ν1 12 2

2 2

2 2

2 2

(3.37)

A pressão P é utilizada para obter o estado de tensão, radial e tangencial, em cada

parte.

Para o eixo, tem-se:

σTEi

i

Pr r

r r= − +

−

2 2

2 2 (3.38)

σRE P= − (3.39)


90

No qual r i é o raio interno de um eixo tubular. Se o eixo for sólido, r i será nulo.

Para o elemento associado ao eixo, tem-se:

σTAo

o

Pr r

r r= +

−

2 2

2 2 (3.40)

σRA P= − (3.41)

Este estado de tensão deve ser mantido abaixo do limite de escoamento do material

utilizado, de modo que a interferência possa ser mantida. Caso a interferência não suporte a

carga, o acessório provavelmente danificará o eixo.

Concentração de tensões ocorre devido à existência de uma tensão de compressão

neste tipo de montagem, principalmente nas extremidades do acessório, onde ocorre uma

variação abrupta entre o material comprimido e o não comprimido. A concentração de tensões

ocorre, principalmente, nos cantos vivos, e pode ser reduzida com o uso de um entalhe

circunferêncial no elemento associado, em uma região próxima ao eixo. Tais entalhes

aumentam a resistência do acessório em fletir com o eixo, e ainda minimizam o acúmulo de

tensões.

A Figura 3.8 mostra algumas curvas de fatores de concentração de tensão para ajustes

por interferência entre eixos e acessórios. Os valores nas abcissas são as razões entre os

comprimentos dos acessórios e os diâmetros dos eixos. Estes fatores geométricos de

concentração de esforços são aplicados da mesma maneira que antes. Para carregamentos

estáticos, devem ser usados para determinar se o limite local irá comprometer a interferência.

Para carregamentos dinâmicos, variam para cada material, fornecendo o fator de fadiga para

concentração de tensão.


91

Figura 3.8 - Concentração de Tensão em Montagem com Interferência.

3.2. PROJETO DE VOLANTES

Um volante é usado para suavizar variações na velocidade, geralmente causadas por

flutuações de torque. Muitas máquinas estão sujeitas aos carregamentos que causam a

variação da função do torque no tempo. Pistões de compressores, prensas de estampagem,

trituradores de rochas, etc., possuem carregamentos variáveis no tempo. O motor primário

também pode introduzir oscilações no torque do eixo transmissor. Motores de combustão

interna com um ou dois cilindros são um exemplo. Outros sistemas podem apresentar fontes

de torque e de carregamento suaves, como um gerador elétrico, acionado por uma turbina a

vapor. Estes dispositivos não necessitam de um volante. Se a fonte do torque ou do

carregamento possui uma natureza flutuante, então o volante é normalmente utilizado.

Um volante é um dispositivo armazenador de energia. Ele absorve e armazena energia

cinética quando acelerado, restituindo energia ao sistema quando necessário, através da


92

diminuição de sua velocidade rotacional. A energia cinética Ek em um sistema rotativo é dada

por:

2mI

2

1 ω=kE (3.42)

No qual Im é o momento de inércia de todas as massas rotativas do eixo, na direção de

rotação, e ω é a velocidade rotacional do eixo. O momento de inércia Im inclui o motor e

qualquer outra massa rotativa com o eixo, além do volante.

Volantes podem ser simples, como um disco cilíndrico de um material sólido, ou um

dispositivo com raios, cubo e coroa. Este último arranjo é mais eficiente para qualquer

material, especialmente para grandes volantes, uma vez que concentra a maior parte da massa

na borda, ou ainda, na extremidade de maior raio. Desde que o momento de inércia de massa

Im de um volante é proporcional a mr2, a massa localizada em um raio maior apresenta um

efeito de inércia muito mais acentuado. Se for assumida uma geometria de disco sólido, com

raio interno r i e raio externo ro, o momento de inércia de massa é:

( )Im = +m

r r i2

02 2 (3.43)

A massa de um disco circular vazado, de espessura constante t é:

( )trrgg

Wm i

220 −== γπ (3.44)

Substituindo (3.44) na equação (3.43), obtem-se uma expressão para Im, em função da

geometria do disco:

( )Im = −π γ2

04 4

gr r ti (3.45)

No qual γ é a densidade de peso do material, e g é a constante gravitacional.


93

Existem dois estágios no projeto de um volante. No primeiro estágio, a quantidade de

energia exigida, para o grau de suavidade desejado, deve ser estimada, e o momento de inércia

necessário para absorver esta energia deve ser determinado. Então, no segundo estágio, a

geometria do volante deve ser definida, para suprir o momento de inércia de massa em um

elemento de dimensão razoável e, ao mesmo tempo, seguro contra falhas em velocidades de

projeto.

3.2.1 Variação da Energia em um Sistema Rotativo

A Figura 3.9 mostra um volante, projetado como um disco circular plano, vinculado a

um eixo de motor. O motor fornece um torque de magnitude Tm, o mais constante possível, ou

seja, próximo ao valor do torque médio Tavg. Assume-se que o carregamento, após o volante,

demande um torque Tl, variante no tempo. Esta variação de torque pode causar a variação da

velocidade do eixo, dependendo da característica torque-velocidade do motor de acionamento.

Necessita-se determinar o momento de inércia Im a ser acrescentado, na forma de um volante,

para reduzir a variação da velocidade do eixo a um nível aceitável no sistema.

Figura 3.9 - Volante em um eixo de Transmissão.

Pela Lei de Newton, para o diagrama de corpo livre da figura 3.9:

αmI=∑T então αmI=− ml TT (3.46)

Sabe-se que o ideal seria um valor médio constante para o torque:

avgm TT = ou ainda αmI=− avgl TT (3.47)

Motor Eixo

Volante

Tm

Tl


94

Substituindo α na expressão (3.47):

θωωθ

θωωα

d

d

dt

d

d

d

dt

d =

== (3.48)

θωω

d

dTT avgl mI=− e então ( ) ωωθ dIdTT mavgl =− (3.49)

Integrando (3.49) obtem-se:

( ) ∫∫ =−→

→

max

min

max

minmI

ω

ω

ωθ

ωθωωθ ddTT avgl ou ( )

→

→−=−∫

2min

2maxmI

2

1max

minωωθ

ωθ

ωθdTT avgl (3.50)

O lado esquerdo da expressão (3.50) representa a variação na energia cinética Ek, entre

os valores máximo e mínimo da velocidade angular ω do eixo, sendo igual à área do diagrama

torque-tempo, entre os valores extremos de ω.

O lado direito da equação (3.50) é a variação da energia cinética armazenada no

volante. Para extrair a energia cinética do volante deve-se desacelerá-lo. É impossível obter

uma velocidade exatamente constante do eixo, em face de demanda de energia variável

devido à carga. É possível, contudo, minimizar a variação da velocidade (ωmax - ωmin) através

de um volante, com Im suficientemente elevado.

3.2.2 Determinação da Inércia de um Volante

Trata-se de determinar as dimensões de um volante, necessárias para absorver a

variação de energia cinética, com uma variação aceitável de velocidade angular ω. A variação

da velocidade do eixo, durante um ciclo, é chamada de flutuação Fl:

Fl max min= −ω ω (3.51)

Normalizando a flutuação para uma razão admensional, dividindo-a pela média da

velocidade do eixo, obtem-se o coeficiente de flutuação Cf :


95

( )Cf

max min

avg

=−ω ω

ω (3.52)

Este coeficiente de flutuação é um parâmetro de projeto a ser definido pelo projetista.

É tipicamente utilizado um valor entre 0,001 e 0,05 para máquinas de precisão e, de 0,20 para

máquinas de triturar ou de martelar, o que corresponde de 1 a 5% de flutuação na velocidade

do eixo. Quanto menor o valor selecionado, maior deverá ser o volante. Por sua vez, um

volante maior acarretará maior custo, acrescentando mais peso ao sistema, fatores estes a

serem considerados, em detrimento da suavidade da operação desejada.

A variação requerida na energia cinética Ek, através da integração da curva do torque:

( ) kavgl EdTT =−∫ θωθ

ωθ

max

min

@

@ (3.53)

Igualada ao lado direito da equação (3.50):

( )2min

2max2

1 ωω −= mk IE (3.54)

Fatorando esta expressão:

( )( )minmaxminmax2

1 ωωωω −+= mk IE (3.55)

Se a função torque x tempo for puramente harmônica, então seu valor médio pode ser

expresso como:

( )2

minmax ωωω +=avg (3.56)

As funções de torque raramente serão harmônicas puras, porém o erro introduzido

através do uso da expressão (3.56), como uma aproximação da média, é aceitável.

Substituindo as equações (3.52) e (3.56) na equação (3.55), obtemos uma expressão para o


96

momento de inércia de massa Is, necessário ao sistema rotativo completo, para se obter o

coeficiente de flutuação selecionado.

( )( )avgfavgsk CIE ωω22

1= ou ainda 2avgf

ks

C

EI

ω= (3.57)

A equação (3.57) pode ser usada para projetar o volante físico, através da escolha de

um coeficiente de flutuação Cf adequado, e do valor de Ek, obtido de uma integração numérica

da curva de torque, além da velocidade angular ω média do eixo, para calcular o Is necessário

do sistema. O momento de inércia de massa Im do volante físico é, então, igualado ao

momento de inércia requerido do sistema Is. Porém, se os momentos de inércia de massa dos

demais elementos rotativos do eixo (como o motor) são conhecidos, o momento Im do volante

físico pode ser reduzido.

O projeto mais eficiente de volante, em termos da maximização do momento de

inércia Im, para um mínimo de material utilizado, é tal que a massa seja concentrada na sua

coroa, e seu cubo seja suportado por raios, como uma roda de carruagem ou bicicleta. Desta

forma, a maior parte da massa localiza-se a uma distância maior possível do cubo,

minimizando o peso para um dado Im. Mesmo que um projeto de volante circular plano seja

escolhido, por simplicidade de manufatura, ou para se obter uma superfície plana para outras

funções (como uma embreagem de automóvel), o projeto deve ser feito com a devida atenção

para a redução do peso e, consequentemente, do custo.

Como, geralmente, Im = mr2, um disco estreito e de grande diâmetro exigirá menor

massa de material, para obter um certo valor de Im, que um disco mais espesso e de diâmetro

menor. Materiais densos, como ferro fundido e aço, são as melhores escolhas para um volante.

O alumínio é raramente empregado e, apesar de muitos metais (chumbo, ouro, prata, platina)

serem mais densos que o ferro e o aço, raramente se conseguirá a aprovação do departamento

financeiro para o uso destes em volantes.

3.2.3 Tensões em Volantes

Conforme um volante gira, a força centrífuga atua em sua massa distribuída, tentando

puxá-la para fora. Estas forças centrífugas são similares àquelas causadas por uma pressão

interna em um cilindro. Deste modo, o estado de tensão em um volante girando, é análogo a


97

um cilindro de parede espessa sob pressão interna. A tensão tangencial em um volante sólido,

na forma de disco, em função de seu raio é:

++−++

+= 22

22222

3

31

8

3r

r

rrrr

goi

oit νννωγσ (3.58)

A tensão radial é dada por:

σγ

ων

r i oi o

gr r

r r

rr=

+

+ − −

2 2 2

2 2

223

8 (3.59)

No qual γ = densidade de peso do material, ω = velocidade angular em rad/sec, ν =

coeficiente de Poisson, r = raio de um ponto de interesse, r i e r0 = raios interno e externo do

volante sólido, respectivamente.

A figura 3.10 mostra como estas tensões variam ao longo do raio do volante. A tensão

tangencial é máxima no raio mais interno. A tensão radial, por sua vez, é nula nos raios

interno e externo, e seu valor máximo ocorre em um ponto interno, porém em uma posição

em que supera a tensão tangencial correspondente ao mesmo ponto. O ponto de maior

interesse é, portanto, no raio interno. A tensão tangencial de tração, neste ponto, é responsável

pela falha do volante e, quando ocorre à fratura, o volante fragmenta-se e explode, com

resultados extremamente desastrosos. Sendo as forças causadoras das tensões, funções da

velocidade rotacional, sempre haverá alguma velocidade em que o volante falhará. A

velocidade de operação mais segura deverá ser calculada para o volante, e algumas medidas

devem ser tomadas para impedir sua operação a velocidades mais altas, como um controle de

velocidade ou um limitador de velocidade. O fator de segurança contra o excesso de

velocidade de rotação pode ser determinado como o quociente entre a velocidade que causa

escoamento e a velocidade de operação, Nos = ωyield / ω.

Critério de Falha para o Volante

Se o volante passa a maior parte de sua vida útil, operando a uma velocidade

praticamente constante, então se pode considerar o carregamento estático, e o limite de


98

escoamento é utilizado como um critério de falha. O número de ciclos partida-parada, em seu

regime de operação, determinará se uma condição de fadiga no carregamento deve ser

considerada. Cada variação da velocidade, partindo do repouso, até a velocidade operacional e

vice-versa, constitue um ciclo de tensão flutuante. Se o número desses ciclos superar a vida

prevista em projeto do sistema, então o critério de falha por fadiga deve ser aplicado. Um

regime de fadiga de baixo ciclo requer uma análise de falha por fadiga baseada na

deformação, ao invés de tensão, particularmente se existe a possibilidade de qualquer excesso

de carregamento transiente, que possa causar tensões locais excessivas, superando o limite de

escoamento nas localidades de concentrações de tensão.

(a) (b)

Figura 3.10 - Distribuição de tensão tangencial (a) e radial (b).

3.3. ACOPLAMENTOS

3.3.1 Introdução

Os acoplamentos são utilizados para unir subsistemas ou componentes de máquinas

rotativas. Se os acoplamentos forem projetados apropriadamente, eles podem diminuir a

sensibilidade relativa ao desalinhamento que existe entre os componentes acoplados. Uma

ampla variedade de acoplamentos axiais comerciais entre eixos está disponível, desde

acoplamentos rígidos, até projetos mais elaborados, que utilizam engrenagens, elastômeros,

ou fluidos para transmitir torque entre eixos, ou para outros dispositivos, quando na presença

de vários tipos de desalinhamentos. Os acoplamentos podem ser, de modo geral, divididos em

duas categorias: rígidos e flexíveis. Acoplamentos flexíveis, dentro deste contexto, incluem os

acoplamentos que podem absorver algum desalinhamento entre dois eixos, enquanto que para

acoplamentos rígidos, nenhum desalinhamento é permitido entre os eixos conectados.

Raio do Volante

Raio do Volante Tensão Tangencial

Tensão Radial


99

O desalinhamento entre os rotores é uma condição na qual as linhas de eixo destes não

são geometricamente coincidentes. Existem três tipos de desalinhamentos entre os rotores: o

paralelo, o angular, e o axial. Entretanto, na realidade, o desalinhamento entre rotores é uma

combinação dos três tipos de desalinhamento (paralelo, angular, e axial) como é mostrado na

Figura 3.11. O alinhamento perfeito entre os rotores acoplados é difícil de ser obtido devido a

muitos fatores práticos, e ainda se obtido, é difícil de ser mantido durante o tempo de

operação dos sistemas mecânicos. O grau de desalinhamento entre eixos permitido pelos

acoplamentos é variável, e depende do tipo de acoplamento usado. O desalinhamento pode

causar forças radiais que atuam sobre o sistema. Se estas forças radiais forem consideráveis,

os componentes tais como os mancais, selos e eixos, poderiam sofrer tensões indevidas, e

falhar prematuramente. Os materiais mais flexíveis exercem forças radiais menores do que as

exercidas pelos materiais mais rígidos.

A freqüência natural de um sistema pode ser alterada através da variação da inércia de

qualquer um de seus componentes, ou da rigidez do acoplamento usado. Depois que um

sistema é projetado, torna-se difícil e custoso alterar a inércia dos componentes. Portanto, a

seleção do acoplamento é usada para alterar a freqüência natural do sistema.

Em resumo, as funções dos acoplamentos mecânicos podem ser: transmissão de

potência, facilitar a montagem e desmontagem das máquinas, isolar e amortecer as vibrações

torcionais, permitir o movimento axial devido à expansão ou contração térmica, absorção do

movimento axial para prever o carregamento axial ou manter a peça alinhada, permitir

desalinhamento angular, paralelo ou misto. Entretanto, se o desalinhamento não for

minimizado, as conseqüências podem ser: ruído, vibração, perda de potência, rápido desgaste

dos mancais, selos e montagens, dano ou falhas das engrenagens, falha por fadiga do eixo e

falha do acoplamento.


100

Desalinhamento Paralelo

Desalinhamento Axial Desalinhamento Angular

Desalinhamento Real

DesalinhamentoAxial

DesalinhamentoAngular

DesalinhamentoParalelo

DesalinhamentoTorcional

Figura 3.11 - Tipos de desalinhamento entre eixos acoplados.

3.3.2 História dos Acoplamentos Mecânicos

O desenvolvimento dos acoplamentos está intimamente relacionado com o

desenvolvimento da roda, ainda que só tenha ocorrido a quase cinco milênios depois.

Enquanto os primeiros registros de rodas datam de 5000 A.C., os acoplamentos não

antecedem os 300 A.C., sendo utilizados pelos Gregos, os quais correspondiam a uma junta

universal. Os Chineses foram os primeiros a utilizar este conceito aproximadamente em 25

D.C..

A origem dos modernos acoplamentos é delegada a Jerome Cardan, que no século 16

inventou um mecanismo composto por dois braços de ligação, uma cruz e quatro mancais.

Este acoplamento foi o antecessor comum de todos os acoplamentos flexíveis, e atualmente

ainda é utilizado, e continuamente melhorado com a tecnologia. Porém, ele não projetou a


101

junta que leva seu nome, Junta Cardan, tendo desenvolvido apenas um de seus componentes.

A Junta Cardan também é conhecida como “Junta Hooke”. A primeira aplicação para esta

junta foi desenvolvida por Robert Hooke por volta do ano de 1650, quando também

equacionou as flutuações na velocidade angular causadas por uma Junta Cardan.

No século subseqüente, quase não há registros de avanços nos acoplamentos. Estes só

começaram a surgir novamente com a Revolução Industrial, e especialmente, com a revolução

automobilística, que motivou o desenvolvimento de muitos acoplamentos flexíveis. Roots F.

(1886), teorizou que, em se afinando a seção da flange de um acoplamento rígido, esta poderia

ter certa flexibilidade que preveniria falhas para o equipamento e o eixo. Esta idéia foi a

precursora dos acoplamentos de diafragma atuais. O acoplamento de compressão de Davis foi

desenvolvido para eliminar o uso de chavetas, através do uso de cubos em compressão sobre

os eixos, acreditando-se que eram os mais seguros. Acredita-se que o primeiro acoplamento

de correntes foi aquele descrito em maio de 1914, na revista Americana “Scientific

American”.

Na década de 20, a indústria dos acoplamentos flexíveis expandiu-se rapidamente,

motivada diretamente pela invenção do automóvel. Surgiram muitos novos modelos e

empresas especializadas no assunto, entre eles as companhias “Thomas Flexible Coupling”,

“Ajax Flexible Coupling” e outras. Este desenvolvimento teve continuidade nas décadas de 30

e 40. Neste período, foram introduzidos os acoplamentos flexíveis de uso geral dentro do

mercado industrial. Entre os acoplamentos mais utilizados pode-se citar: de corrente, de

grade, de garras, de engrenagem, de disco, de bloco quadrado corrediço e a junta universal.

A partir da segunda metade da década de 40 até a década de 50, observou-se um rápido

avanço tecnológico e a introdução de equipamentos rotativos de maior porte e de maior

torque, levando à necessidade de acoplamentos com capacidade de maior torque e de

assimilação de maiores desalinhamentos. Neste período, foi desenvolvido por completo o

acoplamento de engrenagens de perfil envolvente, introduzido na indústria de aço. A

utilização de turbinas a gás em aplicações industriais (geradores, compressores) tornou-se

popular, e com isso tornaram-se necessários os acoplamentos com maiores velocidades de

operação. Portanto, os acoplamentos de engrenagens e de disco foram melhorados para suprir

essas necessidades. Entretanto, com o aumento da velocidade de operação, necessitou-se de

acoplamentos mais leves e com características torcionais. Esses acoplamentos com

características torcionais utilizam materiais como os elastômeros, que suavizam o


102

funcionamento do sistema, e em alguns casos, são capazes de absorver ou amortecer os

carregamentos de pico causados pelas oscilações torcionais.

Na década de 60 houve uma maior exigência em relação às máquinas rotativas com

maior torque e maiores velocidades de operação, observando-se a introdução de novos tipos

de acoplamentos. Alguns fabricantes lançaram acoplamentos de engrenagens padronizados,

muito utilizados no mercado. Os acoplamentos de grade e de corrente eram populares para as

aplicações gerais e os acoplamentos de pneus de borracha eram oferecidos em modelos

próprios por cada fabricante. Durante este período, foram introduzidos acoplamentos de

elastômeros sofisticados para resolver os diferentes problemas que eventualmente surgiam nos

sistemas. A utilização de acoplamentos sem lubrificação cresceu rapidamente neste período,

ou seja, até a primeira metade da década de 80.

Os avanços nos acoplamentos desde a segunda metade da década de 80 até os dias

atuais ficaram por conta da melhoria dos materiais, da análise através dos elementos finitos e

novos métodos de fabricação. Os acoplamentos sem lubrificação, ao serem projetados através

da análise de elementos finitos, são mais confiáveis e tem maiores capacidades. Os avanços

nos equipamentos de controle numérico (CNC), permitiram o desenvolvimento de

acoplamentos de diafragma de uma só peça, eliminando-se, dessa forma, a utilização da solda.

A otimização da forma e a melhoria nos materiais dos elastômeros do projeto permitiram

maior capacidade e maior tempo de vida útil nos acoplamentos de elastômeros.

Atualmente, tem-se, principalmente, o desenvolvimento de micro-mecanismos, além

de melhorias contínuas nos acoplamentos já em uso, direcionados para aplicações específicas

em miniaturas (servomecanismos, equipamentos de oficina, e mecanismos pequenos), ou

então para acoplamentos com excessivas exigências de potência.

3.3.3 Classificação dos Acoplamentos Mecânicos

No mercado há uma vasta variedade de acoplamentos mecânicos disponibilizados, os

quais, em geral, são agrupados em acoplamentos rígidos e acoplamentos flexíveis. Este

segundo grupo é dividido em vários subgrupos. Rivin E.(1986), propôs uma classificação dos

acoplamentos considerando a função do acoplamento nos sistemas de transmissão. Nessa

classificação ele subdividiu os acoplamentos flexíveis em: Acoplamentos com compensação

de desalinhamento, Acoplamentos torcionalmente flexíveis e Acoplamentos de propósito

mistos.


103

Marangoni R., Xu M. (1990) classificaram os acoplamentos flexíveis em 4 tipos, de

acordo com seus princípios de operação, denominando cada grupo como: Acoplamentos

mecanicamente flexíveis; Acoplamentos de membranas metálicas; Acoplamentos de

elastômeros; Acoplamentos de miscelâneas (mistos). Childs D., et al. (1992), agruparam os

acoplamentos em 3 grandes grupos, sendo que os 2 últimos grupos correspondem aos

acoplamentos flexíveis: O primeiro deles não utiliza componentes intermediários entre as

superfícies em contato do acoplamento, além de uma camada de lubrificação, ou não,

dependendo da flexibilidade das superfícies em contato; O segundo grupo utiliza uma peça

intermediária de ligação entre as superfícies em contato do acoplamento. Esta peça pode ser

metálica, ou um elastômero, a qual tem características próprias de rigidez e amortecimento,

assim como suas condições de balanceamento. Hodowanec M. (1997), classificou-os em 2

tipos: acoplamentos flexíveis metálicos e acoplamentos flexíveis de elastômeros.


104

Figura 3.12 – Classificação geral dos acoplamentos mecânicos

Finalmente Mancuso J. (1999), fez uma classificação de acoplamentos similar àquela

publicada por Xu M., Marangoni R. (1990), com a diferença de que Mancuso acrescenta uma

classificação das aplicações dos acoplamentos, como é mostrada na Figura 3.12. De acordo

com o texto anterior, não existe uma classificação única para os acoplamentos flexíveis, mas a

mais completa até o presente momento é a citada por Mancuso.

Acoplamentos Rígidos

Acoplamentos Flexíveis

Acoplamento Flexível

Miniatura

Acoplamento Industrial de

Propósito Geral

Acoplamento Industrial de Propósito Especial

Acoplamento Rígido de Flanges

Mecanicamente Flexível Acoplamento de Engrenagem - sem lubrificação

Mecanicamente Flexível Acoplamento de Engrenagem - dentes retos - dentes de envolvente Acoplamento por Corrente - corrente de aço - corrente de náilon Acoplamento por Grade - tampa bipartida verticalmente - tampa bipartida horizontalmente

Mecanicamente Flexível Acoplamento de Engrenagem - de maior ângulo (gear spindle) - altas velocidades (lubrificação

selada) - altas velocidades (lubrificação

continua) - altas velocidades (lubrificação

continua, tipo marinha)

Acoplamento Rígido Bipartido

Elemento Elastomérico - acoplamento elastomérico de

uretano

Elemento Elastomerico Em Cisalhamento - pneu de uretano - pneu com fibra - câmara toroidal partida Em Compressão - câmara toroidal - calços - garras(dentado) - pinos e buchas

Elemento Elastomerico Em Cisalhamento - elastômero aderido nos cubos Em Compressão - calços

Acoplamento Rígido de Luva

Elemento Metálico Acoplamento de viga metálica Acoplamento de disco metálico Acoplamento de sanfona

metálico

Elemento Metálico De Disco - disco circular - disco quadrado - disco curvado (Scalloped) - discos articulados

Elemento Metálico De Disco - de momento reduzido(Scalloped) - tipo da marinha (Scalloped) - arranjo de discos De Diafragma - cônico (soldada) - de peça única - retas múltiplas - de convolutas múltiplas

Acoplamento Rígido de eixo oco

Miscelâneas - de pino e bucha - de viga metálica - de bloco quadrado corrediço

Miscelâneas - tipo excêntrico (Schmidt) - de mola tangencial


105

3.3.3.1 Acoplamentos Rígidos

Acoplamentos Rígidos travam os dois eixos conectados, não permitindo movimento

relativo entre eles, apesar de algum ajuste axial ser possível na montagem.

Estes acoplamentos são utilizados quando não há desalinhamento ou quando este

desalinhamento é muito pequeno, ou ainda, quando os eixos do equipamento ou do

acoplamento (rígido de eixo vazado) são muito robustos, ou seja, longos e suficientemente

finos para que possam flexionar e assimilar as forças e os momentos de reação produzidos

pela deflexão mecânica dos acoplamentos rígidos, impostas pelo desalinhamento. Nestes

casos, estes acoplamentos são muito eficientes na conexão de equipamentos. Em geral, estes

acoplamentos permitem a transferência de potência de uma peça para outra do equipamento.

Eles permitem também a conexão de eixos de diferentes dimensões.

São aplicados na união de eixos perfeitamente alinhados, quando precisão e fidelidade

na transmissão do torque são de extrema importância, como por exemplo, quando a relação de

fase entre dispositivos acionadores e os acionados deve ser precisamente mantida. Máquinas

de produção automatizadas, acionadas por longos eixos lineares, geralmente utilizam

acoplamentos rígidos, entre seções de eixos, por esta razão. O alinhamento entre eixos

acoplados deve ser ajustado com precisão, para evitar a introdução de grandes forças laterais e

momentos, quando o acoplamento é posicionado.

Alguns exemplos de acoplamentos rígidos comerciais são ilustrados a seguir. Há três

tipos principais: acoplamento por engrenamento plano, acoplamento por flanges e

acoplamento bipartido.

Acoplamentos por engrenamento plano ou bucha: utilizam um parafuso de elevada

dureza, que perfura o eixo para transmitir torque e carregamento axial. Estes acoplamentos

são recomendados somente para aplicações de carregamento leve, podendo afrouxar-se com

maiores níveis de vibração.

O acoplamento rígido de bucha (com ou sem luva) é uma das mais simples formas de

acoplamentos, utilizada para transmissões de frações de 1 hp, na qual os eixos conectados são

de mesmo diâmetro, sendo que estes acoplamentos são fixados nos eixos por parafusos. Na

indústria, não há um padrão para este tipo de acoplamento, sendo que os de maiores

dimensões são fornecidos com buchas substituíveis para montagem e desmontagem. Os

acoplamentos mais simples são utilizados nas transmissões motor-bomba e os mais

sofisticados para aplicações de maior torque, como eixos de propulsão da marinha.


106

Figura 3.13 - Acoplamento por Engrenamento Plano ou Bucha.

Acoplamento por flanges: utiliza chaveta convencional e pode transmitir um torque

substancial. Parafusos são geralmente utilizados em combinação com a chaveta, estando

localizados a 90o da chaveta. Para fixação própria contra vibração, um parafuso de pressão

com ponta cavada é utilizado para atravessar o eixo. Para maior segurança, o eixo pode ser

provido de um furo raso vazado, sob o parafuso de pressão, para fornecer uma interferência

mecânica contra um deslizamento axial, ao invés de contar somente com o atrito.

Os acoplamentos de flanges rígidas são provavelmente o tipo mais comum de conexão

rígida. Seu projeto é limitado pelo número, tamanho e tipo de parafuso usado. Nas diferentes

análises de tensão, que usualmente são consideradas, os limites deveriam considerar as

tensões nos parafusos, cubos e nos flanges. Estes acoplamentos podem ser usados quando não

há desalinhamento ou quando estes forem virtualmente nulos. Algumas aplicações são as

bombas (verticais, horizontais) e as transmissões de guindastes.

Figura 3.14 - Acoplamento por Flanges.

Acoplamentos bipartidos: existem diversos projetos, sendo mais comuns os

acoplamentos de uma-ou-duas-partes bipartidas, que se ajustam ao redor de ambos eixos,

transmitindo torque através do atrito. O acoplamento rígido bipartido é usado onde a

facilidade de montagem e desmontagem é requerida. O eixo e o cubo do acoplamento são

geralmente chavetados. As duas metades são unidas rigidamente por parafusos radiais na

região segmentada, cujo número de parafusos pode variar dependendo do tamanho do


107

acoplamento. O torque é transferido de uma metade para outra, pela força de atrito produzida

pelos parafusos. Estes acoplamentos são amplamente utilizados para aplicações de baixo

torque e baixa velocidade, tais como em bombas verticais, agitadores, transmissão de guincho

e muitos outros tipos de aplicações.

3.3.3.2 Acoplamentos Flexíveis ou de Compensação.

Os acoplamentos flexíveis unem dois eixos de equipamento rotativos, enquanto

permitem algum grau de desalinhamento ou movimento relativo dos extremos dos eixos. As

três funções básicas deste tipo de acoplamento são: transmitir potência de uma máquina para

outra sob a forma de torque numa dada velocidade (dependendo das características do

acoplamento, a eficiência da transmissão será melhor ou pior); assimilar o desalinhamento

entre as linhas de centro dos eixos conectados, que podem ser paralelo, angular, ou misto,

sendo este último o que mais ocorre na realidade; compensar o movimento axial nos extremos

dos eixos conectados, sendo também possível restringí-los. Além das funções básicas

descritas, os acoplamentos flexíveis podem ter outras funções como: amortecer a vibração e

reduzir as cargas de choque ou pico; proteger o equipamento de sobrecargas; medir torques de

saída no equipamento acionado; isolar o equipamento motriz do equipamento acionado;

posicionar o rotor de um motor ou gerador, e para posicionar o sistema fora de seu modo

crítico torcional.

Um eixo, considerado como um corpo rígido, tem seis graus de liberdade, em relação a

um segundo eixo. Porém, devido à simetria, somente quatro desses graus de liberdade são de

interesse. Eles estão associados ao desalinhamento axial, angular, paralelo e torcional, como

mostrado na figura 3.11. Estes podem ocorrer separadamente ou em combinação, e podem

estar presentes na montagem, devido às tolerâncias de manufatura, ou podem ocorrer durante

a operação, devido aos movimentos relativos dos dois eixos.

Mesmo que o alinhamento entre os eixos adjacentes seja preciso, podem ocorrer

desalinhamento axial, angular e paralelo, em qualquer máquina em funcionamento. O

desalinhamento torcional ocorre, dinamicamente, quando a carga acionada tende a prender o

motor acionador. Se o acoplamento permite qualquer folga angular, haverá recuo quando o

torque inverter de sinal. Isto é indesejável no caso da necessidade de precisão da fase, como

em servomecanismos. Flexibilidade torcional, em um acoplamento, pode ser desejável, se

grandes carregamentos de choque, ou vibrações torcionais, devem ser isoladas entre os eixos.


108

Numerosos projetos de acoplamentos flexíveis são produzidos, oferecendo cada um,

uma diferente combinação de características. O projetista, geralmente, pode selecionar um

acoplamento adequado e disponível comercialmente, para qualquer aplicação. Acoplamentos

flexíveis podem ser divididos em diversas subcategorias, que estão listadas na Tabela 3.4,

juntamente com algumas de suas características.

Tabela 3.4 - Tipos de Acoplamentos - Tolerância de Desalinhamento.

Classe Axial Angular Paralelo Torcional Comentário

RÍGIDO grande nenhum nenhum nenhum alinhamento

preciso

ELÁSTICO DE

PINOS suave

suave

(< 2 graus)

suave

(3% d) moderado

absorção de

choque e recuo

ENGRENAGEM grande suave

(< 5 graus)

suave

(< 0.5% d) nenhum

recuo suave e

capacidade de

torque elevada

RANHURAS grande nenhum nenhum nenhum

recuo suave e

capacidade de

torque elevada

HELICOIDAL suave grande

( 20 graus)

suave

(< 1% d) nenhum

peça compacta,

sem recuo

BELLOWS suave grande

( 17 graus)

moderado

(20%d) nenhum

sujeito à falha

por fadiga

DISCO

FLEXÍVEL suave

suave

( 3 graus)

suave

( 2% d)

suave ou

nenhum

absorção de

choque, sem

recuo

HOOKE nenhum grande grande

(aos pares) nenhum

variação de

velocidade e

recuo suave

RZEPPA nenhum grande nenhum nenhum velocidade

constante

Acoplamentos com elemento elástico deformável: apresenta dois cubos (geralmente

idênticos) com pinos sobressalentes, como mostrado na Figura 3.15 (a) e (b). Estes pinos

encaixam-se axialmente, e engrenam torcionalmente através de um complemento flexível de


109

borracha ou metal-leve. A folga permite algum desalinhamento axial, angular e paralelo, mas

pode também permitir algum recuo indesejável.

(a)

(b)

Figura 3.15 - Acoplamento Elástico de Pinos: (a) Oldham e (b) Teteflex.

Acoplamentos de Discos Flexíveis: são similares ao anterior, pois seus dois cubos são

ligados por um membro flexível (disco) de elastômero ou metal elástico, como mostrado na

Figura 3.16. Estes acoplamentos permitem desalinhamento axial, angular e paralelo, com

alguma flexibilidade torcional, porém, permitem pouco ou nenhum recuo.

Figura 3.16 - Acoplamento de Discos Flexíveis.


110

Acoplamentos de engrenagens e ranhuras: utilizam dentes retos ou curvos

engrenados com dentes internos, como mostrado na Figura 3.17 (a). Permitem movimento

axial substancial entre eixos e, dependendo da forma do dente e das folgas entre eles, podem

absorver pequenos desalinhamentos angulares e paralelos. Possuem alta capacidade de torque,

devido ao número de dentes no engrenamento.

(a) (b) (c) (d)

Figura 3.17 - Acoplamentos Flexíveis: (a) de Engrenagens, (b) Tipo Bellows, (c) Junta Universal e (d) Helicoidal.

Acoplamentos Helicoidais e Tipo Bellows: são empregados em projetos que utilizam

suas deflexões elásticas para permitir desalinhamentos axial, angular e/ou paralelo, com

pouco ou nenhum recuo. Acoplamentos Helicoidais (Figura 3.17 (d)) são feitos de um cilindro

sólido de metal, cortado com uma fenda helicoidal para aumentar sua flexibilidade. Os tipos

bellows (Figura 3.17 (b)) são feitos de uma fina folha de metal, através da solda de uma série

de arruelas juntas. Estes acoplamentos têm capacidade de torque limitada, comparada a outros

projetos, mas oferece recuo zero e alta rigidez torcional, em combinação com desalinhamento

axial, angular e paralelo.

Juntas Universais: São de dois tipos comuns. O acoplamento Hooke (Figura 3.17

(c)), que não possui velocidade constante (CV) e o acoplamento Rzeppa, que possui

velocidade constante. Acoplamentos Hooke são, geralmente, usados aos pares para cancelar

seu erro de velocidade. Ambos os tipos podem lidar com grande desalinhamento angular e,

aos pares, podem fornecer grande compensação paralela também. Estes acoplamentos são

utilizados em eixos acionadores de automóveis.


111

Figura 3.18 - Acoplamento de Molas.

3.3.4 Critérios para Seleção de Acoplamentos.

Os acoplamentos são de vital importância para um sistema de transmissão de

potência, mesmo que o seu valor monetário não supere no geral 10% do custo total do

sistema. Entretanto, muitos projetistas consideram os acoplamentos como se estes fossem

peças de hardware. O tempo gasto na seleção de um acoplamento e a determinação de sua

interação com o sistema deve ser não só função do custo do equipamento, mas também função

do tempo de substituição ou de reparo devido a uma falha ocorrida. Em alguns casos, esta

análise pode envolver um curto período de tempo com base em experiências anteriores.

Entretanto, um sistema complexo pode requerer uma análise por elementos finitos e

eventualmente possíveis testes com protótipos devem ser feitos.

O projetista de um sistema deve selecionar um acoplamento que seja compatível com

o sistema. A complexidade e o aprofundamento do processo de seleção dependerá do quão

crítico e quão custoso será a parada para o usuário final. Segundo Mancuso J. (1999), existem

usualmente 4 passos que deveriam ser considerados para uma apropriada seleção de um

acoplamento:

• Revisão dos requerimentos iniciais para um acoplamento flexível e seleção do

tipo de acoplamento que melhor satisfaz o sistema;

• Fornecer ao fabricante a informação pertinente, para que o acoplamento possa

ser apropriadamente dimensionado, projetado e fabricado para satisfazer essas

necessidades. No mínimo 3 itens são necessários para dimensionar um acoplamento:

potência, velocidade e informação da interface;


112

• Obter informação sobre as características do acoplamento, devido a interação

deste com o sistema que deve ser analisado, para garantir compatibilidade e prever o

surgimento de forças e momentos prejudiciais. Sendo o acoplamento selecionado,

dimensionado e projetado adequadamente, não é garantida uma operação sem problemas.

Os acoplamentos geram suas próprias forças e podem também amplificar as forças do

sistema, mudando as características originais do sistema ou as condições de operação.

Algumas características do acoplamento que podem interagir com o sistema são: rigidez e

amortecimento torcional, folga, massa, efeito da rotação do volante do acoplamento,

centro de gravidade, quantidade de desbalanceamento, força axial, momento de flexão,

rigidez lateral, freqüências naturais axial, lateral e torcional. O efeito da rotação do volante

de um acoplamento é o produto da massa do acoplamento pelo quadrado do raio de

rotação (raio no qual a massa do acoplamento pode ser considerada concentrada);

• Verificar a interação com o sistema, e se as condições do sistema se alterarem,

deve-se contatar o fabricante para que as novas condições e seus efeitos sobre o

acoplamento selecionado possam ser analisadas. Repetir este processo até o sistema e o

acoplamento serem compatíveis. As características do acoplamento são utilizadas para a

análise do sistema axialmente, lateralmente, térmicamente e torcionalmente.

Uma razão importante para o balanceamento do acoplamento, é devido às forças

geradas pelo desbalanceamento do mesmo, as quais poderiam ser prejudiciais para o sistema

(equipamentos, mancais e estrutura de suporte). Existem na indústria 4 padrões de

balanceamento, que são mais freqüentemente utilizados para acoplamentos: API671,

AGMA9002, ANSI S2 19-1989, e ISO1940/1(1a edição, 1986-09-01). De todos eles, somente

um foi especificamente escrito para acoplamentos AGMA9002. Os outros três padrões usam

tolerâncias que foram desenvolvidas para rotores ou outras peças rotativas.

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