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Captulo 8

A linguagem da Lgica de Predicados

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Alfabeto Denio 8.1 (alfabeto)

O alfabeto da Lgica de Predicados constitudo por:

smbolos de pontuao:

( , );

smbolo de verdade:

false;

um conjunto enumervel de smbolos para variveis:

x, y, z, w, x1,y1,... ;

Alfabeto Denio 8.1 (alfabeto)

um conjunto enumervel de smbolos para funes:

f, g, h, f1, g1, h1, f2, g2, ... ;

um conjunto enumervel de smbolos para predicados:

p, q, r, p1, q1, r1, p2, q2, ... ;

Conectivos:

, , , . Associado a cada smbolo para funo ou predicado, temos um nmero inteiro no-negativo k.

Esse nmero indica a aridade, ou seja, o nmero de argumentos da funo ou predicado.

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Variveis.

Variveis e metavariveis.

Funes e predicados.

Constantes e smbolos proposicionais.

Conectivos.

Elementos Bsicos da Linguagem

Denio 8.2 (termo)

O conjunto dos termos da linguagem da Lgica de Predicados o menor conjunto que satisfaz as regras a seguir:

as variveis so termos;

se

t1, t2, ..., tn so termos e f um smbolo

para funo n-ria,

ento f(t1, t2, ..., tn) um termo.

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Denio 8.3 (tomo)

O conjunto dos tomos da linguagem da Lgica de Predicados o menor conjunto que satisfaz as regras a seguir:

o smbolo de verdade false um tomo;

se

t1, t2, ..., tn so termos e p um smbolo para predicado n-rio,

ento,

p(t1, t2, ..., tn) um tomo.

Denio 8.4 (frmula) O conjunto das frmulas da linguagem da Lgica de

Predicados o menor conjunto que satisfaz as regras a seguir.

Todo tomo uma frmula.

Se

H uma frmula,

ento

(H) uma frmula.

Se

H e G so frmulas,

ento

(H G) uma frmula.

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Denio 8.4 (frmula)

Se

H uma frmula e xuma varivel,

ento

((x)H) e ((x)H) so frmulas.

Denio 8.5 (expresso)

Uma expresso da Lgica de Predicados um termo ou uma frmula.

Denio 8.6 (subtermo, subfrmula, subexpresso)

Os elementos a seguir denem as partes de um termo ou frmula E.

Se

E = x,

ento

a varivel x um subtermo de E

Se

E = f(t1, t2, ..., tn),

ento

ti e f(t1, t2, ..., tn) so subtermos de E.

Se

t1 subtermo de t2 e t2 subtermo de E,

ento

t1 subtermo de E.

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Denio 8.6 (subtermo, subfrmula, subexpresso)

Se

E =(H)

ento

H e (H) so subfrmulas de E.

Se

E uma das frmulas (H G), (H G), (H G) ou (H G),

ento

H, G e E so subfrmulas de E.

Denio 8.6 (subtermo, subfrmula, subexpresso)

Se

x uma varivel,

um dos quanticadores ou e

E = (( x )H),

ento

H e (( x)H) so subfrmulas de E.

Se

H1 subfrmula de H2 e H2 subfrmula de E,

ento

H1 subfrmula de E.

Todo subtermo ou subfrmula tambm uma subexpresso.

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Denio 8.7 (literal)

Um literal, na Lgica de Predicados, um tomo ou a negao de um tomo.

Um tomo um literal positivo.

A negao de um tomo um literal negativo.

Denio 8.8 (forma normal)

Seja H uma frmula da Lgica de Predicados.

H est na forma normal conjuntiva, fnc, se uma conjuno de disjunes de literais.

H est na forma normal disjuntiva, fnd, se uma disjuno de conjunes de literais.

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Denio 8.9 (ordem de precedncia) Na Lgica de Predicados, a ordem de precedncia dos conectivos a seguinte:

maior precedncia: ;

precedncia intermediria superior:

, ;

precedncia intermediria inferior:

, ;

precedncia inferior:

, .

Correspondncia entre quanticadores.

( x) H equivale a ( x) H

( x) H equivale a ( x) H

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Denio 8.10 (comprimento de uma frmula)

Dada uma frmula H, da Lgica de Predicados, o comprimento de H, denotado por comp[H], denido como se segue:

Se H um tomo, ento comp[H]=1;

se H = G, ento comp[G] = 1+ comp[G];

se H =(E G),

onde um dos conectivos , , ,

ento comp[E G] = 1+ comp[E]+ comp[G];

se H =( x)G,

onde um dos quanticadores ou ,

ento comp[( x)G]=1+ comp[G].

O Princpio da Induo na Lgica de Predicados

Proposio 8.1 (princpio da induo na Lgica de Predicados) Seja B[E] uma assero que se refere a uma frmula E da Lgica de Predicados. Se as duas propriedades a) e b) a seguir so verdadeiras, ento conclumos que B[E] verdadeira para qualquer frmula E.

a) Base da Induo. B[A] verdadeira para todo tomo A.

b) Passo da induo. Sejam G e H duas frmulas. Se B[G] e B[H] so verdadeiras, ento B[H], B[G H] e B[(x)H] so verdadeiras.

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Proposio 8.2 (comprimento de uma frmula)

Sejam H e G duas frmulas da Lgica de Predicados.

Se

G uma subfrmula de H,

ento

comp[G] comp[H].

Classicaes de variveis.

Denio 8.12 (ocorrncia livre e ligada)

Sejam xuma varivel e E uma frmula.

Uma ocorrncia de xem E ligada

se xest no escopo de um quanticador

(x) ou (x) em E.

Uma ocorrncia de xem E livre

se no for ligada.

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Denio 8.13 (varivel livre e ligada)

Sejam xuma varivel e

E uma frmula que contm x

A varivel x ligada em E

se existe pelo menos

uma ocorrncia ligada de xem E.

A varivel x livre em E

se existe pelo menos

uma ocorrncia livre de xem E.

Denio 8.14 (smbolo livre)

Dada uma frmula E,

os seus smbolos livres so as variveis que ocorrem livres em E,

os smbolos de funo

e os smbolos de predicado.

Denio 8.15 (frmula fechada)

Uma frmula fechada quando no possui variveis livres.

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Denio 8.16 (fecho de uma frmula)

Seja H uma frmula da Lgica de Predicados e

{x1, ..., xn}

o conjunto das variveis livres em H.

O fecho universal de H, indicado por ()H, dado pela frmula

(x1)...(xn)H.

O fecho existencial de H,indicado por ()H, dado pela frmula

(x1)...(xn)H.