Capítulo 2 - Método de Newton-Raphson e barras com não ...

Prof. Luiz Antonio Farani de Souza

1 Capítulo 2 - Método de Newton-Raphson e barras com não linearidade

Capítulo 2 - Método de Newton-Raphson e barras com não

linearidade

Sumário

Capítulo 2 - Método de Newton-Raphson e barras com não linearidade .................................... 1

2.1 Método de Newton-Raphson com controle de força constante ........................................ 2

2.2 Problemas resolvidos com o programa Scilab (2021) ......................................................... 4

2.2.1 Problema resolvido 1 - Barra com não linearidade física ............................................. 4

Algoritmo com o programa Scilab (2021) ......................................................................... 5

Solução do problema ........................................................................................................ 6

2.2.2 Exemplo resolvido 2 - Barra com não linearidade geométrica .................................... 7

Algoritmo com o programa Scilab (2021) ......................................................................... 8

Solução do problema ...................................................................................................... 10

2.3 Exercícios propostos .......................................................................................................... 11

Referências .............................................................................................................................. 12



2.1 Método de Newton-Raphson com controle de força constante

Um dos principais objetivos da Engenharia Estrutural é tornar os sistemas estruturais mais

econômicos por meio da redução de seu peso e consumo de materiais sem, contudo, diminuir a

segurança e a durabilidade.

Para se realizar a análise não linear de estruturas com maior precisão, é de extrema

importância que sejam empregados métodos que possam considerar, de maneira apropriada, os

efeitos não lineares.

A solução de um problema estrutural não linear é geralmente obtida por meio de um

procedimento incremental e iterativo. Um dos requisitos para o método de solução é a sua

capacidade de superar os problemas numéricos associados a cada tipo de comportamento.

O Método de Newton-Raphson (NR) é um dos mais utilizados para resolver problemas

não lineares na Engenharia Estrutural. Nesse método é resolvido um sistema linear a cada

iteração, cuja matriz de rigidez é a matriz Jacobiana avaliada na iteração corrente. Uma das

vantagens desse método é a taxa de convergência quadrática (sob condições adequadas) (BATHE,

2006).

A equação que governa o equilíbrio estático de um sistema estrutural com comportamento

não linear é descrita por (MAXIMIANO; SILVA; SILVEIRA, 2014):

𝐠(𝐮) = λ𝐅𝐫 − 𝐅𝐢𝐧𝐭(𝐮) = 𝟎 (1)

na qual g é o vetor de forças desequilibradas, Fr é o vetor de referência que caracteriza a direção

da força externa, é o parâmetro de força e Fint é o vetor de forças internas.

Aplicando o esquema iterativo de Newton-Raphson ao sistema na Equação (1), chega-se

à seguinte expressão (SOUZA et al., 2018):

𝐊(k−1)𝐮(k) = 𝐠(k−1) = λ𝐅𝐫 − 𝐅𝐢𝐧𝐭(𝐮(k−1)) (2)

em que 𝐊 =𝛛𝐠

𝛛𝐮 é a matriz de rigidez representativa do sistema estrutural (matriz Jacobiana) e

𝐮(k) é o subincremento de deslocamentos. O superíndice (k-1) indica a iteração anterior e (k)

indica a iteração corrente. O parâmetro total do vetor de deslocamentos nodais (u) é atualizado

no passo de força t+t e iteração k por:

𝐮(k) = 𝐮(k−1) + 𝛅𝐮(k) (3)

Na estratégia de iteração de carga constante, o parâmetro de carga é mantido constante

no ciclo iterativo de cada passo de carga. No método de Newton-Raphson admite-se que, para

uma dada estimativa inicial para a raiz do sistema dado em Equação (1), a solução é obtida por

meio de uma sequência de correções até que uma solução é obtida com a precisão desejada.

O critério de convergência adotado para cada passo de carga é expressado pela norma da

força residual e da força aplicada:

‖𝐠‖ ≤ tol ‖𝐅𝐫‖ (4)

na qual ‖∙‖ é a norma Euclidiana e tol é a tolerância fornecida pelo usuário.

O método de Newton-Raphson modificado (NRM) é uma alternativa para a técnica

padrão, em que a inclinação da tangente é mantida constante em todas as iterações. Para a análise

estrutural, a matriz de rigidez K permanece constante no ciclo iterativo.

O esquema iterativo do método NRM é dado pelas seguintes equações:

𝐊(0)𝐮(k) = 𝐠(k) = λ𝐅𝐫 − 𝐅𝐢𝐧𝐭(𝐮(k−1)) (5)

𝐮(𝐤) = 𝐮(k−1) + 𝛅𝐮(k) (6)



O método de Newton-Raphson só fornece a solução de um simples ponto no caminho de

equilíbrio. Para obter outros pontos, combinam-se as iterações de Newton-Raphson padrão com

um procedimento incremental. Esse procedimento incremental-iterativo é ilustrado no algoritmo

na Figura 1. O procedimento de Newton-Raphson Modificado é apresentado na Figura 2.

Os dados de entrada nos algoritmos são: número máximo de iterações em cada passo de

carga (kmáx); tolerância (tol); vetor incremento de carga de referência (Fr); e número máximo de

passos de carga (nmáx). As saídas do algoritmo são: vetor de deslocamentos nodais (u); número

total de iterações acumuladas até a convergência para a solução (ktotal); e número médio de

iterações por passo de carga (kmédio).

ktotal 0

𝐅𝐢𝐧𝐭 𝟎

𝐮 𝟎

Para = 1, 2, ..., nmáx

𝐅𝐞𝐱𝐭 λ𝐅𝐫

k 0

Calcular o vetor de forças desequilibradas: 𝐠(k−1)𝐅𝐞𝐱𝐭 − 𝐅𝐢𝐧𝐭(𝐮(k−1))

Enquanto k kmáx

k k +1

Calcular a matriz de rigidez: 𝐊(𝐮(k−1))

Resolver o sistema de equações lineares: 𝛅𝐮(k) [𝐊(𝐮(k−1))]−1

𝐠(k−1)

Calcular o vetor de deslocamentos: 𝐮(k) 𝐮(k−1) + 𝛅𝐮(k)

Calcular o vetor de forças internas: 𝐅𝐢𝐧𝐭(𝐮(k))

Calcular o vetor de forças desequilibradas: 𝐠(k) 𝐅𝐞𝐱𝐭 − 𝐅𝐢𝐧𝐭(𝐮(k))

Verificar o critério de convergência: ‖𝐠(k)‖ ≤ tol ‖𝐅𝐫‖

Fim-Enquanto

ktotal ktotal +k

Fim-para

kmédio ktotal / nmáx Figura 1: Procedimento incremental e iterativo de Newton-Raphson padrão com controle de força

constante.

ktotal 0

𝐅𝐢𝐧𝐭 𝟎

𝐮 𝟎

Para = 1, 2, ..., nmáx

𝐅𝐞𝐱𝐭 λ𝐅𝐫

k 0

Calcular o vetor de forças desequilibradas: 𝐠(k−1)𝐅𝐞𝐱𝐭 − 𝐅𝐢𝐧𝐭(𝐮(k−1))

Calcular a matriz de rigidez: 𝐊(𝐮(0))

Enquanto k kmáx

k k +1

Resolver o sistema de equações lineares: 𝛅𝐮(k) [𝐊(𝐮(0))]−1

𝐠(k−1)

Calcular o vetor de deslocamentos: 𝐮(k) 𝐮(k−1) + 𝛅𝐮(k)

Calcular o vetor de forças internas: 𝐅𝐢𝐧𝐭(𝐮(k))

Calcular o vetor de forças desequilibradas: 𝐠(k) 𝐅𝐞𝐱𝐭 − 𝐅𝐢𝐧𝐭(𝐮(k))

Verificar o critério de convergência: ‖𝐠(k)‖ ≤ tol ‖𝐅𝐫‖

Fim-Enquanto

ktotal ktotal +k

Fim-para

kmédio ktotal / nmáx Figura 2: Procedimento incremental e iterativo de Newton-Raphson Modificado com controle de força

constante.



2.2 Problemas resolvidos com o programa Scilab (2021)

2.2.1 Problema resolvido 1 - Barra com não linearidade física

Seja a barra biengastada sujeita a uma força axial P, com área da seção transversal A =

1,0 cm2 e módulo de elasticidade E0 = 1,0 107 N/cm2, conforme ilustra a Figura 3. Este problema

foi estudado por Bathe (2006).

Adota-se o comportamento material elastoplástico com encruamento positivo. Emprega-

se o método de Newton-Raphson padrão com controle de força constante para a solução do

sistema de equações não lineares. Consideram-se dois passos de carga nmáx = 2, número máximo

de iterações por passo de carga kmáx = 150 e incremento de força Fr = 20000 N. Adota-se a

tolerância tol = 1,0 10-8 e a medida de deformação de engenharia (e). O critério de convergência

é dado por |g| tol.

Figura 3: a) Modelo estrutural da barra biengastada; b) relação constitutiva elastoplástica com

encruamento positivo.

Fonte: Adaptada de Bathe (2006)

Formulação do problema:

• Equação não linear a ser resolvida:

𝑔 = 𝐹𝑟 − 𝐹𝑖𝑛𝑡(𝑢) = 0 (7)

𝐾𝑢 = 𝑔 = 𝐹𝑟 − 𝐹𝑖𝑛𝑡 (8)

• Rigidez da barra K:

𝐾 = 𝐾𝑎 + 𝐾𝑏 =𝐸𝑎𝐴

𝐿𝑎0+

𝐸𝑏𝐴

𝐿𝑏0 (9)

Ei = E0i → comportamento elástico da seção, para i = a, b

Ei = Eti → comportamento plástico da seção, para i = a, b

• Força interna Fint:

𝐹𝑖𝑛𝑡 = 𝐹𝑎 + 𝐹𝑏 (10)

Para uma seção com comportamento elástico:

𝐹𝑖 = 𝐸0𝑖𝐴𝜀𝑒𝑖, para i = a, b (11)

Para uma seção com comportamento plástico:

𝐹𝑖 = 𝐴[𝐸𝑡𝑖(𝜀𝑒𝑖 − 𝜀𝑦) + 𝜎𝑦], para i = a, b (12)

Deformação específica de engenharia:

𝜀𝑒𝑎 =𝑢

𝐿0𝑎 (𝑠𝑒çã𝑜 𝑎) (13)

𝜀𝑒𝑏 =𝑢

𝐿0𝑏 (𝑠𝑒çã𝑜 𝑏) (14)



Algoritmo com o programa Scilab (2021)

//Problema barra com não linearidade física

//Exemplo: Bathe (2006)

clear

clc

//__________________________________

//Dados de entrada (pré-processamento)

A(1)=1; //área da seção a

A(2)=1; //área da seção b

L(1)=10; //comprimento indeformado da seção a

L(2)=5; //comprimento indeformado da seção b

for i=1:2

E0(i)=10^7; //módulo de elasticidade inicial

Et(i)=10^5; //módulo de elasticidade tangente

end

E=E0;

ey=0.002; //deformação de escoamento

Sy=0.002*10^7; //tensão de escoamento

//tol = tolerância

//Fr = incremento de carga

//kmax = número máximo de iterações

//nmax = número de passos de carga

txt = ['tolerância:';'incremento de carga:';'número máximo de iterações:';'número de passos de carga:'];

sig = x_mdialog('Parâmetros método de solução',txt,['10^-8';'20000';'150';'2']);

tol = evstr(sig(1));

Fr = evstr(sig(2));

kmax = evstr(sig(3));

nmax = evstr(sig(4));

//__________________________________

//Processamento

//Inicialização

u=0;

for i=1:2

Fint(i)=0;

end

vu(1)=0;

vf(1)=0;

ktotal=0;

ierro=0;

tic //inicia um cronômetro

winH=waitbar('Processamento ...'); //inicia barra de progresso

realtimeinit(0);

for lambda=1:nmax //passos de carga

Fext=lambda*Fr;

k=0;

realtime(lambda);

g= Fext-(Fint(1)+Fint(2)); //forças desequilibradas

while k<kmax //ciclo iterativo

k=k+1;

//rigidez da barra

for i=1:2

Ke(i)=E(i)*A(i)/L(i);

end

K=Ke(1)+Ke(2);

du=K\g; //solução da equação linear



u=u+du; //deslocamento u

//Força interna na barra

for i=1:2

e(i)=u/L(i); //deformação específica

if e(i)<ey

Fint(i)=A(i)*E0(i)*e(i); //regime elástico

E(i)=E0(i);

else

Fint(i)=A(i)*(Et(i)*(e(i)-ey)+Sy); //regime elastoplástico (encruamento positivo)

E(i)=Et(i);

end

end

g=Fext-(Fint(1)+Fint(2)); //Forças desequilibradas

if abs(g)<=tol //Critério de convergência

break

end

end

if k==kmax

messagebox('não convergiu!')

ierro=1;

break

end

vu(lambda+1)=u; //armazena os incrementos de deslocamento num vetor

vf(lambda+1)=Fext; //armazena os incrementos de força externa num vetor

ktotal=ktotal+k; //número total de iterações

waitbar(lambda,winH); //barra de progresso

end

close(winH); //fecha a barra de progresso

kmedio=ktotal/nmax; //número médio de iterações por passo

t=toc() //lê o cronômetro

if ierro==0

//__________________________________

//saída de dados (pós-processamento)

//gráfico trajetória de equilíbrio

plot(vu,vf,'s-b');

gca().grid=[1 1 1]; //Linhas de grade

xlabel('Deslocamento u (cm)'); //eixo x

ylabel('Força P (N)'); //eixo y

legend('NR',2);

//resultados numéricos console

disp('Resultados numéricos')

disp('a) Número total de iterações (ktotal):',ktotal)

disp('b) Número médio de iterações por passo (kmédio):',kmedio)

disp('c) Tempo de processamento em segundos (t):',t)

end

Solução do problema

Pré-processamento (entrada de dados)



Processamento

Pós-processamento (saída de dados)

2.2.2 Problema resolvido 2 - Barra com não linearidade geométrica

A Figura 4 ilustra uma barra com uma mola de rigidez ks sujeita a uma força vertical F,

de tal forma que provoca um deslocamento u. Este problema foi estudado por Lourenço (1999).

Considere EA = 5,0 107 N, z = 25 mm, L0 = 2500 mm, ks = 1,35 N/mm e Fr = -7,0 N. O critério

de convergência é dado por: |g| tol. Para o método de solução, suponha 20 passos de carga nmáx

= 20, número máximo de iterações por passo de carga kmáx = 150 e tolerância tol = 1,0 10-10.



Figura 4: Barra com mola.

Fonte: Adaptada de Lourenço (1999).

Formulação do problema:

• Equação não linear a resolvida:

𝑔 = 𝐹𝑟 − 𝐹𝑖𝑛𝑡(𝑢) = 0 (15)

𝐾𝑢 = 𝑔 = 𝐹𝑟 − 𝐹𝑖𝑛𝑡 (16)

• Força normal na barra:

𝑁 = 𝐸0𝐴 [𝑧

𝐿0

𝑢

𝐿0+ 0,5 (

𝑢

𝐿0)

2

] (17)

• Rigidez na barra:

𝐾 =𝐸0𝐴

𝐿0(

𝑧

𝐿0)

2

+𝐸0𝐴

𝐿03

(2𝑧𝑢 + 𝑢2)𝑁

𝐿0+ 𝑘𝑠 (18)

• Força interna na barra :

𝐹𝑖𝑛𝑡 = 𝑁𝑧 + 𝑢

𝐿0+ 𝑘𝑠𝑢 (19)

Algoritmo com o programa Scilab (2021)

// Problema: barra com mola - não linearidade geométrica

// Método de Newton-Raphson com controle de força constante

clear

clc

//__________________________________

//Dados de entrada (pré-processamento)

A=1; //área da seção transversal

L0=2500; //comprimento indeformado da barra

z=25; //comprimento z

E0=5*10^7; //módulo de elasticidade

//tol = tolerância

//Fr = incremento de carga

//kmax = número máximo de iterações

//nmax = número de passos de carga

//ks = rigidez da mola

txt = ['tolerância:';'incremento de carga:';'número máximo de iterações:';'número de passos de

carga:';'rididez da mola:'];

sig = x_mdialog('Parâmetros método de solução',txt,['10^-10';'-7';'150';'20';'1.35'])

tol = evstr(sig(1));

Fr = evstr(sig(2));

kmax = evstr(sig(3));

nmax = evstr(sig(4));

ks = evstr(sig(5));

//__________________________________

//Processamento



//Inicialização

u=0;

Fint=0;

vu(1)=0;

vf(1)=0;

N=0;

ktotal=0;

ierro=0;

tic //inicia um cronômetro

winH=waitbar('Processamento ...'); //inicia barra de progresso

realtimeinit(0);

for lambda=1:nmax //passos de carga

Fext=lambda*Fr;

k=0;

//Vetor de forças desequilibradas

g=lambda*Fr-Fint;

realtime(lambda);

while k<kmax //ciclo iterativo

k=k+1;

//Rigidez da barra

K=E0*A/L0*(z/L0)^2+E0*A/L0^3*(2*z*u+u^2)+N/L0+ks;

du=K\g; //Solução da equação linear

u=u+du; //deslocamento u

N=E0*A*(z/L0*u/L0+.5*(u/L0)^2); //força normal

Fint=N*(z+u)/L0+ks*u; //força interna

g=lambda*Fr-Fint; //Forças desequilibradas

if abs(g)<=tol then //critério de convergência

break

end

end

if k==kmax

messagebox('não convergiu!')

ierro=1;

break

end

vu(lambda+1)=-u;

vf(lambda+1)=-Fext;

ktotal=ktotal+k; //número total de iterações

waitbar(lambda,winH); //barra de progresso

end

close(winH); //fecha a barra de progresso

kmedio=ktotal/nmax; //número médio de iterações por passo

t=toc() //lê o cronômetro

if ierro==0

//__________________________________

//saída de dados (pós-processamento)

//gráfico trajetória de equilíbrio

plot(vu,vf,'s-b');

gca().grid=[1 1 1]; //Linhas de grade

xlabel('Deslocamento u (mm)'); //eixo x

ylabel('Força P (N)'); //eixo y

legend('NR',2);

//resultados numéricos console

disp('Resultados numéricos')

disp('a) Número total de iterações (ktotal):',ktotal)

disp('b) Número médio de iterações por passo (kmédio):',kmedio)

disp('c) Tempo de processamento em segundos (t):',t)

end



Solução do problema

Pré-processamento (entrada de dados)

Processamento

Pós-processamento (saída de dados)



2.3 Exercícios propostos

Exercício proposto 1. Resolver o exercício resolvido “1” com 8 passos de carga, isto é, Fext =

10000, com = 1, 2, ..., 8, considerando os métodos de Newton-Raphson padrão e de Newton-

Raphson Modificado. Considere tol = 1,0 10-8 e a medida de deformação de Engenharia.

Comparar os resultados numéricos obtidos por cada método quanto ao número máximo de

iterações (ktotal) e número médio de iterações por passo de carga (kmédio). Obter as trajetórias de

equilíbrio (deslocamento u versus força P).

Exercício proposto 2. Resolver o exercício anterior considerando a relação constitutiva

elastoplástica perfeita (Figura 5). Obter a trajetória de equilíbrio (deslocamento u versus força P).

Figura 5: Relação constitutiva elastoplástica perfeita

Exercício proposto 3. Resolver o exercício resolvido “2” com 20 passos de carga considerando

Fext = Fr, com = 1,2,,20, considerando o método de Newton-Raphson Modificado. Obter a

trajetória de equilíbrio e comparar os resultados numéricos com o método de Newton-Raphson

padrão, quanto ao número máximo de iterações (ktotal) e número médio de iterações por passo de

carga (kmédio).



Referências

BATHE, K. J. Finite element procedures. Prentice Hall, 2006.

LOURENÇO, P. B. Métodos computacionais na mecânica dos sólidos não linear. Relatório

99-DEC/E-1, Departamento de Engenharia Civil, Universidade do Minho, Portugal, 1999.

MAXIMIANO, D. P.; SILVA, A. R. D.; SILVEIRA, R. A. M. Iterative strategies associated with

the normal flow technique on the nonlinear analysis of structural arches. Rem: Revista Escola

de Minas, v. 67, n. 2, p. 143-150, 2014.

SCILAB, versão 6.1.1. France: ESI Group, 2021.

SOUZA, L. A. F.; CASTELANI, E. V.; SHIRABAYASHI, W. V. I.; ALIANO FILHO, A.;

MACHADO, R. D. Trusses Nonlinear Problems Solution with Numerical Methods of Cubic

Convergence Order. TEMA (São Carlos), v. 19, n. 1, p. 161-179, 2018.

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