MÉTODOS DE PONTO FIXODetermine-o usando o método de Newton – Raphson com = 10-3 ou 4 iterações...
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- Seja f(x) uma função definida em [a,b], com f(a)f(b)<0. Considerando- se também que f’(x) tem sinal constante em (a,b) . A partir de um valor inicial, , calcula-se: ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 3 1 2 0 1 n n x x x x x x x x 1 n n x x O processo continuará até que (condição de parada dos métodos de ponto fixo): função iteração 0 x MÉTODOS DE PONTO FIXO ou, Número máximo de iterações alcançado.
Transcript of MÉTODOS DE PONTO FIXODetermine-o usando o método de Newton – Raphson com = 10-3 ou 4 iterações...
- Seja f(x) uma função definida em [a,b], com f(a)f(b)<0. Considerando-
se também que f’(x) tem sinal constante em (a,b) . A partir de um valor
inicial, , calcula-se:
)(
)(
)(
)(
1
23
12
01
nn xx
xx
xx
xx
1nn xx
O processo continuará até que (condição de parada dos métodos de ponto fixo):
função iteração
0x
MÉTODOS DE PONTO FIXO
ou,
Número máximo de iterações alcançado.
MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON
- Seja f(x) uma função definida em [a,b], com f(a)f(b)<0. Considerando-se
também f’(x) e f’’(x) com sinais constantes em (a,b). Observa-se no esquema
abaixo que f(r)=0.
1o CASO: f’(x) > 0 e f’’(x) > 0
a
x1
_
x0
_
- Inclinação da reta
tangente à curva em x = b:
10
0
xx
)x(ftg
a
10
00
xx
)x(f)x(f
- Assim:
)x(f
)x(fxx
0
001
MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON
- Seja f(x) uma função definida em [a,b], com f(a)f(b)<0. Considerando-se
também f’(x) e f’’(x) com sinais constantes em (a,b). Observa-se no esquema
abaixo que f(r)=0.
1o CASO: f’(x) > 0 e f’’(x) > 0
a
x1
_
x0
_
- Inclinação da reta
tangente à curva em x = x1:
21
1
xx
)x(ftg
21
11
xx
)x(f)x(f
- Assim:
)x(f
)x(fxx
1
112
x2
_
f(x1)_
MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON
- Em uma iteração n:
)x(f
)x(fxx
1n
1n1nn
Equação geral do método de
Newton - Raphson
- Observa-se neste primeiro caso:
f(a)f’’(a) < 0
f(b)f’’(b) > 0 x0 = b
_
f(a) < 0
f(b) > 0
f’’(x) > 0 em (a,b)
MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON
- No segundo caso: f’(x) < 0 e f’’(x) > 0
f(a) > 0
f(b) < 0
f’’(x) > 0 em (a,b) f(a)f’’(a) > 0
f(b)f’’(b) < 0 x0 = a
_
- Análogo para os outros dois casos: f’(x) > 0 e f’’(x) < 0
f’(x) < 0 e f’’(x) < 0
MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON
RESUMO:
1) Equação de iteraçao:
)x(f
)x(fxx
1n
1n1nn
2) Escolha de x0 (condição suficiente para que o processo “convirja”):
Se f(a)f’’(a) > 0
Se f(b)f’’(b) > 0
x0 = a_
x0 = b_
Ou, x0 = c, a < c < b, desde que:_
f(c)f’’(c) > 0
3) Condição de parada: condição de parada dos métodos de ponto fixo e, em
muitos casos, um limite para o número de iterações.
Exemplo: Determinar o zero positivo de
Usando o método de Newton - Raphson com =
10-3 ou 4 iterações no máximo.
xxxf cos)( 2
)1;5,0(),( ba Determinado em exemplo
anterior
Exemplo: Determinar o zero positivo de
Usando o método de Newton - Raphson com =
10-3 ou 4 iterações no máximo.
xxxf cos)( 2
0171
0811
2
2
150
,)b(f)b(f
,)a(f)a(f
xcos)x(f
senxx)x(f
);,()b,a(
10 bx
Equação de iteração:
11
1
2
11
2
cos
nn
nnnn
xsenx
xxxx
n xn |xn - xn-1|
0 1 #
1 0,838 0,162
2 0,824 0,014
3 0,824 0,000
Zero da função para
= 0,001
Exemplo2: Determinar o(s) zero(s) de
Usando o método de Newton - Raphson com =
10-3 ou 4 iterações no máximo.
53)( 5 xxxf
xxxf 035)( 4
x y
0 5,0
0,5 3,5
1 1,0
1,5 -7,1
I = (1 ; 1,5)
5,
0)()(
1
0)()(
01,7)5,1()(01)1()(
),(020)(
)5,1;1(),(
0
3
bfbf
bx
afaf
fbfefafcomo
baemxxf
ba
35
534
1
1
5
11
n
nnnn
x
xxxx
Equação de iteração:
n xn |xn - xn-1|
0 1,5 #
1 1,249 0,251
2 1,131 0,118
3 1,109 0,022
4 1,109 0,000
O zero da função para 4 iterações é: x4 = 1,109
Exemplo: Determinar o zero de
Usando o método de Newton – Raphson com =
10-3 ou 4 iterações no máximo.
2)( senxexf x
Primeira parte: Localização do zero
senxxh
exg
senxe
senxe
x
x
x
)(
2)(
2
02
;7,0r x f(x)
0,5 -0,831
1 -0,123
1,5 1,484
5,1;1, baI
013,8)()(
044,0)()(
)()(
)cos()(
)5,1;1(),(
bfbf
afaf
xsenexf
xexf
ba
x
x
Segunda parte: refinamento
5,10 bx
)cos(
2)(
1
11
1
1
n
x
n
x
nnxe
xsenexx
n
n
Eq. Iteração:
N XN
| XN-X
N-1|
0 1,500 -
1 1,164 0,336
2 1,063 0,101
3 1,054 0,009
4 1,054 0,000
Então, o zero da função,
para = 10-3 é:
x4 = 1,054
2)()( xsenexf x
Exemplo: A função dada tem um zero em (0,5 ; 1).
Determine-o usando o método de Newton –
Raphson com = 10-3 ou 4 iterações no máximo.
)()( 23 xsenxxf
Resolução:
Derivada da função:
)2(3)(
cos23)(
2
2
xsenxxf
xsenxxxf
Escolhendo o x0, inicialmente, de forma aleatória:
x0 = 0,5
)2(3
)(
1
2
1
1
23
11
nn
nnnn
xsenx
xsenxxx
Eq. Iteração:
N XN | XN-XN-1|
0 0,500 -
1 -0,654 1,154
2 -0,365 0,289
3 -0,2 0,165
4 -0,108 0,092
Valores:
Observa-se que não houve convergência.
Escolhendo-se, agora, o valor de x0 usando o critério de convergência:
0995,1)()(
1
0201,0)()(
)2cos(26)(
)2(3)(
)(
)1;5,0(),(
0
2
23
bfbf
bx
afaf
xxxf
xsenxxf
xsenxxf
ba
Eq. Iteração:
Valores:
Então o zero da função é x3 = 0,803
N XN | XN-XN-1|
0 1,000 -
1 0,860 0,140
2 0,810 0,050
3 0,803 0,007
4 0,803 0,000
)2(3
)(
1
2
1
1
23
11
nn
nnnn
xsenx
xsenxxx
xfxfxf
Exercício proposto:
As derivadas de uma função podem ser calculadas, em geral com boa
precisão, usando-se suas formas numéricas:
e,
Use estas expressões na resolução dos exemplos anteriores.
2
22
xfxfxfxf
