CAPÍTULO 3 DINÂMICA DOS SISTEMAS BIOLÓGICOS E … · algébricas FCTUC/EngBiomedica/ADC/2007 8...

FCTUC/EngBiomedica/ADC/2007 1

CAPÍTULO 3

DINÂMICA DOS SISTEMAS BIOLÓGICOS E FISIOLÓGICOS


Objectivos

Modelo: equações diferenciais• Resolução de equações diferencias ?• Transformada de Laplace !

Função de Transferência• Plano complexo• Estabilidade• Resposta transitória e estacionária• Sistemas de primeira e segunda ordem


Indice3.1 Modelização: equações diferenciais3.2 Transformada de Laplace

• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP

3.3 Inversão da TLP• Fracções parciais• Resolução equações diferenciais• Polinómio característico• Estabilidade reposta natural

3.4 Função de Transferência• Estabilidade reposta forçada• Pano complexo• Polos: resposta transitória• Zeros

3.5 Resposta temporal de sistemas lineares• Sistemas de primeira ordem• Sistemas de segunda ordem• Sistemas de ordem superior


Indice3.1 Modelização: equações diferenciais3.2 Transformada de Laplace

• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP

3.3 Inversão da TLP• Polos e zeros• Polinómio característico• Plano complexo• Estabilidade resposta natural

3.4 Função de Transferência• Estabilidade resposta forçada• Plano complexo• Polos• Zeros

3.5 Resposta temporal de sistemas lineares• Sistemas de primeira ordem• Sistemas de segunda ordem• Sistemas de ordem superior


Do capítulo 2 …

….. como ???


Indice3.1 Modelização: equações diferenciais

3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP

3.3 Inversão da TLP• Polos e zeros• Polinómio característico• Plano complexo


O problema ?

Resolução de uma equação diferencial

Resolução de uma equação algébrica

Transformada de Laplace

domínio s

domínio t

Solução no domínio s

domínio sManipulações

Transformada Inversa

A Solução !

Solução no domínio temporal

domínio tMétodo normal

algébricas



3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP

3.3 Inversão da TLP• Fracções parciais• Resolução equações diferenciais• Polinómio característico• Estabilidade


Transforma Laplace

( )f t ( )F sL

∫∞

−==0

)()()]([ dtetfsFtfL st




Algumas transformadas



3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares

• Propriedades da TLP• Linearidade• Derivação • Integração• Deslocamento• Teorema Valor inicial e final

3.3 Inversão da TLP• Fracções parciais• Resolução equações diferenciais• Polinómio característico• Estabilidade


Linearidade


Derivação


Derivação


Integração


Integração


Deslocamento


Deslocamento temporal


Teoremas valor inicial e final


Utilidade da Transformada?

Se a entrada (força) for igual a f=5 qual a saída (posição) ?

Resolução de uma equação diferencial !



Está calculada a saída !


Algumas transformadas


ConcluindoConcluindo, a determinação da saída torna-se num problema de fácil resolução • a resolução de uma eq. diferencial transforma-se na

resolução de uma eq. algébrica

No entanto obteve-se a solução em Y(s)Em termos práticos apenas nos interessa y(t)

Será possível usando Y(s), calcular y(t) ?

Para tal recorre-se à inversa da transformada de Laplace.


O problema ?

Resolução de uma equação diferencial

Resolução de uma equação algébrica

Transformada de Laplace

domínio s

domínio t

Solução no domínio s

domínio sManipulações

Transformada Inversa

A Solução !

Solução no domínio temporal

domínio tMétodo normal

algébricas


Indice3.2 Transformada de Laplace• Transformada de funções elementares• Propriedades da TLP

3.3 Inversão da TLP• Resolução equações diferenciais• Fracções parciais• Polinómio característico• Estabilidade



3.3 Inversão da TLP• Resolução equações diferenciais• Fracções parciais• Polinómio característico• Estabilidade


Resolução equações diferenciais






Y =Yzi + Yzs

Efeito das condições iniciais

Efeito da entrada externa


Função de Transferência



3.3 Inversão da TLP• Resolução equações diferenciais

• Fracções parciais• Polinómio característico• Estabilidade



Problema da inversa resolvido !Uso de transformada inversa !


Problema resume-se a decomposição em fracções parciais

Cálculo dos residuos (raizes denominador)

• Raizes simples

• Raizes Multiplas

• Raizes complexas conjugadas




Inversa


1

t



1

t

Raizes Simples


1

t

Raizes Simples


1

t

Raizes de multiplicidade r


1

t





Raizes complexas


Raizes complexas


Raizes complexas


Matlab: residuesExemplo de Scripts em MatLab

%---------- factores simples - estritamente propria-----num=1;den=[1 3 2]; %---- den=(s+1)(s+2)[A,P,Ao]=residue(num,den);

%---------------------------------- output ------A=[ -1 1 ]P=[ -2 -1 ]Ao=[ ]


Matlab: residues

%--------- factores simples - bipropria ----------------num=[1 0 -9];den=[1 0 -1]; %---- den=(s+1)(s-1)[A,P,Ao]=residue(num,den);

%---------------------------------- output ------A=[ 4 -4]P=[ -1 1]Ao=1


Matlab: residues

%---------- factor de multiplicidade 3 --------------num=1;den=[1 3 3 1 ]; %---- den=(s+1)3

[A,P,Ao]=residue(num,den);

%---------------------------------- output ------A=[ 1 -2 -8]P=[ -1 -1 -1]Ao=[ ]



3.3 Inversão da TLP• Fracções parciais• Resolução equações diferenciais

• Polinómio característico • Estabilidade da resposta natural


Polinómio característico e modos do sistema

Se entrada nula, Y = Yzi, resposta não-forçada ou resposta natural

Polinómio característico

Modos (característicos)


A resposta natural é uma combinação linear dos modos

Os coeficientes da combinação linear dependem das condições iniciais



3.3 Inversão da TLP• Fracções parciais• Resolução equações diferenciais• Polinómio característico

• Estabilidade resposta natural


Estabilidade (resposta natural)

Modos (característicos)

Se um dos modos tender para infinito, a resposta natural tende para infinito, o sistema diz-se instável

Condição necessária e suficiente de estabilidade:

• Se as raízes do polinómio forem todas menores que zero

• Se as raízes do polinómio forem menores que zero excepto uma (e só uma) que pode ser zero

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