Capítulo 3 – Propagação Rádio Móvel - PUC-Rio

Capítulo 3 – Propagação Rádio Móvel


3.1. Introdução

As ondas eletromagnéticas basicamente se propagam por três

mecanismos, a saber: reflexão, difração e espalhamento.

Reflexão ocorre quando a onda eletromagnética atinge um objeto com

dimensões bem maiores que o comprimento de onda da onda que se propaga.

Esse fenômeno acontece, por exemplo, na superfície da terra, nas construções

e montanhas.

A difração é a capacidade das ondas eletromagnéticas contornarem

obstáculos, pois elas se propagam como se cada ponto da frente de onda

gerasse uma nova onda. Ao se deparar com um obstáculo, as fontes pontuais

da frente de onda acima do obstáculo continuam irradiando, fazendo com que a

região de sombra atrás do obstáculo também seja iluminada.

O espalhamento ocorre quando o meio de propagação é constituído de

objetos com dimensões pequenas em relação ao comprimento de onda do

sinal e o número desses obstáculos é grande (em um determinado volume).

Ondas espalhadas são produzidas por superfícies rugosas, pequenos objetos e

outras irregularidades do canal.

Durante o percurso entre transmissor e receptor o sinal sofre múltiplas

reflexões, fato que faz com que a onda eletromagnética percorra diferentes

caminhos de comprimentos também diversos. Quando essas ondas se

combinam, ocorre o fenômeno do desvanecimento multipercurso, bem como

uma atenuação do nível do sinal à medida que a distância entre o transmissor

e receptor aumenta.

O que se procura fazer com os modelos de propagação é predizer o nível

médio do sinal recebido a uma certa distância do transmissor bem como a

variabilidade em torno desse valor médio.

O sinal recebido de uma transmissão em faixa estreita apresenta três

tipos de variações espaciais diferentes: desvanecimento lento (ou em grande

12


escala), desvanecimento rápido (ou em pequena escala) e atenuação com a

distância.

Desvanecimentos lentos ocorrem quando o móvel passa atrás de prédios,

morros, árvore, ou seja, quando o móvel se move em regiões de sombra de

montanhas ou construções.

Desvanecimentos rápidos se referem a flutuações rápidas na amplitude

do sinal e ocorrem em distâncias próximas a meio comprimento de onda.

Essas variações em pequena escala ocorrem quando múltiplos raios atingem o

receptor devido a reflexão, difração e espalhamento em construções, veículos

e outros objetos presentes no ambiente.

Na próxima seção será feita uma revisão dos principais modelos de

propagação existentes, que serão utilizados posteriormente para teste de

aderência às medidas realizadas neste trabalho.

3.2. Propagação no Espaço Livre

O modelo do espaço livre considera apenas o caso em que o transmissor

e o receptor estão localizados no espaço livre, portanto livres de qualquer

obstrução no caminho direto entre eles. Como a maioria dos modelos de

predição em larga escala, o modelo do espaço livre prediz o nível do sinal

recebido como função da distância de separação entre transmissor e receptor

elevada a uma certa potência.

Considerando-se uma antena transmissora localizada no espaço livre,

com ganho GT na direção da antena receptora e potência transmitida PT, a

densidade de potência a uma distância d é dada por:

24 dGP

W TT

�

� (3.1)

A potência na antena receptora, com ganho GR e área efetiva A é dada

por:

13


�

�

4

2RG

A � (3.2)

�

�

� 44P

2

2RRTT G

dGP

� (3.3)

Agrupando-se a equação 3.3 acima, chega-se à equação do espaço livre

abaixo:

2

4 ��

��

��

dGG

PP

RTT

R

�

� (3.4)

Sendo a perda de propagação (L) a relação entre a potência transmitida e

a potência recebida, podemos escrever a perda no espaço livre como:

32.44log20log20log10log10][ �� KmMHzRT dfGGdBL (3.5)

Pode-se verificar através da equação (3.4) que no modelo do espaço livre

a potência cai com o inverso do quadrado da distância, ou seja, o nível de

potência recebida cai 6 dB quando a distância é dobrada. Verifica-se também

claramente a influência da freqüência no nível do sinal recebido.

Sabe-se que na realidade o nível do sinal recebido cai com um fator maior

do que 2 (geralmente entre 3.5 e 4). Isso ocorre ao se considerar os fatores de

urbanização, vegetação, relevo e reflexões.

3.3. Propagação em Terra Plana

Em um canal rádio móvel considerar somente um raio direto entre

transmissor e receptor é muito impreciso. O modelo de reflexão por dois raios é

um modelo de propagação bastante útil, baseado na ótica geométrica, e leva

em consideração um raio direto e um raio refletido no percurso entre o

transmissor e receptor, como pode ser visto na figura (3.1).

14


Figura 3.1 – Modelo de 2 raios

Supondo-se a distância entre transmissor e receptor, d, muito grande

quando comparada com a soma das alturas das antenas transmissora e

receptora, ht + hr, pode-se chegar à equação 3.6, conhecida como equação da

terra plana, sendo PL a perda de propagação.

)log20log20log10log10(log40][ rtrt hhGGddBPL �� (3.6)

3.4. Modelos de Previsão de Cobertura

Os modelos de predição geralmente são baseados em modelos de perda

de propagação modificados por parâmetros obtidos nas medidas de campo.

Esses modelos consideram em sua formulação, informações sobre a topografia

e grau de urbanização do terreno. Alguns dos modelos existentes na

bibliografia e que serão utilizados nesse trabalho serão descritos a seguir.

3.4.1. Modelo de Okumura

O modelo de Okumura [4] surgiu de uma extensa campanha de medidas

na área de Tokyo. O modelo é válido para freqüências entre 150 MHz e 1920

15


MHz, embora tenha sido extrapolado até 3000 MHz. Pode ser usado para

distâncias entre 1 km e 100 km e alturas das antenas das estações base entre

30m e 1000m.

Okumura desenvolveu um conjunto de curvas que indicam a atenuação

média em relação ao espaço livre (Amu) em uma área urbana quase plana, com

altura efetiva da antena da estação base (hte) de 200m e altura da estação

móvel (hre) de 3m. Quando as antenas não se situam na referência de altura

anterior, torna-se necessário introduzir alguns fatores de correção expressos

na fórmula a seguir:

AREAretemuF GhGhGdfALdBL �� )()(),(][50 (3.7)

onde

L50 é o valor da perda de propagação mediana;

LF é a perda de propagação no espaço livre;

Amu é a atenuação média relativa ao espaço livre;

G(hte) é o fator de ganho da altura da antena da estação base;

G(hre) é o fator de ganho da altura da antena da estação móvel;

GAREA é o ganho relativo ao tipo de ambiente.

Os gráficos relacionados aos valores de Amu(f,d) e GAREA são mostrados

logo abaixo.

16


Figura 3.2 – Curva de atenuação média relativa ao espaço livre,

considerando-se um terreno quase plano.

Figura 3.3 – Fator de correção para diferentes tipos de terreno

17


As expressões relativas aos ganhos das antenas transmissoras e

receptoras são:

mhmhhG

mhhhG

mhmhhG

rere

re

rere

re

tete

te

310 )3

log(20)(

3 )3

log(10)(

301000 )200

log(20)(

��

��

��

(3.8)

Outras correções como ondulação do terreno, alturas de montanhas,

inclinação média do terreno, altura efetiva da antena da estação base e

parâmetro do percurso misto terra-água também são aplicadas ao modelo de

Okumura.

3.4.2. Formulação de Hata

De forma a tornar o modelo de Okumura fácil de ser utilizado, Hata

desenvolveu uma formulação matemática empírica para o mesmo [5], limitada

a certas faixas dos parâmetros de entrada e aplicável apenas para terrenos

quase planos. Essa formulação é válida para freqüências entre 150 MHz e

1500 MHz.

A fórmula padrão do modelo de Hata é descrita abaixo:

Áreas Urbanas:

dhhahfdBL trtc log)log55.69.44()(log82.13log16.2655.69][50 �� (3.9)

onde

Km) em ( 20d1m) em ( 20030

)MHz em ( 1500150

dhhff

tt

cc

��

��

��

O fator a(hr) é uma correção da altura da antena do móvel e é calculado

da seguinte maneira:

18


Cidades pequenas ou médias:

)8.0log56.1()7.0log1.1()( �� crcr fhfha (3.10)

onde 1 mhr 10��

Cidades grandes:

��

��

��

MHzfhMHzfh

har

rr 400 : 97.4)75.11(log2.3

200 : 1.1)54.1(log29.8)( 2

2

(3.11)

Áreas Suburbanas:

4.5)]28/[log(2)(][ 25050 �� cfurbanoLdBL (3.12)

Áreas Abertas:

94.40log33.18)(log78.4)(][ 250 �� cc ffurbanoLdBL (3.13)

De uma forma geral, o modelo de Hata se comporta bem em áreas

urbanas e suburbanas, porém não muito bem em áreas rurais e em terrenos

irregulares, onde o modelo tende a ser muito otimista.

3.4.3. Modelo de Hata – COST 231

Esse modelo foi desenvolvido por um comitê europeu, de forma a

estender o Modelo de Hata para freqüências até 2 GHz. A perda de

propagação do modelo é definida como:

Mte

retec

CdhhahfdBurbanoL

��

��

log)log55.69.44()(log82.13log9.333.46])[(50 (3.14)

19


Os valores de a(hre) são como definidos anteriormente em (3.9) e (3.10).

Os valores de CM são dados a seguir:

��

� anosmetropolit centros para 3

urbanas áreas e médias cidades para 0dBdB

CM (3.15)

Os parâmetros do modelo estão limitados aos seguintes valores:

f - 1500 MHz a 2000 MHz

hte - 30 m a 200 m

hre - 1 m a 10 m

d - 1 Km a 20 Km

Apesar do modelo só ser válido para distâncias maiores que 1 km e para

freqüências até 2 GHz, decidiu-se utilizar esse modelo como teste de aderência

às medidas realizadas em 3.5 GHz.

3.4.4. Modelo de Walfisch e Bertoni

Para predizer a intensidade média do sinal recebido, o modelo

desenvolvido por Walfisch e Bertoni [6] leva em consideração a difração nos

topos dos prédios, bem como a influência da altura dos mesmos.

A perda total de propagação é composta de três fatores distintos, a saber,

a perda do espaço livre, a perda por difração no topo dos prédios e a perda de

difração em uma série de prédios no caminho entre a estação base e a estação

móvel. A perda de propagação em dB é dada por:

msrts LLLdBS �� 0)( (3.16)

onde

L0 - perda do espaço livre

Lrts - perda por difração no topo dos prédios

Lms - perda por difração devido a uma série de prédios

20


As equações para cada termo são dadas a seguir:

RfL c log20log2044.320 �� (3.17)

)]17/()1log[(18log18log18log1.57 2 HRHRfL crts �� (3.18)

)]}/)(2[log{tan20log9])()2/log[(5 122 dhhdhhdL mmms �� (3.19)

A figura (3.4) abaixo ilustra a geometria usada no modelo de Walfisch e

Bertoni, sendo:

R – distância da base até o prédio mais próximo do móvel

H – altura da base acima dos prédios

h – altura média dos edifícios

D – espaçamento médio dos edifícios

hm – altura do móvel

Figura 3.4 – Geometria do Modelo Walfish e Bertoni

3.4.5. Modelo de Ibrahim – Parsons

O modelo de Ibrahim - Parsons [7] foi desenvolvido a partir de uma série

de medições realizadas na cidade de Londres, com antenas das estações base

na altura de 46m. As freqüências usadas na determinação do modelo foram de

168, 445 e 900 MHz e as medidas foram analisadas em quadrículas de 500 m

x 500 m.

21


Duas aproximações foram realizadas:

Modelo Empírico: foi desenvolvida uma expressão para a perda de

propagação, baseada em regressão linear. A expressão obtida foi:

KHLdf

fffhhL mb

��

��

��

37.0256.0log)]156

100log(15.1440[

)156

100log(8640

log2640

log8)7.0log(2050

(3.20)

Sendo:

U - grau de urbanização, que é a porcentagem da área ocupada por

prédios com quatro ou mais andares.

L - fator de utilização do terreno, que representa a porcentagem da

área ocupada por prédios, independente do tamanho dos mesmos.

H - diferença de altitudes médias entre as quadrículas.

5.5087.0 �� UK

0�K

para áreas altamente urbanizadas, caso

contrário .

Kmdmhm

1003��

�

Modelo Semi-empírico : Esse modelo tem como base a equação do

modelo de terra plana. O modelo considera a perda de propagação como a

soma entre a perda no modelo de terra plana (que prevê uma atenuação com o

inverso da quarta potência da distância), e uma perda em excesso denominada

�. Os valores de � estão relacionados com os fatores de ambiente urbano e

são determinados a partir da equação abaixo:

9.5094.0

34.018.040

20

��

��

UK

KHLf� (3.21)

O valor de K segue a equação acima somente em áreas altamente

urbanizadas, caso contrário assume o valor nulo. O parâmetro � corresponde a

um fator de ajuste do modelo terra-plana.

A equação geral do modelo semi-empírico é:

22


�� )log(20log4050 rthhdL (3.22)

3.5. Comportamento Estatístico do Sinal

Além de se estimar o sinal mediano recebido em uma pequena área é

importante determinar a variabilidade desse sinal em torno do nível médio, ou

seja, é muito importante estudar o comportamento estatístico do sinal. Através

desse estudo, pode-se, por exemplo, estimar a porcentagem de uma

determinada área que tem uma intensidade adequada de sinal, a probabilidade

de interferência vinda de um transmissor distante, o tempo em que o nível do

sinal permanece abaixo de um nível mínimo detectável.

Como já vimos, existem dois fatores que contribuem para a flutuação do

nível do sinal. O primeiro, conhecido por desvanecimento lento ou lognormal,

está relacionado com variações em larga escala no perfil do terreno entre o

transmissor e receptor e com mudanças na topografia da área. Sobreposta a

essa variação, ainda temos a variação rápida no nível do sinal recebido,

conhecida como desvanecimento rápido, causada pelo fenômeno do

multipercurso.

Três distribuições de probabilidade estão relacionadas com a estatística

rádio móvel. A distribuição lognormal caracteriza o envelope do sinal recebido

em regiões de sombra causadas por obstruções como montanhas e

construções, por exemplo. A distribuição de Rayleigh caracteriza o envelope do

sinal recebido resultante da propagação multipercurso. A distribuição Riciana

caracteriza o envelope do sinal recebido resultante da propagação

multipercurso, acrescido de uma componente em visada direta. Nesse trabalho

também será utilizada a distribuição m-Nakagami para caracterizar a

distribuição do envelope do sinal.

3.5.1. Distribuição Lognormal

23


Uma onda de rádio quando atinge a estação móvel, terá sofrido refrações

e reflexões de diferentes obstruções como construções, túneis, árvores,

montanhas. Cada obstrução é responsável por uma parcela da atenuação do

sinal.

Como provado em [2] a diferença em decibéis entre o sinal recebido e o

sinal no espaço livre, 20log(Em/E0), tem uma distribuição lognormal. Portanto, o

sinal recebido R, quando medido em decibéis, tem uma função densidade

normal dada por:

])(21exp[

21)( 2

r

R

r

MRRp��

�

�� (3.23)

onde MR e � são, respectivamente, a média e a variância de R (em

dB).

2r

A função de distribuição de probabilidade ou distribuição cumulativa, que

indica a probabilidade do nível do sinal recebido ser menor que um

determinado valor, é dada por:

��

��

0

)()()( 00

R

dRRpRRprobRP (3.24)

3.5.2. Distribuição de Rayleigh

O sinal recebido por uma estação móvel geralmente é uma soma de

sinais espalhados por diferentes obstruções no percurso entre o transmissor e

receptor e não simplesmente um sinal recebido por visada direta. O que

acontece é que no receptor chegam sinais com atenuações e fases diferentes

que se combinam formando o sinal resultante recebido. Supondo que as fases

das ondas espalhadas possuam uma distribuição uniforme entre 0 e 2� e as

amplitudes e fases são estatisticamente independentes uma das outras, os

sinais vão se combinar de forma construtiva ou destrutiva. Ou seja, em um

determinado momento, as componentes podem estar em fase produzindo uma

24


grande amplitude, e em outro instante podem estar fora de fase, produzindo

uma amplitude pequena no sinal.

O envelope do sinal recebido, em V/m, obedece a uma distribuição de

Rayleigh, com função densidade de probabilidade dada por:

0 2

exp)( 2

2

2 ��

��

�� rrrrp

��

(3.25)

onde

� - valor rms do sinal recebido antes da detecção do envelope.

�2 - potência média no tempo do sinal recebido antes da detecção do

envelope.

A probabilidade do envelope do sinal recebido não exceder um

determinado valor R é dada pela função de distribuição cumulativa, de acordo

com a seguinte expressão:

��

��

�� 2

2

0 2exp1)()()(

�

RdrrpRrPRPR

r (3.26)

O valor médio rmean, a variância � , e o valor mediano r2r median da

distribuição de Rayleigh são dados por :

�

��

�

177.14292.0

2533.122

�

�

�

median

r

mean

r

r

(3.27)

Como o sinal é medido em dBm, é conveniente expressar as equações

acima em forma logarítmica. Usando-se a seguinte relação:

xy log20� (3.28)

Podemos expressar a seguinte função Log-Rayleigh:

25


��

�

�

��

�

� yyp

yy

y 210exp10

1010ln

21)( 2

1010

2��

(3.29)

cuja média é dada por:

��

��

��

��

eyE 2log20][ (3.30)

Sendo � = 0.5772156649, a constante de Euler.

É também comum expressar a função densidade de probabilidade Log-

Rayleigh (3.29) e sua função distribuição de probabilidade (3.24), em função da

sua média (3.30). Essas equações são dadas, respectivamente, por:

10/)(10/)( 10)10exp(1010ln)( yyyy

y eyp ��

�� (3.31)

��

��

��

Yyy

yy edyypYP ]10exp[1)()( 10/)(� (3.32)

3.5.2.1. Desvio de Perda

O desvio de perda é a diferença entre os valores de potência, em dB, não

excedidos 50% e 10% do tempo:

1050 YYDP �� (3.33)

Para saber se uma variável aleatória tem uma distribuição Log-Rayleigh,

seu desvio de perda deve ser de 8.18 dB.

3.5.2.2. Histograma Cumulativo

26


O histograma cumulativo é a função distribuição de probabilidade

multiplicada pelo número total de ocorrências. Ele representa o número de

observações da variável com valor menor que um certo nível.

De forma a verificar se a variável aleatória segue a distribuição de

Rayleigh, plota-se num mesmo gráfico o histograma cumulativo medido e a

função distribuição de probabilidade Rayleigh com mesma média multiplicada

pelo número total de ocorrências.

3.5.2.3. Taxa de Cruzamento de Nível e Duração Média dos Desvanecimentos

A importância de se calcular a taxa de cruzamento de níveis e a duração

média dos desvanecimentos de um sinal em desvanecimento Rayleigh se deve

a que esses parâmetros estatísticos são usados em sistemas de comunicações

móveis na escolha da taxa de transmissão de bits, em projetos de códigos de

controle de erro e métodos de codificação em sistemas digitais.

Para uma distribuição Rayleigh, a taxa de cruzamento de níveis é definida

como o número médio de vezes em que um sinal, normalizado em relação ao

nível rms do sinal, cruza um determinado nível durante um certo período de

tempo. A expressão para esse parâmetro, em número médio de cruzamentos

por segundo é dada por:

rms

mR

RR

efrdrRprN

�

��

�

�

��

0

2

2),( ��

(3.34)

onde

�

vfm � - máximo desvio Doppler de freqüência.

v - velocidade do móvel

� - valor do nível R especificado, normalizado em relação à

amplitude rms do envelope do sinal.

Como pode ser visto na equação (3.34), a presença do parâmetro fm

indica que a taxa de cruzamento de níveis depende da velocidade do móvel. A

27


máxima taxa de cruzamentos ocorre no nível 3 dB abaixo do nível rms, ou seja,

em 2/1�� .

A duração média de desvanecimentos é definida como o período médio

de tempo em que o sinal recebido está abaixo de um nível R. Para um sinal em

desvanecimento Rayleigh, esse parâmetro é dado por:

][1 RrPN r

R

�� (3.35)

onde é a probabilidade do sinal recebido r ser menor que R e é

dada pela expressão:

][ RrPr �

� ��

R

r drrpRrP0

2 )exp(1)(][ � (3.36)

A duração média dos desvanecimentos em função de � e fm pode ser

expressa como:

��

�

21

2

mfe �

� (3.37)

3.5.3. Distribuição de Rice

A distribuição de Rayleigh é válida somente para os casos em que os

percursos indiretos são dominantes em relação ao percurso direto. Quando a

componente de visada direta é dominante, ou seja, quando o percurso direto é

dominante, o envelope do sinal é representado por uma distribuição de Rice,

dada pela equação:

��

��

��

��

� �� 202

22

2 2exp)(

rrr

arIarrrp��

(3.38)

28


onde

��

�

��

�

dararIrr

� ��

��

��

�

��

� 2

0220

cosexp21 (3.39)

I0(.)é a função de Bessel modificada de ordem zero. Essa função de

Bessel pode ser obtida de uma tabela, ou calculada numericamente pela

equação:

��

�

��

��

��

00 2!

)(i

i

i

ixxI (3.40)

Pode-se observar da equação (3.38) que se o parâmetro “a” se anular, a

expressão tende a uma distribuição de Rayleigh.

A distribuição Riciana é definida pelo fator K:

2

2

2 r

aK�

� (3.41)

que é a relação entre a potência do sinal dominante e a potência do sinal

espalhado.

Analisando-se o fator K, a distribuição Riciana tende a uma Rayleigh

quando K tende a zero, pois nesse caso a potência da onda direta se anula,

havendo apenas componentes espalhadas. Quando o fator K assume valores

muito elevados a distribuição Riciana tende para uma distribuição Gaussiana,

pois não há componentes espalhadas.

Pode-se reescrever a equação (3.38) em função do parâmetro K,

obtendo-se:

0 22

2exp)( 02

22

2 ��

��

��

��

� � rparaKrIKrrrp

rr

r

r ��

�

�

(3.42)

29


Os valores da média e média quadrática são dados por:

� �

222

10

2

221

22exp

r

r

ar

KKIKIKKr

�

�

�

��

��

��

��

��

��

�

��

��

�

��

��

(3.43)

sendo I1(x) a função de Bessel Modiificada de primeira espécie e primeira

ordem.

É possível expressar o valor de �r em função da média quadrática e do

fator K através da seguinte equação:

)1(2

2

Kr

r�

�� (3.44)

Pode-se expressar a distribuição de Rice em unidades logarítmicas,

efetuando-se a transformação X=20logr, resultando na seguinte equação:

� � ��

��

��

�

� �

�

��

��

�

� �

MXKIK

MX

MX

MXp

rrr 2exp2expexp

21exp

21)( 022

��

(3.45)

sendo M=10/ln10.

3.5.3.1. Taxa de Cruzamento de Níveis e Duração Média dos Desvanecimentos

Supondo-se os envelopes do sinal seguindo uma distribuição de Rice,

Pätzold [8] desenvolveu novas equações para a taxa de cruzamento de níveis

e duração média dos desvanecimentos, que serão descritas a seguir.

Um simulador eficiente para um canal em desvanecimento riciano pode

ser obtido utilizando-se o conceito de soma de senóides, substituindo-se o

processo gaussiano de média nula pelo seguinte modelo analítico:

30


��

��

iN

nnininii itfct

1,,, 2,1 ),2cos()(~ �� (3.46)

onde os parâmetros de simulação são dados por:

Ni - número de senóides

ci,n – ganhos

fi,n – freqüências

�i,n – fases

A taxa de cruzamento de níveis pode ser expressa pela seguinte equação:

)(2

~)(~ rprN

�

�

�� (3.47)

onde

Rice de adeprobabilid de densidade função - )(

2,1 ,)(2~ com ~~~1

2,,

221

rp

ifciN

nninii

�

��

��

Os parâmetros de simulação podem ser bem modelados utilizando-se o

Método do Espalhamento Doppler Exato (MEDS), onde as fórmulas para ci,n e

fi,n são dadas pela equação (3.48) e o parâmetro Ni =7.

��

��

��

�

� �

�

21

2

2

,

,

nN

sinff

Nc

imni

irni

�

�

(3.48)

A expressão para a duração média dos desvanecimentos é dada por:

Rice de cumulativa densidade função - )(~)(~)(~

)(~

rP

rNrPr ��

(3.49)

31


3.5.4. Distribuição m-Nakagami

A função densidade de probabilidade de m-Nakagami de um envelope r é

dada por [9]:

��

��

��

� �

� 212

exp)(

2)( mrm

rmrp m

mm

(3.50)

onde

��

� ��

��

��

�

��

�

�

0

1

2/

2

222

)exp()(

)()2/(][

][)var(/][

dxxxm

mmvmrE

rErrEm

m

vv (3.51)

De acordo com (3.51) podemos escrever as fórmula da média e média

quadrática da distribuição m-Nakagami como:

��

��

��

��

�

��

2

21

)(1

r

mmm

r (3.52)

É possível relacionar a distribuição de m-Nakagami com outras

distribuições conhecidas, como por exemplo a distribuição de Rice. Dessa

forma, os parâmetros k e � de Rice podem ser associados com os parâmetros

m e � de Nakagami através da seguinte fórmula, válida apenas para m>1:

� �12

2

112

12)1(

�

��

�

�

��

m

kkm

�

(3.53)

32


É importante ressaltar que as densidades de Rice e m-Nakagami que

possuem parâmetros correspondentes estimados por (3.53) não coincidem,

mas se aproximam. A única exceção ocorre quando m=1 ou k=0, onde a

distribuição m-Nakagami é igual à distribuição de Rayleigh. Para valores muito

grandes de m a função se aproxima de uma distribuição gaussiana.

Pode-se escrever a função densidade de probabilidade m-Nakagami em

unidades logarítmicas, chegando-se à seguinte equação:

��

��

��

��

�

�

�

��

�

�� X-

MXm

MmXm

mMXp

m

x , expexp)(

1)( (3.54)

3.5.4.1. Taxa de Cruzamento de Nível e Duração Média dos Desvanecimentos

As equações (3.34) e (3.37) descrevem a taxa de cruzamento de nível e

duração média dos desvanecimentos considerando o envelope do sinal

seguindo uma distribuição Rayleigh.

Yacoub [9] desenvolveu novas expressões considerando o envelope do

sinal seguindo uma distribuição m-Nakagami. Essas expressões são listadas

abaixo.

)exp()(

2)( 21221

�� mm

mfrN mm

m ��

��

�

(3.55)

)exp(2

),(

21221

2

��

��

mmf

mm

mm

m �

��

�

�

(3.56)

onde �(a,b) é a função Gamma incompleta dada pela equação abaixo:

� ��

ba dzzzba

0

1 )exp(),( (3.57)

33


As expressões acima são válidas apenas para m=n/2, onde n é um

número inteiro positivo. Quando m=1, a distribuição de m-Nakagami é igual à

distribuição de Rayleigh e as equações acima recaem nas equações (3.34) e

(3.37).

3.6. Sumário

Neste capítulo foram discutidos os princípios de propagação rádio móvel.

Nesse sentido foram abordados diferentes modelos de propagação, como:

espaço livre, terra plana, Okumura-Hata, Ibrahim-Parsons e Walfish & Bertoni.

Discutiu-se também o comportamento estatístico do sinal, com diferentes

tipos de distribuições de probabilidade sugeridas para cada tipo de variação do

sinal. A variação lenta foi considerada como seguindo uma distribuição log-

normal, e a rápida como Rayleigh, Rice ou m-Nakagami, dependendo do tipo

de situação enfrentada pelo sinal em determinado ambiente (com componente

forte de visada direta ou não).

Além do que foi dito anteriormente, as expressões para a taxa de

cruzamento de nível e duração média de desvanecimentos foram mostradas,

supondo uma distribuição Rayleigh, Rice ou m-Nakagami.

34

Capítulo 3 – Propagação Rádio Móvel - PUC-Rio

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