Capítulo 6 - Medidores de Grandezas Elétricas Periódicas 6 ...€¦ · 6.3 – Análise de um...

Capítulo 6 – Medidores de Grandezas Elétricas Periódicas – Prof. Fábio Bertequini Leão / Sérgio Kurokawa

1

Capítulo 6 - Medidores de Grandezas Elétricas Periódicas

6.1 – Introdução

Neste capítulo será estudado o princípio de funcionamento dos instrumentos utilizados

para medir grandezas (tensões e correntes) periódicas.

Em circuitos cujas tensões e correntes são variáveis no tempo e periódicas, é necessário

conhecer os valores eficazes (ou RMS) destas grandezas.

Basicamente existem dois tipos de medidores de valor RMS de grandezas elétricas

(correntes e tensões) que são:

- Medidores de Falso Valor RMS;

- Medidores de Verdadeiro Valor RMS.

Os medidores de Falso Valor RMS são construídos a partir de medidores DC e somente

fornecem o valor RMS de grandezas senoidais, enquanto que os medidores de Verdadeiro Valor

RMS podem ser utilizados para medir o valor RMS de qualquer grandeza periódica.

6.2 – Valor RMS de Correntes e Tensões

Considere um circuito resistivo, alimentado por uma tensão periódica v(t) genérica,

conforme mostra a Figura 6.1.

Figura 6.1: Circuito com resistência R.

A corrente i(t) no circuito mostrado na Figura 6.1 é dada por:

( )( )

v ti t

R= (6.1)

A potência instantânea p(t) fornecida para a resistência R é dada por:

( ) ( ) ( )p t v t i t= ⋅ (6.2)

A potência média fornecida para a resistência R é calculada como sendo:

i(t)

R v(t)


2

0 0 0

1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )

T T T v tP p t dt v t i t dt v t dt

T T T R= = ⋅ = ⋅ ⇒∫ ∫ ∫

2

0

1 1( )

T

P v t dtR T

= ⋅

∫ (6.3)

Em (6.3) T é o período da tensão v(t).

A expressão (6.3) pode ser escrita, resumidamente, como sendo:

2RMSV

PR

= (6.4)

Em (6.4) o termo VRMS é denominado Root Mean Square ou valor RMS ou valor eficaz

da tensão v(t). Este termo é escrito como:

2

0

1( )

T

RMSV v t dtT

= ∫ (6.5)

O valor RMS de v(t) dado por (6.5) pode ser definido como uma tensão constante que

causaria uma dissipação de potência P no resistor R igual à causada por um valor constante de

tensão dado por v(t)=V volts.

A potência p(t) também pode ser escrita como sendo:

2( ) ( )p t R i t= ⋅ (6.6)

Calculando a potência média fornecida para a carga a partir de (6.6) teremos:

2

0 0

1 1( ) ( )

T T

P p t dt R i t dtT T

= = ⋅ ⇒∫ ∫

2

0

1( )

T

P R i t dtT

=

∫ (6.7)

A expressão (6.7) pode ser escrita, resumidamente, como sendo:


3

2RMSP R I= ⋅ (6.8)

Em (6.8) o termo IRMS é denominado Root Mean Square ou valor RMS ou valor eficaz da

corrente i(t). Este termo é escrito como:

2

0

1( )

T

RMSI i t dtT

= ∫ (6.9)

As equações (6.4) e (6.8) mostram que os valores RMS de v(t) e i(t) são necessários para

que seja possível calcular a potência média ou potência ativa fornecida por uma carga. Deste

modo, torna-se necessário o desenvolvimento de instrumentos capazes de medir o valor RMS

das tensões e correntes variáveis no tempo.

6.3 – Análise de um Galvanômetro submetido a uma Corrente Variável no Tempo e

Periódica

Considere um galvanômetro inserido em um circuito, conforme mostra a Figura 6.2.

Considerando que a tensão v(t) é uma tensão periódica genérica, a mesma pode ser

representada por meio de uma série de Fourier, ou seja:

( ) ( )1

( ) cos seno n o n on

v t V a n t b n tω ω∞

=

= + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ∑ (6.10)

Sendo:

Vo: Valor médio de v(t);

an e bn: Coeficientes de Fourier;

2o

rad

T s

πω =

: Frequência angular da fundamental;

Rm

G

Ri(t)

v(t) Galvanômetro

Figura 6.2: Circuito resistivo com a inserção do galvanômetro.


4

Na equação (6.10) Vo é dado por:

0

1( ) ( )

T

oV v t d tT

= ∫ (6.11)

Sendo:

T: Período da fundamental da função v(t).

A corrente i(t) no circuito mostrado na Figura 6.2 é dada por:

( )( )

v ti t

R Rm=

+ (6.12)

Sabe-se que a posição angular Ɵ do ponteiro de um galvanômetro de bobina móvel é

descrito por meio da seguinte equação diferencial:

2

2

( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

rn a

a

T tT tT t T t

t t SJ D S t i t

t t K

θ θ θ∂ ∂+ ⋅ + ⋅ = ⋅∂ ∂ ��

��

(6.13)

Sendo:

Tn(t): Torque resultante no núcleo;

Ta(t) Torque produzido devido ao atrito do núcleo do galvanômetro com o ar;

Tr(t): Torque restaurador produzido pela mola;

T(t): Torque devido a interação entre o campo magnético e a corrente na bobina;

J: Momento de inércia do núcleo do galvanômetro;

Da: Coeficiente de arrasto do ar;

S: Constante da mola;

SK

N B L W=

⋅ ⋅ ⋅: Coeficiente do instrumento sendo LW=Área da bobina;

Substituindo (6.12) em (6.13) teremos:

( )2

2

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

rn a

a

T tT t T t

t t S v tJ D S t

t t K R Rm

θ θ θ∂ ∂+ ⋅ + ⋅ = ⋅∂ ∂ +��

��

(6.14)

Aplicando a Transformada de Laplace em (6.14), temos:


5

( )2 ( ) ( ) ( ) ( )a

SJ s s D s s S s v s

K R Rmθ θ θ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒

+

( ) ( )2( ) ( )

a

Ss v s

K R Rm J s D s Sθ = ⋅

+ ⋅ ⋅ + ⋅ + (6.15)

Na expressão (6.15) v(s) é a Transformada de Laplace de v(t) e é escrita como sendo:

( ) ( )2 22 21

( ) o on n

n o o

V s nv s a b

s s n s n

ωω ω

∞

=

⋅= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

∑ (6.16)

Substituindo (6.16) em (6.15) vem:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 21

( ) o on n

na o o

S V s ns a b

sK R Rm J s D s S s n s n

ωθω ω

∞

=

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ ∑ (6.17)

Sabemos que a posição angular do ponteiro, em regime permanente, pode ser obtida por

meio do teorema do valor final, ou seja:

0lim ( ) lim ( )

t sss t s sθ θ θ

→∞ →= = ⋅ (6.18)

Sendo:

ssθ : Valor de Ɵ em regime permanente.

Aplicando o teorema do valor final na equação (6.17) temos:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 22 2 201

2

2 22 2 201

lim

lim

o on n

sna o o

oo n n

sna o o

S V s nss s a b

sK R Rm J s D s S s n s n

S s s nss V a b

K R Rm J s D s S s n s n

Sss

K R Rm

ωθω ω

ωθω ω

θ

∞

→ =

∞

→=

⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒ + ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅

=+

∑

∑

( )1

o oV VS K R Rm

⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ +

1 oVss

K R Rmθ = ⋅ +

(6.19)


6

Na expressão (6.19) Vo é o valor médio da tensão v(t). Portanto o termo oV

R Rm +

é o

valor médio da corrente que circula no galvanômetro. Então a equação (6.19) pode ser escrita

como sendo:

1oss I

Kθ = ⋅ (6.20)

Sendo Io o valor médio da corrente que circula no galvanômetro dado por:

0

1( ) ( )

T

oI i t d tT

= ∫ (6.20-a)

A expressão (6.20) mostra que quando um galvanômetro é submetido a uma corrente

periódica i(t), o ponteiro do instrumento irá sofrer um deslocamento angular que é proporcional

ao valor médio da corrente que percorre o instrumento (Figura 6.3).

Figura 6.3: Representação da bobina e deslocamento do ponteiro do galvanômetro para uma corrente i(t)

periódica.

Portanto, conclui-se que o galvanômetro mostra o valor médio da corrente que circula no

mesmo. Consequentemente, um amperímetro de bobina móvel irá mostrar o valor médio da

corrente que circula no mesmo e um voltímetro de bobina móvel mostrará o valor médio da

tensão aplicada em seus terminais.


7

6.4 – Medidores de Falso Valor RMS

6.4.1 – Amperímetro de Falso Valor RMS

Considere um amperímetro de bobina móvel ideal, acoplado a um retificador de onda

completa, conforme mostra a Figura 6.4.

Figura 6.4: Amperímetro de bobina móvel acoplado a um retificador de onda completa.

Considere agora o circuito mostrado na Figura 6.5.

( )( )v t Vp sen tω= ⋅ ⋅

Figura 6.5: Circuito resistivo com tensão senoidal.

A corrente i(t) na Figura 6.5 é dada por:

( )( )( ) ( )

v t Vpi t i t sen t

R Rω= ⇒ = ⋅ ⋅ (6.21)

A Figura 6.6 ilustra a forma de onda da corrente i(t) na resistência R.


8

i(t)Vp

R

πω

2πω t

Vp

R−

T

Figura 6.6: Corrente i(t) na resistência R.

Inserindo o conjunto amperímetro/retificador no circuito mostrado na Figura 6.5 temos a

Figura 6.7.

Figura 6.7: Conjunto amperímetro retificador inserido no circuito da Figura 6.5.

No semiciclo positivo de v(t) da Figura 6.7 teremos:

- Diodos D1 e D4 conduzindo;

- Diodos D2 e D3 bloqueados.

Portanto, no semiciclo positivo o circuito mostrado na Figura 6.7 torna-se:


9

Figura 6.8: Circuito da Figura 6.7 no semiciclo positivo de v(t).

No semiciclo negativo de v(t), D2 e D3 estão conduzindo, enquanto D1 e D4 estão

bloqueados. Então no semiciclo negativo, teremos o circuito mostrado na Figura 6.9.

Figura 6.9: Circuito da Figura 6.7 no semiciclo negativo de v(t).

Observando as Figuras 6.8 e 6.9 verifica-se que a corrente na carga (resistência R) é

positiva no semiciclo positivo e negativa no semiciclo negativo de v(t) (observe a Figura 6.6).

Quanto a corrente iA(t) no amperímetro, verifica-se que a mesma está sempre “entrando” no

ponto C ou seja, possui sempre o mesmo sentido. A Figura 6.10 mostra a forma de onda da

corrente retificada iA(t) no amperímetro.


10

Vp

R

πω

2πω

Figura 6.10: Forma de onda de i(t) retificada.

Com base nas Figuras 6.6 e 6.10 conclui-se que:

- A presença do conjunto retificador/amperímetro não altera a corrente i(t) na carga;

- O amperímetro ficará submetido à corrente da carga. No entanto esta corrente é

retificada pela ponte de diodos.

A análise foi feita para uma corrente senoidal. No entanto, independente da forma de

onda de i(t), o amperímetro estará submetido à corrente i(t) retificada.

Uma vez que um amperímetro de bobina móvel mostra o valor médio da corrente i(t) que

circula em sua bobina, conclui-se que na Figura 6.7 o amperímetro irá mostrar o valor médio de

i(t) retificada.

Se o valor mostrado pelo amperímetro da Figura 6.4 for multiplicado pelo Fator de Forma

da corrente que circula no mesmo, o conjunto retificador/amperímetro pode ser utilizado como

um amperímetro que mede o valor RMS da corrente que circula no mesmo. Denomina-se fator

de forma da corrente iA(t) no amperímetro, à seguinte relação:

RMSIF

I= (6.22)

Sendo:

RMSI : Valor RMS da corrente iA(t);

I : Valor médio da corrente iA(t).

Da equação (6.22) obtemos:

RMSI F I= ⋅ (6.22-a)


11

Devido ao fato de que este instrumento mede o valor RMS a partir da definição do Fator

de Forma da corrente que circula no amperímetro, e não da definição de valor RMS, o mesmo é

denominado Amperímetro de Falso Valor RMS.

A Figura 6.11 mostra a representação esquemática de um amperímetro de falso valor

RMS.

Figura 6.11: Representação esquemática de um amperímetro de falso valor RMS.

Observe que ILIDO será o valor RMS de iA(t) no amperímetro. No entanto, sabe-se que os

valores RMS de i(t) e iA(t) são iguais (observe as Figuras 6.6 e 6.10 e a equação 6.9). Deste

modo podemos afirmar que o valor ILIDO na Figura 6.11 corresponde ao valor RMS de i(t). Um

instrumento de Falso Valor RMS geralmente é construído para medir grandezas senoidais, cujo

Fator de Forma é 2 2

Fπ= .

Exemplo 1: Determine o valor mostrado pelo amperímetro da Figura 6.7, considerando

v(t) como sendo:

a) ( )( ) ov t V sen tω= ⋅ ⋅

b) A seguinte forma de onda:

oV

2 ot

2oV−

5 ot


12

Exemplo 2: Considere o circuito mostrado a seguir:

( )( ) ov t V sen tω= ⋅ ⋅

a) Calcule o valor RMS da corrente i(t);

b) Determine o valor mostrado por um amperímetro de Falso Valor RMS que é utilizado

para medir a corrente i(t). Considere que o instrumento é ideal.

Exemplo 3: Repita o exemplo 2, considerando que v(t) é dada por:

v(t)

oV

2 ott

5 ot 7 ot

T

A partir dos exemplos 2 e 3 você deve chegar as seguintes conclusões:

a) Um amperímetro de Falso Valor RMS mostra o valor RMS de correntes senoidais;

b) Para o caso de correntes não senoidais, o instrumento retifica esta corrente, em

seguida calcula o valor médio da corrente retificada e, para finalizar, multiplica o

valor médio obtido pelo Fator de Forma da onda senoidal (2 2

Fπ= ).


13

6.4.2 – Voltímetros de Falso Valor RMS

Um voltímetro de Falso Valor RMS é construído à partir do circuito mostrado na Figura

6.12.

Figura 6.12: Voltímetro de bobina móvel acoplado a um retificador de onda completa.

Aplicando uma tensão ( )( ) ov t V sen tω= ⋅ ⋅ nos pontos A e B do circuito da Figura 6.12 e

considerando que a tensão medida pelo voltímetro DC é v1(t) temos as formas de onda das

tensões v(t) e v1(t) apresentadas nas Figuras 6.13(a) e 6.13(b), respectivamente.

oV

πω

2πω

oV−

πω

2πω

oV

Figura 6.13: a) Forma de onda da tensão v(t) sem retificação; b) forma de onda da tensão v1(t) (v(t)

retificada).

Portanto é possível concluir que a tensão no voltímetro é a tensão v(t) retificada. Deste

modo, o voltímetro irá mostrar o valor médio de v(t) retificada. Analogamente ao que foi

estudado no item 6.4.1, pode-se obter um Voltímetro de Falso Valor RMS a partir do conjunto

mostrado na Figura 6.12 considerando a Figura 6.11 para tensão. Desta forma, se v(t) for uma

tensão senoidal, VLIDO será o valor médio de v(t) retificado multiplicado por 2 2

Fπ= .


14

Exemplo 4: Considere o circuito mostrado em seguida:

( )( ) ov t V sen tω= ⋅ ⋅

a) Calcule o valor RMS de v2(t);

b) Meça a tensão v2(t) utilizando um voltímetro de Falso Valor RMS ideal.

Exemplo 5: Repita o exemplo 4 considerando v(t) dado pela forma de onda a seguir:

oV

2 ot 3 ot


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6.5 - Medidores De Valor RMS Verdadeiro

6.5.1 - Intrumentos de ferro móvel

Um instrumento de ferro móvel é, basicamente, constituído de uma bobina fixa, de

um núcleo de ferro que pode mover-se no interior da bobina e de uma mola cuja função é

fornecer o torque restaurador. A Figura 6.14 mostra um instrumento de ferro móvel.

Figura 6.14: Instrumento de ferro móvel

Quando uma corrente i percorre a bobina fixa do sistema mostrado na Figura 6.14, o

campo magnético produzido pela bobina fixa armazena uma energia W dada por:

21

2W Li= (6.23)

Nestas condições, o núcleo de ferro fica submetido a uma força f�

e sofrerá um

deslocamento angular θ para o interior da bobina até que o torque produzido pela força f�

seja

igual ao torque restaurador produzido pela mola.

O torque T devido à ação da força f�

é dado por:

21

2

W LT T i

θ θ∂ ∂ = ⇒ = ∂ ∂

(6.24)


16

Um instrumento de ferro móvel possui características construtivas tais que o termo

L

θ∂∂

seja constante. Deste modo, a equação 6.24 torna-se:

21T i

K= (6.25)

Na posição de equilíbrio, teremos:

2 21 1RT T i S i

K K Sθ θ= ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅

⋅ (6.26)

A expressão (6.26) mostra a posição angular instantânea do ponteiro quando uma

corrente i percorre a bobina do instrumento.

Considerando que a corrente i é uma função periódica, sabe-se que o ponteiro irá

estacionar em uma posição angular que corresponde ao valor médio de θ e a partir de (6.26)

temos:

2

0 0

1 1 1T T

AV AVdt i dtT K S T

θ θ θ

= ⇒ = ⋅ ∫ ∫ (6.27)

Na equação (6.27) o termo 2

0

1 T

i dtT ∫ corresponde a IRMS

2, sendo que IRMS é o valor

RMS da corrente i. Então, conclui-se que:

( )21AV RMSI

K Sθ =

⋅ (6.28)

A equação (6.28) mostra que o deslocamento angular do ponteiro do sistema

mostrado na Figura 6.14 é proporcional ao valor RMS da corrente i elevado ao quadrado.

Observe que esta afirmação pode ser feita independentemente da forma de onda da corrente i.

Portanto, o sistema mostrado na Figura 6.14 pode ser utilizado para construir amperímetros e

voltímetros que medem o valor RMS de qualquer forma de onda periódica.


17

Portanto quando uma corrente periódica i(t) circula em um amperímetro de ferro

móvel, o mesmo mostrará o seguinte valor:

2

0

1 ( )

T

LidoI i t dtT

= ∫ (6.29)

Na equação (6.29) ILido é o valor mostrado pelo amperímetro e T é o período da

corrente i(t).

Analogamente, quando uma tensão v(t) periódica é aplicada nos terminais de um

voltímetro de ferro móvel, o valor mostrado pelo instrumento será:

2

0

1 ( )

T

LidoV v t dtT

= ∫ (6.30)

Na equação (6.30) VLido é o valor mostrado pelo voltímetro e T é o período da tensão

v(t).

Exemplo 6: Considere o circuito e a forma de onda mostrados em seguida:

( )v t

oV

3 ot 5 ot 8 ot

a) Meça a tensão sobre R2, utilizando um voltímetro de ferro móvel ideal;

b) Meça a corrente i(t) utilizando um amperímetro de ferro móvel ideal.


18

Revisão do Capítulo

Valor Médio de Potência e Valor Eficaz ou RMS de Correntes e Tensões

2

0 0 0 0

1 1 1 ( ) 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

T T T Tv tP p t dt v t i t dt v t dt v t dt

T T T R R T

= = ⋅ = ⋅ = ⋅

∫ ∫ ∫ ∫

2RMSV

PR

⇒ = 2

0

1( )

T

RMSV v t dtT

⇔ = ∫ 2

0

1( )

T

RMSI i t dtT

⇔ = ∫2

RMSP R I= ⋅( )v t

Amperímetros e Voltímetros de Bobina Móvel

0

1 1( ) ( )

Tss i t d t

K Tθ = ⋅

∫

(constante)S

KN B L W

=⋅ ⋅ ⋅

0

1 1( ) ( )

Tss v t d t

K Tθ = ⋅

∫

Amperímetros e Voltímetros de Falso Valor RMS

A FEscala ou

Display

i(t) iA(t) I LIDOI

Retificador/AmperímetroFator de Forma

de iA(t)

Amperímetro de Falso Valor RMS

(Fator de Forma)RMSIF

I= (Ondas puramente senoidais)

2 2F

π=

Nota: Devido ao fato de que este instrumento mede o valor RMS a partir da definição do Fator de Forma

da corrente que circula no amperímetro, e não da definição de valor RMS, o mesmo é denominado

amperímetro/voltímetro de Falso Valor RMS.

Amperímetros e Voltímetros de Ferro Móvel ou Valor RMS verdadeiro (True RMS)

( )22

0

1 1 1( )

T

RMSss i t dt IK S T K S

θ

= = ⋅ ⋅ ∫

1 1 (constante)

2

L

K θ∂ = ∂

( )22

0

1 1 1( )

T

RMSss v t dt VK S T K S

θ

= = ⋅ ⋅ ∫


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Anexos

Tabela de Transformadas de Laplace

TABELA: Derivadas, Integrais

e Identidades Trigonometricas

• Derivadas

Sejam u e v funcoes derivaveis de x e n con-stante.

1. y = un ⇒ y′ = nun−1u′.2. y = uv ⇒ y′ = u′v + v′u.3. y = u

v ⇒ y′ = u′v−v′uv2 .

4. y = au ⇒ y′ = au(ln a) u′, (a > 0, a 6= 1).5. y = eu ⇒ y′ = euu′.6. y = loga u ⇒ y′ = u′

u loga e.7. y = lnu ⇒ y′ = 1

uu′.8. y = uv ⇒ y′ = v uv−1 u′ + uv(lnu) v′.9. y = sen u ⇒ y′ = u′ cos u.10. y = cos u ⇒ y′ = −u′sen u.11. y = tg u ⇒ y′ = u′ sec2 u.12. y = cotg u ⇒ y′ = −u′cosec2u.13. y = sec u ⇒ y′ = u′ sec u tg u.14. y = cosec u ⇒ y′ = −u′cosec u cotg u.15. y = arc sen u ⇒ y′ = u′√

1−u2.

16. y = arc cos u ⇒ y′ = −u′√1−u2

.

17. y = arc tg u ⇒ y′ = u′1+u2 .

18. y = arc cot g u ⇒ −u′1+u2 .

19. y = arc sec u, |u| > 1⇒ y′ = u′

|u|√u2−1, |u| > 1.

20. y = arc cosec u, |u| > 1⇒ y′ = −u′

|u|√u2−1, |u| > 1.

• Identidades Trigonometricas

1. sen2x + cos2 x = 1.2. 1 + tg2x = sec2 x.3. 1 + cotg2x = cosec2x.4. sen2x = 1−cos 2x

2 .5. cos2 x = 1+cos 2x

2 .6. sen 2x = 2 sen x cos x.7. 2 sen x cos y = sen (x− y) + sen (x + y).8. 2 sen x sen y = cos (x− y)− cos (x + y).9. 2 cos x cos y = cos (x− y) + cos (x + y).10. 1± sen x = 1± cos

(π2 − x

).

• Integrais

1.∫

du = u + c.2.

∫undu = un+1

n+1 + c, n 6= −1.3.

∫duu = ln |u|+ c.

4.∫

audu = au

ln a + c, a > 0, a 6= 1.5.

∫eudu = eu + c.

6.∫

sen u du = − cos u + c.7.

∫cos u du = sen u + c.

8.∫

tg u du = ln |sec u|+ c.9.

∫cotg u du = ln |sen u|+ c.

10.∫

sec u du = ln |sec u + tg u|+ c.11.

∫cosec u du = ln |cosec u− cotg u|+ c.

12.∫

sec u tg u du = sec u + c.13.

∫cosec u cotg u du = −cosec u + c.

14.∫

sec2 u du = tg u + c.15.

∫cosec2u du = −cotg u + c.

16.∫

duu2+a2 = 1

aarc tgua + c.

17.∫

duu2−a2 = 1

2a ln∣∣∣u−au+a

∣∣∣ + c, u2 > a2.

18.∫

du√u2+a2

= ln∣∣∣u +

√u2 + a2

∣∣∣ + c.

19.∫

du√u2−a2

= ln∣∣∣u +

√u2 − a2

∣∣∣ + c.

20.∫

du√a2−u2

= arc senua + c, u2 < a2.

21.∫

duu√

u2−a2= 1

aarc sec∣∣ua

∣∣ + c.

• Formulas de Recorrencia

1.∫

sennau du = − senn−1au cos auan

+(

n−1n

) ∫senn−2au du.

2.∫

cosn au du = sen au cosn−1 auan

+(

n−1n

) ∫cosn−2 au du.

3.∫

tgnau du = tgn−1aua(n−1) −

∫tgn−2au du.

4.∫

cotgnau du = − cotgn−1aua(n−1) −∫

cotgn−2au du.

5.∫

secn au du = secn−2 au tg aua(n−1)

+(

n−2n−1

) ∫secn−2 au du.

6.∫

cosecnau du = − cosecn−2au cotg aua(n−1)

+(

n−2n−1

) ∫cosecn−2au du.

Medidas Elétricas – Material complementar ao capítulo 6 1

1 Introdução O conhecimento do princípio de funcionamento do galvanômetro em regime permanente é útil mas não representa um completo entendimento do instrumento, uma vez que para que tenhamos uma visão completa do mesmo devemos analisar também o seu comportamento em regime transitório. 2 Equações diferenciais do galvanômetro Considere o circuito mostrado na figura 1, onde é mostrado um galvanômetro de bobina móvel, cuja resistência interna é Rm, alimentado através de uma fonte de tensão constante de valor E. A resistência R tem a função de limitar a corrente no galvanômetro.

Figura 1 – Circuito para análise da resposta transitória do galvanômetro

Na figura 1, inicialmente a chave está aberta e o ponteiro do galvanômetro está em repouso na posição angular θ = 0. No tempo t = 0 a chave é fechada e uma corrente começa a circular no circuito, fazendo com que o ponteiro alcance uma posição final θs em regime permanente. Para que possamos descrever matematicamente o movimento angular do ponteiro do galvanômetro em regime transitório, devemos inicialmente obter as equações diferenciais do instrumento e em seguida procurar soluções para estas equações. As equações diferenciais serão obtidas a partir das leis da mecânica clássica e das leis básicas de circuitos elétricos. A equação básica de um corpo rígido é escrita como sendo:

∑=

=n

k

k dt

)t(dH)t(T

1

(1)

Na equação 1 Tk(t) é um dos n torques externos que atuam no corpo rígido e H(t) é o movimento angular deste corpo. Uma vez que o galvanômetro possui somente um grau de liberdade, o momento angular é calculado como sendo:

dt

)t(dJ)t(H

θ= (2)

Na equação 2 J é o momento de inércia do núcleo do galvanômetro e θ(t) é a posição angular do ponteiro (em função do tempo) que está preso ao núcleo. O torque externo que atua no núcleo pode ser decomposto em 3 componentes que são: a) Torque T, resultante da iteração entre o campo magnético, produzido pelo imã permanente, e a corrente que circula na bobina. No caso do galvanômetro de campo radial, foi mostrado no capítulo 2 que o torque no núcleo é dado por:

)t(iABN)t(T = (3)

Na equação 3 N é o número de espiras da bobina, B é a intensidade do campo magnético do imã permanente e A é a área da bobina que está inserida no campo magnético do imã. b) Torque restaurador Tr produzido pela mola, que é descrito através de:

)t(S)t(Tr θ= (4)

Na expressão 4 S é a constante da mola. c) Torque Ta produzido pelo atrito do núcleo do galvanômetro com o ar, sendo que este torque é escrito como sendo:

dt

)t(dD)t(T aa

θ= (5)

Portanto, o torque resultante no núcleo é expresso como sendo:

dt

)t(dH)t(T)t(T)t(TT ar

k

k =−−=∑=

3

1

(6)

Substituindo as expressões 3-5 na equação 6 obtém-se:

dt

)t(dH

dt

)t(dD)t(S)t(iABN a =θ−θ− (7)

Capítulo 6 - Dinâmica do galvanômetro

Medidas Elétricas – Material complementar ao capítulo 6 2

Substituindo a expressão 2 na equação 7, temos:

2

2

dt

)t(dJ

dt

)t(dD)t(S)t(iABN a

θ=θ−θ− (8)

No capítulo 2 foi mostrado que:

ABNK

S = (9)

Substituindo a expressão 9 na equação 8 obtém-se:

2

2

dt

)t(dJ

dt

)t(dD)t(S)t(i

K

Sa

θ=θ−θ− (10)

Manipulando a expressão 10, temos:

)t(iK

S)t(S

dt

)t(dD

dt

)t(dJ a =θ+θ+θ

2

2

(11)

A equação 11 relaciona a posição angular θ(t) e a corrente i(t) que circula na bobina do galvanômetro. Portanto, devemos determinar também uma equação diferencial para a corrente i(t). A partir da solução da equação (11), pode-se verificar que movimento do ponteiro poderá ser sobreamortecido, criticamente amortecido ou subamortecido, conforme mostra a Figura 2. O tipo de movimento desenvolvido pelo ponteiro é função das constantes J, Da, S e K do instrumento.

Figura 2 - Movimento angular do ponteiro do galvanômetro

De acordo com a Figura 2, o movimento angular do

ponteiro, antes de alcançar a posição de regime permanente θs pode ser do tipo:

a) Lento e gradual (movimento sobreamortecido); b) Rápido, de modo que o ponteiro não ultrapasse a

posição θs (movimento criticamente amortecido);

c) Oscilatório, de modo que o ponteiro oscile durante um intervalo de tempo em torno da posição de regime permanente θs (movimento subamortecido).

A figura 2 mostra que independentemente do tipo de movimento que o ponteiro descreve (a, b ou c) o mesmo alcançará em regime permanente a posição θs e, nesta condição, a corrente Is que circulará na bobina do galvanômetro pode ser obtida diretamente do circuito mostrado na figura 1 como sendo:

ms RR

EI

+= (12)

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