Capítulo 7 - Sites do IFGW · dada em (7.9) na Eq. (7.2) temos um modelo útil para o ECG (aquele...

Capítulo 7

O Potencial Externo e o Eletrocardiograma

Cap.7 – O Potencial Externo e o Eletrocardiograma

Introdução • No Cap. 6, foi assumido que o potencial no exterior de uma

célula nervosa é praticamente nulo. No entanto, existe um pequeno potencial que é mensurável e possui relevância clínica: – Eletrocardiograma; – Eletromiograma ; – Eletroencefalograma.

• Neste capítulo, vamos ver: – O potencial externo de um axônio cilíndrico longo num meio condutor; – Se houver suficiente fluido extracelular, de modo que a resistência

externa seja pequena, então o potencial externo é pequeno em relação ao potencial interno (dentro da célula);

– A aproximação do potencial de ação por um pulso triangular de modo a calcular o potencial longe da célula;

– A mesma coisa para um pulso de forma arbitrária; – A despolarização das células cardíacas; – O eletrocardiograma; – Os fatores que distorcem o sinal; – Modelos melhorados; – Estimulação para respostas evocadas, marca-passo e desfibrilação.

O potencial externo de uma célula cilíndrica longa • No Cap. 6, o cálculo do potencial eletrotônico (membrana

obedece à lei de Ohm) e do potencial de ação (membrana é não-linear) baseou-se na equação do cabo:

(6.52)

onde

– im = corrente na membrana (soma das correntes de todos os tipos de íons) => definida como positiva quando a carga positiva se move de dentro para fora da célula;

– jm = densidade de corrente = corrente/unidade de área; – cm = capacitância da membrana/unidade de área; – ri = resistência (dentro da célula)/unidade de comprimento; – a = raio da célula cilíndrica; – v = potencial interno (considerando que o externo é nulo).

2

2

2

1

x

v

raj

t

vc

i

mm

O potencial externo de uma célula cilíndrica longa • Para isso, jm foi modelada apropriadamente para cada potencial,

e assumiu-se vo=0 (vo = vout = v externo). A Eq. (6.52) foi derivada considerando a conservação de carga (Figura 6.28):

(6.47b)

onde vi = potencial interno e vo = potencial externo; e a lei de Ohm para o axoplasma é dada por:

(6.48)

• Resumindo: no Cap. 6 assumiu-se vo=0. Neste capítulo, vamos

calcular vo supondo vários casos. Para isso, vamos separar o axônio em três partes (Fig. 7.1 – próximo slide):

• Meio interno (axoplasma); • Membrana; • Meio externo.

membrana

na corrente

membranada interna superfície

na carga de variaçãocélula da

dentro correntede variação

)(m

oimi i

t

vvCdi

x

v

rxi i

i

i

1)(

O potencial externo de uma célula cilíndrica longa • Como primeiro modelo, vamos supor que no axoplasma temos

corrente constante até um certo ponto e nula a partir desse ponto (Fig. 7.1b) – Isto significa que, nesse ponto, deve haver corrente fluindo através da

membrana de dentro para fora (Fig. 7.1c) – E o potencial interno deve ter a forma mostrada na Fig. 7.1a (pois supomos

que o meio interno obedece à lei de Ohm).

• Queremos saber como a corrente se comporta no meio externo (3D) ao axônio. – Supomos que este meio é infinito,

homogêneo, isotrópico e possui condutividade so

– E também que a célula é fina o suficiente para não alterar as propriedades do meio, a não ser bem próximo ao eixo x (supomos que o axônio se estende ao longo desse eixo).

– Para calcular o potencial externo, calculamos

a ddp entre dois pontos A e B (Fig. 7.2). Lembremos que:

– Portanto,

24 r

ij o

O potencial externo de uma célula cilíndrica longa • Suponha que a corrente io saia para o meio externo na origem

– Como este meio é homogêneo (o axônio “não interfere”), é como se tivéssemos uma fonte de corrente pontual na origem

– Nesse caso, a densidade de corrente tem simetria esférica, direção radial para fora, e sua magnitude a uma distância r é dada por

– O campo elétrico, então, possui magnitude com direção radial para fora

24 r

ijE

o

o

o ss

x

vEx

.11

44)()(

2

|| pois 0

'

'

ABo

o

o

o

r

r

B

B

r

B

A

B

Arr

idr

r

idrEAvBv

B

Ass

dsE

dsEdsE

O potencial externo de uma célula cilíndrica longa

• Supondo que A ∞ e que nA=0 no infinito, temos que o potencial de uma fonte pontual de corrente a uma distância r da mesma é

(7.1)

que é análoga à expressão para carga pontual

• O problema com este modelo é que partimos de um vi como o mostrado na Fig. 7.1a, mas vi não pode continuar aumentando indefinidamente para a esquerda do axônio

r

irv

o

o

s4)(

r

qrv

04)(


• Consideremos, então, um segundo modelo com vi como mostrado na Fig. 7.3. Este é um bom modelo para o eletrocardiograma (ECG), pois a repolarização das células do miocárdio não ocorre por um tempo de ~100ms, portanto a célula é totalmente despolarizada antes do início da repolarização.

– Neste caso, a corrente ii será não-nula apenas entre 0 e x2, em que há um gradiente de vi:

(*1)

– onde ri é a resistividade do interior do axônio (que é o inverso da condutividade ri = 1/si), L é o comprimento da região do gradiente de potencial e S é a seção transversal do axônio

– ii flui para o meio externo em x = x2 (fonte), e de volta para o axônio em x = 0 (dreno)

– A combinação de fonte e dreno de mesma magnitude é chamada de dipolo de corrente (Fig. 7.3.c)

2

2

x

av

S

L

v

R

vi ii

i

iii

s

r

O potencial externo de uma célula cilíndrica longa • No meio externo, o potencial em qualquer ponto P se deve a dois

termos: um da fonte ii em x=x2 e outro do dreno –ii em x=0: onde r0 = distância entre ponto e dreno e r2 = distância entre ponto e fonte

• Substituindo (*1) nesta equação temos

(7.2)

20 44 r

i

r

iv

o

i

o

i

ss

022

2

022

2

02

11

4

11

4

111

4 rrx

avv

rrx

av

rr

iv

o

iiii

oo

i

s

ss

ss

• A Eq. (7.2) pode ser usada para estimar o potencial num ponto externo para o ECG devido ao longo atraso antes da repolarização das células miocárdicas


• Para estimar o potencial de um impulso nervoso, podemos usar um terceiro modelo, em que aproximamos o potencial de ação por um potencial triangular (Fig. 7.4.a)

– Neste caso, para o potencial externo, temos fontes i1 em x=–x1 e i2 em

x=x2, e um dreno –(i1+i2) em x = 0

– O potencial num ponto externo P (Fig. 7.5) é dado por:


• Mas, da Eq. (*1), temos que os valores de i1 e i2 serão dados por

• Substituindo (7.3a) e (7.3b) em (7.3c) temos:

• (O sinal de i1 não entra pois este se refere à direção da corrente dentro do axônio e aqui estamos considerando apenas o efeito das fontes/drenos pontuais de corrente do lado de fora, que possuem a simetria esférica mencionada previamente).

• A Eq. (7.4) vale para qualquer distância do axônio, desde que o potencial de ação possa ser aproximado pelo modelo da Fig. 7.4

O potencial externo é pequeno

• Para verificar que o potencial externo é de fato pequeno (e, portanto, a aproximação usada no Cap. 6 é razoável), vamos usar a Eq. (7.2) para estimar o potencial externo próximo à superfície do axônio, no local onde este será o maior possível, p. ex., em x = 0

• Nesse caso, teremos r2 ≈ x2, r0 = a, e, supondo que a variação do potencial interno seja ni, temos:

• Mas x2 » a, o que implica que , portanto

O potencial externo é pequeno

• Próximo de x = x2, o potencial será

• A ddp entre esses dois pontos é:

• Considerando iguais as condutividade dentro e fora do axônio (si = so) temos

• ou seja, as variações no potencial externo estão para as variações no potencial interno assim como o raio do axônio (que é muito pequeno) está para a distância ao longo da célula na qual temos variação de potencial (geralmente bem maior que o raio do axônio)

• Para o neurônio da lula, temos que x2 ≈ 1 cm. • Supondo a ≈ 0.5 mm, temos:

22x

a

v

v

i

o

40

1

102

5.0

i

o

v

v

O potencial longe da célula

– Se o ponto P está a uma distância r0 da origem e faz um ângulo q com o axônio (i.e., com o eixo x), temos

– Substituindo a aproximação para r2 dada em (7.9) na Eq. (7.2) temos um

modelo útil para o ECG (aquele em que apenas ocorre a repolarização, i.e., em que o potencial apenas retorna ao valor de repouso, como na Fig. 7.3.a):

– Usando a expansão de Taylor até 1ª ordem obtém-se

• Em geral, as medidas do potencial são feitas longe da célula (comparado com a distância sobre a qual o potencial varia). Nesse caso, as retas r1, r0 e r2 são praticamente paralelas (Fig. 7.6)


• A Eq. (7.11) serve como modelo para o ECG, com as seguintes características: 1. O potencial externo n depende de ni mas não depende de x2. Isso, pois

um aumento de x2 gera uma diminuição na corrente (*1), porém aumenta o potencial devido à maior separação entre fonte e dreno;

2. n cai com 1/r2 ao invés de 1/r (como seria para uma fonte pontual);

3. n varia com o ângulo, é positivo à direita da região de despolarização e negativo à esquerda desta região (Fig. 7.8, curva “Depolarization Only”).


• Definindo o momento de dipolo de corrente como

(7.12)

e substituindo em (7.11), temos que o potencial externo é

(7.13)

que é dado em A.m (Ampères vezes metros). Ainda podemos reescrever (7.11) como: (7.14)

(7.15)

2

2

2

222 1

avx

a

x

vx

R

vxip ii

i

i

i

ii s

s

32 44

cos

rr

pv

oo ss

q rp

célula da sal transverseção umapor P observaçãode ponto no subtendido

sólido ângulo

2

2

cos4

q

s

s

r

avv

o

iio

i

o

i vv

s

s

4


• Vamos encontrar r1 e r2 em termos de r, q, x1 e x2. Temos:

• Para ver o caso de pulso completo (como na Fig. 7.4, onde o potencial aumenta e depois retorna ao valor de repouso), usamos a Eq. (7.4)

• Se usarmos a aproximação de Taylor (7.10) até 1ª ordem o resultado é nulo, portanto é necessário melhorar o modelo, como mostrado na Fig. 7.7


• De (*2) temos

• Substituindo em (*3)

(*5)

• De (*2) temos também que

• Substituindo em (*4):

(*6)


• Substituindo (*5) e (*6) em (7.4), temos:

• Mas a expansão em série de Taylor de dá:

2/12 )1(

1)(

bxxxf


•

• Reinserindo o valor de A temos

• Substituindo r0 por um r genérico e rearranjando os termos finalmente temos:


• Vemos que o decaimento do potencial externo é com r3

• O termo representa a área sob o impulso (Fig. 7.4a)

• E o termo é o polinômio de Legendre P2(cosq). Veremos na próxima seção que estes termos reaparecem para impulsos com diferentes formas

• Em termos do ângulo q, o potencial varia como mostrado na Fig. 7.8 (curva “Complete Pulse”).


• É interessante notar alguns valores assumidos pela razão entre as condutividades interna e externa: – Ou seja, para um axônio em tecido muscular ou pulmonar (na cavidade

torácica), si (dentro do axônio) ≈ 2 S/m. Obs.: S/m = Siemens/m

– Em suma, vemos que para a despolarização (Eqs. 7.11 e 7.13), o potencial é o de um dipolo de corrente e cai com r2; enquanto que para o pulso completo (Eq. 7.16), o potencial cai com r3, depende da área sob o pulso e sua dependência angular segue o polinômio de Legendre P2(cosq).

– A seguir, veremos como fica o potencial externo para um pulso de forma arbitrária (e não “piecewise-linear” como os modelos vistos até aqui).

O potencial externo para um pulso arbitrário

• No caso geral de um pulso de forma arbitrária, veremos que: – Para a despolarização, o potencial novamente depende do momento de

dipolo;

– Para o pulso completo, o potencial novamente depende da área sob a curva do pulso.

– Continuamos com a suposição do axônio situado ao longo do eixo x num meio condutor homogêneo, isotrópico e infinito. Vamos calcular as correntes externas devidas a cada segmento do axônio

– Consideremos então um segmento do axônio entre x e x+dx. Se a corrente (interna) que entra em x é maior que a que sai em x+dx, a diferença deve estar fluindo para fora (figuras abaixo)

• Pela figura do slide anterior, temos que:

(*)

– Da lei de Ohm para o axoplasma, temos:

– NB: a resistência por unidade de comprimento é dada por

• Substituindo (7.17) em (*), temos que a corrente que sai do

segmento dx do axônio para o meio externo é – Da Eq. (7.1), temos que a corrente dio gera um potencial dv no meio

externo:


)/(1 2

ii ar s

• Substituindo (7.18) em (7.20) obtemos

onde r é dado por , com R = (x0, y0) (Fig. 7.10)


• O potencial devido a várias correntes é

– Se o raio a do axônio for bem pequeno,

supomos uma distribuição de corrente dio(x) ao longo do eixo x, de forma que o potencial num ponto R é

– onde R é o ponto no qual o potencial é medido e r é a distância do ponto de medida ao ponto no eixo x onde dio é injetada

dvv

2 2

0 0( )r x x y

• Em geral, a Eq. (7.21) é difícil de integrar analiticamente, mas pode ser integrada numericamente. Vejamos um exemplo mais simples, o axônio gigante de um lagostim imerso em água do mar:

– Raio do axônio: a = 60 mm si/so=0,2 – O potencial ni pode ser aproximado pela soma de 3 gaussianas (Fig. 12a):

– A Eq. (7.22) pode ser diferenciada para se obter e usar em (7.21)

– O potencial externo na superfície do axônio (y0 = a) calculado por integração numérica está mostrado na Fig. 7.12b. Note-se na Fig. 7.12 que a ordem de grandeza de n0 é mV contra mV para ni


22 / xvi

• Em geral, o potencial externo é menor do que 0,1% do potencial interno – Isso seria diferente se o líquido extracelular não fosse infinito

• O cálculo original de Clark e Plonsey usou técnicas matemáticas muito diferentes (ver Problema 30), no entanto, os resultados são bem semelhantes – Os resultados desse cálculo mais preciso estão plotados na Fig. 7.13


• Voltemos à expressão (7.21) para no – Fazendo a aproximação para o caso em que o ponto de observação está

bem longe da célula temos (Fig. 7.10):

– Substituindo em (7.21):

– Utilizando uma expansão em série de Taylor:


2/1

2

2/1

22222 )(cos21)(cossin)cos()sin(

R

x

R

xRr

R

xRrrxRR qqqqq

dxx

v

R

x

R

xR

av i

o

i

2

2

2/1

2

2

)(cos21

1

4)(

q

s

sR

;1cos314

3)0("

)1(

2

2

1

)1(

)2(

2

3

2

1)("

;cos2

)0(')1(

2

2

1)('

;1)0()1(

1)(

22

2/322/52

2

2/32

2/12

q

q

bfxbxxbx

bxxf

bf

xbx

bxxf

fxbx

xf

.2

1cos3cos1

22

qq

R

x

R

x

R

xf

• Usando o último resultado em n(R):

• Supondo que x1 e x2 sejam pontos onde , temos que a 1ª integral em (7.24) é nula. A 2ª integral é:

• E a 3ª integral é:


dx

x

v

R

x

R

x

R

av i

o

i

2

2222

2

1cos3cos1

4)(

qq

s

sR

0/ xvi

)()( 21

0

2

2 2

1

2

1

2

1

xvxvdxx

v

x

vxdx

x

vx ii

i

x

x

x

x

ii

x

x

dxvxvdxx

vx

x

vxdx

x

vx i

x

x

x

xii

x

x

x

x

ii

x

x

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

0

2

2

22

dxvR

xvxxvxR

xvxvRR

av i

x

x

iiii

o

i

2

1

2

2

22112

2

21

2)1cos3(

)()()1cos3(

)()(cos

4)(

qqq

s

sR

• Usando este último resultado, vamos calcular n(R) em dois casos: – Despolarização (ECG) – Pulso Completo

• Despolarização (ECG)

– Substituindo na expressão acima, temos

– O primeiro termo da expressão enquadrada é o mesmo resultado obtido no caso especial linear da Eq. (7.11) Eq. (7.26)

– O segundo termo é uma correção, que cai bem mais rapidamente com a distância


dxvR

xvxxvxR

xvxvRR

av i

x

x

iiii

o

i

2

1

2

2

22112

2

21

2)1cos3(

)()()1cos3(

)()(cos

4)(

qqq

s

sR

dxvR

vRR

av i

x

x

i

o

i

2

1

2

22)1cos3(cos

4)(

qq

s

sR

1º. termo

• Pulso Completo. Consideramos:

• Progressão dos resultados: – Se olharmos para um dos “lados” de um pulso de despolarização, temos uma fonte ou um dreno

de corrente, e o potencial é proporcional a 1/R (Eq. (7.1)) – isso não ocorre em Fisiologia;

– Se considerarmos toda a parte de despolarização do pulso, o potencial é proporcional a 1/R2 (Eqs. (7.11) e (7.26)) – modelo que serve para o ECG;

– Se considerarmos o pulso completo, o potencial é proporcional a 1/R3 (Eqs. (7.16) e (7.27)) – bom modelo para a condução nervosa.


• Isto que fizemos é um exemplo de expansão em multipolos – Definindo , podemos realizar a expansão:

onde os Pn(cosq) são os polinômios de Legendre:

• Todos estes cálculos basearam-se na hipótese de que a corrente flui paralelamente ao eixo da célula, que é conhecida como “aproximação da linha”

• Obviamente, é impossível a corrente no interior do axônio passar através da membrana se ela corre sempre paralela ao eixo do axônio

• Esta aproximação é razoável em casos em que o raio da célula é muito menor que a distância na qual ocorre a despolarização (a « x2)


Rx /

• Semelhanças entre as células miocárdicas e as células nervosas:

– Uma membrana separa fluidos intra e extra-celular

– As concentrações dos principais íons são mais ou menos as mesmas

– Os fluidos intra e extra-celular são eletricamente neutros, com exceção de uma pequena quantidade de carga na membrana

– Os canais de íons seletivos são responsáveis pelo início e pela propagação dos potenciais de ação

• Diferenças entre essas células:

– As células miocárdicas em mamíferos possuem comprimento de ~100mm e diâmetro de ~10mm (lembremos que as células nervosas possuem comprimentos de até 1m e diâmetros menores que 1mm até ~20mm);

– Células miocárdicas vizinhas são conectadas por junções comunicantes (gap junctions) – as correntes e os íons fluem diretamente de uma célula a outra – elas formam um “syncytium” (vários núcleos dentro de um mesmo citoplasma).

Propriedades elétricas do coração

No estado de repouso: – Célula atrial possui nrest ≈ –70mV – Célula ventricular possui nrest ≈ –90mV – Quando uma célula despolariza, o potencial

de ação dura de 100 a 300ms (dependendo da espécie)

– A forma do pulso varia entre espécies e em diferentes partes do coração

– Um pulso “típico” está mostrado na Fig. 7.14


• Na figura, temos: 0. Corrente de sódio (Na+) para dentro da célula; 1. Corrente transitória de potássio (K+) para fora da célula; – Pequena no endocárdio (interior do coração); – Grande em camadas mais externas do coração (epicárdio);

2. Fluxo de cálcio (Ca+2) para dentro (mantém o platô); 3. Abertura dos canais de potássio lentos – fluxo de K+ para fora causa repolarização; 4. Concentração original dos íons é restabelecida.

O coração pode bater isoladamente – Se for removido do corpo e colocado em

uma solução nutriente, continua a bater espontaneamente.

– Em cada batida, uma onda de despolarização varre o coração e ele se contrai.

– A onda é iniciada por fibras especializadas localizadas no átrio direito, no chamado nodo sinoatrial (nodo SA).


– O nodo SA não possui os canais de Na+ usuais e a despolarização se deve ao cálcio. A forma dos pulsos que ocorrem no nodo SA se parece mais com a dos pulsos das células nervosas (Fig. 6.48)

– A despolarização do nodo SA causa a rápida despolarização do resto do coração. A taxa de disparos do nodo SA é aumentada por meio dos nervos simpáticos (liberam norepinefrina, também chamada de noradrenalina) e diminuída por meio dos nervos para-simpáticos (liberam acetilcolina).

– Dispositivos que produzem disparos periódicos, como o nodo SA, são chamados de free running relaxation oscillators.

• Progresso da despolarização no coração (Fig. 7.15): – O nodo SA dispara. A despolarização varre os átrios; – Quando estes estão completamente despolarizados, não há mais frente de

onda de despolarização, pois os átrios estão separados dos ventrículos por um tecido fibroso que não transmite o impulso – a única conexão é o nodo atrioventricular (nodo AV);

– A despolarização passa pelo nodo AV e se espalha pelos ventrículos via o sistema de condução;

– Finalmente, se espalha através do miocárdio de cada ventrículo até a parede externa


• O sistema de condução é formado pelo feixe comum (ou feixe de His), os feixes esquerdo e direito, e a rede fina de fibras de Purkinje

• Espontaneamente, o nodo AV se despolariza a uma taxa de 50 batidas/min; em geral suas despolarizações não são desencadeadas pela taxa de batidas mais rápida dos átrios


– A despolarização é uma frente de onda, enquanto a repolarização é um fenômeno local. Isso ocorre pois à medida que o potencial transmembrana (nm) aumenta, aumenta a condução de Na+.

– O eletrotônus faz com que aumente nm em regiões vizinhas, portanto, a condução de Na+ nessas regiões aumenta: ou seja, o eletrotônus auxilia na propagação do sinal (de despolarização).

– Por outro lado, a condução de K+ também acompanha nm. Quando nm cai, o eletrotônus faz com que o potencial de regiões vizinhas caia, o que diminui a condução de K+, e portanto, retarda a repolarização.

– Além disso, quando nm cai, se aproxima do potencial de Nernst do potássio, o que também auxilia na diminuição da corrente de K+. Por isso, a repolarização é um fenômeno local, ao contrário da despolarização.

– A despolarização se propaga no miocárdio de forma ordenada, e é seguida pela repolarização. Após um breve período refratário, o coração está pronto para bater novamente. Durante esse período as células não respondem a estímulo.

– Em situações anormais, é possível que uma onda de despolarização siga um circuito fechado no miocárdio (circuito reentrante). Geralmente este circunda algum obstáculo, p. ex. uma cicatriz, a aorta, uma artéria pulmonar, ou uma área que possui diferentes propriedades condutoras. Isso pode resultar em um circuito com um ritmo sustentado anormal, se o contorno do obstáculo demorar mais que o período refratário.


• Cada célula miocárdica se despolariza e repolariza durante o ciclo cardíaco

• O vetor de dipolo de corrente para cada instante é a soma dos vetores de todas as células do coração

• Vamos consider que, inicialmente, todas as células estão completamente polarizadas (repouso) e p = 0

• As células começam a se despolarizar próximo ao nodo SA – uma onda de despolarização varre os átrios

– Para cada célula, p aponta na direção de propagação da onda de despolarização e se move na célula junto com essa onda

– Esses vetores para todas as células constituem a onda que avança e atravessa o coração

• O potencial no ponto de observação pode ser calculado aplicando-se a Eq. (7.13) para cada célula:

onde r = vetor da célula até o ponto de observação (diferente para cada célula)

O vetor dipolo de corrente do coração em função do tempo

• Inicialmente vamos assumir que o ponto de observação está tão longe que r é o mesmo para todas as células – A localização da ponta do vetor dipolo durante o ciclo cardíaco segue

a trajetória mostrada na Fig. 7.16 – As componentes px, py e pz desse vetor variam ao longo do ciclo

cardíaco conforme mostrado à direita da Fig. 7.17



• Pequeno loop P – corresponde à despolarização atrial • Loop QRS – corresponde à despolarização ventricular • Loop T – repolarização ventricular • A repolarização atrial fica encoberta pela despolarização ventricular

• O potencial do dipolo em um ponto a uma distância r é

(7.13)

• A ddp entre dois pontos, ambos à

distância r, é

(7.30)

• Derivações – são as ddps medidas entre os eletrodos no ECG

– Vamos continuar supondo que r é o mesmo para todas as células e que o torso é um meio condutor homogêneo e infinito (são ambas suposições estão incorretas, mais adiante veremos modelos melhores)

As derivações (leads) do ECG

34 rv

os

rp

onde R é a distância entre os eletrodos (Fig. 7.18). Portanto, a ddp entre dois eletrodos separados por uma distância (vetor) R e equidistantes de p mede a projeção instantânea de p em R

33

1212

44

)(),(

rrv

oo ss

Rprrprr

– Os eletrodos A, B e C são colocados nos dois pulsos e na perna esquerda.

– Os membros (braços e perna) são vistos como prolongamentos de fios elétricos, portanto é como se o potencial destes eletrodos fosse medido nos pontos de junção destes membros com o tronco (pontos A, B e C da Fig. 7.19).

– As dimensões que aparecem na Fig. 7.19 são as de um adulto padrão.

– As ddps entre esses eletrodos são chamadas de derivações bipolares ou clássicas (limb leads I, II e III), dadas por

• Se a despolarização pode ser descrita por um único dipolo de corrente, então bastam três medidas para caracterizá-la: projeções em três eixos perpendiculares. No entanto, o ECG padrão consiste de 12 medidas feitas com 9 eletrodos


– Estas ddps são chamadas de derivações aumentadas (augmented limb leads)

– Os nomes terminando em R, L e F se referem a que os vetores que relacionam os pontos entre os quais a ddp está sendo medida apontam aproximadamente para a direita (Right), esquerda (Left) e frente (Frontal)

– Estas derivações são proporcionais às projeções de p em RR, RL e RF

– Os vetores RI, RII, RIII, RR, RL e RF apontam em direções espaçadas de 30o aproximadamente no plano frontal (Fig. 7.20)

• A ddp em I é proporcional à projeção de p em RI, e idem para II e III – Esses potenciais costumam ainda ser

combinados como:


• Para medir projeções perpendiculares ao plano frontal, usam-se as derivações precordiais (precordial leads) – Para isso posicionam-se eletrodos da forma mostrada na Fig. 7.21

• As ddps são medidas em relação ao ponto central do triângulo ABC, que

equivale à média entre nA, nB e nC

• Isto só é verdade se ignorarmos as diferenças em 1/r2

– Mais sobre isso no próximo slide


• Se O estiver no centro do triângulo ABC, pela definição de centro temos que RA+ RB+ RC = 0, e RA ≈ RB ≈ RC, portanto

• Portanto segundo esta aproximação, cada derivação precordial mede a projeção de p num vetor que une o centro do triângulo ABC ao eletrodo (precordial)

• Consideremos o ponto D como a posição de um eletrodo precordial (Fig. 7.22). O potencial entre D e O (centro do triângulo ABC) é

• Usando (7.30) para cada termo temos:


)(3

1CBAD vvvvv

3333 3

1

4

1

CBADo RRRRv CBAD RpRpRpRp

s

34

1

Do Rv DRp

s

Normal: • Quando p possui sua maior magnitude durante a onda QRS, é

quase paralelo a RII e quase não há sinal em aVL, que é perpendicular a RII (Fig. 7.23)

Alguns ECGs

Hipertrofia ventricular direita (Fig. 7.24):

– Devido ao alargamento e ao aumento de espessura do ventrículo direito, p aponta para a direita durante a onda QRS.

– As derivações precordiais V1 e V2 mostram os maiores sinais, pois o ventrículo direito está de frente para a frente do corpo.

– O eletrodo V4R mostrado nesta figura corresponde a um eletrodo simétrico a V4, colocado do lado direito.

Alguns ECGs

Hipertrofia ventricular esquerda (Fig. 7.25):

– Em QRS o dipolo aponta para a esquerda

– O sinal em DI possui um pico anormalmente grande

– O sinal em aVL é grande e positivo

– V2 é negativo

– V4, V5 e V6 possuem picos muito grandes e positivos

Alguns ECGs

• Até aqui vimos o potencial externo resultante da propagação de um impulso nervoso na célula, considerando que o axônio é muito fino e não influi no meio externo, que é homogêneo, isotrópico e infinito

• Vamos agora incluir quatro “aperfeiçoamentos” a este modelo:

1) Ao invés de apenas fluir ao longo do axônio, vamos levar em conta que a corrente deve fluir também radialmente dentro da célula (caso contrário, nunca poderia sair da célula);

2) Vamos abandonar a hipótese de que o axônio ao longo do eixo x não perturba a corrente fora da célula;

3) Vamos reconhecer que a condutividade pode variar com a posição (o que é importante fora da célula, onde há músculo, gordura, pulmões etc.);

4) Vamos levar em conta que a condutividade em um dado ponto pode depender da direção da corrente, p. ex., se esta é paralela ou perpendicular às células – em outras palavras, o meio externo geralmente é anisotrópico.

Refinamentos ao Modelo

• Consideremos uma região do espaço que contém um material condutor que obedece à lei de Ohm. Temos:

ou

Refinamentos ao Modelo

;;;dz

vE

dy

vE

dx

vE zyx

vE

• Se o material é isotrópico e obedece à lei de Ohm:

• Aplicando a equação da continuidade (ou conservação de carga) temos:

(r: densidade de carga/unidade de volume)

• Combinando (7.33) e (7.34) temos:

• Supondo inicialmente que s é a mesma para qualquer posição, podemos escrever as expressões abaixo (supondo que n não possui dependência angular): Coordenadas retangulares:

Coordenadas esféricas:

• Para os aperfeiçoamentos 1 e 2 (corrente deve fluir radialmente e axônio deve perturbar a corrente externa) consideramos que a densidade de carga dentro e fora da célula não varia, i.e. exceto na membrana, onde a carga varia à medida que o potencial através da membrana nm varia.

– Assumindo nm conhecido, podemos aplicar (7.36b) para os meios interno e externo para determinar n em qualquer ponto (interno ou externo):

onde a é o raio do axônio

• Este foi o cálculo realizado para obter os resultados da Fig. 7.13

Refinamentos ao Modelo: o axônio tem raio finito

0/ tr

• Para o aperfeiçoamento seguinte (item 3, condutividade varia com a posição), usamos a Eq. (7.35):

• Numa região sem fontes (meio externo), no obedece que onde so é a condutividade do meio externo, que se assume como sendo piecewise homogênea (homogênea por partes), com diferentes valores para cada tipo de tecido:

– Em cada tecido, o potencial obedece à equação de Laplace ;

– Nas fronteiras entre tecidos, no e a componente normal da corrente são contínuos.

• Esta equação tem sido usada para calcular no na superfície do tórax, com so variando de órgão para órgão.

Refinamentos ao Modelo: condutividade externa não uniforme

02 ov

• Para o último aperfeiçoamento (item 4, meio externo é anisotrópico), substituímos s por um tensor :

• Em coordenadas cartesianas:

• A matriz de condutividade é simétrica, portanto temos apenas 6 coeficientes e não 9 (sxy = s yx etc.).

Refinamentos ao Modelo: condutividade anisotrópica – o modelo de bidomínio

• Para uma pequena região cilíndrica de axoplasma de comprimento h e raio a, cuja superfície está rodeada de membrana, podemos usar a Eq. (6.51) (equação do cabo):

• onde: – ni, no, nm são os potenciais interno, externo e através da membrana respectivamente; – jm = densidade de corrente na membrana = corrente/unidade de área; – cm = capacitância da membrana/unidade de área; – ri = resistência (dentro da célula)/unidade de comprimento.

• Como , temos:

que pode ser reescrito como

onde é a razão entre a área superficial e o volume da célula

• Para células não cilíndricas, b teria outros valores

22

11

aa

h

hh

Rr

ii

ii

ss

Refinamentos ao Modelo (Problema 29): condutividade anisotrópica – o modelo de bidomínio

• Num meio anisotrópico em 3D, esta última equação fica:

• Podemos escrever uma equação análoga para o lado de fora (já que corrente que pára de fluir no meio interno deve fluir para fora):


• A carga pode passar livremente entre os dois domínios, mas a carga total dentro do voxel se conserva, portanto

• Os análogos anisotrópicos de (7.40) e (7.41) são:

• As diferenças entre estas equações e (7.40) e (7.41) são: – O lado esquerdo de (7.42) não possui mais a restrição sobre a membrana, já que

todos os voxels considerados contêm meio externo e meio interno – o lado esquerdo destas equações depende da posição;

– b agora é a razão entre a superfície da membrana e o volume para todo o bidomínio (voxel). P. ex., se considerarmos células cilíndricas de raio a e comprimento h que ocupam uma fração f do volume total:

0)( oi jj

).~(

),~(

oomm

m

iimm

m

vjt

vc

vjt

vc

sb

sb

a

ff

ha

ha 222

b


Refinamentos ao Modelo (Problema 29): condutividade anisotrópica – o modelo de bidomínio • A anisotropia tem um papel importante no modelo de bidomínio

– Isto, pois num modelo monodomínio, geralmente é possível realizar uma transformação de coordenadas que “remove” o efeito da anisotropia. Por ex., a equação de Laplace para um monodomínio em 2D é

• Definindo e , esta expressão resulta em

• No caso do bidomínio, esse tipo de truque só funcionaria se six/siy = sox/soy, o que não ocorre para o coração (essa razão entre componentes do tensor de condutividade é aproximadamente 10 para o meio interno e 4 para o meio externo).

• Portanto a anisotropia tem um papel importante no comportamento elétrico do coração, especialmente durante a estimulação elétrica.

xx ' yyoy

ox

s

s'

• Eletrodos podem ser usados para: – Estudos de eletromiografia; – Estimular a contração de músculos; – Restauração parcial da audição com implante coclear; – Marcapasso cardíaco; – Desfibrilação.

• Eles podem ser colocados: – Dentro de células; – Dentro ou sobre músculos; – Sobre a pele.

• Um pulso de corrente é enviado ao eletrodo de estimulação. A corrente necessária para produzir uma resposta depende – Da forma, tamanho e localização do eletrodo; – Da duração do pulso.

Estimulação elétrica

• Para um dado eletrodo, quanto mais curto o pulso, maior a corrente necessária para produzir uma resposta no tecido – Para pulsos longos, existe uma corrente mínima necessária chamada de

reobase – é a mínima intensidade de corrente, teoricamente a ser aplicada por um tempo infinito, necessária para produzir um estímulo elétrico que promova uma contração muscular limiar.

– Há uma expressão empírica que descreve a curva de intensidade versus duração da corrente, dada por

onde – i = corrente necessária para o estímulo; – iR = corrente mínima ou reobase; – t = duração do pulso; – tc = cronaxia – é o tempo mínimo que deve ser utilizado com corrente 2iR

para desencadear um potencial de ação.

– Esta equação fornece um ajuste empírico para dados experimentais.


• A Eq. (7.45) também é usada para eletrodos de superfície. Quanto mais longe o eletrodo estiver do tecido a ser estimulado, maior a corrente de reobase necessária.

– Os eletrodos podem ser catodos (coletam carga positiva / emitem carga negativa para o meio) ou anodos (coletam carga negativa / transferem carga positiva para o meio).

– Se um anodo estiver dentro da célula, despolariza a célula.

– Se estiver fora da célula, hiperpolariza a região próxima da célula, e despolariza regiões mais distantes (Fig. 7.29).

– Um catodo terá o feito contrário.


• Marcapassos cardíacos:

– São eletrodos implantados para restaurar o batimento cardíaco (Fig. 7.31).

– Servem para tratar doenças do coração, sendo a mais comum a bradicardia (batimento anormalmente lento) associada a tonturas, desmaios ou parada cardíaca.

• A bradicardia pode originar-se de problemas no nodo sino-atrial (bradicardia sinusal) ou no sistema de condução.

– Um marcapasso pode ser usado temporariamente ou permanentemente.


– Pode ser introduzido no corpo: • Através de uma veia do ombro ao ventrículo direito; • Colocado diretamente no miocárdio através de cirurgia.

• Ainda sobre marcapassos cardíacos: – Às vezes dois eletrodos são utilizados, um no átrio e outro no ventrículo. – O eletrodo marcapasso pode ser uni ou bipolar:

• Unipolar – a corrente de estimulação flui no miocárdio e retorna à caixa do eletrodo, que é geralmente colocada num “bolso” no músculo do tórax perto do ombro;

• Bipolar – a corrente vai para um eletrodo colocado alguns centímetros atrás do eletrodo ponta.

– A superfície da ponta (eletrodo) geralmente é da ordem de 10mm2.

– A densidade de corrente necessária para iniciar a despolarização é da ordem de 100A/m2.

– Portanto a corrente de reobase é aproximadamente 100A/m2 / 10mm2 = 1mA.

– A resistência do tecido é geralmente da ordem de 500Ω, portanto a voltagem aplicada é da ordem de 0,5V.

– Após a implantação do eletrodo, o tamanho do pulso de voltagem necessário

para o estímulo aumenta devido a que cresce tecido inflamatório ao redor do eletrodo. • Após aproximadamente 6 meses esse tecido se converte em cápsula fibrosa – o tamanho efetivo

do eletrodo é maior que o original, porém menor que durante a inflamação.


• Desfibriladores: – São usados para restaurar o ritmo

cardíaco normal quando ocorre fibrilação.

– Fibrilação – ocorrência de frentes de onda reentrantes que interagem entre si e se propagam de forma caótica – resultam em que os ventrículos (ou os átrios) não mais se contraem e não ocorre mais o bombeamento de sangue – a pessoa pode morrer em poucos minutos.

– Os desfibriladores implantados são similares aos marcapassos, porém maiores.

– Os desfibriladores medem o ECG continuamente, e quando se detecta um sinal que indica fibrilação, disparam um choque elétrico forte que restaura o ritmo normal.


• Muito pode ser aprendido sobre o cérebro medindo o potencial elétrico na superfície do couro cabeludo. Tais dados são chamados de eletroencefalograma (EEG)

• O EEG é utilizado para diagnosticar distúrbios cerebrais, para localizar a fonte de atividade elétrica no cérebro em pacientes que sofrem de epilepsia, e como uma ferramenta de pesquisa para saber mais sobre como o cérebro responde aos estímulos ("respostas evocadas") e como ela muda com o tempo ("plasticidade").

O Eletroencefalograma (EEG)

• Tipicamente, o EEG é medido a partir de 21 eletrodos ligados ao couro cabeludo, de acordo com o sistema de "10-20" (Fig.7.34)

• Um sinal típico de um eletrodo eletroencefalográfico é mostrado no painel de topo da Fig. 11.38

– Uma dificuldade na interpretação do

EEG é a falta de um eletrodo de referência apropriado. Nenhum dos 21 eletrodos na Fig. 7.34 qualifica-se como uma região distante contra a qual todas as outras gravações potencial podem ser medidas.

– Uma maneira de contornar essa dificuldade é subtrair de cada potencial medido a média de todos os potenciais medidos. Nos problemas, você está convidado a provar que esse “registro médio de referência" não depende da escolha do eletrodo de referência, é um método independente de referência.

O Eletroencefalograma (EEG)

Capítulo 7 - Sites do IFGW · dada em (7.9) na Eq. (7.2) temos um modelo útil para o ECG (aquele...

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