2 9 5[11]

Introducción

SPSS-12.0 ofrece una gama de posibilidades para llevar a cabotodo el proceso de análisis de información. Genera la informa-ción que necesita el investigador para tomar decisiones acerta-das, utilizando procedimientos estadísticos y presentando losresultados en tablas y gráficos.

Existen publicaciones ampliamente conocidas como Análi-sis estadístico con SPSS para WINDOWS de Visauta, Estadísticacon SPSS en su versión 12 de Nel Quezada, que abordan con de-talle y amplitud diversos procedimientos del SPSS y al que debe-rá remitirse el lector interesado en temas especializados del soft-ware estadístico SPSS.

No se pretende hacer un libro del SPSS, sino un manual oguía sencilla que el lector puede usar, con comandos claros y es-pecíficos para obtener los resultados presentados en los capítu-los anteriores del presente libro o cuando desea realizar el análi-sis estadístico de la base de datos de su interés, con el auxilio delsoftware estadístico SPSS_12.

En el presente capítulo se usan algunas bases de datos que sehan preparado especialmente para esta publicación como tambiénpara el libro Estadística descriptiva con soporte del SPSS y MAT-LAB. Cabe indicar que en cada uno de los capítulos precedentesdel presente libro se han presentado los comandos del SPSS quepermitieron ejecutar los procedimientos correspondientes aquí:

Capítulo VIPautas básicas del SPSS y AMATLAB

2 9 6

• se presentan los procedimientos de estadística descriptiva,que si bien escapan a nuestros objetivos, seguramente paramuchos usuarios serán de utilidad.

• Se usan otras bases de datos que corresponden con la prime-ra publicación para ilustrar los tópicos de pruebas de hipó-tesis, asociaciones, correlación y regresión.

Ventanas del SPSS

Para entrar en el SPSS hacer doble clic en el ícono SPSS. Aparece-rá la figura 6.1 con las siguientes ventanas:

Figura 6.1Ventanas de aplicación, de edición de datos y de salida

Ventana de aplicación

Ventana de datos

Ventana de variables

Ventana de salida

2 9 7

Ventana de Aplicaciones: Contiene la barra de menús conlas distintas opciones del programa.

Ventana de edición (data editor): Contienen el archivode datos con el que se está trabajando. Esta ventana se abre auto-máticamente al iniciar una sesión de SPSS.

Ventana de salida (output): Es una pantalla donde apa-recen los resultados de los análisis estadísticos realizados con elprograma. Estos resultados se pueden archivar para su utiliza-ción posterior.

Ventana de carrusel de gráficos: Se abre con el primergráfico generado en una sesión de SPSS y los sucesivos se vanincorporando a la misma.

Ventana de gráficos: Permite modificar y archivar gráfi-cos en archivos extensión.cht.

Ventana de sintaxis: Se puede pegar en esta ventana lasintaxis de los comandos seleccionados desde la ventana de diá-logo de cualquier opción. Permite editar la sintaxis de estos co-mandos y ampliarla con aquellas opciones que tienen el lenguajeSPSS, pero que no están disponibles a través de menús.

Siempre que hagamos un análisis con SPSS, los resultadosirán a la ventana de salida (output).

Menú principal

Desde el menú se accede a la mayoría de las funciones del SPSS.El menú principal tienen las siguientes opciones:

File: Permite crear un nuevo archivo SPSS, abrir un archivoya existente, grabar, leer datos creados con otras aplicaciones, etc.

Edit: Contiene las opciones de Windows para copiar datos,buscar, etc.

2 9 8

Data: Contiene opciones para hacer cambios que afec-tan a todo el archivo de datos (unir archivos, transponer va-riables y casos, crear subconjuntos de casos, etc.). Estos cam-bios son temporales mientras no se guarde explícitamente elarchivo.

Transform: Permite cambios sobre variables seleccio-nadas, permite la creación de nuevas variables. Estos cam-bios son temporales mientras no se guarde explícitamente elarchivo.

Analyze: Desde esta opción se ejecutan todos los procedi-mientos estadísticos.

Graphs: Desde esta opción se realizan todos los gráficos es-tadísticos.

Utilities: Permite cambiar fuentes, obtener informacióncompleta del archivo de datos, acceder a un índice de comandosSPSS, etc.

Windows: Ordena, selecciona, controla atributos de las ven-tanas abiertas.

Help: Abre un archivo estándar de ayuda Windows.

Procedimientos básicos para un análisis estadístico

Para realizar cualquier análisis estadístico con el SPSS tenemosque realizar estas tres operaciones básicas:

a) Seleccionar cualquier base de datos.b) Seleccionar del menú principal el procedimiento estadístico

deseado.c) Seleccionar las variables a incluir en el análisis y otros pará-

metros adicionales.

2 9 9

Vamos a ilustrar con la base de DATOS1-maestría, usandolas variables sexo y coeficiente de inteligencia.

CREAR UN ARCHIVO NUEVO

file/new/data/Aparece la hoja de datos en blanco, donde cada fila es para uncaso o individuo y cada columna es para una variable.Variable view: permite definir las variables.

SELECCIONAR UN ARCHIVO DE DATOS

File/Open/Data/Nombre del archivo/ Podemos seleccionar un archivo de la listao especificar una ruta y extensión de interés.Abrir.

Crear la basede datos

Seeccionar elprocedimiento

estadísticoSeleccionar a

variable Resultados

NO NUMÉRICAS

VARIABLE VIEW: permite definir las variablesNAME: SEXO (nombre de la variable)TYPE: STRINGWIDTH: 8LABEL: SEXO DE LOS ESTUDIANTESVALUE: 1VALUE LABEL: FEMENINO VALUE: 2VALUE LABEL: MASCULINODATA VIEW: se procede a declarar los datos

3 0 0

El ancho máximo es de 40 caracteres y el número de deci-males 16.

Así, en la base de DATOS10-maestría ya se crearon las va-riables sexo, coeficiente de inteligencia, situación laboral y notade ingreso a la maestría.

Figura 6.2Relación de archivos creados, entre ellos DATOS10-maestría

GUARDAR UN ARCHIVO

FILE/SAVE AS/NOMBRE DEL ARCHIVO: DATOS1-maestríaGUARDAR

NUMERICAS

VARIABLE VIEW: permite definir las variablesNAME: INTELIGENCIATYPE: NUMERICAWIDTH: 8DECIMALS: 0LABEL: COEFICIENTE DE INTELIGENCIADATA VIEW: se procede a declarar los datos

Se quiere abrir el archivo DATOS10-maestría

3 0 1

Este libro solamente trata de inferencia estadística, perono hemos querido soslayar los temas de estadística descripti-va y que ilustramos con bases de datos que corresponden allibro: Estadística descriptiva con soporte del SPSS(Gómez,et.al. 2005).

A continuación podemos seleccionar cualquiera de los pro-cedimientos estadístico, correspondiente a los temas tratados enel presente libro. A través de todo el libro se ilustra con las diver-sas bases de datos.

Procedimientos estadísticos

Luego de ingresar los datos al EDITOR, debe elegirse un procedi-miento en el menú ANALIZE para poder obtener los resultadosdeseados. El software nos permite realizar informes estadísticosdescriptivos que incluyen tablas de frecuencias, gráficos, corre-laciones, rectas de regresión entre otros.

variableunidad

Vista de datos

Vista de variables

Figura 6.3Variables creadas en el archivo DATOS10-maestría

3 0 2

Después de abrir el archivo, se selecciona el procedimien-to estadístico. En la ilustración se ha seleccionado el procedi-miento de estadísticas descriptivas y se quiere hacer la tablade frecuencias.

Figura 6.4Relación de procedimientos estadísticos

Elegir elprocedimiento

Figura 6.5Seleccionar el procedimiento estadístico

Luego, se selecciona(n) la(s ) variable(s) que se quiere usaren el procedimiento de análisis o en el gráfico seleccionado.

3 0 3

El paso final es el examen de resultados en la ventana OUTPUT.Esta ventana muestra dos paneles, el de izquierda con el conjuntode titulares de los elementos situados en el panel de la derecha.

Figura 6.6Relación de variables variable

variable

Figura 6.7Resultados(output) del procedimiento tabla de frecuencias

Conjunto de titulares elementos gráficos: tablas o gráficos

Si se desea un gráfico descriptivo, se elige en el menú GRÁ-FICOS, puede ser normal o interactivo, en cuyo caso se podrámodificar posteriormente las variables usadas.

Los resultados y gráficos que se genera se van acumulandopara su posterior impresión o almacenamiento en disco. En el

3 0 4

caso de gráficos interactivos podemos modificar directamente,sin necesidad de volver a generar otra vez el gráfico.

Frecuencias para variables cualitativas

El procedimiento permite obtener una descripción de la distri-bución de la variable a partir de la tabla de frecuencias, medidasde tendencia central, percentiles, medidas de dispersión, etc.

Cabe reiterar que para realizar cualquier procedimiento debecrearse o abrirse la base de datos. Se ilustra con la base DATOS2-matemática.

Para construir una tabla de frecuencias seleccionar los si-guientes opciones:

ANALYZE/ DESCRIPTIVE STATISTICS/FREQUEN-CIES/ en el cuadro de diálogo que aparece se elige la variableMEDIO TRANSPORTE/ se pulsa OK para ejecutar el procedi-miento con las opciones por defecto. A continuación se presentala salida del SPSS.

Tabla 6.1Medio de transporte para ir a la universidad

Frequency Percent Valid CumulativePercent Percent

Valid vehículo propio 5 2.5 2.5 2.5vehículo de familiares 13 6.5 6.5 9.0transporte público 110 55.0 55.0 64.0transporte universidad 72 36.0 36.0 100.0Total 200 100.0 100.0

Se nos muestra:

value: los distintos valores o categorías de la variable.frequency: las frecuencias absolutas para cada valor o catego-

ría de la variable.percent: las frecuencias relativas multiplicadas por el 100%,

incluyendo los valores perdidos.

3 0 5

valid percent: las frecuencias relativas multiplicadas por el100%, eliminando de la muestra los valoresperdidos.

cumulate percent: las frecuencias relativas acumuladas multi-plicadas por el 100%.

Al final de la tabla se tiene el número total de casos válidos yel número total de casos perdidos.

Nota: En la opción FREQUENCIES/FORMAT/ se tienen di-versas opciones para ordenar la tabla de frecuencias según losvalores de la variable o las frecuencias, y en orden ascendente odescendente. Para poder utilizar esta opción no podemos solici-tar ni valores de percentiles ni histogramas.

Frecuencias para variables cuantitativas

Variables discretas

Para ilustrar consideremos la variable X5 de base de DATOS4-ciudadanía. Abrir la base de datos y ejecutar los siguientes co-mandos:

ANALYZE/ DESCRIPTIVE STATISTICS/FREQUENCIES/en el cuadro de diálogo que aparece elegir la variable NÚMERODE ORGANIZACIONES SOCIALES CERCANAS A SU DOMI-CILIO/ pulsar OK para ejecutar el procedimiento con las opcio-nes por defecto.

Número organizaciones sociales cercanas domicilio

Frequency Percent Valid Cumulativepercent percent

Valid 1 10 10.0 10.0 10.02 27 27.0 27.0 37.03 37 37.0 37.0 74.04 21 21.0 21.0 95.05 5 5.0 5.0 100.0Total 100 100.0 100.0

3 0 6

Variables continuas

Para construir la tabla considerar la variable coeficiente de inte-ligencia de la base de DATOS1- maestría y ejecutar los siguientescomandos:

ANALYZE/ DESCRIPTIVE STATISTICS/FREQUENCIES/en el cuadro de diálogo que aparece elegir la variable INTELI-GENCIA/ pulsar OK para ejecutar el procedimiento con las op-ciones por defecto.

El output del SPSS muestra la siguiente tabla.

Inteligencia

Frequency Percent Valid Cumulativepercent percent

Valid 93 1 1.4 1.4 1.493 2 2.9 2.9 4.394 1 1.4 1.4 5.794 1 1.4 1.4 7.195 1 1.4 1.4 8.6114 1 1.4 1.4 92.9116 1 1.4 1.4 94.3117 1 1.4 1.4 95.7118 1 1.4 1.4 97.1120 2 2.9 2.9 100.0Total 70 100.0 100.0

Tabla 6.2Tabla de frecuencias para la variable coeficiente de inteligencia

La tabla 6.2 muestra una parte de la tabla de frecuenciasbásica para una variable cuantitativa como si se tratara de unavariable cualitativa, pero por la teoría estadística sabemos quedicha presentación debe hacerse en intervalos de clase. A conti-nuación se describen los pasos a seguir para la presentación enintervalos de clase, suponiendo que se desea presentar en 7 in-tervalos de clase.

3 0 7

a) Se establece previamente los limites de los intervalos, paralo cual se obtiene el valor máximo: 120, el valor mínimo: 93,el rango: 27 y la amplitud de cada intervalo: 4. Así, si selec-cionamos los intervalos semiabiertos como ya fue señaladoen el capítulo 2, los límites de los intervalos son:

[92 - 96][96 - 100][100 - 104][104 - 108][108 - 112][112 - 116][116 - 120]

b) Se crea una variable ficticia con códigos: 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7, ala que se denomina INTELI1, donde se guardan los valorescontenidos en cada uno de los intervalos propuestos, paralos que se usan los siguientes comandos:TRANSFORM/ RECODE/ INTO DIFFERENT VARIABLES/En el cuadro de diálogo que se presenta elegir como variableINPUT la variable INTELIGENCIA/ a la variable outputdarle el nombre INTELI1/ presionar CHANGE/ OLD &NEW VALUES/ en el nuevo cuadro de diálogo que se pre-senta colocar como antiguos valores los intervalos de clase ycomo nuevos valores los códigos de 1 a 5, siguiendo la si-guiente secuencia:

pulsar RANGE/colocar el primer intervalo

92 y 95.99 y pulsar: 1 en new96 y 99.99: 2 en new100 y 103.99: 3 en new104 y 107.99: 4 en new……………..: ……..116 y 120: 7 en new

pulsar CONTINUE / y OK para ejecutar.En la base de datos se ha creado una nueva variable deno-minada: INTELI1.

3 0 8

Se termina de declarar la equivalencia entre la variable ori-ginal coeficiente de inteligencia y se ha creado la variable ficticiaINTELI1.

c) Se pide la tabla de frecuencias para la variable ficticia CO-EFI1, ejecutando los siguientes comandos:ANALYZE/ DESCRIPTIVE STATISTICS/FREQUENCIES/elegir la variable INTELI/ DISPLAY FREQUENCY TABLES/OK. En el OUTPUT se lee la siguiente tabla.

Figura 6.7 Comando Recode para recodificar inteligencia en INTELI1

3 0 9

d) Hacer la equivalencia entre los códigos de la variable INTE-LI1 y los intervalos de la variable coeficiente de inteligencia,usando los comandos:

VARIABLE VIEW/ NAME(INTELI1)/ VALUES /VALUE 1 /VALUE LABEL [ [9692 −VALUE 2/VALUE LABEL [ [10096 −VALUE 3/VALUE LABEL [ [104100 −VALUE 4/VALUE LABEL [ [112108 −…………………………… ….........…..VALUE 7/VALUE LABEL [ ]120116 −

e) Reconstruir la tabla de frecuencias para la variable coefi-ciente de inteligencia, con tan solo hacer el cambio de varia-ble de INTELI1 por coeficiente de inteligencia. En el outputse lee lo siguiente.

A partir de la salida del SPSS se hace la Distribución de fre-cuencias absolutas, relativas y acumuladas para la variable co-eficiente de inteligencia.

Tabla 6.3Distribución de frecuencias de la variable ficticia

INTELI

Frequency Percent Valid CumulativePercent Percent

Valid 1 9 12,9 12,9 12,92 28 40,0 40,0 52,93 13 18,6 18,6 71,44 12 17,1 17,1 88,65 2 2,9 2,9 91,46 2 2,9 2,9 94,37 4 5,7 5,7 100,0Total 70 100,0 100,0

3 1 0

Gráficos para variables cualitativas

a) Para construir un gráfico de barras para la variable sexo,seleccionar los siguientes comandos:GRAPHS/ BAR/SIMPLE/ DEFINE/ en category axis decla-rar SEXO/ marcar N CASOS/ y presionar OK para ejecutarel gráfico.

Tabla 6.4Distribución de frecuencias de la variable coeficiente de inteligencia

Coeficiente Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuenciade absoluta relativa absoluta relativa relativaen relativainteligencia if ih acumulada acumulada porcentaje acumuladaIntervalos iF iH ih % porcentajede clase iH %

[ 92- 96 ) 9 0.129 9 0.129 12,9 12,9[ 96-100 ) 28 0.400 37 0.529 40,0 52,9[100-104) 13 0.186 50 0.714 18,6 71,4[104-108) 12 0.171 62 0.886 17,1 88,6[108-112) 2 0.029 64 0.914 2,9 91,4[112-116) 2 0.029 66 0.943 2,9 94,3[116-120] 4 0.057 70 1.000 5,7 100,0

Total 70 100.0 100.0

Figura 6.8Gráfico de barras para la variable sexo de los estudiantes

Cou

nt

sexo de los estudiantesfemenino masculino

50

40

30

20

10

0

3 1 1

Gráficos para variables cuantitativas

Para construir el histograma de frecuencias presentado en la Fi-gura 7.12 se usan los siguientes comandos:GRAPHS/HISTOGRAM/ SELECCIONAR la variable INTELI-GENCIA / DISPLAY NORMAL CURVE/ OK.

b) Para construir una gráfico de SECTORES seleccionar lossiguientes comandos:GRAPHS/ INTERACTIVE/ PIE/ SIMPLE / en el cuadro dediálogo colocar en DEFINE SLICES BY la variable SEXO/ acti-var PIES/ seleccionar PERCENT/ ACEPTAR.

Figura 6. 9Gráfico de sectores de la variable sexo de los estudiantes

Figura 6.10Histograma de la variable coeficiente de inteligencia

Freq

uenc

y

95 100 105 110 115 120inteligencia

Mean = 101.77Std. Dev. = 6.294N = 70

20

15

10

5

0

3 1 2

Otra alternativa es usando los siguientes comandos:GRAPHS/INTERACTIVE/HISTOGRAM/presionar ASIGN

VARIABLES y colocar COUNT e INTELI1/ en HISTOGRAM ele-gir 7 intervalos/ si desea coloca el título/ para ejecutar elegirACEPTAR.

Para hacer el gráfico de frecuencias relativas cambiarCOUNT por PERCENTS.

Figura 2.5Histograma de frecuencias absoutas para los coeficientes de inteligencia

Cou

nt

2.00 3.00 4.00 5.00 6.00Inteli 1

20

15

10

5

0

Figura

2.00 3.00 4.00 5.00 6.00Inteli 1

Perc

ent

30

20

10

0

3 1 3

Para frecuencias acumuladas:GRAPHS/INTERACTIVE/HISTOGRAM/CUMULATIVE

HISTOGRAM/ presionar ASIGN VARIABLES y colocar COUNTe INTELI1/ en HISTOGRAM elegir 7 intervalos/ si desea colocael título/ para ejecutar elegir ACEPTAR. Para hacer el gràfico defrecuencias relativas cambiar COUNT por PERCENTS.

Figura

2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

Inteli 1

Cou

rt

60

40

20

0

Figura

2.00 3.00 4.00 5.00 6.00

Inteli 1

Cou

rt

60

40

20

0

3 1 4

Medidas de tendencia central y de dispersión

a) La opción FREQUENCIES, además de tablas y gráficos, nospermite calcular algunas estadísticas básicas de posición yde dispersión para una variable numérica. Para hacer la ilus-tración, continuamos con la variable coeficiente de inteli-gencia de la base DATOS1-maestría y ejecutar los siguientescomandos.ANALYZE/ DESCRIPTIVE STATISTICS/FREQUENCIES/elegir la variable INTELIGENCIA/ presionar STATISTICS/seleccionarMEAN MEDIAN MODE SUMSTD DEVIATION VARIANCE MINIMUN MAXIMUN,PERCENTILES 10 ADD 20 ADD /CONTINUE/ y OK parala ejecución.Los resultados están en el siguiente cuadro.

Tabla 6.5Medidas de tendencia central, dispersión y forma de la

variable coeficiente de inteligencia

Statistics

inteligencia

N Valid 70Missing 0

Mean 101.79Median 100.00Mode 100Std. Deviation 6.282Variance 39.464Skewness 1.301Std. Error of Skewness .287Kurtosis 1.558Std. Error of Kurtosis .566Range 27Minimum 93Maximum 120Sum 7125Sum 95.37Percentiles 10 95.37

20 96.97

3 1 5

donde para cualquier variable cuantitativa:mean: media aritmética,median: mediana,mode: moda,sum: suma de todos los valores,std deviation: desviación estándar,variante: varianza,minimum: valor más pequeño,máximun: valor más grande,range: rango,std. Error of mean: error estándar de la media aritmética,kurtosis: curtosis,skewness: sesgo.

b) La opción DESCRIPTIVES al igual que la opción anterior,también permite calcular algunas medidas de tendencia cen-tral, de dispersión y de distribución. La secuencia de los co-mandos es la siguiente:ANALYZE/ DESCRIPTIVE STATISTICS/DESCRIPTIVES/elegir la variable INTELIGENCIA/OPTION/ MEAN,SUM, KURTOSIS, SKEWNESS,CONTINUE /OK.Como opciones adicionales, este procedimiento nos permite:

• guardar en nuevas variables los valores estandarizadosde las variables originales,

• visualizar o no las etiquetas de cada variable,• decidir el orden en que se visualizarán los resultados.

Coeficientes de correlación y regresión lineal

a ) Coeficiente PHI

Abrir o crear la base de datos.En el presente caso abrir la base DATOS8-phi y seleccionar

del menú las siguientes opciones:

3 1 6

ANALYZE/ DESCRIPTIVE STATISTICS/CROSSTABS. Apa-recerá el cuadro de diálogo en el que deberá colocar en ROWS lavariable ESTADO CIVIL, y en COLUMNS colocar la variableDESERCION. Continuar con los comandos FORMAT/DESCEN-DING/ STATISTICS/PHI/ CONTINUE y se ejecuta el procedi-miento con OK.

En el OUTPUT aparece:

b) Coeficiente BISERAL-PUNTUAL

Abrir o crear la base de datos.En el presente caso, abrir la base DATOS9-biseral y seleccio-

nar las variables sexo y estatura de los estudiantes.El SPSS no proporciona directamente el valor del coeficien-

te de correlación biseral, pero proporciona las medias muestra-les y la desviación estándar necesarios que se reemplazan en lafórmula correspondiente.

Se crea una variable ficticia donde se guardan las estaturasde los estudiantes del sexo femenino. Esa variable se denominaX0, de la que necesitamos su media aritmética.

DESERCION * ESTADO CIVIL Crosstabulation

ESTADO CIVIL Total

0 1

DESERCION 1 2 4 60 8 1 9

Total 10 5 15

Symmetric Measures

Value

Nominal byNominal Phi .577

3 1 7

Se crea otra variable ficticia donde se guardan las estaturasde los estudiantes del sexo masculino. Esa variable se denominaX1, de la que necesitamos también su media aritmética.

De la variable estatura, sin diferenciar el sexo, necesitamosla desviación estándar.

Abrir la base DATOS9-biseral y ejecutar los siguientes co-mandos:a) TRANSFORM/COMPUTE en target colocar XO/ en expre-

sión numérica colocar ESTATURA/ IF/ activar INCLUDEIF CASE SATISFIES CONDITION SEXO=0/ CONTINUE /OK. Se ha creado la variable X0.

b) TRANSFORM/COMPUTE en target colocar X1/ en expresiónnumérica colocar ESTATURA/ IF/ activar INCLUDE IFCASE SATISFIES CONDITION SEXO=1/ CONTINUE /OK.

c) ANALYZE/ DESCRIPTIVE STATISTICS/ DESCRIPTIVES/seleccionar las variables ESTATURA XO X1/ OK.

Descriptive Statistics

n Minimum Maximum Mean Std. Deviation

estatura de losestudiantes 15 55 73 64.13 4.749Xo 7 55.00 67.00 61.1429 3.62531x1 8 62.00 73.00 66.7500 4.13176Valid N (listwise) 0

c ) Coeficiente TETRACÓRICO

El SPSS nos proporciona la tabla de contingencia de la que toma-mos los valores de las celdas para reemplazarlos en la fórmulade la página 95. Se ilustra con la base DATOS10-tetracórico con

75.661

=X 14.610

=X 749.4 7 8 x01 === Snn

61.0141578

749.414.6175.66

xxrbp

3 1 8

las variables notas en el curso de estadística (dicotomizada: apro-bó o desaprobó) y las notas en el curso de metodología de la in-vestigación también dicotomizada. Las dos variables son de na-turaleza cuantitativa. Para obtener la tabla de doble entrada seprocede de la siguiente manera:

ANALYZE/ DESCRIPTIVE STATISTICS/CROSSTABS. Apa-recerá el cuadro de diálogo en el que deberá colocar en ROWS lavariable NOTAS EN ESTADÍSTICA, y en COLUMNS colocar lavariable NOTAS EN METODOLOGÍA. Continuar con los coman-dos FORMAT/DESCENDING/ CONTINUE y se ejecuta el pro-cedimiento con OK.

En el output aparecen las frecuencias conjuntas

notas de estadística * notas de metodología de la investigación Crosstabulation

Count

notas de metodologíade la investigación Total

desaprobó aprobó

notas de aprobó a=11 b=36 47estadística desaprobó c=34 d=18 52Total 45 54 99

con las que se calcula el cociente dacb

= 18.6

)18(11)34(36 = . En la

tabla H d el valor de dicho cociente se encuentra en el intervalo6.044 y 6.288 por lo que el valor del coeficiente de correlacióntetracórico es 0.62.

d ) Coeficiente BISERAL

Este tipo de coeficiente se calcula cuando se tienen dos variablescuantitativas una de las cuales ha sido dicotomizada. Tampoco elSPSS calcula este coeficiente pero nos proporciona las cuentas auxi-liares para la obtención del coeficiente. Se usa la base DATOS11-

3 1 9

biseral donde la variable nota del estudiante se ha dicotomizado lahabilidad del estudiante y asignado 1 si aprobó y 0 si desaprobó.

Se crea una variable ficticia donde se guardan los tiemposque demoran en resolver el problema los estudiantes que des-aprueban o no tienen habilidad. Dicha variable se denomina X0,de la que necesitamos su media aritmética.

Se crea otra variable ficticia donde se guardan los tiemposque demoran en resolver los estudiantes que aprueban o que tie-nen habilidad para resolver el problema. Dicha variable se deno-mina X1, de la que necesitamos también su media aritmética.

De la variable tiempo, sin diferenciar si el estudiante fue hábilo no, se necesita la desviación estándar.

Abrir la base DATOS11-biseral y ejecutar los siguientes co-mandos:

a) TRANSFORM/COMPUTE en target colocar XO/ en expre-sión numérica colocar TIEMPO/ IF/ activar INCLUDE IFCASE SATISFIES CONDITION HABILIDAD=0/ CONTI-NUE /OK. Se ha creado la variable X0.

b) TRANSFORM/COMPUTE en target colocar X1/ en expresiónnumérica colocar TIEMPO/ IF/ activar INCLUDE IF CASESATISFIES CONDITION HABILIDAD=1/ CONTINUE /OK.

c) ANALYZE/ DESCRIPTIVE STATISTICS/ DESCRIPTIVES/seleccionar las variables TIEMPO XO X1/ OK.En el output se dispone del siguiente cuadro

Descriptive Statistics

N Mean Std.Deviation

tiempo pararesolver 99 63.54 10.168x0 52 63.0113 10.58776x1 47 64.1310 9.76176

que luego permiten calcular el coeficiente de correlación bi-seral usando la fórmula de la página 98.

3 2 0

e ) Coeficiente de SPEARMAN

Se crea o abre el archivo de datos, que en el presente caso es la basede DATOS6-jurado y se seleccionan los siguientes comandos:

ANALYZE/CORRELATE/BIVARIATE/elegir las variablesX e Y/ SPEARMAN/ OK y el SPSS nos proporciona el coeficientede correlación de Sperman.

f ) Coeficiente de CONTINGENCIA

Es útil cuando las dos variables son cualitativas como en los ejem-plos4.2 y 4.3.

Para el ejemplo 4.2 se usó la base DATOS2-matemáticas y seconstruyó la tabla de doble entrada para el sexo y la escuela pro-fesional a la que pertenece el estudiante. Esta vez, además delcuadro se obtiene el coeficiente de contingencia. Los comandosson los siguientes:

ANALYZE/ DESCRIPTIVE STATISTICS/CROSSTABS/ co-locar en ROWS la variable SEXO y en COLUMNS colocar ES-CUELA PROFESIONAL/ pulsar STATISTICS/ activar CONTIN-GENCY COEFFICIENT/ CONTINUE/ ejecutar con OK.

El output del SPSS además de la tabla bidimensional incluyeel siguiente cuadro:

Correlations

RANGO A RANGO ALAS NOTAS LAS NOTAS

DEL JURADO DEL JURADO1 2

Spearman's rho RANGO A LAS CorrelationNOTAS DEL Coefficient 1.000 .332JURADO 1RANGO A LAS CorrelationNOTAS DEL Coefficient .332 1.000JURADO 2

3 2 1

Análisis de REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Para ver las opciones de este procedimiento vamos a trabajar convariables cuantitativas del archivo DATOS3-educación: edad delos participantes, nota promedio, nota en álgebra, nota en arit-mética, nota en trigonometría.

a ) Diagrama de dispersión

Entrar enGRAPH/SCATTER / del cuadro de diálogo que aparece se

selecciona las opciones SIMPLE DEFINE/ colocar la variable PRO-MEDIO como variable dependiente en el eje de las Y/ colocar lavariable ÁLGEBRA como variable independiente en el eje de lasX/ dejar el resto de opciones por defecto y ejecutar el procedi-miento con OK.

Symmetric Measures

Value

Nominal by Nominal ContingencyCoefficient .217

8 10 12 14Notas de álgebra

Not

as p

rmed

io

16

14

12

10

8

3 2 2

Se observa en el gráfico una relación lineal razonablementealta entre la nota promedio de los estudiantes y la nota de álge-bra. Para cuantificar dicha relación debe calcularse el coeficien-te de correlación de Pearson.

b) Coeficiente de correlación de PEARSON

ANALYZE/ CORRELATE/ BIVARIATE/ pasar a la lista de va-riables destino las variables PROMEDIO y ALGEBRA/ dejamostodas las opciones por defecto y se ejecuta el procedimiento conOK. Obtenemos la matriz de correlaciones que aparece en la si-guiente figura.

c ) Coeficientes de correlación paravarias variables

ANALYZE/ CORRELATE/ BIVARIATE/ pasar a la lista devariables destino todas las variables cuantitativas para lasque se desea encontrar las correlaciones bivariantes/ dejamostodas las opciones por defecto y se ejecuta el procedimiento conOK. Obtenemos la matriz de correlaciones que aparece en la si-guiente figura.

Correlations

NOTAS NOTAS DEPROMEDIO ALGEBRA

NOTAS Pearson

PROMEDIO Correlation 1 .925

NOTAS DE Pearson

ÁLGEBRA Correlation .925 1

.000 .

3 2 3

Se observa que la matriz es simétrica y los valores de la dia-gonal igual a 1, pues corresponde a la correlación de cada varia-ble consigo misma.

d ) Coeficiente de correlación parcial

Se trata de un coeficiente de correlación que nos da la idea de larelación lineal existente entre dos variables, ajustada a los efec-tos lineales que sobre ella puedan tener una o más variables in-tervinientes.

Si deseamos encontrar el coeficiente de correlación par-cial entre la nota promedio y álgebra, ajustado por la influen-cia que podría tener la nota de aritmética, los comandos son lossiguientes:

ANALYZE/ CORRELATE/ PARTIAL/elegir como variablesdestino PROMEDIO y ÁLGEBRA/ en controllin for colocar la va-riable control ARITMÉTICA/ dejar todas las opciones por defec-to y se ejecuta el procedimiento con OK.

Correlations

Edad de los Tiempo de Notas de Notasestudiantes servicio álgebra promedio

Edad de los Pearson Correlation 1 .734** -.107 -.077estudiantes Sig. (2-tailed) . .000 .473 .608

N 47 47 47 47

Tiempo de servicio Pearson Correlation .734** 1 -.173 -.124Sig (2-tailed) .000 . .244 .407N 47 47 47 47

Notas de álgebra pearson correlation -.107 -.173 1 .925**Sig. (2-tailed) .473 .244 . .000N 47 47 47 47

Notas promedio Pearson Correlation -.077 -.124 .925** 1Sig. (2-tailed) .608 .407 .000 .N 47 47 47 47

** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).

3 2 4

Pasamos de un coeficiente de correlación de Person 0.925 aun coeficiente de correlación parcial de 0.611.

e ) Scatterplot

Entrar en GRAPHS/SCATTER/ aparece el cuadro de diálogo conlas siguientes opciones:

Simple: cada punto representa un sujeto de la base de datos.Matriz: una matriz cuadrada de SCATTERPLOTS simples paracada combinación de pares de variables.Overlay: representa varios SCATTERPLOTS en el mismo eje.Three-D: cada punto representa un sujeto con valores en tresvariables. Se puede rotar el gráfico.

e1) Simple

En este cuadro de diálogo tenemos:

• En el eje de las Y la variable que, en el caso de existirdependencia, actúa como variable dependiente.

• En el eje de las X, la variable independiente.• En SET MARKET BY una variable que clasifique los in-

dividuos por grupos.• En LABEL CASES BY una variable que con sus valores o

categorías identifique a cada sujeto en el gráfico.

Correlations

Control NOTAS NOTAS DEVariables PROMEDIO ÁLGEBRA

NOTAS DE NOTAS Correlation 1.000 .611PROMEDIO

ARITMÉTICA NOTAS DE Correlation .611 1.000ÁLGEBRA

3 2 5

GRAPHS/ SCATTER/ SIMPLE/ DEFINE. En Y entramos lavariable PROMEDIO y en X la variable ALGEBRA. En SET MAR-KERS BY la variable SEXO. Dejar el resto de opciones por defec-to. Pulsar OK y se obtiene la siguiente figura.

El gráfico nos muestra los puntos, separados para los distin-tos subgrupos de la variable en SET MARKERS BY, en nuestrocaso la variable SEXO.

f ) Regresión lineal simple

Entramos en ANALYZE/ REGRESSION/ LINEAR y obtene-mos el cuadro de diálogo, donde se elige la variable PROME-DIO como variable dependiente y ÁLGEBRA como variableindependiente. Dejamos el resto de opciones por defecto y ejecu-tamos el procedimiento. Los resultados son los que aparecen acontinuación.

16,0000

14,0000

12,0000

10,000

8,0000

8,0000 10,0000 12,0000 14,0000

Not

as p

rom

edio

Sexo de losparticipantes

FemeninoMasculino

3 2 6

La recta de regresión ajustada por el método de mínimos cua-drados es:

XY 708.0853.3ˆ += y el coeficiente de correlación vale 0.925.

g ) Gráfico de la recta de regresión lineal

Entrar en GRAPH/ INTERACTIVE/ SCATTERPLOT / en el cua-dro de diálogo que aparece se eligen las variables independiente(en el eje X) y dependiente(en el eje Y)/ presionar FIT/ elegir comométodo REGRESIÓN / en fit lines for elegir TOTAL/ presionarACEPTAR para ejecutar.

ANOVAb

Model Sum of df Mean F Sig.Squares Square

1 Regression 71.298 1 71.298 265.659 .000ªResidual 12.077 45 .268Total 83.375 46

a. Predictors: (Constant), NOTAS DE ÁLGEBRAb. Dependent Variable: NOTAS PROMEDIO

Model Summmary

Model R R Square Adjusted Std. error ofR. Square the estimate

1 .925ª .855 .852 .518

a. Predictors: (Constant), Notas de álgebra

Coefficientsa

Unstandardized StandardizedCoefficients Coefficients

Model B Std. Error Beta t Sig.

1 (Constant) 3.853 .477 8.071 .000NOTAS DE ÁLGEBRA .708 .043 .925 16.299 .000

a. Dependent variable: NOTAS PROMEDIO

3 2 7

h ) Análisis de regresión lineal múltiple

ANALYZE/ REGRESSION/ LINEAR y dejamos la variable PRO-MEDIO como variable dependiente, ÁLGEBRA y ARITMÉTICAcomo variables independientes respectivamente. Dejar el restode opciones por defecto y se ejecuta el procedimiento. Se obtienelos siguientes resultados.

Notas de álgebra

Not

as p

rom

edio

Notas promedio = 3.85 + 0.71 * álgebraR-Square = 0.86

LinearRegression

14

13

12

11

10

9

8 10 12 14

ANOVAb

Model Sum of df Mean F Sig.Squares Square

1 Regression 73.734 2 36.867 168.257 .000ªResidual 9.641 44 .219Total 83.375 46

a. Predictors: (Constant), NOTAS DE ARITMÉTICA, NOTAS DE ÁLGEBRAb. Dependent Variable: NOTAS PROMEDIO

Model Summmaryb

Model R R Square Adjusted Std. error ofR. Square the estimate

1 .940ª .884 .879 .468

a. Predictors: (Constant), NOTAS DE ARITMÉTICA, NOTAS DE ÁLGEBRAb. Dependent Variable: NOTAS PROMEDIO

3 2 8

En el output se tiene la siguiente información:La variable dependiente del modelo.La relación de las variables independientes.El coeficiente de correlación múltiple.El coeficiente de determinación.El coeficiente de determinación ajustado.El análisis de varianza.Los coeficientes de la ecuación de regresión múltiple.

Pautas básicas del MATLAB

MATLAB significa MATrix LABoratory. Originalmente fue de-sarrollado como un software para operar matrices. Una manerafácil de visualizar MATLAB es pensar en él, como una calcula-dora científica que maneja números reales y complejos y comouna calculadora programable que puede almacenar y recuperardatos, que puede crear, ejecutar y guardar secuencias de órdenespara automatizar el cálculo de ecuaciones importantes; y tam-bién puede hacer comparaciones lógicas y controlar el orden enel que se ejecutan los comandos. Además permite presentar da-tos en gran variedad de formas.

Ejecuta álgebra matricial, manipula polinomios, integra fun-ciones, manipula simbólicamente ecuaciones, etc.

Realiza también procedimientos estadísticos como tabla defrecuencias, gráficos, estadísticas de posición etc.

Coefficientsa

Unstandardized StandardizedCoefficients Coefficients

Model B Std. Error Beta t Sig.

1 (Constant) 2.759 .542 5.091 .000NOTAS DE ÁLGEBRA .448 .087 .585 5.122 .000NOTAS DE ARITMÉTICA .280 .084 .381 3.334 .002

a. Dependent variable: NOTAS PROMEDIO

3 2 9

MATLAB tiene las operaciones aritméticas conocidas: suma(+), resta (-), multiplicación (*), división (/) y potencia (^) y seoperan de la manera que usted acostumbra.

Cuando se activa, en el pront aparece el símbolo >>.

Ejemplo>> 2+pi ans =5.1416>> 1/9 ans = 0.1111>> 2^3 ans = 8

Si lo usamos como una calculadora científica, ella posee unnúmero grande de funciones, entre éstas se incluyen: abs, sqrt,exp, sin etc.

Ejemplo" abs(1+i) ans = 1.4142" exp(0) ans = 1" exp(1) ans = 2.7183

MATLAB permite asociar un nombre a una cantidad numé-rica dada (al que llamamos variable) Se declara las variablesusando el signo "=":

Ejemplo" a=13 a = 13" b=a+a/pi b = 17.1380

MATLAB nos muestra las respuestas en ans (answers) cuan-do no asignamos nombre de ninguna variable.

Ejemplo" pi ans = 3.1416" ans/2 ans = 1.5708

Los nombres de las variables deben comenzar con una letra,después es válido cualquier ordenación de letras, números o su-

3 3 0

brayado. Puede contener hasta 19 caracteres. MATLAB es sensi-ble a las mayúsculas: a y A son variables diferentes.

Declaración de vectores y matricesLos escalares, los vectores y las matrices, se ejecuta en MAT-

LAB sin ninguna declaración especial. Los vectores pueden serconsiderados como matrices de una sola columna o de una solafila, así también los escalares pueden ser considerados comomatrices de orden uno. Existen varias formas de escribir matri-ces en MATLAB, consideremos algunas de las más sencillas:

Para escribir la matriz fila b de componentes: 1, 2, 3 y 4digito:>>b=[1 2 3 4], a lo que matlab responde:b =1 2 3 4Cada nueva columna está separada por un espacio, también

puede usarse también una coma" b=[1,2,3,4]b =1 2 3 4Escribimos un vector columna c, separando cada nueva fila

con un punto y coma." c = [1; 2;3, -9]c =123-9Una matriz A se escribe:" A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9].A =1 2 34 5 67 8 9Recuerde que cada nueva columna se separa con ";".

3 3 1

Para escribir vectores podemos usar dos puntos, (:) de la si-guiente manera:

vector = primer elemento: incremento: último elemento.

Ejemplo>> v1=1:5:39 v1 = 16 11 16 21 26 31 36Al ser el incremento igual a 5, el siguiente de 36 sería 41 que

rebasa la cota superior de 39.Puede considerarse fracciones como incremento:

" v2 = 2 : 0.4: 4 v2 = 2.0000 2.4000 2.8000 3.2000 3.6000 4.0000.

Los incrementos pueden ser negativos" v3 = 10: -0.5: 8.0 v3 = 10.0000 9.5000 9.0000 8.5000

8.0000.

Por omisión MATLAB entiende que el incremento es uno." v4=13:19 v4 = 13 14 15 16 17 18 19

Mediante el comando linspace decidimos el número de pun-tos en que dividimos un intervalo por ejemplo dividir el interva-lo [0,pi ], en 6 sub-intervalos

" v5 = linspace(0,pi,7) v5 = 0 0.5236 1.0472 1.57082.0944 2.6180 3.1416

Para saber el tamaño (dimensión) del vector v1 o su ordencuando lo pensamos como una matriz, escribimos los comandos:

>>length(v1) ans = 8>> [ fila, colum ] = size(v1)fila = 1 colum = 8

Nos dice que v1 tiene 8 componentes o que es una matriz deuna fila y ocho columnas.

MATLAB conoce muchas matrices tales como la identidad,la matriz constante 0, etc, basta escribir los comandos:

3 3 2

" iden = eye(4), cero = zeros(3,5), uno = ones(2,4).iden = cero = uno =1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 10 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1

Escriba las ordenes: eye(3,5), zeros(5), ones(5,3) y mire queobtiene. Una matriz que servirá para algunos ejemplos rutina-rios es la matriz mágica, escriba magic(5), intente ver que pro-piedades tiene.

Dado un vector podemos obtener una matriz diagonal don-de su diagonal principal esta dada por las componentes de éstevector:

" v=1:5 v = 1 2 3 4 5" dia=diag(v)dia =1 0 0 0 00 2 0 0 00 0 3 0 00 0 0 4 00 0 0 0 5

Ensaye ahora el comando diag(dia). En A tiene guardado unamatriz, muestre en pantalla, escriba diag(diag(A)), ¿qué obtiene?

Una matriz R cuyas entradas son números aleatoriosR=rand(4)

R =0.9501 0.8913 0.8214 0.92180.2311 0.7621 0.4447 0.73820.6068 0.4565 0.6154 0.17630.4860 0.0185 0.7919 0.4057

Podemos ensamblar una matriz a partir de matrices de me-nor orden, por bloques, como sigue:

3 3 3

" B=[A, zeros(3); zeros(3), ones(3)]B =1 2 3 0 0 04 5 6 0 0 07 8 9 0 0 00 0 0 1 1 10 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1

Ejemplo " a = 4: 9 a = 4 5 6 7 8 9 " b = 9: -1: 4 b = 9 8 7 6 5 4 " c = ones(2) c = 1 1

1 1" d1=[a b] d1 = 45 6 7 8 9

9 8 7 6 5 4" d2=[a; b] d2 = 45 6 7 8 9

9 8 7 6 5 4" d3=[d2, c] d3 = 4 5 6 7

8 9 1 19 8 7 6 5 41 1

" d4=[c; d2] d4 = 1 1 4 5 67 8 91 1 9 8 7 65 4

Filas, columnas y elementos de una matriz. Submatrices

El elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i colum-na j se denota como en álgebra lineal A(i, j). En las matrices da-das en los ejemplos anteriores:

" B(4,5) ans = 1" A(3,2) ans = 8" d1(10) ans = 6

3 3 4

En el caso de vectores basta con dar la componente del vec-tor, la primera componente es d1(1), y así para todos los vecto-res, no existe para matlab una componente de índice cero, igualcon las matrices, el elemento de la primera fila y primera colum-na es A(1, 1), no existe A(0, 0).

Podemos redefinir una matriz modificando algún elemento,por ejemplo:

" A(3,2)=17

Observe el elemento (3, 2), en la matriz A que se tenia y comose reemplazó en la nueva A:

A = A =1 2 3 1 2 34 5 6 4 5 67 8 9 7 17 9

Ejemplo " d1 d1 = 45 6 7 8 9 9 8

7 6 5 4 " d1(10) ans = 6

Modificamos la componente 10 del vector d1: ésta es reem-plazada por la suma de la primera y la décima componente.

" d1(10)=d1(1)+d1(10) d1 = 4 5 6 78 9 9 8 7 10 5 4

Para obtener la primera columna de la matriz A escriba:

" A (:, 1)ans =

147

3 3 5

para la tercera fila:" A(3,:) ans = 7 17 9

La fila i ó la columna j se obtienen escribiendo A(i,:) ó A(:, j)respectivamente.

Si quisiéramos borrar la tercera fila, hacemos:

" A(3,: )=[ ]A =1 2 34 5 6

Usando dos puntos podemos construir otras submatrices, re-cordamos que tenemos en la matriz B y escribimos la submatrizB1 formado por la segunda, tercera y cuarta fila

" BB =1 2 3 0 0 04 5 6 0 0 07 8 9 0 0 00 0 0 1 1 1

0 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1

" B1=B(2:4,:)Escribimos el dos para la fila inicial, el cuatro para la final, si

no se escribe el incremento, MATLAB asume que es uno.

B1 =4 5 6 0 0 07 8 9 0 0 00 0 0 1 1 1

3 3 6

" B2=B(:,1:2:6)

Para la submatriz B2, escribimos uno para que comience enla primera columna, incrementándose de dos en dos, a lo máshasta la sexta columna:

B2 =1 3 04 6 07 9 00 0 10 0 10 0 1

Esto es, la submatriz B2 está formada por la primera, terceray quinta columna.

" B3=B(:, [2 5])B3 =2 05 08 00 10 10 1

B3 está formada por la segunda y la cuarta columna.

B4 = B([1 5], [2 3 4])B4 =2 3 00 0 1

B4 está formada por la primera y quinta filas, además por lasegunda, tercera y cuarta columnas.

3 3 7

Operaciones con matrices y vectores

Para tomar la transpuesta de la matriz A: se coloca un apóstrofe

" B=A'B =1 4 72 5 83 6 9

La suma de matrices y de vectores es igual a la suma de es-calares.

EjemploA=[1 2 3;4 5 6;7 8 9], B=A'.A = B =1 2 3 1 4 74 5 6 2 5 87 8 9 3 6 9

" C = A+BC =2 6 106 10 1410 14 18" a =4: 9 a = 4 5 6 7 8 9" b =9: -1: 4 b = 9 8 7 6 5 4" c = a + b c = 13 13 13 13 13 13" d1= 3*a-2*b d1 = -6 -1 4 9 14 19" [1 1 1]/3 ans = 0,3333 0,3333 0,3333

El producto de matrices es el usual del álgebra, el número decolumnas de la primera matriz factor debe coincidir con el nú-mero de filas del segundo factor.

3 3 8

" D=A*BD =14 32 5032 77 12250 122194

El producto interior de dos vectores puede obtenerse de lasiguiente manera:

" d2=a*b' d2 = 236

Existe otro producto, se le llama producto exterior:" d3=[1; 2; 3]*[1 2 3]d3 =1 2 32 4 63 6 9

Usamos el "punto operación" para efectuarlo componente acomponente como sigue:

" d4=[1 2 3 4].*[1 1/2 1/3 1/4] d4 = 11 1 1

" d5=[2 2 2 2].^[0 1 2 3]d5 =1 2 4 8" A.*Bans =1 8 218 25 4821 48 81

Análisis de datos

Las matrices son usadas de manera natural por MATLAB paraanalizar datos. Por convención el conjunto de datos se almacenan

3 3 9

en matrices orientada por columnas, cada columna representa unavariable diferente y cada fila representa a un individuo.

Al digitar help datafun, matlab le muestra una lista de lasfuncionres estadísticas que podría Ud. necesitar, algunas de es-tas es mostrada en la siguiente tabla:

Función estadística Descripción

bar(x) Diagrama de barrascorrcoef(x) Coeficientes de correlacióncov(x) Matriz de covarianzacumprod(x) Producto acumulado de columnascumsum(x) Suma acumulado de columnasdiff(x) Calcula las diferencias entre elementoshist() Histogramamean(x) Valor medio de columnasmedian(x) Valor de la mediana de las columnasprod(x) Producto de elemtos en columnasrand(x) Números aleatorios distribuidos uniformementerandn(x) Números aleatorios distribuidos normalmentesort(x) Ordena columnas en orden ascendentestd(x) Desviación estandar de columnassum(x) Suma de elementos de cada columna

EjemploSupongamos que la siguiente matriz represente a cuatro

variables (columnas) y 3 individuos (filas).A=[2 7 4 76 4 6 14 0 7 4 ]

>>mean(A) nos da la media aritmética de cada una de lasvariables

ans = 4.0000 3.6667 5.6667 4.0000

>> sum(A) nos da la suma de los valores de cada variableans = 12 11 17 12

3 4 0

sort(A)ans =2 0 4 14 4 6 46 7 7 7>> cov(A) proporciona la matriz de covarianzas de las tres

variablesans =4.0000 -3.0000 2.0000 - 6.0000-3.0000 12.3333 -5.1667 4.50002.0000 -5.1667 2.3333 -3.0000-6.0000 4.5000 -3.0000 9.0000

Números aleatorios

Nos sirven para simular un problema complejo.Los números aleatorios que tienen la misma probabilidad

de ser elegidos entre un límite superior y uno inferior se denomi-nan números aleatorios uniformes.

MATLAB mediante la función rand genera números aleato-rios distribuidos uniformemente en el intervalo [0,1], la sintaxis es:

rand (n) %matriz de orden n de entradas entre 0 y 1.rand(m,n) %matiz de orden m por nPara obtener una sucesión de números aleatorios se utiliza

el valor de una semilla el valor de este semilla inicialmente escero, pero se puede cambiar con la función seed

rand('seed', n) %asigna n como valor de la semillarand('seed'),%devuelve el valor actual de la semilla del ge-

nerador de números aleatorios.Las sucesiones aleatorias que tienen algunos valores con

mayor probabilidad de ocurrir que otros pueden modelarse connúmeros aleatorios normales.

MATLAB genera valores gaussianos con una media de ceroy una varianza de 1.0 en [0,1], mediante:

randn(m) %genera una matriz de orden mrandn(m,n) %genera una matriz de orden m por n

3 4 1

Ejemploy=randn(1500,1); % genera 1500 números aleatorios con dis-

tribución normal de mediacero y varianza 1.hist(y) % dibuja un histograma de 10 barras para los datos

del vector y.

Ejemplox=-2.9:0.1:2.9y=randn(1000,1),hist(y, x);

Recordar que todos los comandos MATLAB SE DIGITAN ENLETRAS MINÚSCULAS.

Los comandos de ayuda

Si conocemos el nombre del comando del que necesitamos ayu-da, escribimos help nombre del comando, por ejemplo escriba helpdiag, y lea lo que matlab muestra en pantalla acerca de diag. Si

-3 -2 -1 0 1 2 3

50

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0

3 4 2

escribimos help +, matlab nos muestra todo acerca de las opera-ciones aritméticas y otras relaciones más; en cambio help helpnos explica que es lo que hace help.

Vea que es lo que hace un solo help.

Si no conocemos exactamente el nombre del comando pero sabe-mos por ejemplo que esta relacionado con los números comple-jos escribimos lookfor complex, matlab nos muestra una lista decomandos que está relacionado con los complejos. Escriba lookforfourier y lea lo matlab muestra en pantalla.

Los comandos who y whos

Nos muestra en pantalla las variables que estamos utilizando enésta sesión de Matlab.

Los comandos save y load

Si queremos conservar la matriz A para usarla en la siguiente se-sión escribir save A y A es guardada en un archivo de extensiónmat, para recuperarla en la siguiente sesión escribir load A.mat

El comando intro

Hace un paseo de demostración, muestra lo que matlab puedeofrecer. Digite intro y disfrute de este paseo. Puede recorrer tam-bién por demo, para ello digite demo.

Para averiguar que es lo que hacen algunos de los comandosque nos muestra intro, por ejemplo plot, grid, etc digite:help plot,help grid.

El comando %

Sirve para escribir comentarios, lo que sigue despues del % entoda esa línea, matlab no lo ejecuta.

3 4 3

Archivos M

Cuando un programa tiene comandos que ocupan varias líneases conveniente usar los archivos.m, funcionan como macroco-mandos matlab, lo pensamos como programas escritos en len-guaje matlab, pueden guardarse en disco y corregirse tantas ve-ces como sea necesario. Incluye cualquier cosa que el usuariopueda escribir directamente en la ventana de comandos.

Estos archivos.m son de dos clases: los archivos.m de guióny los archivos.m de función.

Los archivos.m de guión es una lista de comandos matlab,que pueden operar con datos que existen en el espacio de trabajoy pueden crear nuevos datos para seguir operando, pueden lla-mar a otros archivos.m, Cualquier variable que ellos han creadopermanecen en el espacio de trabajo y pueden ser usadas en loscálculos que siguen.

Los archivos.m de función aceptan argumentos en la entra-da y retornan argumentos en la salida. El nombre del archivo y elnombre de la función deben coincidir.

Para empezar de un clic con el ratón en file, se despliega unmenú, elija new y haga un clic y por último clic en M-file, matlabnos mostrará una ventana como la siguiente:

3 4 4

Al que llamaré ventana del archivo.m, en ésta ventana po-demos empezar digitando, en la primera linea:

function y = nombre_archivo( x)

donde y es el argumento de salida y x el argumento de entrada,tanto x como y pueden ser una matriz, un vector o un númeroindistintamente.

En la segunda linea puede digitarse un comentario acercade lo que hace éste archivo.

Ambos procedimientos tanto para crear un archivo.m defunción como el de un archivo.m de guión, es el mismo, así tam-bién para guardar el archivo.

Definir una función de distribución de frecuencias acumu-ladas de una variable discreta al que llamaremos función esklra

Comenzando el procedimiento, con el ratón:

file clicnew clicM-file clic

X if iF

0 2 21 11 132 11 244 3 275 3 30

Ejemplo 7. 16 Suponga que quiere realizar la siguiente tabla defrecuencias.

3 4 5

En la ventana que se muestra digitar:function f=esklra(x);% función escalera en un intervalo desde 0 hasta M dimen-

sión del vector de frecuencias a,%donde para cada subintervalo de longitud uno, se asocia

una componente del vector a, por%decir para x entre 0 y 1 se asocia 2, entre 1 y 2 el 13, etc.a= [2 13 24 24 27 30];%a es un vector de fre-

cuenciasM=length(a);for k=1:M-1,aa=k-1;bb=k;set=find( aa <= x )&find( x < bb);f(set)=a(k);if isempty(f) == 0;break,end,end,if isempty(f) == 1;f(1)=a(6);end

Para guardarlas hacemos lo siguiente con el raton:file clicsave as clic.

En el espacio nombre del archivo escribir esklra.m (no olvi-dar la extención.m) y en el espacio 'guardado en' buscar work,por último dar un clic con el ratón en guardar.

Para ejecutar estos archivos escribir en la ventana de co-mandos el nombre del archivo sin la extensión, en este casopor ser un archivo.m de función, es como si se evaluara unafunción en matlab escribimos en la ventana de comandos eskl-ra(4.5) y dando un enter obtenemos por ejemplo esklra(4.5)=27,esklra(0.8)=2, etc.

3 4 6

Cada vez que modificamos (corregimos) un archivo.m te-nemos que avisar a matlab, guardando este archivo del modosiguiente, con el ratón:

file clicsave clicNuevamente ya está listo para su ejecución

El procedimiento para construir un archivo.m de guión es elmismo que el de archivo.m de función solo se diferencian en laprimera línea, digite % y luego un comentario acerca de lo quehace este archivo.m, de modo tal que si se digita en la ventana decomandos:

help nombre_archivo,nos mostrará este comentario.Luego de digitado el programa en la ventana del archivo.m,

tiene que guardarlo con un nombre adecuado de modo que nossugiera lo que ese archivo resuelve. Para ello en la ventana delarchivo.m de un clic en file, en el menú desplegado de un clic ensave as nos mostrará una tercera ventana: guardar como; escri-bir el nombre del archivo con la extención.m y buscar matlabpara guardarlo. Ya está listo para ser usado.

Ejemplo Hacer la gráfica de la función eskalra del ejemploanterior.

Comenzamos el proceso abriendo la ventana de archivos.mpara ello con el ratón clic en files, clic en new y por último clic enM-files, aparecerá una ventana en el que digitamos

% para graficar la función escalera, necesitamos el archivoesklra

clear, clf,for jj=0:1:5;

j=1;for xx=jj:.01:jj+.99;ww=esklra(xx);xxx(j)=xx;www(j)=ww;

3 4 7

j=j+1;endhold onplot(xxx,www)clear xxx www;

endhold on;x=[1 2 4 5];a= [2 13 24 27];plot(x,a,'o');x=[0 1 2 4 5];a=[2 13 24 27 30];plot(x,a,'.')axis([0 6 0 35])hold off;

Escrito todos los comandos lo guardamos con algún nom-bre, recuerde: clic en files, clic en save as y reemplazar en Untitle(por ejemplo) por gr_esc.m, en este caso está listo para ser ejecu-tado, digitando en la ventana de comandos gr_esc (sin la exten-sión), nos mostrará el gráfico de la escalera.

0 1 2 3 4 5 6

35

30

25

20

15

10

5

0

3 4 8

Crear los datos de vectores X e Y. En la ventana de archivos.mescribimos:

X=[196 218 240 262 284 306 328 350];Y=[2 9 19 42 80 91 96 100];plot(X,Y);hold onplot(X,Y,'.');hold offset(gca,'xtick',X)set(gca,'ytick',Y)Lo salvamos con el nombre gr_fre.m, lo llamamos por gr_fre

y nos muestra:

Ejemplo. Hacer el gráfico de una distribución de frecuen-cias acumuladas de una variable continua, como la siguiente:

Intervalos if iF 174 -196 2 2 196 - 218 7 9 218 - 240 10 19 240 - 262 23 42 262 - 284 38 80 284 - 306 11 91 306 -328 5 96 328 -350 4 100

196 219 240 262 284 306 328 360

1009691

80

42

19

92

3 4 9

Ejemplo. Para la misma tabla de frecuencias, hacer el gráfi-co del un polígono de frecuencias absolutas.

clear,clf,X1=[174 196 196 218 218 240 240 262 262 284 284 306 306

328 328 350];for k=1:2:15

pt_me((k+1)/2)=(X1(k)+X1(k+1))/2;endY3=[0 2 7 10 23 38 11 5 4 0];pt_me=[163,pt_me,361];plot(pt_me,Y3)hold onplot(pt_me,Y3,'.')hold offX=[163 174 196 218 240 262 284 306 328 350 361];set(gca,'xtick',X)

163 174 196 218 240 262 284 306 328 350 361

40

35

30

25

20

15

10

5

0