CARACTERIZAÇÃO DOS INTEIROS

O conjunto Z + de inteiros positivos {1, 2, 3, ...} é simples e familiar, mas descrevendo-o de uma forma totalmente rigorosa não é trivial. Muitos dos nossos teoremas parece que vai ser tão óbvio que eles não deveriam exigir provas.

Como sempre em matemática, devemos começar com alguns postulados. Tentamos escolher um conjunto mínimo de características mais simples e óbvias dos inteiros.

Algumas propriedades dos números inteiros positivos são fáceis de afirmar. Cada número inteiro positivo é seguida por um número positivo, que é chamado o seu sucessor. O número 1 é o primeiro número inteiro positivo, por isso não é o sucessor de qualquer outro número inteiro positivo. Qualquer outro número inteiro positivo é o sucessor de um e somente um número inteiro positivo.

O sucessor de n será escrito como n + 1. No entanto, neste momento não temos definido qualquer outro tipo de adição.

Podemos definir rigorosamente como 2 1 + 1, 3 + 1 como 2, etc, continuando a sequência apenas na medida do necessário para uma discussão particular.

Outra propriedade é necessária, porque há sistemas de números diferentes dos números inteiros positivos que têm todas essas propriedades. Um tal sistema consiste nos números inteiros positivos, com a relação sucessor habitual, e também dois elementos adicionais de A e B, que são sucessores de um ao outro.

A propriedade adicional é aquele que determina, com efeito, que cada número inteiro positivo é 1, ou 2, ou 3, ou 4, e assim por diante indefinidamente. Infelizmente, "e assim indefinidamente" não tem lugar em uma definição rigorosa, embora possamos pensar que sabemos o que isso significa.

Felizmente, existe uma alternativa.Um subconjunto de Z + é dito para ser encerrado em sucessão se ele contém os sucessores de todos os seus elementos; ou seja, se n for no subconjunto, então n + 1 está também no subconjunto. Por exemplo, {1, 2} não é fechado sob sucessão, mas {3, 4, 5, ...} é.

Agora podemos afirmar a propriedade necessária final dos inteiros positivos: Qualquer subconjunto de Z +, que contém 1 e é fechado sob sucessão contém todos os números inteiros positivos.

Na verdade, nós pode se contentar com condições ligeiramente mais fracos, que são chamados a Peano postulados:1.Every inteiro positivo tem um sucessor.2. O número 1 não é o sucessor de qualquer inteiro positivo.3.Every inteiro positivo diferente de 1 é o sucessor de no máximo um número inteiro positivo.4.Any conjunto de inteiros positivos que contém 1 e é fechado sob sucessão contém todos os números inteiros positivos.

Duas outras propriedades bastante evidentes dos inteiros positivos pode ser provado como um teorema.Teorema 1.1. Todo inteiro positivo diferente de 1 é o sucessor de exatamente um número inteiro positivo, e nenhum número inteiro positivo é o seu próprio sucessor.

Proof. Suponha, para fins de contradição, que o número inteiro positivo n é diferente de 1 e não é o sucessor de qualquer número inteiro positivo, ou é o seu próprio sucessor. Então, em qualquer caso, o conjunto Z + - {n} viola Peano Postulado (4). █

Teorema 1.1 também pode ser indicado de forma mais concisa. A sucessão função f (n) = n + 1 é um mapeamento um-para-um de Z + Z + em - {1}.

É agora fácil de mostrar que 1, 2, 3 e 4 são todos distintos. Se 1 = 2, 1 = 3 ou 4 1 =, em seguida, 1 seria o sucessor de 1, 2 ou 3, respectivamente. Se 2 = 3 = 3 ou 4, em seguida, 2 ou 3 seria seu próprio sucessor. Se 2 = 4, em seguida, 1 = 3, porque cada número inteiro é o sucessor de apenas um número inteiro, e 1 = 3 já foi excluída. Argumentos semelhantes pode ser utilizado para qualquer número de números inteiros que podem ser listados e tratados de forma exaustiva.

Nós não definiu subtração ainda, mas para um número inteiro positivo n diferente de 1, usaremos a notação n-1 para indicar o número inteiro cujo sucessor é n.

2. INDUÇÃO E RECURSÃOPeano Postulado (4) é muitas vezes chamado o postulado indução matemática, porque ele pode ser lançado no referido formulário.

A técnica de indução matemática tem dois passos. Dê uma declaração sobre o inteiro n.• Passo 1: Prove a declaração para n = 1.• Passo 2: Suponha que a afirmação é verdadeira para n e depois provar isso para n + 1.

A declaração deve, então, ser verdadeiro para todos os inteiros positivos. Na Etapa 2, o pressuposto de que a afirmação é verdadeira para n é muitas vezes chamado a hipótese indutiva. A técnica é dada justificação formal pelo seguinte teorema.

Teorema 2.1. Seja S uma afirmação sobre um número inteiro positivo, e suponha que1.s é verdadeiro para 1,2. Para todos os n, se S é verdadeira para n então é verdade para n + 1.

 Então S é verdade para todos os inteiros positivos.

Proof. Seja T o conjunto de todos os inteiros positivos para os quais S é verdade. Então Peano Postulado (4) afirma que T contém todos os inteiros positivos. █

Em alguns casos, temos que usar a indução de casal.

Teorema 2.2. Deixe-S (m, n) uma declaração sobre dois inteiros positivos, e suponha que1.s (1, 1) é verdadeira,2. Para todos os símbolos m e n, S (m, n) implica S (m + 1, n) e S (m, n + 1).

 Então S (m, n) é verdadeira para todos os pares de inteiros positivos.

Proof. Seja T (n) ser a declaração "S (m, n) é verdadeira para todos os inteiros m". Então nós provar T (n) por indução.

Para n = 1, T (1) torna-se "S (m, 1) é verdadeiro para todos m". Isso pode ser provado por indução sobre m:

Para m = 1, S (m, 1) é verdadeira, por hipótese, (1).

Se S (m, 1) é verdadeira, então S (m + 1, 1) é verdadeira, por hipótese, (2).

Em seguida, vamos supor T (n), que se torna "S (m, n) é verdade para todos m". Por hipótese (2), "S (m, n + 1) é verdadeiro para todos m", o qual é T (n + 1).

Assim T (n) é verdadeira para todo n, que era o resultado desejado. █

Intimamente relacionada com a indução matemática é uma técnica chamada recursão. Podemos definir uma função f, definindo f (1) e definindo f (n + 1) em termos de n e f (n). O seguinte teorema mostra que essa técnica faz definir uma função única sobre os números inteiros positivos.

Teorema 2.3. Seja R qualquer conjunto não vazio. Seja F: R ⨯ Z + ⟶ R e seja A qualquer elemento de R. Em seguida, há uma, e apenas uma função f: Z + ⟶ R tal que

ADIÇÃOOs números inteiros positivos também têm uma operação de adição. Até agora, vimos apenas um único exemplo de adição, n + 1. Gostaríamos além de ser compatível com este exemplo e obedecer a leis associativo e comutativo:n + 1 é o sucessor de nm + (n + p) = (m + n) + p (adição é associativa)m + n = n + m (adição é comutativa)

Teorema 3.1. Há exatamente uma maneira de definir adição on Z + tal que a adição é associativa e n + 1 é o sucessor de n para cada inteiro positivo n.

Seja m um número inteiro positivo. Pelo Teorema 2.3 há um fm função de tal forma que:• FM (1) = m + 1,• fm (n + 1) = fm (n) uma para cada inteiro positivo n.

Em seguida, defina m + n ser fm (n). É claro que, para todos os

números inteiros positivos de m e n,• m + 1 é o sucessor de m,• m + (n + 1) = (m + n) para cada um número inteiro positivo n.

Temos agora de demonstrar que esta operação é associativa, mesmo quando o último operando não é 1, ou seja, que m + (n + p) = (m + n) + p para todos os números inteiros positivos m, n e p.

Usamos indução sobre p. Para p = 1 já foi comprovada. Em seguida, se m + (n + p) = (m + n) + p,

 m + (n + (p + 1)) = m + ((n + p) 1) = (m + (n + p)) + 1 = ((m + n) + p) 1 = (m + n) + (p + 1),

por isso também é verdadeiro para p + 1.

Se ++ é uma outra operação associativo tal que M ++ 1 = m + 1, então ele pode facilmente ser demonstrado por indução m em que m ++ n = m + n para cada inteiro positivo n. Por conseguinte, a operação é único. █

Nós não requerem além de ser comutativa, mas podemos provar que é.

Teorema 3.2. Para quaisquer inteiros positivos m e n, m + n = n + m.

Proof. Nós primeiro provar o caso especial de 1 + n = n + 1 por indução em n. Para n = 1, é óbvio. Se 1 + n = n + 1, então 1 + (n + 1) = (1 + n) = 1 (n + 1) 1.

Agora vamos provar o caso geral m + n = n + m por indução sobre m. Para m = 1 reduz para o caso especial. Se m + n = n + m, em seguida, (m + 1) + n = m + (1 + n) = m + (n + 1) = (m + n) 1 = (n + m) +1 = n + (m 1). █

Nós não temos subtração contudo, mas nós temos uma lei de cancelamento.

Teorema 3.3. Se m = p + n + p para quaisquer inteiros positivos m, n e p, então m = n.

Proof. Usamos indução sobre p. Para p = 1 a afirmação é idêntico ao Peano Postulado (3). Se m + (p + 1) = n + (p + 1), em seguida,

(m + p) 1 = (n + p) 1, de modo que m + p = n + p igual a pelo postulado, e m = n pela hipótese indutiva. █

Os seguintes teoremas pode parecer óbvio, mas vamos precisar deles na próxima seção.

Teorema 3.4. Para quaisquer inteiros positivos m e n, m + n não é igual a m ou n.

Proof. Usamos indução sobre n. Para n = 1, m + 1 não é igual a 1, porque não é uma sucessora de qualquer número inteiro positivo. Se m + n não é igual a n, n + m + 1 não é igual a n + 1 porque diferentes números inteiros não podem ter o mesmo sucessor.

Uma vez disso é conmutativo, m + n, também não é igual a m. █

Teorema 3.5. Para quaisquer inteiros positivos m e n, um e apenas um dos mantém o seguinte:• (1) m = n.• (2) Existe um número inteiro positivo p tal que m + p = n.• (3) Há um número inteiro q positivo tal que m = n + q.

Proof. Teorema 3.4 mostra que (1) é incompatível com (2) ou (3). Além disso, se (2) e (3) foram ambos verdadeira, então m = m + p + q, o que é impossível pelo Teorema 3.4. Isto mostra que apenas uma das condições pode conter.

A outra parte é por indução duplo no m e n. Se m = n = 1, então (1) se mantém. Ora assumir que uma das condições detém.

Se m = n então m e n + 1 obedeça (2) e m + 1 e n obedecer (3).

Se m = n + p, consideram-se dois casos.

Se p = 1, então m + n = 1, então m + 1 e n obedecer (1), e m e n + 1 obedeça (2) porque m + 1 + 1 = n + 1, então m + n = 2 .

Se p é um não, então p = r + 1 para algum r, então m + r + 1 = n. Então m + 1 e n obedecer (2) e por isso, m e n + 1.

A prova, no caso em que m = n + q é semelhante.

MULTIPLICAÇÃO

A multiplicação de números inteiros positivos é outra operação familiar. Informalmente, multiplicação pode ser definida como a adição repetida:

mn = m + m + m + ... + m (n vezes)

Isto sugere as seguintes propriedades formais:1.m1 = m2.m (n + 1) = Mn + m

Existe apenas uma operação com essas propriedades.

Teorema 6.1. Há exatamente uma maneira de definir a multiplicação de números inteiros positivos tais que m1 = m e m (n + 1) = mn + m.

Proof. Seja m um número inteiro positivo. Pelo Teorema 2.3 há um fm função exclusiva de tal forma que:• fm (1) = m• fm (n + 1) = fm (n) + m para cada inteiro positivo n

Nós definimos mn = fm (n). Em seguida, as propriedades desejadas segue directamente da definição de f. █

Multiplicação tem três propriedades que exigem prova.Teorema 6.2. A multiplicação de inteiros positivos tem as seguintes propriedades:1.m (n + p) = mn + mp (multiplicação é distributiva sobre a adição)2.m (np) = (mn) p (multiplicação é associativa)3.mn = nm (multiplicação é comutativa) Proof. Provamos distributividade por indução na p. Para p = 1 distributividade resulta do modo de multiplicação foi definido. Agora vamos supor que m (n + p) = mn + mp. Em seguida

 m (n + (p + 1)) = m ((n + p) 1) = m (n + p) + m = (mn + mp) + m = Mn + (mp + m) = Mn + m (p 1).Provamos associatividade por indução na p. Para p = 1 associatividade é trivial. Agora vamos supor m (np) = (mn) p. Em seguida m (n (p + 1)) = m = (np + n) m (np) + = Mn (Mn) p + = Mn (Mn) (p + 1).Provamos comutatividade em duas etapas. Primeiro, provamos por

indução em m que 1m = m1 = m. Para m = 1 é trivial. Agora vamos supor 1m = m. Em seguida 1 (m + 1) = 1 m + 1 = m + 1.Agora vamos provar que mn = nm por indução em n. Para n = 1, este é apenas o resultado comprovado. Agora vamos supor mn = nm. Em seguida m (n + 1) = mn + m = nm + m = m + m nm = (1 + n) = m (n + 1).

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Como a multiplicação é comutativa, distributividade funciona nos dois sentidos:• m (n + p) = mn + mp,• (n + p) m = nm + pm.

Uma propriedade de multiplicação e ordenação é fácil provar:

Teorema 6.3. Se m, n, p e q são números inteiros positivos e m> n e p> q, em seguida, pf> nq.

Proof. Por definição, não são inteiros positivos U e V tal que m = n + u e p = q + v. Pelas leis distributivas e associativas:

 mp = (n + u) (q + v) = (n + u) q + (n + u) v = nq + uq + nv + uv = nq + (uq + nv + uv).

Daí MP> nq por definição. █

2. Indução e recursão